aplicativos ondulatÓria carlos wanderson moura
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INSTITUTO FEDERAL DO MARANHÃO-IFMA
MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA-MNPEF
APLICATIVOS ONDULATÓRIA
CARLOS WANDERSON MOURA
SÃO LUÍS-MA 2020
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INSTITUTO FEDERAL DO MARANHÃO-IFMA MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA-MNPEF
APLICATIVOS ONDULATÓRIA
CARLOS WANDERSON MOURA
Produto Educacional associado à Dissertação de
Mestrado apresentada ao Programa de Pós-
Graduação do Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia do Maranhão no Curso de
Mestrado Profissional em Ensino de Física
(MNPEF), como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Mestre em Ensino de Física.
SÃO LUÍS-MA 2020
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Lista de ilustrações
Figura 1: Página oficial do gnuplot ................................................................................. 3 Figura 2: Pasta gnuplot para windows............................................................................. 4 Figura 3: Ambiente de trabalho do gnuplot ..................................................................... 4 Figura 4: Gráfico de uma função do segundo grau ......................................................... 6 Figura 5: Comandos usados para gerar e configurar a figura 4 ....................................... 7
Figura 6: Tela gráfica mostrando os atributos disponíveis no gnuplot ........................... 8 Figura 7: Gráfico de superfície ........................................................................................ 9 Figura 8:Pasta com os aplicativos do gnuplot e do PowerPoint ................................... 11 Figura 9: Tela principal dos aplicativos ........................................................................ 12 Figura 10: Painel de interação pulso de ondas .............................................................. 13
Figura 11: Aplicativo pulso de ondas ............................................................................ 14 Figura 12: Exemplo de alterações no painel ................................................................. 14 Figura 13: Alterações no painel de interação ................................................................ 15
Figura 14: Painel de interação ondas senoidais ............................................................. 16 Figura 15: Instantâneo do aplicativo ondas senoidais ................................................... 17 Figura 16: Princípio da superposição na formação de ondas estacionárias................... 18
Figura 17: Painel de interação do aplicativo reflexão de pulos ..................................... 19 Figura 18: Instantâneo aplicativo reflexão de pulsos .................................................... 19 Figura 19: Instantâneo com pulsos já refletidos ............................................................ 20
Figura 20:Instantâneo com alterações no painel de interação ....................................... 21 Figura 21: Painel de interação do aplicativo ondas estacionárias ................................. 22
Figura 22: Configuração para o modo harmônico 4 com extremidade fixa .................. 23 Figura 23: Instantâneo de região ventral numa corda com extremidade fixa................ 24
Figura 24: Instantâneo para a frequência fundamental.................................................. 25 Figura 25:Instantâneo de configuração para seis regiões ventrais ................................ 25
Lista de tabelas Tabela 1: Lista de funções matemáticas pré-definidas no gnuplot .................................. 5
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Sumário INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1
GNUPLOT E DOWNLOAD DO MATERIAL ............................................................... 3 Página para download do gnuplot ................................................................................ 3
ALGUMAS ATIVIDADES COM O GNUPLOT ........................................................ 5 COMANDOS E FUNÇÕES BÁSICAS NO GNUPLOT ............................................ 5 PLOTANDO GRÁFICOS SIMPLES .......................................................................... 5
PLOTANDO UMA SUPERFÍCIE .............................................................................. 8 TRABALHANDO COM SCRIPTS ............................................................................. 9
DOWNLOAD DOS APLICATIVOS ............................................................................ 11 APRESENTAÇÃO DOS APLICATIVOS .................................................................... 12
Aplicativo Pulso de ondas ........................................................................................ 12
Aplicativo Ondas Senoidais ..................................................................................... 15
Aplicativo Reflexão de Pulsos .................................................................................. 18 Aplicativo Ondas Estacionárias .............................................................................. 21
PLANO DE ATIVIDADE 1: ......................................................................................... 26 PLANO DE ATIVIDADE 2: ......................................................................................... 29 PLANO DE ATIVIDADE 3: ......................................................................................... 32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 34
APÊNDICE A - CÓDIGO-FONTE PARA ANÁLISE DA REFLEXÃO DE PULSOS 35 APÊNDICE B - CÓDIGO-FONTE DO PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA
PULSOS DE ONDAS .................................................................................................... 37 APÊNDICE C - CÓDIGO-FONTE PARA O FENÔMENO ONDULATÓRIO ........... 39 APÊNDICE D - CÓDIGO-FONTE DA FORMAÇÃO DE ONDAS
ESTACIONÁRIAS ........................................................................................................ 43
INTRODUÇÃO
Este trabalho objetiva a melhoria na qualidade do ensino e aprendizagem da
disciplina de Física e tem como foco principal a Educação Básica, mas seu conteúdo pode
ser usado em outros níveis de Educação fazendo-se os ajustes ao nível desejado. Dentre
as grandes dificuldades no ensino, uma das maiores é justamente o ensino de Física na
educação básica e portanto a maior parte é dedicada ao ensino médio.
Em sua obra, Informática para o Ensino de Física, Aguiar (2009, p.9) entende que
uma das maiores dificuldades do ensino de Ciências, em particular a Física, é o forte
caráter matemático associado às disciplinas da área. Assim, a disciplina de Física, no
ensino médio em suas três séries, é uma das detentoras da forte resistência, por alunos no
que se refere ao ensino e à aprendizagem. Um problema que se pode verificar é o caráter
empírico da disciplina no sentido de como ela realmente é construída. Aulas se tornam
enfadonhas e alunos e professores acabam se desmotivando em um trabalho que à
princípio deve ser uma construção conjunta. Para os PCN+ (Parâmetros curriculares
Nacionais):
Para que todo o processo de conhecimento possa fazer sentido para os jovens,
é imprescindível que ele seja instaurado por meio de um diálogo constante
entre alunos e professores, mediado pelo conhecimento. E isso somente será
possível se estiverem sendo considerados objetos, coisas e fenômenos que
façam parte do universo vivencial do aluno, seja próximo, como carros,
lâmpadas ou televisões, seja parte de seu imaginário, como viagens espaciais,
naves, estrelas ou o Universo. Assim, devem ser contempladas sempre
estratégias que contribuam para esse diálogo. (BRASIL,2000, p.83)
São muitos os casos onde as aulas são excessivamente teóricas. É necessário
mudar um pouco as mesmas de maneira a introduzir, de maneira sistemática, a Física dos
experimentos, adentrar nos simuladores virtuais, buscar as TICs no dia a dia dessas aulas,
e mostrar o papel fundamental de experimentos e de programas computacionais na
previsão de acontecimentos e fenômenos.
A introdução da modelagem computacional, mesmo que inicialmente, para
estudantes de ensino médio se torna fundamental no despertar do interesse do aluno para
2
a disciplina. A possibilidade da construção de gráficos de funções diversas, elaborar o
movimento retilíneo uniforme, sistemas massa-mola ou mesmo ondas superpostas,
usando o seu smartphone ou computador se torna uma ferramenta fundamental e
poderosa.
Parte grande da resistência, pelo estudante, tem alguns motivos. Um deles é o fato
de que diversas situações explicadas são representadas em um quadro e parecem ser
estáticas, isto é, sem movimento, sem animação. A resolução de problemas e exercícios,
por sua vez, exige muitas vezes situações de movimento e forte visualização. Aliás, a
própria forma de explicar um conteúdo pode exigir a visualização do que está
acontecendo. Sendo assim, foca-se no produto educacional dois fatores importantes: a
visualização de situações em Física nas quais é necessário um forte aparato visual para
que os estudantes entendam com maior facilidade aquilo que se quer ensinar e a interação
do estudante com o produto.
Os computadores, através de seus programas, e suas diversas formas de
apresentação de mídia e também da própria construção das mesmas, passam a ter forte
importância no ambiente educacional.
