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Matemática atuarial

Anuidades Vitalícia (aula10)

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

Leonardo Henrique CostaLeonardo.costa@unifal-mg.edu.br

https://atuaria.github.io/portalhalley/

Anuidades

Anuidade é um produto atuarial ligado a previdência. Plano de previdência: A ideia é formar uma reserva financeira para lidar

com situações futuras.

Anuidade (renda sobre a vida) Sucessão de pagamentos equidistantes (1 ano), efetuados por uma dada

entidade a outrem, no caso, um segurado. Aposentadoria: pagamentos até o momento da morte

Cobertura: por período determinado.

A serie de Prêmios pagos pelo segurado, seja para financiar um seguro devida, seja para financiar a aposentadoria, também podem ser reconhecidoscomo anuidades.

O valor pago em cada período é chamado de termo .

Pagamentos Antecipados ( 4 pagamentos iguais (𝑏) ). Os pagamentos começam no primeiro período

Pagamentos Postecipados ( 4 pagamentos iguais (𝑏)). Os pagamentos começam no final de cada período

Anuidades

Pagamentos 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏Pagamentos

Relembrando: Soma finita de 𝑛∗ + 1 elementos de uma progressão geométrica, onde𝑟 ≠ 1:

Assim dado a progressão geométrica 1,3,9,27,81,243 , temos:

𝑆5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =1 − 35+1

1 − 3= 364

Anuidades

𝑆𝟑 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟𝟑

𝑆𝑛 =𝑎 1 − 𝑟𝑛+1

1 − 𝑟

Contagem começa em 𝑛 = 0

𝑋0 + 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5

* Uma progressão onde n indica a posição do elemento.

Anuidades vitalícia

Apenas termina com a morte da pessoa segurada.

Anuidades Temporária

Termina no fim do prazo estipulado ou com a morteda pessoa segurada.

Anuidades

São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir doprimeiro período, elas não têm período de carência.

É suposto que a reserva necessária ao primeiro pagamento nãoteve tempo para capitalizar.

É como se o contrato de “aposentadoria “ fosse feito no momentoem que a aposentadoria fosse começar. Não é uma prática usual, na prática o valor presente necessário ao primeiro

pagamento é menor que o benefício.

São interrompidos em caso de morte.

Anuidades imediatas

Anuidades imediatas

Pagamentos Antecipados Pagamentos Postecipados

Anuidades vitalícia Anuidades Temporária Anuidades vitalícia Anuidades Temporária

Apenas termina com a morte da pessoasegurada.

Termina no fim do prazo estipuladoou com a morte da pessoa segurada.

Os pagamentos começamno primeiro período.

Os pagamentos começamno final de cada período.

São aquelas anuidades onde os termos sãoexigíveis a partir do primeiro período. Não têmperíodo de carência.

São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir do primeiroperíodo, elas não têm período de carência.

Pagamentos Antecipados ( 4 pagamentos iguais a “b”)

Os pagamentos começam no primeiro período.

No momento do primeiro pagamento o valor presente necessário temque ser igual ao próprio benefício.

Anuidades imediatas

Pagamentos.

Valor presente necessário a cada pagamento.

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

𝒃

𝒃𝒗

𝒃𝒗𝟐

𝒃𝒗𝟑

𝐹0 = 𝒃1

1 + 𝑖

𝑡

São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir do primeiroperíodo, elas não têm período de carência.

Pagamentos Postecipados ( 4 pagamentos iguais a “b”) Os pagamentos começam no final de cada período

Diferente do antecipado a seguradora tem carência de um ano. É considerado que o valor presente necessário ao primeiro pagamento teve 1

ano de atualização, assim ele começa em 𝑏𝑣.

Anuidades imediatas

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 Pagamentos

Valor presente necessário a cada pagamento𝒃𝒗

𝒃𝒗𝟐

𝒃𝒗𝟑

𝐹0 = 𝑏1

1 + 𝑖

𝑡

𝒃𝒗𝟒

Pagamentos Antecipados (4 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) Os pagamentos começam no primeiro período.

