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ANÁLISE DA ESTABILIDADE ESPACIAL DOS ESCOAMENTOS ÓLEO-ÁGUA
EM PADRÕES DE FASES SEPARADASEM PADRÕES DE FASES SEPARADAS
Marcelo Souza de Castro
Prof. Dr. Oscar Rodriguez
1
Sumário
• Introdução;
– Motivação;
• Revisão Bibliográfica;
• Montagem Experimental;
• Resultados Experimentais;
• Modelagem Matemática;• Modelagem Matemática;
• Teoria da Estabilidade Linear;
• Abordagem Não linear;
• Conclusões;
• Referências Bibliográficas;
• Agradecimentos.2
Padrões de Escoamento
• As fases podem apresentar-se em várias
configurações espaciais ou padrões de
escoamento;
9
Mapas de Fluxo
Baker, 1954
Taitel e Dukler, 1976
Taitel e Dukler, 1980
11
Rodriguez e Oliemans, 2006
Bannwart et al., 2004
Modelagem Unidimensional
• Escoamentos de Fases Separadas em
Tubulações:
– Estratificado;
– Anular;
• Modelados pelo Modelo de Dois-Fluidos• Modelados pelo Modelo de Dois-Fluidos
Unidimensional (Ishii, 1975);
– Equações de fechamento para tensões interfaciais
e parietais são necessárias;
12
Estabilidade Hidrodinâmica• Pode-se definir o estudo da
estabilidade/instabilidade hidrodinâmica
como o estudo do movimento oscilatório em
fluidos;
– Crescimento, decrescimento ou estabilização da
amplitude de oscilação;amplitude de oscilação;
• Métodos para o estudo da estabilidade de
escoamentos foram desenvolvidos baseados
em metodologias já aplicadas em sistemas
dinâmicos para partículas;
13
Estabilidade Hidrodinâmica• Métodos de Estudo (Drazin, 2002):
– Fenômenos naturais e experimentação em laboratório;
– Experimentos numéricos;
– Teorias linear e fracamente não-linear;
– Teoria qualitativa da bifurcação e chaos;
– Teoria não-linear.– Teoria não-linear.
• Teoria linear, sozinha, não é suficiente para a análise da estabilidade de escoamentos bifásicos;
– Mas é um bom indicativo;
• Teorias que levam em consideração efeitos não-lineares são necessárias;
14
Estabilidade Hidrodinâmica
• Escoamentos Bifásicos Paralelos:
– Teoria da Estabilidade Linear;
• IKH;
• VKH;
– Curvas de Estabilidade Neutra = Fronteiras de – Curvas de Estabilidade Neutra = Fronteiras de
Transição de Padrões de Escoamento!!
15
Estabilidade Hidrodinâmica
– A parte imaginária da frequência angular é nula
(oscilações periódicas no tempo) e o sinal da parte
imaginária do número de onda indica a
estabilidade/instabilidade do escoamento;
– Independentemente do crescimento espacial ou
temporal de uma estabilidade, a curva de temporal de uma estabilidade, a curva de
estabilidade neutra será a mesma para uma
análise temporal ou espacial (Teoria Linear);
16
Estabilidade Hidrodinâmica
• Escoamento de Fases Separadas Líquido-
Líquido:
– Estudo da Transição de um Padrão a Outro;
17
Teoria Não-Linear
• Estudo da resposta do escoamento a
perturbações finitas na interface;
• Fora da região de estabilidade linear, efeitos
não-lineares podem sobrepor efeitos lineares,
causando:causando:
– Manutenção da Interface Ondulada;
– Ruptura a outro Padrão de Escoamento;
• Método das Características (MOC).
18
Abordagem Não Linear Simplificada
• Método das Características;
• Método de Diferenças Finitas;
• EDPs são reduzidas a EDOs em direções características;
• Reduz a Difusão Numérica, permitindo a • Reduz a Difusão Numérica, permitindo a simulação da propagação de perturbações em um escoamento de forma acurada;
• Estudo de transientes em um Escoamento;
• Estudo de Propagação de Ondas em Escoamentos Gás-Líquido.
