analiza akustycznych obrazÓw falowych w aspekcie
Post on 11-Jan-2017
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska
Zakład Geofizyki
PRACA DOKTORSKA
ANALIZA AKUSTYCZNYCH OBRAZÓW FALOWYCH
W ASPEKCIE ZWIĘKSZENIA INFORMACJI
O PARAMETRACH
SPRĘŻYSTYCH I ZBIORNIKOWYCH SKAŁ
mgr inż. Kamila Wawrzyniak
promotor:
prof. dr hab. inż. Jadwiga Jarzyna
Kraków, 2007
ii
Mojej Mamie
Streszczenie
iii
Streszczenie
Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia
informacji o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał
W pracy przedstawiono zastosowanie analiz czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania
akustycznych obrazów falowych (AOF). Zaproponowano oryginalne procedury prowadzące do
dokładnego określenia fal na AOF, rozdzielenia pola falowego oraz do wskazania stref o zmienionych
własnościach sprężystych. Założono, że poprawna identyfikacja fal użytecznych (P, S i Stoneleya)
oraz dysponowanie pakietami falowymi wolnymi od interferencji, przyczyni się do dokładniejszego
i bardziej wiarygodnego wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych skał.
W części kompilacyjnej pracy zawarto podstawy teoretyczne transformat czasowo-
częstotliwościowych, omówiono profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym wraz ze
szczegółową charakterystyką fal akustycznych oraz krótko opisano wykorzystane w pracy dane.
W dalszej części dokładnie zreferowano przeprowadzone na danych syntetycznych i rzeczywistych
rejestracjach badania z wykorzystaniem dyskretnej (DWT) i ciągłej transformaty falkowej (CWT)
oraz metody pogoń za dopasowaniem (MP). Szczegółowo przedstawiono opracowaną dla każdej
analizy metodykę przetwarzania obrazów falowych i przeprowadzono wnikliwą dyskusję wyników.
Wykonane badania wykazały, że najlepszą rozdzielczością charakteryzuje się metoda pogoń za
dopasowaniem. Pozwala ona na rozdzielenie pola falowego i wykonanie interpretacji ilościowej
(określenie czasów interwałowych poszczególnych fal akustycznych oraz częstotliwości). Czasowo-
częstotliwościowe reprezentacje AOF wykorzystano również do opracowania procedur
wspomagających interpretację jakościową. Na podstawie CWT sporządzono wykresy czasowo-
głębokościowo-częstotliwościowe, a metody CWT i MP wykorzystano do obliczenia map atrybutów
chwilowych obrazujących lokalne zmiany ośrodka geologicznego.
Praca ma charakter metodyczny i przedstawia nowatorskie podejście do przetwarzania AOF.
Prezentowane procedury są uniwersalne i mogą być wykorzystane do przetwarzania i analizy
sygnałów rejestrowanych innymi sondami akustycznymi (np. Full Wave Sonic) oraz danych
pochodzących z innych metod geofizycznych, np. sejsmiki otworowej, powierzchniowej płytkiej
i głębokiej oraz każdego rodzaju sygnałów wykazujących zróżnicowanie czasowo-częstotliwościowe.
Abstract
iv
Abstract
Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information
about elastic and reservoir parameters of rocks
PhD thesis presents application of time-frequency methods to acoustic full waveforms (AFW)
processing. The goals of the research are: precise determination of acoustic waves from AFW, wave
field decomposition into separate waves and pointing out zones of different elastic parameters. It is
assumed that proper identification of P, S and Stoneley waves and interference-free waves extracted
from AFW are necessary conditions of reliable and accurate determination of elastic and reservoir
properties of rocks.
First part of the thesis includes: theoretical background of time-frequency methods, information
on full waveform acoustic logs and brief description of the data. Second part is devoted to detailed
description of time-frequency analyses of acoustic full waveforms. Discrete wavelet transform,
continuous wavelet transform and matching pursuit algorithm are applied to AFW. Simulations,
developed methodology and results of each method are discussed in detail. From proposed methods
matching pursuit reveals the best resolution and makes wave extraction possible. Results are used for
transit interval time calculation (DTP, DTS and DTSt), which are compared with the counterpart
parameters obtained from the original waveforms (i.e. not decomposed with matching pursuit).
Additionally, decompositions are used for determination of frequency content of each wave packet.
Time-frequency representations of AWF are also used to improving qualitative interpretation. On the
basis of continuous wavelet transform time-depth-frequency plots for a given frequency are
constructed. What is more, continuous wavelet transform and matching pursuit decomposition are
used to calculating instantaneous attributes that indicate local changes of geological formation.
Presented research is a kind of methodological work. Developed procedures are innovative and
universal. They can be successfully applied to acoustic full waveforms recorded with different sonic
tools. Procedures can be adapted also to other type of acoustic measurements, seismic data and any
other geophysical signals that are characterized by changeable frequency and time.
Spis treści
v
Spis treści
Streszczenie
Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji o parametrach sprężystych
i zbiornikowych skał .......................................................................................................................................iii
Abstract
Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information about elastic and reservoir
parameters of rocks ......................................................................................................................................... iv
Rozdział 1 Wstęp ................................................................................................................................................... 1
1.1 Wprowadzenie.................................................................................................................................................. 1
1.2 Teza pracy ........................................................................................................................................................ 3
Rozdział 2 Metody czasowo-częstotliwościowe ................................................................................................... 4
2.1 Wprowadzenie do analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów.................................................................. 4
2.1.1 Sygnał .................................................................................................................................................... 4
2.1.2 Analiza sygnałów .................................................................................................................................. 4
2.1.3 Klasyfikacja sygnałów........................................................................................................................... 5
2.1.4 Analiza częstotliwościowa i czasowo–częstotliwościowa sygnałów .................................................... 8
2.1.5 Zasada nieoznaczoności ...................................................................................................................... 10
2.1.6 Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo-częstotliwościowej......................................... 11
Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT ...................................................................................... 11
Transformata Wignera (Wignera-Ville’a) ........................................................................................... 11
Transformacja falkowa WT................................................................................................................. 12
Pogoń za dopasowaniem MP............................................................................................................... 13
2.1.7 Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów niestacjonarnych .............................. 14
2.2 Transformata falkowa .................................................................................................................................... 16
2.2.1 Ciągła transformata falkowa................................................................................................................ 17
2.2.2 Dyskretna transformata falkowa.......................................................................................................... 19
2.3 Pogoń za dopasowaniem ................................................................................................................................ 21
2.3.1 Algorytm pogoni za dopasowaniem .................................................................................................... 22
2.3.2 Dobór elementów słownika ................................................................................................................. 23
2.3.3 Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora............................................................... 24
2.3.4 Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość.............................................................................. 25
Rozdział 3 Akustyczne obrazy falowe................................................................................................................ 27
3.1 Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym ................................................................................... 27
3.1.1 Podstawy profilowania akustycznego.................................................................................................. 27
Spis treści
vi
3.1.2 Budowa sondy LSS ............................................................................................................................. 30
3.1.3 Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS................................................................. 32
3.2 Fale akustyczne generowane w otworach wiertniczych................................................................................. 36
Fale objętościowe ................................................................................................................................ 37
Fale prowadzone.................................................................................................................................. 40
Fala w płuczce ..................................................................................................................................... 43
Inne fale ............................................................................................................................................... 45
3.3 Metody interpretacji akustycznych obrazów falowych .................................................................................. 47
Rozdział 4 Dane ................................................................................................................................................... 50
4.1 Otwór K6........................................................................................................................................................ 50
4.1.1 Litostratygrafia otworu K6 .................................................................................................................. 50
4.1.2 Charakterystyka akustycznych obrazów falowych w otworze K6 ...................................................... 52
4.1.3 Podział akustycznych obrazów falowych na strefy odpowiadające skałom o różnych własnościach
sprężystych i zbiornikowych ............................................................................................................... 53
4.1.4 Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych ........................................................ 56
Rozdział 5 Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych z zastosowaniem wybranych metod
czasowo-częstotliwościowych.............................................................................................................................. 58
5.1 Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały testowe ............................................................................. 58
5.2 Analiza składu częstotliwościowego akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera ... 60
5.3 Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej .............................................................................................. 66
5.3.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 66
5.3.2 Badania na danych syntetycznych ....................................................................................................... 66
5.3.3 Badania na danych rzeczywistych ....................................................................................................... 71
5.4 Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej .................................................................................................. 75
5.4.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 75
5.4.2 Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej...................................................................... 75
5.4.3 Badania na danych syntetycznych ....................................................................................................... 78
5.4.4 Badania na danych rzeczywistych ....................................................................................................... 80
5.4.5 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe akustycznych obrazów falowych dla
wybranych, pojedynczych częstotliwości............................................................................................ 83
5.5 Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem............................................................................................. 89
5.5.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 89
5.5.2 Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu
(rozdzielczość czasowa) ...................................................................................................................... 90
5.5.3 Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP................................................................................ 91
5.5.4 Dobór ilości atomów dekompozycji .................................................................................................... 95
5.5.5 Badania na danych syntetycznych ....................................................................................................... 97
Spis treści
vii
5.5.6 Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal akustycznych z obrazów falowych ..... 100
Częstotliwość..................................................................................................................................... 100
Oktawa............................................................................................................................................... 100
Położenie ........................................................................................................................................... 101
Amplituda .......................................................................................................................................... 101
Faza ................................................................................................................................................... 101
5.5.7 Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu o parametryzację atomów Gabora.......................... 101
5.5.8 Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem: analizy
czasu interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal ................................................................... 105
Analiza czasu interwałowego ............................................................................................................ 105
Analiza częstotliwości ....................................................................................................................... 107
5.6 Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy czasowo-częstotliwościowe............................................ 110
5.6.1 Wprowadzenie ................................................................................................................................... 110
5.6.2 Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla transformaty falkowej................................. 114
Badania na danych syntetycznych ..................................................................................................... 114
Badania parametryczne...................................................................................................................... 122
5.6.3 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą transformaty falkowej .......... 126
5.6.4 Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za dopasowaniem .......................................... 140
5.6.5 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą
metody pogoń za dopasowaniem....................................................................................................... 140
Rozdział 6 Podsumowanie ................................................................................................................................ 147
Spis rysunków.................................................................................................................................................... 150
Spis tabel ............................................................................................................................................................ 155
Literatura........................................................................................................................................................... 156
Podziękowania ................................................................................................................................................... 163
1. Wstęp
1
Rozdział 1
Wstęp
1.1 Wprowadzenie
W otworach wiertniczych wykonuje się szereg pomiarów opierających się na rozchodzeniu fal
sprężystych w ośrodku skalnym. Profilowania akustyczne ukierunkowane na uzyskanie informacji
o czasach interwałowych, tj. prędkościach fal w ośrodku geologicznym, wykonywane są w otworach
niezarurowanych za pomocą różnego rodzaju sond. Mogą to być sondy kompensacyjne BHC (ang.
Borehole Compensated Tool) (Kokesh et al. 1964), o wydłużonym rozstawie LSS (ang. Long Spaced
Sonic) (Williams et al. 1984) oraz sondy wieloodbiornikowe (ang. Array Sonic Tool) (Arditty et al.
1991). Powyższe urządzenia pomiarowe wyposażone są w źródła monopolowe, które generują fale
objętościowe (P, S) i prowadzone (leaky modes, pseudo-Rayleigha, Stoneleya). W utworach,
w których powstanie fali S jest utrudnione lub niemożliwe, stosowane są sondy ze źródłem
dipolowym lub kwadrupolowym (Zemanek et al. 1991). Pierwsze generują fale określane w języku
angielskim jako flexural waves, drugie wytwarzają fale nazywane screw waves. W otworach
zarurowanych wykonywane są pomiary stanu zacementowania otworu CBL (ang. Cement Bond Log)
(Broding i Buchanan 1986). Inny rodzaj pomiarów akustycznych to wysokorozdzielcze obrazowanie
ścianki otworu telewizorem akustycznym BHVT (ang. Borehole Televiewer) (Zemanek et al. 1970).
Wymieniając pomiary w otworach wiertnicznych wykorzystujące fale sprężyste, należy
wspomnieć o pionowych profilowaniach sejsmicznych PPS (ang. Vertical Seimic Profiling – VSP)
i profilowaniu prędkości średnich (ang. Check Shot Survey) (Dillon i Collyer 1985). Jednak z uwagi na
wykorzystanie w tych pomiarach fal o częstotliwościach rzędu kilkudziesięciu, rzadziej kilkuset Hz,
metody te zaliczane są do metod sejsmicznych. Częstotliwości stosowane w otworowych
profilowaniach akustycznych są rzędu kilku–kilkudziesięciu kHz, co pozwala na uzyskanie zasięgu od
kilkunastu do kilkudziesięciu cm i rozdzielczości pionowej od kilkudziesięciu mm do kilkudziesięciu
cm. Wyjątkiem jest telewizor akustyczny pracujący w zakresie ultradźwiękowym (od kilkuset kHz do
kilku MHz).
1. Wstęp
2
Jednym z pomiarów akustycznych wykonywanych w otworach jest profilowanie akustyczne
z pełnym obrazem falowym. Polega ono na rejestracji wszystkich fal przychodzących do odbiornika
w określonym przedziale czasowym. Wykorzystuje prędkość i tłumienie fal sprężystych, które zależą
od wielu czynników obejmujących m.in. strukturę i teksturę skały, skład mineralny, gęstość, wielkość
i rodzaj nasycenia przestrzeni porowej. W konsekwencji obrazy falowe mogą być wykorzystane do
pozyskania szerokiej informacji o ośrodku geologicznym i określenia szeregu parametrów
charakteryzujących własności sprężyste oraz zbiornikowe skał. Na podstawie pomiarów akustycznych
obrazów falowych in situ można wnioskować o prędkościach fal akustycznych, dynamicznych
modułach sprężystości, współczynniku Poissona, własnościach tłumiących ośrodka, porowatości,
przepuszczalności, nasyceniu węglowodorami, litologii, strefach szczelin i spękań. Bogactwo
informacji zawarte w rejestrowanych sygnałach, z jednej strony czyni akustyczne obrazy falowe
niezwykle cennymi w ocenie własności ośrodka geologicznego, z drugiej sprawia trudności
interpretacyjne. Podniesienie efektywności wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych
skał może być zrealizowane poprzez udoskonalenie metodyki przetwarzania sygnałów akustycznych,
ukierunkowanej na dokładne rozpoznanie pola falowego. Metodą na pozyskanie informacji
o poszczególnych pakietach falowych rejestrowanych na obrazach falowych jest dekompozycja, czyli
rozdzielenie pomierzonych sygnałów. Potraktowanie akustycznych obrazów falowych jako sygnałów
niestacjonarnych, których zmiany częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych
o zróżnicowanym składzie częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie
przyjścia do odbiornika sondy), otwiera drogę analizom czasowo-częstotliwościowym.
Metody czasowo-częstotliwościowej analizy sygnałów stosunkowo niedawno znalazły
zastosowane w geofizyce. Najbardziej popularne są dyskretna i ciągła transformata falkowa (ang.
Discrete and Continuous Wavelet Transforms). Coraz częściej stosowana jest również metoda pogoń
za dopasowaniem (ang. Matching Pursuit). Metody te są przede wszystkim wykorzystywane
w szeroko rozumianym przetwarzaniu danych sejsmicznych (Chakraborty i Okaya 1995, Faqi et al.
1995, Dessing 1997, Castagna i Sun 2006, Droujinine 2006), poszukiwaniach węglowodorów
(Castagna et al. 2003, Sinha et al. 2005, Zabihi i Siahkoohi 2006) oraz interpretacji geologicznej
danych sejsmiki 3D (Verhelst 1998). Rzadziej używane są w analizie pól potencjalnych (Cooper 2006,
Audet i Mareschal 2007) oraz geofizyce otworowej (Li 1998). Przedstawiając metody czasowo-
częstotliwościowe należy wspomnieć o najnowszych osiągnięciach. Popularna staje się transformata S
(Stockwell et al. 1996). W ostatnich latach intensywnie rozwijane są narzędzia przetwarzania
sygnałów i obrazów będące uogólnieniem i rozszerzeniem transformaty falkowej. Powstały takie
transformaty jak: chirplet, curvelet, seislet, contourlet, ridgelet, które w geofizyce są jak dotąd
pioniersko wykorzystywane do obrazowania i analizy danych sejsmicznych. Pojawiły się pierwsze
publikacje w czasopismach geofizycznych (Bardainne et al. 2006). Większość informacji i materiałów
na temat tych metod jest głównie dostępna w Internecie na domowych stronach badaczy: Douma H.,
Herve C., Herrmann F. J., Fomel S. (w spisie literatury podano odnośniki do stron).
1. Wstęp
3
Możliwości wykorzystania metod czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania i interpretacji
danych geofizycznych są bardzo szerokie. W prezentowanej pracy zaproponowano zastosowanie
transformaty falkowej i metody pogoń za dopasowaniem w analizie akustycznych obrazów falowych.
1.2 Teza pracy
Następujące fakty były podstawą sformułowania tezy pracy:
− Stosowane w sondach akustycznych nadajniki powodują powstanie fal sprężystych w otworach
wiertniczych.
− Ilość i rodzaj wygenerowanych fal zależy od kilku czynników: typu źródła (źródło monopolowe,
dipolowe, kwadrupolowe), charakterystyki częstotliwościowej sygnału źródłowego
(częstotliwości środkowej i pasma częstotliwości), warunków panujących w otworze (geometrii
otworu, warunków pomiarowych) oraz własności sprężystych ośrodka geologicznego.
W przypadku sondy LSS (Halliburton Energy Services), pracującej
z wysokoczęstotliwościowym źródłem monopolowym, mogą powstać fale objętościowe
(podłużne, poprzeczne), prowadzone (leaky modes, fale pseudo-Rayleigha, Stoneleya), fale
odbite i wielokrotnie odbite, fala biegnąca w płuczce oraz fala bezpośrednia.
− Wyżej wymienione fale propagują z różną prędkością i są rejestrowane przez odbiorniki sondy
w różnym czasie od emisji sygnału z nadajnika. Oznacza to, że fale akustyczne występują
w różnych miejscach (tj. na różnych czasach) na akustycznych obrazach falowych. Na czas
rejestracji fal wpływ mają własności sprężyste ośrodka, w którym propagują fale (m.in.
prędkość) oraz geometria układu pomiarowego (odległość miedzy nadajnikiem a odbiornikiem,
średnica sondy, średnica otworu).
− Poszczególne fale akustyczne różnią się także pod względem charakterystyki
częstotliwościowej. Skład częstotliwościowy zależy od częstotliwości środkowej i pasma
sygnału źródłowego oraz własności sprężystych ośrodka, w którym rozchodzą się fale.
− Akustyczne obrazy falowe można potraktować jako sygnały niestacjonarne, których zmiany
częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych o zróżnicowanym składzie
częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie przyjścia do odbiornika).
Naturalną metodą przetwarzania tego typu sygnałów są transformaty czasowo-
częstotliwościowe pozwalające wyodrębnić elementy składowe sygnału.
Powyższe stwierdzenia uzasadniają postawienie tezy: akustyczne obrazy falowe można rozdzielić na
składowe fale akustyczne za pomocą czasowo-częstotliwościowych metod analizy sygnałów
niestacjonarnych. Podniesienie dokładności wydzielania pakietów fal użytecznych (P, S i Stoneleya)
oraz zwiększenie efektywności przetwarzania akustycznych obrazów falowych przyczyni się do
poprawnej oceny parametrów sprężystych i zbiornikowych, wyznaczanych w oparciu znane zjawiska
fizyczne.
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
4
Rozdział 2
Metody czasowo-częstotliwościowe
2.1 Wprowadzenie do analizy czasowo-
częstotliwościowej sygnałów
2.1.1 Sygnał
Słowo „sygnał” w analizie sygnałów rozumiane jest jako dowolna funkcja zależna od jednej lub wielu
zmiennych. Najczęściej sygnałem jest pewna wielkość fizyczna zmieniająca się w czasie s(t) lub
w przestrzeni s(x, y, z). Sygnałem mogą być także zmiany zachodzące w funkcji temperatury, ciśnienia
lub innego dowolnego argumentu.
Sygnały generowane wokół nas można traktować jako fizyczną postać informacji. Umożliwiają
jej przenoszenie (np. transmisja radiowa), przechowywanie (np. fotografie), ale także służą do
zbierania informacji o otaczającym nas świecie. Przykładem niech będzie dowolna metoda
geofizyczna, np. sejsmika, w której wysyłane w głąb Ziemi fale sprężyste (sygnały) wykorzystuje się
do poszukiwań węglowodorów. Można zadać pytanie, czy każdy sygnał niesie informację? Owszem,
ale czasem może być ona niezwykle trudna do odczytania, nieistotna lub wręcz niepożądana, na
przykład szum.
2.1.2 Analiza sygnałów
Wydobyciem informacji z sygnału zajmuje się analiza sygnałów. Zwięzły, trafny i kompletny opis
sygnału to cel, który próbujemy osiągnąć stosując poszczególne metody analizy sygnałów. Jest wiele
metod służących temu celowi: analiza częstotliwości, metody czasowo-częstotliwościowe, metody
statystyczne, algorytmy genetyczne, sztuczne sieci neuronowe i wiele innych. Każda z nich
charakteryzuje się wrażliwością na inne cechy sygnału, i jest bardziej lub mniej odpowiednia do
analizy danego przypadku, a ich duża różnorodność pozwala na wybór optymalnej.
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
5
Analizę sygnałów można ogólnie podzielić na dwie grupy: pierwsza polega na wyodrębnieniu
składowych sygnału, druga zajmuje się badaniem cech lub struktur zjawiska oraz zachodzących
między nimi związków.
W pierwszym przypadku dążyć będziemy do przedstawienia badanego sygnału za pomocą
liniowej kombinacji pewnych znanych funkcji (np. sinusów, kosinusów, funkcji Gabora), czyli
dążymy do rozłożenia sygnału na elementy składowe:
∑=n
nn gcts )( (2.1)
gdzie { }ng jest zbiorem znanych funkcji, a współczynniki cn określają ich wkład, tzn. intensywność
występowania w badanym sygnale danej funkcji. Dokładne odgadnięcie reprezentacji sygnału bez
pewnej wiedzy a priori o sygnale jest niemożliwe. Problem pojawia się już przy wyborze funkcji
analizującej. Jaki rodzaj, spośród nieskończonej ilości funkcji, będzie najlepiej opisywać sygnał?
Dobór parametrów tych funkcji jest kolejnym poważnym problemem. Różnice występujące między
rzeczywistym sygnałem a założeniami teoretycznymi opisu matematycznego, niezerowe
współczynniki transformat poza analizowanym fragmentem sygnału i wreszcie szum, powodują, że
w praktyce musimy zadowolić się reprezentacjami przybliżonymi typu:
∑≈n
nn gcts )( (2.2)
W drugim przypadku analizy sygnałów będziemy starać się ustalić związek między wartością sygnału
w danej chwili t i w chwilach poprzednich, w postaci zależności:
∑ ∆−=n
n tktscts )()( (2.3)
Uwzględniając element przypadkowy (niedokładność pomiarów, szum) należy dodać do wzorów (2.1)
i (2.3) element stochastyczny ε, nie podlegający opisowi w ramach modelu.
Na założeniach o liniowości i stacjonarności w czasie opiera się klasyczna analiza sygnałów, do
której należą m.in. analiza widmowa i teoria filtrów. Zrezygnowanie z warunku stacjonarności
sygnału rozszerza analizę sygnałów o metody czasowo-częstotliwościowe. Natomiast uwzględnienie
nieliniowości otwiera drogę takim dziedzinom jak chaos deterministyczny i fraktale.
2.1.3 Klasyfikacja sygnałów
Szczegółową klasyfikację sygnałów wraz z wybranymi metodami analizy można znaleźć w wielu
pozycjach, m.in. w: Bendat i Piersol (1976), Zieliński (2002), Roberts (2004). W tej pracy poruszony
zostanie jedynie podział sygnałów mający odniesienie do danych wykorzystanych
w przeprowadzonych badaniach.
Sygnały generowane m.in. przez układy biologiczne, społeczne i techniczne można najogólniej
podzielić na sygnały zdeterminowane, czyli takie, które da się opisać za pomocą ścisłych zależności
matematycznych, oraz losowe (stochastyczne), opisywane za pomocą uśrednionych charakterystyk
statystycznych (rys. 2.1). Te ostatnie dzielą się na stacjonarne i niestacjonarne. Sygnały stacjonarne
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
6
(niezmienne w czasie) posiadają dla każdej chwili czasowej stałe wartości podstawowych
charakterystyk statystycznych (np. średnia, wariancja) w zbiorze ich wielu realizacji, natomiast
sygnały niestacjonarne tej własności nie posiadają. Ujmując to inaczej, odpowiedź częstotliwościowa
sygnału stacjonarnego nie będzie zmieniać się w czasie, w przeciwieństwie do odpowiedzi
częstotliwościowej sygnału niestacjonarnego.
Inną klasyfikacją sygnałów, istotną z punktu widzenia tej pracy, jest podział na sygnały ciągłe
(analogowe) s(t) oraz dyskretne sk(t), s(n) i s[n] (rys. 2.2).
Sygnały analogowe (ciągłe czasu ciągłego) s(t) (rys. 2.3a) są opisane funkcjami czasu, przyjmującymi
wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.
Sygnały dyskretne czasu ciągłego sk(t) (rys. 2.3b) są sygnałami ciągłymi w czasie,
przyjmującymi wartości dyskretne. W tym przypadku dyskretyzacja sygnału związana jest
z kwantyzacją amplitudy dokonywaną w przetwornikach analogowo-cyfrowych. Wartości amplitudy
sygnału wejściowego (analogowego) mogą przyjmować dowolne wartości pomiędzy minimum
i maksimum. W procesie kwantyzacji zostają one zamienione na jedną z wartości ze zbioru
skończonego, którego liczba elementów zdefiniowana jest przez rozdzielczość przetwornika.
Sygnały ciągłe czasu dyskretnego s(n) (rys. 2.3c) powstają w wyniku spróbkowania w czasie
sygnałów ciągłych, tzn. z sygnału analogowego wybierane są wartości (próbki) tylko w wybranych
Sygnały
deterministyczne losowe(stochastyczne)
stacjonarne niestacjonarne
Rys. 2.1 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały deterministyczne i losowe
Sygnały
ciągłes(t)
dyskretne
dyskretneczasu
ciągłego(kwantowanie
amplitudy)s (t)k
dyskretneczasudyskretnego(cyfrowe)s[n]
ciągłeczasu
dyskretnego(próbkowanie)
s(n)
Rys. 2.2 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały ciągłe i dyskretne
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
7
odstępach czasu. Najczęściej próbkowanie dokonywane jest ze stałym interwałem czasowym (tzw.
próbkowanie równomierne). Wtedy odstęp ∆t między próbkami nazywa się okresem lub krokiem
próbkowania, a jego odwrotność 1/∆t częstotliwością próbkowania fs. Sygnał ciągły może być
ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany zgodnie z twierdzeniem Nyquista
(Bendat i Piersol 1976, Roberts 2004), tzn. z częstotliwością, co najmniej dwa razy większą od
granicznej częstotliwości swego widma.
Sygnały dyskretne czasu dyskretnego s[n] (rys. 2.3d), czyli sygnały cyfrowe, to sygnały ciągłe,
które poddano najpierw procesowi próbkowaniu a następnie kwantyzacji. Sygnały cyfrowe są bardzo
rozpowszechnione z powodu szybkiego rozwoju komputeryzacji.
a) b)
c) d)
-0,5
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1
0
1
am
plit
ud
a
-0,5
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1
0
1
am
plit
ud
a
-0,5
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1
0
1
am
plit
ud
a
-0,5
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1
0
1
am
plit
ud
a
Rys. 2.3 Ilustracja graficzna sygnału analogowego (a) oraz sygnałów dyskretnych:
dyskretnego czasu ciągłego – powstałego w wyniku kwantyzacji amplitudy (b),
ciągłego czasu dyskretnego – powstałego w wyniku próbkowania osi czasu (c)
i dyskretnego czasu dyskretnego – powstałego w wyniku kwantyzacji
i próbkowania sygnału analogowego (d)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
8
2.1.4 Analiza częstotliwościowa i czasowo–częstotliwościowa
sygnałów
Jedną z najpopularniejszych metod analizy sygnałów w naukach technicznych i przyrodniczych jest
transformata pozwalająca przestawić sygnał w domenie częstotliwości i badać jego własności
widmowe. Dziedzina ta rozwijana jest od lat i jest szeroko opisywana w literaturze, m.in. w: Bendat
i Piersol (1976), Zieliński (2002), Roberts (2004).
Analizy częstotliwościowe, zgodnie ze wzorem 2.1, polegają na rozłożeniu sygnału na pewne
funkcje bazowe gn, a następnie minimalizacji niezerowych współczynników cn. Istotny jest zatem
wybór odpowiedniego zestawu funkcji bazowych. Im kształt tych funkcji będzie lepiej dopasowany do
elementów składowych sygnału, tym mniej będzie ich potrzebnych do jego opisu, a tym samym
będzie mniej współczynników cn reprezentujących sygnał.
Dla sygnałów stacjonarnych, niezmiennych w czasie, odpowiednie są funkcje bazowe
o charakterze stacjonarnym. Przykładem są funkcje sinus i kosinus, doskonale zlokalizowane
w dziedzinie częstotliwości, ale za to nieskończone w dziedzinie czasu (tzw. nieskończony nośnik).
Analogicznie, dla sygnałów niestacjonarnych lepsze są funkcje o dobrej lokalizacji w czasie, czyli
o skończonym (selektywnym) nośniku.
Najpopularniejszą i podstawową metodą analizy sygnałów stacjonarnych, zarówno ciągłych jak
i dyskretnych, jest transformata Fouriera, w wyniku której otrzymywane jest zespolone widmo
Fouriera. Powstaje ono poprzez wymnażanie analizowanego sygnału z funkcjami bazowymi sinus
i kosinus postaci: )2sin()2cos(2tfitfe
tfi πππ −=− i całkowanie tego iloczynu. Każda z funkcji
bazowych posiada inne częstotliwości f. Tak obliczone widmo Fouriera można interpretować jako
miarę podobieństwa sygnału do poszczególnych funkcji bazowych, czyli sprawdzenia „ile” jest
w sygnale danej częstotliwości f. Z uwagi na to, że funkcje bazowe wykorzystywane w transformacie
Fouriera, tj. sinus i kosinus, rozciągają się od plus do minus nieskończoności w dziedzinie czasu, nie
wiadomo nic o ich lokalizacji w czasie częstotliwości. Ta informacja jest jednak nieistotna dla
sygnałów stacjonarnych, ponieważ ich skład częstotliwościowy nie zmienia się czasie.
W przypadku sygnałów niestacjonarnych, tj. takich, których częstotliwość elementów
składowych sygnału ulega zmianie w czasie, transformata Fouriera nie jest najlepszą metodą analizy.
Jeśli interesuje nas, gdzie w sygnale występuje dana częstotliwość, musimy sięgnąć po analizy
czasowo-częstotliwościowe (Durka 1999-2004), które pozwalają na śledzenie zmienności widma
chwilowego. Odgrywają one coraz większą rolę z uwagi na powszechne występowanie sygnałów
niestacjonarnych. Metody czasowo-częstotliwościowe są narzędziem pozwalającym zlokalizować
zjawiska obecne w sygnale, zarówno w domenie czasu jak i częstotliwości oraz dają informację
o rozkładzie gęstości energii sygnału w przestrzeni czas – częstotliwość.
W analizie sygnałów domena czasowo–częstotliwościowa jest zdefiniowana jako płaszczyzna
z czasem na osi poziomej i częstotliwością na osi pionowej. W przypadku sygnałów skończonych
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
9
i niestacjonarnych, czyli takich, z jakimi mamy najczęściej do czynienia, reprezentacja gęstości energii
sygnału na tej płaszczyźnie jest jedynie aproksymacją obarczoną błędami statystycznymi.
W przeciwieństwie do analizy sygnałów stacjonarnych, gdzie reprezentacja sygnału jest
przybliżana sumą nieskończonych w czasie drgań o różnych częstotliwościach (rys. 2.4a), w analizie
czasowo-częstotliwościowej sygnał aproksymowany jest sumą ograniczonych w czasie przebiegów
impulsowych, występujących w różnych chwilach czasowych i posiadających różne pasmo
częstotliwościowe (rys. 2.4b). Ponieważ każdy z przebiegów impulsowych „pokrywa” określony
przedział czasowy i częstotliwościowy, w wyniku wyznacza się ilość sygnału, przypadającą na
określoną komórkę czasowo-częstotliwościową, zwaną atomem, z uwagi na jego niepodzielność. Pola
wszystkich atomów nie powinny się pokrywać, a po zsumowaniu dać całą przestrzeń czasowo-
częstotliwościową. Podział przestrzeni czas – częstotliwość (rys. 2.5) powinien być odpowiednio
dobrany w zależności od rodzaju sygnału oraz celu analizy, a pole atomu być jak najmniejsze.
am
plit
uda
am
plit
uda
am
plit
ud
a
po
zio
m d
ekom
pozycji
j
j =
3j =
2j =
1
a) b)
Rys. 2.4 Przykłady funkcji analizujących w transformacie Fouriera (a) oraz przykład dekompozycji sygnału
względem falek Morleta (b).
Rozciągające się od plus do minus nieskończoności przebiegi sinusoidalne o określonej częstotliwości dają
dokładną informację o częstotliwościach w sygnale, ale nie mówią nic o ich lokalizacji w czasie.
W transformacie falkowej funkcje analizujące są zlokalizowane zarówno w domenie czasu i częstotliwości
pozwalając na uzyskanie czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnału
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
10
2.1.5 Zasada nieoznaczoności
Podobnie jak w fizyce kwantowej, w analizie sygnałów również obowiązuje zasada nieoznaczoności
Heisenberga. W fizyce kwantowej zasada ta stwierdza, że cząstka nie może mieć jednocześnie dobrze
określonego położenia i pędu. W analizie czasowo-częstotliwościowej oznacza, że nie jest możliwe
jednoczesne dokładne poznanie położenia na osi czasu i częstotliwości elementów składowych
sygnału, tzn. nie można ich przedstawić w postaci punktów na płaszczyźnie czas – częstotliwość. Ta
nieoznaczoność jest własnością sygnału i nie jest spowodowana ograniczeniami przyrządów
pomiarowych czy matematyki. Konsekwencje zasady nieoznaczoności w metodach czasowo-
częstotliwościowych zostały omówione w bardzo przejrzysty sposób w artykule Hall (2006).
W analizie czasowo-częstotliwościowej zasada nieoznaczoności mówi, że iloczyn szerokości
pasma częstotliwościowego i czasu trwania sygnału nie może być mniejszy od pewnej minimalnej
wartości (Zieliński 2002, Augustyniak 2003):
π
σ2
12222 ≥⋅⋅≥+= BABA (2.4)
gdzie:
∫∫
∫
∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
==
=
=
dffGdttgE
dffGfE
B
dttgtE
A
22
222
222
)()(
)(1
)(1
(2.5)
oznaczają średniokwadratową szerokość czasową (A) i częstotliwościową (B) funkcji g(t) i jej
zespolonego widma Fouriera G(f). Dowód tego twierdzenia przedstawiony jest przez Bracewell’a
(1968). Równość we wzorze (2.4) jest spełniona tylko dla funkcji Gaussa:
a) b)
czas
częs
totliw
ość
czas
częs
totliw
ość
duża
ska
la
ma
łaskala
Rys. 2.5 Przykłady konfiguracji atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość
dla krótkoczasowej transformaty Fouriera STFT (a) i transformaty falkowej (b)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
11
2
4
1
)2()( tetg
παα −⋅= (2.6)
gdzie a jest parametrem funkcji Gaussa. Funkcja Gaussa zapewnia minimalną powierzchnię atomu na
płaszczyźnie czas – częstotliwość, gdyż charakteryzuje się najmniejszym możliwym iloczynem AB.
Jest zatem optymalną funkcją z punktu widzenia precyzji lokalizacji komponentów sygnału.
2.1.6 Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo-
-częstotliwościowej
Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT
Krótkoczasowa transformata Fouriera (ang. Short-Time Fourier Transform) polega na wycinaniu
kolejnych odcinków sygnału za pomocą funkcji okna g(t) (||g|| = 1), a następnie obliczaniu ich
transformat Fouriera (Zieliński 2002). Inaczej można te operacje przedstawić jako iloczyny skalarne
sygnału s z oknem g modulowanym częstotliwością f:
∫∞
∞−
−∗ ⋅−⋅= τττ τπdetgsftSTFT
fi2)()(),( (2.7)
Symbol * oznacza funkcję sprzężoną. W STFT zakłada się, że sygnał jest stacjonarny w obrębie
każdego z fragmentów. Okno transformaty ma stałą szerokość, zmieniana jest tylko jego częstotliwość
(rys. 2.6a). Z tego powodu podział płaszczyzny czas – częstotliwość jest równomierny (rys. 2.5a).
Podstawową niedogodnością STFT jest jednokrotnie dobierana szerokość okna analizy. Dobór
szerokości okna jest nierozerwalnie związany z rozdzielczością czasową i częstotliwościową analizy.
Szerokie okno daje dużą rozdzielczość częstotliwościową, ale mniejszą w domenie czasu. Wąskie
okno transformaty STFT daje efekt odwrotny. Z powodu obowiązującej tu zasady nieoznaczoności
niemożliwe jest jednoczesne uzyskanie dużej rozdzielczości w obu domenach. Dobór szerokości okna
w STFT odbywa się metodą prób i błędów. Zastosowanie zbyt wąskiego okna pozbawia możliwości
wykrycia niższych częstotliwości obecnych w sygnale, natomiast zbyt szerokie okno analizy
powoduje, że wysokie częstotliwości są lokalizowane w czasie z wciąż tą samą precyzją, niższą od
optymalnej.
STFT jest transformatą, którą można zastosować do sygnałów niestacjonarnych (rys.2.7a, b, c).
Daje ona czasowo-częstotliwościową reprezentację sygnału, ponieważ okna transformaty
umiejscawiane są na konkretnych czasach i dla każdego czasu obliczana jest transformata Fouriera.
Spektrogram (rys. 2.7d), kwadrat modułu krótkoczasowej transformaty Fouriera, jest
dwuwymiarowym wykresem widma amplitudowego sygnału i mówi o zawartości energii sygnału
w okolicy częstotliwości f i danego czasu τ.
Transformata Wignera (Wignera-Ville’a)
Problem doboru długości okna w STFT zmuszał do kompromisów pomiędzy zbliżeniem precyzji
analizy do teoretycznie możliwej wartości a objęciem analizą wszystkich częstotliwości
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
12
występujących w sygnale. Transformata Wignera-Ville’a (ang. Wigner-Ville transform) rozwiązuje
ten problem, gdyż rolę okna odgrywa tutaj sam sygnał:
τττ τπ
detstsftWfi
s2
22),( −∗
∞
∞−
⋅
−⋅
+= ∫ (2.8)
gdzie s(t) oznacza sygnał rzeczywisty (definicja Wignera) lub analityczny1 (definicja Ville’a)
(Zieliński 2002).
Chociaż transformata Wignera-Ville’a jest metodą dającą najlepszą precyzję reprezentacji
sygnału w dziedzinie czas – częstotliwość, to jej zastosowanie jest ograniczone przez pasożytnicze
interferencje wzajemne. Ich obecność jest związana z wyrazami mieszanymi, powstającymi przy
obliczaniu kwadratowej transformaty sygnału, jaką jest transformata Wignera-Ville’a. Obliczając taką
transformatę sygnału, złożonego z sumy elementów a i b, dostajemy reprezentację występujących
w sygnale składników a i b oraz wyraz mieszany 2ab: (a + b)2 = a
2 + b
2 + 2ab. Na podstawie samego
rozkładu energii na płaszczyźnie czas – częstotliwość można by podejrzewać, że w analizowanym
sygnale pomiędzy strukturami a i b znajduje się jeszcze struktura o pośredniej częstotliwości
reprezentowana przez wyraz mieszany 2ab (rys. 2.7e).
Interferencje pasożytnicze mają najczęściej charakter oscylacyjny i można zmniejszyć ich wkład
poprzez lokalne uśrednianie transformaty po czasie i częstotliwości. Różne realizacje tego uśredniania
tworzą bogatą klasę reprezentacji z grupy Cohena (nie omawiane w tej pracy), w których dobra
rozdzielczość reprezentacji Wignera jest poświęcana na rzecz jej większej czytelności: im mniejszy
wpływ interferencji (większe uśrednianie) tym gorsza rozdzielczość. Przegląd reprezentacji z grupy
Cohena wraz z krótkim komentarzem na temat możliwości ich zastosowania do przetwarzania danych
geofizycznych można znaleźć w pracy Leśniak (1999).
Transformacja falkowa WT
Odmiennym podejściem do doboru okna analizy charakteryzuje się transformata falkowa (ang.
Wavelet Transform) (Daubechies 1992, Kaiser 1994, Mallat 1998, Białasiewicz 2000). W STFT
funkcja okna miała stałą szerokość a zmienianą jedynie częstotliwość (rys. 2.6a). Jest to powodem
jednakowej rozdzielczości stosowanej dla wszystkich częstotliwości obecnych w sygnale (rys. 2.5a).
Transformata falkowa wykorzystuje okna o różnej długości i różnej częstotliwości (rys. 2.6b), stąd
charakteryzuje się zmienną rozdzielczością czasowo-częstotliwościową (rys. 2.5b).
Funkcja okna w transformacie falowej nazywana jest falką, z uwagi na jej oscylujący charakter
oraz zwarty nośnik (tzn. wszędzie poza skończonym odcinkiem jest równa zeru). WT analizuje różne
częstotliwości z różną rozdzielczością: wysokie częstotliwości lokalizuje z wysoką precyzją w czasie,
natomiast niskie częstotliwości bada z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości
(rys. 2.7f, g). Transformata falkowa zostanie przedstawiona szczegółowo w rozdziale 2.2.
1 Sygnał analityczny jest sygnałem zespolonym, którego część rzeczywistą stanowi sygnał rzeczywisty s(t),
natomiast jego część urojona powstaje w wyniku transformaty Hilberta sygnału s(t).
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
13
Pogoń za dopasowaniem MP
Algorytm Matching Pursuit, w języku polskim tłumaczony jako „pogoń za dopasowaniem” lub
„technika poszukiwania dopasowań”, oferuje inne podejście do dekompozycji sygnału niż wcześniej
przedstawione metody (Mallat i Zhang 1993).
