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Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires
Exercice 2 : trouver l’angle complémentaire à un angle
Exercice 3 : montrer que deux angles sont supplémentaires
Exercice 4 : trouver l’angle supplémentaire à un angle
Exercice 5 : angles aigus et obtus
Exercice 6 : angles adjacents
Exercice 7 : angles opposés par le sommet
Exercice 8 : angles alternes-internes et angles correspondants
Exercice 9 : angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante
Exercice 10 : angles de même mesure et parallélisme de deux droites
Exercice 11 : somme des angles dans un triangle
Exercice 12 : cas particuliers du triangle rectangle, du triangle isocèle et du triangle équilatéral
Rappel : Dénomination d’un angle
En général, on utilise trois lettres pour nommer un
angle. La lettre centrale désigne alors le sommet.
A droite, est représenté l’angle , que l’on peut
aussi noter .
Remarque : Cependant, une seule lettre peut suffire
s’il n’y a aucun risque de confondre.
Ainsi, à droite sont représentés l’angle en orange,
l’angle en bleu et l’angle en rouge.
On peut noter de 3 manières différentes l’angle .
Angles et parallélisme
Exercices corrigés
Sommet de l’angle
Demi-droite
Demi-droite
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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2
Dans chaque cas, dire si l’angle bleu et l’angle rouge sont complémentaires.
1)
2)
3)
4)
Rappel : Angles complémentaires
Deux angles et sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à , c’est-à-dire si
. Autrement dit, si la somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle droit.
1) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est donc .
La somme des angles est égale à donc les angles sont complémentaires.
2) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est .
La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas complémentaires.
3) L’angle bleu mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles ne peut pas être égale à
car la mesure de l’angle bleu, à elle seule, est déjà supérieure à .
Les angles ne sont pas complémentaires.
4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle droit gris.
La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à donc les angles sont
complémentaires.
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
Il n’est pas toujours
nécessaire
d’effectuer des
calculs !
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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3
Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle complémentaire à l’angle proposé.
1) 2) 3)
1) On cherche un angle complémentaire à l’angle donc on cherche un angle tel que .
Autrement dit, on cherche tel que .
L’angle de mesure est complémentaire à l’angle de mesure .
2) On cherche un angle tel que . On cherche donc tel que .
Cette mesure d’angle est négative donc il n’existe pas d’angle complémentaire à l’angle de mesure .
3) On cherche un angle tel que . On cherche donc tel que .
L’angle de mesure est l’angle complémentaire à l’angle de mesure . Autrement dit, l’angle nul et l’angle
droit sont complémentaires.
Remarque : On pourra retenir qu’un angle obtus n’a pas d’angle complémentaire.
Dans chaque cas, dire si les angles sont supplémentaires.
1)
2)
3)
4)
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
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4
Rappel : Angles supplémentaires
Deux angles et sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à , c’est-à-dire si la
somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle plat. On a donc : .
1) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est par conséquent
.
La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires.
2) L’angle bleu mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles est .
La somme des angles est égale à donc les angles sont supplémentaires.
3) L’angle rouge mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles est .
La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires.
Remarque : On pourra retenir que deux angles aigus ne sont pas supplémentaires.
4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle plat gris.
La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à donc les angles sont
supplémentaires.
Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle supplémentaire à l’angle proposé.
1) 2) 3)
1) On cherche un angle supplémentaire à l’angle donc on cherche un angle tel que .
Autrement dit, on cherche tel que .
L’angle de mesure est supplémentaire à l’angle de mesure .
2) On cherche un angle supplémentaire à donc on cherche un angle tel que . Autrement
dit, on cherche tel que .
L’angle de mesure est supplémentaire à l’angle de mesure .
Correction de l’exercice 3
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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5
3) On cherche un angle tel que . Par conséquent, on cherche tel que
.
L’angle de mesure est l’angle supplémentaire à l’angle de mesure . Autrement dit, deux angles droits
sont supplémentaires.
Dans chacun des quatre cas ci-dessous, construire, si possible, l’angle décrit et dire s’il est aigu ou obtus.