19
Aquisição e Tratamento de Imagens
• Câmeras:
– SONY HVR-HD 1000N com taxa de aquisição de 30
frames/s, 2848x1602 pixels;
– i-SPEED 3 OLYMPUS, utilizada a uma taxa de 100 – i-SPEED 3 OLYMPUS, utilizada a uma taxa de 100
frames/segundo, na resolução máxima de
800x600 pixels
22
Estratificado liso (ST) (Uws=0,03m/s e Uos=0,02m/s)
Estratificado ondulado (SW) (Uws=0,1m/s e Uos=0,04m/s)
24
Estratificado com mistura na interface (SW&MI) (Uws=0,23m/s e Uos=0,06m/s)
Gotas de óleo, gotas pequenas (G) (Uws=0,3m/s e Uos=0,06m/s)
Gotas de óleo, trem de gotas (G) (Uws=0,35m/s e Uos=0,28m/s)
Intermitente (P) (Uws=0,45m/s e Uos=0,28m/s)
25
Anular (A) (Uws=1,5m/s e Uos=0,5m/s)
Dispersão de óleo em água (Do/w &w) (Uws=3m/s e Uos=0,5m/s)
1
[m
/s]
1
Uw
s [
m/s
]
Cartas de Fluxo
0,01 0,1 10,01
0,1
SW
SW&MI
Dow&w
Dow&Dwo
o/w
w/o
Uw
s [
m/s
]
Uos [m/s]
Modelo de Trallero (1995)
0,01 0,1 1
0,01
0,1 ST
SW
SW&MI
G
P
A
Do/w & W
Uw
s [
m/s
]
Uos [m/s]
Experimental
26
Características Geométricas e Cinemáticas da Onda Interfacial
• Experimentos
– 4 Inclinações:
• 0°, +5°, +10° e -5°;
– 0,05 m/s ≤ Uws ≤ 0,23 m/s;– 0,05 m/s ≤ Uws ≤ 0,23 m/s;
– 0,02 m/s ≤ Uos ≤ 0,18 m/s;
27
Características Geométricas e Cinemáticas da Onda Interfacial
40
50
60
28
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
0
10
20
30
λ/α
Weber
( )0,15635,21 9,58Weeλα
−= +
Características Geométricas e Cinemáticas da Onda Interfacial
1,2
1,4
1,6
1,8
c/(U
ws+
Uos
)
29
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00,2
0,4
0,6
0,8
1,0
( )( ) ( )0,482,49 1,56Frws osc e U U−= − + +
c/(U
ws+
Uos
)
Froude
Forma Média Onda Interfacial
0,4
0,8
1,2
1,6
y[m
m]
Uos=0,1 m/s0,4
0,8
1,2
Uws=0,09 m/s
Uws=0,16m/sUos=0,02m/s
0 2 0 4 0 6 0 8 0
- 1 2
- 8
- 4
0
4
8
1 2
F r = 0 , 5 6
U w s = 0 , 1 6 m / s
U o s = 0 , 0 2 m / s
y[m
m]
x [ m m ]
30
0 5 10 15 20 25
-1,2
-0,8
-0,4
0,0y[m
m]
x[mm]
Uws=0,05m/s
Uws=0,09m/s
Uws=0,13m/s
0 5 10 15 20 25
-1,2
-0,8
-0,4
0,0
y[m
m]
x[mm]
Uos=0,06m/s
Uos=0,08m/s
Uos=0,1m/s
Uos=0,12m/s
Uws=0,09 m/s
VistaSuperior
VistaSuperior
VistaSuperiorVista
VistaSuperior
Ruptura EspacialPadrão Estratificado
VistaLateral
Superior
VistaLateral
Superior
VistaLateral
SuperiorVistaLateral
31
VistaLateral
Ruptura EspacialPadrão Estratificado
• Fenômeno Observado:
– Fora da região prevista como estável pela teoria da estabilidade linear;
• Indicativo de que é atribuído a efeitos não-lineares.
– Escoamentos inclinados:– Escoamentos inclinados:
• 0°, +5°, +10°, -5°, -10°.
• Transição espacial observada:
– SW-P;
– SW-SW&MI;
– SW&MI-G;
32
• Modelo de dois fluidos unidimensional
– Escoamento Isotérmico;
– Sem transferência de massa;
– Sem mudança de fase;
Modelagem Matemática
Duas equações de Conservação da Massa:
Uma equação da Conservação da Quantidade de Movimento Acoplada:
– Sem mudança de fase;
– Fluidos Incompressíveis.
