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UNIVERSIDADE PAULISTA CAMPUS ARARAQUARA
SISTEMAS DE CONTROLE E SERVOMECANISMOS
Ações de Controle e Tipos de Controladores P,I,D
5. CONTROLADORES PID
A introdução de um controlador em um determinado sistema visa a
modificação de sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da
atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer certas
especificações com relação a sua resposta (Ogata, 1993). Os parâmetros do
sistema que sofrem uma ação direta do controlador, são denominadas de variáveis
manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obter as mudanças
que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas. O
controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico,
pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de
controle, o projetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores.
Esta escolha depende de vários fatores. O tipo de controlador mais comumente
usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, é o controlador eletrônico.
De fato, os sinais não elétricos são, normalmente, transformados em sinais
elétricos, através de transdutores, e, devido a simplicidade de transmissão, aumento
da performance, aumento da confiabilidade e principalmente, facilidade de
compensação. Geralmente controladores eletrônicos são circuitos simples,
formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fácil
implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).
5.1 ESTRUTURA DO CONTROLADOR PID
Controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, comumente
denominados de PID, são controladores largamente utilizados no cenário industrial.
De forma a apresentar a estrutura de um controlador PID, considera-se
inicialmente o sistema de controle em malha-fechada apresentado abaixo.
Em linhas gerais a tarefa do controlador apresentado acima é a de, com base
no sinal de diferença e(t) (ou erro) existente entre o sinal de referência r(t) e o sinal
de saída y(t), gerar em sua saída um sinal de controle u(t) que seja capaz de corrigir
e se possível anular tal diferença. No caso específico do controlador PID, a lei de
controle descrita pelo bloco do controlador é composta de três termos:
Cada um dos termos do lado direito da equação são individualmente
associados a cada um dos tipos de ações do controlador. Em nível de blocos, o
controlador PID apresentado, pode ser representado conforme abaixo. Nesta
representação observa-se que o sinal de erro e(t) é utilizado como entrada em três
blocos distintos.
O bloco superior, constituído de uma constante K, é o responsável pela ação
proporcional do controlador. O sinal de saída deste bloco é dado pela seguinte
equação:
De forma análoga, pode-se escrever os sinais de saída relativos aos blocos
integral e derivativo, apresentados nas equações abaixo:
A função de transferência do controlador PID é apresentada da seguinte
forma:
O efeito de cada uma destas ações e suas implicações no comportamento
dinâmico de um sistema de controle serão apresentados na seqüência.
5.2- AÇÕES DE CONTROLE PID
1. Controladores de duas posições ou liga e desliga (ON-OFF)
2. Controladores proporcionais (P)
3. Controladores do tipo integral (I)
4. Controladores do tipo derivativo (D)
5. Controladores do tipo proporcional-mais-integral (PI)
6. Controladores do tipo proporcional-mais-derivativo (PD)
7. Controladores do tipo proporcional-mais-integral-mais-derivativo (PID)
8. Controlador por Avanço de Fase (Lead)
9. Controlador por Atraso de Fase (Lag)
10. Controlador por Avanço-Atraso (Lead-lag)
5.2.1. Ação de controle de duas posições ou liga-desliga (on-off)
É o controlador comumente mais simples. Exemplo: termostato.
Embora seja barato e extremamente simples, a natureza oscilatória do
controle torna-os apropriados apenas para aquelas aplicações onde podem ser
usados sozinhos e o controle preciso não é essencial.
Em um controle de duas posições, u(t) permanece ou em um valor máximo
ou em um valor mínimo, dependendo de ε(t) ser positivo ou negativo.
5.2.2 Ação de Controle Proporcional (P)
)t(Ke)t(u = ; )s(KE)s(U =
onde e(t)= r(t) - y(t) = SP - PV
No controle proporcional, quanto maior a magnitude do erro atuante, maior é
a ação corretiva aplicada. Um compensador deste tipo, como não acrescenta pólos
nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original.
- O controlador proporcional é um amplificador com ganho ajustável (K).
- O aumento do ganho K, diminui o erro de regime.
- Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatório, podendo torná-lo
instável
- Melhora o regime e piora o transitório, sendo bastante limitado.
Ex: r(t) +
-
c(t)1Ts+1
K
Para entrada degrau unitário ⇒ ess K=
+1
1
O erro será nulo somente para K → 00, o que nem sempre é possível.
O primeiro gráfico mostra o setpoint (sp) unitário e a saída do processo y para
diferentes valores do ganho K.O segundo gráfico mostra o sinal de controle (u) para
diferentes ganhos do controlador.
Muitos instrumentos usam um termo alternativo, Banda Proporcional (PB),
ao invés do ganho:
K100PB =
O termo Banda Proporcional se refere à faixa sobre a qual o erro deve variar
para que a saída do controlador (MV) excurcione em toda a sua faixa.
O ganho do controlador pode ser feito positivo ou negativo. Um ganho
positivo resulta em uma saída do controlador (MV) diminuindo quando a variável de
processo (PV) está crescendo (ação REVERSA). Para um ganho negativo a saída
do controlador (MV) diminui quando a variável de processo (PV) está cresce (ação
DIRETA). O sinal correto depende da ação do transmissor (usualmente direta), da
ação do válvula (ar-para-abrir-AO ou ar-para-fechar-AC) e do efeito do sinal de
controle (CS) na variável de processo (PV).
5.2.3. Ação de Controle Integral
O valor da saída do controlador u(t) é variado em uma taxa proporcional ao
sinal do erro atuante ε(t):
ou à
Se o valor de ε(t) é dobrado, então o valor de u(t) varia duas vezes mais
rápido. Para erro atuante nulo, o valor de u(t) permanece estacionário. A ação de
controle integral é muitas vezes chamada de controle de restabelecimento
(automatic reset).
5.2.4. Ação de Controle Derivativa
O valor da saída do controlador, u(t) é proporcional à derivada do erro
atuante, ε(t). Esse tipo de controle não produz nenhuma ação corretiva para
qualquer erro atuante constante, não importando sua magnitude, e portanto, essa
ação de controle isoladamente não tem utilidade prática.
5.2.5 Ação de Controle Proporcional + Integral (PI)
A ação integral esta então diretamente ligada à melhoria da precisão do
sistema. A ação integral do controlador move a variável de controle (CS) baseada
na integral no tempo do erro:
∫+=t
i
pp de
KteKtu
0
)()()( τττ
( )
)()( sEs
KsKsU ip +
= ou
onde i
iKpKτ
= e τi é o time integrativo ou tempo de reset com unidade da ordem de
minutos.
- Zera o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema em 1 unidade.
- É utilizado quando temos resposta transitória aceitável e resposta em regime
insatisfatória.
- Adiciona um pólo em p=0 e um zero em z= - Ki/Kp
- Como aumenta a ordem do sistema, temos possibilidade de instabilidade
diferentes do sistema original. Pode degradar o desempenho do controlador em
malha fechada.
Ex:
r(t) +
-
c(t)1Ts+1
Kp +Kis
PIe(t)
Para entrada degrau unitário ⇒ 01
1e ss =∞+
=
O primeiro gráfico mostra para um setpoint, ysp=1 e a saída para diferentes valores
do tempo integral (Ti). O segundo mostra estes valores com a variação do sinal de
controle (u). No caso do Ti = corresponde a um controle puramente proporcional.
Muitos controladores são calibrados em minutos (ou minutos/repetição, um termo
que origina-se do teste de colocar o controlador em um erro fixo e verificar quanto
tempo a ação integral leva para produzir a mesma mudança na saída do controlador
que o controlador proporcional tem com ganho 1; a integral repete a ação do
controlador proporcional).
5.2.6 Ação de Controle Proporcional + Derivativo (PD)
A ação de controle de um controlador proporcional-mais-derivativo é definida
pela seguinte equação:
)(.)()( tedtdKteKtu dpp τ+= ; ( ) )s(EsKK)s(U dp += ou
onde Kd= Kp.τd, sendo τd a constante derivativa em minutos.
Obs.: Este compensador, por introduzir um avanço de fase, é considerado na
bibliografia como um caso particular de um compensador em avanço.