Omawiając metodę MP często korzysta się z analogii do języka, jakim się posługujemy: jest
w nim wiele słów o zbliżonym znaczeniu (mówimy, że jest redundantny). Używając jedynie
podstawowych słów jesteśmy wprawdzie w stanie wyrazić niemal dowolnie skomplikowane idee, ale
zastępując niedostępne słowa całymi zdaniami będziemy tworzyć niezgrabne konstrukcje. Nasza
wypowiedź stanie się mało elegancka i niespójna. Używając słownika wzbogaconego o wyrażenia
fachowe czy słowa języka literackiego, wyrazimy się jasno i trafnie. Stosując rozszerzony słownik
będziemy musieli wybierać spośród wielu podobnych słów takie, które najlepiej wyrażają daną treść.
Korzystając dalej z tej analogii, zbiór znanych funkcji, za pomocą których analizujemy sygnał,
możemy nazwać słownikiem. Dekompozycje sygnałów w oparciu o słowniki z małą redundancją (lub
też względem baz, będących słownikami bez redundancji), charakteryzują się wygodą obliczeniową
i prostotą interpretacji. Wadą jest to, że poszczególne komponenty sygnału reprezentowane są przez
kilka, a często znacznie więcej, współczynników o niezerowych wartościach. Współczynniki
dekompozycji złożonego sygnału nie będą odzwierciedlać jego cech jasno i wyraźnie, ponieważ
informacja zostanie „rozmyta” w całej bazie. Pominięcie któregoś o niższych energiach może
a) b) c)
Rys. 2.6 Przykłady funkcji analizujących wykorzystywanych w krótkoczasowej transformacie Fouriera
STFT (a), transformacie falkowej (b) i pogoni za dopasowaniem (c).
W pierwszym przykładzie funkcje okna mają stałą obwiednię, zmieniana jest jedynie częstotliwość
modulacji. Falki to rozciągane i przesuwane wzdłuż sygnału wersje falki podstawowej. Elementy słownika
w metodzie pogoń za dopasowaniem charakteryzują się zmienną obwiednią i zmienną częstotliwością
modulacji (na podstawie Durka 1999-2004, zmienione)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
14
pozbawić sygnał istotnych składników. Taka reprezentacja jest podobna do tekstu napisanego za
pomocą ubogiego słownictwa.
Rozwiązaniem może być zastosowanie słowników nadmiarowych, zawierających dużą liczbę
elementów („słów” o podobnym znaczeniu), nazywanych słownikami z redundancją. Korzystanie
z takich słowników wiąże się z poszukiwaniem najlepiej dopasowanych elementów do analizowanego
sygnału według przyjętego kryterium. Praktyczne rozwiązanie tego problemu zaproponowali w 1993
roku Mallat i Zhang przedstawiając metodę Matching Pursuit.
Algorytm MP opiera się na dużym, redundantnym słowniku funkcji analizujących, z którego
iteracyjnie wybierane są funkcje (zwane atomami), najlepiej pasujące do składowych sygnału.
Przewagą atomów słownika nad funkcjami analizującymi z innych metod jest zmienna długość okna
oraz zmienna częstotliwość modulacji (rys. 2.6c). Dzięki temu MP pozwala na adaptacyjną, tzn.
dopasowującą się do lokalnych struktur, reprezentację sygnału. Dodatkową zaletą tej metody jest
wykres gęstości energii wolny od interferencji występujących w transformacie Wignera (rys. 2.7h).
Szczegóły dekompozycji MP przedstawiono w rozdziale 2.3.
2.1.7 Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów
niestacjonarnych
Podsumowując analizę czasowo-częstotliwościową można stwierdzić, że sprowadza się ona do dwóch
zagadnień. Pierwsze związane jest z odpowiednim dla danego problemu i sygnału wyborem
rozmieszczenia komórek (atomów) na płaszczyźnie czas –c zęstotliwość. Implikuje to określoną
rozdzielczość czasową i częstotliwościową danej metody analizy. W każdej metodzie obowiązuje
zasada nieoznaczoności: im z większą dokładnością będziemy lokalizować częstotliwości w czasie,
tym z mniejszą precyzją będziemy mieć tą częstotliwość określoną.
Drugim aspektem analizy czasowo-częstotliwościowej jest wybór funkcji analizujących. Im ich
kształt będzie lepiej odpowiadał naturze sygnału, tym mniej tych funkcji potrzeba do jego
aproksymacji.
Dodatkowo, stosowanie metod adaptacyjnych, tzn. dopasowujących się do lokalnych cech
sygnału, podnosi efektywność dekompozycji sygnału i zmniejsza ilość niezerowych współczynników
reprezentacji sygnału.
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
15
Sygnał LFM2
am
plit
ud
a
Sygnał sumaryczny LFM1 + LFM2
am
plit
ud
a
Sygnał LFM1
am
plit
ud
a
czas
Metoda pogoń za dopasowaniem
częs
totliw
ość
CWT
czę
sto
tliw
ość
DWT
czę
sto
tliw
ość
Transformata Wignera
częs
totliw
ość
Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT
czę
sto
tliw
ość
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Rys. 2.7 Reprezentacje gęstości energii sygnału niestacjonarnego uzyskanych
różnymi metodami czasowo–częstotliwościowymi.
Dwa elementy o liniowo modulowanej częstotliwości LFM1 (a) i LMF2 (b) (ang. Linear Frequency-
Modulated signal) tworzą sygnał testowy (c), dla którego policzono transformaty: krótkoczasową Fouriera
STFT (d), Wignera (e), falkową ciągłą CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) (f) i dyskretną DWT
(ang. Discrete Wavelet Transform) (g) oraz metodą pogoń za dopasowaniem (h). Oś częstotliwości
skierowana jest górze, długość sygnału wnosi 1000 punktów. Większe zaciemnienie oznacza wyższe
wartości współczynników uzyskanych w wyniku obliczaniu transformat
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
16
2.2 Transformata falkowa
Transformata falkowa WT jest obecnie jednym z najpopularniejszych i najbardziej dynamicznie
rozwijanych narzędzi analizy sygnałów niestacjonarnych. Dzięki zmiennej rozdzielczości czasowo-
częstotliwościowej znalazła bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, m.in.
w filtracji, dyskryminacji szumu oraz kompresji sygnału i obrazu. Opis metody od strony
matematycznej wraz z przykładami zastosowania można znaleźć w pracach: Daubechies (1992),
Kaiser (1994), Mallat (1998), Białasiewicz (2000), Augustyniak (2003). Doskonałym wprowadzeniem
do metody bez szczegółowego ujęcia matematycznego jest pozycja Polikar (1994).
Transformata falkowa, podobnie jak analizy częstotliwościowe, przedstawia sygnał jako sumę
funkcji bazowych: falek. Wyróżniającą cechą tego zbioru funkcji jest wzajemnie powiązanie,
realizowane przez proste operacje skalowania a i translacji b funkcji prototypowej, zwanej falką
podstawową (ang. mother wavelet).
Własności lokalizacyjne falek (lub ogólnie: funkcji bazowych) zależą od tego, na ile są one
„rozciągnięte” w czasie i częstotliwości. Funkcje szerokie w czasie mają zdolność wykrycia
długotrwałych cech sygnału, funkcje wąskie mogą identyfikować krótkotrwałe zachowanie się
sygnału. Stopień „rozciągnięcia” falki jest kontrolowany przez operację skalowania, polegającą na
rozciąganiu falki podstawowej, a tym samym zmianę jej pasma częstotliwości. W transformacie
falkowej przyjęto, że im wyższy numer skali tym szersza falka i niższe pasmo częstotliwości
(rys. 2.4b, rys. 2.8). Z uwagi na proces skalowania, transformata falkowa przedstawia sygnały
w reprezentacji czas – skala. Dzięki powiązaniu skali z częstotliwością możliwe jest lokalizowanie
w czasie występujących w sygnale częstotliwości.
Drugim parametrem falki jest translacja b. Oznacza ona przesuwanie falki wzdłuż sygnału
w domenie czasu, przy ustalonym poziomie skali.
Reprezentacja falkowa sygnału s(t) jest zatem funkcją dwóch zmiennych: stanowi kombinację
liniową skalowanej (parametr a) i przesuwalnej (parametr b) falki podstawowej ψab(t):
∫ ∫ ⋅=a b
ab dadbtabWts )(),()( ψ (2.9)
gdzie: W(b, a) są współczynnikami transformaty falkowej. Falka podstawowa jest określona dla skali
a = 1 i przesunięcia b = 0. Wzór (2.9) można interpretować dwojako. Po pierwsze jako sposób
przedstawienia sygnału w postaci superpozycji falek ψab(t), przy czym współczynniki tej superpozycji
są określone przez transformatę falkową sygnału s(t). Z drugiej strony wzór ten można traktować jako
przepis na rekonstrukcję sygnału s(t), gdy znana jest jego transformata falkowa.
Transformata falkowa jest również przykładem analizy wielorozdzielczej MRA (ang.
MultiResolution Analysis), tzn. analizuje różne częstotliwości sygnału z różną rozdzielczością (Polikar
1994, Augustyniak 2003). Dla wysokich częstotliwości WT charakteryzuje się wysoką rozdzielczością
w czasie, natomiast niską w domenie częstotliwości. Niskie częstotliwości sygnału są badane
z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości, lecz z niską w domenie czasu. Takie podejście
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
17
ma sens dla sygnałów, których komponenty wysokoczęstotliwościowe trwają przez krótki okres,
natomiast niskoczęstotliwościowe charakteryzują się długim czasem trwania. Szczęśliwie, większość
sygnałów, jakie spotyka się w praktyce, są sygnałami tego typu, tzn. składowe o względnie niskich
częstotliwościach przebiegają przez większą część sygnału, natomiast krótkotrwałe „incydenty” są
reprezentowane przez względnie wysokie częstotliwości.
Kryterium stawiane przed funkcją kandydującą do roli falki podstawowej określa tzw. warunek
dopuszczalności (ang. admissibility condition):
∞<=Ψ∫∞
Ψ0
2)(
Cdωω
ω (2.10)
gdzie: ( )ωΨ jest transformatą Fouriera funkcji ( )tψ Warunek dopuszczalności wymaga, aby przy
ω dążącym do nieskończoności ( ) 2ωΨ dążyło do zera szybciej niż 1/ω . Z tego warunku oraz przy
założeniu całkowalności z kwadratem wynika, że:
∫∞
∞−
= 0)( dttψ (2.11)
co jest równoważne z równością:
( ) 00 =Ψ (2.12)
Biorąc pod uwagę, że falka podstawowa jest dobrze skoncentrowana w czasie i w częstotliwości,
zarówno (2.11) jak i (2.12) oznaczają, że funkcja ( )tψ ma przynajmniej kilka oscylacji. Jest to więc
„krótka” fala i stąd pochodzi nazwa falka.
Pojęcie „falka” określa funkcję o skończonej energii i o zwartym nośniku, oscylującą
i charakteryzującą się ograniczonym pasmem częstotliwości (rys. 2.8). Te cechy pozwalają na
zbadanie częstotliwości sygnału przy jednoczesnym umiejscowieniu ich w czasie. Dzięki temu
możliwe jest analizowanie sygnałów niestacjonarnych i przejściowych, których odpowiedź
częstotliwościowa zmienia się w trakcie trwania sygnału.
2.2.1 Ciągła transformata falkowa
W ciągłej transformacie falkowej CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) zarówno skala a jak
i przesunięcie falki wzdłuż sygnału b zmieniane są w sposób ciągły. Rodzina falek tworzona jest
z falki podstawowej według następującej relacji:
−=
a
bt
atab ψψ
1)( (2.13)
Ciągła transformata falkowa sygnału s(t) zdefiniowana jest jako iloczyn skalarny sygnału i falki:
( ) dta
btts
adtttsabCWT abs
−⋅=⋅= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∗ *)(1
)()(, ψψψ (2.14)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
18
Czynnik a
1 zapewnia, że energia falki nie zmienia się ze zmianą skali (służy normalizacji energii)
i współczynniki CWT ciągłej transformaty falkowej mogą być wtedy rozpatrywane jako miara
korelacji falki z analizowanym sygnałem, przy ustalonym poziomie skali. Wysokie wartości
współczynników CWT świadczą o wysokim podobieństwie falki i sygnału pod względem kształtu.
Współczynnik skali a oprócz relacji z częstotliwościami badanymi przez daną falkę, mówi o poziomie
rozdzielczości analizy falkowej. Wysokie wartości skali (niskie częstotliwości falki) odpowiadają
globalnemu spojrzeniu na sygnał. Natomiast niskie wartości a, (wysokie częstotliwości) pozwalają na
podanie detalicznej informacji o sygnale, w szczególności na wykrycie krótkotrwałych,
wysokoczęstotliwościowych składowych. Schemat realizacji CWT przestawia rysunek 2.9.
-10 -5 0 5 10-1
-0,5
0
0,5
1
-10 -5 0 5 10-1
-0,5
0
0,5
1
0 10 20 300
10
20
30
40
0 10 20 300
10
20
30
40
czas
am
plit
uda
am
plit
uda
czas
częstotliwość częstotliwość
Falka Morleta
Widmo amplitudowe falki Morleta
skala = 1 skala = 2
skala = 1 skala = 2
a)
b)
|(t
)|Ψ|
(t)|
Ψ
Rys. 2.8 Przykład falek stosowanych w transformacie falkowej:
falka Morleta i jej przeskalowana wersja (a) wraz z ich widmami amplitudowymi (b).
Rozciągnięta falka (a = 2) charakteryzuje się niższą częstotliwością i węższym widmem amplitudowym,
dzięki czemu ma lepszą rozdzielczość w domenie częstotliwości. Węższa falka (a = 1) zapewnia lepszą
lokalizację badanych częstotliwości w czasie
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
19
2.2.2 Dyskretna transformata falkowa
Odwzorowanie ( ) ),( abCWTts → reprezentuje funkcję jednej zmiennej za pomocą dwóch zmiennych.
Dodatkowo obliczenie CWT dla każdej możliwej skali generuje ogromną liczbę danych. W efekcie
uzyskujemy nadmiar informacji, która może być korzystna w pewnych sytuacjach, np. przy
interpretacji subtelnych cech sygnału. Redundancja prowadzi do wzmocnienia takich cech, a tym
samym czyni je lepiej widocznymi. CWT ułatwia interpretację, ale odbywa się to koszem dużej ilości
danych.
Nie w każdym przypadku konieczne jest obliczanie współczynników CWT, aby uzyskać
wystarczająco dokładną reprezentację. Jeśli falka podstawowa spełnia warunek dopuszczalności
i sygnał ma skończoną energię, nie jest wymagana znajomość wszystkich wartości dekompozycji, aby
możliwa była dokładna rekonstrukcja sygnału. W takiej sytuacji dyskretna transformata jest
wystarczająca oraz zapewnia oszczędność czasu obliczeniowego i miejsca.
1. ( = 0)a, b
2. ( , + )a b db
3. ( + , + )a da b db
Sygnał
Falka
CWT = 0,0102
CWT = 0,2911
CWT = 0,3025
Sygnał
Falka
Sygnał
Falka
Rys. 2.9 Schemat realizacji ciągłej transformaty falkowej CWT.
Falka jest przesuwana wzdłuż sygnału z krokiem db przy ustalonym poziomie skali a. Następnie zmieniana
jest skala o da i przeskalowana falka ponownie jest przesuwana wzdłuż sygnału. Dla każdej skali a
i każdego położenia b obliczane są współczynniki CWT – wzór (2.14), będące miarą podobieństwa między
falką a sygnałem. Im kształt falki lepiej oddaje zmienność sygnału, tym większe wartości będą przyjmować
współczynniki CWT (na podstawie Misiti et al. 1997-2006)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
20
Dyskretną formę transformaty otrzymuje się w wyniku spróbkowania parametrów CWT, tzn.
czasu b i współczynnika skali a, otrzymując współczynniki szeregu falkowego. Po podstawieniu:
m
m
nb
a
−
−
=
=
2
2 (2.15)
uzyskuje się szereg falkowy, który nosi nazwę dyskretnej transformaty falkowej DWT (ang. Discrete
Wavelet Transform). Najczęściej stosowana jest zmiana skali z potęgą dwójki, tak jak we wzorze
(2.15). W takim przypadku mówimy o skalowaniu diadycznym. Wtedy funkcje bazowe dyskretnej
transformaty falkowej mają postać:
)2(2)( 2/ntt
mmmn −= −− ψψ (2.16)
a współczynniki DWTmn są obliczane ze wzoru:
∫∞
∞−
∗= dtttsDWT mnmn )()( ψ (2.17)
Cechą charakterystyczną dyskretnej transformaty falkowej jest stałość podstawowej komórki
czasowo-częstotliwościowej (atomu). Kiedy parametr skali m zwiększa się o 1, (czyli zmieniamy skalę
o oktawę), falki stają się dwa razy krótsze a ich widmo częstotliwościowe jest dwa razy szersze (rys.
2.4b, rys. 2.5b), czyli pole atomu pozostaje niezmienne. Ponadto, częstotliwość środkowa (ang. centre
frequency) falki fm zmieni się zgodnie z relacją:
mm ff 20 ⋅= (2.18)
gdzie f0 jest częstotliwością środkową falki podstawowej.
W praktycznej realizacji numerycznej diadycznej transformaty falkowej w ogóle nie
wykorzystuje się falek, tylko związane z nimi filtry. Zależność między falkami a filtrami jest
wzajemnie jednoznaczna. Wyjaśnia ją teoria wielorozdzielczej aproksymacji sygnału związana z
transformatą falkową opisana m.in. w pozycjach literaturowych: Kaiser (1994), Mallat (1998),
Białasiewicz (2000), Zieliński (2002), Augustyniak (2003). DWT realizowana jest za pomocą filtracji
cyfrowej rozwiniętej przez Mallata, wywodzącej się z algorytmu „two-channel subband coding”
(Kaiser 1994, Mallat 1998, Zieliński 2002, Augustyniak 2003). Algorytm dokonuje analizy
częstotliwościowej sygnału przez iterację dwukanałowego (dolno- i górnoprzepustowego) zespołu
kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF (ang. Quadrature Mirror Filters). Sygnał uzyskany w
wyniku filtracji dolnoprzepustowej w poprzednim kroku iteracji poddawany jest ponownej filtracji
dolno- i górnoprzepustowej (rys. 2.10). Po każdej filtracji sygnał poddawany jest operacji
zmniejszenia częstotliwości próbkowania (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co drugiej
próbki. Dzięki temu algorytm nie wprowadza zmian długości analizowanego sygnału, a jednocześnie
nie powoduje zniekształceń przenoszonej informacji (umożliwia pełną rekonstrukcję sygnału). W
wyniku każdej iteracji j, odpowiadającej jednemu poziomowi dekompozycji, tzn. jednej oktawie,
otrzymuje się składową wielkoczęstotliwościową zwaną detalem (Dj), nie poddawaną dalszej filtracji
oraz składową małoczęstotliwościową (Aj), zwaną aproksymacją analizowanego sygnału.
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
21
Aproksymacje, będące zgrubnym przybliżeniem sygnału, oraz detale, odpowiadające elementom
sygnału o wysokich częstotliwościach, pozwalają na rekonstrukcję sygnału s na dowolnym poziomie
dekompozycji:
∑+=j
jj DAs (2.19)
2.3 Pogoń za dopasowaniem
W przypadku skomplikowanych sygnałów, zawierających elementy przejściowe i charakteryzujące się
szerokim zakresem kształtów, reprezentacje liniowe względem jednej bazy (np. krótkoczasowa
transformata Fouriera czy transformata falkowa) mogą być niedostatecznie elastyczne, aby trafnie
wyrazić zmienność badanego sygnału. Analogią jest użycie ubogiego słownika do opisu
skomplikowanych idei. Pomocne mogą być słowniki, z których w oparciu o przyjęte kryterium
wybiera się te elementy, które najlepiej odpowiadają strukturze sygnału. Optymalną reprezentację
sygnału można uzyskać przez wybór takiego podzbioru elementów słownika, którego liniowa
kombinacja tłumaczy największy procent energii sygnału wśród wszystkich podzbiorów o tej samej
liczebności.
s
H (z)0
H (z)1
A1
D1
A2
D2
A3
D3
H (z)0
H (z)0
H (z)1
H (z)1
2
2
2
2
2
2f = 0 ~ π
f = π/2 ∼ π
f = 0 ∼ π/2
f = π/4 ∼ π/2
f = 0 ∼ π/4f = 0 ∼ π/8
f = π/8 ∼ π/4
Rys. 2.10 Schemat obliczania dyskretnej transformaty falkowej DWT.
Sygnał s poddawany jest iteracyjnej filtracji dolnoprzepustowej H0(z) i górnoprzepustowej H1(z), a następnie
operacji zmniejszania częstotliwości próbkowania sygnału (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co
drugiej próbki sygnału. Operację tą obrazuje symbol: ↓2. W wyniku dyskretnej transformaty falkowej
otrzymuje się aproksymacje sygnału A i detale D. Na rysunku zaznaczono również przedziały częstotliwości
f [rad/s] dla każdego poziomu dekompozycji, przy czym częstotliwość próbkowania sygnału
wynosi fs = 2π [rad] (na podstawie Polikar 1994)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
22
2.3.1 Algorytm pogoni za dopasowaniem
Sposób wyboru sub-optymalnej reprezentacji sygnału (tj. stabilnej ze względu na ilość wybranych do
reprezentacji funkcji) zaproponowali Mallat i Zhang (1993). Opracowany przez nich algorytm pogoni
za dopasowaniem MP (ang. Matching Pursuit), to iteracyjna, nieliniowa procedura rozkładająca
sygnał na liniową sumę znanych funkcji analizujących wybranych z bardzo dużego i redundantnego
słownika. Słownik G = {g1(t), g2(t), …, gn(t)} jest zbiorem funkcji nazywanych atomami czasowo-
częstotliwościowymi. Ogólną rodzinę atomów tworzy się z pojedynczej funkcji okna g(t) poprzez
operacje: skalowania a, translacji b, oraz, w przeciwieństwie do transformaty falkowej, modulacji
częstotliwościowej ξ:
tiI e
a
btg
atg
ξ
−=
1)( (2.20)
Czynnik a
1 służy normalizacji energii, takiej, że ||g|| = 1. Indeks I = (a, b, ξ) określa zestaw
parametrów danego atomu: skalę, translację (przesunięcie) i modulację częstotliwościową. Zwykle
g(t) jest funkcją parzystą, stąd )(tg I jest skoncentrowane wokół odciętej b. Zatem, energia atomu
)(tg I jest skupiona w otoczeniu przesunięcia b, którego rozmiar jest proporcjonalny do skali a.
Podobnie jest w domenie częstotliwości. Transformata Fouriera GI(ω) atomu gI(t) wynosi:
( )( ) ( )biI eaGaG
ξωξωω −−−=)( (2.21)
i jest scentrowana wokół częstotliwości ξω = . Energia atomu jest wtedy skupiona wokół
częstotliwości ξ o rozmiarze proporcjonalnym do 1/a. Efektywne użycie słownika G do reprezentacji
sygnału s(t) wymaga wybrania takiego podzbioru atomów NnnI tg ∈)}({ , gdzie: ( )nnnn baI ξ,,= , aby
funkcja s(t) mogła być przedstawiona w postaci:
)()( tgctsnI
n
n∑∞
−∞=
= (2.22)
W zależności od wybranych atomów )(tgnI współczynniki rozwinięcia cn reprezentują różne cechy
sygnału s(t). Atomy ze słownika wybiera się w sposób adaptacyjny, zależny od lokalnych własności
sygnału s(t).
Kolejne aproksymacje sygnału s dokonuje się za pomocą rzutów ortogonalnych na atomy
czasowo-częstotliwościowe słownika G. W pierwszym kroku dekompozycji MP ze słownika
( ){ }tgG I= wybierany jest atom 0Ig najlepiej dopasowany do sygnału s. Sygnał s możemy
przedstawić jako sumę rzutu ortogonalnego sygnału na 0Ig i pozostałej zawartości sygnału R
1s (tzw.
residuum pierwszego rzędu):
sRggss II1
00, += (2.23)
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
23
Najlepsze dopasowanie uzyskamy wybierając 0Ig tak, by iloczyn skalarny
0, Igs był jak
największy. Residuum zerowego rzędu tworzy sam sygnał: s = R0s. W kolejnej iteracji residuum
pierwszego rzędu R1s zajmuje miejsce sygnału s i proces poszukiwania elementu
1Ig jest powtarzany.
W kroku iteracji n dokonywana jest aproksymacja residuum rzędu n poprzez wybranie i dopasowanie
atomu nIg i wyznaczane jest residuum rzędu n+1 (R
n+1s):
sRggsRsRn
nInInn 1, ++= (2.24)
Atom dobierany ze słownika w każdym kroku iteracji spełnia warunek:
iI
n
iIgiI gsRg ,maxarg= (2.25)
tzn. wyszukiwany jest taki element słownika iIg , na który rzut ortogonalny jest maksymalny.
Po m-iteracjach algorytmu MP sygnał s można wyrazić jako sumę residuów:
( ) sRsRsRsm
m
n
nn +−= ∑−
=
+1
0
1 (2.26)
którą zgodnie z równaniem (2.24) można przestawić w postaci:
sRggsRsm
m
nnInI
n += ∑−
=
1
0
, (2.27)
Wynikiem algorytmu MP jest reprezentacja sygnału s będąca sumą składowych rozwinięcia względem
elementów słownika, wybranych z uwzględnieniem najlepszego dopasowania do jego residuów.
W miarę dekompozycji poszczególne wzorce są wyczerpywane z sygnału a residua zawierają coraz
mniej energii, tzn.:
0lim =∞→
sRm
m (2.28)
więc reprezentacja sygnału jest coraz bliższa sygnałowi oryginalnemu. Jeśli słownik jest kompletny,
procedura jest zbieżna do s:
∑∞
∞−
=nInI
nggsRs , (2.29)
W praktycznych zastosowaniach nie obliczamy nieskończonego rozwinięcia sygnału. Algorytm
zatrzymywany jest, gdy reprezentacja sygnału „wyjaśnia” zdefiniowaną ilość energii sygnału (np.
90%) bądź po ustalonej liczbie iteracji. Pozostałe residuum rzędu m nazywane jest błędem
aproksymacji.
2.3.2 Dobór elementów słownika
W zależności od zawartości sygnału i funkcji analizujących tworzących słownik, na pewnym etapie
dekompozycji poszukiwanie kolejnych wzorców skutkuje niewielkimi współczynnikami dopasowania,
a energia residuum kolejnego rzędu jest nieznacznie tylko mniejsza niż w poprzedniej iteracji.
Sytuacja taka zachodzi wtedy, gdy wszystkie komponenty sygnału zostały już „wyjaśnione”, ale
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
24
w sygnale pozostają jeszcze składowe niepodobne do żadnego elementu słownika. Niewłaściwy
wybór funkcji słownika może spowodować, że duża porcja sygnału będzie tworzyć błąd aproksymacji.
Wybór optymalnego zestawu funkcji analizujących tworzących reprezentację słownika jest
obliczeniowo NP-trudny (Durka 1999-2004). Oznacza to, że złożoność obliczeniowa rośnie szybciej
niż dowolny wielomian2.
Pozostaje intuicyjny dobór elementów słownika lub stosowanie słowników Gabora. Nazwę swą
zawdzięczają atomom Gabora, tj. funkcjom Gaussa modulowanych sinusem. Upada wprawdzie
podstawowa zaleta techniki poszukiwania dopasowań, jaką jest reprezentacja sygnałów
o skomplikowanych kształtach za pomocą niewielkiej liczby współczynników, ale słowniki Gabora
zapewniają optymalną rozdzielczość czasowo-częstotliwościową, tzn. minimalizują nieoznaczoność
wynikającą z zasady Heisenberga.
2.3.3 Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora
W większości zastosowań sygnał s jest funkcją rzeczywistą. Dodatkowo, jest to sygnał cyfrowy
(dyskretny). Analizę dyskretnych sygnałów o wartościach rzeczywistych, przeprowadza się w oparciu
o dyskretny słownik rzeczywistych atomów Gabora ( ) )(, ng φγ , gdzie n oznacza dyskretną oś czasu:
( ) ( ) ( )
+−= φπφγφγ n
N
kpngKng j 2cos)( ,, (2.30)
Czynnik ( )φγ ,K , będący amplitudą funkcji okna, jest tak dobrany, aby ( ) 1, =φγg . Indeks γ = (j, p, k)
jest dyskretnym odpowiednikiem indeksu ciągłego I = (a, b, ξ). Załóżmy, że analizowany sygnał
składa się z N = 2L próbek, gdzie L jest liczbą całkowitą. Wprowadzając diadyczne skalowanie, tj.
zmianę skali a z potęgą dwójki a = 2j mamy nowy parametr – oktawę j, 0 ≤ j ≤ log2N, która określa
szerokość atomu w czasie; Dla parametrów p i k, 0 ≤ p < N i 0 ≤ k < N, przyjmujemy ten sam okres
próbkowania 2j. Przy tak wybranej zmienności parametrów mamy bardzo ograniczony słownik, ale
w zamian zyskujemy prostotę obliczeniową. Parametr p jest położeniem środka obwiedni atomu; k –
częstotliwością modulacji atomu. Faza φ, φ ∈ [0, 2π), występująca tutaj explicite, jest zwykle
przedmiotem osobnej optymalizacji dla każdej dopasowywanej funkcji. Struktury sygnału są w pełni
opisane zestawem parametrów: amplituda (energia atomu), częstotliwość, położenie, oktawa oraz faza.
Ilustrację tych parametrów na przykładzie atomu Gabora przedstawia rysunek 2.11. Jak pokazali
Mallat i Zhang w swej pracy (Mallat i Zhang 1993) przedstawiona dyskretyzacja słownika przy
zastosowaniu atomów Gabora pozwala na efektywną implementację numeryczną algorytmu MP.
2 Klasycznym przykładem problemu NP-trudnego (ang. NP-hard) jest problem komiwojażera, polegający na
znalezieniu najkrótszej drogi łączącej określoną liczbę miast.
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
25
2.3.4 Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość
Metoda pogoń za dopasowaniem nie oferuje dekompozycji w pełni ortogonalnej. Ortogonalne są tylko
kolejne rzuty, dzięki czemu spełniona jest zasada zachowania energii. Ponieważ residuum Rn+1
s jest
ortogonalne do atomu nIg w każdym kroku zachodzi związek określający zachowanie energii:
2
21
0
2, sRgsRs
mm
nnI
n += ∑−
=
(2.31)
Zestaw parametrów określających cechy wybranych atomów zawiera pełną informację o rozwinięciu
sygnału. Wizualizacji elementów strukturalnych sygnału służy rozkład gęstości energii przedstawiony
na płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej. Taką „mapą” dla krótkoczasowej transformaty Fouriera
STFT jest spektrogram, dla transformaty falkowej – skalogram, a dla metody pogoń za dopasowaniem
– rozkład energii uzyskany za pomocą dystrybucji Wignera, zwany również mapą Wignera (rys. 2.7).
Z definicji transformaty Wignera (wzór (2.8)) oraz rozwinięcia sygnału s uzyskanego metodą
MP (wzór (2.29)) można skonstruować estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas –
częstotliwość. Transformata Wignera równania (2.29) daje:
( )
∑ ∑
∑
∞
=
∞
≠
∗
∞
=
+
+=
0
,
0
2
),(,,
),(,,
n nmmIg
nIgmIm
nIn
nIg
nnI
ns
ftWgsRgsR
ftWgsRftW
(2.32)
Podwójna suma zawiera wyrazy mieszane, będące pasożytniczymi interferencjami w klasycznej
dystrybucji Wignera i pochodnych. W celu uzyskania jasnego obrazu rozkładu energii sygnału s(t)
w płaszczyźnie czas – częstotliwość usuwamy z równania (2.32) wyrazy mieszane, zachowując tylko
pierwszą sumę. W ten sposób definiujemy wielkość ( )ftEs , , która jest gęstością energii sygnału s(t)
w płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej:
zmodyfikowana amplituda
zmodyfikowana częstotliwość zmodyfikowane położenie (czas)
zmodyfikowana oktawa zmodyfikowana faza
atom Gabora
Rys. 2.11 Parametry atomów Gabora
2. Metody czasowo - częstotliwościowe
26
∑∞
=
=0
2
),(,),(n
nIgnI
ns ftWgsRftE (2.33)
Definicja ta ma następujące uzasadnienie. Dystrybucja pojedynczego atomu gI spełnia warunek:
( ) 1,2
==∫ ∫∞
∞−
∞
∞−IIg gdfdtftW (2.34)
co w połączeniu z zachowaniem energii rozwinięcia sygnału s(t) metodą MP (równanie (2.31)) daje:
( ) 1,2
==∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
sdfdtftEs (2.35)
Oznacza to, że wielkość ( )ftEs , można interpretować jako gęstość energii sygnału s(t) na
płaszczyźnie czas – częstotliwość.
3. Akustyczne obrazy falowe
27
Rozdział 3
Akustyczne obrazy falowe
3.1 Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem
falowym
3.1.1 Podstawy profilowania akustycznego
Profilowanie akustyczne (ang. Sonic Log, Acoustic Log) oraz profilowanie akustyczne z pełnym
obrazem falowym (ang. Fullwave Sonic Log, Full Waveform Acoustic Log, Full Wavetrain Acoustic
Log) są metodami, które wykorzystują fale akustyczne generowane w otworach niezarurowanych
(Minear i Fletcher 1983, Paillet et al. 1992, Jarzyna et al. 1999, Hearst et al. 2000, Serra i Serra 2004).
Wynikiem pomiaru przy standardowym profilowaniu akustycznym jest czas interwałowy fali
podłużnej w funkcji głębokości, będący odwrotnością prędkości. W przypadku profilowania
akustycznego z pełnym obrazem falowym określa się również czasy interwałowe fali poprzecznej
i fali Stoneleya.
W obu wymienionych typach profilowania akustycznego w nadajnikach sond stosowane jest
źródło monopolowe. Zachowuje się ono jak źródło punktowe, które emituje sygnał promieniście we
wszystkich kierunkach. Fale akustyczne generowane są przez magnetostrykcyjny lub piezoelektryczny
nadajnik umieszczony w sondzie. Zmiana pola magnetycznego lub elektrycznego wywołuje drgania
w kryształach niektórych minerałów lub materiałów ceramicznych. Drgania te oddziałują na ośrodek
skalny poprzez płuczkę, w której rozchodzą się jako koncentryczne fale podłużne w postaci lokalnych
zmian ciśnienia. Przy wzbudzeniu źródłem monopolowym można rejestrować również fale
poprzeczne, jako tzw. fale przemienne. Propagują one przez płuczkę jako fale P i na ścianie otworu
generują drgania cząstek ośrodka charakterystyczne zarówno dla dla fali podłużnej, jak i poprzecznej.
Jest to możliwe, gdy prędkość fali poprzecznej w ośrodku skalnym VS jest większa od prędkości fali
podłużnej w płuczce Vpł. Ośrodki te określane są w literaturze angielskiej jako szybkie, bądź twarde
3. Akustyczne obrazy falowe
28
(ang. fast formation, hard formation). W takich utworach powstają również fale pseudo-Rayleigha.
We wszystkich typach utworów tworzą się natomiast fale typu leaky modes oraz fale Stoneleya.
Przykładowy obraz falowy przedstawia rysunek 3.1. Szczegółowy opis dotyczący powstawania,
rozchodzenia i charakterystyki fal akustycznych przedstawiony zostanie w rozdziale 3.2.
Odbiorniki sond akustycznych są zbudowane z piezoelektrycznych kryształów (kwarc, turmalin) lub
materiałów ceramicznych (tytanian baru BaTiO2, ceramika PZT, tj. układ związków tytanianu ołowiu
i cyrkonianu ołowiu), które przekształcają zmiany ciśnienia płuczki na sygnały elektryczne. Sygnały
są wzmacniane, a następnie przesyłane do aparatury. Impulsy emitowane przez nadajniki mają
częstotliwości między 5 a 40 kHz. Wysyłane są w równych odstępach czasu, co kilkadziesiąt
milisekund. Czas trwania impulsu jest krótki, rzędu kilkudziesięciu mikrosekund.
W przypadku profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym sygnał przychodzący do
odbiornika jest zapisywany w wybranym interwale czasowym, np. 4000 µs. Dokładne wartości tych
parametrów (tj. częstotliwość sygnału, częstotliwość wysyłania sygnału, czas trwania impulsu, czas
rejestracji sygnału) są różne dla różnych sond akustycznych.
Sondy do profilowania akustycznego zwykle są centralizowane, ale używa się jedynie
gumowych centralizatorów, które nie zawsze są w stanie utrzymać sondę w osi otworu.
Obecnie standardowe profilowanie akustyczne przeprowadzane jest za pomocą sondy
kompensacyjnej, w której istnieją przynajmniej dwa układy składające się z jednego nadajnika (N)
i dwóch odbiorników: bliższego (O1) i dalszego (O2). Ich rozmieszczenie przedstawia rysunek 3.2.
Rejestrowany jest jedynie czas pierwszego wstąpienia fali P do odbiorników, odpowiednio T1 i T2.
P S
faleleaky modes
fala Stoneleya
fala pseudo - Rayleigha
am
plit
uda
czas
fala w płuczcefale odbite
i wielokrotnie odbite
Rys. 3.1 Akustyczny obraz falowy (na podstawie Minear i Fletcher 1983, zmienione)
3. Akustyczne obrazy falowe
29
Z różnicy czasów prostych, oblicza się czas interwałowy DT (ang. transit interval time, slowness) ze
wzoru:
Vl
TTDT
112=
∆
−= (3.1)
gdzie: ∆l jest bazą sondy i oznacza odległość między odbiornikami, V jest prędkością fali. Tak
obliczony czas interwałowy odpowiada prędkości fali w ośrodku skalnym na odcinku między
odbiornikami, natomiast nie zależy od przejścia fali przez płuczkę, gdy średnica otworu naprzeciw
elementów sondy jest stała.
Podczas profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym rejestrowane są wszystkie fale
przychodzące do odbiorników w zadanym przedziale czasowym. Falami użytecznymi, dla których
określa się czas interwałowy (prędkość) są: fala podłużna (P), fala poprzeczna (S) i fala Stoneleya.
Profilowania z pełnym obrazem falowym wykonuje się sondami umożliwiającymi obliczenie czasu
interwałowego dla więcej niż jednego rozstawu nadajnik-odbiornik. Zapis czterech par obrazów
falowych, tzn. czterech kombinacji N – O1 – O2 lub N1 – N2 – O, umożliwiają sondy wyposażone
w jeden nadajnik i cztery odbiorniki lub dwa nadajniki i dwa odbiorniki. Przykładem tego typu sond
będących na wyposażeniu polskich spółek geofizycznych są urządzenia: LSS (ang. Long Spaced
N
O1
O2
czas
czas
T1
czas
T2
Tpł
Tpł
Tpł
TNO1
TO1O2
∆l
= DT=T2 - T1 1
l V∆
am
plit
ud
a
Ba
dan
afo
rmacja
T1 T T T= + +pł NO1 pł
T2 T T + T T= + ( ) +pł NO1 O1O2 pł
∆l V
T2 - T1 T = = O1O2 =>
Punktzapisusondy
Rys. 3.2 Zasada obliczania czasu interwałowego DT w standardowych profilowaniach akustycznych
3. Akustyczne obrazy falowe
30
Sonic), przedstawione na rysunku 3.3 (Gądek et al. 1997) oraz FWS (ang. Full Wave Sonic) (Baudzis
2002). Schemat obliczania czasu interwałowego, nieco inny niż w przypadku standardowych
profilowań akustycznych, przedstawiony jest na rysunku 3.4 i omówiony w podrozdziale 3.1.3.
3.1.2 Budowa sondy LSS
Sonda LSS firmy Halliburton Energy Services jest narzędziem służącym do rejestracji akustycznych
obrazów falowych w otworach niezarurowanych. Została skonstruowana w celu dokładnego
określenia rzeczywistego czasu interwałowego fali podłużnej rozchodzącej się w niezmienionym
ośrodku skalnym.
Sonda LSS składa się z trzech podstawowych zespołów: górnego zespołu elektroniki, izolatora
i dolnego zespołu elektroniki (rys. 3.3).
Górny zespół elektroniki zawiera układy służące do sterowania czasem w sondzie oraz do
generowania i przesyłania na powierzchnię sygnałów złożonych z pomiarów akustycznych oraz
profilowania gamma i średnicy3.
Zespół izolatora (środkowa część sondy) zbudowany jest ze stalowej rury osłonowej, w której
wycięto otwory służące wytłumieniu i opóźnieniu fal biegnących od nadajników do odbiorników,
bezpośrednio po obudowie. Wewnątrz rury osłonowej znajdują się dwa magnetostrykcyjne nadajniki
i dwa piezoelektryczne odbiorniki. Rdzeń każdego nadajnika i odbiornika umieszczony jest
w specjalnej osłonie olejowej z kompensacją ciśnienia, która zapewnia dobre sprzężenie akustyczne
z płuczką wypełniającą otwór. Nadajniki są tak zaprojektowane, aby energia wysyłanej fali
akustycznej była największa pod kątem padania fali na ściankę otworu, około 30°.
Podobnie, kształt odbiorników został tak zaprojektowany, aby zapewnić jak najlepszy odbiór
sygnałów akustycznych padających na nie pod kątem około 30°.
Dolny zespół elektroniki odpowiada za ładowanie i wyzwalanie nadajników sondy.
Nadajniki sondy LSS emitują co 66 ms wąskopasmowe sygnały akustyczne o częstotliwości
środkowej 20 kHz. Rejestrowany przez odbiorniki sygnał jest próbkowany co 4 µs. Długość
zapisywanego sygnału wynosi 1100 próbek. Po przejściu przez odbiorniki sygnały są wstępnie
wzmacniane, a następnie przepuszczane przez filtr górnoprzepustowy 5 kHz i przesyłane dalej na
wzmacniacz liniowy regulowany przez operatora (Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992).
Dokumentacja techniczna sondy nie podaje szerokości pasma emitowanego sygnału ani
charakterystyk częstotliwościowych odbiorników.
3 Pomiary sondą LSS wykonuje się w zestawie z innymi sondami. Możliwe są konfiguracje: LSS/DIL/MSFL/GR
oraz LSS/XYCAL/GR. W chwili obecnej pomiary sondą LSS wykonuje się tylko w zestawie z korelacyjną
sondą gamma (Gądek et al. 1997).
