aplikasi teori graf dalam four cubes
Post on 08-Aug-2015
793 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Aplikasi Teori Graf dalam Four Cubes
A. Four Cubes Problem
Masalah Four Cubes dalam perkembangannya tidak hanya melibatkan
empat kubus saja, tapi berkembang menjadi lima bahkan sampai enam kubus
dengan inti permasalahan yang sama yaitu menampilkan warna-warna yang
berbeda pada keempat sisinya disusun keatas. Perkembangan permainan ini
memiliki nama dagang yang berbeda-beda, yaitu Instant Insanity untuk empat
kubus, Mutando juga untuk empat kubus dengan variasi permainan yang sedikit
berbeda dengan Instant Insanity , Dorobo untuk permainan 5 kubus, dan Drive Ya
Crazy untuk permainan enam kubus. Solusi Graf untuk masing-masing
permainan ini pun memiliki keunikannya tersendiri. Berikut adalah contoh-contoh
pengembangan permainan Four Cubes dengan solusi-solusi grafnya.
1. Instant Insanity
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa dalam permainan ini
terdapat empat buah kubus yang memiliki empat warna yang berbeda pada
keenam sisinya. Warna-warna yang biasa dipakai adalah
merah(red),bir(blue),hijau(green),putih(white), atau kuning (yellow). Tujuan dari
permaianan ini adalah menyusun keempat kubus tersebut sedemikian rupa
sehingga menampilkan empat warna yang berbeda pada sisi depan,
belakang,kanan dan kiri (lihat 1.2).
Menyelesaikan permainan ini dengan menggunakan metode trial and error
akan sangat melelahkan karena ada 331.776 cara untuk menyusun keempat kubus
tersebut. Karenanya teori graf digunakan untuk mencari solusi dari four cubes
problem atau yang lebih dikenal dengan nama dagang Instant Insanity.
Misalkan kita memiliki kerangka 4 buah kubus seperti berikut ini:
1. B
R R R G
Y
2. R
G Y G B
B
3. R
B G R Y
Y
4. G
B R Y G
Y
Kita akan menemukan solusinya dengan merepresentasikan warna-warna
pada keempat kerangka kubus tersebut menjadi titik atau verteks, dan relasi antara
warna-warna menjadi garis atau edges.
Karena ada empat warna pada masing-masing kubus tersebut, kita
gambarkan sebagai titik yang kita beri nama sesuai dengan inisial warna yang
mewakilinya, missal R untuk Red atau merah, B untuk Blue atau biru dan
seterusnya.
Setelah itu kita akan menghubungkan titik-titik tersebut dengan garis
tersebut menggambarkan sisi-sisi kubus yang saling berhadapan.Misal sisi yang
berwarna biru pada kubus 1 berhadapan dengan sisi yang berwarna kuning, karena
itu hubungkan titik biru dengan kuning, lalu beri label 1 pada garis tersebut untuk
menandakan bahwa hubungan yang dimaksud adalah pada kubus 1.
Berikut adalah graf untuk kubus 1:
G
Y
R
B
Gambar Verteks Instant Insanity
G
B Y 1
R 1 1
Graf untuk kubus 2:
Graf untuk kubus 3:
Graf untuk kubus 4:
Setelah itu, kita akan menggabungkan keempat graf tersebut untuk mencari
tahu solusinya.
R G
B Y 2
2
2
3
B Y 1
3 2
3 2 3
R G1 1
4 2
4
R
B
G
Y
3 3 3
R
B
G
Y 4
4
4
Sekarang kita akan mencari dua lintasan yang melintasi keempat titik dan
garis yang diberi label nomor yang berbeda tepat satu kali. Kedua lintasan tersebut
tidak boleh menggunakan garis yang sama.