Pagamentos Postecipados (4 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) Os pagamentos começam no final de cada período.

Anuidades imediatas

Pagamentos

Valor presente necessário a cada pagamento

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

𝑏 𝑏𝑣 𝑏𝑣2 𝑏𝑣3

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 Pagamentos

Valor presente necessário a cada pagamento𝑏𝑣 𝑏𝑣2 𝑏𝑣3

𝑭𝟎 = 𝒃𝟏

𝟏 + 𝒊

𝒕

𝑏𝑣4

Anuidades imediatas

A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝟒 pagamentos com 𝑏 = 1.será:

1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 =

𝑡=0

4−1

𝑣𝑡

A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝒏 pagamentos com 𝑏 = 1.será:

1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 =

𝑡=0

𝑛−1

𝑣𝑡 =1 − 𝑣 𝑛−1 +1

1 − 𝑣=𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗= 𝒂𝒏|

1) Os pagamentos começam no primeiro período.

Anuidades imediatas

A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 4 pagamentos com 𝑏 = 1.Será:

𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣4 =

𝑡=1

4

𝑣𝑡

A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 𝒏 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 com b =1. Será:

𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛 = 𝑣 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 = 𝑣

𝑡=0

𝑛−1

𝑣𝑡

𝑣 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 = 𝑣1 − 𝑣 𝑛−1 +1

1 − 𝑣= 𝒗

𝟏 − 𝒗𝒏

𝟏 − 𝒗= 𝒂𝒏|

2) Os pagamentos começam no final de cada .

Anuidades imediatas

A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝒏 pagamentos com 𝑏 = 1será:

𝒂𝒏| =1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣

A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 𝒏 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 com 𝑏 =1 será:

𝑎𝑛| = 𝑣1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣

1) Os pagamentos começam no primeiro período.

2) Os pagamentos começam no final de cada .

𝑎𝑛| − 𝑎𝑛−1| = 1

Pois :

1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣−𝑣 1 − 𝑣𝑛−1

1 − 𝑣= 1

Note que 𝑛 representa o maior valor inteiro contido no tempo futuro de vida. Trata-se de uma variável discreta.

Anuidade Postecipada

Anuidade Antecipada

Anuidades imediatas

Estamos trabalhando com o valor presente de uma série depagamentos.

Não existe, nos exemplos acima, o reconhecimento de uma variável comotendo “natureza” aleatória.

De fato, as anuidades apresentadas são anuidades certas. Uma série depagamentos sendo realizados ao longo do tempo.

Anuidades vitalícias imediatas

No processo de compra de um produto atuarial ou de concessãode benefício, existe risco.

A seguradora não sabe se vai receber todos os prêmios do segurado (estepode morrer antes do período de cobertura).

A seguradora não sabe ao certo quanto irá gastar com previdência uma vezque uma pessoa se aposentou e entrou em gozo de benefício.

Reconhecer a anuidade como um produto atuarial é reconhecerque: A seguradora (ou fundo de pensão) não saberá ao certo quanto que, o

valor de hoje, um segurado irá custar.

Anuidades vitalícias imediatas

O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoANTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata antecipada:

𝑎𝑥

O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoPOSTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata postecipada:

𝑎𝑥

Anuidades vitalícias imediatas

𝑇 é a variável aleatória associada ao tempo adicional de vida, edetermina a quantidade de pagamentos. No caso vitalício, em tese não se sabe o número de pagamentos.

O valor atuarial da anuidade pode ser calculada diretamente, combase nos valores das anuidades e na distribuição de 𝑇.

Anuidades vitalícias imediatas

Imagine que um segurado deseja comprar uma anuidade (antecipada)que paga 1 u.m. ao segurado até que ele faleça. Qual deverá ser o valor a ser pago(Prêmio Puro Único) pelo segurado por essa anuidade ( suponha o tempodiscreto)?

𝑎 𝑡| = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑡−1 =1 − 𝑣𝑡

1 − 𝑣

𝑎 𝑡| corresponde a reserva total que a “seguradora” deve ter no inicio dospagamentos para uma pessoa que viva por um período fixo 𝑡.

