analiza vpliva prostorske diskretizacijeanaliza vpliva prostorske diskretizacije metode konČnih...
Post on 24-Oct-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE
METODE KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST
NUMERIČNIH REZULTATOV
Magistrsko delo
Študent: Jure ŠANTL
Študijski program 2. stopnje:
Strojništvo
Smer: Računalniško inženirsko modeliranje
Mentor: red. prof. Zoran REN
Somentor: asist. dr. Matej BOROVINŠEK
Maribor, november 2015
-
- I -
-
- II -
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju red. prof. Zoranu Renu in
somentorju asist. dr. Mateju Borovinšku za pomoč in
vodenje pri opravljanju magistrskega dela. Zahvaljujem
se tudi Valeriji za vso vzpodbudo in pomoč.
Posebna zahvala velja družini, ki me je podpirala skozi
celoten študij.
-
- III -
KAZALO
1 UVOD ................................................................................................................................ 1
2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV ............................................................................... 4
2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija ..................................................... 4
2.2 Integracijska shema ..................................................................................................... 5
2.3 Geometrijska oblika končnih elementov ................................................................... 12
2.4 Velikost končnih elementov ...................................................................................... 20
2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov ....................................................... 20
2.6 Konvergenčna metoda ............................................................................................... 20
3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO RICHARDSONOVE
EKSTRAPOLACIJE ................................................................................................................ 22
3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije ....................................................................... 22
3.2 Prostorska diskretizacija ............................................................................................ 24
3.3 Red konvergence mreže ............................................................................................. 26
3.4 Ocena napake diskretizacije ...................................................................................... 29
3.5 Predpostavke .............................................................................................................. 30
3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva sistema ...................... 32
3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije ........................................................ 32
3.8 Prednosti in slabosti ................................................................................................... 34
3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije ............................................................................... 34
3.10 Roachejev indeks konvergence mreže (GCI)......................................................... 35
3.11 Variante .................................................................................................................. 39
4 IZDELAVA DODATKA V PROGRAMSKEM OKOLJU ABAQUS ........................... 43
4.1 Osnovni koraki .......................................................................................................... 44
4.2 Pridobitev podatkov o treh simulacijah ..................................................................... 46
-
- IV -
4.3 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo in izvedba Richardsonove ekstrapolacije z
uporabo algoritma Matlab .................................................................................................... 50
4.4 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo z uporabo algoritma Abaqus .................... 51
4.5 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije ...................................................................... 53
4.6 Primerjava algoritmov Abaqus in Matlab ................................................................. 55
5 ZGLED: ANALITIČNI IN NUMERIČNI IZRAČUN NOSILCA .................................. 57
5.1 Analitični izračun napetosti v nosilcu ....................................................................... 57
5.2 Numerični izračun napetosti v nosilcu ...................................................................... 58
5.3 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije na nosilcu ..................................................... 59
6 ZAKLJUČEK ................................................................................................................... 70
7 MOŽNOSTI ZA NADALJNJE DELO ............................................................................ 72
8 VIRI .................................................................................................................................. 74
-
- V -
ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE METODE
KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST NUMERIČNIH
REZULTATOV
Ključne besede: Metoda končnih elementov, prostorska diskretizacija, kvaliteta mreže,
natančnost rezultatov, Abaqus, Richardsonova ekstrapolacija
UDK klasifikacija: 519.6:004.94(043.2)
POVZETEK
Računalniške simulacije izvajamo tako, da model diskretiziramo (razdelimo na elemente). Na
ta način iščemo približno rešitev zadanega problema. Kvaliteta končnih elementov bistveno
vpliva na natančnost rešitev. Opisal sem, kako geometrijski tip, integracijska shema,
geometrijska oblika ter velikost končnih elementov vplivajo na natančnost numeričnih
rezultatov. Opisal sem probleme, ki se pojavljajo pri izbiri polne oziroma reducirane
integracije. Primernost oblike končnih elementov najpogosteje vrednotimo na podlagi razmerja
med stranicami elementa, velikostjo notranjih kotov in Jacobijeve determinante. Raziskal sem
metode za ocenjevanje napake diskretizacije. Ena izmed njih je Richardsonova ekstrapolacija,
ki sem jo podrobneje raziskal. To je metoda, ki na podlagi treh rešitev na različno gostih mrežah
oceni ekstrapolirano vrednost spremenljivke (npr. napetosti). Tako pridobimo oceno vrednosti
spremenljivke, ki bi jo dobili na mreži z neskončno malimi elementi (velikost elementa je 0). Na
tem temelji indeks konvergence mreže GCI, ki ga uporabimo kot oceno napake diskretizacije.
Ta oceni, znotraj katerega intervala leži s 95 % verjetnostjo natančna vrednost matematičnega
modela. Izdelal sem dodatek za programski paket Abaqus, ki temelji na tej metodi. Dodatek za
vsako vozlišče modela izračuna oceno napake diskretizacije. Dodatek sem tudi preizkusil na
testnem primeru, ki je dal dobre rezultate.
-
- VI -
ANALYSIS OF FEM SPATIAL DISCRETISATION INFLUENCE ON
PRECISION OF NUMERICHAL RESULTS
Key words: Finite element method, spatial discretization, mesh quality, result precision,
Abaqus, Richardson extrapolation
ABSTRACT
Computer simulations are based on discretization (model is split into elements). This way, we
obtain aproximated results of examinated problem. The quality of finite elements has a great
effect on precision of numerical results. I described how the precision of numerical results is
influenced by element type, integration scheme, geometrical shape and size. I described the
problems that we face by using full or reduced integration scheme. The quality of the
geometrical shape of finite elements is usually evaluated based on element aspect ratio, size of
inner angles and Jacobian determinant. I researched the methods for evaluating discretizaztion
error. One of them is Richardson extrapolation, which I researched in more detail. This method
extrapolates observed value (like element stress), using observed values on three different
meshes. This way, this method esimates the value of observed value for mesh with infinite small
elements (the size of elements eqals 0). Based on this method, the mesh konvergence index
(GCI) was introduced. GCI is used as a measure of discretization error. GCI defines an
interval, which contains an exact solution of mathematical model with the probability of 95 %.
Based on Richardson extrapolation and GCI index, I developed Abaqus add-on. The add-on
calculates discretization error for each node of provided model, based on results on three
different meshes. I tested add-on on test example, where I obtained good results.
-
- VII -
UPORABLJENI SIMBOLI
𝛿 - pomik nosilca
𝑃 - sila na nosilec
𝐼 - vztrajnostni moment
𝜎 - napetost, napetostni tenzor
𝑀 - moment, navor
𝜁 - koordinatne osi v naravnem koordinatnem sistemu
E - modul elastičnosti
J - Jacobijeva matrika
p - red konvergence
𝜀 - napaka diskretizacije, razlika med diskretno rešitvijo in rešitvijo matematičnega
problema
𝑓 - eksaktna rešitev matematičnega modela
𝑓ℎ - numerična (diskretna) rešitev
𝑟 - faktor zgostitve
𝑁 - število vozlišč, elementov
�̂� - lokalno gledan red natančnosti, opazovan red natančnosti
𝑝𝑓 - formalen red natančnosti
𝐹𝑠 - varnostni faktor
𝐶𝐹 - korekcijski faktor
-
- VIII -
UPORABLJENE KRATICE
1-D - enoodimenzionalni
2-D - dvodimenzionalni
3-D - tridimenzionalni
CPU - računalniški procesor
LT - linearni tetraedrski element
QT - paraboličen tetraedrski element
LH - linearni heksaederski element
QH - paraboličen heksaederski element
C3D8 - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči, oznaka programskega paketa Abaqus
C3D8R - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči in reducirano integracijsko shemo, oznaka
programskega paketa Abaqus
CHEXA - oznaka za heksaederski element v programskem paketu Nastran
SOLID45 - oznaka za heksaederski element v programskem paketu ANSYS
GCI - indeks konvergence mreže, merilo za napako diskretizacije
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 1 -
1 UVOD
Pri inženirskih problemih običajno obravnavamo sisteme s strojnimi deli z najrazličnejšimi
geometrijami, odziv le-teh pa opisujejo diferencialne enačbe. Metoda končnih elementov
temelji na diskretizaciji računskega območja: območje poljubne geometrije razdelimo na
manjša podobmočja (končne elemente), znotraj katerih lahko numerično rešimo diferencialne
enačbe. Podobmočja so običajno liki (pri 2-D problemih), oziroma telesa (pri 3-D problemih).
Pri 3-D problemih so to po navadi tetraedri ali heksaedri. Izbira vrste končnih elementov,
njihova oblika in velikost, običajno pomembno vplivajo na natančnost rezultatov simulacije.
Prvi korak pri generiranju mreže končnih elementov je izbira vrste končnega elementa.
Na podlagi geometrije se najprej odločimo, ali bomo uporabljali 3D elemente ali pa lahko
model poenostavimo z uporabo 2D mreže. Glede na zahtevnost geometrije izberemo
geometrijsko obliko elementov, s katerimi bomo geometrijo zamrežili (npr. pravokotniki ali
trikotniki pri 2D mrežah, heksaedri ali tetraedri pri 3D mrežah). Elementom določimo tudi tip
integracijske sheme (polna integracija, reducirana integracija) ter stopnjo interpolacijskih
funkcij elementov (linearna, kvadratna). Izbira vrste končnega elementa lahko pomembno
vpliva na pravilnost numeričnih rezultatov.
Geometrijska oblika končnih elementov ima pomemben vpliv na rezultate numerične
simulacije. Zaželeno je, da so elementi pravilnih geometrijskih oblik (enakostraničen trikotnik,
kvadrat, kocka). V praksi se pogosto pojavljajo zapletene geometrije, na katerih želimo izdelati
mrežo. Pri takih primerih moramo po navadi uporabiti tudi elemente, ki imajo nepravilno
obliko. Bolj kot je oblika elementov nepravilna, slabše rezultate dobimo na podlagi takšnih
elementov. Velikokrat programski paketi pred izvedbo simulacije preverijo kvaliteto mreže ter
nas na elemente slabše kvalitete opozorijo. V ekstremnih primerih, ko so elementi tako slabe
kvalitete, da s pomočjo njih ne moremo priti do uporabnih rezultatov, programski paketi javijo
napako. Za ugotavljanje kvalitete mreže lahko uporabimo različne kriterije. Najpogostejši so
razmerja med stranicami, notranji koti ter uporaba Jacobijeve determinante.