1) Un angle complémentaire à un angle aigu.
2) Un angle complémentaire à un angle obtus.
3) Un angle supplémentaire à un angle aigu.
4) Un angle supplémentaire à un angle obtus.
Rappel : Angle aigu et angle obtus
Un angle aigu mesure entre et exclus.
Un angle obtus mesure entre et exclus.
1)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle aigu.
Regardons dans un second
temps s’il existe un angle
complémentaire en
cherchant un angle tel
que .
Il existe bien un angle
complémentaire de
mesure .
Construisons ensuite cet
angle, en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle aigu.
Remarque : On pourra retenir que l’angle complémentaire à un angle aigu est un angle aigu.
Exercice 5 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 5
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6 6
2)
Construisons dans un premier temps, en bleu, un
angle obtus.
Regardons dans un second temps s’il existe un angle
complémentaire en cherchant un angle tel que
.
Il n’existe donc pas d’angle complémentaire.
Remarque : On pourra retenir qu’il n’existe pas d’angle complémentaire à un angle obtus.
3)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle aigu.
Regardons dans un second
temps s’il existe un angle
supplémentaire en
cherchant un angle tel
que .
Il existe bien un angle
supplémentaire de mesure
.
Construisons ensuite cet
angle, en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle obtus.
Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle aigu est un angle obtus.
4)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle obtus.
Regardons dans un
second temps s’il existe
un angle supplémentaire
en cherchant un angle
tel que .
Il existe bien un angle
supplémentaire de
mesure .
Construisons ensuite cet angle,
en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle aigu.
Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle obtus est un angle aigu.
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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7 7
Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont adjacents. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Rappel : Angles adjacents
Deux angles adjacents et sont deux angles qui :
ont le même sommet
ont un côté commun
se situent de part et d’autre de ce côté commun
1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Ainsi, ces
angles sont adjacents.
Exercice 6 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 6
Côté commun
Sommet commun
Sommet commun
Côté commun
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8 8
2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet mais pas de côté commun. Donc ces
angles ne sont pas adjacents.
3) L’angle rouge et l’angle bleu n’ont pas le
même sommet donc ces angles ne sont pas
adjacents.
4) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Donc ces
angles sont adjacents.
5) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Par
conséquent, ces angles sont adjacents.
6) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun mais ils ne se
situent pas de part et d’autre de ce côté
commun. Donc ces angles ne sont pas
adjacents.
Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont opposés par le sommet. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.
1)
2)
3)
4)
Sommet commun
Sommet commun
Côté commun
Sommet commun Côté commun
Sommet commun Côté commun
Exercice 7 (1 question) Niveau : facile
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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9 9
Rappel : Angles opposés par le sommet
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui :
ont le même sommet
ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre
Remarque : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure et sont symétriques par rapport au sommet.
1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de
l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,
mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement
de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
Remarque : Observant que les angles ne sont pas de même mesure, on peut directement conclure que les
angles ne sont pas opposés par le sommet.
2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. De plus, ces angles
ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre donc ils sont
opposés par le sommet.
3) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de
l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,
mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement
de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
4) L’angle rouge et l’angle bleu ont la même mesure, d’après le codage.
Toutefois, ils n’ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
Correction de l’exercice 7
Sommet commun
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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10 10
En utilisant la figure ci-contre,
1) nommer des angles alternes-internes formés par les
droites et et la sécante
2) nommer des angles correspondants formés par les
droites et et la sécante
Rappel : Angles alternes-internes et angles correspondants
Soient deux droites et coupées par une droite
sécante .
Deux angles alternes-internes sont deux angles formés par
ces trois droites et :
qui n’ont pas le même sommet
qui sont de part et d’autre de la droite sécante
qui sont à l’intérieur de la bande délimitée par les
droites et
Deux angles correspondants sont deux angles formés par
ces trois droites et :
qui n’ont pas le même sommet
qui sont du même côté de la droite sécante
dont l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par
les droites et et dont l’autre est à l’extérieur
de cette bande
Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 8
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11 11
1)
Les angles bleus et sont alternes-
internes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se
situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et
d’autre de la sécante verte.