3. Akustyczne obrazy falowe
31
Dolny zespół elektroniki
Kompensator ciśnieniaw nadajnikach
Nadajnik N2
Nadajnik N1
wf4
wf1, wf2
wf3
Położenie punktów zapisuobrazów falowych
Izolator akustyczny
Odbiornik O1
Odbiornik O2
Kompensator ciśnieniaw odbiornikach
Górny zespół elektroniki
Punkt zapisu sondy,DT8, DT10
2 s
top
y8
stó
p2
sto
py
102 mm
Rys. 3.3 Schemat sondy Long Spaced Sonic firmy Halliburton Energy Services
(na podstawie Gądek et al. 1997)
3. Akustyczne obrazy falowe
32
Cechą charakterystyczną sondy LSS jest zwiększony rozstaw między nadajnikami i odbiornikami
w stosunku do tradycyjnych sond akustycznych. Odległość między nadajnikiem i odbiornikiem
wpływa na zasięg radialny sond wyposażonych w źródła monopolowe. W standardowych sondach
typu BHC stosowane rozstawy 3 i 5 stóp (0,915 m i 1,524 m) zapewniają bardzo płytką głębokość
penetracji, rzędu kilku cm. Stąd pomiary tymi sondami niosą najczęściej informację tylko ze strefy
najbliższej otworu, zmienionej procesem wiercenia (Baker 1984). Sonda LSS pracuje na rozstawach:
8, 10 i 12 stóp (2,438 m, 3,048 m i 3,658 m). Według dokumentacji technicznej maksymalny zasięg
radialny penetracji ośrodka sondą LSS wynosi 27 cali (0,686 m).
Wydłużone rozstawy uzyskano dzięki odpowiedniemu ułożeniu nadajników i odbiorników
w sondzie. W dolnej części izolatora umieszczono dwa nadajniki N1 i N2, odległe od siebie o 2 stopy
(0,6096 m). W odległości 10 i 12 stóp (3,048 m i 3,658 m) od dolnego nadajnika N2 znajdują się
odpowiednio odbiorniki: O1 i O2 (rys. 3.3). Dłuższe rozstawy sondy LSS zwiększają jej zasięg
radialny, dzięki czemu sonda może sięgać poza strefę filtracji. Wpływa to na jakość uzyskiwanej
informacji, gdyż pochodzi ona z większego i mniej zmienionego obszaru wokół otworu. Powyższa
konfiguracja nadajników i odbiorników umożliwia rejestrację czterech obrazów falowych: wf1, wf2,
wf3 i wf4. Schemat budowy sondy wraz z zaznaczonymi rozstawami i rejestrowanymi obrazami
falowymi przedstawiono na rysunku 3.3. Szczegóły dotyczące budowy sondy oraz parametrów
technicznych zebrano w tabeli 3.1.
Inną przyczyną stosowania długich rozstawów w sondach akustycznych, również w sondzie
LSS, jest rozdzielenie wstąpienia fali S od fali P (Snyder i Fleming 1985). Dłuższa droga oznacza
dłuższy czas przebiegu fal czołowych (fali P i S). Przy jednoczesnej różnicy w prędkościach tych fal
(VS < VP), pierwsze wstąpienie fali S jest wyraźniej oddzielone na obrazie falowym od fali P niż
w standardowych urządzeniach.
3.1.3 Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS
Pomiary sondą LSS, podobnie jak większość profilowań geofizyki otworowej, wykonywane są od
spodu otworu ku górze. Interwał (krok) pomiarowy wynosi 0,5 stopy (0,1524 m).
W punktach pomiarowych sonda LSS rejestruje cztery obrazy falowe w1÷wf4, każdy
pochodzący od innej konfiguracji nadajnik – odbiornik (tab. 3.2, rys 3.3) oraz automatycznie wylicza
czasy interwałowe fali podłużnej: DT8 i DT10. Dla danego położenia sondy obrazy falowe odnoszone
są do środka odległości między odpowiednim nadajnikiem i odbiornikiem, natomiast czasy
interwałowe odnoszone są do punktu zapisu sondy, który jest zlokalizowany w połowie odległości
miedzy nadajnikami (rys. 3.3).
Ponieważ punkty zapisu obrazów falowych wf1÷wf4 są różne od punktu zapisu sondy, czasy
interwałowe DT8 i DT10 obliczane są w oparciu o obrazy falowe wybrane z dwóch położeń
głębokościowych sondy. Przesunięcie to wynosi 9,5 stopy i jest uwarunkowane konstrukcją sondy,
kątem padania sygnału na ściankę otworu oraz występowaniem strefy zmienionej wokół odwiertu.
3. Akustyczne obrazy falowe
33
DT8 jest czasem interwałowym wyznaczanym dla rozstawów 8 i 10 stóp na podstawie czasów
prostych odczytanych z zapisów wf1, wf3 i wf4. Do obliczenia czasu interwałowego DT10,
określanego dla rozstawów 10 i 12 stóp, wykorzystuje się czasy proste odczytane z obrazów falowych
wf2, wf3 i wf4. Schemat obliczania DT8 i DT10 przedstawia rysunek 3.4.
Tabela 3.1
Parametry techniczne sondy LSS
(na podstawie: Gądek et al. 1997, Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992)
Wymiary sondy:
Długość sondy
Średnica sondy
7,24 m (23,75 stopy)
0,102 m (4 cale)
Parametry techniczne sondy
Typ źródła Dwa nadajniki magnetostrykcyjne,
źródło monopolowe
Częstotliwość środkowa źródła 20 kHz
Typ odbiorników Dwa odbiorniki piezoelektryczne
Częstotliwość wysyłania sygnału co 66 ms
Krok próbkowania sygnału 4 µs
Czas rejestracji sygnału 4400 µs (1100 próbek)
Zakres pomiarowy czasu interwałowego 131-689 µs/m (40-200 µs/ft)
Dokładność pomiaru czasu interwałowego ± 3,28 µs/m (± 1 µs/ft)
Zasięg penetracji ośrodka 27 cali
Odległości między elementami sondy
N1 – N2
O1 – O2
N1 – O1 (sygnał wf1)
N2 – O2 (sygnał wf2)
N1 – O2 (sygnał wf3)
N2 – O1 (sygnał wf4)
0,6098 m (2 stopy)
0,6098 m (2 stopy)
2,438 m (8 stóp)
3,658 m (12 stóp)
3,048 m (10 stóp)
3,048 m (10 stóp)
Tabela 3.2
Wykaz obrazów falowych rejestrowanych sondą LSS
z odpowiadającymi im parami nadajnik – odbiornik oraz długością rozstawu
Obraz falowy Konfiguracja:
nadajnik – odbiornik Długość rozstawu
wf1 N1O1 8 stóp (2,44 m)
wf2 N2O2 12 stóp (3,66 m)
wf3 N1O2 10 stóp (3,05 m)
wf4 N2O1 10 stóp (3,05 m)
3. Akustyczne obrazy falowe
34
Zapisy rejestrowane przez sondę LSS są grupowane w cztery pary obrazów falowych: wf1-wf3, wf1-
wf4, wf4-wf2 i wf3-wf2. Dwie pierwsze pary mają krótszy rozstaw (odległość do bliższego
odbiornika wynosi 8 stóp), dwie pozostałe – dłuższy (10 stóp). Pary obrazów falowych służą do
obliczenia czasów interwałowych fali P (DTP), S (DTS) i Stoneleya (DTSt). DTP obliczone na
podstawie pary pierwszej i drugiej są odpowiednikami „aparaturowego” czasu interwałowego DT8,
analogicznie, DTP obliczone na podstawie pary trzeciej i czwartej są odpowiednikami DT10.
Pary: wf1-wf3 i wf1-wf4 oraz wf4-wf2 i wf3-wf2, choć mają takie same rozstawy, są utworzone
przez inną konfigurację nadajników i odbiorników (tab. 3.3). Para wf1-wf3 charakteryzuje się tym, że
obrazy falowe pochodzą od tego samego nadajnika N1 i są rejestrowane przez odbiorniki O1 i O2.
W przypadku pary wf1-wf4 obrazy falowe pochodzą od różnych nadajników, ale rejestrowane są
przez ten sam odbiornik O1. Podobnie jest z parami o dłuższym rozstawie. Para wf4-wf2 ma wspólny
nadajnik N2, natomiast para wf3-wf2 – wspólny odbiornik O2.
Otrzymywane z akustycznych obrazów falowych czasy interwałowe: DT8, DT10
i odpowiadające im DTP obliczane z czterech par obrazów falowych, mogą się różnić między sobą.
Przyczyną są następujące czynniki:
− Sygnały analogowe, rejestrowane przez odbiorniki, w celu przesłania ich na powierzchnię Ziemi
składane są w tzw. zespolone sygnały analogowe. Zespolony sygnał składa się z 8 podobnych
sekwencji (Gądek et. al. 1997). Cztery pierwsze sekwencje zawierają sygnały akustyczne
zarejestrowane w skali logarytmicznej, cztery kolejne zarejestrowane są w skali liniowej. Na
podstawie zapisów w skali logarytmicznej obliczane są czasy DT8 i DT10, natomiast z zapisów
liniowych po zdekodowaniu wzmocnienia otrzymuje się scyfrowane przebiegi falowe,
wykorzystywane do obliczenia m.in. czasu interwałowego DTP. Może być to przyczyną różnic
między czasem interwałowym „aparaturowym” a otrzymanym w wyniku interpretacji par
obrazów falowych.
− Zarejestrowane obrazy falowe są zdominowane przez charakterystyki odbiorników, co objawia
się obserwowanym podobieństwem cech kinematycznych i charakterystyk widmowych obrazów
falowych zarejestrowanych tym samym odbiornikiem oraz zróżnicowaniem obrazów
pochodzących od wspólnego nadajnika (Bała et al. 1997). Jest to przyczyną różnic między
czasami interwałowymi DTP obliczonymi dla obu par mających ten sam rozstaw (np. DTP
z pary wf1-wf3 i pary wf1-wf4).
− Głęboko sięgająca strefa zmieniona wokół otworu jest przyczyną różnic między czasami
interwałowymi obliczonymi dla rozstawów 8 i 10 stóp (np. między DT8 i DT10 oraz różnic
między DTP obliczonym dla obu rozstawów). Jest to spowodowane większą głębokością
penetracji ośrodka osiąganą przez dłuższe rozstawy (Serra i Serra 2004).
3. Akustyczne obrazy falowe
35
O1
O2
N2
N1
O1
O2
N2
N1 Punktzapisusondy
O1
O2
N2
N1
O1
O2
N2
N1
Położenie sondy:A
Położenie sondy:B
Położenie sondy:A
Położenie sondy:B
DT8 = ( - ) + ( - )T3 T1 T4 T1
B B A A
4DT10 =
( - ) + ( - )T2 T4 T2 T3B B A A
4
Bad
an
afo
rma
cja
a) b)
Rys. 3.4 Schemat obliczania czasów interwałowych DT8 (a) i DT10 (b) dla sondy LSS
(na podstawie: Gądek et al. 1997)
3. Akustyczne obrazy falowe
36
3.2 Fale akustyczne generowane w otworach
wiertniczych
Geometria otworu wiertniczego wpływa na powstawanie i rozchodzenie fal akustycznych. Otwór jest
modelowany jako cylinder wypełniony cieczą, umieszczony w jednorodnym i izotropowym ciele
sprężystym, z sondą w tym cylindrze (otworze) (White i Zechman 1968) albo bez niej (Rosenbaum
1974, Tsang i Rader 1979) lub jako warstwa cieczy umieszczona pomiędzy dwoma sprężystymi
jednorodnymi i izotropowymi półprzestrzeniami (Paillet i White 1982, Hearst et al. 2000). Warunki
graniczne określane dla fal sprężystych w otworze są podobne do tych, jakie stawiane są w sejsmice:
składowe radialne wektora (tensora) naprężenia i odkształcenia muszą być ciągłe na ściance otworu,
czyli powierzchni oddzielającej ośrodki o zróżnicowanych własnościach sprężystych. W praktyce
oznacza to, że naprężenia ścinające zanikają, ponieważ ciecze nie przenoszą tego typu naprężeń4.
Powstały liczne prace teoretyczne, zapoczątkowane przez Biota (Biot 1952, Biot 1956a, Biot 1956b),
w których udowodniono, że rozchodzenie się fali w otworze, pomimo podobieństwa warunków
granicznych, jest zasadniczo różne od rozchodzenia się fali sejsmicznej w pobliżu granicy rozdziału
ośrodków o różnych własnościach sprężystych (Tsang i Rader 1979, Cheng i Toksöz 1981, Paillet
i White 1982, Kurkijan 1985, Paillet i Cheng 1986).
Otwór wiertniczy zachowuje się jak falowód, będący rezonatorem dla wybranych częstotliwości
(Paillet et al. 1992), które są zdeterminowane: średnicą otworu, kątem padania fali na ściankę otworu,
długością i prędkością fali w płuczce:
4 Konsekwencją tego jest zerowy moduł ścinania µ w cieczach, co oznacza, że fale poprzeczne S nie rozchodzą
się w tego typu ośrodkach.
Tabela 3.3
Charakterystyka par obrazów falowych
Para obrazów falowych
Rozstaw pary* Konfiguracja nadajników
i odbiorników
wf1-wf3 8 stóp (2,44 m) wspólny N1
wf1-wf4 8 stóp (2,44 m) wspólny O1
wf4-wf2 10 stóp (3,05 m) wspólny N2
wf3-wf2 10 stóp (3,05 m) wspólny O2
*) odległość od nadajnika do bliższego odbiornika
3. Akustyczne obrazy falowe
37
plVm
a ωλθ
λ==
⋅;cos (3.2)
gdzie:
a – połowa szerokości falowodu,
ω – częstotliwość,
λ – długość fali,
θ − kąt padania fali na granicę rozdziału,
Vpł – prędkość fali w płuczce,
m – dowolna liczba naturalna, określająca wzbudzany mod.
W odległości kilkunastu długości fal od nadajnika wzdłuż osi otworu (w tzw. polu dalekim) mierzony
sygnał jest już całkowicie zdominowany przez preferencyjnie powstałe mody falowe. Fizyczne
własności akustycznych obrazów falowych można rozpatrywać jako superpozycję modów
wzbudzonych przez nadajnik emitujący sygnał źródłowy o określonym widmie częstotliwościowym
w otworze o danej średnicy, dla płuczki i skały o określonych prędkościach fal akustycznych (Paillet
1981, Paillet i White 1982, Paillet 1983, Paillet et al. 1992). Własności modów falowych różnią się od
własności sygnału emitowanego przez nadajnik, będącego źródłem wszystkich fal wygenerowanych
w otworze. Stąd wniosek, że na charakter rejestrowanych obrazów falowych oprócz własności sygnału
źródłowego ogromny wpływ mają również cechy otworu i skał otaczających otwór. Numeryczne
modelowania przebiegów falowych pozwoliły na zbadanie wpływu różnych czynników na powstające
w otworze mody falowe. Paillet (1981) wykazał, że obecność sondy w otworze jest przyczyną
powstawania rezonansów w płuczce. Natomiast Cheng i Toksöz (1981) udowodnili, że obecność
sondy w otworze daje odpowiedź równoważną do takiej, jaką otrzyma się modelując otwór bez sondy,
ale o mniejszej średnicy. Stąd do obliczania teoretycznych przebiegów falowych
(mikrosejsmogramów) istotnym parametrem jest tzw. średnica efektywna, która jest różnicą średnicy
otworu i sondy.
Proste zjawisko wzbudzania częstotliwości rezonansowych w otworze jest przyczyną
skomplikowanego charakteru akustycznych obrazów falowych. Poznanie tego mechanizmu jest
pomocne w interpretacji rejestrowanych przebiegów falowych. W świetle teorii powstawania
i rozchodzenia modów falowych w otworze przedstawiono poniżej krótki opis cech fal obecnych na
obrazach falowych, istotnych z punktu widzenia analizy czasowo-częstotliwościowej. Zwrócono
uwagę przede wszystkim na dwa aspekty:
1) Prędkość rozchodzenia się fali, która decyduje o czasie przyjścia fali do odbiornika, a tym
samym o miejscu (czasie) pojawienia się danej fali na obrazie falowym.
2) Charakterystykę częstotliwościową.
Fale objętościowe (ang. body waves)
Jako pierwsza na obrazie falowym pojawia się fala podłużna P (ang. compressional, longitudinal,
dilatational, pressure, primary wave). Jest najszybszą falą sprężystą. Prędkość fali P (VP) jest
3. Akustyczne obrazy falowe
38
określona przez moduły sprężystości oraz gęstość skały i medium porowego. Następna, zwykle
o większych amplitudach, rejestrowana jest fala poprzeczna S (ang. shear, transverse, rotational,
distortional, secondary wave). Jest to fala przemienna i powstaje z fali podłużnej biegnącej w płucze,
kiedy ta ulega załamaniu na ściance otworu. Warunkiem zarejestrowania fali S na sejsmogramie jest,
by prędkość VS w ośrodku skalnym była większa niż fali w płuczce Vpł. Prędkość fali S zależy od
własności sprężystych i gęstości skały i jest zawsze mniejsza od prędkości fali P. W skałach twardych,
zbitych fala P jest 1,6-1,9 razy szybsza od fali S, w osadach nieskonsolidowanych może być nawet 4-5
razy szybsza. Stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej5 zależy tylko od współczynnika
Poissona ν:
12
222
−
−=
νν
S
P
V
V (3.3)
Powstanie fal P i S związane jest z krytycznym kątem padania fali na granicę dwóch ośrodków:
płuczki w otworze i skały. Sygnał akustyczny wyemitowany przez źródło punktowe rozchodzi się
promieniście w płuczce jako fala podłużna. Część energii, która pada na ściankę otworu pod kątem
krytycznym, ulega załamaniu pod kątem 90 stopni: nie wnika do ośrodka, lecz „ślizga” się po granicy
rozdziału z prędkościami fal sprężystych w ośrodku skalnym, odpowiednio VP i VS. Fale takie
nazywają się falami czołowymi (ang. head waves) i są one rejestrowane jako fale P i S na
5 VP/VS jest istotnym parametrem w geofizyce poszukiwawczej, gdyż jest dobrym wskaźnikiem nasycenia
gazem.
O2
O1
NiP iS
S
S’
P
P’
P
S
Fale prowadzone
Rys. 3.5 Przebieg promieni w otworze wiertniczym fal: P, S i prowadzonych
(na podstawie Minear i Fletcher 1983).
iP, iS – kąty krytyczne, dla których tworzą się fale czołowe P i S,
PP’ i SS’ – odcinki ośrodka skalnego, dla których określane są odpowiednio prędkości fal P i S
3. Akustyczne obrazy falowe
39
akustycznych obrazach falowych. Kąt krytyczny dla fali P jest inny niż dla fali S, stąd fale te
przebiegają przez różne odcinki ośrodka skalnego (rys. 3.5). Pozostała część energii wyemitowana
przez nadajnik, niesiona przez fale, dla promieni których kąty padania są mniejsze od kąta
krytycznego, wnika do ośrodka (ulega załamaniu) i jest tracona. Dla kątów padania większych od kąta
krytycznego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Energia tych fal uczestniczy w tworzeniu fal
prowadzonych (rys. 3.5).
Częstotliwości fal P i S związane są z częstotliwościami odcięcia stowarzyszonych z nimi fal
prowadzonych, odpowiednio z falami typu leaky modes i pseudo-Rayleigha (Paillet 1981, Paillet
i White 1982). Teoretyczne widmo częstotliwościowe otrzymane dla fal czołowych wykazuje szereg
pików związanych na przemian z falami P i S (rys. 3.6). Piki na widmie amplitudowym występują tuż
poniżej częstotliwości odcięcia modów fal prowadzonych rzędu m = 1, 2, …, i są skoncentrowane
w wąskim przedziale częstotliwości. Ilość modów fal prowadzonych wygenerowanych w otworze,
a tym samym ilość pików odpowiadających falom czołowym na widmie, zależy od charakterystyki
częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik. Stąd widmo częstotliwościowe fal
czołowych zależy również od widma częstotliwościowego sygnału źródłowego. Stowarzyszenie fal
czołowych z częstotliwościami związanych z nimi odpowiednich fal prowadzonych wyjaśnia
0 10 20 30
częstotliwość [kHz]
1,0
10
wid
mo
am
plit
udo
we
częstotliwościodcięciamodów falprowadzonych
P1
S1
P2S2
Rys. 3.6 Teoretyczne widmo amplitudowe obrazu falowego zawierającego fale czołowe
(na podstawie Hearst et al. 2000).
Widmo amplitudowe charakteryzuje się pikami występującymi w pobliżu częstotliwości odcięcia modów fal
prowadzonych: fal leaky modes dla fali P oraz fali pseudo-Rayleigha dla fali S.
Ilość modów, a tym samym ilość pików na widmie, zależy od składu częstotliwościowego sygnału
źródłowego, emitowanego przez nadajnik. Zaznaczone na rysunku P1 i S1 oraz P2 i S2 to składowe fal P i S
związane z modami fal prowadzonych odpowiednio rzędu pierwszego (m = 1) i drugiego (m = 2)
3. Akustyczne obrazy falowe
40
nieznacznie zróżnicowany skład częstotliwościowy fal P i S, co eksperymentalnie wykazali
i przedstawili w pracy Scarascia et al. (1976).
Fale prowadzone (ang. guided waves)
Powstanie modów fal prowadzonych w otworze jest wynikiem oddziaływania ośrodka skalnego
z całkowicie odbitymi falami w falowodzie (tj. w pierścieniu między sondą a ścianką otworu),
wzbudzonymi dla częstotliwości rezonansowych. Fale prowadzone, do których zaliczamy fale pseudo-
Rayleigha, fale Stoneleya i fale typu leaky modes, są falami uwięzionymi w otworze, dlatego
charakteryzują się wysokimi amplitudami i dominują na obrazach falowych rejestrowanych w pewnej
odległości od nadajnika.
W tzw. szybkich formacjach, tj. gdy VS > Vpł, na akustycznych obrazach falowych obserwowany jest
kolejny pakiet falowy: fala pseudo-Rayleigha, nazywana poprzecznymi modami normalnymi, lub
skrótowo modami normalnymi. W literaturze angielskiej fala ta występuje pod licznymi nazwami:
shear normal modes, shear surface wave, multiple-reflected conical, reflected conical. Podobnie jak
fala S, fala ta nie jest wzbudzana w wolnych formacjach. Fala pseudo-Rayleigha jest silnie
dyspersyjna, o dyspersji normalnej, co oznacza, że mody wyższego rzędu, tzn. o niższych
częstotliwościach, poruszają się z większą prędkością. Dyspersja oznacza, że prędkość propagacji fali
zależy od częstotliwości. Prędkości fazowe modów fali pseudo-Rayleigha zawierają się między
0 10 20 30 40 50
VS
3,0
2,0
1,0
częstotliwość [kHz]
prę
dkość
[km
/s]
Vpł
Prędkość fazowa modów fali pseudo-Rayleigha
Prędkość grupowa modów fali pseudo-Rayleigha
Prędkość grupowa modów fali Stoneleya
Mod rzędupierwszego
( = 1)m
Mod rzędudrugiego( = 2)m
Mod rzędutrzeciego( = 3)m
Fala Stoneleya
częstotliwości odcięciakolejnych modów fali pseudo-Rayleigha
Rys. 3.7 Krzywe dyspersji fal pseudo-Rayleigha i Stoneleya (na podstawie Paillet i White 1982)
3. Akustyczne obrazy falowe
41
prędkością fali biegnącej w płuczce i prędkością fali poprzecznej w ośrodku: Vpł < Vps-R < VS (rys.
3.7). Charakter dyspersji fali pseudo-Rayleigha sprawia, że niskoczęstotliwościowe mody rozchodzą
się z prędkością zbliżoną do VS i dominują na obrazie falowym w końcowej partii obszaru
występowania fali S.
0 200 400 600 800
czas [ s]µ
am
plit
ud
a
tP tpł
a)
b)
c)
częstotliwość [kHz]
wid
mo
am
plit
ud
ow
esyg
na
łu ź
ród
łow
eg
o
a) b) c)
0 10 20 30 40 50 60
Rys. 3.8 Charakterystyka fali Stoneleya w zależności od częstotliwości środkowej
i szerokości widma sygnału źródłowego (na podstawie Paillet i White 1982, zmienione).
Najwyższe amplitudy fala Stoneleya osiąga dla niskich częstotliwości sygnału źródłowego (a). Im wyższe
częstotliwości nadajnika, tym amplitudy fali są niższe (b, c). Gdy widmo częstotliwościowe sygnału
źródłowego jest szerokie wtedy fala Stoneleya zapisuje się jako impuls na obrazach falowych (c). Wąskie
pasmo częstotliwości wzbudza falę oscylującą z częstotliwością nadajnika (a).
(Obliczenia fali Stoneleya przeprowadzono dla uproszczonego modelu, w którym za początek emisji
impulsu (czas t = 0) przyjęto maksimum symetrycznego sygnału źródłowego. Dlatego jako przyjście fali
Stoneleya należy przyjąć maksimum amplitudy wymodelowanej fali (zaznaczone strzałkami))
3. Akustyczne obrazy falowe
42
Amplitudy fali pseudo-Rayleigha są większe od amplitud fali poprzecznej, niosą dużą energię i nie są
tłumione w wyniku rozwierania sferycznego, zatem nie maleją ze wzrostem odległości nadajnik –
odbiornik. Fala pseudo-Rayleigha szybko zanika w głąb ośrodka, w płuczce ma charakter oscylacyjny.
Nakładanie się modów fali pseudo-Rayleigha na pakiet fali S utrudnia jego rozpoznanie. Fala pseudo-
Rayleigha posiada częstotliwość odcięcia, która wzrasta wraz z numerem (rzędem) moda. Jeżeli
częstotliwość sygnału emitowanego przez nadajnik jest poniżej częstotliwości odcięcia dla moda
pierwszego rzędu, to nie zostaną wygenerowane żadne mody fali pseudo-Rayleigha. Kształt fali
pseudo-Rayleigha, jej prędkość fazowa i grupowa oraz liczba modów jest przede wszystkim funkcją
częstotliwości sygnału emitowanego przez nadajnik oraz promienia efektywnego otworu. Zależy
również w skomplikowany sposób od własności ośrodka i płuczki (Paillet 1981, Paillet i White 1982).
Kolejną falą prowadzoną, dla której falowodem jest pierścień między sondą a ścianką otworu,
jest fala Stoneleya. Powstaje zarówno w szybkich jak i wolnych formacjach. Fala Stoneleya jest lekko
dyspersyjna (rys. 3.7). W wolnych formacjach charakteryzuje się dyspersją normalną, natomiast
w szybkich formacjach niewielką dyspersją odwróconą. Nie ma częstotliwości odcięcia, a wszystkie
mody rozchodzą się z podobną prędkością, stąd krzywe dyspersji są płaskie. W konsekwencji fala
Stoneleya pojawia się jako impuls na obrazach falowych, gdy sygnał źródłowy zawiera szerokie
pasmo częstotliwości (rys. 3.8). W przypadku wąskopasmowego sygnału fala Stoneleya będzie
oscylowała z częstotliwością źródła (Minear i Fletcher 1983). Prędkość fazowa fali Stoneleya jest
zawsze mniejsza od prędkości fali w płuczce: VSt < Vpł. Gdy VS > Vpł, tj. w szybkich formacjach,
VSt ≅ 0,9 Vpł. W rezultacie często fala w płuczce jest mylnie identyfikowana z falą Stoneleya. Gdy
prędkość fali poprzecznej spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce, to spada również prędkość
fali Stoneleya (rys. 3.9) (Minear i Fletcher 1983).
Amplitudy fali Stoneleya zależą od kilku czynników: średnicy efektywnej otworu,
charakterystyki częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik oraz własności ośrodka
skalnego. Zwiększenie średnicy efektywnej, np. wskutek kawern i wymyć, powoduje spadek amplitud
fali Stoneleya (Cheng i Toksöz 1981, Paillet i White 1982). Fala Stoneleya jest wzbudzana dla
wszystkich częstotliwości (nie ma częstotliwości odcięcia), ale większe amplitudy ma dla niskich
częstotliwości (rys. 3.8). Tak więc fala Stoneleya może być silnie wzbudzona tylko wtedy, gdy sygnał
emitowany przez nadajnik zawiera niskie częstotliwości (rys. 3.10). Część autorów nazywa
wysokoamplitudowe, niskoczęstotliwościowe składowe fali Stoneleya falami rurowymi (ang. tube
waves) (Paillet i White 1982, Paillet et al. 1992, Hearst et al. 2000). Amplitudy fali Stoneleya zależą
również od przepuszczalności. Zjawisko tłumienia fali Stoneleya jest wykorzystywane do
identyfikacji stref szczelin i spękań (Paillet 1991).
Trzecim rodzajem fal prowadzonych rozchodzących się po ściance otworu są fale zwane leaky
modes lub PL, w literaturze angielskiej występujące również pod nazwami: leaky compressional,
compressional normal modes, surface compressional waves. Powstają w podobny sposób do fali
pseudo-Rayleigha, z tą różnicą, że są generowane w wyniku oddziaływania formacji skalnych
z całkowicie odbitymi falami podłużnymi w płuczce. Podążają za czołową falą P i tworzą jej
3. Akustyczne obrazy falowe
43
oscylujący ogon. Amplitudy fal leaky modes zależą od współczynnika Poissona formacji skalnej ν,
w taki sposób, że wzrost ν powoduje wzrost amplitud tej fali (Minear i Fletcher 1983). Fala ta jest
najwyraźniejsza w bardzo wolnych formacjach, dużych otworach i otworach ze znaczącą strefą
zniszczenia. Jest to fala dyspersyjna o dyspersji normalnej. Prędkość fazowa VPL zawiera się między
prędkością fali podłużnej w płuczce a prędkością fali P: Vpł < VPL < VP. Liczba wzbudzanych modów
zależy od częstotliwości nadajnika. Gdy częstotliwość sygnału źródłowego będzie odpowiednio niska
nie powstaną żadne mody fal leaky modes. Może być wzbudzana zarówno w szybkich, jak i wolnych
formacjach.
Fala w płuczce (ang. fluid compressional wave, fluid wave, mud wave)
Jest to objętościowa fala podłużna generowana przez źródło monopolowe, która przebiega przez
płuczkę w otworze, bezpośrednio od nadajnika do odbiorników. Propaguje ze stałą prędkością, ze
względnie wysokimi energiami (Crain 2004). Prędkość fali w płuczce zależy m.in. od zasolenia
tpł tSt
S
S
S
P
P
fala Stoneleya
czas
am
plit
ud
a
czas
czas
VS = 2280 m/s
VS = 2010 m/s
VS = 1900 m/s
a)
b)
c)
V
VP
pł
= 3620 m/s
= 1830 m/s
Rys. 3.9 Syntetyczne obrazy falowe w utworach o niskich prędkościach fal sprężystych (łupkach)
otrzymane dla różnych prędkości fali S (na podstawie Minear i Fletcher 1983).
Gdy VS maleje i zbliża się do Vpł, to zanika pakiet fali S oraz obserwowany jest spadek prędkości fali
Stoneleya
3. Akustyczne obrazy falowe
44
płuczki (Jarzyna (1989)). Wzrost zasolenia powoduje zwiększenie prędkości propagacji fali
w płuczce.
Fala Stoneleya jest niewidoczna, zamaskowana przez składoweo wysokich częstotliwościach.
Obrazy falowe mają skomplikowanycharakter.
Charakter obrazów falowychuległ zmianie. Pojawia się falaStoneleya o niższych częstotliwościach.
a) Częstotliwość nadajnika: 30 kHz
b) Częstotliwość nadajnika: 15 kHz
c) Częstotliwość nadajnika 7 kHz
Zanika fala P. Fala Stoneleystaje się coraz bardziej wyraźna.
Rys. 3.10 (część I) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika
(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002)
3. Akustyczne obrazy falowe
45
e) Częstotliwość nadajnika: 2 kHz
d) Częstotliwość nadajnika: 4 kHz
Fala Stoneleya dominuje naobrazach falowych.Fala P prawie całkowicie zniknęła.
Fala P zniknęła całkowicie,na obrazach falowych występujejedynie fala Stoneleya.
Rys. 3.10 (część II) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika
(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002)
Inne fale
W końcowej części obrazu falowego występują fale odbite (ang. reflected waves), wielokrotnie odbite
(ang. muliple-reflected waves) oraz inne – interferencyjne, biegnące po skomplikowanej drodze.
W ośrodkach niejednorodnych mogą występować fale dyfrakcyjne. Fala bezpośrednia (ang. direct tool
wave) biegnąca po obudowie przychodzi do odbiorników bardzo późno i jest silnie wytłumiona przez
wycięcia w obudowie. Dzięki temu nie interferuje z falami użytecznymi i nie zakłóca akustycznych
obrazów falowych.
Podsumowując, mody normalne poprzeczne (pseudo-Rayleigha) i podłużne (leaky modes) mają
charakterystyczną dla siebie częstotliwość odcięcia, poniżej której nie mogą być wzbudzane. Mody te
są silnie dyspersyjne z prędkością fazową osiągającą prędkość fal czołowych (odpowiednio S i P), gdy
ich częstotliwość osiąga częstotliwość odcięcia. Dlatego obserwuje się wysokie amplitudy fal
czołowych dla częstotliwości bliskich częstotliwościom odcięcia (2SAA-1000/F Sonic Probe Operator
Manual 2002). Zatem, badania ukierunkowane na rejestrację fal P i S powinny być prowadzone przy
3. Akustyczne obrazy falowe
46
wykorzystaniu częstotliwości nadajnika tak dobranej, aby obejmowała tylko częstotliwości odcięcia
modów prowadzonych rzędu pierwszego m = 1 (wzór (3.2)) (Paillet et al. 1992). W takim przypadku
niechciane mody nie są wzbudzane, amplitudy fal czołowych są wysokie, a złożoność obrazów
falowych znacznie zredukowana. Gdy częstotliwości sygnału źródłowego są niższe, to fale P i S nie są
efektywnie generowane. Stosowanie wyższych częstotliwości wzbudzi również mody wyższego
rzędu, przez co przyjście fal P i S będzie trudne do zidentyfikowania (rys. 3.10).
W przypadku badań nastawionych na wykorzystanie fali Stoneleya częstotliwość nadajnika
powinna być niska. Wtedy rejestrowane obrazy falowe są wolne od efektów interferencji innych
modów (rys. 3.10). Amplitudy fali Stoneleya zaczynają maleć dla częstotliwości nadajnika większych
od 5 kHz (Paillet 1991), jakkolwiek dokładna wartość częstotliwości zależy od średnicy otworu. Dla
wyższych częstotliwości stopniowo pojawiają się kolejne mody fali pseudo-Rayleigha o amplitudach
większych od fali Stoneleya oraz fale czołowe.
Skomplikowany charakter obrazów falowych jest wynikiem interferencji modów falowych
powstających w otworze (rys. 3.11). Kontrolując częstotliwość oraz szerokość pasma sygnału
emitowanego przez nadajnik można bardzo uprościć rejestrowane przebiegi falowe.
Akustycznyobraz falowy
Okno falipoprzecznej
Okno faliStoneleya
Energiafali P Energia
fali SEnergia
falipseudo-
Rayleigha
Energia fali Stoneleya
czas
am
plit
ud
a
Rys. 3.11 Rozkład energii poszczególnych fal na obrazie falowym (na podstawie Paillet 1991).
Akustyczny obraz falowy zarejestrowano w niespękanych granitach, natomiast rozkład energii został
wymodelowany dla źródła o częstotliwości 35 kHz i średnicy otworu 7,5 cm. Otrzymany rozkład energii
posłużył do wyznaczenia okien czasowych odpowiadających falom S i Stoneleya
3. Akustyczne obrazy falowe
47
3.3 Metody interpretacji akustycznych obrazów
falowych
Akustyczne obrazy falowe można poddać interpretacji jakościowej oraz ilościowej.
Interpretacja jakościowa ma na celu dostarczenie dodatkowych informacji geologicznych oraz
stanowi uzupełnienie kompleksowej interpretacji danych geofizyki wiertniczej. Interpretacja ilościowa
obrazów falowych polega w pierwszym etapie na zidentyfikowaniu i wydzieleniu różnych typów fal
akustycznych, a następnie określeniu ich własności kinematycznych (czasów interwałowych,
prędkości) i dynamicznych (wielkości amplitud, tłumienia, energii fal). Na podstawie tych własności
możliwe jest ilościowe określenie również innych parametrów ośrodka, takich jak: dynamiczne
moduły sprężystości, porowatość, przepuszczalność.
Do metod jakościowej interpretacji akustycznych obrazów falowych należą wykresy czasowo-
głębokościowo-amplitudowe oraz atrybuty chwilowe obliczane dla każdego obrazu falowego (Bała et
al. 1994, Bała i Jarzyna 1996).
Pierwsza metoda, wzorowana na przekrojach sejsmicznych, polega na przedstawieniu
rejestrowanych przebiegów falowych w funkcji głębokości. Charakter rejestrowanych sygnałów
zmienia się w zależności od litologii i odzwierciedla zmiany parametrów skał, takich jak: skład
mineralny, porowatość, przepuszczalność, wielkość zailenia, rodzaj medium nasycającego przestrzeń
porową i innych. Wykresy czasowo-głębokościowo-amplitudowe, zestawione razem z profilowaniem
gęstości oraz średnicy, pozwalają na szybkie i jednoznaczne wydzielenie stref o zmienionych
własnościach zbiornikowych i sprężystych, w szczególności stref spękanych, rozluźnionych,
szczelinowatych i przepuszczalnych. Mogą być również wykorzystywane do identyfikacji litologii.
Kolejną metodą interpretacji jakościowej są atrybuty chwilowe, które pierwotnie stosowane
były w interpretacji sekcji sejsmicznych. Atrybuty takie jak: amplituda chwilowa, faza chwilowa,
częstotliwość chwilowa, zostały z powodzeniem zaadoptowane do interpretacji akustycznych obrazów
falowych. (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna 1996). Charakterystyki chwilowe są
zdefiniowane na bazie trasy zespolonej (Taner et al. 1979), której część rzeczywistą tworzy
rejestrowany sygnał, natomiast część zespoloną oblicza się z rejestrowanego sygnału za pomocą
transformaty Hilberta. Analiza trasy zespolonej pozwala na rozdzielenie informacji niesionej przez
amplitudę i fazę sygnału zespolonego. Zmiany atrybutów chwilowych ujawniają lokalne zmiany
własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na tradycyjnym zapisie. Pozwalają na
wyeksponowanie sygnałów o małych amplitudach, podkreślają składowe obrazu, które są efektem
niewielkich niejednorodności ośrodka.
Identyfikacja fal na akustycznych obrazach falowych jest w znakomitej większości podstawą
interpretacji ilościowej. Poprawne wskazanie fal umożliwia podanie czasu przyjścia danej fali do
odbiornika oraz wartości amplitud. Na podstawie tych wielkości obliczane są parametry petrofizyczne
skał, takie jak:
3. Akustyczne obrazy falowe
48
− czas interwałowy DT,
− prędkość fali w ośrodku V,
− stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej VP/VS,
− porowatość ogólna φ 6,
− dynamiczne moduły sprężystości7: np. moduł Younga E, moduł Kirchoffa G (nazwany również
modułem ścinania µ), moduł sprężystości objętościowej K, współczynnik Poissona ν,
− parametry tłumiące ośrodka: współczynnik tłumienia α, współczynnik dobroci Q,
− przepuszczalność i wielkość szczelin.
Dużym problemem w interpretacji ilościowej obrazów falowych jest interferencja, która utrudnia
precyzyjne wskazanie przyjścia fal. Ma to szczególnie duże znaczenie w przypadku fali S, ponieważ
znajomość jej prędkości jest niezbędna w wielu zastosowaniach (określenie VP/VS, współczynnika
Poissona, budowanie modelu prędkościowego ośrodka dla sejsmiki trójskładowej, itp.). Opracowano
wiele metod automatycznego wyznaczania czasu interwałowego i prędkości fal P i S, opierających się
własnościach kinematycznych i dynamicznych fal sprężystych.
Podstawowa metoda wyznaczenia fali P i S bazuje na kryterium amplitudowym i polega na
ustaleniu progu detekcji powyżej poziomu szumów. Jest ona jednak niedokładna i ma wiele
ograniczeń. Najczęstszym błędem jest przeskok fazy (ang. cycle skipping), czyli pominięcie
pierwszego cyklu fali. Przyczyną są niższe amplitudy fali od założonego poziomu progu detekcji lub
wyższy poziom szumów. Poprawki na wysokoamplitudowe piki szumu w przypadku wyznaczenia fali
P wprowadzili Cheng et al. (1981). Zastosowanie progu detekcji do wykrywania fali S jest znacznie
trudniejsze i ograniczone warunkiem wyższych amplitud początku fali poprzecznej od podłużnej. Inne
metody obliczania prędkości fal wykorzystują własność podobieństwa obrazów falowych oraz ich
charakterystykę częstotliwościową. Obliczenia wykonywane w domenie czasu ogólnie opierają się na
korelacji wybranych fragmentów obrazów falowych rejestrowanych bliższym i dalszym odbiornikiem
(Cheng et al. 1981, Willis i Toksöz 1983). W domenie częstotliwości prędkość fal sprężystych
otrzymywana jest na postawie widma wzajemnego (ang. cross spectrum) sygnałów rejestrowanych
odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od źródła (Ingram et al. 1985). Powstały również
6 Porowatość ogólną oblicza się w oparciu np. o równanie Wylliego (Wyllie et al. 1956, Wyllie et al. 1958):
mapl VVV
φφ −+=
11 , lub Raymera-Hunta-Gardnera (Raymer et al. 1980): ( ) plma VVV ⋅+⋅−= φφ 21 gdzie: V jest
prędkością fali w formacji skalnej, Vpł jest prędkością fali w cieczy wypełniającej przestrzeń porową (filtrat
płuczkowy lub woda złożowa), Vma jest prędkością fali w szkielecie skalnym, charakterystycznym dla danego
składu mineralnego (litologii).
7 Obliczenie większości dynamicznych modułów sprężystości jest możliwe po dołączeniu informacji o gęstości
ośrodka, np. z profilowania gęstościowego RHOB.
3. Akustyczne obrazy falowe
49
metody wykorzystujące obie domeny: czasową i częstotliwością, które łączą funkcje korelacji
i analizę widmową (Bała i Jarzyna 1992, Bała i Jarzyna 1996).
Zastosowanie sond wieloodbiornikowych spowodowało rejestrację większej ilości danych, które
wymagają innego podejścia interpretacyjnego. Najbardziej popularnym sposobem interpretacji tego
typu zapisów jest metoda bazująca na funkcji semblance (Kimball i Marzetta 1984). Jest ona
z powodzeniem stosowana również w interpretacji obrazów falowych rejestrowanych dwoma
odbiornikami (Jarzyna et al. 2001). Funkcja ta obliczana jest w dziedzinie czasu. Wykorzystywana jest
jako miara koherencji wielokanałowych zapisów sygnałów akustycznych. Wartość funkcji semblance
należy do przedziału [0, 1] i wynosi 1, gdy wszystkie obrazy falowe wykorzystane do jej obliczenia są
takie same co do kształtu i amplitudy. Maksima funkcji semblance interpretowane są jako czas
przyjścia T1 i czas interwałowy DT odpowiednio fali P, S i Stoneleya. Dokładność metody opartej
o wyliczenie funkcji semblance zależy od ilości rejestratorów. Jest wyższa dla wielokanałowych
rejestracji, natomiast dla rejestracji sondą dwuodbiornikową dokładność musi być niższa.