Na rezultat simulacije bistveno vpliva tudi velikost končnih elementov. Manjši kot so
elementi, bolj natančno je opisana geometrija strojnega dela ter potek spremenljivk znotraj
računskega območja. Idealno bi bilo, če bi lahko območje razdelili s pomočjo izredno majhnih
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 2 -
končnih elementov. Vendar smo omejeni z zmogljivostjo računalnika: število končnih
elementov je omejeno s kapaciteto pomnilnika RAM (ob prevelikem številu končnih elementov
bo se simulacija sicer izvajala, vendar se bo čas izvedbe simulacije občutno podaljšal), hitrost
simulacije pa je odvisna od hitrosti procesorja ter števila jeder v procesorju. Uporabimo lahko
le določeno število končnih elementov, zato se moramo zavedati, da simulacija ni povsem
natančna. Inženir na podlagi svojega znanja in izkušenj oceni kvaliteto rezultatov simulacije.
Za ocenjevanje napake lahko uporabimo tudi različne metode, kot je na primer konvergenčna
metoda. Na podlagi konvergenčne metode temelji tudi Richardsonova ekstrapolacija, s
pomočjo katere lahko tudi ocenimo napako numeričnih rezultatov.
V magistrski nalogi bom najprej predstavil vrste končnih elementov ter raziskal, s
katerimi elementi pridemo do boljših numeričnih rezultatov. Raziskal bom, kako izbira tipa
končnega elementa, stopnje interpolacijskih funkcij in integracijske sheme vpliva na natančnost
numeričnih rezultatov. Predstavil bom probleme, s katerimi se srečujemo pri izbiri integracijske
funkcije (strižna blokada, učinek peščene ure). Predstavil bom tudi kriterije, na podlagi katerih
lahko ocenimo kakovost geometrijske oblike končnih elementov.
Predstavil bom konvergenčno metodo, s pomočjo katere lahko vrednotimo vpliv velikosti
končnih elementov na natančnost rezultatov simulacije. Posebno pozornost bom posvetil
Richardsonovi ekstrapolaciji, ki temelji na konvergenčni metodi. Z Richardsonovo
ekstrapolacijo lahko na podlagi treh različno gostih mrež ocenimo eksaktno rešitev
matematičnega modela (rešitev, ko bi bila velikost končnega elementa enaka 0). Na podlagi te
vrednosti pa lahko ocenimo numerično negotovost rezultatov na fini mreži z uporabo indeksa
GCI. Predstavil bom samo metodo, njene izpeljanke ter pogoje, pod katerimi metodo lahko
uporabimo.
Cilj moje magistrske naloge je izdelati programsko kodo znotraj programskega paketa
Abaqus (s pomočjo programskega jezika »Python«), ki bo v vsaki točki modela izračunala
numerično negotovost modela ter jo prikazala v programskem okolju Abaqus. Program bo
samodejno izvedel številne naloge, kot so pridobitev rezultatov simulacij, interpolacija
rezultatov na skupno mrežo, izvedba Richardsonove ekstrapolacije ter prikaz rezultatov na
zaslonu.
V magistrsko nalogo bom vključil tudi preprost primer, na katerem bom uporabil svoj
program znotraj programskega paketa Abaqus. Za podan primer bom izvedel simulacije na
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 3 -
različno gostih mrežah. Na podlagi različnih simulacij bom izvedel Richardsonovo
ekstrapolacijo, s pomočjo katere bom izračunal numerično negotovost rezultatov. Rezultate ter
numerično negotovost bom primerjal z analitično rešitvijo problema, na podlagi tega pa bom
lahko ocenil, če v tem primeru Richardsonova ekstrapolacija primerno oceni numerično
negotovost.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 4 -
2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV
Pri metodi končnih elementov domeno (območje) diskretiziramo – razdelimo na manjša
podobmočja oziroma končne elemente. Glede na število dimenzij problema ločimo tri tipe
končnih elementov: 1-D (palični, nosilni), 2-D (površinski) in 3-D (volumski).
Slika 2.1: Različni tipi končnih elementov
Poleg števila dimenzij pri končnih elementih lahko izberemo tudi geometrijski tip
končnega elementa (npr. tetraeder, heksaeder), velikost, tip interpolacijske funkcije (npr.
linearna, kvadratna) ter integracijsko shemo (npr. polna, reducirana). Vsaka od naštetih izbir
lahko bistveno vpliva na natančnost rezultatov. Prav tako na rezultate pomembno vpliva tudi
geometrijska oblika končnih elementov – bolj kot so elementi pravilnih oblik, boljše rezultate
dajejo.
2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija
Splošno sprejeto dejstvo je, da so štirikotni elementi boljši od trikotnih (v 2-D), oziroma da so
heksaederski elementi boljši od tetraederskih (v 3-D). Kot primer vir [9] navaja: »Z razlogom,
da bi dosegli boljšo natančnost in učinkovitost, imajo prednost štirikotni elementi v dvo-
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 5 -
dimenzionalnih mrežah ter heksaederski elementi v tri-dimenzionalnih mrežah. Ta prednost je
jasna v strukturnih analizah, zdi se pa, da drži tudi za druge inženirske discipline.«
Na tem področju je bilo narejenih kar nekaj študij. Cifuentes in Kalbag [13] sta
ugotovila, da so rezultati, pridobljeni s kvadratnimi tetraedrskimi (QT1) elementi ter z
linearnimi heksaederski (LH2) elementi, enako natančni ter za izračun porabijo enako računsko
moč (CPU čas). Bussler in Ramesh [11] sklepata, da so ob uporabi elementov istega reda,
heksaederski elementi natančnejši od tetraedrskih. Weingarten [28] ugotavlja, da so kvadratni
tetraedrski elementi (QH3) v primerjavi s kvadratnimi heksaederski elementi enako natančni ter
porabijo enak računski čas. Benzley ter ostali [8] so zaključili, da so za izračun lastnih vrednosti
primernejši linearni heksaedrski napram linearnim tetraedrskim (LT4) elementom. Prav tako so
ugotovili, da so LT elementi pri upogibni obremenitvi neuporabni, saj je napaka, ki jo
povzročijo med 10 % in 70 %. LH in QH elementi ter QT elementi so pri upogibni obremenitvi
sprejemljivo natančni (napaka pod 5 %). Pri torzijski obremenitvi so ugotovili, da so LT
elementi nesprejemljivi (napaka med 20 in 80 %), slabe rezultate pa dajejo tudi LH elementi
(napaka med 5 in 40 %). QH elementi dajejo dobre rezultate (napaka pod 8 %, pri gostih mrežah
pod 1 %). Pri elasto-plastičnih izračunih so LT elementi neuporabni (saj se v obravnavanem
primeru sploh niso plastično deformirali), QT elementi pa dajejo slabše rezultate kot LH in QH.
2.2 Integracijska shema
Da pridobimo željene rezultate simulacije, programsko orodje izvaja številne računske
operacije. Ena izmed njih je integracija po volumnu končnega elementa, rezultat tega pa je
odziv materiala v integracijski točki končnega elementa. Pri nekaterih končnih elementih lahko
izberemo polno integracijo (»full integration«) ali reducirano integracijo (»reduced
integration«). Izbira integracijske sheme ima lahko bistven vpliv na natančnost rezultatov, kar
1 QH - quadratic hexahedron (kvadratni heksaeder) 2 LH - linear hexahedron (linearni heksaeder) 3 QT - quadratic tetrahedron (kvadratni tetraeder) 4 LT - linear tetrahedron (linearni tetraeder)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 6 -
je v Abaqusovi dokumentaciji [7] prikazano tui na primeru ravnega nosilca, obremenjenega z
upogibno obremenitvijo.
Polna integracijska shema
Izraz polna integracija se navezuje na število integracijskih (npr. Gaussovih) točk, ki so
potrebne za integracijo polinomskih členov takrat, ko ima element geometrijsko pravilno
obliko. Pri heksaederskih ter štirikotnih elementih to pomeni, da so robovi ravni ter se stikajo
pod pravim kotom. Če imajo še dodatna vozlišča na robovih, so le-ta na sredini roba. Če so
elementi nepravilnih oblik, tudi integracijske točke niso enakomerno razporejene znotraj
elementa. Razdalje med nekaterimi integracijskimi točkami so lahko daljše, zato je potek
spremenljivke med točkami slabše opisan. Linearni elementi s polno integracijsko shemo imajo
v vsaki prostorski dimenziji dve integracijski točki. Tridimenzionalni elementi imajo torej 2 x
2 x 2 integracijskih točk v elementu. Kvadratni elementi s polno integracijsko shemo imajo v
vsaki smeri tri integracijske točke. Dvodimenzionalni linearni in kvadratni element sta
prikazana na sliki 2.2.
Slika 2.2: Linearni in kvadratni element ter položaj integracijskih točk pri polni integraciji
V Abaqusovi dokumentaciji [7] je bilo ugotovljeno, da linearni elementi z polno
integracijsko shemo, obremenjeni z upogibno obremenitvijo, podcenijo pomik. Ugotovljena
razlika je tako velika, da so ti elementi v tem primeru neuporabni. Z zgoščanjem mreže se
rezultati sicer nekoliko izboljšajo, vendar na najgostejši mreži, ki so jo za ta primer uporabili,
še vedno predvidijo vrednost, ki je le 56 % teoretične vrednosti pomika. Pri linearnih elementih
s polno integracijo ni pomembno, koliko elementov uporabimo po debelini nosilca. Premajhen
pomik je povzročen zaradi strižne blokade (»shear locking«), ki predstavlja problem
prostorskih linearnih elementov s polno integracijo.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 7 -
Enako ugotavlja tudi Qiuli Sun [30], ki je primerjal programske pakete Abaqus, ANSYS
in Nastran. Na nosilcu (z grobo mrežo: 4 elementi v višino, 10 v dolžino in 1 v širino) je izvedel
simulacije upogibne obremenitve in simulacijo lastnih frekvenc, vendar je uporabil anizotropni
material. Za tak primer ni mogel uporabiti klasične teorije nosilcev, zato je prišel do natančnih
vrednosti pomikov in lastnih frekvenc s pomočjo konvergenčne študije. Prišel je do rezultatov,
ki so prikazani v tabeli 2.1.
Tabela 2.1: Normalizirani rezultati linearnih heksaederskih elementov pri uporabi polne
integracijske sheme
Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS
Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8 SOLID45 (8 vozlišč)
Pomik konice nosilca 0,6774 0,6933 0,6772
Prva lastna frekvenca 1,429 1,075 1,435
Ugotavlja, da so pri upogibni obremenitvi elementi s polno integracijsko shemo preveč togi v
vseh treh programskih paketih. Simulacije je izvedel tudi na različno gostih mrežah. Rezultati
na gostejših mrežah so sicer boljši, vendar se počasi bližajo pravilni rešitvi. Simulacije je
izvedel tudi s pomočjo paraboličnih elementov (z 20 vozlišči), kjer je ugotovil, da so že na zelo
grobih mrežah rešitve zelo blizu konvergirani rešitvi.
