apostila probabilidade e estatistica ufrgs
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11
Prof. Lor Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.br
http://www. ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
Sistema Real
Determinstico
Probabilstico
Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
Causas Efeito
Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
Causas EfeitoXX
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Experincia para o qual o modelo probabilstico adequado.
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E1: Joga-se um dado e observa-se o nmero da face superior.
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22
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E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqncia de caras e coroas ;
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E3: Uma lmpada nova ligada e conta-se o tempo gasto at queimar;
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E4: Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido;
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o conjunto de resultados de uma experincia aleatria.
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S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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S2 = { cccc, ccck, cckc, ckcc,kccc, cckk, kkcc, ckkc,kcck, ckck, kckc, kkkc,
kkck, kckk, ckkk, kkkk}
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S3 = { t R / t 0000 }
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S4 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
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Um evento um subconjunto de um espao amostra.
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Seja E um experimento com espao amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado um elemento de A.
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Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:
A A uniounio B, A B, A soma soma B ou A B ou A maismais B, B, se e s se A ocorre se e s se A ocorre ouou B ocorre. B ocorre.
AB
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Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:
A produto B, A vezes B ou A interseo B, se e s se A ocorre e B ocorre.
AB
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Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:A menos B, A diferena B, se e s se
A ocorre e B no ocorre.
A - B
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Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:
Complementar de A (no A) se e s se A no ocorre.
A = AC = A
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Dois eventos A e B so mutuamente excludentes se no puderem ocorrer juntos.
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CLSSICOCLSSICO
FREQENCIAL
AXIOMTICO
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(nmero de casos favorveis)P(A) = ------------------------------------_
(nmero de casos possveis)
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(nmero de vezes que A ocorre)frA = ---------------------------------------------
(nmero de vezes que E repetido)
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P(A) = lim frAn
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P(A) um nmero real que deve satisfazer as seguintes propriedades:
(1) 0 P(A) 1
(2) P(S) = 1 (3) P(AUB) = P(A) + P(B)
se AB =
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(1) P() = 0 (2) P( ) = 1 - P(A)
(3) P(A - B) = P(A) - P(AB)
A
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(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -
- P(AB) - P(AC) - P(BC) +
+ P(ABC)
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Definio P(A/B) = P(AB) / P(B)
Teorema da multiplicao
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)
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Dois eventos A e B so independentes se a probabilidade de um ocorrer no altera a probabilidade do outro ocorrer, isto :
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66
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(1)(1) P(A/B) = P(A)
(2)(2) P(B/A) = P(B)
(3)(3) P(AB) = P(A).P(B)
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Diz-se que os conjuntos:A1, A2, ..., An
eventos de um mesmo espao amostra S, formam uma partio deste espao se:
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(1) AiAj = , para todo i j
(2) A1A2 ... An = S , para todo i j
(3) P(Ai) > 0, para todo i
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BB
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B pode ser escrito como:
B = (B A1) (B A2) ... (B An)
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BB
B A1
B A2
B A3
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P(B) ser ento:P(B) = P[(B A1) (B A1) ... (B An)]
= P(B A1) + P(B A2) + ... + P(B An) =
= P(BAi) = P(Ai).P(B/Ai)
P(B) = P(Ai).P(B/Ai)
BB
A4A4
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Calcula a probabilidade de ocorrncia de um dos Ai (que formam a partio) dado que ocorreu um evento qualquer B.
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P(Ai /B) = P(AiB)/ P(B) = = P(Ai).P(B/Ai)/ P(B)
Aplicando a expresso da probabilidade condicionada vem:
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Na expresso P(Ai /B) = P(Ai).P(B/Ai) / P(B)o valor de P(B) obtido atravs do Teorema da Probabilidade Total
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88
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KKK
CKK
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
S
Xs
)S(X
)s(Xx ====
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Uma funo X que associa a cada elemento de S (s S) um nmero real x = X(s) denominada varivel aleatria.
