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Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie

Andreas Gemsa

Ubung Algorithmische Geometrie

LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK

Delaunay Triangulierungen

16.06.2011

Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie

Ubersicht

Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen

Evaluation

Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen

Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie

Aufgabe 1

Sei P ⊂ R2 eine Menge von n Punkten.Problem:

a) Maximale Anzahl an verschiedenen Triangulierungen fur P

beschrankt durch 2(n2).

b) Beispielmenge P bei der fur jede Triangulierung ein Knotenex. der Grad n− 1 hat?

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Aufgabe 1

Sei P ⊂ R2 eine Menge von n Punkten.Problem:

a) Maximale Anzahl an verschiedenen Triangulierungen fur P

beschrankt durch 2(n2).

b) Beispielmenge P bei der fur jede Triangulierung ein Knotenex. der Grad n− 1 hat?

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Aufgabe 2

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

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Aufgabe 2

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q Gehoren zur DelaunayTriangulierung von P ∪ {q}

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Aufgabe 2

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Punktmenge P ⊂ R2, alle Punkte in allgemeiner Lage.

Außerdem q /∈ P aber in der konvexen Hulle von P .

pi

pj

pk

q

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Ubersicht

Evaluation

Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen

Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen

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Ubungsblatt 9 - Delaunay Triangulierungen

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

Zeige, dass Kanten aus EMST Teilmenge der Kanten aus Delaunay-Graph

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

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Aufgabe 3

uv

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

|uw| < |uv|

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Aufgabe 3

uv

w

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

|uw| < |uv|

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Aufgabe 3

Euklidischer Minimaler Spannbaum

Berechnung von EMST in O(n log n)?

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p q

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p q

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

Kante pq ist in DG(P ) ⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.

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Aufgabe 4

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Aufgabe 4

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Aufgabe 4

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Aufgabe 4

u

v

uv im Gabriel Graph

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Aufgabe 4

u

v

uv im Gabriel Graph

o

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Aufgabe 4

u

v

uv im Gabriel Graph

o

o naher zu u, v als zu den anderen Punkten aus P

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Aufgabe 4

u

v

uv im Gabriel Graph

o

o naher zu u, v als zu den anderen Punkten aus P⇒ o liegt auf Voronoi-Kante welche Voronoi-Zellen von q und p begrenzt

u

vo

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

v

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

v

o

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

vo

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

vo

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

vo

Angenommen Punkt r in C.

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

vo

Angenommen Punkt r in C.

r

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Aufgabe 4

uv schneidet duale Voronoi-Kante

u

vo

Angenommen Punkt r in C.

r

⇒ Distanz zw. o und r kleiner als |ou| (|ov|)⇒ Widerspruch zur Annahme, dass o auf Voronoi-Kante

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.

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Aufgabe 4

Gabriel Graph: p, q mit Kante verbunden, wenn Kreis Cp,q leer ist.

p qp q`

a) Zeige, dass Delaunay Triangulierung von P den Gabriel Graph von Penthalt.

b) Zeige, dass p und q genau dann im Gabriel-Graph von P adjazent sind,wenn die Delaunay Kante zwischen p und q die zu ihr dualeVoronoi-Kante schneidet.

c) O(n log n) Algorithmus der Gabriel-Graph berechnet?

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Das war’s!

Nachster Termin:Donnertag, 30.06, 09:45 Uhr

Raum 131, Gebaude 50.34

Achtung!