Kot je bilo prikazano, strižna blokada povzroči, da so pri upogibu elementi preveč togi.
Material, ki je obremenjen s čisto upogibno obremenitvijo, se bo deformiral, kot je prikazano
na sliki 2.3. Horizontalne linije se ukrivijo, vertikalne pa ostanejo ravne. Kot med njimi ostane
90°.
Slika 2.3: Deformacija materiala, obremenjenega z upogibnim momentom M [7]
Stranice linearnega elementa se ne morejo ukriviti. Če material modeliramo z linearnim
elementom, pride do deformacije, ki je prikazana na sliki 2.4. Za boljšo predstavitev so na sliki
tudi črtkane črte, ki gredo skozi integracijske točke. Kot je razvidno, se je zgornja stranica
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 8 -
podaljšala, kar pomeni, da je napetost v prvi smeri 𝜎11 natezna. Podobno je razvidno, da se je
spodnja stranica skrčila in je torej napetost 𝜎11 tlačna. Dolžina vertikalnih črtkanih črt se ni
spremenila (ob predpostavki, da so deformacije majhne), zato je 𝜎22 enaka nič. Vse to sovpada
s stanjem v materialni točki. Spremenil pa se je kot med vertikalnimi in horizontalnimi
črtkanimi črtami v integracijskih točkah, ki ni več 90°. Iz tega je razvidno, da je strižna
obremenitev 𝜎12 v teh točkah različna od nič, kar pri čisti upogibni obremenitvi ne drži. Do tega
pride, ker se robovi elementa ne morejo ukriviti. Tako se zdi, da deformacijska energija
povzroča strižne deformacije namesto upogibnih, skupni pomiki pa so manjši, torej je element
bolj tog. Zaradi strižne blokade lahko pride do napačnih pomikov, napetosti in lastnih frekvenc
[30].
Slika 2.4: Deformacija linearnega elementa s polno integracijo, ki je obremenjen z upogibnim
momentom M [7]
Strižna blokada nastopa le pri linearnih elementih s polno integracijo, ki so podvrženi
upogibni obremenitvi. Ti elementi dajejo dobre rezultate za druge tipe obremenitev. Strižna
blokada ni problem kvadratnih elementov, saj se robovi teh elementov lahko ukrivijo. Vendar
tudi v kvadratnih elementih lahko nastopa strižna blokada, če so le-ti nepravilnih oblik ali če je
element obremenjen z gradientno upogibno napetostjo. Oba primera se v praksi lahko pojavita.
Elemente s polno integracijo zato lahko uporabljamo le, kadar smo prepričani, da bodo
obremenitve povzročile minimalno upogibno obremenitev v modelu. Če nismo prepričani v
obremenitve modela, je priporočljivo uporabiti drugačen tip elementov. Vendar so elementi s
polno integracijo lahko zelo uporabni na mestih, kjer nastopajo lokalne koncentracije napetosti.
Reducirana integracijska shema
Reducirano integracijo lahko uporabimo le pri štirikotnih in heksaederskih elementih.
Reducirana integracija uporablja za eno manjšo število integracijskih točk v vsaki smeri napram
polni integraciji. Linearni elementi z reducirano integracijo imajo samo eno integracijsko točko
v središču elementa, kvadratni pa dve v vsaki smeri, kot prikazuje slika 2.5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 9 -
Linearni element z reducirano integracijo
Kvadratni element z reducirano integracijo
Slika 2.5: Integracijske točke dvo-dimenzionalnih elementov z reducirano integracijo [7]
Abaqusova dokumentacija [7] podaja rezultate, pridobljene z uporabo enakih
elementov, kot pri polni integraciji, le da je bila tokrat uporabljena reducirana integracijska
shema.
Linearni elementi z reducirano integracijo so premalo togi, saj pri njih prihaja do
numeričnega problema, ki se imenuje učinek peščene ure (»hourglassing«). Na sliki 2.6 je
prikazan linearni element z reducirano integracijo, ki je obremenjen s čisto upogibno
obremenitvijo.
Slika 2.6: Deformacija linearnega elementa z reducirano integracijo, ki je obremenjen z
upogibnim momentom M
Na sliki vidimo, da se dolžinsko ni spremenila nobena črtkana črta, kot med njima pa je
prav tako ostal nespremenjen. To pomeni, da so vse komponente napetosti v integracijski točki
elementa enake nič. Takšno stanje deformacije se imenuje brezenergijsko stanje, saj takšna
deformacija elementa ne proizvede deformacijske energije. Element se v tem načinu ne more
upirati deformaciji, saj v tem stanju nima togosti. V grobih mrežah se lahko to brezenergijsko
stanje širi po mreži in povzroči slabe rezultate. Elementi se lahko v takšno stanje deformirajo,
ne da bi spremenili ravnotežno stanje modela. Običajno dajejo takšni elementi zelo raznolika
polja pomikov, vendar pravilna polja napetosti in deformacij [14]. Z zmanjšanjem števila
integracijskih točk povečamo število možnih deformacij peščene ure. Heksaedrski element z
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 10 -
eno integracijsko točko ima en tenzor deformacij s šestimi različnimi komponentami. Ta
element ima 8 vozlišč, skupno 24 prostostnih stopenj. Tak tip elementa ima 18 nedoločenih
tipov deformacij, od tega je 6 tipov togega pomika telesa. Ostane torej 12 tipov deformacije v
obliki peščene ure. Slika 2.7 prikazuje učinek peščene ure pri uporabi elementov z reducirano
integracijsko shemo.
Slika 2.7: Deformacije nosilca pri upogibni obremenitvi, z uporabo elementov z reducirano
integracijsko shemo [34]
Programski paketi pri izračunih z elementi prvega reda ter z reducirano integracijo zato
uporabljajo umetno »togost peščene ure« (»hourglass stiffness«), s čimer omejijo širjenje
takšnega stanja. Ta togost je bolj učinkovita, če uporabimo večje število elementov v modelu.
Linearni elementi z reducirano integracijo tako lahko dajo sprejemljive rezultate, če uporabimo
dovolj fino mrežo. Linearni elementi z reducirano integracijsko shemo so prav tako občutljivi,
če so nepravilnih oblik, zato moramo v takšnih primerih uporabiti čim bolj fino mrežo.
Qiuli Sun [30] je prišel do sklepa, da imata programska paketa Abaqus in ANSYS
težave, če uporabljamo grobo mrežo linearnih elementov z reducirano integracijsko shemo
(razvidno v tabeli 2.2). Ugotovil je, da ko mrežo zgoščamo, dobimo dobre rezultate (pri mreži
6 x 20 x 6 je napaka manj kot 2 %). Programski paket Nastran pa daje že zelo natančne rezultate
pri grobi mreži, kar je najbrž rezultat uporabe »mehurčkastih funkcij« (»bubble functions«), ki
so sicer računsko nekoliko bolj potratne.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 11 -
Tabela 2.2: normalizirani rezultati linearnih heksaedrskih elementov pri uporabi reducirane
integracijske sheme
Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS
Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8R SOLID45 (8 vozlišč)
Pomik konice
nosilca
0,990 1,063 1,064
Prva lastna
frekvenca
0,9965 0,04225 0,03027
Tudi pri kvadratnih elementih z reducirano integracijo se pojavi učinek peščene ure. Pri
heksaedrskem elementu z 20 vozlišči in reducirano integracijo imamo: (3 prostostne stopnje) x
(20 vozlišč) – (8 integracijskih točk) x (6 komponent deformacij) – (6 pomikov togega telesa)
= 6 možnih deformacij tipa peščene ure. Vendar se zaradi ukrivljenih stranic takšen tip
deformacije ne more širiti po mreži. Če je mreža dovolj gosta, ta učinek redko predstavlja
težavo. Če uporabljamo kvadratne elemente z mrežo dimenzij 1 x 6, problem ne konvergira
zaradi učinka peščene ure. V tem primeru moramo uporabiti 2 elementa po širini nosilca. Če
imamo gostejšo mrežo, pridemo do rezultatov tudi, če imamo le en element po širini nosilca
(težave z učinkom peščene ure pri dovolj gosti mreži izginejo). Do podobnih zaključkov je
prišel tudi Qiuli Sun [30], ki je prav tako ugotovil, da dajejo kvadratni elementi z reducirano
integracijsko shemo programskih paketov Abaqus in ANSYS zelo dobre rezultate, če po širini
nosilca uporabimo vsaj dve plasti elementov. Programski paket Nastran daje dobre rezultate že
s samo eno plastjo elementov po širini. Tudi kadar so kvadratni elementi podvrženi zapletenim
napetostnim stanjem, niso občutljivi na blokade. Ti elementi so zato v splošnem najboljša
izbira, razen v simulacijah, kjer nastopajo veliki pomiki in deformacije ter v nekaterih tipih
kontaktnih analiz.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 12 -
2.3 Geometrijska oblika končnih elementov
Ena glavnih težav pri generiranju nove mreže je kvaliteta njenih elementov. Elementi so
kvalitetnejši, če so čim bolj podobni pravilnim geometrijskim elementom (enakostranični
trikotnik, kvadrat, kocka). Pri takšnih elementih so razdalje med vozlišči in integracijskimi
točkami enakomerne, zato boljše opišejo potek funkcij znotraj elementov. V praksi so elementi
običajno nepravilnih geometrijskih oblik (popačeni), zato je pomembno, da znamo oceniti, kdaj
posamezni elementi ne bodo dali dobrih rezultatov ali zaradi njih sploh ne bomo prišli do rešitve
(zaradi problemov s konvergenco).
Liu [19] navaja sledeče kriterije za merjenje popačenosti elementov:
popačenje zaradi razmerja med stranicami;
popačenje zaradi notranjih kotov (ko se le-ti približujejo 0 ali 180 stopinj);
popačenje zaradi ukrivljenosti: kadar se ravni robovi elementa ukrivijo, da se bolje
prilagodijo geometriji;
volumetrično popačenje: pojavi se pri konkavnih elementih;
popačen položaj sredinskega vozlišča, ki se pojavlja pri elementih višjih redov.
Razmerje med stranicami je eden izmed kriterijev, ki se pogosto uporablja. Kriterij
razmerja med stranicami primerja najkrajšo in najdaljšo stranico. Bližje je razmerje vrednosti
ena, boljši je element. V splošnem velja, da če je razmerje med stranicami večje kot 3, moramo
takšne elemente obravnavati pazljivo. Če razmerje preseže vrednost 10, so takšni elementi
lahko že zelo slabi [20].