Innym zagadnieniem interpretacyjnym jest uzyskanie informacji o prędkości fali poprzecznej,
w sytuacji wykonywania pomiarów ze źródłem monopolowym w wolnych formacjach. W takim
przypadku fala S jest nieobecna na rejestrowanych obrazach falowych, ponieważ nie jest generowana.
Otrzymanie wartości prędkości fali S jest możliwe w oparciu o znajomość prędkości fali Stoneleya,
która w tego typu utworach silnie zależy od prędkości fali poprzecznej w ośrodku (Cheng i Toksöz
1983, Liu 1984).
Inne zastosowania akustycznych obrazów falowych opierają się na tłumieniu fal sprężystych. Na
podstawie rejestracji odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od nadajnika możliwe jest
określenie parametrów tłumiących ośrodka: współczynnika tłumienia α oraz współczynnika dobroci Q
(Toksöz et al. 1979a, Toksöz et al. 1979b, Jarzyna 1989). Akustyczne obrazy falowe mogą być
również wykorzystane pod kątem oceny przepuszczalności oraz określenia szczelinowatości na
podstawie tłumienia fali Stoneleya (Paillet 1991).
4. Dane
50
Rozdział 4
Dane
4.1 Otwór K6
4.1.1 Litostratygrafia otworu K6
Akustyczne obrazy falowe wykorzystane w pracy zostały zarejestrowane sondą LSS w otworze
Kościan 6 (K6), zlokalizowanym w złożu gazu. Złoże Kościan występuje w utworach rafowych
wapienia cechsztyńskiego (Ca1) narosłych na lokalnym paleopodniesieniu w centralnej części wału
wolsztyńskiego (basen permski, zachodnio-środkowa Polska (rys. 4.1)) (Karnkowski 1993).
Profil litostratygraficzny otworu K6 obejmuje cechsztyńskie utwory ewaporatowe i węglanowe
cyklotemów: Z3, Z2 i Z1, częściowo nasycone gazem w poziomie Ca1, oraz zailone piaskowce
karbońskie. Szczegółowy podział litostratygraficzny, sporządzony na podstawie Gądek et al. (1997)
oraz Jarzyna et al. (2001) przedstawiono w tabeli 4.1.
Dla metodycznego charakteru badań duże zróżnicowanie litologii jest istotną i korzystną cechą,
gdyż umożliwiło analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów pochodzących z ośrodków o różnych
własnościach sprężystych i zbiornikowych. Dane geologiczne i geofizyczne z otworu K6 zostały
udostępnione dla prac naukowo-badawczych przez PGNiG S.A. w Warszawie i Spółkę Geofizyka
Kraków.
Kraków
Gdańsk
Poznań
Kościan
Rys. 4.1 Lokalizacja otworu K6
4. Dane
51
Tabela 4.1
Tabela litostratygraficzna utworów w otworze K6 wraz z podziałem akustycznych obrazów falowych
wykonanym na podstawie litostratygrafii (Gądek et al. 1997, Jarzyna et al. 2001)
i charakteru zapisów falowych
Litostratygrafia Podział
AOF Głębokość [m]
Okres (piętro)
Cyklotem Symbol Nazwa Opis litologiczny Oznaczenie strop spąg
wkładka 1 2009,6 2013,5
Na3_1 2013,5 2059,0
wkładka 2 2059,0 2067,0 Na3 sól młodsza
sole z domieszką iłu
i anhydrytu
Na3_2 2067,0 2078,0
A3d anhydryt
główny anhydryt lekko zailony A3d 2078,0 2141,5
Z3
T3 szary ił solny iłowce z dodatkiem soli T3 2141,5 2143,0
A2g anhydryt
kryjący anhydryt lekko zailony A2g 2143,0 2146,0
Na2 sól starsza sole z domieszką iłu
i anhydrytu Na2 2146,0 2175,5
A2d anhydryt
podstawowy
anhydryt lekko zailony
z domieszką wapienia,
dolomitu i soli
A2d 2175,5 2191,0 Z2
Ca2 dolomit
główny
dolomit lekko zailony
z domieszką soli,
wapienia i anhydrytu
Ca2 2191,0 2224,5
A1g anhydryt
górny
anhydryt lekko zailony
z domieszką wapienia,
dolomitu i soli
A1g 2224,5 2262,0
Ca1_0 2262,0 2263,7
Ca1_1 2263,7 2267,0 Ca1 a
anhydryt lekko zailony
z domieszką wapienia
i dolomitu 2267,0 2268,1
Ca1_2 2267,1 2269,3
Ca1_3 2269,3 2276,9
Ca1_4 2276,9 2281,2
Ca1_5 2281,2 2286,6
Ca1 b
wapień lekko zailony
z domieszką anhydrytu
i dolomitu;
poziom nasycony gazem
2286,6 2288,2 Ca1_6
2288,2 2294,8 Ca1 c
dolomit lekko zailony
z domieszką wapienia
i anhydrytu 2294,8 2296,1 Ca1_7
2296,1 2298,2
Ca1_8 2298,2 2303,4
perm grn
(cechsztyn)
Z1
Ca1 d
wapień cechsztyński
dolomit lekko zailony
z domieszką wapienia
i anhydrytu;
poziom nasycony gazem Ca1_9 2303,4 2305,6
karbon
(nie-
rozdzielony)
P-ce piaskowce
karbońskie
zailone piaskowce
z domieszką ambitu,
węglanów i anhydrytu;
piaskowce chlorynowe
P-ce 2305,5 2377,5
4. Dane
52
4.1.2 Charakterystyka akustycznych obrazów falowych
w otworze K6
Duże zróżnicowanie litologii jest przyczyną bardzo zmiennego charakteru obrazów falowych
zarejestrowanych w otworze K6. Obrazy falowe zmieniają się pod względem własności
kinematycznych i dynamicznych, tj. czasów przyjścia fal do odbiorników oraz amplitud (rys. 4.2).
Czasy przyjścia fal zależą od litologii oraz własności sprężystych. W obrębie jednego bloku
litologicznego wykazują w przybliżeniu stałą wartość, za wyjątkiem piaskowców, które są w różnym
stopniu zailone. Zailenie obniża prędkość fal sprężystych oraz zwiększa tłumienie, co objawia się
zróżnicowanym czasem przyjścia i wielkością amplitud fal w tych skałach.
Cechą charakterystyczną obrazów falowych w otworze K6, wspólną dla każdego typu litologii,
jest obecność wysokoamplitudowego i krótkotrwałego pakietu falowego, występującego na czasach
odpowiadających w przybliżeniu fali w płuczce i fali Stoneleya. Pakiet ten zaznacza się na obrazach
falowych charakterystycznym pasem, występującym w stałym przedziale czasu dla całego interwału
pomiarowego. W anhydrytach: A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 i piaskowcach P-ce, trwa on
około 160 µs. W poziomach: Ca2, A1g oraz P-ce, tuż za nim często pojawia się drugi, bardzo podobny
pakiet o niższych amplitudach. Oba pakiety trwają razem około 300-400 µs. W solach Na3 i Na2
wysokoamplitudowy pakiet trwa również 300-400 µs, ale nie rozdziela się na dwie części. Ma
charakter pojedynczego pakietu falowego i dominuje na całym obrazie falowym. W poziomie
wapienia cechsztyńskiego Ca1 jest bardzo rozmyty i zaburzony. Obserwowany pakiet
wysokoamplitudowy można wiązać z falą w płuczce lub z falą Stoneleya. Za tym, że jest to fala w
płucze przemawiają pewne cechy tego pakietu, które nie zgadzają się z opisem fali Stoneleya
podawanym w literaturze. Przede wszystkim pakiet ten jest bardzo wyraźny w solach, w których
występują ogromne wymycia znacznie powiększające średnicę otworu. Wysokie amplitudy fali
Stoneleya mogą być obserwowane w przypadku przeciwnym, tj. wtedy, gdy średnica rzeczywista
otworu jest mała, czyli gdy sonda znajduje się blisko ścianki otworu. Dodatkowo, nadajnik sondy LSS
emituje sygnały wąskopasmowe i wysokoczęstotliwościowe. Wtedy fala Stoneleya powinna mieć
niewielkie amplitudy i oscylacyjny charakter (rys. 3.8). Przyjmując, że jest to fala w płuczce, można
obliczyć prędkość na podstawie czasu przyjścia oraz znanej drogi propagacji (odległości nadajnik-
odbiornik). Wynosi ona około 1750 m/s. Prędkość fali w płuczce dla standardowych płuczek
wiertniczych to 1450-1500 m/s (Serra i Serra 2004). W otworze K6 płuczka ma wysokie zasolenie, co
mogło spowodować zwiększenie prędkości propagacji fali do wartości 1750 m/s. Tak wysoka wartość
prędkości jest mało prawdopodobna dla fali Stoneleya. Za drugą opcją, tzn. że jest to fala Stoneleya,
świadczyć może lekko zmienny czas przyjścia oraz zmieniająca się z litologią długość trwania
pakietu. Fala biegnąca w płuczce nie powinna być wrażliwa na zmiany średnicy w otworze ani
litologię.
Akustyczne obrazy falowe zarejestrowane w solach wyróżniają się spośród zapisów falowych
w całym interwale głębokościowym bardzo niewielkimi amplitudami fal sprężystych, za wyjątkiem
4. Dane
53
pakietu wysokoamplitudowego. Taki charakter sygnałów ma związek z ogromnym powiększeniem
średnicy: w solach młodszych Na3 sięgającym 470 mm, w solach starszych Na2 nawet do 650 mm
(średnica nominalna otworu wynosi 216 mm).
W utworach: A3d, A2d, Ca2, A1g oraz P-ce, akustyczne obrazy falowe mają podobny charakter.
Fala P ma niewielkie amplitudy, a fala S zaznacza się wyraźnym zwiększeniem amplitud.
Poziom wapienia cechsztyńskiego charakteryzuje się bardzo skomplikowanymi i zaburzonymi
obrazami falowymi. Przyczyną dużych zmian własności sprężystych wpływających na charakter
rejestrowanych obrazów falowych jest nasycenie gazem.
4.1.3 Podział akustycznych obrazów falowych na strefy
odpowiadające skałom o różnych własnościach sprężystych
i zbiornikowych
Akustyczne obrazy falowe w otworze K6 zostały podzielone na strefy odpowiadające różnym typom
skał. Podział został wykonany w oparciu o szczegółowe dane litostratygraficzne oraz cechy
kinematyczne i dynamiczne obrazów falowych widoczne na wykresach czasowo-głębokościowo-
amplitudowych. Pozostałe profilowania geofizyki wiertniczej, w szczególności: profilowanie średnicy
PŚr, gęstości RHOB i promieniowania gamma PG, wykorzystano jako dodatkową informację
pozwalającą na precyzyjne postawienie granic. Granice te wyznaczono na tych samych głębokościach
dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4.
Podział otworu na strefy wykonany w oparciu o cechy obrazów falowych pokrywa się
z granicami litostratygraficznymi. Dodatkowo, w poziomie Na3 wydzielono dwie warstwy: wkładkę 1
i wkładkę 2, które wyróżniają się większymi amplitudami oraz wcześniejszym przyjściem fal P i S do
odbiorników. Ponieważ w tym odcinku otworu nie wykonano kompletu pomiarów geofizyki
wiertniczej, trudno jest określić litologię wkładek na podstawie tylko profilowania średnicy
i akustycznych obrazów falowych.
Poziom wapienia cechsztyńskiego Ca1 został szczegółowo podzielony na 10 stref (Ca1_0-
Ca1_9) na podstawie zmienności cech kinematycznych i dynamicznych obrazów falowych wywołanej
obecnością gazu w przestrzeni porowej.
Rysunek 4.2 przedstawia profilowania geofizyki wiertniczej i akustyczne obrazy falowe
zestawione razem z rozwiązaniem litologicznym (Gądek et al. 2002) wraz z naniesionymi granicami
podziału (tab. 4.1). Na rysunku 4.3 przedstawiono wybrane sygnały z różnych litologii.
4. Dane
54
Rys. 4.2 Wybrane profilowania geofizyki otworowej wykonane w otworze K6 wraz z rozwiązaniem
litologicznym i nasyceniem przestrzeni porowej
(plik: Rys. 4.2 Profilowania wykonane w K6 z rozw. litologicznym.cdr)
4. Dane
55
0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6-6
0
6
[ms]
am
plit
uda
Na3_1
A3d
Na2
A2d
A1g
Ca1_3
Ca1_9
Ca1_8
P-ce
Ca2
Ca1_5
Rys. 4.3 Przykładowe akustyczne obrazy falowe z wybranych litologii.
Rysunek przedstawia sygnały testowe (rozdz. 5.1) po wstępnym przetwarzaniu przygotowującym
obrazy falowe do analiz czasowo-częstotliwościowych (rozdz. 4.1.4)
4. Dane
56
4.1.4 Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych
Materiał badawczy z otworu K6 obejmował cztery obrazy falowe wf1-wf4, zarejestrowane na odcinku
368,35 m z krokiem pomiarowym 0,1524 m (0,5 stopy). W sumie dysponowano 9668 pojedynczymi
przebiegami falowymi.
Akustyczne obrazy falowe (wraz z kilkoma innymi profilowaniami) zapisane były oryginalnie
w pliku binarnym *.nti, w standardowym formacie zapisu danych geofizyki wiertniczej LIS (ang. Log
Information Standard). W celu przeprowadzenia analiz czasowo-częstotliwościowych dane
pomiarowe wymagały wstępnego przetwarzania. Kolejne etapy przygotowania danych obejmowały:
− Zapisanie akustycznych obrazów falowych w postaci plików ASCII.
− Wyzerowanie bitów synchronizacji i bitów wzmocnienia.
− Skrócenie sygnałów do 1024 próbek.
− Standaryzację.
Zapisanie akustycznych obrazów falowych do plików ASCII wykonano za pomocą aplikacji FalaWin
w systemie Geowin®
(Jarzyna et al. 2001) oraz programu wave2txt.exe (Wawrzyniak i Olesiński
2001). Pierwszy program odczytuje z pliku *.nti akustyczne obrazy falowe i przechowuje je
w tymczasowych plikach binarnych. Program wave2txt.exe umożliwia zapisanie tych plików
w formacie ASCII.
Na początku każdego obrazu falowego (rekordu) zapisywana jest informacja o wzmocnieniu
oraz dołączane są tzw. bity synchronizacji odnoszące się do czasu emisji sygnału z nadajnika. Te
informacje wyzerowano, aby nie były przedmiotem przeprowadzonych analiz czasowo-
częstotliwościowych.
Akustyczne obrazy falowe rejestrowane sondą LSS mają długość 1100 próbek. Sygnały
skrócono do 1024 próbek, usuwając fragment z końca, nie zawierający już informacji geologicznej.
Operacja miała na celu zwiększenie efektywności obliczeń numerycznych analiz czasowo-
częstotliwościowych opartych na algorytmach bazujących na potędze dwójki.
Ostatnim etapem przygotowania danych była standaryzacja amplitud każdego obrazu falowego
według wzoru:
δ
AmpAmpAmp i
std
−= (4.1)
gdzie:
stdAmp – amplitudy akustycznego obrazu falowego po standaryzacji,
iAmp – amplituda obrazu falowego dla i-tej próbki,
Amp – średnia arytmetyczna amplitud całego obrazu falowego,
( )∑=
−−
=n
i
i AmpAmpn 1
2
1
1δ – odchylenie standardowe obliczone dla akustycznego obrazu
falowego,
4. Dane
57
n – ilość próbek akustycznego obrazu falowego.
Sygnały po standaryzacji mają średnią równą zero i wariancję równą jeden.
Przykład sygnału surowego i po procesie wstępnego przetwarzania przedstawia rysunek 4.4.
-2000
-1000
0
1000
2000
-6
-3
0
3
6
am
plit
ud
aam
plit
ud
aa)
b)
0
0
100
0,4
200
0,8
300
1,2
400
1,6
500
2,0
600
2,4
700
2,8
800
3,2
900
3,6
1000
4,0
1100
4,4nr próbki
[ms]
0
0
100
0,4
200
0,8
300
1,2
400
1,6
500
2,0
600
2,4
700
2,8
800
3,2
900
3,6
1000
4,0
1100
4,4nr próbki
[ms]
Rys. 4.4 Sygnał oryginalny (a) i przygotowany do analiz czasowo-częstotliwościowych (b)
(obraz falowy wf1, rekord 1500, A1g).
Przygotowanie polegało na zapisaniu sygnałów w plikach ASCII, wyzerowaniu bitów wzmocnienia
i synchronizacji na początku sygnału, skróceniu do 1024 próbek oraz standaryzacji
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
58
Rozdział 5
Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów
falowych z zastosowaniem wybranych metod
czasowo-częstotliwościowych
5.1 Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały
testowe
W celu przeprowadzenia testów metod czasowo-częstotliwościowych, oceny ich możliwości
i efektywności w analizie obrazów falowych, skonstruowano syntetyczną parę wf1_synt-wf3_synt
oraz wybrano kilkanaście sygnałów testowych, zarejestrowanych w różnych typach litologicznych.
Oba syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane z trzech składowych symulujących fale P, S
i Stoneleya. Przyjęto, że fala P_synt ma największą prędkość, najwyższą częstotliwość oraz
najmniejsze amplitudy, fala S_synt mniejszą prędkość, niższą częstotliwość i wyższe amplitudy, fala
Stoneleya St_synt ma najniższą prędkość, najniższą częstotliwość oraz najwyższe amplitudy. Obraz
falowy wf3_synt, reprezentujący sygnał rejestrowany dalszym odbiornikiem, ma w stosunku do
obrazu wf1_synt niższe amplitudy. Szczegółowe parametry sygnałów syntetycznych umieszczono
w tabeli 5.1. Na rysunku 5.1 przedstawiono skonstruowane obrazy wf1_synt i wf3_synt.
Sygnały testowe zostały wybrane z rzeczywistych danych, po jednym z każdego typu
litologicznego w otworze K6, tak aby mieć możliwość oceny działania stosowanych metod czasowo-
częstotliwościowych w skałach o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych. Kilka
wybranych sygnałów testowych przedstawiono na rysunku 4.3. Na rysunkach obrazujących wyniki
danej metody na przykładzie pojedynczego obrazu falowego zawsze wykorzystywano ten sam sygnał:
obraz wf1 zarejestrowany w litologii A1g (anhydryt górny) na głębokości 2238,06 m (rekord 1500).
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
59
Dzięki temu umożliwiono prześledzenie i porównanie działania każdej z prezentowanych metod na
przykładzie tego samego sygnału.
Tabela 5.1
Parametry sygnałów syntetycznych:
f – częstotliwość, V – prędkość fali, T – czas przyjścia fali do odbiornika,
Amp – amplituda (w jednostkach umownych).
Czas przyjścia fali obliczono w oparciu o założoną prędkość danej fali oraz odległość nadajnik – odbiornik,
wynoszącą dla wf1_synt 2,438 m (8 stóp) oraz dla wf3_synt 3,048 m (10 stóp)
wf1_synt wf3_synt
Fala f [kHz] V [m/s] T [ms] Amp T [ms] Amp
P_synt 18 3200 0,807 0,2 0,997 0,15
S_synt 10 1875 1,350 0,5 1,679 0,4
St_synt 5 1350 1,823 0,8 2,274 0,65
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
a)
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
b)
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
wf3_synt
Pwf3_synt
Swf3_ synt
Stwf3_synt
-0,4
-0,4
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
Rys. 5.1 Para obrazów falowych złożona z syntetycznych sygnałów wf1_synt (a) i wf3_synt (b).
Syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane ze składowych symulujących fale P, S i Stoneleya
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
60
5.2 Analiza składu częstotliwościowego akustycznych
obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera
Analizy czasowo-częstotliwościowe są doskonałą metodą badania sygnałów, pod warunkiem, że ich
składowe różnią się pod względem czasu występowania oraz częstotliwości. Fale tworzące akustyczne
obrazy falowe są zróżnicowane pod względem czasu rejestracji, ponieważ rozchodzą się z różnymi
prędkościami po podobnej drodze. Zróżnicowanie częstotliwościowe nie jest tak oczywiste
i wymagało dokładniejszego sprawdzenia. Stosowne obliczenia wykonano w programie Matlab®.
Na rysunku 5.2a przedstawiono widma amplitudowe pary obrazów falowych zarejestrowanych
w anhydrycie górnym A1g. Na widmie widoczne są charakterystyczne piki. Z pomocą aplikacji
FalaWin w systemie Geowin®
(Jarzyna et al. 2001) sprawdzono, że nie można ich bezpośrednio
powiązać z falami P, S i Stoneleya. Wykorzystanie filtrów (dolnoprzepustowego, trapezowego
przepustowego i górnoprzepustowego) oraz odwrotnej transformaty Fouriera pozwoliło stwierdzić, że
częstotliwości wokół których skoncentrowane są piki, obecne są na całym obrazie falowym, a nie
pochodzą jedynie od poszczególnych pakietów falowych (rys. 5.2b).
W celu efektywnego zastosowania analiz czasowo-częstotliwościowych istotne było
rozpoznanie składu częstotliwościowego fal obecnych na akustycznych obrazach falowych. Badania
miały odpowiedzieć na następujące pytania:
− Czy fale P i S różnią się między sobą pod względem składu częstotliwościowego?
− Na ile wyraźne jest zróżnicowanie częstotliwości (jeśli występuje)?
− Czy skład częstotliwościowy pakietów falowych zmienia się wraz z własnościami sprężystymi
i zbiornikowymi skał oraz litologią?
Analizę przeprowadzono dla obszarów obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania
pakietów fali podłużnej i poprzecznej, pod kątem określenia przedziału częstotliwości dla fali P i S
oraz częstotliwości najczęściej występujących w tych pakietach falowych w każdej z wydzielonych
stref litologicznych. Częstotliwość tą określono jako „częstotliwość charakterystyczną”, aby nie mylić
jej z inaczej definiowaną częstotliwością dominującą. Kolejne kroki analizy obejmowały:
1) Określenie czasów przyjścia i długości trwania fal P i S, jednakowych w każdej strefie
litologicznej, osobno dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 (rys. 5.3).
2) Wycięcie z akustycznych obrazów falowych pakietów falowych wg warunków określonych
w punkcie 1). Tak spreparowane obrazy falowe poddano normalizacji do wartości [-1, 1]
(rys. 5.4a).
3) Obliczenie widma mocy P(f) dla znormalizowanych pakietów P i S w każdym punkcie
głębokościowym dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4, a następnie znormalizowanie ich do wartości
z zakresu [0, 1] (rys. 5.4b)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
61
P?
S?
St?
a)
b)wf1wf3sygnały po odwrotnejtransformacie Fouriera
widmo amp. wf1widmo amp. wf3filtr górnoprzepustowy(17 kHz)
Rys. 5.2 Widma amplitudowe (a) oraz przebiegi falowe (b) akustycznych obrazów falowych
zarejestrowanych bliższym (kolor czerwony) i dalszym (kolor niebieski) rejestratorem.
Skład częstotliwościowy obrazów falowych zawiera się w przedziale 5-20 kHz. Na widmach zaznaczono
wartość 20 kHz będącą częstotliwością nadajnika w sondzie LSS (kolor oliwkowy). Powyżej tej wartości
pojawiają się nieliczne i bardzo niewielkie piki częstotliwościowe. Są one wynikiem tego, że 20 kHz jest
częstotliwością środkową, a nie maksymalną sygnału emitowanego przez nadajnik. Widma mają
charakterystyczne piki, którym próbowano przypisać poszczególne fale. Zakładając różne filtry (kolor
zielony, rys. a) i obliczając odwrotną transformatę Fouriera, otrzymano przefiltrowane przebiegi
akustycznych obrazów falowych (kolor oliwkowy, rys. b). W przedstawionym przykładzie zastosowany filtr
miał sprawdzić, czy fali P odpowiada pik około 17 kHz. Wyniki transformaty odwrotnej jasno wskazują, że
te częstotliwości występują w całym obrazie falowym, a nie tylko w obszarze pakietu fali P
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
62
4) Wyznaczenie maksimów lokalnych na widmach mocy powyżej założonego progu i określenie
częstotliwości, dla jakiej występują.
5) Wykonanie histogramów przedstawiających skład częstotliwościowy pakietów P i S
i sporządzenie charakterystycznych rozkładów częstotliwości dla różnych typów skał (rys. 5.5).
W obrębie każdej wcześniej wydzielonej strefy litologicznej odpowiadającej różnym rodzajom skał
(tab. 4.1, rozdz. 4.1.3), określono obszary obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania
pakietów fali podłużnej i poprzecznej. Wyznaczono czasy przyjścia i długość trwania pakietów dla
obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4, przyjmując jednakowe wartości w każdej strefie. Kierowano
się cechami dynamicznymi obrazów falowych: wielkością amplitud i tłumieniem. Założono, że pakiet
fali S zaczyna się w miejscu, gdzie wyznaczono koniec fali P, natomiast kończy się w miejscu
przyjścia pakietu wysokoamplitudowego. Takie założenie było wystarczające dla celów tej analizy,
która miała dostarczyć zgrubne rozpoznanie składu częstotliwościowego. Wyznaczone czasy przyjścia
i długości trwania pakietów dla wszystkich obrazów falowych przestawia rysunek 5.3.
Czasy przyjścia i długość trwania fal zostały wykorzystane do wydzielenia pakietów P i S
z każdego pojedynczego obrazu falowego. Następnie każdy pakiet falowy został przeskalowany do
wartości z przedziału [-1, 1]. Przykład tak przygotowanych pakietów falowych przedstawia rysunek
5.4a.
Kolejnym krokiem było obliczenie widma mocy za pomocą szybkiej transformaty Fouriera.
Ponieważ analiza prowadzona była tylko w kierunku rozpoznania składu częstotliwościowego
obszarów obrazów falowych odpowiadających pakietom fal P i S, uzasadnione było znormalizowanie
każdego widma mocy do wartości [0, 1] (rys. 5.4b).
W wielu przypadkach widmo mocy było wielomodalne i nie można było określić jednej,
najbardziej wyróżniającej się częstotliwości. Dlatego wyznaczono maksima lokalne widma mocy
powyżej pewnego progu i określono, dla jakiej częstotliwości się pojawiły. Próg równy 0,4
zastosowano do określenia szerokości pasma częstotliwości pakietów P i S, natomiast próg 0,7
wykorzystano do wyznaczenia częstotliwości charakterystycznej. Następnie zliczono maksima lokalne
w klasach o szerokości 2 kHz. W wyniku otrzymano histogramy rozkładu częstotliwości fal P i S dla
różnych typów skał. Rysunek 5.5 przedstawia histogramy wyznaczone dla progu równego 0,4.
Analiza wykazała, że pakiety falowe P i S nieznacznie różnią się między sobą pod względem
składu częstotliwościowego. Nie można oczekiwać występowania pojedynczych, charakterystycznych
częstotliwości dla tych pakietów falowych. Jednak mimo niewielkiego zróżnicowania częstotliwości
w obszarach ich występowania na obrazach falowych, histogramy układają się w charakterystyczne
„wzory” częstotliwości dla każdego typu skał. W większości litologii zakres częstotliwości obu
pakietów falowych zawiera się między 10 a 20 kHz, ale maksima histogramów wyznaczonych dla fali
S występują dla innych częstotliwości niż w przypadku fali P. Obecność gazu w skale skutkuje
pojawieniem się niższych częstotliwości: 6-8 kHz. Na podstawie histogramów wyznaczono szerokość
pasma częstotliwości i częstotliwość charakterystyczną dla każdej z rozważanych litologii. Wyniki
przedstawiono w tabeli 5.2.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
63
Rys. 5.3 Akustyczne obrazy falowe wf1, wf2, wf3, wf4 wraz z zaznaczonymi czasami przyjścia fal P (TP), S (TS)
i pakietu wysokoamplitudowego (Tpł/St) w poszczególnych litologiach
(plik: Rys. 5.3 AOF do analizy czestotliwosci.cdr)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
64
Wyniki analizy składu częstotliwościowego zaprezentowano na międzynarodowej konferencji Near
Surface (Wawrzyniak 2005b).
Znormalizowane widmo mocy fali P
600
2,4
600
2,4
am
plit
ud
a
am
plit
ud
a
Znormalizowane widmo mocy fali S
Znormalizowany pakiet fali P Znormalizowany pakiet fali S
P(f
)
P(f
)
Rys. 5.4 Pakiety falowe P i S wydzielone z akustycznych obrazów falowych i znormalizowane do wartości
z przedziału [-1, 1] (a). Widma mocy pakietów P i S znormalizowane do wartości z przedziału [0, 1].
Na rysunku zaznaczono progi równe 0,4 i 0,7, powyżej których zliczane były maksima lokalne widm (b)
Tabela 5.2
Zakresy częstotliwości i częstotliwość charakterystyczna (objaśnienie w tekście) fali P i S
dla różnych typów litologicznych skał
Litologia Sole Anhydryty Dolomity Piaskowce Wapień
(Gaz) Wapień (Woda)
Fala P S P S P S P S P S P S
Zakres
częstotliwości
[kHz]
8-20 8-18 10-18 10-20 12-20 12-20 12-20 10-20 10-18 6-16 12-18 8-18
Częstotliwość charakter.
[kHz]
16 12 18 14-16 14 14 14 14 16 12 14 14
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
65
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
500
1000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
100
200
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
100
200
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
20
40
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
200
400
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
500
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
200
400
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
100
200
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
500
1000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
50
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
500
1000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
1000
2000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
100
200
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0
1000
2000
wkładka 1
Na3_1
wkładka 2
Na3_2
A3d
T3
A2g
Na2
A2d
Ca2
A1g
Ca1_0
Ca1_1
Ca1_2
Ca1_3
Ca1_4
Ca1_5
Ca1_6
Ca1_7
Ca1_8
Ca1_9
P-ce
fala P fala S
Rys. 5.5 Histogramy składu częstotliwościowego pakietów P i S.
Skala pionowa przedstawia częstość występowania danej częstotliwości na obrazach falowych.
Szerokość klas histogramów wynosi 2 kHz
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
66
5.3 Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej
5.3.1 Wprowadzenie
Analizę akustycznych obrazów falowych pod kątem rozdzielenia pola falowego z wykorzystaniem
metod czasowo-częstotliwościowych rozpoczęto od dyskretnej transformaty falowej DWT.
W założeniach teoretycznych ten rodzaj transformaty falkowej jest efektywnym i wystarczająco
dokładnym narzędziem pozwalającym na skuteczną analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów,
jednocześnie ograniczającym zbyteczną redundancję informacji. Dyskretna transformata falkowa
zalecana jest szczególnie wtedy, gdy nie jest konieczna rekonstrukcja całego sygnału (Misiti et al.
1997-2006), tak jak ma to miejsce w tym przypadku. Analizy przeprowadzono z wykorzystaniem
pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab®.
Efektywność dyskretnej transformaty falkowej jest wynikiem diadycznego skalowania, tzn.
zmianie skali z potęgą dwójki: a = 2j, gdzie parametr j jest poziomem dekompozycji (oktawą),
pokrywającym ściśle określoną część pasma częstotliwościowego sygnału. Zakres badanych
częstotliwości na każdym poziomie dekompozycji jest narzucony przez sposób realizacji dyskretnej
transformaty falowej: iteracyjnej filtracji zespołem filtrów dolno- i górnoprzepustowych. Zależny jest
on również od częstotliwości próbkowania sygnału (Polikar 1994). Na rysunku 2.10,
przedstawiającym schemat realizacji DWT, przy każdym detalu podano odpowiadający mu przedział
częstotliwości w [rad/s]. W tabeli 5.3 przeliczono je na [kHz] uwzględniając krok próbkowania
akustycznych obrazów falowych.
5.3.2 Badania na danych syntetycznych
Badania na danych syntetycznych miały na celu zapoznanie się ze specyfiką dyskretnej transformaty
falkowej oraz rozpoznaniem możliwości wykorzystania jej do wydzielenia fal użytecznych z obrazów
falowych.
Projektując sygnały syntetyczne częstotliwości syntetycznych fal składowych (P, S i Stoneleya)
dobrano w taki sposób, aby wypadały one w przybliżeniu pośrodku przedziałów częstotliwości na
poszczególnych poziomach dekompozycji. Dzięki temu fala P powinna być reprezentowana na detalu
trzecim (tj. na trzecim poziomie dekompozycji), fala S – na detalu czwartym, a fala Stoneleya – na
detalu piątym.
Badania syntetyczne przeprowadzono na sygnale wf1_synt, który rozdzielono na pięć
poziomów dekompozycji za pomocą kilku falek z rodzin: Daubechies, Symlet i Coiflet. W wyniku
transformaty DWT otrzymano detale (D1-D5) i aproksymację na najwyższym poziomie dekompozycji
(A5), które interpretowano pod kątem identyfikacji fal tworzących sygnał syntetyczny. Poszczególne
fale składowe zostały odtworzone przez odpowiednie detale. Aproksymacja na poziomie piątym A5
stanowi różnicę między sygnałem wf1_synt a sumą wszystkich detali (wzór (2.19)) i jest zgrubnym
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
67
przybliżeniem sygnału. Na rysunku 5.6 przedstawiono przykładową dekompozycję sygnału wf1_synt
za pomocą falki Coiflet 5. Podobne wyniki otrzymano dla innych przetestowanych falek.
Dyskretna transformata falkowa rozdzieliła sygnał syntetyczny na składowe reprezentowane na
różnych detalach. Zgodnie z oczekiwaniami fala Stoneleya jest reprezentowana na detalu D5, na detalu
D4 widoczna jest fala S, natomiast fala P występuje na D3. Odwzorowanie składowych fal
syntetycznych jest jednak niedokładne. Przed rzeczywistym pierwszym wstąpieniem fali występują
niezerowe współczynniki DWT, co objawia się odtworzeniem na detalach nieistniejących w sygnale
struktur. Na przykład na detalu D4, przed pakietem fali S, występują współczynniki falkowe
odpowiadające fali P. Podobnie jest dla D5: przed falą Stoneleya można zaobserwować współczynniki
reprezentujące falę S. Natomiast na detalu D2 reprezentowany jest składnik, który nie występuje w
sygnale wf1_synt. Przypomina on kształtem, czasem przyjścia i czasem trwania falę P, lecz ma dużo
niższe amplitudy oraz wyraźnie wyższą częstotliwość. Detal D1 wskazuje miejsca pierwszego
wstąpienia poszczególnych pakietów falowych, które zaznaczają się wyraźnym wzrostem
współczynników falkowych. Dobrze widoczne jest to na mapie współczynników DWT (rys. 5.6b),
której skalowanie i kodowanie kolorem zostało wykonane w obrębie jednej oktawy, a nie globalnie
względem współczynników ze wszystkich poziomów dekompozycji. Wyraźne zaznaczenie
pierwszych wstąpień na detalu D1 jest wynikiem nagłej zmiany charakteru sygnału związanej
z sumowaniem fal składowych o różnych częstotliwościach. Wrażliwość dyskretnej transformaty
falkowej na tak subtelne zmiany w sygnale może być przydatna w wykrywaniu pierwszych wstąpień
interferujących ze sobą fal na obrazach falowych.
Za pomocą widma mocy otrzymanego z transformaty Fouriera zbadano również skład
częstotliwościowy detali (rys. 5.6e). Pozwoliło to ocenić poprawność odtworzenia fal składowych na
poszczególnych detalach. Częstotliwości detali D4 i D5 odpowiadają częstotliwościom fal S
i Stoneleya. Natomiast detal D3 ma nieoczekiwanie bardziej skomplikowany skład częstotliwościowy:
oprócz częstotliwości odpowiadającej fali P (18 kHz) na widmie mocy występują również dodatkowe
maksima. Detal D2 w całości przedstawia nieistniejącą strukturę. Przypomina falę P, ma jednak
zupełnie inny skład częstotliwościowy: maksymalny pik na widmie odpowiada częstotliwości 42 kHz.
Reprezentowanie na detalach nieistniejących struktur zostało potwierdzone poprzez analizę
bardzo prostego sygnału sinusoidalnego sin_13kHz złożonego z pojedynczej częstotliwości 13 kHz.
Sygnał ten poddano takiej samej dekompozycji dyskretną transformatą falkową, jaką zastosowano do
sygnału wf1_synt. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 5.7. Sygnał sin_13kHz, pomimo
pojedynczej częstotliwości, jest reprezentowany na dwóch detalach: D3 i D2. Transformata Fouriera
wykazała, że pojawiła się dodatkowa częstotliwość, która nie występuje w oryginalnym sygnale
(rys. 5.7e). Na detalu D3 dominuje częstotliwość 13 kHz, ale pojawia się również nowa częstotliwość
18,3 kHz. Detal D2 składa się w głównej mierze z dodatkowej częstotliwości z niedużym udziałem
częstotliwości 13 kHz.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
68
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
b)
c)
Pwf1_synt
Swf1_synt
St _syntwf1
wf1_synt
a)
0
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
2
3
4
5
1
-0,4
skala kolorówwspółczynników DWT
maxmin
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,01
0,01
0
-0,01
0,01
0
-0,4
0,4
0
A5
D5
D4
D3
D2
P(f
)0
1
0 10 kHz20
d)
P(f
)
0
1
0
1
P(f
)
0 10 kHz200
1
P(f
)
0
1
P _syntwf1
S _syntwf1
St _syntwf1
wf1_synt
P(f
)
0
1
P(f
)
0
1
P(f
)
0
1
0
D5
D4
D3
D2
D10 25 kHz50
P(f
)
e)
Rys. 5.6 Dekompozycja sygnału syntetycznego dyskretną transformatą falkową DWT. Sygnał syntetyczny
wf1_synt (a) poddano transformacie falkowej DWT otrzymując rozkład współczynników falkowych (b) oraz
odpowiadające mu detale D1-D5 i aproksymację A5 (c). Na widmach mocy P(f) przedstawiono skład
częstotliwościowy sygnału syntetycznego i jego składowych (d) oraz detali D2-D5 (e). Widma mocy zostały
znormalizowane do zakresu [0, 1]. Oś częstotliwości jest jednakowa dla wszystkich widm, za wyjątkiem
widma dla detalu D2. Detale D3-D5 reprezentują odpowiednio syntetyczne fale P, S i Stoneleya. Detal D2,
choć przypomina falę P, ma od niej niższe amplitudy i znacznie wyższą częstotliwość (42 kHz)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
69
Analiza sygnałów syntetycznych ujawniła negatywny aspekt dyskretnej transformaty falowej
w zagadnieniu identyfikacji i wydzielenia fal z akustycznych obrazów falowych. Dyskretna
dekompozycja falkowa wprowadza zakłócenia w postaci częstotliwości, które nie występują
w analizowanym sygnale. Jest to związane ze stosowaniem filtrów dolno- i górnoprzepustowych,
tworzących zespół kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF. Wykorzystywane filtry
górnoprzepustowe, odpowiadające za tworzenie detali, „odbijają” częstotliwość danej składowej
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
b)
c)
sin_13kHz
a)
2
3
4
5
1
A5
D5
D4
D3
D2
D1
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
P(f
)
D3
0
1
0 10 kHz20
D2
0
1P
(f)
d)
P(f
)
sin_13kHz
0
1
0 10 kHz20
13
kH
z
18
,3 k
Hz
skala kolorówwspółczynników DWT
maxmin
e)
Rys. 5.7 Dekompozycja sygnału sinusoidalnego sin_13kHz dyskretną transformatą falkową DWT.
Sinusoidalny sygnał syntetyczny o częstotliwości 13 kHz (a) został poddany dekompozycji falkowej (b, c),
identycznej z dekompozycją sygnału wf1_synt przedstawioną na rysunku 5.6. Pojedyncza częstotliwość
13 kHz sygnału została sztucznie rozdzielona na dwa detale: D2 i D3. Widma mocy P(f) sygnału
oryginalnego (d) oraz obu detali (e) ujawniają ich skład częstotliwościowy. Wyraźnie widać, że pojawiła się
dodatkowa, nieistniejąca w oryginalnym sygnale częstotliwość 18,3 kHz
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
70
sygnału od granicy przedziału częstotliwości określonego dla danej oktawy, a następnie
„odzwierciedlają” ją na sąsiednim poziomie dekompozycji (informacja na podstawie zainicjowanego
przez autorkę wątku na grupie dyskusyjnej Wavelet forum). W znaczący sposób komplikuje to analizę
pola falowego za pomocą dyskretnej transformaty falowej.
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
b)
c)
a)
2
3
4
5
1
A5
D5
D4
D3
D2
D1
-4
4
0
-0,2
0,2
0
-0,6
0,6
0
-4
4
0
-4
4
0
-0,2
0,2
0
-0,02
0,02
0
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
2
3
4
5
1
A5
D5
D4
D3
D2
D1
[ms] [ms]
-4
4
0
Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g)
krok próbkowania = 4 s∆ µt
wf1 wf3
skala kolorów współczynników DWT
maxmin
-0,2
0,2
0
-0,6
0,6
0
-4
4
0
-4
4
0
-0,2
0,2
0
0,02
0
-0,02
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
En = 100%
En = 0,4%
En = 1,18%
En = 65,8%
En = 32,54%
En = 0,08%
En = 0,00%
En = 100%
En = 2,04%
En = 1,94%
En = 52,19%
En = 43,71%
En = 0,12%
En = 0,00%
Rys. 5.8 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych z krokiem 4 µs.
Para obrazów falowych (a) została poddana transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b)
oraz odpowiadające im detale D1-D5 i aproksymację na poziomie piątym A5 (c). Detale i aproksymacje
przedstawiono w skali pionowej dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali
identycznej ze skalą sygnałów wf1 i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii
całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany detal lub aproksymacja. Prawie 100% energii obrazów falowych
reprezentowane jest na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji. Na detalach nie obserwuje się
rozdzielenia fal akustycznych
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
71
5.3.3 Badania na danych rzeczywistych
Pomimo mało obiecujących wyników na danych syntetycznych przeprowadzono badania również na
danych rzeczywistych. Analizę wykonano na pięciu poziomach dekompozycji za pomocą falek
z rodzin: Daubechies (db3-db10), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coif2-coif5). Do obliczeń wzięto
wybrane sygnały testowe, zarejestrowane w różnych litologiach. Wyniki dyskretnej transformaty
falkowej (detale i aproksymacje) próbowano interpretować pod kątem identyfikacji i wydzielenia
pakietów fal akustycznych.