Nesse sentido é necessário frisar que:
[...]dentre as várias formas em que o computador vem sendo (sub)utilizado nas
práticas de ensino, a modelagem computacional seja a que melhor permita a
interação dos estudantes com o processo de construção e análise do
conhecimento científico, permitindo que compreendam melhor os modelos
físicos e discutam o contexto de validade dos mesmos. (ARAUJO;VEIT;
MOREIRA, 2004)
Assim, trabalharemos com Gnuplot que é um programa no qual os próprios
estudantes, se bem orientados, podem montar suas próprias situações (Físicas,
matemáticas) e a partir daí fazer as modificações de parâmetros que desejarem. No
sentido de modificar apenas parâmetros, existe na rede, o PHET, o MODELUS, no
entanto eles não estão disponíveis para a construção em si. Aprende-se muito mais quando
se constrói. Foram construídos alguns aplicativos. Esses aplicativos visam à melhoria de
se ensinar Física buscando-se inovar a maneira de como essa disciplina vem sendo
ministrada. Essa inovação não é de qualquer forma: ela perpassa o caminho da interação
aluno/produto educacional e isso deve ser fator fundamental no resultado esperado.
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GNUPLOT E DOWNLOAD DO MATERIAL
Página para download do gnuplot
A página oficial do gnuplot é http://www.gnuplot.info/. A versão mais atual do
gnuplot pode ser encontrada diretamente no link:
https://sourceforge.net/projects/gnuplot/files/gnuplot/5.2.8/ .
O Gnuplot é um utilitário gráfico portátil, baseado em linha de comando, para
Linux, OS/2, MS Windows, OSX, VMS e muitas outras plataformas. O código fonte é
protegido por direitos autorais, mas distribuído gratuitamente. Nesse link são encontrados
os instaladores e especificações para o tipo de computador e sistema operacional. Faça o
download do instalador adequado e execute-o. A instalação será feita. É interessante
deixar o ícone do GNUPLOT como um atalho no desktop do computador.
A figura a seguir mostra a página oficial do gnuplot
Figura 1: Página oficial do gnuplot
Fonte: Página oficial do gnuplot
A figura 2 exibe a pasta do aplicativo gnuplot no menu Iniciar do Windows após a sua
instalação.
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Figura 2: Pasta gnuplot para windows
Fonte: O autor, 2019
Para abrir o aplicativo gnuplot, basta clicar sobre o executável gnuplot 5.2
(versão) que se encontra na pasta gnuplot. Ao fazer isso, o aplicativo inicia com a abertura
da janela denominada ambiente de trabalho (ou terminal) do gnuplot. Nesse ambiente de
trabalho, o usuário interage com a inserção de comandos adequados na chamada "linha
de comando", indicada pelo prompt de entrada "gnuplot>" e pressionando a tecla <Enter>
para ativá-los. A figura 3 exibe a janela ambiente de trabalho do gnuplot na plataforma
do Windows.
Figura 3: Ambiente de trabalho do gnuplot
Fonte: O autor, 2019
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ALGUMAS ATIVIDADES COM O GNUPLOT
COMANDOS E FUNÇÕES BÁSICAS NO GNUPLOT
Em geral o gnuplot trabalha com a sintaxe de comandos de linguagem de
programação. Isso significa que aquilo que se pede no terminal deverá ser escrito em
termos de comandos prévios. Um exemplo simples é o comando print que tem a função
de imprimir na tela o resultado de operações como soma, substração, multiplicação,
divisão, etc. Sua sintaxe é simples, tipo: print "expressão numérica". Para situações
práticas, listamos algumas funções simples pré-definidas no programa que podem ser
trabalhadas com as respectivas sintaxes, isto é, com as formas que estas funções devem
ser escritas no ambiente de trabalho do gnuplot.
Tabela 1: Lista de funções matemáticas pré-definidas no gnuplot
FUNÇÃO OPERAÇÃO SINTAXE
sqrt raiz quadrada sqrt(x)
sin seno de um ângulo sin(x)
cos cosseno de um ângulo cos(x)
tan tangente de um ângulo tan(x)
exp exponencial exp(x)
abs valor absoluto abs(x)
Fonte: O autor, 2019
PLOTANDO GRÁFICOS SIMPLES
Gnuplot é uma ferramenta poderosa para criação de gráficos e superfícies. Alguns
exemplos bastante simples de gráficos e seus respectivos comandos são dados abaixo.
Na figura 4, temos a representação gráfica de uma função do segundo grau cuja
sintaxe de definição no terminal do gnuplot pode ser:
g(x) = x*x + x - 5 ou g(x) = x**2 + x - 5
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Figura 4: Gráfico de uma função do segundo grau
Fonte: O autor, 2019
Para configurar o gráfico anterior, isto é, nomear a figura, colocar uma grade,
deixar uma escala adequada ou mesmo nomear os eixos, da forma que quisermos,
precisamos trabalhar com os comandos de configuração. Esses comandos são ativados
através do comando set. Assim, por exemplo, para atribuirmos um título ao gráfico da
figura 4, usamos a instrução: set title "título da figura"; se a intenção é
definir um nome para o eixo x, a instrução é: set xlabel "EIXO X". Veja que o
comando set é um comando de definição (ou de alteração) de configuração. Sempre que
quisermos atribuir uma característica àquela figura teremos que especificá-la antes de
plotar o gráfico. Para gerar o gráfico acima, utilizamos a sintaxe de uso geral para o
comando plot com dois atributos:
plot g(x) with lines lc 15
Isso significa: plot g(x) com linhas na cor 15 (vermelha).
Ainda com relação à configuração da figura 4, apresentamos todos os comandos
e suas respectivas sintaxes que foram utilizadas no terminal do gnuplot.
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Figura 5: Comandos usados para gerar e configurar a figura 4
Fonte: O autor, 2019
Um comando que fornece informações sobre os diferentes atributos disponíveis
para formatação dos gráficos gerados é o comando test. Ativando esse comando no
terminal do gnuplot, você terá como resultado uma nova janela que apresenta os
diferentes formatos de pontos e de linhas, cores e espessuras que podem ser utilizados na
formatação dos traçados dos gráficos.
Além desses atributos de plotagem dos gráficos, existem também informações
sobre posicionamento de rótulos, estilo de fontes, formas e superfície de objetos. A figura
6, apresenta a tela gráfica como resultado do comando test em ação, após ser ativado
no terminal do gnuplot.
Para maiores informações sobre o uso dos diferentes atributos de plotagem dos
gráficos, recomendamos a referência que acompanha o programa e que se encontra na
pasta de instalação do gnuplot de nome "gnuplot Documentation" ou a referência de
Maurício Galo (GALO, 2017) como um excelente material introdutório.
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Figura 6: Tela gráfica mostrando os atributos disponíveis no gnuplot
Fonte: O autor, 2019
PLOTANDO UMA SUPERFÍCIE
Da mesma forma que se pode construir gráficos simples no gnuplot também é
possível plotar gráficos mais complexos. Uma superfície, por exemplo, pode ser gerada
facilmente interagindo com o terminal do gnuplot. No entanto, temos que usar o comando
splot com características de sintaxe muito semelhante a do comando plot, com a
diferença que este comando splot se refere à plotagem de superfícies e curvas no
espaço. Um exemplo bastante simples de uso do comando splot, pode ser obtido com
a definição da função g(x,y)=x**2+y**2, e a visualização da superfície com a
ativação da instrução splot f(x,y) no terminal do gnuplot.
Na figura seguinte temos o gráfico dessa superfície gerada pela instrução acima.
É importante perceber que se pode personalizar o gráfico de maneira semelhante ao que
é feito para o comando plot, isto é, nomear os eixos, alterar o intervalo das escalas,
definir títulos dos gráficos, posicionar rótulos dos traçados, exibir grade.
Com relação às opções de formato de representação, tipos de entidades pontuais,
de cores, larguras, etc, não há diferença alguma dos atributos usados no comando plot.
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Figura 7: Gráfico de superfície
Fonte: O autor, 2019
TRABALHANDO COM SCRIPTS
Existem algumas maneiras de se interagir com o gnuplot. Três são citadas por (GALO,
2017) e são:
1- A interação por meio de comandos no ambiente de trabalho. Isso ocorre na
maior parte das linguagens de programação numérica: Matlab, Maple, Scilab, etc.