Liu [19] navaja dva pojava, povezana s popačenjem elementov zaradi notranjih kotov:
»skew« in »taper«. Pojava sta prikazana na sliki 2.8. Liu navaja, da bodo elementi ustrezne
kvalitete, če bodo notranji koti štirikotnika med 60 in 120 stopinjami, pri pojavu »taper« pa naj
bo razmerje med daljšo in krajšo stranico trapeza manjše kot 5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 13 -
Slika 2.8: Pojava "skew" in "taper"
Slika 2.9: Popačenje zaradi ukrivljenosti
Slika 2.9 prikazuje popačenje zaradi ukrivljenosti. Do njega pride, kadar se ravni robovi
elementa ukrivijo, da se bolje prilagodijo geometriji. Za ukrivljene robove veljajo enaki kriteriji
kot za ravne robove, torej notranji koti naj ne bi bili večji od 120 stopinj.
Na sliki 2.12 so prikazani nesprejemljivi štirikotni elementi, pri katerih pride do
volumetričnega popačenja. Do tega pride, če imajo elementi konkavno obliko. Takšno
popačenje lahko ugotavljamo na podlagi Jacobijeve matrike [10]. Pri metodi končnih
elementov iščemo aproksimativne rešitve parcialnih diferencialnih enačb, ki opisujejo fizikalni
fenomen, ki ga preučujemo. Da lahko pridemo do rešitev teh enačb, moramo definirati naravni
koordinatni sistem (ζ1, ζ2, ζ3), znotraj katerega so definirane referenčne točke elementa
(vozlišča, integracijske točke), element pa ima v tem koordinatnem sistemu popolno obliko (v
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 14 -
prostoru je to kocka). Na sliki 2.10 je prikazana preslikava F med naravnim koordinatnim
sistemom (ζ1, ζ2, ζ3) in koordinatnim sistemom modela (x1, x2, x3). Jacobijevo matriko J za
preslikavo F zapišemo kot:
𝐽(𝜁) = 𝜕𝐹
𝜕𝜁 (𝜁)
(2.1)
Da lahko izvedemo simulacijo, mora biti determinanta Jacobijeve matrike |J(ζ)| (to
determinanto krajše imenujemo tudi Jakobij) v vseh vozliščih in integracijskih točkah
elementov pozitivna. Če je negativna, potem preslikava F ni bijektivna, takšna mreža pa je
neprimerna za simulacijo.
Slika 2.10: Preslikava elementa iz referenčnega koordinatnega sistema v koordinatni sistem
modela [10]
Na sliki 2.11 je prikazana transformacija konkavnega elementa. Pri takem elementu bodo
območja izven elementa v fizičnih koordinatah po transformaciji ležala znotraj elementa v
naravnih koordinatah (območje označeno na sliki 2.11). Jakobij in vrednost volumskega
integrala na tem območju elementa v naravnih koordinatah bosta negativna, zato so takšni
elementi nesprejemljivi. Na sliki 2.12 so prikazani elementi, ki so nesprejemljivi zaradi
volumetričnega popačenja.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 15 -
Slika 2.11: Transformacija iz fizičnega koordinatnega sistema v naravni koordinatni sistem. Pri
volumetrično popačenem elementu se zgodi, da leži zunanji prostor (označen na sliki) fizičnega
prostora znotraj elementa v naravnem koordinatnem sistemu [10]
Slika 2.12: Nesprejemljivi štirikotni elementi zaradi konkavne oblike: element desno zgoraj je
sprejemljive oblike, ostali elementi so nesprejemljivi [10]
Jakobij pa je lahko tudi merilo za kvaliteto elementov. Isaiah [17] je v spletnem članku objavil
sliko 2.13, ki nazorno prikazuje povezavo med popačenjem elementa ter Jakobijem. Isaiah
navaja, da so elementi sprejemljivi, če je Jacobij večji od 0,5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 16 -
Tabela 2.3: Vrednosti Jacobijev na spodnji sliki
Barva heksaedra Oblika, dimenzije Jacobij
Oranžna Enotska kocka 1
Modra z = 0,9 za eno vozlišče 0,942
Vijolična z in y sta 0,9 za eno točko 0,883
Roza z in y sta 0,5 za eno točko 0,398
Zelena z in y sta -0,1 za eno točko -0,409
Siva z in y sta 0,1 za eno točko -0,130
Rdeča z = 3 za 4 vozlišča 1
Svetlo modra x, y in z so 0,5 za eno vozlišče 0,072
Slika 2.13: Primeri Jacobijev - vrednosti so prikazane v zgornji tabeli [17]
Zadnji kriterij popačenja, ki ga navaja Liu [19], je popačenje položaja sredinskega
vozlišča pri elementih višjih redov. Elementi višjih redov imajo na robovih dodatna vozlišča.
Parabolični element ima eno dodatno vozlišče, le-to pa bi moralo ležati čim bolj na sredini roba.
Na sliki 2.14 je prikazan element, kjer dve izmed sredinskih vozlišč ne ležita na sredini roba.
Vir navaja, da so elementi sprejemljivi, če je središčno vozlišče od središča roba oddaljena za
manj kot četrtino dolžine roba.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 17 -
Slika 2.14: Popačenje položaja središčnega vozlišča [17]
Na področju popačenosti elementov so bile opravljene najrazličnejše študije.
Raziskovalci so na različnih primerih preverili, kako nepravilna oblika končnih elementov
vpliva na natančnost rezultatov. Pogost test, ki ga srečamo v literaturi, je test ravnega nosilca.
Pri tem testu uporabimo raven nosilec, na katerem naredimo različno kvalitetne mreže. Severo
[29] je opravil tak test na treh različnih mrežah, kot prikazuje slika 2.15. Izdelal je pravokotno,
trapezno ter paralelogramsko mrežo. Test je izvedel za 4 obremenitvene primere: nateg, strig
znotraj ravnine, strig izven ravnine in torzijo. Test je izvedel z uporabo 4 različnih tipov
elementa (2-D in 3-D elementi, z uporabo linearnih in kvadratnih interpolacijskih funkcij).
Uporabljena je bila reducirana integracijska shema.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 18 -
Slika 2.15: Test ravnega nosilca: a) pravokotna mreža, b) trapezna mreža, c) paralelogramska
mreža [29]
Severo ugotavlja, da daje pravokotna mreža relativno dobre rezultate, kljub temu da je precej
groba. Pri trapezni mreži, so rezultati pri strižni obremenitvi linearnih elementov neuporabni
(zelo velika napaka). Napaka pri višjerednih (paraboličnih) elementih je občutno manjša. Do
podobnih zaključkov je prišel tudi za paralelogramsko mrežo, kjer je napaka pri strižni
obremenitvi nekoliko manjša, vendar še vedno zelo velika.
Na področju notranjih kotov končnih elementov so bile opravljene različne študije. Lo
[20, 21] je predlagal uporabo faktorja 𝛼, ki je definiran z enačbo 2.2. Enačba velja za trikotnike
z oglišči A, B in C. Večji kot je 𝛼, boljši je trikotnik. Koeficient 2√3 je normalizacijski faktor,
zaradi katerega ima koeficient 𝛼 pri popolnem (enakostraničnem) trikotniku vrednost ena. Če
je vrednost 𝛼 enaka nič, potem so oglišča trikotnika kolinearna.
𝛼 = 2√3 |𝐶𝐴 × 𝐶𝐵|
|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2
(2.2)
Lo [20] je prav tako definiral kooeficient 𝛽 za štirikotne elemente. Kako je definiran pa
prikazuje enačba 2.3. Večja kot je vrednost kooeficienta 𝛽, boljši je štirikotnik. Koeficient
lahko zasede vrednosti med nič in ena, če ima vrednost ena, potem je štirikotnik kvadrat, če pa
predstavlja vrednost 0, pa ne predstavlja štirikotnika, temveč le trikotnik.
𝛽 = 𝛼3 𝛼4𝛼1 𝛼2
, 𝛼1 ≥ 𝛼2 ≥ 𝛼3 ≥ 𝛼4 , 𝛼𝑖 = {𝛼𝐴𝐵𝐶 , 𝛼𝐴𝐶𝐷, 𝛼𝐴𝐵𝐷, 𝛼𝐵𝐶𝐷} (2.3)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 19 -
Zhu z ostalimi [31] ugotavlja, da je štirikotni element zadovoljiv, če so vsi notranji koti
znotraj območja 90°±45°. Če so koti izven območja 90° ± 60°, potem so nezadovoljivi. Lo in
Lee [2] sta ugotovila, da je ta pogoj prestrog, zato sta predlagala, da so notranji koti štirikotnikov
znotraj območja 90° ± 52.5°.
Hamalawi [16] je predstavil faktorja |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑|, ki temeljita na deviacijskih kotih od
popolnih likov – 60° za trikotnike ter 90° za pravokotnike. Faktor je definiral kot prikazujejo
enačbe 2.4–2.7. V enačbah predstavlja indeks Q enačbo za štirikotnike, T pa za trikotnike.
Faktorja imata najmanjšo vrednost 0 pri popolnih likih (enakostranični trikotnik, kvadrat). Če
ima faktor |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| vrednost |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| ≤𝜋
2, je v sprejemljivem območju (90° ± 45°). Pri faktorju |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑|
velja, da je trikotnik v območju 60° ± 30°, če ima vrednost |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| ≤𝜋
√12. Hamalawi trdi, da je
lahko metoda izračuna koeficienta 𝛽, ki jo je predlagal Lo, nezanesljiva. Kot primer je podal
štirikotnik z notranjimi koti 10°, 10°, 170° in 170°, na podlagi katerih lahko izračunamo faktor
𝛽 = 0,969 in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| = 2,793. Štirikotnik je slabe kvalitete kljub zelo visokemu koeficientu 𝛽,
koeficient |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| pa je pokazal, da je štirikotnik slabe kvalitete. Hamalawi faktor lahko uporabimo
tudi za tridimenzionalna telesa tako, da izračunamo faktor za posamezne ravnine končnega
elementa.
𝛿𝜃𝑄 = |𝜋
2− 𝜃𝑖|
(2.4)
𝛿𝜃𝑇 = |𝜋
3− 𝜃𝑖|
(2.5)
𝑓𝑄⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3 + 𝛿𝜃4�̂�4, |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| = √∑(𝛿𝜃1)24
𝑖=1
(2.6)
𝑓𝑇⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3, |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| = √∑(𝛿𝜃1)23
𝑖=1
(2.7)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 20 -
2.4 Velikost končnih elementov
Kot je bilo v tem poglavju že ugotovljeno, je velikost končnih elementov pomembna za
natančnost numeričnih rezultatov. V praksi se zelo pogosto uporabljajo linearni heksaedrski
elementi, ki dajejo dobre rezultate le, če je mreža končnih elementov dovolj zgoščena. V
splošnem ni pravila, kakšna velikost končnih elementov bo dala dovolj dobre rezultate, zato
velikokrat izberemo velikost končnih elementov na podlagi svojih izkušenj ali pa opravimo
simulacije na različno gostih mrežah ter na podlagi tega ocenimo, kdaj je mreža dovolj gosta.
