aplicaciÓn de ecuaciones diferenciales de primer orden.pptx
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APLICACIÓN DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES DEPRIMER ORDEN
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Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o
fenómeno de la vida real en términos matemáticos. Dicho sistema puedeser físico, sociológico, químico, eléctrico, etc.
Pasos a seguir para la formulación de un modelo matemático de un
sistema
!e debe identificar las variables causantes del cambio del sistema.
Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el
comien"o.
!e establece un con#unto de hipótesis ra"onables acerca del sistema
que tratamos de describir. $sas hipótesis también inclu%en todas lasle%es empíricas aplicables al sistema.
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VIDA MEDIA$n física, el periodo medio es una medida de la estabilidad de
una sustancia radiactiva. $s simplemente, el tiempo que
transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los
átomos en una muestra inicial A0, % que se conviertan enátomos de otro elemento. &ientras ma%or sea su semivida,
más estable es una sustancia.
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EJEMPLO 1: VIDA MEDIA CARBONO
Consideremos una muestra de material que
contenga '(t) átomos de cierto isotopo
radiactivo en el momento t. !e puede
observar que una fracción constante de esosátomos radiactivos decae espontáneamente
(transformándose en átomos de otro elemento
o en otro isotopo del mismo) durante cada
unidad de tiempo. Por consiguiente la
muestra se comporta tal como una población
con tasa de mortalidad constante % en la que
no ocurren nacimientos.
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SOLUCIÓN:Para obtener un modelo de '(t), plantearemos la ecuación diferencial
!abemos que su solución es N(t) = N0 , donde No =N(0), el número de átomos
radiactivos presentes en la muestra cuando t * +.
$l valor de la constante de decaimiento depende del isotopo particular que se
esta mane#ando. !i es grande, el isotopo decae con rapide", mientras que si
está pró-imo a cero, el isotopo decae con lentitud % puede constituir un factor
relativamente persistente sobre su ambiente. !uele especificarse la constante de
decaimiento en términos de otro parámetro, la vida media del isotopo, dado queeste parámetro es más conveniente. a vida media / de un isotopo radiactivo es el
tiempo requerido para que decaiga la mitad de la masa.
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Para encontrar la relación entre % tenemos que
a vida media del carbono radiactivo C01 es de alrededor de23++ a4os.
Una muestra de car!n enc"ntrad" en St"ne#en$e resu%t!tener e% &'( de C1) de una muestra c"ntem*"r+nea,
-Cu+% es %a edad de %a muestra.
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5n reactor autorregenerador convierte el uranio 678
relativamente estable en el isótopo reactivo, plutonio
679. Después de 02 a4os se determina que sedesintegró +,+17 : de la cantidad inicial de
plutonio.
Ca%cu%e %a /da meda de este s!t"*" s %a ra*dede desnte$rac!n es *r"*"rc"na% a %a cantdad*resente,
EJEMPLO 2: VIDA MEDIA PLU3ONIO
A0
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!i ;(t) es la cantidad de plutonio presente en el momento t,
entonces la ecuación diferencial que describe el fenómeno es
;plicando la cantidad inicial
Donde
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SOLUCIÓN:
!i el +.+17: de los átomos de ;+ se ha desintegrado, entonces aún queda el
99,923: de la sustancia. Para hallar la declinación < empleamos lo siguiente
$ntonces despe#amos , % tenemos
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!e calcula la vida media
Despe#amos t, que será
igual a
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LE4 DE EN5RIAMIEN3O
DE NE63ON!egún la e% de enfriamiento de 'e=ton la rapide" con que se enfría un ob#eto
es proporcional a la diferencia entre su temperatura % el medio que lo rodea.
a formulación matemática de la le% empírica de 'e=ton, relativa alenfriamiento de un ob#eto, se e-presa con la ecuación diferencial lineal de
primer orden
$n el que es una constante de proporcionalidad, >(r) es la temperatura del
ob#eto cuando t ? + % es la temperatura ambiente@ o sea, la temperatura del
medio que rodea al ob#eto, lo cual consideramos una constante.tm
tm
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!i servimos una ta"a de café a una a
una temperatura a 92Ac % al minuto
está a 82Ac , % suponiendo que la
habitación está a 6+Ac. -Cu+nd"*"drem"s t"mar e% ca78 s %a
tem*eratura d!nea *arac"nsumr%" es de &9c.
EJEMPLO 1: 3EMPERA3URA DEL CA5E
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Bbtenemos la solución de la ecuación diferencial, que es de variables separables
calculando
Donde < es una constante proveniente de la integración. mponiendo ahora que
%(+)*92, calculamos la contante resolviendo la ecuación.
Con lo que c*32, por otra parte como al minuto de haber servido el café la
temperatura de este había ba#ado hasta los 82Ac tenemos que
$sto nos permite obtener el valor de la constante < que sería igual a
*log(0702). a función es
Define entonces la evolución de la temperatura de la ta"a de café con el tiempo.
Para averiguar el momento en el cual la temperatura de dicha ta"a es de E2Ac
resolvemos la ecuación
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SOLUCIÓN:
Res*uesta: a temperatura idónea para tomar el café se logra
apro-imadamente después de tres minutos % medio de fue servido el café.
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!upongamos una ma4ana de domingo caluroso,
que en una tienda mientras las personas están
traba#ando el aire acondicionado mantiene la
temperatura de la tienda a 6+Ac. ; medio día seapaga el aire acondicionado % la gente se va a
sus casas, la temperatura e-terior permanece
constante a 72Ac. S %a c"nstante de tem*" de%ed7c" es de ) #"ras -Cu+% ser+ %a
tem*eratura de% ed7c" a %as 2 de %a tarde.-En ;u8 m"ment" %a tem*eratura en e%nter"r ser+ de 2<c.
EJEMPLO 2: 3EMPERA3URA DE LA 3IENDA
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SOLUCIÓN:Planteamos la siguiente ecuación diferencial que nos permitirá responder
la primera pregunta -Cu+% ser+ %a tem*eratura de% ed7c" a %as 2 de %a
tarde.
Dado que, #unto con la condición inicial que dice que >(+)*6+ que se
corresponde con la temperatura al medio día la solución será
Con la condición inicial es posible obtener C % esta nos proporciona la
solución
$s decir que a las 6 de la tarde la temperatura será de
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Para darle respuesta a la segunda pregunta que nos plantea el
problema -En ;u8 m"ment" %a tem*eratura en e% nter"r ser+ de2<c.=
tenemos que en el momento en el que t0 en que la temperatura será de63Ac la obtendremos al resolver la ecuación
$sta nos proporciona la respuesta haciendo el respectivo despe#e de t0
quedando así de la siguiente manera.
Res*uesta: ;pro-imadamente a las dos horas % media.
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$cuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado. Dennis F Gill. &athematics >homson. Eta
edición. e% de enfriamiento de 'e=ton pagina 32 %
vida media pagina 31.
$cuaciones diferenciales. 5niversidad 'acional
!antiago del $stero. icenciados barra $lsa,
!anguedolce Hocefa, 'avarro !ilvia. e% de
enfriamiento pagina 27 % vida media pagina 2E.
BIBLIO>RA5IA:
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