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Conforme o conjunto de valores X(S) uma varivel aleatria poder ser discreta ou contnua.
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Se o conjunto de valores for finito ou ento infinito enumervel a varivel dita discreta.
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Se o conjunto de valores for infinito no enumervelento a varivel dita contnua.
-
99
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A funo de probabilidade (fp) de uma VAD a funo que associa a cada xi X(S) o nmero f(xi) = P(X = xi)que satisfaz as seguintes propriedades:
f(xi) 0, para todo i
f(xi) = 1
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A coleo dos pares [xi, f(xi)]para i = 1, 2, 3, ... denominada
de distribuio de probabilidade
da VAD X.
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Suponha que um par de dados
lanado. Ento X = soma do par
uma varivel aleatria discreta com
o seguinte conjunto de valores:
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Como X((a, b)) = a + b, o
conjunto de valores de X dado
por: X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
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A funo de probabilidade
f(x) = P(X = x), associa a cada
x X(S), um nmero no intervalo [0; 1] dado por:f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =
= P([x X(S) / X(s) = x})
-
1010
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Desta forma: f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36
f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36
...............................................................
f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36
f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36
A distribuio de probabilidade ser:Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
12
1f(x)
111098765432x
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361
A distribuio de probabilidade
de X ser ento:
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uma tabela
uma expresso analtica (frmula)
um diagrama
Atravs de:
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Seja X = nmero de caras, obtidas no lanamento de 4 moedas honestas. Ento a distribuio de X a dada ao lado.
1/1641
4/1636/1624/1611/160f(x)x
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Considere X = soma do par, no lanamento de dois dados equilibrados, ento: f : X(S) f : X(S)
x x (x (x -- 1)/36 se x 1)/36 se x 77(12 (12 -- x x --1)/36 se x > 71)/36 se x > 7
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0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-
1111
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(a) Expectncia, valor esperado
(b) Desvio padro
================ )xX(P.x )x(f.x)X(E
======== 22 )x(f)x(f x)x( 2
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Bernoulli
Binomial
Hipergeomtrica
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Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados so anotados por 0 ou fracasso e 1 ou sucesso. A probabilidade de ocorrncia de sucesso representada por p e a de insucesso por q = 1 p.
EXPERIMENTO
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X(S) = { 0, 1}
===
1 = x se p
0 = x se p1)xX(P)x(f
A Funo de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
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A Funo de Probabilidade (fp)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1
-
1212
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pq)p1(ppp
p)p.1q.(0
E(X)-)X(E)X(V
2
222
22
===
=+=
==
CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado
=+== pp.1q.0)x(f.x )X(EVarincia
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Como existem apenas duas situaes: A ocorre e A no ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A no ocorrer como sendo q = 1 p.
A VAD definida por X = nmero de vezes que A ocorreu nas n repeties de E denominada BINOMIAL.
EXPERIMENTO
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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}
A Funo de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qpx
n)xX(P)x(f xnx
===
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npq-)(E)X(V E(X)X 22 ==
CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado
np )x(f.x )X(E ==
Varincia
npq X =
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-
1313
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A distribuio Binomial deduzida com base em n repeties de um experimento de maneira independente (isto , p = constante), ou retiradas com reposio de uma populao finita.
EXPERIMENTO
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Se a experincia consistir na seleo de objetos, sem reposio, de uma populao finita, de tamanho N, onde r apresentam uma caracterstica N r no apresentam esta caracterstica, ento existir dependncia entre as repeties.
EXPERIMENTO
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Neste caso a varivel aleatria X = nmero de objetos com a caracterstica r em uma amostra de tamanho n, ter uma distribuio denominada de Hipergeomtrica.
EXPERIMENTO
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x : mx{0, nN+r)}, ..., mn{r, n}
A Funo de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
===
n
Nrn
rN
x
r
)xX(P)x(f
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1NnNnpqX
=
CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado
np )X(E =
Desvio Padro
Nr p Onde =
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-
1414
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Seja X uma varivel aleatria com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito no enumervel ento a varivel dita contnua.