2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov
Napaka diskretizacije je prisotna v vseh diskretnih metodah. Ta napaka je posledica izbire
velikosti končnih elementov. Rezultati numeričnih simulacij vsebujejo napako diskretizacije
tudi takrat, kadar se rezultati ujemajo z eksperimentom. Rezultati simulacije in eksperimenta se
lahko ujemajo le po naključju, ker v simulaciji nastopa kakšna neznana napaka, ki izniči napako
diskretizacije. Za inženirja je pomembno, da zna takšno napako oceniti.
V splošnem lahko razdelimo metode za ocenjevanje napake diskretizacije na tiste, ki ocenijo
napako diskretizacije pred izvedbo simulacije (»priori« metode) ter metode, ki ocenijo napako
diskretizacije na podlagi rezultatov simulacij (»posteriori« metode). V okviru magistrske
naloge se bom osredotočil izključno na slednje.
2.6 Konvergenčna metoda
Najbolj preprosta metoda je konvergenčna metoda. Pri tej metodi spremljamo rezultate
simulacij na različno gostih mrežah. Rezultate predstavimo v grafu. Razlika med rezultati se z
zgoščanjem mreže običajno manjša: rešitev konvergira k neki vrednosti. Ko se rezultati med
dvema zaporednima simulacijam bistveno ne spreminjajo več (npr. manj kot 5 %), ocenimo, da
je napaka diskretizacije dovolj majhna. Na ta način ne moremo oceniti dejanske napake
diskretizacije. Na sliki 2.16 je predstavljeno asimptotično območje rešitev. Rešitve so prikazane
za različne rede konvergence (p), ki določajo, kako hitro se rešitve bližajo asimptotični rešitvi.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 21 -
Poglejmo primer reda konvergence p = 0,5. Razlike med zaporednimi rešitvami se
počasi manjšajo, zato vsaka nadaljnja simulacija bistveno izboljša rezultat. Vendar število
elementov, potrebnih za nadaljnje simulacije, hitro naraste, zato se moramo zadovoljiti z oceno
napake na določeni mreži. Kot kriterij izberimo razliko med dvema zaporednima simulacijama
5 %. Ta razlika je dosežena približno takrat, ko se vrednost dvigne iz 78 na 82 % asimptotične
vrednosti. Opazimo, da je dejanska napaka v tem primeru okoli 18 %, kar je bistveno več kot
izbran kriterij razlike med dvema zaporednima rešitvama (5 %).
Podrobneje analizirajmo tudi primer reda konvergence p = 2. Opazimo, da se rešitve
hitreje približujejo asimptotični rešitvi. Razlike med zaporednimi rešitvami se hitro manjšajo,
zato vsaka nadaljnja simulacija doprinese k natančnosti rezultatov občutno manj kot predhodne.
Ponovno izberemo kot kriterij razliko med dvema zaporednima rešitvama: 5 %. Ta razlika je
dosežena približno takrat, ko se vrednost dvigne iz 88 na 92 % asimptotične vrednosti. Dejanska
napaka torej znaša okoli 8 %, kar je bistveno manj kot pri redu konvergence p = 0,5, vendar je
še zmeraj več kot izbran kriterij razlike med dvema zaporednima rešitvama (5 %). Zavedati se
moramo, da je dejanska napaka na fini mreži lahko precej višja, kot izbran kriterij razlike med
dvema zaporednima rešitvama.
Slika 2.16: Asimptotično območje: rešitve se bližajo asimptoti z različnim redom konvergence p
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
f/f e
ksa
kt[%
]
log N
Asimptotično območje
p = 0,5 p = 0,75 p = 1 p = 2 Asimptotična rešitev
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 22 -
3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO
RICHARDSONOVE EKSTRAPOLACIJE
Richardsonova ekstrapolacija je metoda, s pomočjo katere lahko na podlagi diskretnih vrednosti
nižjega reda ocenimo vrednost višjega reda (vrednost, ko je velikost končnega elementa 0).
Tudi ta metoda je konvergenčna metoda. Tradicionalne metode, ki temeljijo na ocenjevanju
napake s pomočjo Richardsonove ekstrapolacije, običajno temeljijo na spreminjanju velikosti
elementov mreže za faktor 2. Novejše metode zmanjšujejo takšne omejitve. Raziskovalec
Roache je razvil metodo, v kateri ocenjuje napako diskretizacije s pomočjo indeksa
konvergence mreže (GCI1). Indeks konvergence mreže podaja procentualno napako. S pomočjo
njega lahko določimo meje, znotraj katerih pričakujemo, da bo konvergirana rešitev ležala. Za
napovedovanje napake diskretizacije z uporabo GCI potrebujemo rezultate simulacije za vsaj
dve mreži, vendar metoda daje boljše rezultate ob uporabi treh mrež.
3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije
Če imamo na voljo vsaj rezultate na dveh različnih mrežah in če poznamo stopnjo konvergence,
potem lahko na podlagi tega ocenimo natančno rešitev matematičnega problema. Na podlagi
tega lahko ali popravimo rezultate, pridobljene na fini mreži, ali pa podamo oceno napake
diskretizacije. Richardsonova ekstrapolacija je bila prvotno uporabljena le za lokalne vrednosti
odvisnih spremenljivk na domeni, uporabna pa je tudi na kateri koli vrednosti odziva sistema.
Pri tem moramo upoštevati dodaten pogoj — dodatne numerične aproksimacije (odvajanje,
integriranje …), s pomočjo katerih pridobimo vrednost odziva sistema, morajo biti vsaj istega
reda natančnosti kot diskretne rešitve, iz katerih so izračunane.
Napako diskretizacije lahko definiramo na podlagi lokalne ali globalne rešitve f na mreži
z velikostjo elementov h:
1 GCI – Grid Convergence Index
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 23 -
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 (3.1)
Pri tem je 𝑓ℎ eksaktna rešitev diskretnih enačb, 𝑓 pa eksaktna rešitev matematičnega modela.
Numerično rešitev 𝑓ℎ lahko razvijemo v Taylorjevo vrsto:
𝑓ℎ = 𝑓 +𝜕𝑓
𝜕ℎ∙ ℎ +
𝜕2𝑓
𝜕ℎ2∙ℎ2
2+
𝜕3𝑓
𝜕ℎ3∙ℎ3
6+ ⋯
(3.2)
Razvijemo pa jo lahko tudi v potenčno vrsto:
𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + ⋯ (3.3)
Na podlagi enačb 3.1 in 3.3 lahko zapišemo odvisnost napake diskretizacije 𝜀ℎ od velikosti
končnega elementa h:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + ⋯ (3.4)
Pri tem so koeficienti g lahko odvodi eksaktne rešitve matematičnega modela v odvisnosti od
velikosti končnega elementa h ali neodvisnih spremenljivk, ki vplivajo na napako diskretizacije.
V splošnem uporabljamo numerične metode, ki imajo red natančnosti višji kot prvi red. Metode
tako že same izničijo napako nižjega reda. Če na primer izberemo numerično shemo drugega
reda, potem lahko splošno napako diskretizacije zapišemo kot:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + 𝑔4 ∙ ℎ4 + ⋯ (3.5)
Na enačbi 3.5 temelji Richardsonova ekstrapolacija.
Richardsonovo ekstrapolacijo lahko v splošnem zapišemo za red natančnosti sheme p.
Pri tem potrebujemo dve mreži, ki sta sistematično zgoščeni za poljuben faktor. Zapišimo
enačbo za napako diskretizacije za red sheme p:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑔𝑝+2 ∙ ℎ𝑝+2 + ⋯ (3.6)
Faktor zgostitve zapišemo kot:
𝑟 =ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎
ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎
(3.7)
Velikost grobih končnih elementov lahko tako zapišemo kot ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎 = 𝑟 ∙ ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎. Za h izberemo
ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎 ter zapišemo enačbi za grobo in fino mrežo:
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 24 -
𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.8)
𝑓𝑟ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.9)
Na podlagi teh enačb lahko zapišemo enačbo za 𝑓:
𝑓 = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
+ 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)
𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)
(3.10)
Če upoštevamo le člene reda ℎ𝑝+1 in višje in z uporabo eksaktne rešitve 𝑓 dobimo:
𝑓̅ = 𝑓 − 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)
𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)
(3.11)
Če enačbo 3.11 vstavimo v enačbo 3.10, dobimo splošno oceno Richardsonove ekstrapolacije
𝑓:̅
𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.12)
Kot je razvidno iz enačbe 3.11, je ocena eksaktne rešitve v splošnem reda (p+1) natančnosti
glede na matematični model.
3.2 Prostorska diskretizacija
Na podlagi študije prostorske konvergence želimo določiti napako, povzročeno zaradi
prostorske diskretizacije. Za to potrebujemo različno goste mreže.
Najlažji način generiranja različno gostih mrež je pričetek z najbolj fino mrežo, ki si jo
lahko privoščimo (glede na računalniške zmogljivosti, časa, ki ga imamo na voljo). Nadaljnje
mreže dobimo tako, da odstranimo vsako drugo mrežno črto v vsaki koordinatni smeri. To lahko
ponovimo večkrat in s tem pridobimo več grobih mrež. Enačba, ki opisuje število mrežnih točk
fine mreže v vsaki smeri:
𝑁 = 2𝑛 ∙ 𝑚 + 1 (3.13)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 25 -
Pri tem N predstavlja število točk v vsaki koordinatni smeri, n predstavlja naravno število ter
pomeni kolikokrat bomo začetno mrežo redčili. Vrednost m predstavlja naravno število, ki je
lahko različno za posamezne koordinatne smeri.
Če želimo tri mreže (fino, srednjo ter grobo), potem sledeča enačba opisuje število
mrežnih točk v posamezni smeri:
𝑁 = 22 ∙ 𝑚 + 1 = 4 ∙ 𝑚 + 1 (3.14)
Gosta mreža z najmanj mrežnimi točkami (m=1) ima torej v vsaki smeri 5 mrežnih točk, srednje
gosta mreža jih ima 3, groba pa 2.
Pri generiranju mrež ni zmeraj potrebno uporabiti celih števil za redčenje mreže.
Velikokrat to sploh ni mogoče, saj bi na tak način ustvarili neprimerne mreže za podano
geometrijo. Pri takšni generaciji mreže moramo poskrbeti, da so nove mreže čim bolj
enakomerno redčene. Zaželeno je, da se elementi zmanjšajo v vseh smereh približno enako.