Pada contoh ini, kita menemukan dua subgraf atau lintasan yang di maksud,
yaitu
Lintasan pertama: R-1-G-4-Y-2-B-2-3-R dan litasan kedua: R-4-G-3-Y-1-
B-2-R. Lintasan yang pertama akan menyelesaikan masalah tampak depan dan
belakang sedangkan lintasan yang kedua akan menyelesaikan tampak kanan dan
kiri.
2. Mutando
R G
Y B 2
1
4 3
R G
Y B
2
1
3
4
Mutando juga merupakan permainan yang menggunakan empat kubus versi
Jerman, cara permainannya sama seperti instant Insanity, hanya saja ia memiliki
alternative cara penyusunan yang berbeda, yaitu dengan mendatar, membuat balok
berukuran 2 x 2 x 1 satuan dan juga kombinasi warna yang berbeda ( dalam satu
kubus boleh hanya ada tiga warna saja). Berikut adalah contoh jaring-jaring kubus
dalam permainan Mutando:
1. G
B R Y R
Y
2. G
R R B Y
Y
3. G
R B R B
Y
4. G
Y Y B B
R
Dengan cara yang sama kita membuat graf untuk masing-masing kubus lalu
menggabungkannya seperti di bawah ini:
3
Gambar Graf Mutando
3 4
1
1
2
1
2
3
G
Y B
R
2
3
4
4
Kita lihat disini bahwa merah(R) hanya terhubung dengan satu warna, yaitu
hijau (G), karena itu tidak ada lintasan yang memuat titik R. Meskipun demikian,
kita masih tetap dapat menyelesaikan permainan ini dengan mecari dua subgraf
yang memuat garis- garis dengan label yang berbeda( garis dengan label 1-4 harus
ada tepat satu dalam masing-masing subgraf). Kedua subgraf yang dimaksud
adalah:
Dua Subgraf solusi permainan Mutando
Dengan demikian solusi untuk permainan ini adalah: R-1-R,B-3-B,G-4-Y-
2-G dan R-3-R, B-2-G-4-Y-1-B.
Penyusunan keempat kubus menjadi balok berukuran 2 x 2 x 1 juga dapat
dilihat dari grafnya. Seperti yang dapat kita lihat, pada masing-masing kubus sisi
berwarna hijau berhadapandengan sisi berwarna kuning, jadi sisi 2 x 2-nya
haruslah hijau dan kuning. Kubus 3 akan menampilkan merah dan biru pada sisi
luarnya. Kubus 1 harus menampilkan merah, kubus 2 tidak memiliki warna
merah, jadi ada tepat satu 2 x 1 sisi merah yang di bentuk oleh kubus 3 dan kubus
1. Kubus 4 tidak memiliki warna biru, jadi kubus 2 harus membentuk sisi
berwarna biru dengan kubus 3. Sisi merah dari kubus 4 harus disembunyikan, jadi
sisi yang lainnya hanyalah kuning dan hijau. Ringkasnya sebagai berikut:
G
Y B
R 1
2 4
3
Y
G
B
R
4 2
1
3
Tabel solusi 2 x 2 x 1 permainan Mutando
3. Drive Ya Crazy
Permainan ini merupakan perluasan dari Instans Instanity karena
menggunakan enam buah kubus dengan enam kombinasi warna yang berbeda.
Berikut adalah contoh jaring-jaring kubus dari permainan ini:
2 1 3
4 2 1 3
4
Sisi
Depan
Kiri
Belakang
Kanan
Warna
Biru
Merah
Kuning
Hijau
Kubus Posisi
1 belakang-kiri
2 depan-kanan
3 depan-kiri
4 belakang-kanan
1. R
Y G B C
O
2. C
O Y G B
R
3. Y
B C R O
G
4. O
G B C R
Y
5. B
G O Y R
C
6. G
C R O Y
B
Dengan cara yang sama seperti sebelumya, kita menggambarkan sebuah
graf dengan enam titik berbentuk heksagonal lalu mencari subgraf-subgraf dari
graf tersebut untuk mendapatkan solusinya. Berikut adalah graf untuk kerangka
kubus di atas:
Graf Drive Ya Crazy
3 5
2
4
4
1
1
4
3
6 5
6
3
5
2 6
2 1
Y
G
O
C B
R
Graf ini terlihat lebih kompleks dibandingkan dengan dua graf sebelumnya
tetapi kita menemukan tiga buah subgraf yang dapat menjadi solusi bagi
permainan tersebut yaitu:
V
Loop pada subgraf yang pertama adalah O-1-R-2-C-5-B-6-G-3-Y-4-O.