Assim para o caso de uma pessoa de idade 𝑥 viver somente 1 ano a reservaserá de:

𝑎 1| =1 − 𝑣0+1

1 − 𝑣= 1

Viver por 2 anos:

𝑎 2| =1 − 𝑣1+1

1 − 𝑣= 1 + 𝑣

Viver por 3 anos:

𝑎 3| =1 − 𝑣2+1

1 − 𝑣= 1 + 𝑣 + 𝑣2

...

Ao se considerar o tempo de vida 𝑇 como uma variável aleatóriatemos que para uma pessoa de idade 𝑥 a probabilidade dela vivero primeiro de pagamento:

𝑃 𝑇𝑥 = 0 = 0 𝑝𝑥𝑞𝑥

Viver por 2 anos:𝑃 𝑇𝑥 = 1 = 𝑝𝑥𝑞𝑥+1

Viver por 3 anos:𝑃 𝑇𝑥 = 2 = 2 𝑝𝑥𝑞𝑥+2

...

Anuidades vitalícias imediatas

Assim vemos que cada termo 𝑎𝑇+1| tem probabilidade associado

de 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡.

N° do Pagamentos

Tempo de vida adicional (anos)

Probabilidade do tempo de vida adicional.

𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 necessários.

1 𝑡 = 0 𝑃 𝑇𝑥 = 0 = 0 𝑝𝑥𝑞𝑥 𝑎 1| =

1 − 𝑣0+1

1 − 𝑣= 1

2 𝑡 = 1 𝑃 𝑇𝑥 = 1 = 𝑝𝑥𝑞𝑥+1 𝑎 2| =

1 − 𝑣1+1

1 − 𝑣= 1 + 𝑣

3 𝑡 = 2 𝑃 𝑇𝑥 = 2 = 2 𝑝𝑥𝑞𝑥+2 𝑎 3| =

1 − 𝑣2+1

1 − 𝑣= 1 + 𝑣 + 𝑣2

… … ... ...

𝑛 = 𝑡 + 1 𝑡 𝑃 𝑇𝑥 = 𝑡 = 𝑡 𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 𝑎𝑛| = 𝑎𝑡+1| =

1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣

Anuidades imediatas

Então para o caso do VPA pago por uma anuidade imediatavitalícia antecipada, para uma pessoa de idade 𝑥, será:

𝑎𝑥 =

𝑡=0

∞

𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=0

∞1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

Aula 11 - Anuidades

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

Leonardo Henrique CostaLeonardo.costa@unifal-mg.edu.br

https://atuaria.github.io/portalhalley

Exemplo 1

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 1

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.

𝑎40 = 𝐸 𝑎𝑇+1| =

𝑡=0

∞

𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 = 𝑎 1| 0𝑝40𝑞40 + 𝑎 2| 𝑝40𝑞41 + 𝑎 3| 2𝑝40𝑞42 +⋯

𝑎40 =1 − 𝑣1

1 − 𝑣 0𝑝40𝑞40 +1 − 𝑣2

1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +

1 − 𝑣3

1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +⋯

𝑎40 = 17,67𝑢.𝑚.

Exemplo 1Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que

paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.

AnuidAnt1<-function(i,idade,b){

f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- c(1, cumprod( px[(idade+1):idademaxima]) )t <- (0:(length(pxx)-1))a <- (1-f.desconto^(t+1))/(1-f.desconto)ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+1):(idademaxima+1)])return(ax)}

Anuidades vitalícias imediatas

Outra alternativa para o calculo do V.P.A. será dado por:

𝑎𝑥 = 0𝐸𝑥 + 1𝐸𝑥 + 2𝐸𝑥 + 3𝐸𝑥+. . .

Como vimos que 𝑛𝐸𝑥 = 𝑣𝑛 𝑛𝑝𝑥, então:

𝑎𝑥 = 𝐸 𝑎𝑇+1| =

𝑡=0

∞

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=0

∞

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 2

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.

𝑎40 =

𝑡=0

∞

𝑡𝐸40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯

𝑎40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ = 17,67𝑢.𝑚.