Prav tako morajo biti mreže čim bolj enakomerno redčene: pri generiranju treh mrež naj bo
razlika med fino in srednjo mrežo ter med srednjo in grobo mrežo približno enaka. Razmerje
zgostitve mreže naj bo vsaj 𝑟 ≥ 1,1. Na ta način lahko ločimo napako diskretizacije od drugih
virov napak (npr. napake pri konvergenci iterativnih metod, napake zaokroževanja …).
V realnih primerih redko zgoščamo mrežo enakomerno po modelu. Gostejšo mrežo
uporabimo na kritičnih območjih, kot so na primer območja z visokimi napetostnimi gradienti.
V takšnih primerih je vrednotenje rezultatov s pomočjo Richardsonove ekstrapolacije precej
težje, saj je velikost elementov v modelu različna. Za lokalno študijo vpliva velikosti končnih
elementov na natančnost numeričnih rezultatov simulacije lahko uporabimo podmodel (ang.
»submodel«). Po izvedeni simulaciji modela ugotovimo, da želimo določeno območje modela
nadaljnje raziskati (npr. zaradi visokih napetostnih gradientov). Uporaba podmodela temelji na
zmanjšanju celotnega modela na manjše območje, ki nas podrobneje zanima. Takšno območje
običajno »izrežemo« iz celotnega modela. Na podlagi prvotne simulacije se na mejah
izrezanega območja določijo novi robni pogoji. Manjše območje lahko zamrežimo s precej
gostejšo mrežo, saj smo velikost celotnega modela bistveno zmanjšali. Na takšnem modelu
lahko mrežo tudi enakomerneje zgostimo. Vendar se moremo zavedati, da so robni pogoji
podmodela rezultat simulacije na bolj grobi mreži.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 26 -
3.3 Red konvergence mreže
Red konvergence mreže je neposredno povezan z napako prostorske diskretizacije. Napako
definiramo kot razliko med diskretno in eksaktno rešitvijo:
𝐸 = 𝑓(ℎ) − 𝑓𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 = 𝐶 ∙ ℎ𝑝 + 𝐻.𝑂. 𝑇 (3.15)
Pri tem je C konstanta, h predstavlja velikost elementov v mreži, p pa red konvergence mreže
(oz. red natančnosti). Rešitev drugega reda ima p = 2. H.O.T1 predstavlja napake višjih redov.
Če zanemarimo napake višjih redov ter enačbo logaritmiramo, dobimo:
log(𝐸) = log(𝐶) + 𝑝 ∙ log(ℎ) (3.16)
Red konvergence p lahko dobimo na podlagi naklona krivulje log(E) napram log(h). Če imamo
na voljo podatke o napaki, potem lahko skozi točke grafa povlečemo aproksimacijsko premico
(s pomočjo metode najmanjših kvadratov), naklon premice pa predstavlja red konvergence
mreže p [5] 2.
Konstantni faktor zgostitve
Red aproksimacije p pa lahko dobimo na bolj direkten način, na podlagi treh rezultatov
simulacije in z uporabo konstantnega faktorja zgostitve mreže r. Upoštevamo, da je ℎ1 < ℎ2 <
ℎ3 in 𝑟 =ℎ3
ℎ2=
ℎ2
ℎ1> 1. Tako lahko zapišemo:
ℎ1 = ℎ, ℎ2 = 𝑟 ∙ ℎ, ℎ3 = 𝑟2 ∙ ℎ (3.17)
Z uporabo enačbe za napako diskretizacije (enačba 3.6) lahko zapišemo naslednje tri enačbe:
𝑓1 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.18)
𝑓2 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.19)
1 H.O.T – higher – order terms 2 Povzeto po viru
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 27 -
𝑓3 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟
2 ∙ ℎ)𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.20)
Če zanemarimo člene reda ℎ𝑝+1 in višje, potem lahko zapišemo te tri enačbe za lokalno gledan
red natančnosti �̂�:
𝑓1 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 (3.21)
𝑓2 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 (3.22)
𝑓3 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 (3.23)
Lokalno gledan red natančnosti �̂� se bo ujemal s formalnim redom natančnosti p, če bodo členi
višjih redov majhni. Če odštejemo 𝑓2 od 𝑓3 in 𝑓1 od 𝑓2, dobimo:
𝑓3 − 𝑓2 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ 𝑟𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.24)
𝑓2 − 𝑓1 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ ℎ
𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.25)
Če enačbo 3.24 delimo z enačbo 3.25, dobimo:
𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
= 𝑟𝑝 (3.26)
S pomočjo logaritmiranja izrazimo p:
�̂� =ln (
𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
)
ln(𝑟)
(3.27)
Oceno Richardsonove ekstrapolirane vrednosti za eksaktno rešitev 𝑓 ̅ (enačba ) lahko zapišemo
v odvisnosti od opazovanega reda natančnosti �̂�:
𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.28)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 28 -
Vedeti moramo, da lahko pričakujemo natančno ekstrapolirano vrednost (enačba 3.28)
le, če se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom natančnosti numerične sheme.
Prav tako morajo biti vse tri rešitve v asimptotičnem območju. Kako je definirano asimptotično
območje ter kdaj vrednosti ležijo znotraj asimptotičnega območja bo opisano v naslednjem
poglavju. Členi višjih redov v enačbah 3.18—3.20 morajo biti majhni. Če v praksi uporabimo
lokalno opazovan red natančnosti za oceno ekstrapolirane vrednosti, potem mora ležati znotraj
območja:
0,5 ≤ �̂� ≤ 𝑝𝑓 (3.29)
Pri tem je 𝑝𝑓 formalni red natančnosti diskretizacijske sheme. Če je opazovan red natančnosti
večji od formalnega reda, potem je lahko ocena napaka diskretizacija podcenjena. Če pa se �̂�
približuje vrednosti 0, potem raste ocena ekstrapolirane vrednosti brez meje.
Spremenljiv faktor zgostitve
V primeru, da faktor zgostitve mreže ni konstanten, imamo dva faktorja zgostitve:
𝑟12 =ℎ2ℎ1
> 1, 𝑟23 =ℎ3ℎ2
> 1 (3.30)
V tem primeru je določitev opazovanega reda natančnosti �̂� bolj zapletena. Rešiti moramo
naslednjo enačbo:
𝑓3 − 𝑓2𝑟23𝑝 − 1
= 𝑟12𝑝 ∙ (
𝑓2 − 𝑓1𝑟12𝑝 − 1
) (3.31)
To enačbo lahko rešimo iteracijsko:
�̂�𝑘+1 =ln [(𝑟12
𝑝𝑘 − 1) (𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
) + 𝑟12𝑝𝑘]
ln (𝑟12 ∙ 𝑟23)
(3.32)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 29 -
Začnemo z začetno predpostavko �̂� = 𝑝𝑓 (formalni red sheme). Ko izračunamo opazovan red
natančnosti �̂�, lahko na podlagi enačbe 3.28 izračunamo ekstrapolirano vrednost, pri tem pa
zamenjamo faktor zgostitve 𝑟 = 𝑟12 [28]1.
3.4 Ocena napake diskretizacije
Vrednost Richardsonove ekstrapolirane vrednosti kot bolj natančno vrednost od rešitve na fini
mreži lahko uporabimo le, če smo prepričani, da so vse predpostavke v celoti izpolnjene. Red
natančnosti (ki ga pridobimo na podlagi treh sistematično zgoščenih mrež) se mora ujemati s
formalnim redom natančnosti diskretizacijske sheme. Če imamo na voljo samo dve mreži, ne
moremo zagotoviti, da so rešitve v asimptotičnem območju. Tako lahko uporabimo
Richardsonovo ekstrapolirano vrednost za oceno napake diskretizacije numerične rešitve na fini
mreži.
Če vstavimo izraz za splošno Richardsonovo ekstrapolacijo (enačba 3.12) v enačbo, ki
definira napako diskretizacije na fini mreži (enačba 3.1), dobimo oceno za napako diskretizacije
na fini mreži (z velikostjo elementa h):
𝜀ℎ̅ = 𝑓ℎ − 𝑓̅ = 𝑓ℎ − (𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
) = −𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.33)
Enačba nam poda konsistentno oceno za napako diskretizacije. Vendar ni nobenega zagotovila,
da je ocena zanesljiva za poljubno fino (h) in grobo (𝑟 ∙ ℎ) mrežo. Če imamo na voljo le dve
mreži, potem ne smemo govoriti o oceni numerične napake, temveč o numerični negotovosti.
1 Povzeto po viru
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 30 -
3.5 Predpostavke
Da lahko zanesljivo ocenimo eksaktno rešitev matematičnega problema, mora biti izpolnjenih
pet osnovnih pogojev:
obe rešitvi sta v asimptotičnem območju,
mreži sta uniformno porazdeljeni po celotnem območju,
fino mrežo smo dobili na podlagi sistematičnega zgoščanja (ali obratno),
rezultati so gladki in
drugi viri numeričnih napak so majhni.
Asimptotično območje
Asimptotično območje je definirano tako: pri sistematičnem zgoščanju mreže se napaka
diskretizacije zmanjšuje s stopnjo formalnega reda natančnosti diskretizacijske sheme.
Rezultati v splošnem konvergirajo s stopnjo formalnega reda natančnosti v asimptotičnem
območju. Zavedati se moremo, da morajo biti rešitve v konvergenčnem območju tako za grobo
kot fino mrežo. Slika 3.1 prikazuje različne možne rešitve. S sivo je označena rešitev, ki leži v
asimptotičnem območju, saj se vrednosti z zgoščanjem mreže približujejo asimptotični rešitvi.
Neasimptotična rešitev je označena z rumeno barvo. Te rešitve se ne približujejo asimptotični
vrednosti, zato za takšen tip rešitev ne moremo uporabiti Richardsonove ekstrapolacije. Mejna
rešitev je označena z modro barvo. V tem primeru se rešitve bližajo asimptotični rešitvi, vendar
ne monotono. Posamezne tri zaporedne rešitve ne ležijo v asimptotičnem območju, zato
moramo biti ob takšnih rešitvah previdni z uporabo Richardsonove ekstrapolacije. Takšne
primere velikokrat srečamo pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije, kjer se lokalno
vrednosti ne spreminjajo enakomerno. Pri takšnih primerih je lahko izračunana ekstrapolirana
vrednost napačna, zato v teh območjih ekstrapolirane vrednosti zagotovo ne smemo uporabiti
kot rešitev, ki je natančnejša od rešitve na fini mreži. Ob izračunu indeksa GCI ob takih rešitvah
običajno uporabimo višji varnostni faktor (Fs = 3).