2 - Interação por meio de arquivos - script, que são programas escritos na
linguagem do gnuplot, os quais podem, posteriormente, ser carregados e executados por
meio do comando load. O carregamento no terminal do gnuplot, é feito através da
sintaxe de ativação: load "nome do arquivo-script".
3 - E, por último, existe a possibilidade de interação com outros programas de
programação computacional. Nesse caso, a interação com o gnuplot não ocorre
diretamente com o usuário porque o último programa desempenha o papel de criar e
executar arquivos-script do gnuplot.
Para interagir com o gnuplot por meio de arquivos-scripts é preciso que todos os
comandos armazenados no arquivo sejam válidos no ambiente do gnuplot. Assim, um
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arquivo-script do gnuplot é um programa que guarda instruções válidas que geraria um
determinado gráfico. Estes arquivos podem ser criados em qualquer editor de texto puro
como o Gedit no caso do Linux, ou o Bloco de Notas do Windows. Para o carregamento
e execução do arquivo-script no gnuplot, usamos o comando load. Vale salientar que o
arquivo-script deve ser salvo no diretório corrente do gnuplot.
Quando criados em plataformas do Windows, é importante destacar que os script
podem ser salvos na extensão *.plt, que o torna em um arquivo executável do
aplicativo gnuplot podendo ser utilizado em qualquer diretório do sistema operacional do
Windows. Nessa extensão, um clique duplo no script executável é o suficiente para sua
execução.
O texto de um pequeno script é dado abaixo. O script produz o gráfico de uma
função do primeiro grau. Se o arquivo for salvo com extensão *.plt, será produzido um
arquivo identificado como sendo lido pelo gnuplot.
________________________________________________________________
reset
set xrange[-2:10]
set xlabel "Eixo - x"
set ylabel "Eixo - y"
set grid
set title "Função Linear
f(x) = 2*x + 5
plot f(x) linecolor rgb "red" linewidth
________________________________________________________________
Em ambientes de ensino, arquivos-script como este podem ser utilizado
facilmente em atividades do tipo exploratória ou de construção, uma vez que, para a sua
preparação um conhecimento básico sobre noções de programação é o suficiente.
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DOWNLOAD DOS APLICATIVOS
Este produto educacional, desenvolvido no Polo 63 do MNPEF DEFIS/IFMA-Monte
Castelo, trata-se de um módulo didático constituído por quatro aplicativos
computacionais que pode ser utilizado como material instrucional potencialmente
significativo no processo de ensino e aprendizagem de Física. O download desse material
encontra-se zipado no link "Aplicativos do Gnuplot" localizado na página do programa
do MNPEF do polo 63 (está em construção!).
Faça a extração dos arquivos para uma pasta no desktop.
São 5 arquivos: quatro arquivos-scripts do gnuplot salvos no formato *plt e um arquivo
do PowerPoint que servirá de interface dos aplicativos do gnuplot.
À medida que um aplicativo é aberto através do arquivo slide do PowerPoint será criado
um outro arquivo (de prefixo Inic_ para cada aplicativo) dentro da pasta, de modo que
teremos um total de 8 (oito) arquivos do gnuplot nessa pasta, após a ativação de todos os
aplicativos. A figura abaixo exibe essa pasta no desktop com todos esses arquivos do
gnuplot e com o arquivo do PowerPoint.
Figura 8:Pasta com os aplicativos do gnuplot e do PowerPoint
Fonte: O autor, 2019
Esses aplicativos tem por objetivo facilitar a construção do conhecimento por
meio da visualização do fenômeno físico com o auxílio de uma interface simples e
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interativa, podendo ser utilizado por professores e alunos do ensino médio. O tema de
Física escolhido é o de Ondas, de modo que os quatros aplicativos visam ajudar de
maneira significativa nas conceituações matemáticas e na visualização de fenômenos
associados a ondas.
APRESENTAÇÃO DOS APLICATIVOS
Com um clique duplo sobre o arquivo Slide do PowerPoint, abre-se o painel
principal. O mesmo apresenta-se como na figura abaixo:
Figura 9: Tela principal dos aplicativos
Fonte: O autor, 2019
Aplicativo Pulso de ondas
A tela principal é bastante intuitiva. Nela, localizam-se quatro botões de comando.
Esses botões de comando são os que abrem cada um dos aplicativos. O primeiro
aplicativo, pulso de ondas, é aberto com um clique único. A imagem seguinte mostra o
painel de interação para esse aplicativo.
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Figura 10: Painel de interação pulso de ondas
Fonte: O autor, 2019
As seguintes informações são dadas no painel de interação:
O sentido de propagação da onda é dado pelo tipo de função F(x-vt) ou G(x+vt)
Amplitudes dos pulsos de onda;
Velocidades dos pulsos de onda;
Tipos de pulso:
a. Gaussiano;
b. Retangular ;
c. Triangular;
Pulso invertido;
Iniciar simulação.
Clicando-se no botão Iniciar Simulação no painel de interação do aplicativo, temos como
resultado uma janela do aplicativo gnuplot com a simulação de dois pulsos progressivos
que se interferem de forma construtiva ou destrutiva, dependendo das características dos
pulsos individuais. A região de interferência entre os pulsos depende da velocidade de
propagação dos mesmos. A figura abaixo mostra um instantâneo da simulação de dois
pulsos progressivos do tipo gaussiano que se interferem de forma construtiva.
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Figura 11: Aplicativo pulso de ondas
Fonte: O autor, 2019
Diversas alterações podem ser feitas pelos estudantes no painel de interação. A figura a
seguir mostra as seguintes modificações e sua visualização:
Figura 12: Exemplo de alterações no painel
Fonte: O autor, 2019
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Alterações para pulsos 1 e 2, respectivamente
Amplitude: sem mudança;
Velocidades 15 m/s e 10 m/s;
Tipo de pulso: triangular e invertido; Gaussiano e sem inversão;
Figura 13: Alterações no painel de interação
Fonte: O autor, 2019
Esse aplicativo conta com algumas teclas de atalho dinâmicas. Essas teclas podem ser
acionadas à medida que a animação avança. As teclas são:
p - para pausar;
g - para mostrar a grade;
r - para inverter o primeiro pulso;
i - para inverter o segundo pulso;
a - para avançar os pulsos na sua propagação;
v - para voltar os pulsos de sua propagação.
Aplicativo Ondas Senoidais
Esse aplicativo exemplifica o fenômeno de superposição de ondas: interferência
construtiva e destrutiva. Tem forte poder de visualização e mostra-se de fácil interação.
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Para abrirmos esse aplicativo, basta um simples clique sobre o botão de comando
"Aplicativo - Ondas Senoidais" no slide do PowerPoint. A interação usuário-aplicativo
inicia-se com a inserção de parâmetros na tela (ou painel) de interação do aplicativo,
representada pela figura abaixo.
Figura 14: Painel de interação ondas senoidais
Fonte: O autor, 2019
As seguintes informações são dadas no painel de interação:
Comprimento de onda
Frequência
Deslocamento máximo
Constante de fase
Propagação da onda
a. Mesmo sentido
b. Sentidos opostos
Clicando-se no botão Iniciar Simulação desse aplicativo Ondas Senoidais, temos como
resultado uma tela do gnuplot que exibe a propagação de duas ondas e o efeito resultante
de acordo com o princípio de superposição de ondas. A figura seguinte mostra um
instantâneo da simulação, com algumas informações sobre os parâmetros de entrada
fornecidos no painel de interação:
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Figura 15: Instantâneo do aplicativo ondas senoidais
Fonte: O autor, 2019
Na figura acima, podemos observar também outras informações sobre o tópico,
tais como: o número de onda angular k, a frequência angular w e a velocidade de
propagação de cada uma das ondas. Na animação encontram-se ainda pontos na onda que
apenas oscilam para cima e para baixo, separados por uma distância igual ao comprimento
de onda da onda que se propaga na cor vermelha e na cor verde. Abaixo, percebe-se a
onda resultante, na cor azul.
O usuário pode testar diferentes valores para parâmetros de entradas disponíveis
no painel de interação do aplicativo, de modo a visualizar diferentes comportamentos:
ondas resultantes do tipo progressivas ou do tipo estacionárias.