Loop pada subgraf yang kedua adalah O-2-G-4-C-6-O,Y-1-B-3-R-5-Y, dan loop
pada subgraf yang ketiga adalah O-5-G-1-C-3-O, Y-2-B-4-R-6-Y.
4. Dorobo
G
O Y
R
B C
G
O Y
R
B C
3 1
5
2
4
6 6
2
4 3
5
1 G
O Y
R
B C
6
3
3
2
1 4
Sama seperti permainan Mutando, Dorobo adalah pengembangan dari
permainan Instant insanity yang menggunakan lima buah kubus dengan lima
lambing yang berbeda pada sisi-sisinya. Permainan ini diproduksi oleh pabrik
Hanayama di Jepang. Kerangka kubus-kubus Dorobo adalah sebagai berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
Penyelesaiannya juga menggunakan metode yang sama seperti sebelumnya.
Berikut adalah graf pentagonal dari contoh permainan dorobo di atas dan juga
subgraf-subgraf solusinya:
Gambar tiga subgraf solusi permainan Dorobo
Graf dorobo ini juga memberikan tiga subgraf sebagai solusi dari
permainannya. Loop pada subgraf pertama adalah G-3-O-4-C-1-P-2-Y-5-G, loop
5 1
2
3 1
4
5
3 2
2 4 5
1
4
3
2 1
3
5 4 1
2
5 4
3
1
5 4
3
2
pada subgraf kedua adalah G-2-O-1-Y-5-C-3-P-4-G, dan loop pada subgraf ketiga
adalah G-1-O-5-P-3-Y-4-C-2-G.
B. Permainan Instant Insanity yang tidak memiliki solusi
Untuk menemukan solusi dari permainan yang melibatkan kubus-kubus
warna ini, kita menggunakan graf yang diambil sebagai representasi kerangka
kubus-kubus yang ada. Suatu set permainan Instant Insanity juga dapat tidak
memiliki solusi, hal ini akan terlihat dari tidak adanya subgraf-subgraf yang dapat
diambil dari graf utamanya. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh kerangka
kubus-kubus ini .
1. B
G R R Y
G
2. Y
R Y G B
Y
3. B
Y B G R
B
4. G
Y G R B
R
Dari kerangka tersebut, kita buat grafnya.
Gambar Graft Insanity tanpa solusi
Y
G
B
R
1
1
1
2 3 3
4
2
4
2
Dari graf diatas, kita tidak dapat menemukan lintasan yang memuat keempat
titik dan melewati garis-garis yang memiliki label yang berbeda tepat satu kali.
Karena itulah permainan Instant Insanity kali ini tidak ada solusi.
C. Syarat agar permainan Instant Insanity memiliki solusi
Dari dua contoh permainan Instant Insanity yang telah kita bahas, kita dapat
menarik suatu kesimpulan bahwa permainan ini memiliki solusi jika ada
setidaknya dua buah subgarf yang melewati keempat titik pada graf dan melewati
garis-garis yang memiliki label yang berbeda tepat satu kali.
Subgraf-subgraf ini dikatakan sebagai solusi dari permainan ini jika
memenuhi tiga property berikut:
1. masing-masing sugraf memuat tepat satu garis dari tiap kubus
2. masing-masing titik pada subgraf berderajat dua
3. kedua subgraf yang bersesuaian(mewakili timur-barat dan utara-selatan)
tidak memiliki sisi yang sama.
top related