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 31 -
Slika 3.1: Asimptotično območje: prikaz asimptotične, mejne in neasimptotične rešitve
Enakomerne razdalje znotraj mreže
Napaka diskretizacije je odvisna od enega parametra: velikosti končnih elementov h. Če ta
pogoj vzamemo striktno, lahko uporabimo le Kartezijske mreže z razmikom h v vsaki prostorski
koordinatni smeri. Ta pogoj bi prepovedoval uporabo Richardsonove ekstrapolacije v
praktičnih inženirskih primerih, zato lahko z dodatnimi metodami uporabimo Richardsonovo
ekstrapolacijo tudi na drugih mrežah, vključno z nestrukturirano mrežo. Pri shemah, ki imajo
formalno drugi red natančnosti, se lahko ta red na uniformnih mrežah zmanjša na prvi red
natančnosti. Napake prvega reda so omejene na majhne dele domene ali pa izginejo, ko mrežo
gostimo. Zato se lahko zgodi, da potrebujemo zelo fine mreže, da rezultati ležijo v
asimptotičnem območju.
Sistematično zgoščanje mreže
O sistematičnem zgoščanju mreže govorimo, ko zgoščamo mrežo uniformno in konsistentno.
Uniformno zgoščanje pomeni, da mrežo zgostimo za enak faktor po celotni domeni. Ta pogoj
prepoveduje uporabo lokalnega zgoščevanja mreže ali adaptacijo mreže. Konsistentno
zgoščanje mreže pomeni, da mora kvaliteta mreže ostati enaka ali se izboljšati, ko mrežo
zgoščamo. Primeri parametrov mreže, ki vplivajo na njeno kvaliteto: razmerje stranic,
nesimetričnost končnega elementa in faktor raztegovanja elementov med sosednjimi elementi.
0
20
40
60
80
100
120
10 100 1000 10000 100000 1000000
f/f e
ksak
t[%
]
log N
Asimptotično območje
Analitična rešitev Asimptotična rešitev Mejna rešitev Neasimptotična rešitev
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 32 -
Gladki rezultati
V enačbi 3.5 nastopajo koeficienti g, ki so v splošnem funkcije odvodov rešitve. Če odvisne
spremenljivke in njihovi odvodi ne bodo zvezni, Richardsonova ekstrapolacija ne bo delovala.
Stvar še bolj zaplete dejstvo, da se red natančnosti velikokrat zmanjša na prvi red ali še nižje,
če so prisotne nezveznosti in singularnosti, ne glede na to, kakšen red natančnosti ima metoda
za gladke probleme.
Drugi viri numeričnih napak
Napaka diskretizacije je definirana kot razlika med eksaktno rešitvijo diskretnih enačb ter
eksaktno rešitvijo matematičnega problema. Eksaktna rešitev diskretnih enačb ni poznana
zaradi napake zaokroževanja, napake iteracij ter napak statističnega vzorčenja (če so prisotne).
V praksi uporabimo numerične rešitve, s katerimi nadomestimo eksaktne rešitve diskretnih
enačb. Če so drugi viri napak preveliki, potem bodo le-ti negativno vplivali na Richardsonovo
ekstrapolacijo, saj vsi ekstrapolacijski postopki običajno poudarijo »šume«. Dobro pravilo
glede tega vidika je, da zagotovimo, da so vsi viri numeričnih napak vsaj 2 reda nižji kot napaka
diskretizacije na fini mreži.
3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva sistema
Vrednosti odziva sistema so izpeljane iz osnovnih vrednosti neodvisnih spremenljivk, ki so
rezultat simulacije. Pri tem običajno uporabimo različne numerične postopke: odvajanje,
integriranje, povprečenje … Da lahko uporabimo Richardsonovo ekstrapolacijo, morajo biti vsi
postopki, ki se uporabijo za izračun vrednosti odziva sistema, vsaj enakega reda natančnosti kot
diskretizacijska shema. V večini primerov se integrirane in povprečene vrednosti boljše
odzivajo in hitreje konvergirajo, ko mrežo zgoščamo.
3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije
Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije želimo le-to uporabiti v posameznih točkah
domene. Da lahko to storimo, moramo pridobiti rezultate fine mreže v točkah, ki se nahajajo v
vozliščih grobe mreže. Če imamo strukturirano mrežo in jo sistematično zgoščamo s faktorjem
zgostitve, ki je naravno število, potem imamo te vrednosti na voljo. Na ta način lahko pridobimo
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 33 -
oceno eksaktne rešitve le na mrežnih točkah grobe mreže. Da pridobimo eksaktne rešitve na
fini mreži, sta Roache in Knupp [23] razvila »dokončano Richardsonovo ekstrapolacijo«. Njun
pristop vsebuje interpolacijo korekcije mreže iz grobe na fino mrežo. Ta interpolacija naj bo
izvedena z natančnostjo vsaj tistega reda, ki nastopa pri diskretizacijski shemi. Ko združimo
korekcijo mreže z diskretno vrednostjo rešitve na fini mreži, lahko pridobimo oceno eksaktne
rešitve matematičnega modela z enakim redom natančnosti kot pri oceni z Richardsonovo
ekstrapolacijo na grobi mreži.
Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije se velikokrat pojavljajo problemi z
opazovanim redom natančnosti. Slika 3.2 prikazuje preprost primer, pri katerem ne moremo
določiti opazovanega reda natančnosti. Na njej je prikazana napaka diskretizacije za 3 različne
1-D mreže. Če mrežo zgoščamo za faktor dva in če je formalni red sheme prvega reda, potem
pričakujemo, da se bo napaka diskretizacije zmanjševala za faktor dva vsakič, ko zgostimo
mrežo. Pogosto se pri praktičnih primerih zgodi, da v nekem območju domene rešitve
približujejo eksaktni rešitvi od zgoraj, v drugem območju domene pa od spodaj. Tudi če
zanemarimo druge vire numeričnih napak (npr. zaokroževanje), opazovan red natančnosti v
točki sečišča ne bo definiran, kljub temu da je napaka diskretizacije v tej točki na vseh treh
mrežah natančno nič. Ko računamo opazovan red natančnosti v bližini točke sečišča, lahko viri
drugih numeričnih napak postanejo pomembni. Tak problem lahko rešimo z uporabo globalno
pridobljenega opazovanega reda natančnosti.
Slika 3.2: Preprost primer, pri katerem ne moremo določiti reda natančnosti na lokalnem
območju domene [22]
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 34 -
3.8 Prednosti in slabosti
Glavna prednost Richardsonove ekstrapolacije je, da jo lahko uporabimo v post-procesiranju
za katerokoli diskretizacijsko shemo (končne razlike, končni volumni, končni elementi). Podaja
oceno celotne napake, tako tisto, ki nastane lokalno, kot tudi tisto, ki je prenesena iz drugih
območij domene. Uporabimo jo lahko za katerokoli vrednost, vključno z lokalnimi vrednostmi
ter pridobljenimi vrednostmi odziva sistema (če predpostavljamo, da so bile numerične
aproksimacije izvedene z dovoljšno natančnostjo).
Uporaba Richardsonove ekstrapolacije za ocenjevanje napake diskretizacije pa ima tudi
slabosti. Pomembno je, da imamo številne numerične rešitve v asimptotičnem območju. Zaradi
tega je lahko oteženo generiranje mreže, ki je že samo po sebi težavno opravilo v praktičnih
primerih. Izvajanje dodatnih simulacij je lahko tudi zelo drago. Za primer vzemimo začetno
mrežo z 1 milijonom elementov. Če zgoščamo mrežo s faktorjem zgostitve 2, potrebujemo
dodatno simulacijo, izvedeno na mreži z 8 milijoni elementov. Uporabimo lahko tudi manjše
faktorje zgostitve (ki niso naravna števila), vendar se cena simulacije z zgoščanjem mreže
vedno močno povečuje.
Teorija Richardsonove ekstrapolacije zahteva gladke rešitve, zato je zanesljivost ocene
napake za probleme z nezveznostmi in singularnostmi manjša. Ekstrapolacija tudi poudari
druge vire napak, kot so napaka zaokroževanja in napaka pri konvergenci iteracij.
Ekstrapolirane vrednosti prav tako ne bodo izpolnjevale osnovne in pomožne enačbe tako
numeričnih kot eksaktnih rešitvah.
3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije
Ključna zahteva za zanesljivost (oz. natančnost) ocene napake diskretizacije na osnovi
Richardsonove ekstrapolacije je, da vse rešitve ležijo v asimptotičnem območju. Da lahko
ugotovimo, če rešitve ležijo v asimptotičnem območju, potrebujemo vsaj tri diskretne rešitve.
Priporočeno je, da imamo še rešitev na četrti mreži, da lahko zares potrdimo asimptotično
območje. Včasih je lahko ugotavljanje, če rešitve ležijo znotraj asimptotičnega območja zelo
zahtevno, še posebej pri primerih, ki vsebujejo nelinearnosti. Asimptotičnost lahko tudi
spremljamo na podlagi opazovanega reda natančnosti.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 35 -
Opazovan red natančnosti je merilo, na podlagi katerega lahko ocenimo zanesljivost
ocene napake diskretizacije. Če se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom, potem
smo lahko dokaj prepričani, da je ocena napake zanesljiva. Da izračunamo opazovan red
natančnosti, potrebujemo rešitve na treh mrežah, ki smo jih pridobili s sistematičnim
zgoščanjem. Da je opazovan red natančnosti enak formalnemu, morajo biti izpolnjene vse
predpostavke za Richardsonovo ekstrapolacijo. Če katerakoli izmed predpostavk ni izpolnjena,
je lahko vrednost opazovanega reda natančnosti napačna.
Kadar se opazovan red natančnosti ne ujema z formalnim, potem je ocena napake
diskretizacije precej manj zanesljiva in jo zato v splošnem moramo imenovati numerična
negotovost. Razlika med diskretno rešitvijo in eksaktno rešitvijo matematičnega problema še
vedno predstavlja numerično napako, a ker ne poznamo resnične vrednosti napake, jo moramo
predstaviti kot negotovost. Negotovost, povzročeno zaradi pomankanja znanja, imenujemo
epistemološka negotovost in se razlikuje od naključne negotovosti. Epistemološka negotovost
se lahko zmanjša, če uspemo pridobiti dodatne informacije, v našem primeru dodatne izračune
na bolj finih mrežah.