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 2Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que

paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.

AnuiAnt2<-function(i,idade,b){

f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- c(1, cumprod(px[(idade+1):idademaxima]) )t <- (0:(length(pxx)-1))bx <- b*sum(f.desconto^(t)*pxx)return(bx)}

Anuidades vitalícias imediatas

17,67𝑢.𝑚. 17,67𝑢.𝑚.

Então para o caso do VPA pago por uma anuidade imediata vitalíciapostecipado, para uma pessoa de idade 𝑥, será:

𝑎𝑥 = 𝐸 𝑎𝑇| =

𝑡=1

∞

𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=1

∞𝑣 1 − 𝑣𝑡

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que

paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.

𝑎40 =

𝑡=1

∞

𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 = 𝑎 1| 𝑝40𝑞41 + 𝑎 2| 2 𝑝40𝑞42 + 𝑎 3| 3𝑝40𝑞43 +⋯

𝑎40 =𝑣 1 − 𝑣1

1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +

𝑣 1 − 𝑣2

1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +𝑣 1 − 𝑣3

1 − 𝑣 3𝑝40𝑞43 +⋯

𝑎40 = 16,67u.m.

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que paga 1 u.m. com

pagamento Postecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa dejuros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidadecom pagamento imediato.

AnuidPost1<-function(i,idade,b){

f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- cumprod( px[(idade+1):idademaxima])

## pxx <- c(1, cumprod( px[(idade+1):idademaxima]))t <- (1:(length(pxx)))## t <- (0:(length(pxx)-1))a <- f.desconto *(1-f.desconto^t)/(1-f.desconto)## a <- (1-f.desconto^(t+1))/(1-f.desconto)ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+2):(idademaxima+1)])

## ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+1):(idademaxima+1)])return(ax)

}

Anuidades vitalícias imediatas

Para o caso do VPA pago por uma anuidade imediata vitalíciaPostecipada:

𝑎𝑥 = 𝑣 𝑝𝑥 + 𝑣2 2𝑝𝑥 + 𝑣3 3𝑝𝑥+. . .

Então:

𝑎𝑥 =

𝑡=1

∞

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=1

∞

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥

Anuidades imediatas-Vitalícia

Exemplo 4

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábuade mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a.,calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para compraressa anuidade com pagamento imediato.

𝑎40 =

𝑡=1

∞

𝑡𝐸40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯

𝑎40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ = 16,67𝑢.𝑚.

Anuidades vitalícias imediatas

Exemplo 4

Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que paga 1u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento imediato.

AnuiPost2<-function(i,idade,b){

f.desconto <- 1/(1+i)

px <- 1-qx

pxx <- cumprod(px[(idade+1):idademaxima])

## pxx <- c(1, cumprod(px[(idade+1):idademaxima]) )

t <- (1:(length(pxx)))

## t <- (0:(length(pxx)-1))

bx <- b*sum(f.desconto^(t)*pxx)

return(bx)

}

Anuidades vitalícias imediatas

16,67𝑢.𝑚.16,67𝑢.𝑚.

Então, para o caso discreto, o V.P.A. será dado por:

Anuidade Antecipada ( Variável aleatória discreta)

𝑎𝑥 =

𝑡=0

∞

𝒕𝑬𝒙 =

𝑡=0

∞

𝒗𝒕 𝒕𝒑𝒙 =

𝑡=0

∞

𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=0

∞1 − 𝑣𝑡+1

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidade Postecipada ( Variável aleatória discreta)

𝑎𝑥 =

𝑡=1

∞

𝑡𝐸𝑥 =

𝑡=1

∞

𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =

𝑡=1

∞

𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =

𝑡=1

∞

𝑣1 − 𝑣𝑡

1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡

Anuidades vitalícias imediatas

𝜔 − 𝑥 − 1

𝜔 − 𝑥

𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 + 1

Anuidades vitalícias imediatas

Valor atuarial de uma anuidade vitalícia

antecipada.

Valor atuarial de uma anuidade vitalícia

Postecipada.