Para evitar a ocorrência de entradas de parâmetros inadequados, tipo comprimento
de onda e/ou frequência assumindo valores nulo ou negativo, foi pensado a construção de
caixas de mensagens de erros com sugestões de valores para as grandezas físicas.
Facilitando, assim, a interação do usuário com os aplicativos no intuito de melhorar o
processo de ensino e aprendizagem.
A figura 16, obtida com novos valores para os parâmetros de entrada, exibe o
princípio de superposição na formação de ondas do tipo estacionária.
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Figura 16: Princípio da superposição na formação de ondas estacionárias
Fonte: O autor, 2019
Assim como o aplicativo Pulsos de Ondas, o aplicativo Ondas Senoidais também conta
com teclas de atalho, a saber:
f - para mudar a visualização do efeito resultante;
g - para mostrar a grade;
p - para pausar.
Aplicativo Reflexão de Pulsos
Esse aplicativo apresenta dois pulsos de ondas progressivos e objetiva mostrar um
fenômeno que não é tão intuitivo, isto é, a reflexão de um pulso ou um conjunto de pulsos
(uma onda) quando se encontra um obstáculo. A experiência mostra que existe uma
dependência da forma de como o meio está acoplado na extremidade considerada. Assim,
esse aplicativo simula o fenômeno da reflexão de pulsos de ondas em cordas com
extremidades do tipo livre e também do tipo fixa: o pulso de onda 1 se propaga ao longo
de uma corda de extremidade livre; já o pulso 2 propaga-se numa corda cuja extremidade
é fixa.
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O movimento é do tipo bidimensional. A tela de interação apresenta-se como na
figura seguinte:
Figura 17: Painel de interação do aplicativo reflexão de pulos
Fonte: O autor, 2019
Os parâmetros que aparecem são:
Amplitude;
Velocidade;
Tipo de pulso: Invertido
A figura a seguir mostra um instantâneo da configuração dada pela figura 17:
Figura 18: Instantâneo aplicativo reflexão de pulsos
Fonte: O autor, 2019
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A figura abaixo mostra um instantâneo do aplicativo com os pulsos após a reflexão. Nesse
caso cabe observar que o pulso com extremidade fixa sofre inversão de fase enquanto o
pulso onde a extremidade é livre o pulso não sofre tal inversão:
Figura 19: Instantâneo com pulsos já refletidos
Fonte: O autor, 2019
Nesse aplicativo temos algumas teclas de atalho dinâmicas que permitem que o
usuário análise situações diferentes durante a visualização dos fenômenos. As teclas de
atalho, são:
r - para inverter o pulso na corda de extremidade livre;
i - para inverter o pulso na corda de extremidade fixa;
g - para mostra uma grade;
p - para pausar a simulação.
Mais algumas alterações que podem ser adotadas no painel de interação do aplicativo
"Reflexão de Pulsos" para os pulsos 1 e 2, respectivamente:
Amplitude: A1 = 2 cm; A2 = 1 cm
Velocidade: V1 = 15 m/s; V2 = 10 m/s
Pulso 1 - Extremidade Livre: Pulso Invertido
Pulso 2 - Extremidade Fixa: Pulso Não-Invertido (Direito)
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Na reflexão de um pulso cuja corda tem extremidade livre o pulso não muda sua
fase ao encontrar a mesma. Portanto, se o mesmo se propaga com amplitude para cima
ele retornará com amplitude para cima. Se caso essa amplitude propagar-se inicialmente
para baixo, após a reflexão esse pulso também retornará com amplitude para baixo. No
caso do pulso que se propaga numa corda cuja extremidade é fixa o pulso se propagando
inicialmente com amplitude para cima, após a reflexão terá inversão de fase, isto é, o
pulso terá amplitude para baixo. A figura seguinte mostra um instantâneo da simulação
dos pulsos de ondas em conformidade com os parâmetros exemplificados acima no painel
de interação do aplicativo Reflexão de Pulsos:
Figura 20:Instantâneo com alterações no painel de interação
Fonte: O autor, 2019
Aplicativo Ondas Estacionárias
O aplicativo ondas estacionárias é um dos aplicativos que pode ser explorado com
bastante intensidade. O aplicativo mostra o que pode acontecer quando pulsos são
confinados em uma corda onde uma das extremidades pode ser livre ou fixa. Com a
reflexão dos pulsos começa-se a perceber alguns padrões. Esse padrões ocorrem por meio
de interferências destrutivas e construtivas.
O aplicativo mostra, em geral, como se pode obter esses padrões e quais são os
fatores (parâmetros) que os determinam. Os parâmetros em questão são mostrados no
painel de interação. Para otimizar os efeitos dos mesmos, alguns atalhos via teclado foram
22
criados. Os mesmos são interessantes de serem usados porque durante a animação o
estudante pode fazer a modificação e ver o que acontece a medida em que interage com
o produto educacional. A lista de atalhos será dada mais adiante.
A figura a seguir mostra o painel de interação do aplicativo ondas estacionárias
na sua configuração inicial:
Figura 21: Painel de interação do aplicativo ondas estacionárias
Fonte: O autor, 2019
Nesse aplicativo os seguintes parâmetros estão disponíveis:
Tração;
Densidade linear de massa;
Modo harmônico (deve ser um número inteiro);
Extremidade: fixa ou livre.
Veja a figura seguinte a qual mostra um instantâneo da animação na configuração dada
pela figura 21:
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Figura 22: Configuração para o modo harmônico 4 com extremidade fixa
Fonte: O autor, 2019
O padrão de onda estacionária observado na figura acima corresponde ao modo
de padrão harmônico igual a 4, ou 4º harmônico vibracional. É fácil perceber que existem
regiões de interferência máxima, conhecido como ventres, e regiões (ou pontos) onde
ocorrem interferência destrutiva máxima, os quais são chamados de nós. A experiência
mostra que a formação dos chamados padrões harmônicos só ocorrem quando a
frequência fn é um múltiplo inteiro da frequência do chamado modo harmônico
fundamental, f1. Ou seja, padrões de ondas estacionárias só ocorrem quando a frequência
é dada por fn = n*f1.
Nesse aplicativo podemos alterar a velocidade de propagação da onda, no meio,
alterando-se a densidade, a tração ou os dois simultaneamente. Isso porque a velocidade,
nesse caso, obedece à relação matemática: 𝑣 = √𝜏
µ , onde 𝜏 representa a tração na corda
e µ a densidade linear de massa da corda.
Como exemplo façamos as seguintes alterações:
Tração = 25 N;
Densidade linear de massa = 0,01kg/m;
Modo harmônico = 4
24
Extremidade = fixa
A partir desses dados teremos a velocidade de 50 m/s e a frequência de 10 Hz.
Isso significa que teremos a formação de 4 regiões ventrais como na figura seguinte:
Figura 23: Instantâneo de região ventral numa corda com extremidade fixa
Fonte: O autor, 2019
Observe que se pode encontrar qual a frequência fundamental de oscilação da
onda na corda apenas dividindo-se a frequência mostrada na animação pelo número de
regiões ventrais, nesse caso 4. Assim sendo o estudante apenas precisa clicar algumas
vezes na tecla de atalho d para diminuir a frequência ou a para aumentá-la e ir observando
o padrão de figura formada. Se reduzirmos a frequência para 2,5Hz observaremos a
formação de uma região ventral. Se quisermos observar duas regiões ventrais devemos
ter uma frequência de 5 Hz.
A figura abaixo mostra um instantâneo da simulação para o chamado padrão
harmônico fundamental, caracterizado por uma frequência f1 = 2,5 Hz.
25
Figura 24: Instantâneo para a frequência fundamental
Fonte: O autor, 2019
Para ficar mais claro, a figura abaixo apresenta um padrão de onda estacionária
com a formação de seis ventres, de frequência igual ao sêxtuplo da frequência
fundamental, isto é, fn = 15 Hz.
Figura 25:Instantâneo de configuração para seis regiões ventrais
Fonte: O autor, 2019
26
PLANO DE ATIVIDADE 1:
CONTEÚDO: Pulsos de Ondas: Fenômenos de Interferência e de Reflexão.
