apostila controle - 13 - desempenho de sistemas (domínio do tempo)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho de sistemasDesempenho de sistemas
Especificação de Desempenho
Desempenho no domínio do tempo
• Resposta transitória• Resposta estacionária
• Desempenho de Sistemas de Qualquer Ordem
• Desempenho SPO – Parâmetros de Desempenho
• Desempenho SSO – Parâmetros de Desempenho
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Controle de Sistemas Mecânicos
Especificação de DesempenhoEspecificação de Desempenho
Projeta-se um controlador para atingir um desempenho
especificado a priori. As especificações para o desempenho desejado devem
seguir um padrão técnico de modo a serem facilmenteestabelecidas e interpretadas.
O padrão deve seguir sistemáticas reconhecidas na prática da engenharia como efetivas.
Atingido o desempenho padronizado, admite-se que odesempenho real do sistema seja o mais próximo
possível do desejado.
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho no domínio do tempoDesempenho no domínio do tempo
A resposta de qualquer sistema, pode ser
dividida em• Transitória
• Estacionária
Os critérios de desempenho são definidosbaseados nas respostas do sistema
Os critérios de desempenho dependem da
ordem do sistema. A análise de sistemas de maior ordem pode
ser muito complicada
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho de Sistemas de qualquer Desempenho de Sistemas de qualquer
ordemordem
Em muitos casos é possível analisar o desempenho
aproximado de sistemas através de um modeloreduzido da composição de sistemas de primeira e desegunda ordem
É comum que um par de raízes complexas possa ser
considerado dominante em relação aos demais.Deve-se observar o resíduo de cada termo datransformada inversa de Laplace
Os critérios estabelecidos são definidos para sistema
de primeira e segunda ordem. Portanto a análise de sistemas de primeira e segunda
ordem pode ser útil para análise dos sistemas deordem superior
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho de SPODesempenho de SPO
O desempenho de sistemas de primeira ordem
pode ser analisado em termos dos dois parâmetros básicos:
• A constante de tempo para a análise da resposta
transitória• O erro estacionário para a análise da respostaestacionária
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho de SSODesempenho de SSO
A análise de sistemas de segunda ordem
depende do valor do fator de amortecimento:
• ζ > 1 : resposta super-amortecida
• ζ = 1 : resposta criticamente amortecida
• ζ < 1 : resposta sub-amortecida
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta super Resposta super - - amortecidaamortecida
ζ >1
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta criticamente amortecidaResposta criticamente amortecida
ζ =1
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta subResposta sub- - amortecidaamortecida
ζ <1
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Controle de Sistemas Mecânicos
ComentáriosComentários
Em geral deseja-se o modelo sub-amortecido
como resultado do sistema de malha fechada, por permitir melhor domínio sobre ocomportamento do sistema
Caso não se deseje a ultrapassagem do valor final, presente em todo sistema sub- amortecido, procura-se que as raízes sejam
repetidas A dificuldade na prática é que o sistema real
possa corresponder exatamente ao desejado
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Controle de Sistemas Mecânicos
Parâmetros de Desempenho SSOParâmetros de Desempenho SSO
Para a resposta transitória, utiliza-se a
resposta ao degrau, envolvendo os parâmetros principais
• Sobressinal
• Tempo de estabilização• Tempo de subida
• Tempo de atraso
Para a resposta estacionária, analisa-se o errona resposta ao degrau, à rampa e a uma parábola
0 2 4 6 8 1 0
0
0. 5
1
1. 5
2
Res pos ta a o de grau un itário
Tempo (s )
A m
p l i t u d e
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Controle de Sistemas Mecânicos
Definição do degrau unitárioDefinição do degrau unitário
A função degrau unitário é nula até o instante inicial quando passa instantaneamente para o valor 1 e permaneceeternamente nesse valor.