Les angles bleus et sont alternes-
internes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se
situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et d’autre de la sécante verte.
2)
Les angles rouges et sont
correspondants. En effet, ils n’ont pas même
sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un
se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que
l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.
Les angles rouges et sont
correspondants. En effet, ils n’ont pas même
sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un
se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que
l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.
On sait que :
les droites et sont parallèles ;
les points , et sont alignés dans cet ordre ;
les points , et sont alignés dans cet ordre ;
les points , et sont alignés dans cet ordre.
A l’aide des mesures portées sur la figure et des
informations données ci-dessus, donner la mesure des
angles , , , , et .
Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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12 12
Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure
Si deux droites et sont parallèles et coupées par une droite sécante , alors :
les angles alternes-internes qu’elles forment ont même mesure
les angles correspondants qu’elles forment ont même mesure
Les angles bleus
sont tous de même
mesure.
Les angles rouges
sont tous de même
mesure.
Calculons la mesure de l’angle .
Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par
la droite donc elles forment des angles correspondants de
même mesure.
Or, comme les angles et sont correspondants, il en
résulte que
L’angle mesure .
Correction de l’exercice 9
Les angles rouges
ont la même mesure.
Les angles bleus ont
la même mesure.
Droites parallèles
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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13 13
Calculons la mesure de l’angle .
Les points , et sont alignés dans cet ordre donc l’angle
est un angle plat. Autrement dit, . En outre, les angles et sont adjacents car ils ont le même
sommet , le même côté commun et se situent de part et
d’autre de ce côté commun.
Ainsi, (autrement dit, les angles et
sont supplémentaires). Par conséquent, en remplaçant par les mesures connues, on a :
L’angle mesure .
Calculons la mesure de l’angle .
Comme les droites et sont parallèles et coupées par la
droite , elles forment des angles correspondants de même
mesure. Les angles et étant correspondants, on a :
L’angle mesure .
Calculons la mesure de l’angle .
Les points , et sont alignés dans cet ordre. Par conséquent,
l’angle est un angle plat.
De plus, les angles et sont adjacents car ils ont le même
sommet , le même côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun.
De ce fait, (ce qui signifie en d’autres
termes que les angles et sont supplémentaires).
Il s’ensuit, en remplaçant par les mesures connues, que :
L’angle mesure .
Calculons la mesure de l’angle .
Les angles et sont opposés par le sommet donc ils ont
même mesure. On a donc
L’angle mesure .
Calculons la mesure de l’angle .
1ère
méthode : Les points , et sont alignés dans cet ordre.
Donc l’angle est un angle plat.
Les angles et sont adjacents et supplémentaires puisque
. Il vient alors que :
L’angle mesure .
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14 14
2e méthode : Les angles et sont opposés par le sommet
donc ils ont la même mesure.
Par conséquent, on obtient
L’angle mesure .
3ème
méthode : Les droites et sont parallèles et elles
sont coupées par la droite ; donc elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
Or, les angles et sont alternes-internes puisqu’ils n’ont
pas le même sommet, sont de part et d’autre de la droite sécante
et sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites
et . Il en résulte que
L’angle mesure .
En résumé, on a :
Remarques :
Il peut exister plusieurs démonstrations possibles. Quelle que soit la méthode utilisée, il convient de
détailler la rédaction pour montrer au correcteur
que les savoirs (définitions, propriétés…) et les
savoir-faire sont parfaitement maitrisés.
Il serait possible de calculer la mesure des angles
manquants, à savoir d’une part et d’autre part
, en utilisant la formule de la somme des
angles dans les triangles d’une part et
d’autre part.
Dans chacun des quatre cas suivants, dire si les droites et sont parallèles. Justifier.
1)
2)
Exercice 10 (1 question) Niveau : facile
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3)
4)
Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure (réciproque)
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors
ces droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors
ces droites sont parallèles.
