aplikasi-turunan

APLIKASI TURUNAN DALAM EKONOMI DAN

BISNIS

PENDAHULUAN

Turunan (derivative) membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang

bersangkutan. Dengan turunan dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi.

Berdasarkan manfaat-manfaatnya inilah konsep turunan menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam ekonomi dan bisnis.

Sebagaimana diketahui, analisis dalam ekonomi dan bisnis sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.

Teori turunan amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marginal dan konsep optimisasi.

Dalam kaitannya dengan konsep nilai marginal dan nilai optimisasi, akan dibahas penerapan turunan dalam pembentukan fungsi atau perhitungan nilai marginal dari berbagai variabel ekonomi, serta penentuan nilai optimum dari fungsi atau variabel yang bersangkutan.

Konsep Dasar  Biaya Total (Total Cost) : Seluruh biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan

sejumlah barang.   Biaya Total terdiri dari :  

Biaya Tetap (Fixed Cost) : Biaya yang besarnya tidak berubah sekalipun jumlah

produksi berubah. Biaya Variabel (Variable Cost) :

Biaya yang besarnya berubah-ubah sesuai dengan jumlah produksi yang dihasilkan.

Jadi :        

TC = FC + VC

Fungsi Biaya Total mungkin berwujud sebagai :

Fungsi garis lurus : Biaya Total : y = ax + b ; dimana a > 0

dan b ≥ 0 Biaya rata-rata : ŷ = y/x = a + b/x Biaya Marginal: y’ = dy/dx = a (fungsi

konstanta), artinya : berapapun jumlah barang yang diproduksi, biaya marginal tetap sebesar a

Biaya rata-rata marginal : ŷ’ = dŷ/dx = -b/x2

Fungsi parabola (Kuadrat): Y = ax2 + bx + c

Biaya Total : y = ax2 + bx + c ; dimana a > 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0

Biaya rata-rata : ỳ = y/x = ax + b + c/x

Biaya marginal : ỳ = dy/dx = 2ax + b Biaya rata-rata marginal : ỳ’ = dỳ/dy = a

– c/x2

Tingkat perubahan biaya total dikarenakan pertambahan produksi sebesar 1 (satu) unit.

Di dalam kalkulus istilah “marginal” artinya turunan pertama dari Biaya Total.

Biaya total dibagi dengan jumlah barang yang diproduksi / dijual.

Syarat untuk biaya rata-rata minimum :

ỳ’ = 0 ỳ’’ = 0

Biaya Marginal Biaya Rata – Rata / Biaya Per Unit.

Catatan :Definisi diatas berlaku dengan asumsi bahwa variabel yang mempengaruhi biaya adalah variabel kuantitas produksi/penjualan (x), sedangkan variabel lainnya dalam keadaan tidak berubah (Ceteris Paribus).

Di dalam konsep biaya ini meskipun berbagai bentuk fungsi dapat dibuat untuk perhitungan biaya, akan tetapi di sini yang berlaku ialah yang memenuhi pembatasan-pembatasan ekonomi, yaitu :

Jika tidak ada barang yang diproduksi, maka biaya total akan positif.

Biaya total harus naik/bertambah jika x bertambah sehingga biaya marginal selalu positif.

Jika x produksi banyak sekali, maka kurva biaya total akan terbuka ke atas sehingga q’’ > 0

CONTOH SOAL

Biaya yang diperlukan untuk memproduksi suatu barang adalah 3 / unit dan FC = 1.500, tentukan :

Biaya Total sebagai jumlah barang yang diproduksi.

Biaya Marginal, jika jumlah barang yang diproduksi adalah 100 unit.

Biaya rata-rata, jika jumlah barang yang diproduksi adalah 100 unit.

PENYELESAIAN : TC = FC + VC = 1.500 + 3x Rupiah MC = Y’ = 3 Biaya Rata-rata : Ỳ = Y/x = (1.500 + 3x)

/ x = 1.500/x + 3 Untuk x = 100 Untuk ỳ =

1.500/100+3 =18

LATIHAN SOAL

1. Jumlah 2 (dua) bilangan adalah 25, tentukan bilangan-bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum.

2. Jika harga/unit adalah P = 2x + 2 dan biaya tetap adalah 18 dimana x adalah jumlah barang yang diproduksi. Tentukan biaya total dan biaya rata-rata minimumnya.

3. Fungsi biaya total dinyatakan dengan persamaan y = x2 + 2x + 10, dimana x menyatakan jumlah barang. Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimumnya.

4. Biaya rata-rata untuk memproduksi suatu barang dinyatakan dengan persamaan : ỳ = 100 – 12x + 1/3 x2

TUGAS MANDIRI 2

Dikumpulkan paling lambat pada saat UAS. Pengumpulan lebih cepat akan diberi tambahan point.

Buat ringkasan dari buku “Aplikasi Matematika untuk Bisnis dan Manajemen” (Penulis Haryadi Sarjono dan Lim Sanny; Penerbit Salemba Empat,; 2012-buku ini ada di koleksi perpustakaan STIE Dewantara) halaman 158 – 203, kerjakan minimal 1 soal dari setiap Latihan! (total ada 4 soal yang harus dikerjakan)

Maksimal 10 halaman, DITULIS TANGAN