Na detalach i aproksymacjach nie można było wskazać w sposób jednoznaczny czasów
przyjścia oraz długości trwania poszczególnych fal. Żadna z przetestowanych falek, pomimo różnych
własności (tj. różnej długości nośnika i częstotliwości środkowej) nie umożliwiła rozdzielenia pola
falowego na poszczególne fale. Przykładowe wyniki dekompozycji pary obrazów falowych wf1-wf3
zarejestrowanej w anhydrycie górnym A1g przedstawiono na rys. 5.8.
Kolejną możliwą przyczyną niepowodzenia (oprócz tej omówionej w poprzednim podrozdziale,
tj. odtwarzanie nieistniejących częstotliwości) była niedostateczna rozdzielczość częstotliwościowa
analizy. Akustyczne obrazy falowe są próbkowane z krokiem 4 µs, co daje częstotliwość próbkowania
fs = 250 kHz i częstotliwość Nyquista fmax = 125 kHz. Oznacza to, że zakres badanych częstotliwości
przez DWT wynosi 0-125 kHz. Jest to przedział stanowczo za szeroki, gdyż sygnały rejestrowane
sondą LSS mają częstotliwości między 5 a 20 kHz. W konsekwencji ten zakres częstotliwości fal
sprężystych był reprezentowany na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji (rys. 5.8). Natomiast
poziomy pierwszy i drugi, charakteryzujące się najlepszą rozdzielczością w lokalizacji wysokich
częstotliwości w domenie czasu, były zarezerwowane dla nieobecnych w oryginalnym sygnale
częstotliwości rzędu od kilkudziesięciu do 125 kHz.
Metodą na zawężenie badanego przez DWT pasma częstotliwości było zmniejszenie
częstotliwości próbkowania sygnału. Krok próbkowania obrazów falowych zmieniono z 4 µs na 12 µs,
uzyskując częstotliwość próbkowania równą fs = 83,3 kHz i zawężenie pasma częstotliwości
analizowanych przez dyskretną transformatę falkową do fmax = 41,65 kHz. Dzięki tej operacji zakres
częstotliwości akustycznych obrazów falowych został przeniesiony na drugi i trzeci poziom
dekompozycji (tab. 5.3).
Po zmianie kroku próbkowania sygnału i przeniesieniu informacji o częstotliwościach fal
sprężystych do poziomów bardziej rozdzielczych w domenie czasu, podjęto próbę identyfikacji fal
sprężystych na detalach i obliczenia czasów interwałowych DTP_DWT i DTS_DWT. Wybrano
odpowiednie pary obrazów falowych według schematu umożliwiającego obliczenie czasów
interwałowych. Przeprowadzono na nich dyskretną transformatę falkową, stosując te same falki jak
dla wcześniejszej analizy (∆t = 4 µs). Na otrzymanych detalach D1-D5 próbowano zidentyfikować fale
P, S oraz Stoneleya i wyznaczyć ich czasy pierwszego wstąpienia kierując się cechami dynamicznymi
fal. Fala P była najlepiej widoczna zwykle na detalu D2, fala S występowała jednocześnie na detalach
D2 i D3. Na detalu D4 można było wyróżnić pakiet falowy o niższych częstotliwościach zaczynający
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
72
się w obszarze pakietu wysokoamplitudowego. Detal D1 miał inny charakter niż w przypadku danych
syntetycznych. Nie można było na nim wskazać czasów przyjścia poszczególnych fal akustycznych.
Przebieg D1 przypomina kształtem sygnał oryginalny, lecz ma dużo niższe amplitudy i wyższe
częstotliwości. Dekompozycję DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, tej samej, którą
zaprezentowano na rysunku 5.8, lecz ze zmienionym krokiem próbkowania, przedstawiono na rysunku
5.9.
W oparciu o wyznaczone na detalach czasy proste poszczególnych fal wyliczono czasy interwałowe.
Wyniki porównywano z czasami interwałowymi otrzymanymi innymi metodami: z odpowiednim
„aparaturowym” czasem interwałowym DT8 lub DT10, DT_Semb obliczonym w oparciu o funkcję
semblance oraz DT_pikow wyznaczonym przez ręczne pikowanie pierwszych wstąpień na
oryginalnych rejestracjach (oba obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin w systemie Geowin®
(Jarzyna et al. 2001)). Przykłady wyników dla przykładowej pary wf1-wf3 z anhydrytu górnego,
przedstawiono w tabeli 5.4. Czasy interwałowe uzyskane w wyniku dekompozycji DWT
charakteryzują się dużą zmiennością i różnią się od tych, które uzyskano innymi metodami. Tabela
odzwierciedla trudności w rozpoznaniu poszczególnych pakietów falowych i wskazaniu ich
jednoznacznie na detalach.
Zmiana częstotliwości próbkowania sygnału nie przyniosła oczekiwanego rozdzielenia pola
falowego na osobnych detalach. Fale P i S obserwowane były wprawdzie na bardziej rozdzielczych
poziomach dekompozycji, tj. na D2 i D3, ale w dalszym ciągu były to dwa detale.
Niskoczęstotliwościowy pakiet falowy obecny na detalu D4 w bardzo wielu przypadkach rozpoczynał
Tabela 5.3
Zakres badanych częstotliwości na kolejnych poziomach dekompozycji DWT w [rad/s] (Polikar 1994)
oraz w [kHz] dla sygnałów próbkowanych z krokiem 4 µs oraz 12 µs.
fs jest częstotliwością próbkowania, fmax oznacza częstotliwość Nyquista (maksymalna częstotliwość
wynikającą z częstotliwości próbkowania, która może występować w sygnale)
∆∆∆∆t = 4 µµµµs
fs = 2ππππ rad/s ⇒⇒⇒⇒ fmax = ππππ rad/s
fs = 250 kHz ⇒⇒⇒⇒ fmax = 125 125 125 125 kHz
∆∆∆∆t = 12 µµµµs
fs = 2ππππ rad/s ⇒⇒⇒⇒ fmax = ππππ rad/s
fs = 83,3 kHz ⇒⇒⇒⇒ fmax = 41,65 41,65 41,65 41,65 kHz
Detal Zakres
częstotliwości [rad/s]
Zakres częstotliwości [kHz]
Zakres częstotliwości [kHz]
D1 π/2-π 62,5-125 21-42
D2 π/4-π/2 31,25-62,5 10,5-24
D3 π/8-π/4 15,63-31,25 5,25-10,5
D4 π/16-π/8 7,81-15,63 2,63-5,25
D5 π/32-π/16 3,90-7,81 1,31-2,63
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
73
się znacznie wcześniej niż pakiet wysokoamplitudowy i nie można go było jednoznacznie
zidentyfikować ani jako fali Stoneleya ani jako fali w płuczce.
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
b)
c)
a)
2
3
4
5
1
A5
D5
D4
D3
D2
D1
-4
4
0
-0,01
0,01
0
-0,05
0,05
0
-0,5
0,5
0
-4
4
0
-4
4
0
-0,1
0,1
0
okta
wa
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
2
3
4
5
1
A5
D5
D4
D3
D2
D1
[ms] [ms]
-0,01
0,01
0
-0,05
0,05
0
-0,5
0,5
0
-4
4
0
-4
4
0
-0,1
0,1
0
-4
4
0
Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g)
krok próbkowania = 12 s∆ µt
wf1 wf3
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
-4
4
0
En = 100%
En = 0,04%
En = 0,03%
En = 1,93%
En = 61,85%
En = 36,03%
En = 0,12%
En = 100%
En = 0,33%
En = 0,09%
En = 1,93%
En = 74,56%
En = 23%
En = 0,09%
skala kolorów współczynników DWT
maxmin
Rys. 5.9 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3,
próbkowanych ze zmienionym krokiem równym 12 µs.
Para obrazów falowych z anhydrytu górnego A1g po zmianie kroku próbkowania (a) została poddana
transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b) oraz odpowiadające im detale D1-D5
i aproksymację na poziomie piątym A5 (c). Detale i aproksymacje przedstawiono w skali pionowej
dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali identycznej ze skalą sygnałów wf1
i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany
detal lub aproksymacja. Podobnie jak na rysunku 5.8, prawie 100% energii obrazów falowych
reprezentowane jest na dwóch detalach: drugim (En=36.03%) i trzecim (En=61.85%). Pomimo przeniesienia
informacji o rzeczywistym zakresie częstotliwości obrazów falowych do bardziej rozdzielczych w domenie
czasu poziomów dekompozycji, nie udało się rozdzielić pola falowego na poszczególne fale akustyczne
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
74
Tabela 5.4
Przykłady czasów interwałowych dla fali P i S uzyskane różnymi metodami dla pary wf1-wf3,
prezentowanej na rysunku 5.9. Falę P identyfikowano na detalu drugim, falę S identyfikowano na dwóch
detalach: drugim i trzecim. Wyniki czasów interwałowych otrzymanych po dekompozycji DWT są bardzo
rozbieżne i obrazują trudności jednoznacznego wskazania fal P i S na detalach
Metoda DTP
[µµµµs/m]
DTS
[µµµµs/m]
DT8 173 –
Funkcja semblance 177 328
Ręczne pikowanie
pierwszych wstąpień 180 344
DWT – db5 D1 137 D2
D3
334
472
DWT – db8 D1 137 D2
D3
315
472
DWT – sym5 D1 215 D2
D3
236
334
DWT – sym7 D1 236 D2
D3
492
866
DWT – coif3 D1 236 D2
D3
393
334
DWT – coif5 D1 216 D2
D3
374
334
Przyczyny negatywnych wyników dyskretnej transformaty falkowej leżą w samej naturze tej metody.
DWT ma zbyt niską rozdzielczość pod względem rozróżnienia częstotliwości w sygnale, aby można
było ją zastosować do rozdzielenia pola falowego akustycznych obrazów falowych. Skład
częstotliwościowy fal P i S, zgrubnie określony w rozdziale 5.2, obejmuje głównie częstotliwości
z zakresu 10-20 kHz. Zakres ten jest badany przez detal trzeci i czwarty dla ∆t = 4 µs oraz drugi i
trzeci dla ∆t = 12 µs. Dodatkowo, zwiększenie kroku próbkowania spowodowało nieuniknioną utratę
części informacji zawartej w oryginalnych rejestracjach oraz zwiększyło błąd wyznaczenia czasu
interwałowego z 6,5 µs/m (dla oryginalnych obrazów falowych) do 19,67 µs/m (dla obrazów ze
zmienionym krokiem próbkowania).
Opis badań został opublikowany w kwartalniku Geologia (Wawrzyniak 2005a) oraz
przedstawiony na konfercjach GEOPETROL (Wawrzyniak 2004) oraz Near Surface (Wawrzyniak
2005c). Publikacje te obejmują również wyniki zastosowania ciągłej transformaty falkowej,
przedstawione w rozdziałach 5.4.1-5.4.4.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
75
5.4 Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej
5.4.1 Wprowadzenie
Ciągła transformata falkowa CWT oblicza współczynniki falkowe dla każdej wartości skali,
w przeciwieństwie do transformaty DWT, gdzie skala zmieniana jest z potęgą dwójki. W teorii zmiana
skali następuje od +∞ do -∞ w sposób ciągły (wzór (2.14)). W praktyce, na komputerach obliczana
jest dyskretna postać ciągłej transformaty falkowej, w której skala zmieniana jest w określonym
przedziale z niewielkim, zadanym przez interpretatora, krokiem (Polikar 1994, Misiti et al. 1997-
2006). Ciągła transformata falkowa generuje dużą ilość nadmiarowej informacji, lecz dzięki
redundancji daje zwykle łatwiejsze do interpretacji wyniki. Wzmacnia także słabe cechy sygnału,
czyniąc je bardziej czytelnymi dla interpretatora. Ciągła transformata falkowa jest zalecana, gdy ilość
danych oraz czas obliczeń jest mniej istotny od czytelności wyników i łatwości interpretacji (Misiti et
al. 1997-2006). Badania wykonano z wykorzystaniem pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab®.
Analizowane akustyczne obrazy falowe charakteryzują się zbyt słabym zróżnicowaniem
częstotliwościowym, aby dyskretna transformata falkowa potrafiła rozróżnić poszczególne fale.
Dlatego zastosowano ciągłą transformatę falkowej, w której skala zmienia się z dowolnym krokiem.
W wyniku otrzymano rozkłady współczynników CWT (skalogramy) na płaszczyźnie czas – skala,
a nie pojedyncze detale i aproksymacje.
5.4.2 Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej
Istotnym zagadnieniem tej części badań było powiązanie skali z częstotliwością. Charakterystyczną
cechą transformaty falkowej jest przedstawienie sygnałów w domenie czas – skala. Istnieje zależność
między skalą a częstotliwością, ale w przypadku falek należy mówić raczej o „pseudoczęstotliwości”
odpowiadającej danej skali. Jest ona dana następującą relacją (Misiti et al. 1997-2006):
ta
ff c
a ∆⋅= (5.1)
gdzie:
fa – pseudoczęstotliwość (częstotliwość środkowa falki dla skali a) [Hz],
fc – częstotliwość środkowa falki (wyznaczana dla falki podstawowej, tj. a = 1) [Hz],
a – skala [1/s],
∆t – krok próbkowania sygnału w czasie [s].
Częstotliwość środkowa falki odpowiada częstotliwości dominującej falki i odzwierciedla jej główne
oscylacje (rys. 5.10). fc wyznaczana jest jako częstotliwość maksimum widma amplitudowego falki
podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału okresowego, o okresie
równym 1/fc. Kiedy falka jest skalowana (rozciągana lub ściskana), częstotliwość środkowa zmienia
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
76
się i wynosi fc/a. Dodatkowo uwzględnia się krok próbkowania sygnału ∆t, dzięki czemu uzyskuje się
powiązanie skali a z częstotliwością dla konkretnego sygnału.
W prowadzonych badaniach przeliczono skale na pseudoczęstotliwość dla różnych falek: Meyera,
Morleta, Gaussa 5 oraz falek z rodzin: Daubechies (db3-db10), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coif-
coif5). Rysunek 5.11 przedstawia relację skala – częstotliwość środkowa falki (pseudoczęstotliwość)
na przykładzie falki Morleta. Z uwagi na to, że w dziedzinie częstotliwości widma falek nakładają się,
wykonano także analizę widm amplitudowych falek (rys. 5.12). Analizując związek częstotliwości ze
skalą, szerokość widm amplitudowych falek, ilość współczynników falkowych oraz niewielkie
zróżnicowanie częstotliwości między pakietami falowymi, przyjęto dla każdej z falek skalę
z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem równym jeden. Takie granice obejmują z zapasem
interesujące częstotliwości z punktu widzenia analizy fal sprężystych generowanych w otworze sondą
LSS i pozwalają na porównanie otrzymanych skalogramów.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Częstotliwość środkowa podstawowej falki Morleta = 0,8125 Hzfc
Rys. 5.10 Podstawowa falka Morleta (na zielono) i sygnał okresowy o częstotliwości równej częstotliwości
środkowej falki (na granatowo).
Częstotliwość środkowa falki fc odzwierciedla jej główne oscylacje. Jest tożsama z pseudoczęstotliwością
falki dla skali a = 1, tj. falki podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału
okresowego o okresie równym 1/fc
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
77
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
skala
f a [
kH
z]
Rys. 5.11 Zależność między skalą i częstotliwością środkową skalowanej falki Morleta fa
(pseudoczęstotliwością), obliczona dla akustycznych obrazów falowych próbkowanych z krokiem 4 µs
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 320
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
częstotliwość [kHz]
|Ψ(
) |
f
550
600
650 a = 10
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= 11
= 12
= 13
= 14
= 15
= 16
= 17
= 18
= 19
= 20
= 21
= 22
= 23
= 24
= 25
= 26
= 27
= 28
= 29
= 30
= 31
= 32
a = 10
a = 32
Rys. 5.12 Widma amplitudowe falek Moleta zastosowanych do analizy akustycznych obrazów falowych
próbkowanych z krokiem 4 µs (przedstawiono widma dla skal z zakresu [10, 32])
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
78
5.4.3 Badania na danych syntetycznych
Badania syntetyczne wykonano w celu zapoznania się ze specyfiką metody i oceny możliwości
wykorzystania jej w analizie akustycznych obrazów falowych. Analizę CWT przeprowadzono na
sygnale wf1_synt za pomocą falki Morleta, dla skal z zakresu [1, 64] i krokiem zmieniany skali
równym jeden. Wyniki dekompozycji sygnału wf1_synt przedstawia rysunek 5.13. Współczynniki
ciągłej transformaty falkowej można traktować jako miarę korelacji falki z sygnałem. Tam, gdzie
współczynniki mają duże wartości, podobieństwo falki i sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości
jest duże. Skalogram, będący rozkładem współczynników CWT na płaszczyźnie czas – skala
(częstotliwość) ma grzbiety układające się równolegle wzdłuż osi skali (częstotliwości) (rys. 5.13b, c).
Jest to wynik falowego charakteru współczynników falkowych (rys. 5.14). Dlatego też skalogramy
najlepiej jest przedstawić jako wartości bezwzględne współczynników CWT, dzięki czemu wyraźnie
widać, które współczynniki dobrze korelują się z elementami sygnału.
Analiza przedstawionej dekompozycji sygnału syntetycznego ciągłą transformatą falkową
pozwala dokonać istotnych obserwacji na temat wykorzystania tej metody do analizy obrazów
falowych.
Na skalogramie można z łatwością wskazać poszczególne fale składowe, lecz informacja ta jest
rozmyta. Zmniejszenie rozdzielczości w domenie czasu dla niskich częstotliwości (wysokich wartości
skali) ogranicza przede wszystkim prawidłowe wskazanie czasu przyjścia fali Stoneleya:
współczynniki falkowe rozszerzają się w formie wachlarza wraz ze wzrostem numeru skali, wskazując
na coraz wcześniejszy czas przyjścia fali. Natomiast rozmycie wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest
większe dla małych wartości skali (wysokich częstotliwości). Z tego powodu najmniej dokładnie
określona jest częstotliwość fali P, chociaż na skalogramie wydaje się być bardzo wąsko
reprezentowana wzdłuż osi skali. Związek między skalą a częstotliwością określony jest relacją
potęgową (rys. 5.11), dlatego rozmycie fali P w domenie skali obejmuje największy zakres
częstotliwości.
Ponieważ znane są częstotliwości syntetycznych fal składowych, można było określić skale, na
których fale te powinny być reprezentowane i sprawdzić czy transformata CWT pozwala na ich
rekonstrukcję. Na rysunku 5.14 przedstawiono współczynniki CWT wykreślone dla skal: a = 11,
a = 20 oraz a = 41, odpowiadających częstotliwościom: 18 kHz (fala Pwf1_synt), 10 kHz (fala
Swf1_synt) i 5 kHz (fala Stwf1_synt). Współczynniki CWT dokładnie oddają charakter
poszczególnych fal syntetycznych, zarówno pod względem czasu przyjścia, jak i częstotliwości. Mniej
dokładnie odtworzony jest czas przyjścia fali Stoneleya. Wybrane skale przedstawiające
częstotliwości syntetycznych fal składowych przebiegają przez maksima lokalne współczynników
falkowych reprezentujące na skalogramie poszczególne pakiety falowe. Ta obserwacja może pomóc
identyfikować fale akustyczne na skalogramach dla rzeczywistych obrazów falowych.
Podobne wyniki, prowadzące do tych samych wniosków, otrzymano dla innych testowanych
falek.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
79
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
Pwf1_synt
Swf1_synt
Stwf1_synt
a)
wf1_synt
[ms]
skala
modułwspółczynnikówCWT
Pwf1_synt
Swf1_synt
Stwf1_synt
10
20
30
40
50
60
20,3
6,8
5,1
4,1
3,4
203,11
ska
la
[kH
z]
moduł współczynników CWTfalka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1
a
c)
Pwf1_synt
Swf1_synt
Stwf1_synt
b)
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT:
0
2
4
6
8
10
12
Rys. 5.13 Syntetyczny sygnał wf1_synt (a) i jego dekompozycja CWT falką Morleta
przedstawiona w formie wykresu 3D (b) oraz mapy na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (c)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
80
5.4.4 Badania na danych rzeczywistych
Badania na danych rzeczywistych wykonano dla sygnałów testowych wykorzystując falkę Morleta.
Jest to falka często stosowana w geofizyce do analizy różnych danych (Goupillaud et al. 1984,
Li 1998, Chakraborty i Okaya 1995, Sinha et al. 2005, Castagna i Sun 2006, Hongbing et al. 2006,
Audet i Mareschal 2007).
Rysunek 5.15 przedstawia dekompozycję obrazu falowego wf1 z anhydrytu górnego.
Współczynniki falkowe mają wysokie wartości w wąskim zakresie skal dla a ∈ [10, 20], za wyjątkiem
pakietu wysokoamplitudowego, który ma podwyższone wartości współczynników CWT również dla
wyższych skal (czyli niższych częstotliwości). Charakterystyczne jednak jest to, że maksymalne
wartości współczynników falkowych dla tego pakietu wypadają dla niskich wartości skali (wysokich
częstotliwości). Pakiety fal P i S mają stosunkowo niskie wartości współczynników falkowych
w stosunku do pakietu wysokoamplitudowego i dalszego fragmentu obrazu falowego, dlatego są słabo
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
Pwf1_synt
Swf1_synt
Stwf1_synt
a)
wf1_synt
2
-20,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
2
-2
2
-2
b)
0
0
0
współczynniki CWTskala = 11a
współczynniki CWTskala = 20a
współczynniki CWTskala = 41a
Rys. 5.14 Współczynniki CWT falki Morleta wykreślone dla skal odpowiadających częstotliwościom
syntetycznych fal składowych sygnału wf1_synt
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
81
widoczne na skalogramie. Pakiet fali S wyraźnie dzieli się na dwa fragmenty. Drugi fragment ma
nieznacznie wyższe częstotliwości, co sugeruje, że mogą to być mody fali pseudo-Rayleigha.
wf1, rekord 1500 (A1g)
1
ska
la
[kH
z]
moduł współczynników CWTfalka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1
a
a)
c)
d)
10
20
30
40
50
60
203,1
20,3
10,2
6,8
5,1
4,1
3,4
-5
5
0
14
0
e)
a = 12
[kH
z]
203,1
20,3
10,2
6,8
5,1
4,1
3,4
1
ska
la
10
20
30
40
50
60
skala
ko
loró
w w
sp
ółc
zyn
nik
ów
CW
T:
0
2
4
6
8
10
12
mapa konturowamodułu współczynników CWT
moduł współczynników CWTdla skali = 12a
wsp
ół. C
WT
[ms]
skala
modułwspółczynnikówCWT
b)
a = 12
PS ps_R
pakiet wysokoamp.
P S ps_R
pakiet wysokoamp.
PS
ps_R
pakiet wysokoamp.
fale odbite
PS ps_R
pakiet wysokoamp.
fale odbite
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
Rys. 5.15 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową
(b-e) wraz ze zidentyfikowanymi falami akustycznymi (objaśnienia w tekście)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
82
wf1, rekord 1500 (A1g)a)
b)
1
skala
[kH
z]
modułwspółczynników CWT (obwiednia)falka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1
a
10
20
30
40
50
60
203,1
20,3
10,2
6,8
5,1
4,1
3,4
-5
5
0
skala
ko
loró
w w
sp
ółc
zyn
nik
ów
CW
T:
0
2
4
6
8
10
12
14
0
[kH
z]
203,1
20,3
10,2
6,8
5,1
4,1
3,4
1
skala
10
20
30
40
50
60
mapa konturowa modułuwspółczynników CWTwykreślona po obliczeniuobwiedni
obwiednia współczynników CWTdla skali = 12a
a = 12
wsp
ół. C
WT
c)
e)
[ms]
skala
modułwspółczynnikówCWT (obwiednia)
a = 12
d)
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
Rys. 5.16 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową
po obliczeniu obwiedni współczynników falkowych (b-e).
Na rysunku wyniki przedstawiono w postaci wykresu 3D (b), wykresu 2D (mapy na płaszczyźnie
czas – skala) (c), mapy konturowej (d) oraz wykresu współczynników falkowych dla skali a = 12 (e)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
83
Reprezentacja sygnału na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) jest trudna do interpretacji pod
kątem precyzyjnej identyfikacji fal z powodu wpływu nieoznaczoności oraz zmiennej rozdzielczości
czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dodatkowym utrudnieniem jest „grzbietowy”
charakter skalogramów, który zobrazowano na rys. 5.15b w postaci przestrzennego rozkładu
współczynników CWT (wykres 3D) oraz na rys. 5.15c jako mapę na płaszczyźnie czas – skala
(wykres 2D). Kolor na tych wykresach określa wartość współczynników falkowych i mówi o stopniu
podobieństwa falki z sygnałem. Ponieważ bezpośrednio na skalogramie trudno było precyzyjnie
zidentyfikować fale akustyczne i określić ich parametry (tj. częstotliwość oraz czas przyjścia i długość
trwania fali), dlatego próbowano posłużyć się mapą konturową współczynników falkowych. Fakt, że
współczynniki falkowe tworzą grzbiety na skalogramie jest przyczyną silnie spłaszczonych
i wydłużonych izolinii (rys. 5.15d), które nie uprościły opracowania automatycznej selekcji
współczynników falowych reprezentujących dany pakiet falowy. Przekrój przez skalogram dla
wybranej skali (rozkład współczynników falkowych wzdłuż osi czasu) (rys. 5.15e) doskonale obrazuje
problem grzbietów.
Aby spróbować ominąć problem grzbietów posłużono się obwiednią, otrzymując powierzchnię
„oblekającą” współczynniki falkowe (rys. 5.16). Wykresy współczynników 2D i 3D przedstawiono na
rysunkach 5.16b, c. Na rysunku 5.16d zamieszczono mapę konturową. Kształt obwiedni dla wybranej
skali obrazuje rysunek 5.16e.
Pomimo różnorodnego podejścia do wyników ciągłej transformaty falkowej, autorce nie udało
się opracować efektywnego algorytmu, który pozwoliłby automatycznie wyszukiwać na skalogramach
współczynniki falkowe reprezentujące daną falę. W istocie, taka procedura byłaby kolejną
dekompozycją, tym razem wykonaną na współczynnikach falkowych, które same reprezentują już
zdekomponowany obraz falowy. Skalogramy, czy to w wersji surowej, czy też po obliczeniu
obwiedni, nadają się natomiast do wizualnej oceny charakterystyki czasowo-częstotliwościowej
pojedynczych obrazów falowych. Nie jest możliwe natomiast ręczne opracowanie w ten sposób
wszystkich obrazów falowych dla całego interwału głębokościowego.
5.4.5 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe
akustycznych obrazów falowych dla wybranych, pojedynczych
częstotliwości
Obliczone w poprzednim etapie badań obwiednie współczynników falkowych wykorzystano do
skonstruowania wykresów czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych, wykreślonych dla
wybranych skal, czyli pojedynczych częstotliwości.
Dysponując mapami obwiedni na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (rys. 5.16c)
zapisywano współczynniki falkowe dla wybranej, pojedynczej skali (tak jak to pokazano na rysunku
5.16e). Taką procedurę wykonano dla każdego rekordu z całego interwału głębokościowego
i wszystkich obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Następnie współczynniki otrzymane
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
84
z poszczególnych obrazów falowych zestawiono zgodnie z numerem rekordu, otrzymując zmianę
współczynników falkowych dla tej samej skali wraz z głębokością. Schemat obliczeń przedstawiono
na rysunku 5.17. Ponieważ skalę można utożsamiać z częstotliwością, otrzymano pewnego rodzaju
„przekroje” głębokościowe akustycznych obrazów falowych dla pojedynczej częstotliwości. Kolorem
zakodowano wartość współczynnika falkowego (a dokładniej obwiedni obliczonej dla modułu
współczynników falkowych) uwypuklając informację o korelacji współczynników falkowych
z sygnałem.
Obliczenia wykonano dla skal o numerach 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 25 i 34, co
w przypadku falki Morleta pozwoliło otrzymać wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe
dla następujących częstotliwości: 20,3 kHz, 18,5 kHz, 17 kHz, 15,5 kHz, 14,5 kHz, 13,5 kHz, 12 kHz,
11,3 kHz, 10,1 kHz, 9,2 kHz, 8 kHz oraz 6 kHz. Wyniki na przykładzie obrazu falowego wf1
przedstawiono na rysunku 5.18.
współczynnikiCWT
czas
ska
la
czę
sto
tliw
ość
ciągła transformatafalkowa
obliczenieobwiedni
czas
am
p AOF
głębokość
h, h
, ..., h
12
n
głęb
okość
h, h
, ...,
h
1
2
n
czas
ska
la
czę
sto
tliw
ość
głęb
okość
h, h
, ...,
h
1
2
n
obwiedniawspółczynnikówCWT
a(h )1
a(h )2
a(h )n
...
głę
bokość
h-h
1n
czas
obwiedniawspółczynnikówCWT dlaskali a
Rys. 5.17 Schemat otrzymania wykresów czasowo-częstotliwościowo-głębokościowych
obliczonych w oparciu o ciągłą transformatę falkową
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
85
Na wykresach można badać zmianę współczynników falkowych z głębokością oraz analizować ich
wartości w obrębie jednej litologii wraz ze zmianą skali (częstotliwości). W pierwszym przypadku
wartości współczynników zmieniają się z głębokością zgodnie ze zmianą litologii. Każdy blok
litologiczny ma swój charakterystyczny rozkład współczynników CWT. Natomiast współczynniki
falkowe wyraźnie zmieniają się w obrębie analizowanej litologii, gdy zmieniana jest skala
(częstotliwość). Współczynniki CWT różnie korelują się z tymi samymi fragmentami obrazu
falowego, tj. z tymi samymi pakietami falowymi, dla różnych częstotliwości. Analizując wartość
współczynników na wykresach czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych można ocenić
częstotliwości poszczególnych pakietów falowych. Należy przy tym pamiętać, że skala kolorów
obrazująca wartość współczynników CWT obowiązuje dla całego wykresu. Dlatego np. fale P i S będą
miały na każdym wykresie dużo niższe wartości współczynników falkowych niż współczynniki
pakietu wysokoamplitudowego, który generalnie dominuje w szerokim zakresie częstotliwości
(rys. 5.15b, c). Porównując na kolejnych wykresach wartości współczynników falkowych, które
odpowiadają danemu pakietowi falowemu w wybranej litologii, można wskazać taką skalę
(częstotliwość), dla której pakiet falowy wykazuje największe współczynniki. Przedstawiono to na
rysunku 5.19 na przykładzie fali S i pseudo-Rayleigha w dolomicie i piaskowcach. Dla skali a = 17,
tj. częstotliwości 12 kHz, wyraźnie widoczna jest fala S. Przechodząc do skali a = 11, tj.
częstotliwości 18,5 kHz na wykresie dominuje pakiet modów fali pseudo-Rayleigha.
Analizując wykresy dla poszczególnych częstotliwości należy zwrócić uwagę na odmienny
charakter rozkładu maksymalnych współczynników falkowych w obrębie różnych bloków
litologicznych. We wszystkich solach (Na3_1, Na3_2 i Na2) w szerokim zakresie częstotliwości (od
20 do 8 kHz) zaznacza się praktycznie tylko pakiet wysokoamplitudowy, pozostałe pakiety falowe są
znacznie słabiej reprezentowane. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, tworzą bardzo podobny wzór wartości
współczynników falkowych na poszczególnych wykresach: cechują się silnymi falami odbitymi
o częstotliwościach 12-16 kHz, które w innych litologiach nie zaznaczają się tak wyraźnie. Mniej
zróżnicowany na tle pozostałych formacji jest dolomit główny Ca2. W piaskowcach P-ce wraz ze
wzrostem skali (zmniejszaniem częstotliwości) obserwuje się coraz wyższe wartości współczynników
CWT odpowiadających pakietowi wysokoamplitudowemu i fali S, natomiast coraz słabiej
reprezentowana jest fala pseudo-Rayleigha. Bardzo charakterystyczną litologią jest wapień
cechsztyński Ca1. W strefach nasyconych gazem ma generalnie niskie wartości współczynników
CWT, które gwałtownie rosną dla bardzo niskich częstotliwości rzędu 6 kHz.
Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej do analizy obrazów falowych pozwoliło na
szczegółowe zapoznanie się z ich charakterystyką częstotliwościową, dzięki wyższej od dyskretnej
transformaty falkowej rozdzielczości częstotliwościowej. Skalogramy CWT doskonale nadają się do
studialnej analizy pojedynczych rejestracji, natomiast trudno je wykorzystać do automatycznej analizy
całego interwału głębokościowego. Zbiorcze opracowanie wszystkich rejestracji uzyskano dzięki
wykresom czasowo-głębokościowo-częstotliwościowym przedstawiającym „przekroje”
głębokościowe obrazów falowych, które zostały wykreślone dla pojedynczych częstotliwości.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
86
Rys. 5.18 (część I) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej
transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 10, 11, 12, 13, 14 i 15)
(plik: Rys. 5.18 Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
87
Rys. 5.18 (część II) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej
transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 17, 18, 20, 22, 25 i 34)
(plik: Rys. 5.18 Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 2)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
88
0 0,4 0,8 1,2 1,6
2191,0
2224,5
[ms]
Głębokość[m]
0 0,4 0,8 1,2 1,6
2191,0
2224,5
[ms]
Głębokość[m]
0 0,4 0,8 1,2 1,6
2305,5
2377,5
[ms]
Głębokość[m]
0 0,4 0,8 1,2 1,6
[ms]
Głębokość[m]
skala = 17 częstotliwość = 12 kHz
do
lom
it g
łów
ny C
a2
do
lom
it g
łów
ny C
a2
skala = 11 częstotliwość = 18,5 kHz
fala P
fala S
skala = 17 częstotliwość = 12 kHz
skala = 11 częstotliwość = 18,5 kHz
2305,5
2377,5
pia
skow
ce
ka
rbońs
kie
P-c
e
pia
skow
ce
ka
rbońs
kie
P-c
e
fala P
fala S
fala ps-R
fala P
fala S
a) b)
c) d)
fala P
fala S
fala ps-R
ska
la k
olo
rów
wspó
łczyn
nik
ów
CW
T:
0
7
Rys. 5.19 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe przedstawiające fragment obrazów falowych
(do pakietu wysokoamplitudowego) w dolomicie głównym Ca2 (a, b) oraz piaskowcach karbońskich P-ce
(c, d) dla skali a = 17 (12 kHz) (a, c) i a = 11 (18,5 kHz) (b, d). Dla wyższych częstotliwości uwidacznia się
fala pseudo-Rayleigha, natomiast zanika fala S
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
89
5.5 Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem
5.5.1 Wprowadzenie
Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem do identyfikacji fal użytecznych na obrazach falowych
oraz rozdzielenia pola falowego wymagało zapoznania się ze specyfiką tej metody oraz jej
możliwościami w zakresie postawionych zadań. W tym celu wykonano szereg badań na danych
syntetycznych oraz sygnałach testowych. Na ich podstawie poznano zalety i wady metody oraz
opracowano metodykę przetwarzania akustycznych obrazów falowych.
W pierwszej kolejności zbadano czułość algorytmu MP na przesunięcia sygnału wzdłuż osi
czasu (rozdzielczość czasową) oraz zdolność rozdzielenia sygnału na składowe różniące się
częstotliwością (rozdzielczość częstotliwościową). Następne badania poprowadzone zostały pod
kątem ustalenia parametrów przetwarzania: optymalnej ilości atomów dekompozycji oraz sposobu
selekcji atomów Gabora reprezentujących fale na akustycznych obrazach falowych. Ostatnim krokiem
było opracowanie metodyki analizy obrazów falowych z wykorzystaniem metody pogoń za
dopasowaniem.
Obliczenia dekompozycji obrazów falowych na atomy Gabora wykonano programem Guimauve
(Brachere 2002), dostępnym w sieci Internet na zasadach darmowej licencji GPL. Program został
zmodyfikowany i dostosowany do potrzeb przetwarzania akustycznych obrazów falowych.
Najważniejsze zmiany w programie obejmowały możliwość przeprowadzenia dekompozycji obrazów
falowych z całego interwału głębokościowego w sposób automatyczny (według omówionej
w podrozdziale 5.5.7 metodyki) oraz zapisywania map Wignera w postaci bitmap, na postawie których
wykonano analizy opisane w rozdziale 5.6. Przy opracowaniu wyników korzystano również
z programu Matlab®.
Program Guimauve umożliwia przeprowadzenie dekompozycji sygnału na określoną z góry
ilość atomów Gabora. Oznacza to, że do sygnału zostanie dopasowana dokładnie zadana ilość
atomów, bez względu na to, czy jest to ilość odpowiednia dla uzyskania dobrej reprezentacji
elementów składowych sygnału. W programie dostępne są opcje: określenia minimalnej
i maksymalnej oktawy, włączenia optymalizacji fazy oraz zwiększenia rozdzielczości czasowej
i częstotliwościowej. Wynikiem działania programu są mapy Wignera wyświetlane na ekranie.
Możliwe jest również zapisanie wartości parametrów dopasowanych atomów Gabora: współczynnika
energetycznego odzwierciedlającego udział danego atomu w całkowitej energii sygnału (jest to
pośrednia miara amplitudy atomu), oktawy, czasu (położenia na osi czasu środka obwiedni atomu)
oraz częstotliwości (częstotliwości modulacji). Atomy są ponumerowane. Atom nr 1 odpowiada
atomowi o największym współczynniku energetycznym (jest to najbardziej dominujący atom w całej
dekompozycji). Na wyświetlanej mapie Wignera można zaznaczać atomy Gabora i wykonać
rekonstrukcję sygnału w dwóch opcjach: na podstawie zaznaczonych atomów, lub na podstawie
wszystkich pozostałych (niezaznaczonych). Rekonstrukcja sygnału jest realizowana poprzez
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
90
sumowanie atomów Gabora. Podając krok próbkowania sygnału program przelicza próbki sygnału na
czas trwania sygnału, a oś pionową mapy Wignera podaje w jednostkach częstotliwości. Te
możliwości programu, rozszerzone i dostosowane do potrzeb przeprowadzonych badań, zostały
wykorzystane do analizy akustycznych obrazów falowych.
5.5.2 Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia
sygnału wzdłuż osi czasu (rozdzielczość czasowa)
Badania nad rozdzielczością czasową algorytmu MP przeprowadzono w celu oceny wrażliwości tej
metody na różnice między dwoma sygnałami, wywołane przesunięciem jednego sygnałów względem
drugiego. Castagna i Sun (2006) zwrócili uwagę na dwie cechy metody pogoń za dopasowaniem
związane z rozdzielczością czasową:
1) Algorytm MP ma trudności w dokładnym określeniu czasu przyjścia interferujących ze sobą fal.
2) Nawet niewielkie zmiany w sygnale mogą spowodować całkowicie inne ułożenie
dekompozycji, co może być przyczyną niestabilności analizy.
Aby ocenić stopień wrażliwości/niestabilności metody posłużono się syntetyczną falą Stoneleya
Stwf1_synt oraz jej zmodyfikowanymi wersjami Stwf1_synt_shift, które powstały w wyniku
przesunięcia sygnału o określoną ilość próbek (część okresu fali). Sygnał syntetyczny przesuwano o:
1, 2, 3, 6, 13, 25 i 50 próbek (odpowiednio o: 1/50, 1/25, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 części okresu i 1cały
okres). Następnie sygnał pierwotny St_synt oraz jego przesunięte wersje poddano dekompozycji MP
na 20 atomów i porównano ich parametry.
Analiza parametrów atomów Gabora pozwala na wysunięcie następujących wniosków:
− Przesunięcie sygnału nawet o 1 próbkę daje inną dekompozycję, tzn. inny zestaw atomów
Gabora (o innych parametrach) niż dla sygnału pierwotnego.
− Określając wrażliwość na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu najważniejszym parametrem
jest położenie atomów Gabora p. Wartości tego parametru dla sygnału pierwotnego oraz
sygnałów przesuniętych zostały przedstawione w tabeli 5.5. Przesunięcie fali nawet o cały okres
nie powoduje przesunięcia najbardziej znaczącego atomu 1 (tzn. wyjaśniającego największą
część energii sygnału). Przesunięcie fali jest odtwarzane przez sumę mniej znaczących atomów,
które korygują kształt atomu najbardziej znaczącego, tak by suma atomów dawała jak najlepszą
rekonstrukcję sygnału. W zależności od stopnia przesunięcia zmienia się ilość atomów
korygujących: im mniej przesunięty sygnał tym mniej atomów korygujących, a więcej atomów
o niezmienionym położeniu w stosunku do atomów dekompozycji sygnału pierwotnego, które
tworzą tzw. rdzeń (tab. 5.5). Rdzeń i czynnik korygujący dla dwóch przykładowych przesunięć
przedstawiono na rysunku 5.20.
Podsumowując, metoda MP z jednej strony jest bardzo wrażliwa na zmiany w sygnale, gdyż dla
drobnych przesunięć daje zupełnie inny zestaw atomów. Z drugiej strony charakteryzuje się sporą
bezwładnością pod względem dopasowania położenia najbardziej znaczących atomów do sygnału. Ta
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
91
ostatnia cecha metody pogoń za dopasowaniem może skutkować pewną „niewrażliwością” na drobne
zmiany w położeniu pakietu wysokoamplitudowego, gdyż będzie on zawsze reprezentowany przez
atomy o najwyższych współczynnikach energetycznych. Wpływ czynnika korygującego będzie
zależał od tego, czy atomy wchodzące w jego skład zostaną wybrane do rekonstrukcji danego pakietu
falowego.
5.5.3 Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP
Rozdzielczość częstotliwościową algorytmu MP zbadano na przykładzie specjalnie skonstruowanego
sygnału syntetycznego złożonego z trzech elementów: A, B, C. Każdy z elementów utworzony został
z atomu Gabora, o takim samym położeniu, oktawie, amplitudzie i fazie, ale różnej częstotliwości.
Suma tych elementów dała sygnał syntetyczny ABC (rys. 5.21a). Sygnał ABC poddano dekompozycji
na 20 atomów (rys. 5.21b), a następnie wybrano z niej atomy, które były najlepiej dopasowane do
elementów tworzących sygnał. Selekcję atomów przeprowadzono głównie w oparciu o częstotliwość
i położenie. Dodatkowym parametrem branym pod uwagę był współczynnik energetyczny
(amplituda). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano elementy A, B i C oraz sygnał ABC,
otrzymując odpowiednio A_rekon, B_rekon, C_rekon i ABC_rekon (rys. 5.21c).
Tabela 5.5
Położenie p atomów Gabora dla sygnału Stwf1_synt oraz sygnałów przesuniętych Stwf1_synt_shift.