OBJETIVOS:
Definir ondas e pulsos de ondas progressivos;
Caracterizar ondas e pulsos de ondas longitudinais e transversais;
Discutir os fenômenos de interferência para pulsos de ondas;
Discutir o fenômeno de reflexão para pulsos de ondas;
MATERIAIS DIDÁTICOS:
Data Show;
Computador;
Aplicativos:
- Pulsos de Ondas
- Reflexão de Pulsos
Livro didático
Lousa e pincel
Com o auxílio do aplicativo Pulsos de Ondas pode-se exemplificar pulsos de ondas
progressivos, analisar o conceito de velocidade de propagação, discutir os fenômenos de
interferência construtiva e destrutiva para pulsos de ondas, observar os efeitos resultantes
na região de interferência dos pulsos de ondas para diferentes geometrias de pulsos, e
com o aplicativo Reflexão de Pulsos é possível de discutir e exemplificar as características
do fenômeno de reflexão em pulsos de ondas.
É importante que os alunos tenham contato com os aplicativos para que possam
através da interação aluno-aplicativo aprimorar seus conhecimentos acerca desses
tópicos. É interessante também que, em algum momento da aplicação, o professor deixe
os alunos a vontade com os aplicativos para que eles venham analisar situações que
gostariam de visualizar: o confrontamento das hipóteses, muitas das vezes fundamentadas
em concepções prévias não científicas, com os resultados observados a partir da
simulação, enriquece e fundamenta a construção do conhecimento. Esses aplicativos têm
esse objetivo de facilitar essa construção de conhecimento e de melhorar o processo de
ensino-aprendizagem com um ambiente mais participativo por parte dos alunos.
27
Sugestões de Atividades e Questões de Verificação de Aprendizagem
01 – Propomos uma atividade dividindo a turma em pelo menos dois grupos. A tarefa de
cada grupo seria:
a) Apresentar figuras estáticas e dinâmicas (gifs), vídeos, objetos (violão, cuba com
água, tambor, corda elástica) para exemplificar pulsos de ondas, ondas e suas
características;
b) Criar um texto procurando descrever todo o processo de produção, propagação e
suas principais características;
02 – Propomos uma atividade complementar, tipo revisão conceitual com atividades
básicas demonstrativas. Sugere-se realizar atividades com mola slink ou espiral de
encadernação, ou ainda, cordas.
a) apresentando classificação quando às direções de vibração e propagação das
ondas a partir da produção de ondas longitudinais e transversais;
b) apresentando os conceitos de comprimento de onda de uma onda, frequência de
oscilação, período, e velocidade de propagação.
03 – Propomos atividades de pesquisa na internet sobre aplicativos computacionais sobre
a temática ondulatória para apresentar juntamente com os aplicativos desse trabalho.
Sugere-se os aplicativos e as atividades exploratórias do site
https://phet.colorado.edu/pt/simulations/category/physics/sound-and-waves .
04 – Questão: Explique o que é uma onda? Cite exemplos de ondas.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_________________________________________________
05 – Questão: Qual a diferença entre ondas longitudinais e transversais? Cite exemplos
de ondas transversais e longitudinais.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_________________________________________________
28
06 – Questão: Marque a alternativa que apresenta os nomes corretos dos conceitos
descritos abaixo.
1. Tipo de onda que precisa de um meio de propagação;
2. Onda que se propaga em duas dimensões;
3. Onda que possui a direção de propagação perpendicular à vibração.
a) Ondas eletromagnéticas, ondas unidimensionais, ondas transversais.
b) Ondas eletromagnéticas, ondas bidimensionais, ondas transversais.
c) Ondas mecânicas, ondas bidimensionais, ondas longitudinais.
d) Ondas eletromagnéticas, ondas tridimensionais, ondas longitudinais.
e) Ondas mecânicas, ondas bidimensionais, ondas transversais.
07 – Questão: É correto afirmar sobre ondas mecânicas:
a) transportam massa e energia;
b) transportam massa e quantidade de movimento;
c) transportam matéria;
d) transportam energia e quantidade de movimento;
e) NDA
08 – Questão: Marque a alternativa correta a respeito do fenômeno da interferência.
a) O fenômeno da interferência só ocorre com ondas unidimensionais.
b) Na interferência construtiva, as ondas encontram-se com fases invertidas.
c) Na interferência destrutiva, as ondas encontram-se com fases iguais.
d) Quando duas ondas de mesma amplitude sofrem interferência destrutiva, ocorre
aniquilação.
e) Quando duas ondas com amplitudes diferentes sofrem interferência construtiva, as
amplitudes são somadas, e a onda resultante mantém o sentido de propagação da onda
que possuía maior amplitude.
09 – Questão: Considere dois pulsos de ondas idênticos propagando-se ao longo de uma
mesma corda em sentidos opostos: pulso 1 da esquerda para a direita e pulso 2 da direita
para esquerda. Represente esses pulsos (I) antes da interferência, (II) durante a
interferência, e (III) após a interferência, nos seguintes casos:
a) pulso 1 e pulso 2 com fase não invertida;
29
b) pulso 1 com fase direita (não invertida) e pulso 2 com fase invertida;
c) pulso 1 e pulso 2 com fase invertida;
Use o aplicativo para verificar suas respostas.
10 – Questão: Dois pulsos de amplitudes iguais a “A”, propagam-se na mesma corda, em
sentidos contrários, um de encontro ao outro. Nesse caso, com base no Princípio da
Superposição de Ondas, pode-se afirmar corretamente que, no momento que os pulsos
estiverem sobrepostos, o valor da amplitude resultante será:
a) 0,0A b) 0,5A c) 1,0A d) 2,0A
Use o aplicativo Pulso de Ondas para verificar sua resposta.
11 – Questão: Em uma corda esticada é enviado um pulso. Sabe-se que a extremidade da
corda está presa (fixa). Considerando que não há percas de energia durante toda a
observação, descreva o que acontece depois da reflexão do pulso.
PLANO DE ATIVIDADE 2:
CONTEÚDO: Ondas Harmônicas – Princípio de Superposição de Ondas
OBJETIVOS:
Definir ondas harmônicas progressivas;
Definir os parâmetros número de onda κ, frequência angular ω, constante
de fase φ e amplitude de ym;
Discutir alguns casos importantes de superposição de ondas;
Caracterizar ondas estacionárias.
MATERIAIS DIDÁTICOS:
Data Show;
Computador;
Aplicativo – Ondas Senoidais;
Livro didático;
Lousa e pincel
Com o auxílio do aplicativo Ondas Senoidais pode-se exemplificar ondas
progressivas para direita e para a esquerda, apresentar os conceitos de comprimento de
onda, período e velocidade de propagação de ondas, analisar os fenômenos de
interferência construtiva e destrutiva para ondas, observando os efeitos resultantes
30
segundo o princípio de superposição de ondas, e apresentar situações nas quais há
formação de ondas estacionárias.
É importante a participação dos alunos em todos os momentos, nas definições, nas
caracterizações, e nos resultados obtidos. A construção do conhecimento deve ser
conjunta. É interessante também que o professor, no papel de mediador, construa um
ambiente de investigação, com os alunos interagindo com os aplicativos.
Verificação de Aprendizagem
Questão 01 – Qual é a frequência de uma onda que se propaga em um líquido, com
velocidade de 10 cm/s, sabendo-se que o seu comprimento de onda é 2,0 cm?
Questão 02 – Um objeto flutuando na água é atingido por 60 pulsos de uma onda a cada
30 s. Determine:
a) a sua frequência em Hz;
b) o seu período em segundos.
Questão 03 – Calcule o comprimento de onda de uma onda cuja frequência é 60 Hz e se
propaga com velocidade de 3,0 m/s?
Questão 04 – Que distância, em termos de comprimentos de onda, uma onda percorre
durante um período?
Questão 05 – Uma onda periódica se propaga em um certo meio com uma velocidade de
0,20 m/s. Sabendo que um ponto dessa onda oscila com uma frequência de 2 Hz.