34
Modelagem Matemática• Termos de Tensão Interfacial:
Interface Plana: Interface Curva:
35
Correlações retiradas de Rodriguez e Baldani (2012)
Modelagem Matemática
• Equação da onda interfacial
– Linearização das equações de Conservação;
– Estudo da Estabilidade Linear.Duas equações de Conservação da Massa:
36
Uma equação da Conservação da Quantidade de Movimento:
Estabilidade Hidrodinâmica Linear
• Análise da Estabilidade Linear
Temporal/Espacial:
– Equacionamento;
– Curvas de Estabilidade Neutra;– Curvas de Estabilidade Neutra;
• Velocidade da Onda de Wallis (1969);
• Velocidade da Onda Experimental;
– Comparação com Dados Experimentais;
– Critério de Transição de Velocidade de Onda
Experimental;
38
Teoria da Estabilidade Linear
• Estabilização, crescimento ou decrescimento
de perturbações infinitesimais;
– Utilização dos Modos normais;
– Aplica-se pequena perturbação à interface.– Aplica-se pequena perturbação à interface.
39
Teoria da Estabilidade Linear
• Análise Espacial:
– ki<0 – amplitude crescente – instável;
– ki>0 – amplitude decrescente – estável;
Em ambas as análises a parte de interesse é o
sinal da parte imaginária e sua mudança, – ki>0 – amplitude decrescente – estável;
– ki=0 – amplitude constante – estabilidade neutra.
40
sinal da parte imaginária e sua mudança,
positivo/negativo (espacial) ou
negativo/positivo (temporal) indica passagem
de um estado estável para instável.
1,6
1,8
Análise Espacial
Resolvendo para k!
Única Incógnita: velocidade da Onda!
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
( )( ) ( )0,482,49 1,56Frws osc e U U−= − + +
c/(U
ws+
Uos
)
Froude 41
Utilizando Velocidade da Onda de Wallis (1969)
2,00E-013
4,00E-013
6,00E-013
kIm
[1
/m]
42
0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200
-6,00E-013
-4,00E-013
-2,00E-013
0,00E+000
kIm
[1
/m]
Uws[m/s]
Uos=0,04m/s
Utilizando Velocidade da Onda Experimental
0
50
100
Im[1
/m] Uos=0,04 m/s
Ponto de Inversão de Sinal: Uws=0,16m/s
-30
-20
-10
0
10
kIm
[1
/m]
Dois pontos de Inversão de Sinal:Uws=0,08 e Uws=0,09m/s
Uos=0,5 m/s-40
-30
-20
-10
0
kIm
[1
/m] Uos=0,51 m/s
43
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30-150
-100
-50
k Im
Uws[m/s]0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225
-70
-60
-50
-40
kIm
[1
/m]
Uws[m/s]
0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225
-90
-80
-70
-60
-50kIm
[1
/m]
Uws [m/s]
Não há ponto de Inversão de Sinal:Escoamento sempre instável!!!
Comparação com Dados Experimentais
1
ST
Uw
s [
m/s
]
44
0,01 0,1 1
0,01
0,1
ST
SW
SW&MI
G
P
A
Do/w & W
Teoria Proposta
(interface curva)
Teoria Proposta
(interface plana)
Uw
s [
m/s
]
Uos [m/s]
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Ve
locid
ad
e d
e O
nd
a [
m/s
]
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
Vel
ocid
ade
de O
nda
[m/s
]
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
Velo
cid
ade d
e O
nda [
m/s
]
Critério de Transição Baseado na Teoria Espacial
Uos=0,04 m/s
Uos=0,5 m/s
Uos=0,51 m/s
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0,00
0,05
0,10
Ve
locid
ad
e d
e O
nd
a [
m/s
]
Uws [m/s]
Experimental
Teoria de Wallis (1969)
0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,80
0,85
0,90
Vel
ocid
ade
de O
nda
[m/s
]
Uws[m/s]
Experimental Teoria de Wallis (1969)
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,80
0,85
Velo
cid
ade d
e O
nda [
m/s
]
Uws [m/s]
Experimental
Teoria de Wallis (1969)
45
Ponto de Inversão em:Uws=0,16 m/s
Dois pontos de Inversão:Uws=0,08 m/s e 0,09 m/s
Não há ponto de Inversão: Escoamento sempre instável!!
Critério Viscoso!