Dla sygnałów przesuniętych zaznaczono na zielono atomy tworzące rdzeń, czyli atomy o takim samym
położeniu jak atomy sygnału pierwotnego. Pozostałe atomy składają się na czynnik korygujący kształt
rdzenia, tak aby suma wszystkich atomów dawała jak najlepszą rekonstrukcję sygnału
Położenie p atomów Gabora [nr próbki]
nr atomu
Przesunięcie [liczba próbek]
1 2 3 4 5 ... 20
Rdzeń
[nr atomów]
Czynnik korygujący [nr atomów]
0 (Stwf1_synt) 512 640 576 448 512 ... 448 – –
1 512 640 576 512 448 ... 640 1-3 4-20
2 512 640 576 576 488 ... 448 1-3 4-20
3 512 640 576 576 448 ... 512 1-3 4-20
6 512 640 512 512 640 ... 640 1-2 3-20
13 512 640 512 512 448 ... 512 1-2 3-20
25 512 416 480 576 352 ... 288 1 2-20
(Stw
f1_
syn
t_sh
ift)
50 512 448 576 384 448 ... 512 1 2-20
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
92
Rekonstrukcja poszczególnych elementów składowych pod względem częstotliwości jest dobra,
choć odtworzenie amplitud jest niezadowalające. Pomimo tego zrekonstruowany sygnał ABC_rekon
jest bardzo zbliżony do sygnału pierwotnego.
Sygnał ABC okazał się zbyt trudnym dla algorytmu MP, dlatego skonstruowano
zmodyfikowany sygnał A’B’C’. Elementy składowe sygnału zostały przesunięte względem siebie
(rys. 5.22a). Następnie powtórzono całą procedurę przetwarzania i rekonstrukcji. Wyniki obrazują
rysunki 5.22b (mapa Wignera sygnału A’B’C’) oraz 5.22c (zrekonstruowane elementy składowe
i sygnał). Dla tego przypadku metoda pogoń za dopasowaniem poradziła sobie znacznie lepiej niż dla
przypadku, w którym elementy składowe różniły się jedynie częstotliwością.
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
-0,3
0,3
0
-0,3
0,3
0
-0,3
0,3
0
-0,3
0,3
0
-0,3
0,3
0
-0,3
0,3
0
a)
b)
Stwf1_synt
Stwf1_synt_shift(1 próbka = 1/50 okresu)
Rdzeń (atom nr 1 + atom nr 2+ atom nr 3)
Czynnik korygujący(suma atomów nr 4-20)
Stwf1_synt
Stwf1_synt_shift(50 próbek = 1 okres)
Rdzeń(atom nr 1)
Czynnik korygujący(suma atomów nr 2-20)
Rys. 5.20 Rdzeń i czynnik korygujący dla sygnału przesuniętego o 1 próbkę (a) i 50 próbek (b).
Sygnał Stwf1_synt przesunięto o określoną liczbę próbek tworząc sygnał Stwf1_synt_shift. Oba sygnały
poddano dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem otrzymując dwa zestawy dwudziestu atomów
Gabora, które porównano między sobą. Analizując położenie p odpowiadających sobie atomów Gabora w obu
dekompozycjach, wyznaczono rdzeń (atomy o takim samym położeniu jak atomy sygnału Stwf1_synt) oraz
czynnik korygujący (pozostałe atomy). Sumując wszystkie atomy z dekompozycji otrzymuje się doskonale
odtworzony sygnał (tzn. suma rdzenia i czynnika korygującego daje doskonałą rekonstrukcję sygnału)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
93
A
B
C
ABC
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
30
25
20
15
10
5
0
a)
b)
c)
-1
1
0
AA_rekon
BB_rekon
CC_rekon
ABCABC_rekon
skala
ko
loró
w a
tom
ów
Gab
ora
0
0,5
1,0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-3
3
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-3
3
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
A
B
C
Rys. 5.21 Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem:
dekompozycja sygnału ABC zbudowanego z trzech elementów różniących się jedynie częstotliwością
(szczegółowe objaśnienia w tekście)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
94
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
30
25
20
15
10
5
0
a)
b)
c)
-1
1
0
skala
ko
loró
w a
tom
ów
Gab
ora
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-2
2
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-2
2
0
A’
B’
C’
A’B’C’
A’A’_rekon
B’B’_rekon
C’C’_rekon
A’B’C’A’B’C’_rekon
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
A’
B’
C’
0
0,5
1,0
Rys. 5.22 Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem:
dekompozycja sygnału A’B’C’ zbudowanego z trzech elementów różniących się
częstotliwością oraz położeniem (szczegółowe objaśnienia w tekście)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
95
Odnosząc te wyniki do akustycznych obrazów falowych widać, że poprawne rozdzielenie pola
falowego wraz z zachowaniem amplitud poszczególnych fal charakteryzujących się podobnymi
prędkościami (występowaniem na osi czasu) będzie trudnym zadaniem dla algorytmu MP. Takim
przypadkiem może być fala S interferująca z najwyższymi modami fali pseudo-Rayleigha. Jeśli fale
będą się różniły pod względem częstotliwości i jednocześnie czasem przyjścia (jak to jest to dla fal P,
S i Stoneleya), to algorytm MP może być efektywną metodą identyfikacji i wydzielenia fal z obrazów
falowych.
5.5.4 Dobór ilości atomów dekompozycji
Optymalny dobór ilości atomów dekompozycji jest istotny z punktu widzenia dokładności analizy. Na
przykładzie sygnałów syntetycznych zbadano wpływ zbyt dużej liczby atomów dopasowywanych do
sygnału. Dodając do sygnałów syntetycznych szum, określono jego wpływ na ilość atomów
potrzebnych do poprawnego odtworzenia sygnału. Następnie określono optymalną liczbę atomów
dekompozycji dla akustycznych obrazów falowych z otworu K6.
Miarą dokładności reprezentowania sygnału przez dopasowane atomy jest wykres zaniku
energii, pokazujący ile procent energii sygnału pozostało do objaśnienia przez daną liczbę atomów
dekompozycji. W połączeniu z mapą Wingera i rekonstrukcją sygnału pozwala to stwierdzić, czy
założona ilość atomów jest ilością wystarczającą, za małą czy za dużą. Na rysunkach 5.23a, b
pokazano jak zmienia się obraz dekompozycji w zależności od ilości atomów Gabora. Na przykładzie
sygnału syntetycznego wf1_synt pokazano, że zbyt duża liczba atomów (tutaj: 100 atomów), skutkuje
tworzeniem atomów, które nie mają nic wspólnego z elementami składowymi sygnału, a jedynie
wprowadzają zakłócenia do dekompozycji. Aby zbadać jak na dekompozycję MP wpływa
zaszumienie sygnału, wprowadzono do sygnału wf1_syn szum, taki, że stosunek S/N wynosił -3 dB.
Wyniki przedstawiono na rysunkach 5.23c, d. Dodanie szumu spowodowało zwiększenie liczby
atomów potrzebnych do poprawnego reprezentowania struktur sygnału.
Analizując wykresy zaniku energii, mapy Wignera oraz rekonstruując sygnał na podstawie ilości
atomów objaśniających zadany procent energii sygnału, ustalono, że optymalna liczba atomów to taka,
która objaśnia 90-95% energii sygnału. Taka dekompozycja pozwala na dobrą rekonstrukcję
prawdziwych elementów sygnału. Dążenie do objaśnienia 100% energii skutkuje próbą objaśnienia
struktur, których nie ma w sygnale (rys. 5.23a), bądź odtworzeniem szumu (rys. 5.23c). Z drugiej
strony zbyt mała liczba atomów wchodzących w skład dekompozycji skutkuje odtworzeniem jedynie
dominujących struktur sygnału i pominięciem bardziej subtelnych elementów składowych.
Przeprowadzając dekompozycję MP na sygnałach testowych (danych rzeczywistych) określono,
że objaśnienie 90-95% energii akustycznych obrazów otrzymuje się dla 60 atomów Gabora.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
96
skala kolorów atomów Gabora
0 0,5 1,0
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
-0,4
0,4
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
-0,4
0,4
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
-0,4
0,4
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
-0,4
0,4
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0
0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0
Ene
rgia
[%
]
1 1004020 60 80
ilość atomów
0
100
40
20
60
80
wf1_synt wf1_synt
Ene
rgia
[%
]
1 15
ilość atomów
0
100
40
20
60
80
wf1_synt_rand wf1_synt_rand
En
erg
ia [%
]
1 1004020 60 80
ilość atomów
0
100
40
20
60
80
En
erg
ia [%
]
1 3015
ilość atomów
0
100
40
20
60
80
a) b)
c) d)
Rys. 5.23 Wpływ ilości atomów dekompozycji na dokładność analizy
na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt (a, b) i sygnału zaszumionego wf1_synt_rand (c, d).
Miarą dokładności analizy jest wykres zaniku energii, obrazujący ile procent energii sygnału pozostało do
objaśnienia przez daną liczbę atomów. Na przykładzie sygnału wf1_synt pokazano, że dążenie do
objaśnienia 100% energii sygnału (a) skutkuje dopasowaniem atomów do struktur, których nie ma w sygnale.
Ilość atomów dekompozycji objaśniająca 90-95% energii (b) jest optymalną liczba pozwalająca na dobrą
rekonstrukcję prawdziwych struktur sygnału. W przypadku sygnału zaszumionego wf1_synt_rand za duża
liczba atomów dekompozycji (c) powoduje nadmierne odtworzenie szumu (wydłużone atomy Gabora o
stosunkowo niewysokich energiach). Zastosowanie reguły 90-95% (d) daje dobrą rekonstrukcję struktur
sygnału przy jednoczesnym ograniczeniu szumu
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
97
5.5.5 Badania na danych syntetycznych
Badania na syntetycznej parze obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt miały za zadanie przetestować
możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do rozdzielenia pola falowego.
Rozdzielone pakiety falowe mogą być wykorzystane do lepszego określenia czasów interwałowych
(prędkości) użytecznych fal akustycznych. Schemat badań prowadzących do rozdzielenia pola
falowego i określenia czasów interwałowych rozdzielonych pakietów falowych przedstawia rysunek
5.24.
Sygnały tworzące syntetyczną parę obrazów falowych zostały skonstruowane w oparciu o założone
parametry prędkości i częstotliwości fal P, S oraz Stoneleya (tab. 5.1, rys. 5.25a). Na podstawie
prędkości obliczono czasy przyjścia fal do bliższego (O1) i dalszego (O2) odbiornika, odpowiednio:
TP1_synt, TS1_synt, TSt1_synt oraz TP2_synt, TS2_synt, TSt2_synt, a także czasy interwałowe:
DTP_synt, DTS_synt i DTSt_synt. Parametry te posłużyły do skonstruowania sygnałów syntetycznych
wf1_synt i wf3_synt. Sygnały syntetyczne poddano osobnym dekompozycjom MP. Wybierając
odpowiednie atomy reprezentujące poszczególne fale (tab. 5.6, rys. 5.25b) zrekonstruowano fale
Założenie parametrówfal akustycznych
Dekompozycja sygnałów
i rekonstrukcja falna podstawie
atomów Gabora
metodą pogońza dopasowaniem
Porównanieczasów przyjścia
i czasów interwałowych
TP1_synt, TS1_synt, TSt_syntTP2_synt, TS2_synt, TSt_synt
DTP_synt, DTS_synt, DTSt_synt
TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb,TSt_synt_MP_semb
DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb,DTSt_synt_MP_semb
Pwf1_synt_MP, Pwf3_syntSwf1_synt , Swf3_synt
Stwf1_synt , Stwf3_synt
wf1_synt , wf3_synt
_MP_MP _MP_MP _MP
_MP _MP
V , V ,V
f , f , fP S St
P S St
Pwf1_synt, Pwf3_syntSwf1_synt, Swf3_syntStwf1_synt, Stwf3_synt
wf1_synt, wf3_synt
Rys. 5.24 Schemat rozdzielenia pola falowego metodą pogoń za dopasowaniem i określenia czasów
interwałowych pakietów falowych na przykładzie pary syntetycznych obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt
(szczegółowe omówienie w tekście)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
98
składowe: Pwf1_synt_MP, Swf1_synt_MP, Stwf1_synt_MP, Pwf3_synt_MP, Swf3_synt_MP,
Stwf3_synt_MP (rys. 5.25c). Selekcja atomów w przypadku sygnałów syntetycznych nie sprawiała
problemów, ponieważ znane były parametry sygnałów składowych (czas przyjścia fal i ich
częstotliwość), a tym samym określone było położenie i częstotliwość atomów Gabora. Wydzielone
metodą MP składowe sygnałów syntetycznych utworzyły pary fal akustycznych, na postawie których
obliczono czasy interwałowe poszczególnych fal. Obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin systemu
Geowin® (Jarzyna et al. 2001) za pomocą funkcji semblance. W wyniku otrzymano czasy przyjścia fal
do odbiornika O1: TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb, TSt1_synt_MP_semb oraz czasy
interwałowe: DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb i DTSt_synt_MP_semb. Te wielkości
porównano z parametrami wejściowymi (TP1_synt, DTP_synt itd.).
Tabela 5.6
Parametry atomów Gabora otrzymane w wyniku dekompozycji sygnału syntetycznego wf1_synt.
Kolorami przedstawiono wybrane atomy reprezentujące syntetyczne fale P, S i Stoneleya
Nr atomu Amplituda
funkcji Gabora Oktawa
Położenie [ms]
Częstotliwość [kHz]
1 3,432 8 2,048 5,00
2 1,261 9 1,536 9,96
3 0,390 9 2,56 5,00
4 0,218 7 1,28 9,96
5 0,211 8 1,024 18,00
6 0,089 8 1,792 9,77
7 0,055 7 2,304 5,46
8 0,048 8 2,048 4,88
9 0,026 9 1,536 18,10
10 0,025 8 1,024 9,92
11 0,023 8 2,816 4,98
12 0,023 7 1,792 3,25
13 0,017 7 1,536 10,39
14 0,011 7 1,28 15,27
15 0,011 8 2,304 9,93
16 0,010 7 2,432 5,10
17 0,008 9 1,536 6,50
18 0,005 7 0,768 17,90
19 0,004 8 2,048 2,28
20 0,003 6 1,728 14,29
Fala Pwf1_synt = atom nr 5
Fala Swf1_synt = atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7
Fala Stwf1_synt = atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
99
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
30
25
20
15
10
5
0
b)
c)
skala
kolo
rów
ato
mów
Ga
bora
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
0
0,5
1,0
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
wf1_synt
a)
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
Atom Gabora reprezentujący falę P
Atomy Gabora reprezentujące falę S
Atomy Gaborareprezentujące falę St
0,4
0
0,4
0
0,4
0
0,4
0
-0,4
-0,4
-0,4
-0,4
Pwf1_synt
Pwf1_synt_MP (atom nr 5)
Swf1_synt
Swf1_synt_MP (atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7)
Stwf1_synt
Stwf1_synt_MP (atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6)
wf1_synt
wf1_synt_MP
Rys. 5.25 Schemat rozdzielenia pola falowego i rekonstrukcji fal akustycznych za pomocą metody pogoń
za dopasowaniem na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt.
Sygnał syntetyczny wf1_synt skomponowany ze składowych odpowiadających falom P, S i Stoneleya (a)
został poddany dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem. Na mapie Wignera znaczono atomy
reprezentujące poszczególne fale akustyczne, wybrane w oparciu o parametry atomów odpowiadające
własnościom fal (b). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano składowe sygnału syntetycznego
oraz odtworzony na tej podstawie sygnał syntetyczny (c)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
100
Wyniki funkcji semblance dla odtworzonych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem elementów
składowych sygnałów syntetycznych są zgodne z założonymi parametrami wykorzystanymi do ich
skonstruowania. Potwierdza to duże możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do
rozdzielenia pola falowego i wykorzystaniu go do lepszego określenia własności sprężystych skał.
Powodzenie tej metody opiera się na wyborze odpowiednich atomów Gabora, czyli poprawnym
zdefiniowaniu ich parametrów, tak aby określały one parametry poszczególnych fal akustycznych.
5.5.6 Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal
akustycznych z obrazów falowych
Identyfikacja i wydzielenie fal akustycznych z obrazów falowych na podstawie dekompozycji metodą
pogoń za dopasowaniem wymagała określenia warunków wyboru atomów reprezentujących daną falę.
Warunki te nałożone zostały na parametry atomów Gabora, tak by odpowiadały własnościom fal
akustycznych.
Ponieważ pakiet wysokoamplitudowy nie został jednoznacznie zakwalifikowany jako fala
w płuczce lub fala Stoneleya (rozdz. 4.1.2), dlatego przedmiotem identyfikacji były fale: P, S, pakiet
wysokoamplitudowy, nazywany tutaj „falą w płuczce”, oraz fala „Stoneleya” – pakiet falowy, który
występowałby za pakietem wysokoamplitudowym, gdyby ten okazał się falą w płuczce. Stwierdzenie,
czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce, czy raczej falą Stoneleya, jest dodatkowym
przedmiotem tych badań. Poniżej omówiono parametryzację atomów Gabora, która stanowiła
podstawę selekcji atomów jako reprezentantów danej fali akustycznej.
Częstotliwość
Częstotliwość jest częstotliwością modulacji funkcji Gabora. Zakres częstotliwościowy akustycznych
obrazów falowych jest uzależniony od częstotliwości nadajnika (20 kHz) oraz filtrację
górnoprzepustową w sondzie (5 kHz). Częstotliwość nadajnika w rzeczywistości odpowiada za
częstotliwość środkową emitowanego sygnału, który charakteryzuje się pewną szerokością pasma. Dla
sondy LSS ten parametr jest nieznany, niemniej ośrodek geologiczny działa jak filtr dolnoprzepustowy
i najszybciej pozbawia sygnał najwyższych częstotliwości. Dlatego uzasadnione jest analizowanie
atomów Gabora o częstotliwościach z zakresu 5-20 kHz.
Oktawa
Oktawa odpowiada za szerokość obwiedni atomu w domenie czasu. Zależy od częstotliwości
próbkowania sygnału fs oraz liczby próbek sygnału n. Długość atomów w czasie powinna
odzwierciedlać czas trwania fali akustycznej. Na podstawie testów wybrano dla fal P, S i „Stoneleya”
oktawy od 6 do 8 (odpowiednio: od 0,256 ms do 1,024 ms). Dla „fali w płuczce” wybrano oktawy 6
i 7 (odpowiednio 0,256 ms i 0,512 ms).
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
101
Położenie
Położenie to pozycja środka obwiedni atomu w czasie. Z powodu mało wyraźnego zróżnicowania
częstotliwości, jest to kluczowy parametr pozwalający zidentyfikować fale akustyczne. Dzięki różnej
prędkości propagacji fale dochodzą do odbiorników w różnym czasie. Położenie atomów Gabora
zostało określone osobno dla każdej fali akustycznej, litologii i odległości nadajnik-odbiornik.
Przedziały czasów przyjścia poszczególnych fal wyznaczono w oparciu o wizualną ocenę
kinematycznych i dynamicznych cech akustycznych obrazów falowych.
Amplituda
Amplituda opisuje amplitudę funkcji okna. Jest to ilość energii sygnału wyjaśniana przez daną
funkcję. Amplituda atomu Gabora odpowiadającego tej funkcji może mieć niższe amplitudy
w zależności od częstotliwości, fazy i oktawy (Durka 1996).
Z amplitudą wiąże się liczba atomów dekompozycji (atomy są ponumerowane według energii,
czyli pośrednio według amplitudy). Wcześniejsze badania pozwoliły ustalić, że optymalne wyniki
otrzymuje się dla dekompozycji na 60 atomów Gabora.
Faza
Faza była przedmiotem osobnej optymalizacji według algorytmu zaproponowanego przez Mallata
i Zhanga (1993) (opcja programu Guimauve) i nie miała wpływu na wybór atomów reprezentujących
fale akustyczne.
5.5.7 Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu
o parametryzację atomów Gabora
Rozdzielenie pola falowego polegało na wydzieleniu fal akustycznych z obrazów falowych w oparciu
o atomy Gabora reprezentujące daną falę. Z uwagi na obecność charakterystycznego
wysokoamplitudowego pakietu falowego, algorytm MP postrzegał falę P, cechującą się niewielkimi
amplitudami, jako mało istotną w całym sygnale. Aby zminimalizować ten efekt opracowano
dwustopniowy schemat wydzielenia fal z obrazów falowych, który obejmował następujące etapy:
1) Dekompozycję obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem.
2) Wydzielenie pakietu wysokoamplitudowego („fali w płuczce”) w oparciu o zdefiniowaną
parametryzację.
3) Rekonstrukcję „fali w płuczce”.
4) Rekonstrukcję sygnału bez „fali w płuczce”.
5) Ponowną dekompozycję sygnału bez pakietu wysokoamplitudowego.
6) Wydzielenie fal P, S i „Stoneleya” w oparciu o zdefiniowaną parametryzację.
7) Rekonstrukcję fal P, S i „Stoneleya”.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
102
Powyższy schemat realizacji rozdzielenia pola falowego na przykładzie pojedynczego sygnału wf1
z litologii A1g przedstawiony został na rysunku 5.26. Rozdzielone pakiety falowe na przykładzie
obrazu falowego wf1 przedstawiono na rysunku 5.27.
Wydzielenie fal w oparciu o zdefiniowaną parametryzację związane było z odpowiednim
systemem wyboru atomów odpowiadających danemu pakietowi falowemu.
Metodyka wyszukiwania atomów reprezentujących „falę w płuczce” obejmowała w kolejności:
− Sortowanie według położenia atomu (tj. czasu przyjścia fali).
− Sortowanie według oktawy (w grupie atomów wyznaczonych w pierwszym sortowaniu).
− Sortowane według częstotliwości (w grupie atomów wyznaczonych po drugim sortowaniu).
Pierwsze sortowanie wybierało z całej dekompozycji atomy Gabora, które mogły reprezentować
pakiet wysokoamplitudowy pod kątem czasu przyjścia. Drugie sortowanie, przeprowadzone w grupie
atomów wyznaczonych za pomocą pierwszego sortowania, ograniczało zbiór do atomów
o odpowiedniej długości (tj. czasie trwania). Ostatnie sortowanie zawężało wybór do atomów
spełniających warunek odpowiedniej częstotliwości.
Wybór atomów reprezentujących fale: P, S i „Stoneleya” przeprowadzono w odmiennej
kolejności:
− Sortowanie według oktawy.
− Sortowanie według częstotliwości.
− Sortowanie według położenia.
W analizowanym zagadnieniu najbardziej decydującym parametrem rozdzielenia pola falowego było
położenie atomów (tj. czas przyjścia fal), ponieważ fale pod względem częstotliwości różniły się
znacznie słabiej. Przedstawiona metodyka selekcji atomów Gabora okazała się najbardziej przejrzysta
dla przeprowadzającego badania, gdyż rozdzielała pole falowe na zawężonym zbiorze atomów
Gabora, czyli po odrzuceniu tych, które nie spełniały pozostałych warunków (tj. czasu trwania
i częstotliwości).
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
103
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
30
25
20
15
10
5
0
b)
c)
ska
la k
olo
rów
ato
mó
w G
ab
ora
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
0
0,5
1,0
Pakiet wysokoamplitudowy (”fala w płuczce”)
atom nr 10 + atom nr 17 + atom nr 49atom nr 3 +
Akustyczny obraz falowy
bez “fali w płuczce”
a) 5
0
-5
Atomy Gaborareprezentujące “falę w płuczce”
0,4
0
0,4
0
0,4
0
-0,4
-0,4
-0,4
P_MP (atom nr 27)
S_MP (atom nr 16 + atom nr 46 + atom nr 56 + atom nr 59)
St_MP (atom nr 3 + atom nr 6 + atom nr 7)
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)
Atom Gaborareprezentujący
falę P
Atomy Gabora reprezentujące falę S
Atomy Gaborareprezentujące falę St
wf1, rekord 1500 (A1g)
5
0
-5
5
0
-5
d)
e)
Rys. 5.26 Schemat dekompozycji akustycznych obrazów falowych na przykładzie sygnału wf1
zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g.
Akustyczny obraz falowy (a) poddawany był dekompozycji algorytmem MP (b), na podstawie której
wydzielano z sygnału pakiet wysokoamplitudowy („falę w płuczce”) i rekonstruowano sygnał pozbawiony
tego pakietu (c) Następnie, tak przetworzony obraz falowy dekomponowano raz jeszcze (d) i wydzielano
z niego fale P, S i Stoneleya (e)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
104
Rys. 5.27 Rozdzielone pole falowe akustycznych obrazów falowych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem
(plik: Rys. 5.27 Rozdzielone pakiety falowe wf1.cdr)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
105
5.5.8 Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych
metodą pogoń za dopasowaniem: analizy czasu
interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal
Zaproponowany schemat przetwarzania obrazów falowych doprowadził do rozdzielenia pola falowego
na fale: P, S, „falę w płuczce” i „Stoneleya” (rys. 5.27). Otrzymano również akustyczne obrazy
falowe, z których usunięto pakiet wysokoamplitudowy („falę w płuczce”). Wyznaczone metodą pogoń
za dopasowaniem pakiety falowe posłużyły do dalszych obliczeń: czasu interwałowego
poszczególnych fal oraz ich częstotliwości. Schemat badań, który doprowadził do otrzymanych
wyników przedstawia rysunek 5.28. Wyniki obliczeń czasu interwałowego i częstotliwości w funkcji
głębokości zostały przedstawione na rysunku 5.29. Prezentowane na tym rysunku krzywe są średnimi
wartościami odpowiednich parametrów uzyskanych z obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Wyniki
zostały wygładzone 21-punktową średnią krokową. Poniżej szczegółowo omówiono analizy czasu
interwałowego i częstotliwości fal.
Analiza czasu interwałowego
Zrekonstruowane metodą MP pakiety falowe wczytano do systemu Geowin®8
i za pomocą funkcji
semblance obliczono czasy interwałowe: fali S (DTS_MP), pakietu wysokoamplitudowego
(DTPł_MP) oraz fali „Stoneleya” (DTSt_MP). Aplikacja FalaWin w module Fala2, który umożliwia
automatyczne obliczenie czasów interwałowych dla całego odcinka otworu, nie wykorzystuje funkcji
semblance do obliczenia czasu interwałowego fali P. Wyznacza go na podstawie „aparaturowych”
czasów interwałowych DT8 i DT10. Z tego powodu nie otrzymano czasu interwałowego DTP_MP.
Czasy interwałowe pakietów falowych wydzielonych z obrazów falowych porównano z odpowiednimi
czasami interwałowymi obliczonymi z oryginalnych rejestracji, tj. obrazów falowych przed
dekompozycją. Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego DTPł_MP zestawiono razem
z DTSt_oryg i DTSt_MP, aby móc stwierdzić, czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce czy
Stoneleya. Porównanie czasów interwałowych (rys. 5.29) prowadzi do następujących obserwacji
i wniosków:
− Czasy interwałowe fali S: DTS_MP i DTS_oryg, mają taki sam przebieg i bardzo zbliżone
wartości. Podobnie jest z krzywymi dla fali Stoneleya: DTSt_MP i DTSt_oryg, za wyjątkiem
głębokości obejmujących wapień cechsztyński Ca1. Dowodzi to skuteczności metody pogoń za
dopasowaniem w zagadnieniu rozdzielenia pola falowego i wydzielenia fal użytecznych
z akustycznych obrazów falowych.
8 Import danych do Geofizycznej Bazy Danych (GBD) systemu Geowin
® wykonano za pomocą specjalnie
powstałej w tym celu aplikacji Asciiconverter autorstwa Krzysztofa Marzenckiego. Aplikacja ta umożliwia
import i eksport profilowań skalarnych i wektorowych zapisanych w formacie tekstowym do i z GBD. Aplikacja
zostanie włączona do powstającej najnowszej wersji systemu Geowin®.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
106
− W nasyconym gazem poziomie Ca1 czas interwałowy DTSt_MP ma większe wartości od
DTSt_oryg. Jedną z przyczyn rozbieżności może być przyjęta parametryzacja atomów Gabora.
Opierając się na cechach dynamicznych obrazów falowych, fala „Stoneleya” w poziomie Ca1
została wyznaczona później niż w pozostałych litologiach. Falę „Stoneleya” zdefiniowano jako
falę występującą za pakietem wysokoamplitudowym, który w poziomie Ca1 jest bardzo
rozciągnięty w czasie. Pośrednio mogło to wpłynąć na zwiększenie czasu interwałowego
obliczanego funkcją semblance.
− Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego ma znacznie niższe wartości niż DTSt_MP
prędkość DTSt_oryg, czyli charakteryzuje się większą prędkością propagacji niż pakiety falowe,
na podstawie których obliczono DTSt_MP i DTSt_oryg. Wskazuje to, że pakiet
wysokoamplitudowy rzeczywiście odpowiada fali w płuczce. Prędkość pakietu
wysokoamlitudowego obliczona z krzywej DTPł_MP wynosi około 1700-1750 m/s. Gdyby
pakiet wysokoamplitudowy był falą Stoneleya, to wtedy fala biegnąca w płuczce musiałaby
mieć prędkość około 1950-2000 m/s, co jest wartością za wysoką. Dodatkowym argumentem
przemawiającym za tym wnioskiem jest brak zmian czasu interwałowego DTPł_MP
w nasyconym gazem wapieniu cechsztyńskim Ca1.
− Dysponując krzywymi czasu interwałowego fali w płuczce i fali Stoneleya można policzyć, o ile
fala Stoneleya jest wolniejsza od fali w płuczce. Na podstawie literatury wiadomo, że w
szybkich formacjach VSt powinno wynosić około 0,9 Vpł. W przypadku, gdy prędkość fali S
spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce spada również prędkość fali Stoneleya
i jednocześnie zmniejsza się stosunek prędkości VSt do Vpł (rozdz. 3.2, rys. 3.9).
Rys. 5.28 Schemat blokowy badań prowadzących do otrzymania czasów interwałowych
i częstotliwości fal akustycznych wydzielonych z obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
107
Do obliczenia stosunku prędkości fali Stoneleya do prędkości fali w płuczce
wykorzystano obie krzywe czasu interwałowego: DTSt_oryg oraz DTSt_MP. W pierwszym
przypadku stosunek ten wyniósł około 0,9-0,94 dla całego interwału głębokościowego.
W przypadku drugim zaobserwowano w Ca1 znaczący spadek stosunku prędkości do wartości
około 0,84. Jednocześnie w tym poziomie litologicznym obserwuje się obniżenie prędkości fali
S (zwiększenie zarówno czasu interwałowego DTS_oryg jak i DTS_MP). Jest to zgodne
z informacją o spadku prędkości fali Stoneleya wraz ze zmniejszeniem prędkości fali S
i przemawia za poprawnym określeniem czasu interwałowego fali Stoneleya za pomocą
dekompozycji MP, a błędnym określeniem DTSt_oryg z nierozdzielonych obrazów falowych
w tej litologii. Na tej podstawie można wnioskować, że zwiększenie czasu interwałowego
DTSt_MP w poziomie Ca1 jest spowodowane głównie własnością fali Stoneleya, a nie tylko
parametryzacją atomów Gabora.
− Obniżenie prędkości fali S w poziomie Ca1 nie może być wywołane obecnością gazu, ponieważ
media wypełniające przestrzeń porową w znikomy stopniu wpływają na prędkość rozchodzenia
się fali poprzecznej. Nie jest to również wpływ samej porowatości, ponieważ dolomit główny
charakteryzuje się podobną porowatością a nie obserwuje się w nim obniżenia prędkości fali S.
Obniżenie prędkości tej fali musi być spowodowane innymi własnościami sprężystymi szkieletu
skalnego wapienia cechsztyńskiego, tym bardziej, że jest ono obserwowane w całym interwale
Ca1 a nie tylko w poziomach gazonośnych.
Analiza częstotliwości
Częstotliwość najbardziej znaczącego atomu Gabora w wydzielonym pakiecie falowym została
przyjęta jako częstotliwość dominująca danej fali akustycznej. Częstotliwości zostały wyznaczone
osobno dla fal wydzielonych z każdego obrazu falowego: wf1, wf2, wf3 i wf4. Nie zaobserwowano
żadnej relacji między częstotliwością a odległością nadajnik-odbiornik. Dlatego prezentowane na
rysunku 5.29 krzywe: f_P, f_S, f_Pł i f_St, są częstotliwościami uśrednionymi, uzyskanymi z obrazów
wf1, wf2, wf3 i wf4. Częstotliwości fal P, S, „w płuczce” i „Stoneleya”, poza drobnymi wyjątkami, są
bardzo zbliżone do siebie i obejmują wartości z zakresu 10-15 kHz. Słaba jest także zmienność
częstotliwości z litologią. Jednak bardzo uważna analiza wzajemnych relacji między
częstotliwościami w obrębie najważniejszych bloków litologicznych pozwala uchwycić pewne
zależności:
− Zmiana częstotliwości z litologią jest mało wyraźna, gdyż przedział zmian częstotliwości jest
niewielki (od około 12 kHz, sporadycznie od 10 kHz, do 15 kHz). Można jednak zauważyć
znaczące obniżenie częstotliwości w poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1, szczególnie
w poziomach gazonośnych, sięgające 8 kHz. Dobrze widoczne jest to na krzywych blokowych
f_blok przedstawiających średnią wartość częstotliwości obliczoną dla każdej litologii.
− Sole Na3_1, Na3_2 i Na2 wyróżniają się spośród całego interwału bardzo zbliżonymi do siebie
wartościami częstotliwości fal P, „fali w płuczce” i fali „Stoneleya”. Krzywe częstotliwości tych
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
108
fal przeplatają się ze sobą. Niższymi częstotliwościami wyróżnia się fala S. Charakterystykę
częstotliwościową w solach można opisać relacją: fS < fP ≈ fPł ≈ fSt.
− Anhydryty A3d, A2d i A1g oraz stropowa część dolomitu głównego Ca2 charakteryzują się
niższymi częstotliwościami fali P w stosunku do częstotliwości fali S. Spągowa część dolomitu
głównego Ca2, wapień cechsztyński Ca1 oraz piaskowce P-ce mają odwrotną relację
częstotliwości fal P i S, tzn. fS < fP. Częstotliwość fali „Stoneleya” we wszystkich wyżej
wymienionych litologiach zachowuje się w bardzo zmienny sposób przyjmując wartości
większe, mniejsze lub zbliżone w stosunku do pozostałych fal. „Fala w płuczce” ma wyraźną
tendencję do przyjmowania najniższych częstotliwości spośród wydzielonych pakietów
falowych. Szczegółowo relacje częstotliwości w poszczególnych litologiach przedstawiają się
następująco:
� A3d – fPł < fP < fS ≈ fSt,
� A2d – fPł < fP ≈ fSt < fS,
� Ca2 (część stropowa) – fPł < fSt < fP < fS,
� Ca2 (część spągowa) – fPł < fSt < fS < fP,
� A1g – fPł ≈ fSt < fP < fS,
� Ca1 – fPł < fSt < fS < fP,
� P-ce – fPł ≈ fSt < fS < fP.
Analiza częstotliwości najbardziej znaczących atomów Gabora reprezentujących dany pakiet falowy
daje unikatową informację o częstotliwości fal z krokiem próbkowania głębokościowego
akustycznych obrazów falowych. Pozwala prześledzić zmiany częstotliwości z głębokością oraz
wzajemne relacje częstotliwości pomiędzy poszczególnymi falami. Badania dowiodły, że fale
rejestrowane na akustycznych obrazach falowych sondą LSS charakteryzują się małą zmiennością
częstotliwości z litologią. Stwierdzono również zmienną relację częstotliwości pomiędzy
poszczególnymi pakietami falowymi, z powodu której nie można podać uniwersalnej reguły
szeregującej fale według częstotliwości (np. fPł < fSt < fS < fP). Dlatego informacja o częstotliwości jest
niewystarczającym kryterium do rozdzielenia pola falowego. Analiza częstotliwości może natomiast
pomóc wskazać strefy nasycone gazem, w których obserwuje się wyraźne obniżenie częstotliwości.
Metodyka oraz wyniki badań analizy akustycznych obrazów falowych przy wykorzystaniu
metody pogoń za dopasowaniem zostały przedstawione na konferencjach GEOPETROL (Wawrzyniak
2006a) i EAGE Conference Exhibition (Wawrzyniak 2006b).
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
109
Głębokość[m]
100 600µs/m
DTP_oryg100 600
DTS_oryg
100 600
DTS_MP
µs/m
µs/m
550 750
DTSt_oryg550 750
DTSt_MP
µs/m
µs/m
6 20kHz
f_P6 20kHz
f_S6 20kHz
f_Pł6 20kHz
f_P_blok
6 20kHz
f_S_blok6 20kHz
f_Pł_blok
6 20kHz
f_St
2020
2040
2060
2080
2100
2120
2140
2160
2180
2200
2220
2240
2260
2280
2300
2320
2340
2360
2380
550 750
DTPł_MPµs/m
wkładka 1Na3_1
wkładka 2
Na3_2
A3d
T3
A2g
Na2
A2d
Ca2
A1g
Ca1_0
Ca1_2Ca1_3Ca1_4Ca1_5Ca1_6Ca1_7Ca1_8Ca1_9P-ce
Ca1_1
0,8 1,0
DTPł_MP/DTSt_oryg
0,8 1,0
DTPł_MP/DTSt_MP
0 1000mm
PŚr
0 1000mm
Śr_nom
0 150API
PG
6 20kHz
f_St_blok
Rys. 5.29 Czasy interwałowe i częstotliwości fal akustycznych rozdzielonych metodą pogoń za dopasowaniem
(PG – prof. gamma, PŚr – prof. średnicy, Śr_nom – krzywa średnicy nominalnej, DT_oryg – czasy interwałowe
z oryginalnych obrazów falowych, DT_MP – czasy interwałowe z obrazów falowych rozdzielonych metodą MP,
f – częstotliwość fal, f_blok – średnia wartość częstotliwości w obrębie danego typu litologicznego)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
110
5.6 Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy
czasowo-częstotliwościowe
5.6.1 Wprowadzenie
Atrybuty są jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych przy interpretacji jakościowej
danych sejsmicznych. Dostarczają informacji o geometrii i fizycznych własnościach ośrodka
geologicznego. Od momentu wprowadzenia pierwszych atrybutów opartych o definicję trasy
zespolonej (Taner et al. 1979) pojawiło się wiele innych, obliczanych przed lub po składaniu,
i związanych z podstawowymi parametrami danych sejsmicznych, takimi jak: czas, amplituda,
częstotliwość i tłumienie. Szczegółową klasyfikację atrybutów można znaleźć m.in. w pracach: Taner
(1992) i Brown (2001).
Wśród ogromu zdefiniowanych atrybutów osobną grupę tworzą atrybuty chwilowe.
Reprezentują one chwilowe zmiany różnych parametrów i pozwalają na wyeksponowanie niewielkich
niejednorodności ośrodka. Ujawniają lokalne własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na
tradycyjnym zapisie. W interpretacji akustycznych obrazów falowych wykorzystano dotychczas
podstawowe atrybuty chwilowe obliczane z trasy zespolonej: amplitudę chwilową, częstotliwość
chwilową, fazę chwilową oraz polaryzację pozorną (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna
1996). Do grupy atrybutów chwilowych zaliczane są również: chwilowa częstotliwość środkowa (ang.
instantaneous centre frequency), chwilowa częstotliwość dominująca (ang. instantaneous dominant
frequency) i chwilowa szerokość widma (ang. instantaneous spectral bandwidth), które zastosowano
w analizie danych sejsmiki refleksyjnej (Barnes 1993, Zabihi i Siahkoohi 2006). Wywodzą się one z
najczęściej wykorzystywanych charakterystyk widmowych, tj. z częstotliwości środkowej,
częstotliwości dominującej i szerokości widma. W przeciwieństwie do atrybutów chwilowych, te
ostatnie reprezentują uśrednione miary widma częstotliwościowego. Zostaną pokrótce przedstawione
w celu przejrzystego zdefiniowania atrybutów chwilowych.
Uśrednione miary widma częstotliwościowego zdefiniowane zostały w oparciu
o charakterystyki znane z teorii prawdopodobieństwa i obliczane są na podstawie widma mocy
z transformaty Fouriera.
Częstotliwość środkowa fc widma mocy P(f) jest średnią widma mocy. Obliczana jest ze wzoru
na wartość oczekiwaną (pierwszy moment początkowy):
( )
( )∫
∫∞
∞
=
0
0
dffP
dfffP
fc (5.2)
Wariancja (drugi moment centralny) częstotliwości fb2 wokół średniej fc dana jest wzorem:
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
111
( ) ( )
( )∫
∫∞
∞
−
=
0
0
2
2
dffP
dffPff
f
c
b (5.3)
Wielkość fb jest odchyleniem standardowym wokół średniej (czyli częstotliwości środkowej fc) i jest
miarą szerokości widma (a dokładniej połowy szerokości widma).
Inną uśrednioną miarą widma mocy jest drugi moment początkowy, fr2, zdefiniowany
następująco:
( )
( )∫
∫∞
∞
=
0
0
2
2
dffP
dffPf
fr (5.4)
Wielkość fr określa częstotliwość przechodzenia sygnału przez zero (ang. zero-crossing frequency),
która jest dogodną miarą częstotliwości dominującej (Barnes 1993).
Z własności teorii prawdopodobieństwa wynika, że:
222bcr fff += (5.5)
Na rysunku 5.30 zobrazowano częstotliwość środkową, częstotliwość dominującą i szerokość widma
dla sygnału Rickera o częstotliwości 30 Hz.
Atrybuty chwilowe są zdefiniowane analogicznie do swoich uśrednionych odpowiedników, przy
czym widmo mocy P(f) z transformaty Fouriera we wzorach 5.2-5.4 jest zastąpione chwilowym
widmem mocy E(t, f), będącym czasowo-częstotliwościową reprezentacją sygnału. Chwilowa
częstotliwość środkowa fi(t), chwilowa szerokość widma σf(t) i chwilowa częstotliwość dominująca
fd(t) są określone następującymi wzorami:
( )( )
( )∫
∫∞
∞
=
0
0
,
,
dfftE
dfftfE
tfi (5.6)
( )( )( ) ( )
( )∫
∫∞
∞
−
=
0
0
2
2
,
,
dfftE
dfftEtff
t
i
fσ (5.7)
( )( )
( )∫
∫∞
∞
=
0
0
2
2
,
,
dfftE
dfftEf
tfd (5.8)
Wielkości te są powiązane relacją, będącą odpowiednikiem równania (5.5):
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
112
( ) ( ) ( )ttftf fid222 σ+= (5.9)
Zdefiniowane w ten sposób atrybuty chwilowe reprezentują chwilowe zmiany sygnału obserwowane
w domenie czasu, chociaż są uśredniane po częstotliwości. Chwilowa częstotliwość środkowa
i chwilowa szerokość widma są wielkościami niezależnymi, podczas gdy chwilowa częstotliwość
dominująca jest funkcją obu tych atrybutów.
Barnes (1993) do obliczenia chwilowego widma mocy zastosował krótkoczasową transformatę
Fouriera. W swojej pracy wykorzystał omawiane atrybuty chwilowe do analizy sygnałów złożonych
z interferujących fal. Zasugerował, że miejsca, w których chwilowa szerokość widma σf(t) ma większe
wartości od chwilowej częstotliwości środkowej fi(t) mogą wskazywać na czas przyjścia nowej fali.