Determine:
a) o comprimento de onda e o período;
b) a frequência angular e o número de onda;
31
Questão 06 – Atividade Exploratória com o aplicativo Ondas Senoidais
I - Explore o aplicativo Ondas Senoidais com os seguintes valores para a onda 1:
comprimento de onda = 10 cm, frequência = 2 Hz, amplitude = 4 cm, fase = 0, e compare
com os resultados encontrados na questão 04.
II - Repetindo os mesmos valores citados acima para a onda 2, propagando no mesmo
sentido. Determine:
a) o comprimento de onda da onda resultante;
b) a amplitude, o período e a frequência da onda resultante;
c) a onda resultante é progressiva ou estacionária?
d) alterando o sentido de propagação, para sentidos contrários, a onda resultante é
progressiva ou estacionária?
Questão 07 – Atividade Exploratória com o aplicativo Ondas Senoidais
I - Explore o aplicativo Ondas Senoidais, para analisar os efeitos de interferência
construtiva e destrutiva sobre ondas com mesmo comprimento de onda, mesma
amplitude, mesma frequência, propagando-se nos seguintes casos:
a) no mesmo sentido, com diferença de fase igual a: 0, 90, 180, 270, 360;
b) em sentidos contrários, com diferença de fase igual a: 0, 90, 180, 270, 360;
II – De acordo com as observações, responda:
a) O que aconteceu com as ondas propagando-se no mesmo sentido com diferença
de fase igual a 180? A onda resultante é progressiva ou estacionária? Justifique
sua resposta.
b) A formação de ondas estacionárias independente da diferença de fase entre as
ondas? Justifique sua resposta.
c) Qual a diferença entre a onda resultante observada no item a com as ondas
resultantes vistas no item b?
Questão 08 - A equação de uma onda se propagando em um meio é 𝑦(𝑥, 𝑡) =
0,03. cos(3𝑥 − 9𝑡) onde x e y são medidos em metros e t em segundos. Determine:
a) a amplitude, o comprimento de onda e o período;
b) a velocidade e o sentido de propagação da onda.
32
PLANO DE ATIVIDADE 3:
CONTEÚDO: Ondas Estacionárias
OBJETIVOS:
Definir ondas estacionárias em cordas esticadas;
Discutir a velocidade de ondas em cordas esticadas;
Definir os chamados pontos nós e antinós na formação de ondas
estacionárias;
Caracterizar as frequências de vibrações dos modos harmônicos;
MATERIAIS DIDÁTICOS:
Data Show;
Computador;
Aplicativo – Ondas Estacionárias
Livro didático;
Lousa e pincel
É importante a participação dos alunos em todos os momentos, nas definições, nas
caracterizações, e nos resultados obtidos. A construção do conhecimento deve ser
conjunta. É interessante também que o professor, no papel de mediador, construa um
ambiente de investigação, com os alunos interagindo com os aplicativos.
Verificação de Aprendizagem
Questão 01 – Numa corda vibrante, é possível observar ondas estacionárias. Elas se
formam devido aos fenômenos de:
a) reflexão e refração
b) dispersão e reflexão
c) refração e polarização
d) reflexão e interferência
e) interferência e polarização
Questão 02 – Uma onda estacionária é estabelecida numa corda, de modo a formar três
ventres e quatro nós. Sabendo que a distância entre os nós extremos é de 1,5 m e a
velocidade da onda é de 10 m/s, determine a frequência dessa onda.
Questão 03 – Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda esticada cuja densidade
linear de massa é 0,012kg/m. Essa corda está esticada por uma força tensora de módulo
30 N, A corda tem extremidades fixas. A partir desses dados encontre:
33
a) a velocidade de propagação de um pulso, na corda.
b) a frequência para a formação de 5 ventres sabendo que f1 (primeira frequência de
oscilação natural) vale 2,5 Hz.
Questão 04 – Usando o aplicativo ondas estacionárias comprove a formação da
quantidade de ventres formados e a frequência f5, dadas no exercício 04.
Questão 05 – Utilizando as teclas de atalho (a para aumentar a frequência e d para
diminuí-la) do aplicativo ondas estacionários, observe a formação de ventres para a
configuração: tração 10 N; densidade linear de massa 0,1 kg/m; modo harmônico 4;
extremidades fixas. A quantidade de ventres é a mesma se mudarmos para extremidades
livres? O que você pode concluir sobre as velocidades de propagação quando mudamos
a configuração do parâmetro extremidades? Por que?
34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AGUIAR, C. E. Informática para o ensino de Física. [S.l.: s.n.], 2009.
ARAUJO, I. S.; VEIT, E. A.; MOREIRA, M. A. Atividades de modelagem
computacional no auxílio à interpretação de gráficos da cinemática. Revista Brasileira
de Ensino de Física, v. 26, n. 02, p. 179–184, 2004.
BEICHNER, R. J. The effect of simultaneous motion presentation and graph generation
in a kinematics lab. JOURNAL OF RESEARCH IN SCIENCE TEACHING, v. 27, n. 08,
p. 803–815,1990.
BRASIL, S. de Educação Média e T. PCN Ensino Médio Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 2000. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>.Acesso em:
05/07/2019
GALO, M. Introdução ao uso do aplicativo Gnuplot. UNESP – Universidade Estadual
Paulista, FCT Campus Presidente Prudente, 2017. Disponível em
<http://www2.fct.unesp.br/docentes/carto/galo/web/gnuplot/gnu_tutorial.htm>, acesso em 02/02/2019.
GNUPLOT HOMEPAGE. Página inicial. Disponível em: <http://www.gnuplot.info/>.
Acesso em: 22/12/2019
WILLIAMS, T; KELLEY, C. gnuplot 5.2: An Interactive Plotting Program. version 5.2.8
(2019). Disponível em <http://www.gnuplot.info/docs_5.2/Gnuplot_5.2.pdf> acesso em
27/12/2019.
35
APÊNDICE A - CÓDIGO-FONTE PARA ANÁLISE DA REFLEXÃO DE PULSOS
# script de análise da reflexão de pulsos progressivos
A1=@ARG1; v1=@ARG2; r1=@ARG3; A2=@ARG4; v2=@ARG5; r2=@ARG6;
##-------------------- Mensagens -------------------------
if(A1<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para o
deslocamento máximo do pulso 1"; exit};
if(A2<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para o
deslocamento máximo do pulso 2"; exit};
if(A1==0 && A2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso com
deslocamento máximo diferente de zero"; exit;}
if(v1<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para a
velocidade do pulso 1"; exit;}
if(v2<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para a
velocidade do pulso 2"; exit;}
if(v1==0 && v2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso com