3.10 Roachejev indeks konvergence mreže (GCI)
V preteklosti so avtorji pogosto predpostavljali, da je ocena napake diskretizacije enaka
relativni razliki med dvema diskretnima rešitvama, pridobljenima na različnih mrežah:
𝐸 =𝑓2 − 𝑓1
𝑓1
(3.34)
Pri tem je 𝑓1 rešitev na fini mreži, 𝑓2 pa na grobi. Ta reaktivna razlika je lahko zelo zavajajoča,
ko ocenjujemo napako. Oceno relativne napake diskretizacije (RDE1) za splošno
Richardsonovo ekstrapolacijo lahko zapišemo kot:
1 RDE – Relative discretization error
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 36 -
𝑅𝐷𝐸1 =𝑓1 − 𝑓̅
𝑓̅=
𝑓1 − (𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1
)
𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1
=𝑓2 − 𝑓1
𝑓1 ∙ 𝑟𝑝 − 𝑓2
(3.35)
Za primer vzemimo dve numerični rešitvi. Opazovana vrednost f, ki nas zanima, ima
vrednost 20 na fini ter 21 na grobi mreži. Relativna razlika med rešitvama znaša 5 %. Pri prvem
primeru imamo shemo tretjega reda natančnosti in faktor zgostitve r = 2. Iz enačbe 3.35
izračunamo oceno napake diskretizacije, ki znaša 0,71 %. Pri drugem primeru imamo shemo
prvega reda natančnosti ter faktor zgostitve mreže r = 1,5. Ocenjena napaka diskretizacije v
tem primeru znaša 9,1 %. Relativna razlika 5 % pri dveh rešitvah lahko predstavlja zelo različni
vrednosti relativne napake diskretizacije glede na red natančnosti sheme in faktorja zgostitve
mreže. Za oceno napake diskretizacije moramo zato upoštevati ta dva parametra. Da bi
preprečili napačno uporabo relativne razlike dveh diskretnih rešitev za oceno napake je
Roache[24] razvil indeks konvergence mreže (GCI1).
Definicija
Roache [24] je predstavil indeks konvergence mreže, ali krajše GCI. Roachejev cilj je zasnovati
metodo, ki dosega 95 % gotovost (torej predstavlja konservativno oceno negotovosti v 19 od
20 primerih). Metoda GCI je zasnovana na relativni razliki med dvema diskretnima rešitvama,
upošteva pa tudi koeficient zgoščanja mreže in red natančnosti. GCI prav tako pretvori oceno
napake diskretizacije v oceno negotovosti s pomočjo absolutne vrednosti. Roache [25] je GCI
na fini mreži je definiral kot:
𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠
𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2
𝑓1|
(3.36)
𝐹𝑠 v enačbi predstavlja varnostni faktor. Če imamo na voljo le dve diskretni rešitvi, potem
uporabimo formalni red natančnosti in varnostni faktor 𝐹𝑠 = 3. Če imamo na voljo tri diskretne
rešitve, lahko izračunamo opazovan red natančnosti. V takšnem primeru imamo možnost
uporabiti manj konservativen varnostni faktor 𝐹𝑠 = 1,25. Na podlagi GCI dobimo oceno
relativne negotovosti za rezultate na fini mreži. Na primer, če imamo vrednost GCI 0,15, to
1 GDI – Grid convergence index
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 37 -
predstavlja 15 % negotovost rezultatov na fini mreži. Za to oceno moramo zagotoviti
sistematično zgoščanje mreže.
Pomembno je, da v oceno GCI vključimo varnostni faktor. GCI temelji na Richardsonovi
ekstrapolirani vrednosti, ki je že sama ocena eksaktne rešitve matematičnega problema. Ne
vemo pa, če je ocenjena eksaktna rešitev nad ali pod eksaktno rešitvijo matematičnega modela.
Na sliki 3.3 sta prikazani dve numerični rešitvi (𝑓1 in 𝑓2) ter ocenjena eksaktna rešitev 𝑓 ̅na
podlagi Richardsonove ekstrapolacije in eksaktna rešitev 𝑓. V splošnem je enaka možnost, da
je eksaktna rešitev nad ali pod ocenjeno vrednostjo. Pri varnostnem faktorju 𝐹𝑠 = 1 bo torej le
50 % verjetnost, da je eksaktna rešitev 𝑓 znotraj območja negotovosti. Večanje varnostnega
faktorja tako povečuje verjetnost, da bo eksaktna rešitev 𝑓 znotraj območja negotovosti.
Zanesljivost napake diskretizacije ali ocene negotovosti pa lahko določimo le, če imajo
diskretne rešitve asimptotično naravo. Če so rešitve precej izven asimptotičnega območja,
potem bo najbrž tudi ocena napake ali negotovosti slaba. V takšnem primeru ne moremo
določiti varnostnega faktorja, za katerega bi lahko trdili, da je konservativen.
Slika 3.3: Varnostni faktor pri GCI [26]
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 38 -
Uporaba
Če so rešitve problema zelo blizu 0, potem pogosto nastopajo problemi pri normalizaciji.
Normalizacijo lahko tako spustimo:
𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠
𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2|
(3.37)
Tako dobimo oceno negotovosti za fino mrežo v enakih enotah kot je sama rešitev.
Roache [25] podaja jasne smernice glede izbire varnostnega faktorja:
Če imamo na voljo le dve rešitvi, uporabimo varnostni faktor 𝐹𝑠 = 3.
Če imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom
sheme, potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25.
V primerih, kadar imamo na voljo le dve rešitvi, moramo oceno GCI obravnavati
previdno, saj nimamo podatka, če sta rešitvi v asimptotičnem območju. Če so rešitve zelo izven
asimptotičnega območja, so vsi pristopi za ocenjevanje napake diskretizacije nezanesljivi.
Kadar imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom,
potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25, uporabimo pa lahko opazovan ali formalen red natančnosti.
Problemi nastanejo, ko se opazovani in formalni red natančnosti ne ujemata. V takšnem primeru
je idealno, če mrežo dodatno zgoščamo, dokler rešitve niso dokazljivo asimptotične.
Asimptotično območje lahko dosežemo tudi z lokalnim zgoščanjem mreže. Če pa dodatnih
simulacij ne moremo izvesti, potem Roache [25] podaja primere, kako uporabiti GCI za velik
spekter problemov.
Tabela 3.1: Predlagana uporaba GCI, če imamo na voljo tri sistematično zgoščene mreže
|�̂� − 𝑝𝑓
𝑝𝑓|
𝐹𝑠 𝑝
≤ 0,1 1,25 𝑝𝑓
> 0,1 3 min (max (0,5, �̂�) , 𝑝𝑓)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 39 -
Ko imamo na voljo tri sistematično zgoščene mreže, potem je v splošni uporabi najbolje
uporabiti enačbo za nenormalizirano GCI (enačba 3.37). Če se opazovan red natančnosti ujema
s formalnim znotraj 10 %, potem uporabimo kar formalen red natančnosti in varnostni faktor
1,25. Kadar se reda natančnosti ne ujemata znotraj 10 %, potem uporabimo varnostni faktor
𝐹𝑠 = 3. Red natančnosti je omejen med 0,5 in formalnim redom natančnosti. Če je red
natančnosti veliko večji od formalnega, povzroči, da je ocena negotovosti nerealno majhna, saj
gre GCI proti nič, ko gre p proti neskončnosti. Ocena negotovosti gre proti neskončnosti, ko je
red natančnosti blizu nič. Priporočila so prikazana v tabeli 3.1. Ta priporočila so razumna,
vendar potrebujejo testiranja, da se prepričamo da res zagotavljajo 95 % negotovost na različnih
problemih.
3.11 Variante
V preteklih letih so bile razvite številne variante GCI. Te variante se posvečajo različnim
načinom izračuna varnostnega faktorja ter reda natančnosti, ki ga uporabimo pri izračunu GCI.
Metoda najmanjših kvadratov
Če računamo opazovan red natančnosti lokalno, le-ta pogosto odstopa od formalnega reda
diskretizacijske sheme. Ta odstopanja so lahko posledica različnih stvari. Rešitve ne ležijo v
asimptotičnem območju, napaka je lahko prenesena iz drugih območij, nastopajo lahko
iterativne napake, napake zaokroževanja, napake pri interpolaciji rešitev na skupno mrežo,
napake zaradi ne-uniformnega zgoščanja mreže … Eca in Hoekstra [15] sta razvila metodo, ki
odstrani »hrup« iz opazovanega reda natančnosti. To sta storila z uporabo metode najmanjših
kvadratov z uporabo štirih mrež. Splošno enačbo Richardsonove ekstrapolacije (enačba 3.6)
lahko zapišemo za k-to mrežo:
𝑓𝑘 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝 (3.38)
V njunem pristopu poskušata minimizirati funkcijo:
𝑆(𝑓,̅ 𝑔𝑝, �̂�) = √∑ [𝑓𝑘 − (𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝)]
2𝑁𝐺
𝑘=1
(3.39)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga
- 40 -
Pri tem k podaja mrežo, NG pa predstavlja število vseh mrež (NG > 3). Da minimiziramo
funkcijo, morajo biti odvodi po 𝑓,̅ 𝑔𝑝 in �̂� nič. Tako dobimo sledeče enačbe:
𝑓̅ =∑ 𝑓𝑘
𝑁𝐺𝑘=1 − 𝑔𝑝 ∙ ∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1
𝑁𝐺
(3.40)
𝑔𝑝 =𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘
𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )
𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘2∙𝑝𝑁𝐺
𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )
(3.41)
∑ 𝑓𝑘ℎ𝑘𝑝ln (ℎ𝑘)
𝑁𝐺
𝑘=1− 𝑓̅∑ ℎ𝑘
𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺
𝑘=1− 𝑔𝑝 ∑ ℎ𝑘
2𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺
𝑘=1= 0
(3.42)
Eca in Hoekstra [15] sta rešila enačbo 3.42 iterativno na podlagi »False position«
metode ter pridobila �̂�. Glavna slabost te metode je, da potrebujemo rešitve na vsaj štirih
sistematično zgoščenih mrežah. Prvotno se je njun pristop nanašal na oceno negotovosti za 𝑓,̅
nadaljnje študije pa so podajale oceno negotovosti za rezultate na fini mreži z uporabo reda
natančnosti, pridobljenega z uporabo enačbe 3.42 in uporabo GCI metode (enačba 3.37).
Metoda globalnega povprečenja
Cadafalch z ostalimi [12] je predlagal, da pridobimo vrednost opazovanega reda natančnosti na
podlagi povprečja vseh lokalnih vrednosti. Na podlagi povprečne vrednosti opazovanega reda
natančnosti lokalno izračunamo vrednost GCI. Njihov pristop povzamemo z naslednjimi
koraki:
1. Interpolacija treh sistematično zgoščenih mrež na skupno mrežo, ki jo bomo uporabili
pri post-procesiranju. Za interpolacijo naj se uporabi interpolacijska metoda višjega
reda.
2. Razvrstitev vozlišč v dve skupini: monotone, za katere velja (𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) > 0 in
ne monotone, za katere velja (𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) < 0. Obravnavala sta tudi tretjo
možnost, pri kateri je bila vrednost tega produkta manjša od 10−30.
3. Izračunaj lokalen opazovan red natančnosti za vsa monotona vozlišča.
4. Izračunaj globalen opazovan red natančnosti na podlagi povprečne vrednosti vseh
lokalnih opazovanih redov natan
top related