aplicaciones de la diferencial 2 -...
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APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE
Se dice que una función y=f(x) es diferenciable en un punto si su
incremento puede escribirse de la forma
y es tal que no depende de los incrementos y
cuando .
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η
0),( →∆xxη 0→∆x
)(xg x∆
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Ejemplo: Determinar si la función es diferenciable.
Calculemos el incremento
si hacemos se tiene
que donde no depende de y cuando por lo tanto, podemos decir
que la función y = f (x) es diferenciable.
)(xg
xxxf 3)( 2 +=
)(3)()()( 2 xxxxxfxxff ∆++∆+=−∆+=∆xxxxxxxxxxxxf ∆+∆+∆=+−∆++∆+∆+=∆ 32)3(332 2222
xxxxxg ∆=∆+= ),(,)32()( η
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η
xxxxf ∆∆+∆+=∆ )()32(
0),( →∆=∆ xxxη 0→∆x
f∆
x∆
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( ηSe tiene entonces que si y=f(x) es diferenciable, su incremento se puede expresar como , pero surge la pregunta ¿quién o qué es g(x)?Para responder la pregunta, dividamos entre , de este modo se tiene que
tomando el límite de cuando se tiene
de donde se tiene que por lo tanto
),()(),()(
xxxgx
xxxxxgxf
∆+=∆
∆∆+∆=
∆∆
ηη
f∆ x∆
xf
∆∆ 0→∆x
0)(),(lim)(lim),()(
lim000
+=∆+=∆
∆∆+∆=
∆∆
→∆→∆→∆xgxxxg
xxxxxxg
xf
xxxη
η
)()(' xgxf =
xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Se tiene entonces que el incremento de una función diferenciable y = f(x) se puede escribir como
al primer término se le llama diferencial de f y se representa por y al segundo términose le conoce como término no lineal .Ahora si consideramos a la función identidad f(x)=x , se tiene que f’(x)=1 por lo que , pero como y = f (x) = x se tiene que por lo que podemos reescribir a la diferencial de f como
xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η
xxf ∆)('xxfxfd ∆= )(')( xxx ∆∆ ),(η
xxfd ∆=)(xxd ∆=
xdxfxfd )(')( = )(')( xfdx
xfd =→
Diferencial de f término no líneal
Interpretación geométrica.
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
)('tan xfdxdy ==α
xxxdxxff ∆∆+=∆ ),()(' η
xxxdff ∆∆+=∆ ),(η
xxxdff ∆∆=−∆ ),(η
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Puesto que la diferencial de la función y = f (x) es una nueva función de x podemos volver a diferenciarla es decir:
Sea al diferenciar nuevamente la función se tiene
puesto que que se deriva respecto a x , dx se considera constante, por lo tanto la segunda diferencial de la función estádada por
xdxfxfd )(')( =
( )dxxdxfdxdxfdd )('))(( =
( ) dxxdxfdxdxfdd )('))(( =
22 )()('')( xdxfxfd =
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
33 )()(''')( xdxfxfd =
al continuar repitiendo el proceso se obtendrán las diferenciales sucesivas
44 )()()( xdxfxfd IV=55 )()()( xdxfxfd V=
nnn xdxfxfd )()()( =
M
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
¿ Qué pasa con el término no lineal del incremento?
¿Para qué sirven las diferenciales sucesivas?
¿La diferencial sólo sirve para calcular el valor aproximado del y cosas así?
xxx ∆∆ ),(η
CONTINUEMOS
o46cos
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Supongamos que una función f (x), la podemos representar por
entonces al derivarla sucesivamente n veces obtenemos
...)()().()()()()( 66
55
44
33
2210 +−+−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxcaxccxf
...)(6).(5)(4)(3)(2)(' 56
45
34
2321 +−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxccxf
...)()5(6).()4(5)()3(4)()2(32)('' 46
35
2432 +−+−+−+−+= axcaxcaxcaxccxf
...)()4)(5(6).()3)(4(5)()2)(3(4)2(3)(''' 36
2543 +−+−+−+= axcaxcaxccxf
...)()3(2)!3(
).(2
)!2()()!1(!)( 3
32
21 +−+
+−+
+−++= +++ axcn
axcn
axcncnxf nnnnn
M
APLICACIONES DE LA DIFERENCIALax =
1)(' caf = 22 !22)('' ccaf == 33 !3)2(3)(''' ccaf == nn cnaf !)( =
!2)(''
2af
c =!3
)('''3
afc =
!)(
naf
cn
n =
∑∞
=
−=0
)(!
)()(
n
nn
axn
afxf
...)(!