velocidade diferente de zero"; exit;}
if(r1!=1 && r1!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1
para os sentidos dos pulsos"; exit;}
if(r2!=1 && r2!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1
para os sentidos dos pulsos"; exit;}
##---------------------------------------------------------
reset; M1(a,b)=(a>=b)?a:b; M2(a,b)=(a<=b)?a:b;
A=M1(A1,A2);
Vmax=M1(v1,v2); Vmin=(v1==0 ||
v2==0)?M1(v1,v2):M2(v1,v2);
D=20; p(r,a,x)=r*a*exp(-0.5*(x-D)**2); R=1.0*D;
g(r,a,x)=(x<-R)?1/0:p(r,a,x); f(r,a,x)=(x>R)?1/0:p(r,a,-
x);
r1(x,t)=(x>0)?1/0:f(r1,A1,x-v1*t)+g(r1,A1,x+v1*t);
r2(x,t)=(x>0)?1/0:f(r2,A2,x-v2*t)-g(r2,A2,x+v2*t);
## Dimensão da Janela, Aparência dos objetos
aplicativo="Reflexão de Pulsos Progressivos"; set key left;
tam='size 900,450';
36
set term wxt title aplicativo @tam enhanced font
'Helvetica,10' persist ctrl;
unset tics; unset mouse; set colors classic; bind p
'pause -1 "continuar?"';
st1='t "Móvel" lc "red" lw 2'; st2='t "Fixa" lc "blue" lw
2'; t=0; N=100;
st3='boxed center tc lt -1 font ",14"'; bind r 'r1=-r1';
bind i 'r2=-r2';
st4='fc "sandybrown" fs pattern 1 border lc "black"';
t_obs=2.0*D/Vmin;
##---------------------------------------------------------
set xr[-R:0.1*R]; set yr[-4*A:4*A]; set xtics 0.2*D
nomirror; set mxtics 2;
dt=1.0*t_obs/N;
while(t<t_obs){
if(A1!=0){set label 1 sprintf("V_{1} = %.2f m/s", v1) at -
0.5*R,2.7*A @st3;}
if(A2!=0){set label 2 sprintf("V_{2} = %.2f m/s", v2) at -
0.5*R,-0.7*A @st3;}
set arrow 1 from 0,-1*A to 0,4*A nohead;
set object 1 rect from 0.01*R,-1*A to 0.1*R,4*A @st4;
set object 2 rect from 0,-4*A to 0.1*R,-1*A @st4;
p r1(x,t)+1.25*A @st1, r2(x,t)-2.25*A @st2; t=t+dt; pause
0.1;} reread;
37
APÊNDICE B - CÓDIGO-FONTE DO PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA
PULSOS DE ONDAS
# script do princípio da superposição para pulsos de ondas
A1=@ARG1; v1=@ARG2; A2=@ARG3; v2=@ARG4; P1=@ARG5;
P2=@ARG6; inv_r=@ARG7; inv_i=@ARG8;
##-------------------- Mensagens -------------------------
if(v1==0.0 && v2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso
em movimento"; exit;}
if(A1<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
amplitude de deslocamento A_{1}"; exit};
if(A2<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
amplitude de deslocamento A_{2}"; exit};
if(A1==0.0 && A2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso
com amplitude diferente de zero"; exit;}
if(P1!=1 && P1!=2 && P1!=3){pause -1 "Assuma um dos tipos
de pulsos disponíveis para o pulso 1"; exit};
if(P2!=1 && P2!=2 && P2!=3){pause -1 "Assuma um dos tipos
de pulsos disponíveis para o pulso 2"; exit};
##---------------------------------------------------------
reset; M1(a,b)=(a>=b)?a:b; M2(a,b)=(a<=b)?a:b; A=M1(A1,A2);
Vmax=M1(v1,v2); Vmin=(v1==0.0 ||
v2==0.0)?M1(v1,v2):M2(v1,v2);
s=1.0; s2=s*s; xs=4.0*s; p1(amp,x)=amp*exp(-
0.5*(x)**2/s2);
p2(amp,x)=(abs(x)>=xs)?0:amp;
p3(amp,x)=(abs(x)>=xs)?0:amp*(1-abs(x)/xs);
p(tp,amp,x)=(tp==1)?p1(amp,x):(tp==2)?p2(amp,x):p3(amp,x);
dy=0.02;
Pulso(tp)=(tp==1)?"Gaussiano":(tp==2)?"Retangular":"Triangu
lar";
f(x,t)=inv_r*p(P1,A1,x-v1*t+R)-dy;
g(x,t)=inv_i*p(P2,A2,x+v2*t-R)+dy;
R=8*xs; t_obs=1.0*R/Vmin; linha=2.0*R*v1/(v1+v2)-R;
linha1=linha-xs;
linha2=linha+xs; r(x,t)=(x>=linha1 &&
x<=linha2)?f(x,t)+g(x,t):1/0;
38
##Dimensão da Janela, Aparência dos objetos
aplicativo="Pulsos de Ondas Progressivos"; bind v 't=t-
2*dt'; bind a 't=t+2*dt';
set term wxt title aplicativo size 800,500 enhanced font
'Helvetica,10' persist ctrl;
unset tics; unset mouse; set colors classic; set xzeroaxis;
set samples 300;
bind p 'pause -1 "continuar?"'; bind r 'inv_r=-inv_r';
bind i 'inv_i=-inv_i';
st1='t "f(x-v.t)" lc "red" lw 2'; st2='t "g(x+v.t)" lc
"green" lw 2'; t=0; N=200;
st3='t "f+g" lc "blue"'; ft1='tc lt 1 font ",14"'; ft2='tc
lt 3 font ",14"';
##---------------------------------------------------------
xp=R-xs; yp=2.2*A; set xtics 0.25*xp; set mxtics 2; set
ytics 0.5*A;
set xr[-xp:xp]; set yr[-yp:yp]; lx1=-0.9*xp; lx2=0.3*xp;
dt=2.0*t_obs/N;
while(t<N*dt){
set arrow 1 from linha1,-yp to linha1,yp nohead linestyle
0;
set arrow 2 from linha2,-yp to linha2,yp nohead linestyle
0;
set label 1 "Pulso 1 - " . Pulso(P1) at lx1,-1.2*A @ft1;
set label 2 sprintf("Amplitude - A_{1} = %.2f cm", A1) at
lx1,-1.6*A @ft1;
set label 3 sprintf("Velocidade - V_{1} = %.2f m/s", v1) at
lx1,-1.9*A @ft1;
set label 4 "Pulso 2 - " . Pulso(P2) at lx2,-1.2*A @ft2;
set label 5 sprintf("Amplitude - A_{2} = %.2f cm", A2) at
lx2,-1.6*A @ft2;
set label 6 sprintf("Velocidade - V_{2} = %.2f m/s", v2) at
lx2,-1.9*A @ft2;
p f(x,t) @st1, g(x,t) @st2, r(x,t) @st3; t=t+dt; pause
0.1;} reread;
39
APÊNDICE C - CÓDIGO-FONTE PARA O FENÔMENO ONDULATÓRIO
# script do fenômeno ondulatório
c_onda_1=@ARG1; freq_1=@ARG2; y_M_1=@ARG3; a_f_1=@ARG4;
c_onda_2=@ARG5;
freq_2=@ARG6; y_M_2=@ARG7; a_f_2=@ARG8; sentido=@ARG9;
N_Ciclos=8;
##-------------------- Mensagens -------------------------
if(c_onda_1<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para o
comprimento de onda"; exit};
if(freq_1<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
frequência"; exit};
if(y_M_1<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
amplitude de deslocamento"; exit};
if(c_onda_2<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para o
comprimento de onda"; exit};
if(freq_2<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
frequência"; exit};
if(y_M_2<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
amplitude de deslocamento"; exit};
if(sentido!=1 && sentido!=-1){pause -1 "Assuma o valor 0
(mesmo sentido) ou 1 (sentido oposto)"; exit};
if(y_M_1==0 && y_M_2==0){pause -1 "Assuma pelos menos uma
onda com deslocamento maximo diferente de zero"; exit}
#----------------------------------------------------------
reset; M(a,b)=(a>=b)?a:b; lbd_1=c_onda_1*0.01; ymax_1 =
y_M_1*0.01;
lbd_2=c_onda_2*0.01; ymax_2 = y_M_2*0.01;
a_f_1=a_f_1*pi/180; a_f_2=a_f_2*pi/180;
K1=2*pi/lbd_1; W1=2*pi*freq_1; T1=1.0/freq_1;
K2=2*pi/lbd_2; W2=2*pi*freq_2; T2=1.0/freq_2;
D=sentido; direcao=(D==1)?"Mesmo Sentido":"Sentidos
Opostos";
y1(x,t) = ymax_1*sin(K1*x-W1*t+a_f_1); V1=W1/K1;
x1(t)=V1*t;
40