u=zeros(1,100);
u=[u, ones(1,1001)];
t=-1:0.01:10;
plot(t,u),
axis([-1 10 -0.2 1.2])
title('Degrau unitário')
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Amplitude')
0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Degrau unitário
Tempo (s)
A m p l i t u d e
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao degrau ζ 1<Resposta ao degrau
Seja um sistema padrão de segunda ordem:
Para uma entrada degrau e ganho estático unitário temos,
ou ainda na forma
Sabendo-se que
22
2
0
2)()(
nn
n
s s K
s R sY
ω ζω ω
++=
s s s sY
nn
n 12
)( 22
2
ω ζω ω
++=
22 2
21
)( nn
n
s s
s
s sY ω ζω
ζω
++
+−=
21 ζ ω ω −= nd ( )222 1 ζ ω ω −= nd
2222 ζ ω ω ω nnd −= 2222 ζ ω ω ω nd n +=
)2(
2
)2(
2
)( 22
2
22
22
nn
n
nn
nn
s s s
s s
s s s
s s
sY ω ζω
ζω
ω ζω
ω ζω
++
+
−++
++
=
)2()2()2()( 22
222
nn
nnn
s s s s s s s sY
ω ζω ζω ζω ω
++
+−++=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao degrau ζ 1<Resposta ao degrau
A resposta pode ser reescrita como:
Sabemos também que:
Portanto a resposta pode ser escrita como
( ) ( ) 22221)(d n
n
d n
n
s s s
s sY
ω ζω ζω
ω ζω ζω
++−
+++−=
21 ζ ω ω −= nd
22 221)(
nn
n
s s s
s sY
ω ζω ζω
++ +−=
21 ζ
ω
ω −=d
n
( ) ( ) 222221
1)(d n
d
d n
n
s s s
s sY
ω ζω ω
ζ ζ
ω ζω ζω
++−−++
+−=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao degrau ζ 1<Resposta ao degrau
Conhecida as transformadas inversas:
Obtém-se a transformada inversa da resposta
Ou ainda na forma somente de seno
−+−= − t t et y d d
t n ω ζ
ζ ω ζω
sen1
cos1)(2
111=
−
s L
( )( )t e
s s L d
t
d n
n n ω ω ζω
ζω ζω cos22
1 −− =
+++
( )( )t e
s L d
t
d n
d n ω ω ζω
ω ζω sen22
1 −− =
++
( )φ ω ζ
ζω
+−
−=−
t e
t y d
t n
sen1
1)(2 ζ
ζ φ
21 1
tan−
= −
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Controle de Sistemas Mecânicos
Sobressinal Sobressinal
Percentual do valor de pico em relação ao valor
estacionário
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
Resposta ao degrau unitário
Tempo (s)
A m p l i t u d e
PSS=100(yp-yest)/yest
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Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo doCálculo do sobressinal sobressinal
P/ sistemas de 2a. ordem:
onde
Em conseqüência
Obs: o sobressinal é função apenas
do fator de amortecimento.
2
( ) 1 sen( )
1
t
d d
e y t t
τ
ω ϕ
ζ
−
= − +
−
ζ ϕ ζ ω ω σ τ ζω σ 12 cos,1,1, −=−=== d nd n
21 ζ ω
π
−=
n
pT
)100
(ln
)100
ln(
22
PSS
PSS
+
=
π
ζ
)1
exp(1002ζ
ζπ
−
−= PSS
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Controle de Sistemas Mecânicos
Tempo de estabilizaçãoTempo de estabilização
Tempo para entrar e permanecer em uma faixa de x% do
valor final
Obs: 2% é o mais
comum
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
Resposta ao degrau unitário
Tempo (s)
A m p l i t u d e
Faixa de x%
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Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo do tempo de estabilizaçãoCálculo do tempo de estabilização
Pode-se mostrar que a equação da envoltória para
sistemas de 2a. ordem é
Assim, para um tempo de estabilização a 5% considerandoa envoltória superior
−±=
−
211)(
ζ γ
ζω t
v
net e
05.011 2
≤−
−+
−
γ
γ ζ γ
ζω en t e
2105.0 ζ τ −≤− et
e
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
866.0*05.0≤−
τ
et
e
Considerando um fator de amortecimento entre 0 e 0,7:
00.3≤τ
et
995.0*05.0≤−
τ
et
e1.0=ζ
14.3≤τ
et 5.0=ζ
33.3≤τ
et
714.0*05.0≤− τ
et
e7.0=ζ
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Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo do tempo de estabilizaçãoCálculo do tempo de estabilização
Para sistemas de 2a. ordem, admite-se como regra prática que otempo de estabilização a 5% é de aproximadamente 3,2 vezesa constante de tempo.
Para 2% admite-se
Procedimento comum:• especificado o sobressinal, encontra-se o fator de amortecimento
• do tempo de estabilização, encontra-se a freqüência natural .
n
eT ζω
τ 2,3
2,3%5, ==
nζω τ
1 onde =
τ 4%2, =eT
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Tempo de subidaTempo de subida
Tempo que o sistema leva para ir de 10% a 90% do valor
final.
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
Resposta ao degrau unitário
Tempo (s)
A m p l i t u d e
Ts=T1-T2
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Controle de Sistemas Mecânicos
Tempo de atrasoTempo de atraso
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
Resposta ao degrau unitário
Tempo (s)
A m p l i t u d e
Ta
Tempo para atingir 50% do valor final
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Controle de Sistemas Mecânicos
Tempo de subida e de atrasoTempo de subida e de atraso
São dados similares e que fornecem uma idéia
da velocidade com a qual o sistema reage Não há um cálculo aproximado que seja útil de
modo geral
Como regra prática, quanto maior a freqüêncianatural, mais rápido o sistema reage
Portanto, aumentando a freqüência natural
ocorre uma diminuição dos tempos de subidae de atraso
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExemploExemplo
22
2
2)(
)(
nn
n
s s sU
sY
ω ζω
ω
++=
Determinar os parâmetros de desempenho na
resposta ao degrau do sistema abaixo
Considerar
1. Wn=10 rd/s
2. zeta=0.1
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Controle de Sistemas Mecânicos
MATLAB: soluçãoMATLAB: solução
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Controle de Sistemas Mecânicos
ReferênciaReferência
Desempenho no domínio do tempo
Ogata pg 113-176
Desempenho SPO
Ogata pg 114-118
Desempenho SSO
Ogata pg 119-134
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