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a funo que associa a cadax X(S) um nmero f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
f(x) 0
dx).x(f
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A coleo dos pares(x, f(x)) denominada de
distribuio de probabilidade da VAC X.
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====
-
1515
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(a) Expectncia, valor esperado
(b) Desvio padro
======== dx)x(f.x)X(E
======== 22 dx)x(fdx)x(f x)x( 2
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a funo F(x) definida por:
== x du)u(f)xX(P)x(F
A F(x) a integral da f(x) at um ponto genrico x.
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O uso da FDA bastante prtico no clculo das probabilidades, pois no necessrio integrar, j que ela um funo que fornece a Integral.
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Usando a FDA, teremos sempre trs casos possveis:
)(F)(F)X(P
)x(F1)xX(P
)x(F)xX(P
xxxx 1221 =
=
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UniformeExponencial
Normal
t (Student)
2222 (Qui-quadrado)F (Snedekor)
-
1616
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c.c. 0
b x a se ab
1)x(f
=
Uma VAC X uniforme no intervalo [a; b] se assume todos os valores com igual probabilidade. Isto , se f(x) for:
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A funo F(x) dada por:
F x x ab a
( )=
0
1
se x < a
se a x b
se x > b
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2ba)X(E +=
Expectncia ou Valor Esperado
Varincia
12)(E)X(V
)ab()X(EX2
222 ===
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====
x ,e..
)x(fx.
2
21
21
Uma varivel aleatria X tem uma distribuio normal se sua fdp for do tipo:
0 e - com >
-
1717
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
N(0; 1)
N(0; 0,5)
N(0; 2)
N(2; 1)
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?due..2
1)xX(P x2u.
21
=
=
A normal no integrvel atravs do TFC, isto , no existe F(x) tal que F(x) = f(x).
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Utilizar integrao numrica.Como no possvel fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente).
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=
XZ
A curva escolhida a N(0, 1), isto , com = 0 e = 1.
Se X uma N(, ), ento:Se X uma N(, ), ento:
Ser uma N(0; 1)
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
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)z(NORP.DIST)z( z) P(Z ==
-z)DIST.NORP( )z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z
====>
)(DIST.NORMP)(DIST.NORMP )()( ) ZP(
zzzzzz
12
1221
==
-
1818
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Se a normal no a padro pode-se padronizar ou, ento,utilizar a funo:
=DIST.NORM(x; ; ; 1)
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Uma VAC tem distribuio normal de mdia 50 e desvio padro 8. Determinar:
(a) P(X x) = 5%(b) P(X > x) = 1%
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Para resolver este tipo de exerccio preciso utilizar a funo inversa, isto :
= INV.NORM(5%; 50; 8) == 36,84
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0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 74
5%
x
P(X x) = 5%
-
1919
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No esquecer que a planilha
fornece a rea esquerda, ento:
(b) P(X > x) = 1%
P(X > x) = 1% P(X x) = 99%
INV.NORM(99%; 50; 8) = 68,61
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0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 740,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1%
x
P(X > x) = 1%
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x para
2.
12
1
)x(f
21
2x
+
+=
+
Uma varivel aleatria X tem uma distribuio t ou de Studentse sua fdp for do tipo:
-
2020
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0 p para
dx )p( 0x1p ex
>
=
onde a funo dada por
)1p(1)-(p )p( =
= )2/1(
Zn se
1)!-(n )n(
=
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
fdp det(1)t(5)
t(25)
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0)X(E ==
2-
= Var(X)
Expectncia ou Valor esperado
Varincia
O valor denominado deGrau de liberdade
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A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....