Transição Espacial do Escoamento Estratificado
• A teoria linear delimita uma região estável;
• No entanto, se o escoamento estiver na região instável ela não faz distinção entre um escoamento com interface ondulada e escoamento com interface ondulada e dispersão e um escoamento que tenha transicionado a outro padrão de escoamento;
• Assim outra teoria para análise da transição no espaço do padrão estratificado se faz necessária.
46
Teoria Não-Linear
• Estudo da resposta do escoamento a
perturbações finitas na interface;
• Fora da região de estabilidade linear, efeitos
não-lineares podem sobrepor efeitos lineares,
causando:causando:
– Manutenção da Interface Ondulada;
– Ruptura a outro Padrão de Escoamento;
48
Método das Características
• Partindo das duas Equações de Conservação da Massa e da Equação da Quantidade de Movimento, aplicando o MOC, chega-se:
– Fase óleo é considerada como quasi-permanente;
– Excluindo termos de ordem superior;
– Considerando Interface Plana.
Para o caso de λ1
negativo
– Considerando Interface Plana.
49
Para o caso de λ1
positivo
Aplicação
Trem de ondas, caso bem posto, Trallero(1995), λ
1negativo. Uws=0,04m/s e
Uos=0,02m/s
Caso bem posto, Trallero (1995), λ1
positivo. Uws=0,11m/s e Uos=0,02m/s.
50
Caso bem posto, Trallero (1995), λ1
negativo. Uws=0,04m/s e Uos=0,02m/s.
Caso mal-posto Trallero (1995), λ1
e λ2
imaginários. Uws=0,1m/s e Uos=0,02m/s.
Inclusão do Termo de Derivada de 3ª Ordem
• Rodriguez e Bannwart (2006a e 2008):
– Termo de tensão interfacial é estabilizante;
• Inclusão deste termo por Brauner e Maron
(1992a).(1992a).
51
Caso originalmente mal-posto de Trallero(1995), agora bem-posto devido à inclusão do termo de terceira ordem e K=-5. Uws=0,12m/s
e Uos=0,02m/s. ([z]=cm; [t]=s;
[hw/D]=adimensional).
Caso mal-posto Trallero (1995), λ1
e λ2
imaginários. Uws=0,1m/s e Uos=0,02m/s.
Inclusão do Termo de Derivada de 1ª Ordem
• Rodriguez, Mudde e Oliemans, 2006:
– Termo desestabilizante;
52
Conclusões
• Foram observados 7 padrões de escoamento básicos:
– Estratificado Liso;– Estratificado Ondulado;– Estratificado com mistura na interface;– Gotas de óleo;– Intermitente;– Anular;– Anular;– Dispersão de óleo em água.
• O modelo de Trallero (1995) apresentou total discordância dos dados experimentais;
• Uma técnica objetiva baseada na PDF, PSD e desvio-padrão da queda de pressão bifásica para definição de padrões de escoamento foi apresentada, com boa concordância com os dados experimentais.
54
Parte Experimental
• Dados da onda interfacial do escoamento
estratificado líquido-líquido são apresentados:
– 4 inclinações (0°, +5°, +10°, -5°);
– Razão de aspecto é relacionada ao número de
Weber:Weber:
• Reduz conforme Weber aumenta.
– Velocidade de onda é relacionada ao número de
Froude:
• Aumenta com o aumento do número de Froude.
55
Parte Experimental
• Forma da onda interfacial se aproxima à da onda do mar na região de arrebentação;– Amplitude aumenta com aumento da velocidade
superficial de água para uma mesma velocidade superficial de óleo.
– Comprimento de onda diminui com aumento da velocidade superficial de óleo para uma velocidade de velocidade superficial de óleo para uma velocidade de água constante;
• Dados de ruptura espacial do padrão estratificado são apresentados:– Escoamentos na descendente dificultam fenômeno;
– Escoamentos na ascendente facilitam sua ocorrência;
– Explicação relacionada à densidade dos fluidos.
56
Parte Teórica
• A onda observada é hiperbólica e cinemática;
• Velocidades de fase e grupo da onda podem ser consideradas iguais;
• A utilização da teoria da estabilidade linear com uma análise espacial combinada aos dados experimentais apresentou uma fronteira de transição excelente;apresentou uma fronteira de transição excelente;
• O critério proposto é baseado na relação entre as velocidades de onda experimental e de Wallis (1969);
• A modelagem da curvatura da interface tem influência direta na fronteira de transição, melhorando-a;
• A teoria linear não explicaria o fenômeno de ruptura espacial do padrão estratificado;
57
Parte Teórica
• Uma abordagem baseada em uma teoria não-
linear faz-se necessária:
– Utilização do método das características;
– Inclusão dos termos de tensão interfacial é
importanteimportante
• Termo de terceira ordem é estabilizante;
• Termo de curvatura da interface é desestabilizante;
– Proposto por Rodriguez; Mudde e Oliemans (2006).