Zaproponował również zastosowanie atrybutów chwilowych jako wskaźników cienia
niskoczęstotliwościowego poniżej silnie tłumiących stref, takich jak strefy nasycone gazem.
W tej pracy przedstawione powyżej atrybuty chwilowe wykorzystano do analizy akustycznych
obrazów falowych. Do ich obliczenia zastosowano dwa rodzaje widma chwilowego:
1) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z transformaty falkowej (skalogramy).
2) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z metody pogoń za dopasowaniem (mapy
Wignera).
Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla obu metod czasowo-częstotliwościowych przedstawiono
na rysunku 5.31. Analizy przeprowadzono w programie Matlab® oraz Guimauve.
0,5
1,0
0,0
P(f
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80[Hz]
Widmo mocysygnał Rickera - 30 Hz
częstotliwość środkowa = 31,9 Hzfc
częstotliwośćdominująca = 33,5 Hzfr
połowaszerokości
widma = 10,2 Hzfb
Rys. 5.30 Uśrednione miary widma częstotliwościowego na przykładzie sygnału Rickera (częstotliwość
środkowa, częstotliwość dominująca i szerokość widma)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
113
| |E(t, f)
czas
skala
czę
sto
tliw
ość
atr
yb
uty
chw
ilow
e
transformatafalkowa
atrybutychwilowe
czasam
p AOF
czas
σf(t)
f (t)d
f (t)i
czas
czę
sto
tliw
ość
atr
yb
uty
chw
ilow
e
pogoń zadopasowaniem
atrybutychwilowe
czas
am
p AOF
czas
σf(t)
f (t)d
| |E(t, f)
a) b)
głębokość
h, h
, ..., h
12
n
głębokość
h, h
, ..., h
12
n
głęb
okość
h, h
, ...,
h
1
2
n
głębokość
h, h
, ..., h
12
n
głębokość
h, h
, ..., h
12
n
głęb
okość
h, h
, ...,
h
1
2
n
f (t)i
Rys. 5.31 Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla akustycznych obrazów falowych (AOF) na
podstawie transformaty falkowej (a) i metody pogoń za dopasowaniem (b).
Dla każdego obrazu falowego obliczana była transformata falkowa oraz dekompozycja metodą pogoń za
dopasowaniem. Otrzymane w ten sposób reprezentacje czasowo-częstotliwościowe, odpowiednio:
skalogramy i mapy Wignera, wykorzystano jako chwilowe widma mocy do obliczenia atrybutów
chwilowych. Obliczenia wykonano osobno dla każdego punktu głębokościowego
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
114
5.6.2 Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla
transformaty falkowej
W celu oceny możliwości wykorzystania atrybutów chwilowych fi(t), fd(t) oraz σf(t) w analizie
akustycznych obrazów falowych oraz ustalenia optymalnych parametrów przetwarzania
przeprowadzono badania na syntetycznym sygnale wf1_synt i danych testowych.
Badania na danych syntetycznych miały za zadanie sprawdzić:
− Jak należy odczytywać atrybuty chwilowe i czy można je wykorzystać do identyfikacji fal na
obrazach falowych?
− Jaka falka daje najłatwiejsze do interpretacji wyniki pod kątem identyfikacji fal?
− Jak na atrybuty chwilowe wpływa ograniczenie mapy czasowo-częstotliwościowej do zakresu
częstotliwości 5-20 kHz?
Badania parametryczne, przeprowadzone na przykładowych kilkunastu rzeczywistych obrazach
falowych, wykonane zostały pod kątem ustalenia optymalnych parametrów obliczania atrybutów
chwilowych, tj. rodzaju transformaty falowej (dyskretna czy ciągła) oraz zakresu skali, a w przypadku
transformaty ciągłej, również kroku zmiany skali. Te badania przeprowadzono z wykorzystaniem falki
Morleta.
Badania na danych syntetycznych
Syntetyczny obraz falowy wf1_synt poddano ciągłej transformacie falkowej wykorzystując
następujące falki: Coiflet 5, Daubechies 8, Gauss 5, Meyera, Morleta i Symlet 5. W wyniku otrzymano
mapy czasowo-częstotliwościowe będące rozkładem współczynników falowych. Transformatę dla
wszystkich falek obliczono przyjmując skalę z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem 1.
Następnie dla każdej falki przeliczono skale na pseudoczęstotliwości według wzoru (5.1). Na tej
podstawie określono przedział skali, odpowiadający częstotliwościom z zakresu 5-20 kHz (5 kHz
powinno być najniższą częstotliwością akustycznych obrazów falowych z uwagi na filtrowanie
rejestracji w sondzie LSS filtrem górnoprzepustowym, a 20 kHz powinno być najwyższą
częstotliwością, gdyż jest to częstotliwość nadajnika). Obliczone mapy czasowo-częstotliwościowe
współczynników falkowych wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych fi(t), fd(t) oraz σf(t).
Obliczenia przeprowadzono najpierw dla całej mapy czasowo-częstotliwościowej, tj. całego zakresu
częstotliwości, jaki dana falka pokrywa przy skali zmieniającej się od 1 do 64 i kroku próbkowania
sygnału równym 4 µs. Następnie obliczono ponownie atrybuty chwilowe, tym razem biorąc do
obliczeń mapę czasowo-częstotliwościową ograniczoną do częstotliwości 5-20 kHz. Przeprowadzone
obliczenia przedstawione są na rysunkach 5.32-37.
Analiza wyników badań przeprowadzonych na danych syntetycznych prowadzi do
następujących obserwacji:
− Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) i chwilowa częstotliwość dominująca fd(t)
odzwierciedlają częstotliwości fal składowych wchodzących w skład sygnału. Chwilowa
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
115
szerokość widma σf(t) ma znacznie niższe częstotliwości i trudno ją wykorzystać do
identyfikacji fal składowych. W żadnym miejscu jej wartość nie jest większa od wartości
chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej, stąd nie potwierdzone zostało stwierdzenie
Barnesa. Schodkowy kształt atrybutów chwilowych, w szczególności fi(t) i fd(t), jest wynikiem
konstrukcji sygnału syntetycznego. Poszarpany kształt atrybutów chwilowych („ząbki”) jest
konsekwencją charakteru skalogramów, na których współczynniki falkowe układają się
równolegle wzdłuż osi skali tworząc „grzbiety”.
− Wartości chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej są bardzo zbliżone do siebie, przy
czym chwilowa częstotliwość dominująca ma nieznacznie wyższe wartości.
− Atrybuty chwilowe obliczone na podstawie całej mapy czasowo-częstotliwościowej oraz mapy
ograniczonej do częstotliwości z zakresu 5-20 kHz różnią w szczegółach. Można zauważyć, że
wykorzystanie całej mapy czasowo-częstotliwościowej do obliczeń daje niższe wartości
atrybutów chwilowych w końcowym obszarze fali S i całym obszarze fali Stoneleya niż
w przypadku zastosowania mapy ograniczonej. Jest to wynikiem zmiennej rozdzielczości
czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dla niższych częstotliwości spada
rozdzielczość w domenie czasu, co przejawia się większym rozmyciem współczynników
falkowych wzdłuż osi czasu. W efekcie, dla niskich częstotliwości (wysokich wartości skali)
współczynniki falkowe związane z falą Stoneleya „pochodzą” pod obszar fali S i zaniżają w ten
sposób wartości atrybutów chwilowych.
− Atrybuty chwilowe otrzymane dla różnych falek w różny sposób odzwierciedlają częstotliwości
fal składowych sygnału syntetycznego. Najlepsze wyniki pod tym względem uzyskano dla falki
Meyera, wykorzystując ograniczoną mapę czasowo-częstotliwościową. fi(t) i fd(t) dla tej falki
charakteryzują się dokładnym odtworzeniem częstotliwości fal składowych w całym obszarze
ich trwania. Dobre wyniki otrzymano również dla falki Coiflet 5, choć częstotliwości fali
Stoneleya są nieznacznie zawyżone.
Podsumowując badania na sygnale syntetycznym można stwierdzić, że atrybuty chwilowe można
wykorzystać do identyfikacji fal na akustycznych obrazach falowych. Najlepiej do tego zadania nadają
się chwilowe częstotliwości: środkowa i dominująca, przy czym z uwagi na ich bardzo zbliżone
wartości można wykorzystać tylko jeden z tych parametrów. Do obliczeń atrybutów chwilowych
należy stosować mapy czasowo-częstotliwościowe ograniczone do zakresu pożądanych
częstotliwości, aby zminimalizować wpływ zmiennej rozdzielczości transformaty falkowej. Na
danych syntetycznych najlepsze wyniki dała falka Meyera.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
116
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
wf1_synt
10
20
30
40
50
60
17,3
5,8
4,3
3,5
2,9
172,31
skala
[kH
z]
współczynniki CWTfalka Coiflet 5
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zyn
nik
ów
CW
T
a f = 8-35 ( = 20-5 kHz)
a f = 1-64 ( = 172,3-2,7 kHz)
f (t)i
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
Rys. 5.32 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.
Sygnał wf1_synt (a) został poddany ciągłej transformacie dostarczając skalogram (b). Na jego podstawie
obliczono dwukrotnie atrybuty chwilowe: wykorzystując całą mapę czasowo-częstotliwościową oraz jej
fragment obejmujący jedynie częstotliwości z zakresu 5-20 kHz (c)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
117
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
10
20
30
40
50
60
16,7
5,6
4,2
3,3
2,8
166,71
ska
la
[kH
z]
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Daubechies 8 20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
a f = 8-34 ( = 20-5 kHz)
a = 1-64 ( = 166,7-2,6 kHz)f
f (t)i
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
Rys. 5.33 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Daubechies 8.
(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
118
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
-0,4
0
10
20
30
40
50
60
12,5
4,2
3,3
2,5
2,1
1251
ska
la
[kH
z]
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Gauss 5
20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
a f = 6-26 ( = 20-5 kHz)
a = 1-64 ( = 125-1,95 kHz)f
f (t)i
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT
Rys. 5.34 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Gauss 5.
(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
119
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
10
20
30
40
50
60
17,3
5,8
4,3
3,5
2,9
172,61
ska
la
[kH
z]
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Meyera 20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
a f = 8-35 ( = 20-5 kHz)
a = 1-64 ( = 172,6-2,7 kHz)f
f (t)i
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT
Rys. 5.35 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Meyera.
(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
120
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
10
20
30
40
50
60
20,3
6,8
5,1
4,1
3,4
203,11
ska
la
[kH
z]
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Morleta
20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
a f = 10-41 ( = 20-5 kHz)
a = 1-64 ( = 203,1-3,2 kHz)f
f (t)i
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT
Rys. 5.36 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Morleta.
(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
121
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105 [k
Hz]
10
20
30
40
50
60
16,7
5,6
4,2
3,3
2,8
166,71
ska
la
[kH
z]
20
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
20
0
[kH
z]
20
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Symlet 5 20 kHz
5 kHz
a)
b)
c)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-0,4
0
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
a f = 8-34 ( = 20-5 kHz)
a = 1-64 ( = 166,7-2,6 kHz)f
f (t)i
wf1_synt
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
ska
la k
olo
rów
wsp
ółc
zynn
ikó
w C
WT
Rys. 5.37 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Symlet 5.
(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
122
Badania parametryczne
Badania parametryczne przeprowadzono dla kilkunastu wybranych sygnałów rzeczywistych
pochodzących z różnych litologii. Obliczono atrybuty chwilowe na podstawie map czasowo-
częstotliwościowych otrzymanych dla falki Coiflet 5, dla sześciu przypadków:
1) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla pięciu poziomów dekompozycji, (a = 2j,
j = 1, …, 5; (a = 2, 4, 8, 16, 32)).
2) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla sześciu poziomów dekompozycji (a = 2j,
j = 1, …, 6; (a = 2, 4, 8, 16, 32, 64)).
3) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 32] z krokiem
zamiany skali równym 0,5.
4) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 32] z krokiem
zamiany skali równym 1.
5) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 64] z krokiem
zamiany skali równym 0,5.
6) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 64] z krokiem
zamiany skali równym 1.
Na rysunkach 5.38-39 przedstawiono atrybuty chwilowe na tle map czasowo-częstotliwościowych
obliczonych dla przykładowo wybranych przypadków pierwszego i szóstego. Rysunki 5.40-41
przedstawiają odpowiednio chwilową częstotliwość środkową i chwilową szerokość widma,
otrzymane dla każdego przypadku (każdej zastosowanej skali). Atrybuty chwilowe na rysunkach
5.38-41 otrzymano dla sygnału wf1 zarejestrowanego w A1g. Na rysunkach 5.40-41 nie
zaprezentowano chwilowej częstotliwości dominującej, ponieważ podobnie jak w badaniach
syntetycznych, wartości tego atrybutu są prawie identyczne z chwilową częstotliwością środkową.
Analiza wyników badań parametrycznych wykonanych dla kilkunastu sygnałów rzeczywistych
pozwoliła na wybór rodzaju transformaty falkowej oraz optymalnej skali. Atrybuty chwilowe
z dyskretnej transformaty falkowej mają charakter ostrych pików. Ciągła transformata falkowa daje
bardziej gładkie przebiegi atrybutów chwilowych. Biorąc pod uwagę zakres częstotliwości, jaki
pokrywają różne falki, zdecydowano zastosować skalę liniowo zmieniającą się od 1 do 64. Skala
ograniczona do 32 dla większości falek nie obejmuje dolnej granicy widma częstotliwościowego
akustycznych obrazów falowych (tj. 5 kHz). Porównanie wyników otrzymanych dla skali liniowej
zmieniającej się z krokiem 0,5 i z krokiem równym 1 wykazała, że atrybuty chwilowe nie różnią się
między sobą, natomiast znacząco wydłużył się czas obliczeń.
Podsumowując, na podstawie badań parametrycznych i na danych syntetycznych dobrano
odpowiednie parametry przetwarzania akustycznych obrazów falowych. Dalsze obliczenia,
przeprowadzone dla całego interwału głębokościowego i wszystkich obrazów falowych wykonano za
pomocą ciągłej transformaty falkowej ze skalą liniową z zakresu [1, 64] zmieniającą się z krokiem
równym 1. Pomimo najlepszych wyników pod kątem identyfikacji fal otrzymanych w badaniach na
danych syntetycznych dla falki Meyera, dla danych rzeczywistych zdecydowano się wykonać
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
123
obliczenia również dla pozostałych falek. Najbardziej obiecujące pod kątem identyfikacji fal są:
chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca, ale ponieważ mają bardzo zbliżony do siebie do
przebieg, szczegółowo interpretowana będzie chwilowa częstotliwość środkowa.
-5
5
0
wf1, rekord 1500 (A1g)
2
3
4
5
12,7
-25
,43
,6-1
2,7
0-3
,650
,8-1
01
,6
1
okta
wa
[kH
z]
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki DWTfalka Coiflet 5
skala = 2 , = 1,..., 5a jj
a)
b)
c)
0
2
4
6
8
10
12
f (t)i
ska
la k
olo
rów
wspó
łczyn
nik
ów
DW
T
Rys. 5.38 Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g
z wykorzystaniem dyskretnej transformaty falkowej.
Akustyczny obraz falowy (a) poddano dyskretnej transformacie falkowej na pięć poziomów dekompozycji
za pomocą falki Coiflet 5. Rozkład współczynników falkowych na płaszczyźnie czas-częstotliwość (b)
wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych (c)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
124
wf1, rekord 1500 (A1g)
1
skala
[kH
z]
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
f (t)d
σf(t)
współczynniki CWTfalka Coiflet 5skala = [1, 64]krok zmiany skali = 1
a
a)
b)
c)
0
2
4
6
8
10
12
10
20
30
40
50
60
203,1
20,3
10,2
6,8
5,1
4,1
3,4
-5
5
0
f (t)i
skala
ko
loró
w w
spó
łczyn
nik
ów
CW
T
Rys. 5.39 Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g
z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej.
Akustyczny obraz falowy (a) poddano ciągłej transformacie falkowej za pomocą falki Coiflet 5,
z wykorzystaniem skali z przedziału [1, 64], zmieniającej się z krokiem równym jeden.
Na podstawie skalogramu (b) obliczono atrybuty chwilowe (c)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
125
wf1, rekord 1500 (A1g)
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] f (t); a ji skala = 2 , = 1,..., 5
j
f (t); a ji skala = 2 , = 1,..., 6j
f (t); i skala liniowa [1, 32]
krok: 0,5
f (t); i skala liniowa [1, 32]
krok: 1
f (t); i skala liniowa [1, 64]
krok: 0,5
f (t); i skala liniowa [1, 64]
krok: 1
-5
5
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Rys. 5.40 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona na podstawie różnych wariantów
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.
Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono
chwilową częstotliwość środkową na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej.
Obliczenia dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2j, dla dwóch różnych
poziomów dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal
liniowych z zakresu [1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym 0,5 i 1
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
126
5.6.3 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych
za pomocą transformaty falkowej
Obliczenia atrybutów chwilowych na rzeczywistych rejestracjach akustycznych obrazów falowych
w otworze K6 wykonano według schematu przedstawionego na rysunku 5.31a oraz dla parametrów
przetwarzania określonych na podstawie badań opisanych w poprzednim podrozdziale.
Wybór falki, dla której obliczone atrybuty chwilowe najlepiej oddają charakter akustycznych
obrazów falowych i odzwierciedlają poszczególne pakiety falowe, został dokonany w oparciu
szczegółową analizę poszczególnych map czasowo-częstotliwościowych i odpowiadających im
wf1, rekord 1500 (A1g)
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] σf(t); a jskala = 2 , = 1,..., 5
j
σf(t); a jskala = 2 , = 1,..., 6j
σf(t); skala liniowa [1, 32]
krok: 0,5
σf(t); skala liniowa [1, 32]
krok: 1
σf(t); skala liniowa [1, 64]
krok: 0,5
σf(t); skala liniowa [1, 64]
krok: 1
-5
5
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Rys. 5.41 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona na podstawie różnych
wariantów transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.
Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono
chwilową szerokość widma na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej. Obliczenia
dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2j, dla dwóch różnych poziomów
dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal liniowych z zakresu
[1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym 0,5 i 1
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
127
atrybutów chwilowych, obliczonych dla kilkudziesięciu wybranych rejestracji z różnych typów
litologicznych. Na rysunku 5.42 przedstawiono rozkłady współczynników falkowych dla
przykładowego sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym, otrzymane dla każdej
z testowanej falki. Odpowiadające im chwilowa częstotliwość środkowa i chwilowa szerokość widma
są zaprezentowane odpowiednio na rysunkach 5.43 i 5.44. Współczynniki falkowe falki Coiflet 5 na
skalogramach charakteryzują się najlepszą rozdzielczością czasową i dobrą rozdzielczością
częstotliwościową spośród testowanych falek. Maksima współczynników CWT są dobrze
zlokalizowane wzdłuż osi czasu (nie rozbiegają się w formie „wachlarza”, ani nie układają się
skośnie). Rozdzielczość w domenie częstotliwości, reprezentowana jako „rozciągłość” maksimów
wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest porównywalna z pozostałymi falkami. Lepszą lokalizację
w domenie częstotliwości wykazuje jedynie falka Morleta, która charakteryzuje się jednak większym
rozmyciem w domenie czasu, obserwowanym szczególnie dla niższych częstotliwości. Falka Gauss 5
wykazuje podobny charakter do rozkładu współczynników CWT falki Coiflet 5. Mapa czasowo-
częstotliwościowa dla tej pierwszej falki charakteryzuje się niewiele większym rozmyciem wzdłuż osi
czasu, za to trochę lepszą rozdzielczością w domenie częstotliwości. Współczynniki falkowe dla falki
Daubechies 8 mają tendencję do skośnego układania się w stronę początku sygnału, co w przypadku
analizowanych obrazów falowych skutkuje zaniżeniem częstotliwości, przede wszystkim fali S, na
skutek „podchodzenia” współczynników falkowych od pakietu wysokoamplitudowego pod obszar fali
S. Skośnie układają się również współczynniki falki Meyera, ale w stronę końca sygnału. Falka
Symlet 5, choć cechuje się bardzo wąskimi maksimami układającymi się równolegle wzdłuż osi skali,
wykazuje największe rozmycie wzdłuż tej osi, czyli charakteryzuje się słabą rozdzielczością
w domenie częstotliwości.
Powyższe obserwacje pozwalają odnieść się krytycznie do atrybutów chwilowych obliczonych
na podstawie różnych falek. Najmniejszym „zaufaniem” należy obdarzyć wyniki otrzymane dla falek:
Daubechies 8 oraz Symlet 5. Pozostałe falki nieznacznie różnią się między sobą pod względem
rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej, a otrzymane atrybuty chwilowe pod względem wartości.
Wyniki obliczeń atrybutów chwilowych (chwilowej częstotliwości środkowej i chwilowej
szerokości widma) w sposób zbiorczy dla całego interwału głębokościowego przedstawiają rysunki:
5.45-46 dla obrazów wf1, 5.47-48 dla obrazów wf2, 5.49-50 dla obrazów wf3 oraz rysunki 5.51-52 dla
obrazów wf4. Chwilowa częstotliwość dominująca została również policzona, ale ponieważ wyniki są
bardzo zbliżone do chwilowej częstotliwości środkowej, dlatego ten atrybut nie został
zaprezentowany.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
128
10
41
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
6
26
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
10
41
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
8
35
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
8
35
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
8
34
20
5
[kH
z]
ska
la
0,4 1,6 2,8 4,0[ms]
8
34
a) współczynniki CWT - falka Coiflet 5 b) współczynniki CWT - falka Daubechies 8
c) współczynniki CWT - falka Gauss 5 d) współczynniki CWT - falka Meyera
e) współczynniki CWT - falka Morleta f) współczynniki CWT - falka Symlet 5
0 5 10 15
skala kolorów współczynników CWT:
Rys. 5.42 Skalogramy ciągłej transformaty falkowej obliczone dla różnych falek (a-f) dla sygnału wf1
zarejestrowanego w anhydrycie głównym. Skalogramy zostały ograniczone do takiego zakresu skali, aby
obejmowały tylko częstotliwości z przedziału [5, 20 kHz]
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
129
Analizując chwilową częstotliwość środkową dla pojedynczych sygnałów na tle oryginalnych
obrazów falowych jednocześnie ze zbiorczymi zestawieniami tego atrybutu dla całego interwału
głębokości, można zaobserwować pewne prawidłowości:
− Początek fali P jest bardzo dobrze reprezentowany przez fi(t) i zaznacza się wyraźnym
zwiększeniem wartości tego atrybutu.
− W obrębie pakietu fali P obserwuje się stopniowe zmniejszanie wartości chwilowej
częstotliwości środkowej. Można wnioskować, że nie obserwuje się fal typu leaky modes, które
charakteryzują się dyspersją normalną i powinny zaznaczyć się zwiększeniem częstotliwości
pod koniec pakietu fali P.
− Pakiet fali S zaczyna się niższymi częstotliwościami niż początek fali P, lecz trochę wyższymi
niż koniec fali P. Z tego powodu granica między falą P i S jest mało wyraźna w niektórych
interwałach głębokościowych. Z końcem pakietu fali S występuje wyraźny wzrost
-5
5
0
wf1, rekord 800 (A3d)
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] f (t); i falka Coiflet 5
f (t); i falka Daubechies 8
f (t); i falka Gauss 5
f (t); i falka Meyera
f (t);i falka Morleta
f (t); i falka Symlet 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Rys. 5.43 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej
dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych
przedstawionych na rysunku 5.42)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
130
częstotliwości chwilowej. Zjawisko to jest związane z dyspersją normalną fali pseudo-
Rayleigha.
− Pakiet wysokoamplitudowy jest reprezentowany na chwilowej częstotliwości środkowej jako
bardzo wyraźne obniżenie częstotliwości. To obniżenie zaczyna się kilkadziesiąt mikrosekund
wcześniej niż zaczynają się wysokie amplitudy tego pakietu falowego. Chwilowa częstotliwość
środkowa może wskazywać rzeczywisty czas przyjścia pakietu wysokoamplitudowego, którego
początek jest zamaskowany przez interferencję z występującymi wcześniej pakietami falowymi
(końcem fal pseudo-Rayleigha i fali S). Szerokość obniżenia częstotliwości atrybutu fi(t)
pozwala oszacować czas trwania tego pakietu falowego sięgający od około 300 µs do 400 µs,
w zależności od litologii.
− Za pakietem fali wysokoamplitudowej pojawiają się fale o bardzo wysokich chwilowych
częstotliwościach. Są to fale odbite i wielokrotnie odbite.
− W obrębie wapienia cechsztyńskiego Ca1 obserwuje się bardzo wyraźne obniżenie chwilowej
częstotliwości środkowej, szczególnie w podpoziomach Ca1_3, Ca1_4, Ca1_5 oraz Ca1_8,
które odpowiadają poziomom gazonośnym. Interesujące jest to, że największe obniżenie
częstotliwości chwilowej występuje dla większych czasów obrazów falowych (obszar fali
w płuczce i Stoneleya oraz dla późniejszych czasów).
Rozpatrując zmienność chwilowej częstotliwości środkowej wraz z głębokością widać, że atrybuty
chwilowe zmieniają się wraz z litologią. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, dolomit główny Ca2 i piaskowce
P-ce, wyróżniają się w całym otworze się dość podobnym charakterem atrybutów chwilowych.
W obrębie piaskowców uwypukliły się zmiany związane najprawdopodobniej z zaileniem.
W anhydrycie górnym A1g fi(t) obserwuje się zaskakująco dość skomplikowany charakter i sporą
zmienność, co utrudnia interpretację atrybutów chwilowych w obrębie tej litologii. Z tego też powodu
wyjątkowo zrezygnowano z prezentowania wyników na przykładzie rekordu 1500 pochodzącego
z A1g, gdyż atrybuty chwilowe akurat dla tego sygnału nie są reprezentatywne dla całej litologii.
W zamian wyniki obliczeń atrybutów chwilowych na podstawie transformaty falkowej dla różnych
falek przedstawiono na przykładzie sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym A3d
(rekord 800) (rys. 5.42-44).
Na podstawie chwilowej szerokości widma trudno wyciągnąć wnioski dotyczące fal na
akustycznych obrazach falowych, pomimo tego, można się dopatrzyć pewnej zmienności tego
atrybutu zarówno z głębokością (tj. litologią), jak i wzdłuż osi czasu.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
131
wf1, rekord 800 (A3d)
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] σf(t); falka Coiflet 5
σf(t); falka Daubechies 8
σf(t); falka Gauss 5
σf(t); falka Meyera
σf(t); falka Morleta
σf(t); falka Symlet 5
-5
5
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Rys. 5.44 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej
dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych
przedstawionych na rysunku 5.42)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
132
Rys. 5.45 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.45-46 wf1 CWT fc fr.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
133
Rys. 5.46 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.45-46 wf1 CWT fc fr.cdr; arkusz 2)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
134
Rys. 5.47 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.47-48 wf2 CWT fc fr.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
135
Rys. 5.48 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.47-48 wf2 CWT fc fr.cdr; arkusz 2)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
136
Rys. 5.49 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.49-50 wf3 CWT fc fr.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
137
Rys. 5.50 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.49-50 wf3 CWT fc fr.cdr; arkusz 2)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
138
Rys. 5.51 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.51-52 wf4 CWT fc fr.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
139
Rys. 5.52 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek
(plik: Rys. 5.51-52 wf4 CWT fc fr.cdr; arkusz 2)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
140
5.6.4 Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za
dopasowaniem
Podobnie jak dla transformaty falkowej, dla metody pogoń za dopasowaniem przeprowadzono badania
na danych syntetycznych. Ich celem było zapoznanie się z charakterem atrybutów chwilowych
obliczonych na podstawie map Wignera. W przypadku tej metody nie było potrzeby przeprowadzenia
specjalnych badań parametrycznych, gdyż obliczenia atrybutów chwilowych wykonano wprost na
dekompozycjach otrzymanych metodą MP.
Jako dane syntetyczne wykorzystano sygnał wf1_synt, który następnie poddano dekompozycji
na 20 atomów Gabora. Rozkład atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość (mapa Wignera)
posłużył obliczeniu atrybutów chwilowych. Na rysunku 5.53, na tle sygnału syntetycznego i jego
składowych, przedstawiono mapę Wignera oraz obliczone atrybuty chwilowe. Mają one zupełnie inny
charakter niż atrybuty otrzymane z transformaty falkowej. Wyróżniają się gładkim przebiegiem oraz
zerową wartością w tych miejscach na osi czasu, dla których algorytm MP nie dopasował żadnego
atomu Gabora. Podobnie jak dla transformaty falkowej, chwilowa częstotliwość środkowa
i dominująca mają zbliżone wartości i odzwierciedlają częstotliwości fal składowych sygnału.
Również chwilowa szerokość widma ma niższe wartości od wartości częstotliwości chwilowych.
Chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca sygnalizują wcześniejsze przyjście fal składowych
niż to wynika z rzeczywistego położenia tych fal. Jest to wynikiem „rozmycia” atomów Gabora, tj. ich
czasu trwania, który jest określany za pomocą oktawy j. W efekcie każdy atom Gabora tworzy
„plamę” na płaszczyźnie czas – częstotliwość, chociaż środek atomu wyznacza dokładnie jego
położenie. Z tego też powodu zdecydowano zastosować mapy Wignera ograniczone do 30 kHz, a nie
20 kHz, aby atomy położone w pobliżu częstotliwości nadajnika były w całości wykorzystane do
obliczeń atrybutów chwilowych.
5.6.5 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych
za pomocą metody pogoń za dopasowaniem
Atrybuty chwilowe obliczono według schematu przedstawionego na rysunku 5.31b. Dla wszystkich
obrazów falowych zastosowano dekompozycję MP na 60 atomów Gabora. Wszystkie atomy Gabora
mieszczące się na mapie Wignera ograniczonej do 30 kHz zostały wykorzystane do obliczenia
atrybutów chwilowych.
Rysunek 5.54 przedstawia atrybuty chwilowe na tle mapy Wignera dla przykładowego sygnału
wf1 zarejestrowanego w litologii A1g. Zbiorcze wyniki chwilowej częstotliwości środkowej
i chwilowej szerokości widma dla całego interwału głębokościowego dla wszystkich obrazów
falowych wf1÷wf4 prezentują odpowiednio rysunki 5.55-56. Chwilowa częstotliwość dominująca nie
jest prezentowana.
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
141
18
105
18
105
[kH
z]
[kH
z]
18
105
[kH
z]
wf1_synt
[kH
z]
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] f (t)i
f (t)d
σf(t)
Mapa Wignera(metoda pogoń za dopasowaniem)
30
25
20
15
10
5
0
a)
b)
c)
-0,4
0,4
0
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
0,4
0
-0,4
skala
kolo
rów
ato
mów
Gab
ora
0
0,5
1,0
Pwf1_synt
Swf1_ synt
Stwf1_synt
Rys. 5.53 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie
metody pogoń za dopasowaniem.
Syntetyczny obraz falowy (a) został poddany dekompozycji na 20 atomów Gabora. Mapa Wignera,
ograniczona do 30 kHz (b), posłużyła od obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku przerywanymi
liniami zaznaczono czasy przyjścia syntetycznych fal P, S i Stoneleya w celu prześledzenia zmian
atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji poszczególnych fal
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
142
wf1, rekord 1500 (A1g)
25
0
[kH
z]
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]
25
0
[kH
z]
25
0
[kH
z] f (t)i
f (t)d
σf(t)
a)
b)
c)
-5
5
0
[kH
z]
30
25
20
15
10
5
0
Mapa Wignera(metoda pogoń za dopasowaniem)
skala
kolo
rów
ato
mó
w G
ab
ora
0
0,5
1,0
Rys. 5.54 Atrybuty chwilowe obliczone z wykorzystaniem metody pogoń z dopasowaniem
dla sygnału wf1 z anhydrytu górnego A1g.
Obraz falowy wf1 z A1g (a) został poddany dekompozycji na 60 atomów Gabora. Mapa Wignera,
ograniczona do 30 kHz (b), została wykorzystana do obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku
przerywanymi liniami zaznaczono czasy przyjścia fal P, S i pakietu wysokoamplitudowego w celu
prześledzenia zmian atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji fal, wyznaczone w oparciu o zmiany
amplitud na akustycznym obrazie falowym
Analizując rysunki dla pojedynczych rejestracji oraz zbiorcze zestawienia dla całego interwału
głębokościowego można zaobserwować pewne charakterystyczne cechy atrybutów chwilowych
otrzymanych na podstawie metody pogoń za dopasowaniem:
− Fala P jest bardzo niedokładnie reprezentowana przez atomy Gabora. Z uwagi na czas trwania
atomów (tj. oktawę atomów Gabora j) czas przyjścia fali P na atrybutach chwilowych zaznacza
się wcześniej niż ma miejsce w rzeczywistości. Poszarpany charakter linii znaczącej początek
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
143
atrybutów chwilowych jest wynikiem zmiennego, ale generalnie słabego, odwzorowania fali P
w skali całego interwału głębokościowego. Przyczyną tych niedokładności są niskie amplitudy
fali P w stosunku do amplitud pozostałych fal na obrazie falowym. Mały udział tego pakietu
falowego w całkowitej energii sygnału powoduje, że algorytm MP uznaje falę P za mało istotną.
− W anhydrytach A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 oraz piaskowcach P-ce w obszarze
występowania fali S chwilowa częstotliwość środkowa ma wyraźny dwudzielny charakter: na
początku występują niższe częstotliwości, które przechodzą w częstotliwości wyższe. Takie
zjawisko jest wywołane dyspersją normalną fali pseudo-Rayleigha (wyższe mody tej fali
rozchodzą się z mniejszą prędkością i charakteryzują się wyższymi częstotliwościami).
Chwilowa częstotliwość środkowa pozwala więc na zidentyfikowanie na akustycznych obrazach
falowych silnie zakłócającej fali pseudo-Rayleigha.
− W anhydrytach A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 oraz piaskowcach P-ce obserwuje się
charakterystyczne obniżenie chwilowej częstotliwości środkowej fi(t), występujące w obszarze
pakietu wysokoamplitudowego. Jednocześnie, tam gdzie obserwowane jest obniżenie
częstotliwości chwilowej, występuje bardzo wyraźne podniesienie wartości chwilowej
szerokości widma. Te dwa atrybuty umożliwiają wyznaczenie występowania pakietu
wysokoamplitudowego.
− W poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1 obserwuje się bardzo wyraźne obniżenie chwilowej
częstotliwości środkowej, w szczególności w podpoziomach Ca1_3, Ca1_4, Ca1_5 oraz Ca1_8.
Te podpoziomy odpowiadają dokładnie strefom nasyconych gazem. Podobnie na jak na fi(t)
z CWT największe obniżenie częstotliwości związane z gazem obserwowane jest w obszarze
fali w płuczce i Stoneleya, chociaż jest również widoczne dla fali P oraz S.
− Wyniki obliczeń w solach (Na3_1, Na3_2, Na2) są mało wiarygodne z uwagi na złą jakość
danych, i trudno poddać je interpretacji. Przyczyną są niekorzystne warunki pomiarowe
wywołane bardzo dużym powiększeniem średnicy na skutek wymywania soli przez płuczkę.
− Na zbiorczych rysunkach atrybutów chwilowych można zaobserwować tendencję do
skokowego charakteru zmian atrybutów wzdłuż osi czasu ich pasmowy charakter wzdłuż osi
głębokości. Jest to efektem stosowania algorytmu MP z dyskretnym słownikiem Gabora, dla
którego podstawowe parametry atomów zmieniają się w sposób opisany w rozdziale 2.3.3.
Podsumowując otrzymane wyniki atrybutów chwilowych obliczonych w oparciu o metodę pogoń za
dopasowaniem, należy podkreślić duże możliwości tej metody do rozróżnienia fal obecnych na
akustycznych obrazach falowych. Interpretacja wyników jest tutaj łatwiejsza niż atrybutów
chwilowych otrzymanych na podstawie transformaty falowej. Chwilowa częstotliwość środkowa oraz
chwilowa częstotliwość dominująca są najbardziej czułe na zmiany częstotliwości związane z różnymi
falami akustycznymi. Chwilowa szerokość widma jest mniej użyteczna, aczkolwiek pozwoliła na
wyznaczenie występowania pakietu wysokoamplitudowego. Pakiet ten wyróżnia się spośród
pozostałych fal wyraźnie niższymi częstotliwościami chwilowymi oraz podwyższeniem chwilowej
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
144
szerokości widma. Obniżenie częstotliwości sięga 10-12 kHz, więc zbyt mało, aby można było uznać
ten pakiet jako niskoczęstotliwościową falę Stoneleya (z literatury wiadomo, że fale rurowe mają
częstotliwości rzędu kilku kHz, ale przy niższych niż stosowane w sondzie LSS częstotliwościach
źródeł).
Opis metody oraz otrzymane wyniki zostały zgłoszone na najbliższą konferencję EAGE
Conference & Exhibition (Wawrzyniak 2007).
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
145
Rys. 5.55 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 z
wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem
(plik: Rys. 5.55-56 fc fr MP.cdr; arkusz 1)
5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…
146
Rys. 5.56 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 z
wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem
(plik: Rys. 5.55-56 fc fr MP.cdr; arkusz 2)
6. Podsumowanie i wnioski
147
Rozdział 6
Podsumowanie
Celem pracy była analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji
o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał. Dynamiczne parametry sprężyste skał są możliwe do
wyznaczenia na podstawie prędkości fal P i S wyznaczonych z zapisów AOF wykonanych
w warunkach in situ. Wiarygodność wyznaczenia dynamicznych modułów sprężystości zależy od
poprawności rejestracji i właściwie dobranej metodyki przetwarzania akustycznych obrazów
falowych. Dokładność wyznaczenia liczbowych wartości modułów sprężystości zależy od dokładności
określenia czasów interwałowych fali P i S. Podobne stwierdzenia można odnieść do obliczenia
porowatości ogólnej na podstawie znajomości czasu interwałowego fali P i S. Do chwili obecnej
porowatość, obok zawartości wody związanej w skale, jest najczęściej wykorzystywana do obliczenia
przepuszczalności. Przepuszczalność wyznaczona na podstawie czasu interwałowego fali Stoneleya
jest wielkością niezależną od porowatości ogólnej, wyznaczonej na podstawie np. czasu
interwałowego fali P.
Metody obliczania dynamicznych parametrów sprężystych, porowatości i przepuszczalności na
podstawie znajomości czasów interwałowych fal P, S i Stoneleya opierają się na niekwestionowanych
relacjach opisujących fizyczne zależności. Zatem, najważniejsze jest dokładne wyznaczenie czasów
interwałowych DTP, DTS i DTSt. W pracy skupiono się na tym problemie, zakładając, że podniesienie
dokładności wydzielania pakietów wyżej wspomnianych fal i zwiększenie efektywności przetwarzania
AOF przyczyni się do poprawnej oceny parametrów sprężystych i zbiornikowych.
Punktem wyjścia przeprowadzonych badań było potraktowanie akustycznych obrazów falowych
jako sygnałów niestacjonarnych, składających się z fal akustycznych, które różnią się między sobą
pod względem położenia na osi czasu oraz częstotliwości. Do przetwarzania AOF, prowadzonego
w kierunku rozdzielenia pola falowego, zaproponowano wykorzystanie metod czasowo-
częstotliwościowych. Powyższe stwierdzenia posłużyły do sformułowania tezy pracy.
Zróżnicowanie częstotliwościowe pakietów falowych jest mniej oczywiste niż czasowe i jest
rzadziej wykorzystywane w analizie akustycznych obrazów falowych. Dlatego na początku wykonano
za pomocą transformaty Fouriera analizę fragmentów obrazów falowych odpowiadających falom P
i S. Analiza była przeprowadzona w sposób zgrubny, gdyż miała charakter rozpoznawczy,
6. Podsumowanie i wnioski
148
pozwalający ocenić, czy fale różnią się pod względem częstotliwości. Wykazała, że oba pakiety
falowe wykazują nieznaczne zróżnicowanie składu częstotliwościowego. Była to istotna informacja
z punktu widzenia dalszych badań. Pokazała, że przy przetwarzaniu akustycznych obrazów falowych
większe znaczenie będzie miało kryterium czasowe.
Do analizy czasowo-częstotliwościowej akustycznych obrazów falowych zaproponowano trzy
metody: dyskretną transformatę falkową (DWT), ciągłą transformatę falkową (CWT) oraz metodę
pogoń za dopasowaniem (MP). Każdą z nich dokładnie przetestowano pod kątem zdolności do
rozdzielenia pola falowego. Metoda pogoń za dopasowaniem wykazała się najlepszą rozdzielczością
i jako jedyna pozwoliła na rozdzielenie pola falowego i przeprowadzenie interpretacji ilościowej.
W wyniku otrzymano czasy interwałowe DTP, DTS, DTSt oraz DTPł, obliczone na pakietach
falowych wydzielonych z AOF. Dodatkowo, obliczone czasy interwałowe pozwoliły na
zidentyfikowanie charakterystycznego pakietu wysokoamplitudowego jako fali w płuczce.
Wyznaczone czasy interwałowe wykorzystano do obliczenia stosunku prędkości fali Stoneleya do fali
w płuczce (VSt/VPł). Został on wykorzystany do oceny jakości czasu interwałowego wydzielonej
algorytmem MP fali Stoneleya. DTSt_MP w wapieniu cechsztyńskim znacząco odbiegał od
DTSt_oryg otrzymanego z nierozdzielonych obrazów oryginalnych. Otrzymane czasy interwałowe
można również wykorzystać do obliczenia dynamicznych modułów sprężystości.
Przeprowadzone badania wykazały, że reprezentacje czasowo-częstotliwościowe akustycznych
obrazów falowych można wykorzystać w znacznie szerszym kontekście interpretacyjnym, niż
otrzymanie czasów interwałowych na podstawie rozdzielonego pola falowego. Zastosowanie ciągłej
transformaty falkowej, metody pogoń za dopasowaniem oraz atrybutów chwilowych obliczonych na
bazie powyższych metod, rozszerza możliwości interpretacji jakościowej obrazów falowych,
w szczególności wykresów czasowo-głębokościowo-amplitudowych.
Na podstawie ciągłej transformaty falkowej skonstruowano wykresy czasowo-głębokościowo-
częstotliwościowe dla wybranej częstotliwości. Oglądając poszczególne wykresy (dla różnych
częstotliwości) można prześledzić, które pakiety falowe w danym typie litologicznym dominują dla
określonej częstotliwości, co można wykorzystać do identyfikacji fal. Wykresy te okazują się
pomocne przy wskazywaniu stref o obniżonych częstotliwościach, związanych np. z występowaniem
stref gazonośnych czy stref zwiększonego zailenia.