)(...)(!3
)(''')(!2
)´́ ())((')()( 32 +−++−+−+−+= nn
axn
afaxafaxafaxafafxf
0)( caf =
)(0 afc = )('1 afc =
Al valuar a la función y sus derivadas sucesivas en se obtiene:
, , , ,
de donde los valores de las constantes son
, , , ,
finalmente se tiene que
expresión que al representarla por medio del símbolo de sumatoria queda
SERIE DE TAYLOR
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
ahora, de acuerdo a la figura
y como ;
por lo que ∑∞
=
=0 !
))(()(
n
nn
ndxaf
xf
L++++== ∑∞
= 6))(('''
2))((''
)(')(!
)()(
32
0
dxafdxafdxafaf
nafd
xfn
n
xax ∆=−dxx =∆ xdax =−
si recordando que la diferencial n-esima está dada por , al valuarla en se obtiene ,
y sustituyendola se llega a
nnn dxxfxfd ))(()( = ax = nnn dxafafd ))(()( =
f
expresión mediante la cual es posible representar una función f por una suma infinita de sus diferenciales sucesivas en un punto .ax =
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Taylor1.ggb Taylor2.ggb
L+++=−6
))(('''2
))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf
L+++=∆6
))(('''2
))(('')(')(32 dxafdxafdxafxf
L++++=6
))(('''2
))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf
Diferencial de f término no líneal
!))((
6))(('''
2))(('')(')()()(
32
ndxafdxafdxafdxafafxPxf
nn
+++++=≈ L
Si se consideran sólo los n primeros términos, se obtendrá un polinomio P(x) de grado n llamado Polinomio de Taylor que es una aproximación de f (x)
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
∑∞
=
=0
00
!),(
),(n
n
nyxfd
yxf
Consideremos la función z = f( x, y), la diferencial total de f está dada
por y del mismo modo que una función y=g(x)
tiene una segunda diferencial, f(x,y) también la tiene siendo esta
y al sustituir en la expresión
obtenemos
22
222
2
22 )(2)(),( dy
yfdxdy
yxfdx
xfyxfd
∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
dyyf
dxxf
yxfd∂∂
+∂∂
=),(
L+
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+
+
∂∂
+∂∂
+=
2
),(2
2
),(
22
),(2
2
),(),(00
)(2)(21
),(),(
000000
0000
dyy
fdxdy
yxf
dxx
f
dyyf
dxxf
yxfyxf
yxyxyx
yxyx
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
2
),(2
2
),(
22
),(2
2
),(),(00
)(21
)(21
),(),(
000000
0000
dyy
fdxdy
yxf
dxx
f
dyyf
dxxf
yxfyxf
yxyxyx
yxyx
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+
+∂∂
+∂∂
+≈
Si consideramos los tres primeros términos, obtendremos una
aproximación de la función f(x,y) alrededor del punto dada
por
que corresponde a una expresión de la forma
),( 00 yx
22 CyBxyAxEyDxFz +++++=
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
FEyDxCyBxyAxz +++++= 22
la expresión anterior corresponde a una superficie cuadrática cuya forma depende del signo del término donde24 BAC −=∆
0),(
0
2
2
22
2
2
2
2
>∂
∂
>
∂∂
∂−∂∂
∂∂=∆
xyxf
yxf
yf
xf
0),(
0
2
2
22
2
2
2
2
<∂
∂
>
∂∂
∂−∂∂
∂∂=∆
xyxf
yxf
yf
xf
022
2
2
2
2
<
∂∂
∂−∂∂
∂∂=∆
yxf
yf
xf
aprox 2da deriv 1.mws
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Sea la función donde , calcular la
las derivadas parciales y
Para calcular las derivadas parciales indicadas, sería necesario despejar de la expresión la variable z , labor que en la mayoría de los casos es muy complicada y más difícil que la obtención de la misma derivada.
Por ejemplo: si tratamos de despejar la variable z de la
expresión , podremos hacer muchos intentos
sin lograrlo. Por tal razón es muy conveniente establecer un método de derivación que no requiera de despejar a z .
0),,( =zyxF ),( yxfz =
xz
∂∂
yz
∂∂
0),,( =zyxF
02 =− zyexz
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Consideremos la función donde
al diferenciar ambas expresiones obtenemos de la primera
y de la segunda
al sustituir dz en dF se tiene
factorizando dx y dy
para garantizar que la expresión anterior se cumple para todo valor de las variables x , y , se tiene que dx=dy=0 , pero esta condición no es factible ya que si se cumpliera, resultaría que las variables x, y serían constantes, por lo tanto la condición será
0),,( =zyxF ),( yxfz =
0=∂∂+
∂∂+
∂∂= dz
zFdy
yFdx
xFdF dy
yzdx
xzdz
∂∂+
∂∂=
0=
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂= dy
yzdx
xz
zFdy
yFdx
xFdF
0=
∂∂
∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
= dyyz
zF
yF
dxxz
zF
xF
dF
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
0=∂∂
∂∂
+∂∂
xz
zF
xF
0=∂∂
∂∂+
∂∂
yz
zF
yF
xz
∂∂
yz
∂∂
zFxF
xz
∂∂∂∂
−=∂∂
zFyF
yz
∂∂∂∂
−=∂∂
de donde al despejar las derivadas y se tiene que
así, si haciendo se obtiene que
¡¡no fue tan difícil!!