y2(x,t) = ymax_2*sin(K2*x-D*W2*t+a_f_2); V2=D*W2/K2;
x2(t)=V2*t;
y3(x,t) = y1(x,t)+y2(x,t);
#Dimensão da Janela, Aparencia dos objetos solidos
aplicativo="Superposição de Ondas"; bind p 'pause -1
"continuar?"';
set term wxt title aplicativo size 1000,550 enhanced font
'Helvetica,10' persist ctrl;
unset key; unset tics; unset mouse; set colors classic;
st1='tc lt 3 font ",14"'; st2='tc lt 1 font ",14"'; set
border 31 lc -1 lw 2;
st3='fc rgb "yellow" front fs solid 1.0 border lt -1';
INICIO='pause -1 "p - Pausar ; g - Grade. Iniciar
movimento?"';
#----------------------------------------------------------
Periodo=M(T1,T2); ymax=ymax_1+ymax_2; t=0; N=50;
dt=1.0*Periodo/N;
do for[i=0:N_Ciclos*N]{ set multiplot;
set origin 0.0,0; set size 0.37,1.0; set xr[0:1]; set
yr[0:1];
set label 1 sprintf("Superposição de Ondas") at 0.5,0.97
center @st1;
set label 2 "Onda 1" at 0.5, 0.90 center @st1;
set label 3 "l" at 0.05,0.83 tc lt 3 font "Symbol,14";
set label 4 sprintf(" = %.3f m -->", lbd_1) at 0.1,0.83
@st1;
set label 5 sprintf("f = %.3f Hz -->", freq_1) at 0.05,0.76
@st1;
set label 6 sprintf("y_{max} = %.3f m", ymax_1) at
0.05,0.69 @st1;
set label 7 "f" at 0.05,0.62 tc lt 3 font "Symbol,14";
set label 8 sprintf(" = %.2f rad", a_f_1) at 0.1,0.62 @st1;
41
set label 9 "Onda 2" at 0.5, 0.52 center @st1;
set label 10 "l" at 0.05,0.45 tc lt 3 font "Symbol,14";
set label 11 sprintf(" = %.3f m -->", lbd_2) at 0.10,0.45
@st1;
set label 12 sprintf("f = %.3f Hz -->", freq_2) at
0.05,0.38 @st1;
set label 13 sprintf("y_{max} = %.3f m", ymax_2) at
0.05,0.31 @st1;
set label 14 "f" at 0.05,0.24 tc lt 3 font "Symbol,14";
set label 15 sprintf(" = %.2f rad", a_f_2) at 0.1,0.24
@st1;
set label 16 sprintf("k_{1} = %.2f rad/m", K1) at 0.5,0.83
@st2;
set label 17 sprintf("w_{1} = %.2f rad/s", W1) at 0.5,0.76
@st2;
set label 18 sprintf("k_{2} = %.2f rad/m", K2) at 0.5,0.45
@st2;
set label 19 sprintf("w_{2} = %.2f rad/s", W2) at 0.5,0.38
@st2;
set label 20 direcao at 0.5,0.12 center @st2;
p 0.94 w l lc -1 lw 2; unset label;
#-------------------------- Ondas -------------------------
set zeroaxis lw 2; set key; set yr[-1.1*ymax:1.1*ymax]; set
ytics 0.5*ymax;
set origin 0.36,0.67; set size 0.6,0.33; set xr[-
0.5*lbd_1:3.0*lbd_1];
set xtics 0.5*lbd_1; xp1=x1(0); xp11=xp1+lbd_1;
set label 1 sprintf("V_{1} = %.2f m/s", V1) at xp1,0.9*ymax
@st2;
set object 1 circle at xp1, y1(xp1,t) size 0.015*ymax @st3;
set object 2 circle at xp11, y1(xp11,t) size 0.015*ymax
@st3;
p y1(x,t) t "onda 1" lc 1 lw 3; unset object; unset label;
42
set origin 0.36,0.34; set size 0.6,0.33; set xr[-
0.5*lbd_2:3.0*lbd_2];
set xtics 0.5*lbd_2; xp2=x2(0); xp22=xp2+lbd_2;
set label 1 sprintf("V_{2} = %.2f m/s", V2) at xp2,0.9*ymax
@st2;
set object 1 circle at xp2, y2(xp2,t) size 0.015*ymax @st3;
set object 2 circle at xp22, y2(xp22,t) size 0.015*ymax
@st3;
p y2(x,t) t "onda 2" lc 2 lw 3; unset object; unset label;
set origin 0.36,0.0; set size 0.6,0.34;
p y1(x,t) t "" lc 1, y2(x,t) t "" lc 2, y3(x,t) t "onda
resultante" lc 3 lw 3;
unset zeroaxis; unset tics; unset key;
#----------------------------------------------------------
if(t==0){unset multiplot; @INICIO;}
pause 0.01; t=t+dt; unset multiplot;
}
pause -1 "Simular novamente?"; reread
43
APÊNDICE D - CÓDIGO-FONTE DA FORMAÇÃO DE ONDAS ESTACIONÁRIAS
# script da reflexão de ondas senoidais
# para a formação de ondas estacionárias
F=@ARG1; mi=@ARG2; n=@ARG3; ext=@ARG4;
##-------------------- Mensagens -------------------------
if(F<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a tração
na corda esticada"; exit;}
if(mi<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a
densidade linear da corda"; exit;}
if(ext!=1 && ext!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1
para os tipos de extremidades"; exit;}
if(n<=0 || n>10){pause -1 "Assuma um valor inteiro positivo
para n entre n=1 e n=10"; exit;}
##---------------------------------------------------------
reset; A=2; R=10.0; v=sqrt(1.0*F/mi); f1=0.5*v/R; fn=n*f1;
bind a 'fn=(fn<=10*f1)?fn+0.05*f1:fn'; bind d
'fn=(fn>0)?fn-0.05*f1:0';
p(f,x)=A*sin((pi*f*(x))/(R*f1)); F(f,x)=(x>=-R)?0:p(f,x);
G(f,x)=(x<=R)?0:p(f,ext*x); r(x,t)=(x>0)?1/0:F(fn,x-
v*t)+G(fn,x+v*t);
##Dimensão da Janela, Aparência dos objetos
aplicativo="Ondas Estacionárias"; set samples 140;
tam='size 900,450';
set term wxt title aplicativo @tam enhanced font
'Helvetica,10' persist ctrl;
unset mouse; unset tics; set colors classic; bind p
'pause -1 "continuar?"';
st1='t "F(x-v.t)" lc 1'; st2='t "G(x+v.t)" lc 3'; st3='t
"(F+G)(x,t)" w lp ls 7 lc -1';
st4='boxed center tc lt -1 font ",13"'; RE=1; bind f 'RE=-
RE';
st5='front fc "sandybrown" fs pattern 1 border lc "black"';
st6='front fc "slategrey" fs solid 0.1 border lc "black"';
44
st7='front fc "red" fs solid 1.0 border lt -1';
set key at -0.5*R,-5*A center horizontal box font
"arial,13";
informe = "Aumentar f_n: a \nDiminuir f_n: d \nPausar: p:
\nCurvas: f";
##---------------------------------------------------------
set xr[-R:0.1*R]; ymin=-6*A; ymax=5*A; set yr[ymin:ymax];
set zeroaxis;
t=0; T=1.0*R/v; N=24; dt=1.0*T/N;
while(t<50*T){ N=int(fn/f1); m=3; n=2;
set label 1 sprintf("V = %.3f m/s : f_n = %.4f Hz", v,
fn) at -0.5*R,4*A @st4;
set label 2 informe at -0.91*R,-4.0*A @st4;
set object 1 rect from -R,ymin to 0,ymax fc "cyan" fs
transparent solid 0.1;
if(ext!=1){set object 2 rect from 0.01*R,ymin to 0.1*R,ymax
@st5;
set object 3 rect from 0,ymin to 0.01*R,ymax
@st6;
if(fn>0 && t>2*T){lb=1.0*v/fn; Xno(i)=-(2*i-1)*lb/4.0;
do for[i=1:N+1]{m=m+1; set object m circle at Xno(i),0
size 0.005*R @st7;
n=n+1; set label n "nó" at Xno(i),-0.3*A
front left;}
}
}
else{set object 2 rect from 0,ymin to 0.1*R,ymax @st5;
set object 3 circle at 0,0 size 0.005*R @st7;
if(fn>0 && t>2*T){lb=1.0*v/fn; Xno(i)=-i*lb/2.0;
do for[i=0:N+1]{m=m+1; set object m circle at Xno(i),0
size 0.005*R @st7;
n=n+1; set label n "nó" at Xno(i),-0.3*A
front left;}
45
}
}
if(RE==1){
p F(fn,x-v*t) @st1, G(fn,x+v*t) @st2, r(x,t) @st3, r(x,t)
notitle w i lc rgb "gray";
}
else{p r(x,t) @st3, r(x,t) notitle w i lc rgb "gray";}
t=t+dt; pause 0.05; unset object; unset label;
}
pause -1 "Deseja simular novamente?"; reread;
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