Metoda pogoń za dopasowaniem umożliwiła rozdzielenie pola falowego i przedstawienie go
jako osobnych pakietów fal akustycznych. Wyselekcjonowane fale wykorzystano do określenia
czasów interwałowych. Osobnym zagadnieniem, ważnym z punktu widzenia przydatności
profilowania akustycznego, jest możliwość poprawnej oceny amplitud fal w wydzielonych pakietach.
Uwolnienie AOF od szumów oraz wykluczenie efektów interferencji dzięki proponowanym
dekompozycjom, poszerza potencjalne możliwości zastosowania wydzielonych pakietów falowych
o zagadnienia związane z wykorzystaniem amplitud poszczególnych fal akustycznych.
Ciągłą transformatę falkową oraz metodę pogoń za dopasowaniem wykorzystano również do
obliczenia atrybutów chwilowych (chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej oraz chwilowej
6. Podsumowanie i wnioski
149
szerokości widma). Połączenie obu technik: analiz czasowo-częstotliwościowych i atrybutów
chwilowych, umożliwiło obserwowanie chwilowych zmian w sygnale spowodowanych zmianami
częstotliwości. Są one związane ze zmianami własności sprężystych i zbiornikowych skał oraz
rejestrowaniem fal akustycznych o różnej charakterystyce częstotliwościowej.
W pracy przedstawiono wyniki szczegółowych badań przeprowadzonych na AOF traktowanych
jako sygnały niestacjonarne. Zostały wykonane na trudnym do interpretacji materiale polowym
zarejestrowanym z użyciem sondy LSS pracującej ze źródłem wysokoczęstotliwościowym.
Zaproponowane procedury przetwarzania sygnałów w nowatorski sposób zostały wykorzystane do
analizy akustycznych obrazów falowych. Prezentowane rozważania mają również charakter
uniwersalny. Uzyskane wyniki mogą być z powodzeniem wykorzystane przy przetwarzaniu zapisów
falowych wykonanych innymi typami sond akustycznych, jak np. sondą Full Wave Sonic stosowaną
obok urządzenia LSS przez Spółki Geofizyka Kraków i Geofizyka Toruń.
Prezentowane w pracy narzędzia analizy sygnałów zostały sprawdzone na syntetycznych
obrazach, pokazano ich cechy, łącznie z niedoskonałościami rzutującymi na wyniki przetwarzania.
Wykonano wszechstronne badania dostępnych metod w zakresie przetwarzania czasowo-
częstotliwościowego i zaproponowano spójne procedury pozwalając na uzyskanie informacji o ciągle
tych samych parametrach, czasach interwałowych i amplitudach, ale w oparciu o inne, nie
wykorzystywane do tej pory właściwości. Przedstawiona metodyka opracowania akustycznych
obrazów falowych nie neguje wykorzystywanych dotychczas procedur. Powinna być stosowana obok
już dobrze rozpoznanych i oprogramowanych algorytmów. Pokazuje jednak nowe możliwości
uzupełnienia akustycznego obrazu badanych ośrodków skalnych. Metody automatycznej interpretacji,
chętnie adaptowane do komputerowych systemów interpretacyjnych, wymagają poprawnego
wyznaczenia podstawowych parametrów, czyli czasów interwałowych fal akustycznych, a także ich
amplitud. W prezentowanej pracy przedstawiono dodatkowe kryteria i metodykę identyfikacji
pakietów fal P, S i Stoneleya, które mogą być użyte zarówno w automatycznym przetwarzaniu AOF
na skalę przemysłową, jak i w szczegółowych badaniach studialnych.
Spis rysunków
150
Spis rysunków
Rys. 2.1 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały deterministyczne i losowe........................................... 6
Rys. 2.2 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały ciągłe i dyskretne ........................................................ 6
Rys. 2.3 Ilustracja graficzna sygnału analogowego (a) oraz sygnałów dyskretnych: dyskretnego
czasu ciągłego – powstałego w wyniku kwantyzacji amplitudy (b), ciągłego czasu
dyskretnego – powstałego w wyniku próbkowania osi czasu (c) i dyskretnego czasu
dyskretnego – powstałego w wyniku kwantyzacji i próbkowania sygnału
analogowego (d)................................................................................................................................. 7
Rys. 2.4 Przykłady funkcji analizujących w transformacie Fouriera (a) oraz przykład
dekompozycji sygnału względem falek Morleta (b) .......................................................................... 9
Rys. 2.5 Przykłady konfiguracji atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość dla krótkoczasowej
transformaty Fouriera STFT (a) i transformaty falkowej (b) ........................................................... 10
Rys. 2.6 Przykłady funkcji analizujących wykorzystywanych w krótkoczasowej transformacie
Fouriera STFT (a), transformacie falkowej (b) i pogoni za dopasowaniem (c)
(na podstawie Durka 1999-2004, zmienione) .................................................................................. 13
Rys. 2.7 Reprezentacje gęstości energii sygnału niestacjonarnego uzyskanych różnymi metodami
czasowo– częstotliwościowymi ....................................................................................................... 15
Rys. 2.8 Przykład falek stosowanych w transformacie falkowej: falka Morleta i jej przeskalowana
wersja (a) wraz z ich widmami amplitudowymi (b)......................................................................... 18
Rys. 2.9 Schemat realizacji ciągłej transformaty falkowej CWT (na podstawie Misiti et al.
1997-2006)....................................................................................................................................... 19
Rys. 2.10 Schemat obliczania dyskretnej transformaty falkowej DWT (na podstawie Polikar 1994)............. 21
Rys. 2.11 Parametry atomów Gabora............................................................................................................... 25
Rys. 3.1 Akustyczny obraz falowy (na podstawie Minear i Fletcher (1983), zmienione) ............................. 28
Rys. 3.2 Zasada obliczania czasu interwałowego DT w standardowych profilowaniach
akustycznych.................................................................................................................................... 29
Rys. 3.3 Schemat sondy Long Spaced Sonic firmy Halliburton Energy Services (na podstawie
Gądek et al. 1997)............................................................................................................................ 31
Rys. 3.4 Schemat obliczania czasów interwałowych DT8 (a) i DT10 (b) dla sondy LSS
(na podstawie: Gądek et al. 1997).................................................................................................... 35
Rys. 3.5 Przebieg promieni w otworze wiertniczym fal: P, S i prowadzonych (na podstawie
Minear i Fletcher 1983).................................................................................................................... 38
Spis rysunków
151
Rys. 3.6 Teoretyczne widmo amplitudowe obrazu falowego zawierającego fale czołowe
(na podstawie Hearst et al. 2000)..................................................................................................... 39
Rys. 3.7 Krzywe dyspersji fal pseudo-Rayleigha i Stoneleya (na podstawie Paillet i White 1982)............... 40
Rys. 3.8 Charakterystyka fali Stoneleya w zależności od częstotliwości środkowej i szerokości
widma sygnału źródłowego (na podstawie Paillet i White 1982, zmienione).................................. 41
Rys. 3.9 Syntetyczne obrazy falowe w utworach o niskich prędkościach fal sprężystych (łupkach)
otrzymane dla różnych prędkości fali S (na podstawie Minear i Fletcher 1983) ............................. 43
Rys. 3.10 (część I) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika
(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002) ................................................. 44
Rys. 3.10 (część II) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika
(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002) ................................................. 45
Rys. 3.11 Rozkład energii poszczególnych fal na obrazie falowym (na podstawie Paillet 1991).................... 46
Rys. 4.1 Lokalizacja otworu K6..................................................................................................................... 50
Rys. 4.2 Wybrane profilowania geofizyki otworowej wykonane w otworze K6 wraz
z rozwiązaniem litologicznym i nasyceniem przestrzeni porowej ................................................... 54
Rys. 4.3 Przykładowe akustyczne obrazy falowe z wybranych litologii ....................................................... 55
Rys. 4.4 Sygnał oryginalny (a) i przygotowany do analiz czasowo-częstotliwościowych (b) (obraz
falowy wf1, rekord 1500, A1g)........................................................................................................ 57
Rys. 5.1 Para obrazów falowych złożona z syntetycznych sygnałów wf1_synt (a) i wf3_synt (b) ............... 59
Rys. 5.2 Widma amplitudowe (a) oraz przebiegi falowe (b) akustycznych obrazów falowych
zarejestrowanych bliższym (kolor czerwony) i dalszym (kolor niebieski) rejestratorem ................ 61
Rys. 5.3 Akustyczne obrazy falowe wf1, wf2, wf3, wf4 wraz z zaznaczonymi czasami przyjścia
fal P (TP), S (TS) i pakietu wysokoamplitudowego (Tpł/St) w poszczególnych litologiach................ 63
Rys. 5.4 Pakiety falowe P i S wydzielone z akustycznych obrazów falowych i znormalizowane
do wartości z przedziału [-1, 1] (a). Widma mocy pakietów P i S znormalizowane
do wartości z przedziału [0, 1]. Na rysunku zaznaczono progi równe 0,4 i 0,7, powyżej
których zliczane były maksima lokalne widm (b)............................................................................ 64
Rys. 5.5 Histogramy składu częstotliwościowego pakietów P i S ................................................................. 65
Rys. 5.6 Dekompozycja sygnału syntetycznego dyskretną transformatą falkową DWT ............................... 68
Rys. 5.7 Dekompozycja sygnału sinusoidalnego sin_13kHz dyskretną transformatą falkową DWT............ 69
Rys. 5.8 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych z krokiem 4 µs................ 70
Rys. 5.9 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych ze zmienionym
krokiem równym 12 µs .................................................................................................................... 73
Rys. 5.10 Podstawowa falka Morleta (na zielono) i sygnał okresowy o częstotliwości równej
częstotliwości środkowej falki (na granatowo) ................................................................................ 76
Rys. 5.11 Zależność między skalą i częstotliwością środkową skalowanej falki Morleta fa
(pseudoczęstotliwością), obliczona dla akustycznych obrazów falowych próbkowanych
z krokiem 4 µs.................................................................................................................................. 77
Rys. 5.12 Widma amplitudowe falek Moleta zastosowanych do analizy akustycznych obrazów
falowych próbkowanych z krokiem 4 µs (przedstawiono widma dla skal z zakresu
[10, 32]) ........................................................................................................................................... 77
Spis rysunków
152
Rys. 5.13 Syntetyczny sygnał wf1_synt (a) i jego dekompozycja CWT falką Morleta przedstawiona
w formie wykresu 3D (b) oraz mapy na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (c) ................... 79
Rys. 5.14 Współczynniki CWT falki Morleta wykreślone dla skal odpowiadających
częstotliwościom syntetycznych fal składowych sygnału wf1_synt ................................................ 80
Rys. 5.15 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą
falkową (b-e) wraz ze zidentyfikowanymi falami akustycznymi..................................................... 81
Rys. 5.16 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą
falkową (b-e) po obliczeniu obwiedni współczynników falkowych ................................................ 82
Rys. 5.17 Schemat otrzymania wykresów czasowo-częstotliwościowo-głębokościowych
obliczonych w oparciu o ciągłą transformatę falkową ..................................................................... 84
Rys. 5.18 (część I) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie
ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 10, 11, 12, 13, 14 i 15) ..................... 86
Rys. 5.18 (część II) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie
ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 17, 18, 20, 22, 25 i 34) ..................... 87
Rys. 5.19 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe przedstawiające fragment obrazów
falowych (do pakietu wysokoamplitudowego) w dolomicie głównym Ca2 (a, b) oraz
piaskowcach karbońskich P-ce (c, d) dla skali a = 17 (12 kHz) (a, c) i a = 11 (18,5 kHz)
(b, d)................................................................................................................................................. 88
Rys. 5.20 Rdzeń i czynnik korygujący dla sygnału przesuniętego o 1 próbkę (a) i 50 próbek (b) .................. 92
Rys. 5.21 Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem:
dekompozycja sygnału ABC zbudowanego z trzech elementów różniących się jedynie
częstotliwością ................................................................................................................................. 93
Rys. 5.22 Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem:
dekompozycja sygnału A’B’C’ zbudowanego z trzech elementów różniących się
częstotliwością oraz położeniem...................................................................................................... 94
Rys. 5.23 Wpływ ilości atomów dekompozycji na dokładność analizy na przykładzie sygnału
syntetycznego wf1_synt (a, b) i sygnału zaszumionego wf1_synt_rand (c, d) ................................ 96
Rys. 5.24 Schemat rozdzielenia pola falowego metodą pogoń za dopasowaniem i określenia czasów
interwałowych pakietów falowych na przykładzie pary syntetycznych obrazów falowych
wf1_synt-wf3_synt .......................................................................................................................... 97
Rys. 5.25 Schemat rozdzielenia pola falowego i rekonstrukcji fal akustycznych za pomocą metody
pogoń za dopasowaniem na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt ..................................... 99
Rys. 5.26 Schemat dekompozycji akustycznych obrazów falowych na przykładzie sygnału wf1
zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g................................................................................ 103
Rys. 5.27 Rozdzielone pole falowe akustycznych obrazów falowych za pomocą metody pogoń
za dopasowaniem ........................................................................................................................... 104
Rys. 5.28 Schemat blokowy badań prowadzących do otrzymania czasów interwałowych
i częstotliwości fal akustycznych wydzielonych z obrazów falowych metodą pogoń
za dopasowaniem ........................................................................................................................... 106
Rys. 5.29 Czasy interwałowe i częstotliwości fal akustycznych rozdzielonych metodą pogoń
za dopasowaniem ........................................................................................................................... 109
Spis rysunków
153
Rys. 5.30 Uśrednione miary widma częstotliwościowego na przykładzie sygnału Rickera
(częstotliwość środkowa, częstotliwość dominująca i szerokość widma) ..................................... 112
Rys. 5.31 Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla akustycznych obrazów falowych (AOF)
na podstawie transformaty falkowej (a) i metody pogoń za dopasowaniem (b) ............................ 113
Rys. 5.32 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5 ............................................................... 116
Rys. 5.33 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Daubechies 8 ....................................................... 117
Rys. 5.34 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Gauss 5 ................................................................ 118
Rys. 5.35 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Meyera................................................................. 119
Rys. 5.36 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Morleta ................................................................ 120
Rys. 5.37 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Symlet 5............................................................... 121
Rys. 5.38 Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g
z wykorzystaniem dyskretnej transformaty falkowej..................................................................... 123
Rys. 5.39 Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g
z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej........................................................................... 124
Rys. 5.40 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona na podstawie różnych wariantów
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5 ............................................................... 125
Rys. 5.41 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona na podstawie różnych wariantów
transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5 ............................................................... 126
Rys. 5.42 Skalogramy ciągłej transformaty falkowej obliczone dla różnych falek (a-f) dla sygnału
wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym. Skalogramy zostały ograniczone
do takiego zakresu skali, aby obejmowały tylko częstotliwości z przedziału [5, 20 kHz]............. 128
Rys. 5.43 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty
falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map
czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42)................................................ 129
Rys. 5.44 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty
falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map
czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42)................................................ 131
Rys. 5.45 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem
ciągłej transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek........................................................... 132
Rys. 5.46 Chwilowa szerokość widma σf(t) dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek ...................................................................... 133
Rys. 5.47 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem
ciągłej transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek........................................................... 134
Rys. 5.48 Chwilowa szerokość widma σf(t) dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek ...................................................................... 135
Spis rysunków
154
Rys. 5.49 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem
ciągłej transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek........................................................... 136
Rys. 5.50 Chwilowa szerokość widma σf(t) dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek ...................................................................... 137
Rys. 79 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem
ciągłej transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek........................................................... 138
Rys. 5.51 Chwilowa szerokość widma σf(t) dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem ciągłej
transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek ...................................................................... 139
Rys. 5.52 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie metody
pogoń za dopasowaniem ................................................................................................................ 141
Rys. 5.53 Atrybuty chwilowe obliczone z wykorzystaniem metody pogoń z dopasowaniem dla
sygnału wf1 z anhydrytu górnego A1g .......................................................................................... 142
Rys. 5.54 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3
i wf4 z wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem............................................................ 145
Rys. 5.55 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4
z wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem ..................................................................... 146
Spis tabel
155
Spis tabel
Tabela 3.1 Parametry techniczne sondy LSS (na podstawie: Gądek et al. 1997, Dokumentacja
techniczna sondy LSS 1992).............................................................................................................33
Tabela 3.2 Wykaz obrazów falowych rejestrowanych sondą LSS z odpowiadającymi im parami
nadajnik – odbiornik oraz długością rozstawu..................................................................................33
Tabela 3.3 Charakterystyka par obrazów falowych............................................................................................36
Tabela 4.1 Tabela litostratygraficzna utworów w otworze K6 wraz z podziałem akustycznych
obrazów falowych wykonanym na podstawie litostratygrafii (Gądek et al. 1997,
Jarzyna et al. 2001) i charakteru zapisów falowych .........................................................................51
Tabela 5.1 Parametry sygnałów syntetycznych ..................................................................................................59
Tabela 5.2 Zakresy częstotliwości i częstotliwość charakterystyczna (objaśnienie w tekście) fali P i S
dla różnych typów litologicznych skał..............................................................................................64
Tabela 5.3 Zakres badanych częstotliwości na kolejnych poziomach dekompozycji DWT w [rad/s]
(Polikar 1994) oraz w [kHz] dla sygnałów próbkowanych z krokiem
4 µs oraz 12 µs ..................................................................................................................................72
Tabela 5.4 Przykłady czasów interwałowych dla fali P i S uzyskane różnymi metodami dla pary
wf1-wf3, prezentowanej na rysunku 5.9 ...........................................................................................74
Tabela 5.5 Położenie p atomów Gabora dla sygnału Stwf1_synt oraz sygnałów przesuniętych
Stwf1_synt_shift ...............................................................................................................................91
Tabela 5.6 Parametry atomów Gabora otrzymane w wyniku dekompozycji sygnału syntetycznego
wf1_synt. Kolorami przedstawiono wybrane atomy reprezentujące syntetyczne fale P, S
i Stoneleya.........................................................................................................................................98
Literatura
156
Literatura
Rozdział 1:
[1] Arditty P. C., Falt U., Mathieu F., i Staron P., 1991. Characterization of fractured hydrocarbon reservoirs
using the EVA acoustic logging tool. The Log Analyst, 32, 3, 215-232.
[2] Audet P. i Mareschal J-C., 2007. Wavelet analysis of the coherence between Bouguer gravity and
topography: application to the elastic thickness anisotropy in the Canadian Shield. Geophysical Journal
International, 168, 1, 287-298.
[3] Bardainne T., Gaillot P., Dubos-Sallée N., Blanco J. i Sénéchal G., 2006. Characterization of seismic
waveforms and classification of seismic events using chirplet atomic decomposition. Example from the
Lacq gas field (Western Pyrenees, France). Geophysical Journal International, 166, 2, 699-718.
[4] Broding R. A. i Buchanan L. K., 1986. A sonic technique for cement evaluation. SPWLA 27th
Annual
Logging Symposium Transaction, Dallas, Texas, USA, paper GG, 1–16.
[5] Castagna J. P. i Sun S., 2006. Comparison of spectral decomposition methods. First Break, 24, 3, 75-79.
[6] Castagna J. P., Sun S. i Siegfried R. W., 2003. Instantaneous spectral analysis: detection of low-frequency
shadows associated with hydrocarbons. The Leading Edge, 22, 2, 120-127.
[7] Chakraborty A. i Okaya D., 1995. Frequency-time decomposition of seismic data using wavelet-based
methods. Geophysics, 60, 6, 1906-1916.
[8] Cooper G. R. J., 2006. The interpretation of potential field data using continuous wavelet transform.
EAGE 68th
Conference & Exhibition, Vienna, Austria, paper C002,1-5.
[9] Dessing F., 1997. A wavelet transform approach to seismic processing. PhD Thesis. Delft University of
Technology, Faculty of Applied Physics, Laboratory of Seismics and Acoustics, Delft, The Netherlands,
1-261.
[10] Dillon P. B. i Collyer V. A., 1985. On timing the VSP first arrival. Geophysical Prospecting, 33, 8,
1174-1194.
[11] Douma H. http://geoweb.princeton.edu/people/douma/personal/index.html (luty 2007).
[12] Droujinine A., 2006. Theory and seismic applications of the eigenimage discrete wavelet transform.
Geophysical Prospecting, 54, 4, 441-461.
[13] Faqi L., Kabir M. M. N. i Verschuur D. J., 1995. Seismic processing using the wavelet and the Radon
transform. Journal of Seismic Exploration, 4, 375-390.
[14] Fomel S. http://lcd.siva.free.fr/Documents-WITS-starlet/Fomel_S_2006_seg_tow_st.pdf (luty 2007).
[15] Herrmann F. J. http://www.eos.ubc.ca/about/Publications/F.Herrmann.html (luty 2007).
[16] Herve C. http://www.geophy.ensmp.fr/~herve/ (luty 2007).
[17] Kokesh F. P., Schwartz R. J., Wall W. B. i Morris R. L., 1964. A new approach to sonic logging and other
acoustic measurements. Journal of Petroleum Technology, March, 282-286.
[18] Li X-P., 1998. Wavelet power spectrum analysis of heterogeneities from sonic velocity logs. Geophysical
Prospecting, 46, 5, 455-475.
[19] Sinha S., Routh P. S., Anno P. D. i Castagna J. P., 2005. Spectral decomposition of seismic data with
continuous-wavelet transform. Geophysics, 70, 6, P19-P25.
Literatura
157
[20] Stockwell R. G., Mansinha L. i Lowe R. P., 1996. Localization of the complex spectrum: the S transform.
IEEE Transaction on Signal Processing, 44, 4, 998-1001.
[21] Verhelst F., 1998. Wavelet attributes for geological characterization. DELPHI IX, Chapter 16, 1-35.
[22] Williams D. M., Zemanek J., Angona F. A., Dennis C. L. i Caldwell R. L.,1984. The long spaced acoustic
logging tool. SPWLA 25th
Annual Logging Symposium Transaction New Orleans, Louisiana, USA,
paper T, 1-16.
[23] Zabihi N. E. i Siahkoohi H. R., 2006. Time-frequency analysis. EAGE 68th
Conference & Exhibition,
Vienna, Austria, paper P091, 1-7.
[24] Zemanek J., Glenn E. E., Norton L. J. i Caldwell R. L., 1970. Formation evaluation by inspection with the
borehole televiewer. Geophysics, 35, 2, 254-269.
[25] Zemanek J., Williams D. M., i Schmitt D. P., 1991. Shear-wave logging using multipole sources. The Log
Analyst, 32, 3, 233-241.
Rozdział 2:
[26] Augustyniak P., 2003. Transformacje falkowe w zastosowaniach elektrodiagnostycznych. Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo–Dydaktyczne AGH, Kraków, 1–164.
[27] Bendat J. S i Piersol A. G., 1976. Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1–488.
[28] Białasiewicz J. T., 2000. Falki i aproksymacje. Wydawnictwa Naukowo–Techniczne, Warszawa, 1–288.
[29] Bracewell R. N., 1968. Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. Wydawnictwa Naukowo–
Techniczne, Warszawa, 1–413.
[30] Daubechies I., 1992. Ten lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1–357.
[31] Durka P. J., 1999-2004. Między czasem a częstością: elementy współczesnej analizy sygnałów.
http://brain.fuw.edu.pl/~durka/as/ (luty 2007).
[32] Hall M., 2006. Resolution and uncertainty in spectral decomposition. First Break, 24, 12, 43-47.
[33] Kaiser G., 1994. A friendly guide to wavelets. Birkhäuser, Boston, 1–300.
[34] Leśniak A., 1999. Zastosowanie czasowo-częstotliwościowej funkcji koherencji do analizy
szerokopasmowych danych sejsmicznych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo–Dydaktyczne AGH,
Kraków, 1–105.
[35] Mallat S. i Zhang Z., 1993. Matching Pursuit with time-frequency dictionaries. IEEE Transactions on
Signal Processing, 41, 12, 3397–3415.
[36] Mallat S., 1998. A wavelet tour of signal processing. Academic Press, San Diego, 1–723.
[37] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G. i Poggi J-M., 1997-2006. Wavelet toolbox for use with Matlab®
. The
MathWorks, Inc. User’s Guide Online.
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/wavelet/wavelet_ug.pdf (luty 2007).
[38] Polikar R., 1994. The Wavelet Tutorial. http://users.rowan.edu/~polikar/research/publications/ (luty 2007).
[39] Roberts M. J., 2004. Signals and systems: analysis using transform methods and MATLAB®
. Mc-Graw
Hill Higher Education, Boston, 1–1054.
[40] Zieliński T. P., 2002. Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wydział EAIiE AGH, Kraków,
1–576.
Rozdział 3:
[41] 2SAA-1000/F Sonic Probe Operators Manual, 2002. Mount Sopris Instrument Co., Inc.
http://www.mountsopris.com/PDF%20Documents/2SAA-1000FSonicProbe_OpMan.pdf (luty 2007).
Literatura
158
[42] Baker L. J., 1984. The effect of the invaded zone on full wavetrain acoustic logging. Geophysics, 49, 6,
796-809.
[43] Bała M. i Jarzyna J., 1992. Wyznaczanie parametrów sprężystych ośrodka na podstawie otworowych
pomiarów akustycznych obrazów falowych i pomiarów gęstości. Zeszyty Naukowe AGH, Zeszyt 12,
69-90.
[44] Bała M. i Jarzyna J., 1996. Application of acoustic full wavetrains for the determination of lithology,
reservoir and mechanical parameters of formation. Geophysical Prospecting, 44, 5, 761-787.
[45] Bała M., Jarzyna J. i Bugajski A., 1994. Analiza charakterystyk chwilowych przy interpretacji
akustycznych obrazów falowych. Nafta-Gaz, 9, 389-399.
[46] Bała M., Jarzyna J., Cichy A., Mirek J., Górecka N., Gądek W., Kubik B i Stadtmüller M., 1997.
Opracowanie programu automatycznej interpretacji akustycznych zapisów sondą LSS pod kątem
wyznaczania czasów interwałowych i prędkości różnych typów fal. Zlecenie z PGNiG S.A. w Warszawie,
Biuro Geologiczne „Geonafta”, Kraków, 1-46.
[47] Baudzis S., 2002. Full Wave Sonic – dane techniczne oraz standardowe konfiguracje zestawów
akustycznych. Materiały VIII Krajowej Konferencji Naukowo-Technicznej, Szymbark, t. 3, 5-12.
[48] Biot M. A., 1952. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid. Journal of Applied
Physics, 23, 9, 997-1005.
[49] Biot M. A., 1956a. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-
frequency range. Journal of the Acoustical Society of America, 28, 2, 168-178.
[50] Biot M. A., 1956b. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher
frequency range. Journal of the Acoustical Society of America, 28, 2, 179-191.
[51] Cheng C. H. i Toksöz M. N., 1981. Elastic wave propagation in a fluid-filled borehole and synthetic
acoustic logs. Geophysics, 46, 7, 1042-1053.
[52] Cheng C. H. i Toksöz M. N., 1983. Determination of shear wave velocities in „slow” formations.
SPWLA 24th
Annual Logging Symposium Transaction, Calary, Alberta, Canada, paper V, 1-25.
[53] Cheng C. H., Toksöz M. N i Willis M. E., 1981. Velocity and attenuation from full waveform acoustic
logs. SPWLA 22nd
Annual Logging Symposium Transaction, Mexico City, Mexico, paper O, 1-19.
[54] Crain E. R., 2004. How many acoustic waves can dance on the head of a sonic log?
http://www.spec2000.net/freepubs/acousticwaves.doc (luty 2007).
[55] Dokumentacja techniczna sondy LSS, 1992. Long Spaced Sonic block diagram. Geofizyka Kraków
Sp. z o.o., 1-14.
[56] Gądek W., Kubik B. i Stadtmüller M., 1997. Przygotowanie danych wejściowych do opracowania
programu automatycznej interpretacji akustycznych zapisów sondą LSS (etap I). ZGF WGGiOŚ AGH,
Kraków, 1-19 (plus załączniki).
[57] Hearst J. R., Nelson P. H. i Paillet F. L., 2000. Well logging for physical properties. John Wiley & Sons
Ltd, Chichester, 1-483.
[58] Ingram J. D., Morris C. F., MacKnight E. E. i Parks T. W., 1985. Direct phase determination of S-wave
velocities from acoustic waveform logs. Geophysics, 50, 11, 1746-1755.
[59] Jarzyna J., 1989. Analiza pola fal sprężystych w otworze wiertnicznym i naturalnym ośrodku skalnym
w metodzie profilowań akustycznych. Zeszyty Naukowe AGH, Nr 2. Kraków, 1-144.
[60] Jarzyna J., Bała M. i Cichy A., 2001. Interpretacja akustycznych obrazów falowych – programy FalaWin.
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60.
Literatura
159
[61] Jarzyna J., Bała M., i Zorski T., 1999. Metody geofizyki otworowej. Pomiary i interpretacja. Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków, 1-249.
[62] Kimball C. V. i Marzetta T. L., 1984. Semblance processing of borehole acoustic array data. Geophysics,
49, 3, 274-281.
[63] Knize S., 1989. Evaluation of full wave sonic data by analysis of instantaneous characteristics and
colograms. 12th
International Logging Symposium of SAID, Paris, France, paper SAID-004, 1-11.
[64] Kurkijan A. L. 1985. Numerical computation of individual far-field arrivals excited by an acoustic source
in a borehole. Geophysics, 50, 5, 852-866.
[65] Liu O. Y., 1984. Stoneley wave-derived ∆t shear log. SPWLA 25th
Annual Logging Symposium
Transaction New Orleans, Louisiana, USA, paper ZZ, 1-12
[66] Minear J. W. i Fletcher C. R., 1983. Full-wave acoustic logging. SPWLA 24th
Annual Logging Symposium
Transaction, Calgary, Alberta, Canada, paper EE, 1-14.
[67] Paillet F. L. i Cheng C. H., 1986. A numerical investigation of head waves and leaky modes in fluid-filled
boreholes. Geophysics, 51, 7, 1438-1449.
[68] Paillet F. L. i White J. E., 1982. Acoustic modes of propagation in the borehole and their relationship to
rock properties. Geophysics, 47, 8, 1215-1228.
[69] Paillet F. L., 1981. Predicting the frequency content of acoustic waveforms obtained in boreholes.
SPWLA 22nd
Annual Logging Symposium Transaction, Mexico City, Mexico, paper SS, 1-29.
[70] Paillet F. L., 1983. Frequency and scale effects in the optimization of acoustic waveform logs.
SPWLA 24th
Annual Logging Symposium Transaction, Calgary, Alberta, Canada, paper U, 1-25.
[71] Paillet F. L., 1991. Qualitative and quantitative interpretation of fracture permeability using acoustic
full-waveform logs. The Log Analyst, 32, 3, 256-270.
[72] Paillet F. L., Cheng C. H. i Pennington W. D., 1992. Acoustic-waveform logging – advances in theory
and application. The Log Analyst, 32, 3, 239-257.
[73] Raymer L. L., Hunt E. R. i Gardner J. S., 1980. An improved sonic transit time to porosity transform.
SPWLA 21st Annual Logging Symposium Transaction, Lafayette, Louisiana, USA, paper P, 1-13.
[74] Rosenbaum J. H., 1794. Synthetic microseismograms: logging in porous formation. Geophysics, 39, 1,
14-32.
[75] Scarascia S., Colombi B. i Cassinis R., 1976. Some experiments on transverse waves. Geophysical
Prospecting, 24, 3, 549-568.
[76] Serra O. i Serra L., 2004. Well logging – data acquisition and application. Serralog, Méry Corbon, 1-674.
[77] Snyder D. D. i Fleming D. B., 1985. Well logging – a 25 year perspective. Geophysics, 50, 12,
2504-2529.
[78] Taner M. T., Koehler F. i Sheriff R. E., 1979. Complex seismic trace analysis. Geophysics, 44, 6,
1041-1063.
[79] Toksöz M. N., Johnston D. H. i Timur A., 1979a. Attenuation of seismic waves in dry and saturated
rocks: I. Laboratory measurements. Geophysics, 44, 4, 681-690.
[80] Toksöz M. N., Johnston D. H. i Timur A., 1979b. Attenuation of seismic waves in dry and saturated
rocks: II. Mechanisms. Geophysics, 44, 4, 691-711.
[81] Tsang L. i Rader D., 1979. Numerical evaluation of the transient acoustic waveform due to a point source
in a fluid-filled borehole. Geophysics, 44, 10, 1706-1720.
Literatura
160
[82] White J. E. i Zechman R. E., 1968. Computed response of an acoustic logging tool. Geophysics, 33, 2,
302-310.
[83] Willis M. E i Toksöz M. N., 1983. Automatic P and S velocity determination from full waveform digital
acoustic logs. Geophysics, 48, 12, 1631-1644.
[84] Wyllie M. R. J., Gregory A. R. i Gardner G. H. F. 1958. An experimental investigation of factors
affecting elastic wave velocities in porous media. Geophysics, 23, 3, 459-493.
[85] Wyllie M. R. J., Gregory A. R. i Gardner L. W., 1956. Elastic wave velocities in heterogeneous and
porous media. Geophysics, 21, 1, 41-70.
Rozdział 4:
[86] Gądek W., Cichy A., Jarzyna J. i Twaróg W., 2002. Interlog – kompleksowa interpretacja profilowań
geofizyki wiertniczej w systemie Geowin. Materiały VIII Krajowej Konferencji Naukowo–Technicznej,
Szymbark, t. 2, 95-103.
[87] Gądek W., Kubik B. i Stadtmüller M., 1997. Przygotowanie danych wejściowych do opracowania
programu automatycznej interpretacji akustycznych obrazów falowych sondą LSS (etap I). ZGF WGGiOŚ
AGH, Kraków, 1-19 (plus załączniki) (pozycja cytowana w rozdz. 3 [56]).
[88] Jarzyna J., Bała M. i Cichy A., 2001. Interpretacja akustycznych obrazów falowych – programy FalaWin.
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60
(pozycja cytowana w rozdz. 3 [60]).
[89] Karnkowski P., 1993. Złoża gazu ziemnego i ropy naftowej w Polsce. Niż Polski. Tom 1. Towarzystwo
Geosynoptyków „Geos” AGH, Kraków, 1-214.
[90] Serra O. i Serra L., 2004. Well logging – data acquisition and application. Serralog, Méry Corbon, 1-674
(pozycja cytowana w rozdz. 3 [76]).
[91] Wawrzyniak K. i Olesiński K., 2001. Przetwarzanie i interpretacja akustycznych obrazów falowych
z wykorzystaniem sieci neuronowych. Praca dyplomowa. Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział
Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków, 1-106.
Rozdział 5:
[92] Audet P. i Mareschal J-C., 2007. Wavelet analysis of the coherence between Bouguer gravity and
topography: application to the elastic thickness anisotropy in the Canadian Shield. Geophysical Journal
International, 168, 1, 287-298 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [2]).
[93] Bała M. i Jarzyna J., 1996. Application of acoustic full wavetrains for the determination of lithology,
reservoir and mechanical parameters of formation. Geophysical Prospecting, 44, 5, 761-787 (pozycja
cytowana w rozdz. 3 [44]).
[94] Bała M., Jarzyna J. i Bugajski A., 1994. Analiza charakterystyk chwilowych przy interpretacji
akustycznych obrazów falowych. Nafta-Gaz, 9, 389-399 (pozycja cytowana w rozdz. 3 [45]).
[95] Barnes A. E., 1993. Instantaneous spectral bandwidth and dominant frequency with application to seismic
reflection data. Geophysics, 58, 3, 419-428.
[96] Brachere F., 2002. Guimauve.exe. http://webast.ast.obs-mip.fr/people/fbracher/ (luty 2007).
[97] Brown A. R., 2001. Understanding seismic attributes. Geophysics, 66, 1, 47-48.
[98] Castagna J. P. i Sun S., 2006. Comparison of spectral decomposition methods. First Break, 24, 3, 75-79
(pozycja cytowana w rozdz. 1 [5]).
Literatura
161
[99] Chakraborty A. i Okaya D., 1995. Frequency-time decomposition of seismic data using wavelet-based
methods. Geophysics, 60, 6, 1906-1916 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [7]).
[100] Durka P. J., 1996. Time-frequency analyses of EEG. Praca doktorska. Uniwersytet Warszawski,
Warszawa, 1-97. http://durka.info/dissert.html (luty 2007).
[101] Goupillaud P., Grossman A. i Morlet J., 1984. Cycle-octave and related transforms in seismic signal
analysis. Geoexploration, 23, 1, 85-102.
[102] Grupa dyskusyjna Wavelet forum. www.wavelet.org (luty 2007).
[103] Hongbing L., Wenzhi Z., Hong C., Fengchang Y. i Shao L., 2006. Measures of scale based on the wavelet
scalogram with application to seismic attenuation. Geophysics, 71, 5, V111-V118.
[104] Jarzyna J., Bała M. i Cichy A., 2001. Interpretacja akustycznych obrazów falowych – programy FalaWin.
Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60
(pozycja cytowana w rozdz. 3 [60]).
[105] Knize S., 1989. Evaluation of full wave sonic data by analysis of instantaneous characteristics and
colograms. 12th
International Logging Symposium of SAID, Paris, France, paper SAID-004, 1-11 (pozycja
cytowana w rozdz. 3 [63]).
[106] Li X-P., 1998. Wavelet power spectrum analysis of heterogeneities from sonic velocity logs. Geophysical
prospecting, 46, 5, 455-475 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [18]).
[107] Mallat S. i Zhang Z., 1993. Matching Pursuit with time-frequency dictionaries. IEEE Transactions on
Signal Processing, 41, 12, 3397–3415 (pozycja cytowana w rozdz. 2 [35]).
[108] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G. i Poggi J-M., 1997-2006. Wavelet toolbox for use with Matlab®
. The
MathWorks, Inc. User’s Guide Online.
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/wavelet/wavelet_ug.pdf (luty 2007).
(pozycja cytowana w rozdz. 2 [37]).
[109] Polikar R., 1994. The Wavelet Tutorial. http://users.rowan.edu/~polikar/research/publications/ (luty 2007)
(pozycja cytowana w rozdz. 2 [38]).
[110] Sinha S., Routh P. S., Anno P. D i Castagna J. P., 2005. Spectral decomposition of seismic data with
continuous-wavelet transform. Geophysics, 70, 6, P19-P25 (pozycja cytowana w rodz. 1 [19]).
[111] Taner M. T., 1992. Attributes revisited. http://www.petrosoft.com/pdf/attrib_revisited.htm (luty 2007).
[112] Taner M. T., Koehler F. i Sheriff R. E., 1979. Complex seismic trace analysis. Geophysics, 44, 6,
1041-1063 (pozycja cytowana w rozdz. 3 [78]).
[113] Wawrzyniak K., 2004. Zastosowanie dekompozycji falkowej do przetwarzania akustycznych obrazów
falowych. Międzynarodowa konferencja naukowo-techniczna GEOPETROL 2004, Zakopane, 293–297.
[114] Wawrzyniak K., 2005a. Analiza akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty falkowej.
Geologia: kwartalnik Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie, 31, 3–4,
309–335.
[115] Wawrzyniak K., 2005b. Frequency content of P and S waves in different lithologies from acoustic full
waveforms. Near Surface 2005: 11th European meeting of environmental and engineering geophysics,
Palermo, Italy, paper P063, 1-4.
[116] Wawrzyniak K., 2005c. Wavelet analysis – a new approach to processing of acoustic full waveforms.
Near Surface 2005: 11th European meeting of environmental and engineering geophysics, Palermo, Italy,
paper P062, 1-4.
Literatura
162
[117] Wawrzyniak K., 2006a. Analiza akustycznych obrazów falowych w oparciu o parmetryzację sygnału za
pomocą metody ,,pogoń za dopasowaniem'' (Matching Pursuit). Międzynarodowa konferencja naukowo-
techniczna GEOPETROL 2006, Zakopane, 427–436.
[118] Wawrzyniak K., 2006b. Analysis of acoustic full waveforms based on matching pursuit parameterization.
EAGE 68th
Conference & Exhibition, Vienna, Austria, paper P206, 1-5.
[119] Wawrzyniak K., 2007. Instantaneous attributes based on time-frequency transforms in application to
acoustic full waveforms. EAGE 69th
Conference & Exhibition, London, England (zgłoszone).
[120] Zabihi N. E. i Sinhkoohi H. R. 2006. Time-frequency analysis. EAGE 68th
Conference & Exhibition,
Vienna, Austria, paper P091, 1-7 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [23]).
Podziękowania
163
Podziękowania
W pierwszej kolejności pragnę złożyć serdeczne podziękowania promotorce mojej pracy, Pani prof.
dr hab. inż. Jadwidze Jarzynie, za podsycanie mojej ciekawości świata i poszerzanie, nie tylko
naukowych, horyzontów. Dziękuję za stworzenie warunków i doskonałej atmosfery pracy, które
umożliwiły kreatywne i twórcze działanie. Dziękuję za wsparcie w chwilach zwątpienia
i niezachwianą wiarę w słuszność obranej przeze mnie drogi. Pragnę również wyrazić podziękowania
dla Pani profesor jako wyśmienitego nauczyciela i pedagoga, zawsze służącego swoja wiedzą,
doświadczeniem i ciepłym słowem.
Gorące podziękowania składam Andrzejowi Guzowi, autorowi zmodyfikowanej wersji
programu Guimauve. Z niezwykłą cierpliwością wysłuchiwał moich, coraz to nowych, pomysłów
dotyczących przetwarzania obrazów falowych, a następnie przekładał je na język zrozumiały dla
komputerów. Bez jego wiedzy i doświadczenia programisty nie mogłabym przeprowadzić
zautomatyzowanych obliczeń związanych z metodą pogoń za dopasowaniem. Chciałam mu także
podziękować za wsparcie, jakim mnie obdarzył w trakcie pisania pracy.
Podziękowania należą się również Krzysztofowi Marzenckiemu, który na moją i prof. J. Jarzyny
prośbę stworzył program Asciiconverter, umożliwiający import i eksport profilowań w formacie
tekstowym do i z systemu Geowin®. Jego aplikacja niezwykle ułatwiła i przyspieszyła opracowanie
wyników.
Pragnę również podziękować prof. dr hab. inż. Andrzejowi Leśniakowi oraz dr inż. Piotrowi
Augustyniakowi, którzy chętnie dzielili się ze mną swą wiedzą i doświadczeniem w zagadnieniach
analizy sygnałów, poświęcając czas na rozmowy ze mną. Dziękuję prof. dr hab. Adamowi Cichemu,
który udzielał odpowiedzi na bardzo szczegółowe pytania dotyczące działania funkcji semblance
w programie FalaWin.
Oraz tym wszystkim, którzy wspierali mnie ciepłym słowem podczas powstawania tej pracy.
top related