02 =− zyexz 02 =−= zyexzF
zyzy yez
yez
zFxF
xz 22
=−
−=
∂∂∂∂
−=∂∂
yz
yeze
zFyF
yz
zy
zy −=−−−=
∂∂∂∂
−=∂∂
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DERIVADA DE SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
En geometría analítica del espacio, se establece que una curva tiene por ecuaciones
expresión que representa un sistema de funciones implícitas. Como sabemos una curva puede representarse mediante sus ecuaciones paramétricas de la forma
==
0),,(0),,(
:zyxGzyxF
C
===
)()()(
:tgztfythx
C
Si definimos a la variable x como el parámetro t de la curva obtenemos
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
==
=
)()(:
xgzxfy
txC
donde para analizar la curva C se requiere calcular las derivadas
de las funciones ; , pero como ya se comentó, el problema de obtener las ecuaciones paramétricas de C puede ser más complicado que la misma obtención de las derivadas requeridas. Por lo tanto conviene establecer la forma de calcular las derivadas de y = f (x) y z = g (x) a partir de el sistema de funciones implícitas
)(xfy = )(xgz =
==
0),,(0),,(
zyxGzyxF
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Sea el sistema de funciones implícitas F(x,y,z)=0 y G(x,y,z)=0 donde y=y(x) y z = z(x) al diferenciar las funciones se obtiene
; ; ;
Sustituyendo dy y dz en dF y dG
0=∂∂+
∂∂+
∂∂= dz
zFdy
yFdx
xFdF 0=
∂∂+
∂∂+
∂∂= dz
zGdy
yGdx
xGdG dx
dxdy
dy = dxdxdz
dz =
0=
∂∂
+
∂∂
+∂∂
= dxdxdz
zF
dxdxdy
yF
dxxF
dF
0=
∂∂
+
∂∂
+∂∂
= dxdxdz
zG
dxdxdy
yG
dxxG
dG
factorizando dx
;
0=
∂∂
+∂∂
+∂∂
= dxdxdz
zF
dxdy
yF
xF
dF 0=
∂∂
+∂∂
+∂∂
= dxdxdz
zG
dxdy
yG
xG
dG
como y para que las ecuaciones se cumplan para toda x0≠dx
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
dxdz
zF
dxdy
yF
xF
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
dxdz
zG
dxdy
yG
xG
xF
dxdz
zF
dxdy
yF
∂∂
−=∂∂
+∂∂
xG
dxdz
zG
dxdy
yG
∂∂
−=∂∂
+∂∂
reorganizando las expresiones se llega al sistema lineal
2222121
1212111
bxaxabxaxa
=+=+
de la forma
donde los coeficientes son ; ; ;
, , ,
yFa
∂∂=11 z
Fa∂∂=12 y
Ga∂∂=21 z
Ga∂∂=22
las incógnitas son ; dxdy
x =1 dxdz
x =2
y los términos independientes ;
,
xFb
∂∂−=1 x
Gb∂∂−=2
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Al aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema se llega a
zyGF
J
zxGFJ
zG
yG
zF
yF
zG
xG
zF
xF
zG
yG
zF
yF
zG
xG
zF
xF
dxdy
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂
−
=
zyGFJ
xyGFJ
zG
yG
zF
yF
xG
yG
xF
yF
zG
yG
zF
yF
xG
yG
xF
yF
dxdz
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂−
=
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Ejemplo:De un tronco de diámetro D , se desea obtener una viga que tenga una sección rectangular de área máxima, ¿cuáles deben ser las medidas de la sección de la viga?
Resolución:Por un lado, el área de la sección de la viga está dada por y del teorema de Pitágoras se tiene que
xyA =222 Dyx =+
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Definamos a ydonde y
0),,( =−= AxyAyxF 0),,( 222 =−+= DyxAyxG)(xAA = )(xyy =
El punto crítico de se obtiene cuando , así, de la derivada
de sistemas de funciones implícitas se tiene que
0=dxdA
0==
yAGF
J
yxGF
J
dxdA
0=yxGF
J 0≠yAGF
J
xyxyxyyx
xy
yG
xG
yF
xF
yxGFJ =⇒=⇒=−==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= 2222 02222
por lo tanto siempre y cuando
Sustituyendo en se tiene que por lo finalmente
222 Dyx =+ 222 Dx =
;
2Dx =
2Dy =
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