Les droites rouge et
bleue sont
parallèles.
1) D’après le dessin, les angles et sont des angles correspondants.
De plus, . Ainsi, les droites et coupées par la
sécante forment des angles correspondants de même mesure.
Il s’ensuit que les droites et sont
parallèles.
Correction de l’exercice 10
Angles de même
mesure
La droite bleue
est parallèle à la
droite rouge.
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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2) D’après le dessin, les angles et sont des
angles alternes-internes.
De plus, .
Ainsi, les droites et coupées par la
sécante forment des angles alternes-internes de mesures différentes.
Par conséquent, les droites et ne sont
pas parallèles.
3) Les points , et sont alignés dans cet ordre donc
les angles et sont des angles adjacents et supplémentaires.
On a donc : d’où :
On a donc .
Par ailleurs, les angles et sont
correspondants.
En conséquence, les droites et sont
parallèles.
4) Les angles et sont opposés par le sommet donc ils sont de même mesure.
Ainsi, on a
On a donc finalement . Or, les angles et sont des angles
correspondants.
Autrement dit, les angles et sont correspondants et de même mesure.
Par conséquent, les droites et sont
parallèles.
En utilisant la figure ci-contre, calculer la mesure respective
des angles et puis en déduire celle de .
Exercice 11 (2 questions) Niveau : facile
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17 17
Rappel : Somme des angles dans un triangle
Dans un triangle, la somme des trois angles est
égale à . On a :
Autrement dit, les trois angles d’un triangle sont
supplémentaires.
1ère
étape
Dans le triangle , la somme
des angles , et est
égale à .
On a donc :
C’est-à-dire :
L’angle mesure .
2ème
étape
Dans le triangle , la somme
des angles , et est
égale à .
On a donc :
C’est-à-dire :
L’angle mesure .
3ème
étape
Les angles et sont adjacents.
On a donc :
L’angle est un angle obtus
de mesure .
Correction de l’exercice 11
Droite parallèle à
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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18 18
Dans chacun des six cas suivants, donner la mesure de tous les angles du triangle.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Rappel : Mesures d’angles dans un triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux (les angles à
la base sont indiqués sur la figure en orange).
Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Exercice 12 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 12
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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19 19
1)
D’après le codage de la figure, . Donc le triangle est
isocèle en . Ainsi, .
En outre, la somme des angles d’un triangle est égale à donc
. D’où :
2)
D’après le codage, le triangle est isocèle en car .
On a donc .
Par ailleurs, d’après la figure, .
Comme, dans un triangle, les angles sont supplémentaires, on a la
relation suivante : .
On vient de montrer que donc, en remplaçant, on a ⏟
.
C’est-à-dire , soit . Il en résulte que . Finalement,
.
3)
D’après la codage de la figure, le triangle est rectangle en .
Donc . De plus, la figure indique clairement que . La somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à , on a l’égalité suivante : . Il s’ensuit
que : .
Rappel : Mesures d’angles dans un triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure .
Réciproquement, si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
4)
D’après le codage, le triangle est isocèle en et, par ailleurs, . Or, d’après une propriété du cours, si un triangle isocèle a un angle de
, alors il est équilatéral.
Par conséquent, .
Angles et parallélisme – Exercices corrigés
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20 20
Rappel : Mesures d’angles dans un triangle rectangle isocèle
Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses angles aigus
mesure .
Réciproquement, si un triangle a deux angles mesurant , alors il est
rectangle isocèle. De même, si un triangle rectangle a un angle mesurant
, alors il est rectangle isocèle.
5)
Le codage montre que le triangle est rectangle en . Autrement
dit, . De plus, .
D’après une propriété du cours, si un triangle rectangle a un angle de
, alors il est rectangle isocèle.
Il en résulte que .
6)
D’après la figure, , ce qui signifie que le triangle est
isocèle en . Dès lors, il vient que .
D’après une propriété du cours, si un triangle a deux angles de , alors il est rectangle isocèle. Donc est rectangle isocèle en .
Par conséquent, .
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