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(a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,
determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =
90%
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Ento P(T 2) = 2,73%
-
2121
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Ento O valor t tal que
P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
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Uma varivel aleatria X tem uma distribuio Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo:
0 x se 0
0 x se
22
ex
)x(f 2
2x1
2
>
=
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=)X(E
2 = Var(X)
Expectncia ou Valor esperado
Varincia
O valor denominado deGrau de liberdade
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 2 4 6 8 10
fdp de2(1)2(2)2 (3)2 (5)
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A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....
-
2222
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(a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,
determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =
90%
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Ento P(T 2) = 2,73%
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Ento O valor t tal que
P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
A planilha fornece uma funo direta (rea direita) e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral). Isto , a planilha retorna um valor tal que P(2 c)))) ==== ((((unilateral),),),), ou c tal que P(2 cc)))) ==== ,,,, no caso da funo inversa.
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(a) Dada uma distribuio Qui-Quadrado com parmetro g.l. = 1,
determinar: P(2 1).(b) O valor de c tal que P(2 c) =
90%
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Ento P(2 1) = 31,73%
-
2323
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Ento, o valor de c tal que, P(2 c) = 90% c = 2,71.
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Uma varivel aleatria X tem uma distribuio F ou deSnedecor se sua fdp for do tipo:
(((( ))))
0 x se 0
0 x se nm
mxnxnmnm
)x(f
nmmnm
>>>>
++++
++++
====
++++
22
22
1222
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Expectncia ou Valor esperado
Varincia2
====
mm)X(E
) - )(n - m(n) - n(m = Var(X) m42
22 2++++
m o grau de liberdade do numerador e ndo denominador
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 3 6 9 12 15
fdp deF(1, 3)F(2, 5)F(5, 10)F(20, 20)
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A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....
-
2424
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(a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,
determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =
90%
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Ento P(T 2) = 2,73%
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Ento O valor t tal que
P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica
A planilha fornece uma funo direta (rea direita) e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral). Isto , a planilha retorna um valor tal que P(2 c)))) ==== ((((unilateral),),),), ou c tal que P(2 cc)))) ==== ,,,, no caso da funo inversa.
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(a) Dada uma distribuio Qui-Quadrado com parmetro g.l. = 1,
determinar: P(2 1).(b) O valor de c tal que P(2 c) =
90%
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Ento P(2 1) = 31,73%
-
2525
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Ento, o valor de c tal que, P(2 c) = 90% c = 2,71.
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O que tabelado a rea direita de cada curva (funo direta),(funo direta), isto , dado um certo valor de x, tem-se:
P[F(m, n) x]]]] ==== ,,,, ou dado uma rea direita pode-se determinar x que satisfaz
P[F(m, n) x]]]] ==== ((((((((funo inversafuno inversa).).).).).).).).
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(a) Dada uma distribuio F com parmetros g.l. do numerador = 3
e g.l. do denominador igual a 5,
determinar P(F 2,5).
(b) O valor de f tal que P(F f) = 80%
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Ento P(F 2,5) = 17,39%
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Ento, o valor de f tal que, P(F f) = 80% f = 2,25.
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-
2626
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de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev, 1821 1894.
P(|X - | k) 1/k2
P(|X - | < k) 1 - 1/k2
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Se a distribuio for unimodal e simtrica, ento:
P(|X - | k) 4/9k2
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Estas desigualdades fornecem as probabilidades de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simtrico em torno da mdia de amplitude igual a 2k desvios padres.
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Assim se k = 2, por exemplo, a desigualdade de Tchebycheffestabelece que o percentual de valores da varivel aleatria que est compreendida no intervalo 2 de pelo menos1 - 1/4 = 75%.
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|X - | < 2
1 - 1/4 = 75%.
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Na normal este percentual vale exatamente 95,44%. Mas como a normal simtrica e unimodal, neste caso, um resultado mais prximo dado pela desigualdade de Camp-Meidell, isto :
1 4/(9k2) = 1 (1/9) = 88,89%.
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