58
Trabalhos Futuros
• Validação do modelo proposto de
reconstrução da onda interfacial;
• Simulação da propagação de ondas reais
através do método das características e através do método das características e
comparação com dados experimentais.
59
Referências Bibliográficas• ALKAYA, B.; JAYAWARDERNA, S.S.; BRILL, J.P. Oil-water flow patterns in slightly inclined pipes. Energy for the New Millenium, v. 14, n. 17, p. 1-8, 2000.• AL-WAHAIBI, T.; ANGELI, P. Experimental studies on flow pattern transitions in horizontal oil-water flow. 6th International Conference on Multiphase Flow (ICMF 2007), Leipzig,
Germany, July 2007a.• AL-WAHAIBI, T.; ANGELI, P. Transition between stratified and non-stratified horizontal oil-water flows, Part I: Stability analysis. Chemical Engineering Science, v. 62, p. 2915-2928, 2007b.
doi: 10.1016/j.ces.2007.01.024• ANDRITSOS, N.; WILLIAMS, L.; HANRATTY, T.J. Effect of liquid viscosity on the stratified-slug transition in horizontal pipe flow. International Journal of Multiphase Flow, v. 15, n. 6, p. 877-
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61
Comprimento de Desenvolvimento
350
400
450
500
550
Perd
a d
e P
ressão [
Pa/m
]
Uws=0,66m/s
Uws=1,04m/s
Uws=0,52m/s550
600
650
700
750
800
850
900
950
Perd
a d
e P
ressão [
Pa/m
]
Uws=0,05m/s e Uos=0,04m/s
Uws=0,19m/s e Uos=0,04m/s
64
1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
150
200
250
300
Perd
a d
e P
ressão [
Pa/m
]
Tomadas de Pressão
Uws=0,52m/s
Monofásico (Água)
1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
200
250
300
350
400
450
500
Perd
a d
e P
ressão [
Pa/m
]
Tomadas de Pressão
Uws=0,19m/s e Uos=0,04m/s
Uws=0,04m/s e Uos=0,06m/s
Uws=0,04m/s e Uos=0,1m/s
Bifásico (Óleo-Água)
Uws
[m/s]
Uos
[m/s]Reynolds água Reynolds óleo
0,05 0,04 1804 6,5
0,19 0,04 5009 11,1
0,04 0,06 1629 8,9
0,04 0,1 1807 14
Técnica Objetiva Cartas de Fluxo
• Pereira (2011) dividiu os padrões observados
em:
– Estratificado Ondulado (SW)
– Estratificado com Mistura na Interface (SW&MI)– Estratificado com Mistura na Interface (SW&MI)
– Dispersão de óleo em água e fase contínua de
água (Do/w&w)
– Padrão Dual (dispersão de água em óleo e
dispersão de óleo em água) (Do/w&Dw/o)
66
Técnica Objetiva Cartas de Fluxo
3000
4000
5000
6000
7000
Pe
rda
de
Pre
ssã
o [
Pa
]
80
100
120
140
160
De
svio
Pa
drã
o
Uos=0.02m/s
Uos=0.05m/s
Inclinação [°]
Corte de Perda de
Pressão
(Uws [m/s])
Corte de Desvio
Padrão
(Uos [m/s])
67
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
0
1000
2000
3000
Pe
rda
de
Pre
ssã
o [
Pa
]
Uws [m/s]
Uos=0.02m/s
Uos=0.05m/s
Uos=0.1m/s
Uos=0.13m/s
Uos=0.2m/s
Uws=0,5 m/s foi considerado
corte de perda de pressão
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,220
40
60
80
De
svio
Pa
drã
o
Uws [m/s]
Uos=0.05m/s
Uos=0.1m/s
Uos=0.13m/s
Uos=0.2m/s
Uos=0,1 m/s foi considerado
corte de desvio padrão
0° 0,3 0,1
+10° 0,5 0,1
+20° 0,4 0,1
-10° 0,3 0,1
-20° 0,3 0,1
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