- Leva em conta a taxa de variação do erro
- Atuando beneficamente no regime transitório, tendendo a aumentar a estabilidade
relativa do sistema e reduzindo o tempo de acomodação,
- É utilizado quando temos resposta em regime aceitável e resposta transitória
insatisfatória.
- Adiciona um zero em z= - Kp/Kd
- Introduz um efeito de antecipação no sistema, fazendo com que o mesmo reaja
não somente à magnitude do sinal de erro, como também à sua tendência para o
instante futuro, iniciando, assim, uma ação corretiva mais cedo
- A ação derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de ruído, o que pode
causar um efeito de saturação nos atuadores do sistema.
- Aumenta o tempo de subida e, por não atuar no regime permanente, não corrige o
erro de estado estacionário.
Ex:
r(t) +
-
c(t)1Js
Kp + Kd
PDe(t)
s 2
( )pd
2dp
KsKJs
sKK)s(R)s(C
++
+=
5.2.7 Ação de Controle Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
O PID une as ações proporcional, integral e derivativa num só controlador,
atuando tanto no regime transitório quanto no regime permanente. A ação de
controle de um controlador proporcional-mais-integral-maisderivativo
é definida pela seguinte equação:
sKsKsK
E(s)U(s) )s(EsK
sK
K)s(U ip2
dd
ip
++=⇒
++= ou
Esse é um compromisso entre as vantagens e desvantagens dos controles PI
e PD. O offset é eliminado pela presença da ação integral e o modo derivativo reduz
o desvio máximo e o tempo de oscilação embora esse seja ainda maior do que com
apenas o controle PD. Tais controladores são freqüentemente instalados mais por
sua versatilidade e nem tanto porque a análise do sistema indicou a necessidade
da presença de todos os três modos de controle.
- É utilizado quando temos resposta transitória e em regime insatisfatórias.
- Adiciona um pólo em p=0 e 2 zeros, que dependem dos parâmetros do
controlador.
- Geralmente os dois zeros são reais e iguais.
5.2.8 Ação de Controle Avanço de Fase (Lead)
Sua principal finalidade é suprir um atraso de fase estabelecido naturalmente
pelas próprias características de alguns componentes do sistema original. Este tipo
de compensação permite remodelar o lugar das raízes de maneira a obterem-se
pólos dominantes desejados em malha fechada. Em geral seus efeitos
correspondem a um aumento no amortecimento, com menores tempo de subida e
de acomodação, o que corresponde, no domínio da freqüência, a um aumento na
largura de faixa. Além disso, as margens de ganho e de fase são melhoradas,
contudo o erro de estado estacionário não é afetado.
- Introduz um zero e um pólo
- Melhora o transitório, a exemplo do controlador PD
- Sempre adianta a fase
5.2.9 Ação de Controle Atraso de Fase (Lag)
Uma compensação em atraso melhora o erro em regime permanente, no
entanto, diminui a largura de faixa, o que implica, em termos de domínio do tempo,
numa resposta mais lenta, com maiores tempos de subida e acomodação. Em
alguns casos é preciso reduzir a largura de faixa de um dado sistema com o intuito
de torná-lo menos susceptível a sinais de ruído.
- Introduz um zero e um pólo
- Melhora o regime, a exemplo do controlador PI
- Sempre atrasa a fase
- Não zera o erro, mas o reduz bastante
5.2.10 Ação de Controle Avanço-Atraso de Fase (Lead-Lag)
Em casos onde se deseja uma resposta rápida, característica de sistema com
compensação em avanço, porém com diminuição do erro em regime estacionário,
que é garantida por uma compensação em atraso, é possível usar um controlador
que una ambas as características, que é o caso do controlador em avanço–atraso.
- Introduz dois zeros e dois pólos
- É usado para melhorar o desempenho em regime e o transitório
- É análogo ao controlador PID
5.3 RESUMO DAS CARACTERÍSTICAS DOS MODOS PROPORCIONAL,
INTEGRAL E DIFERENCIAL
Admitindo como sinal de referência, ref(t), um degrau com amplitude
qualquer, faremos algumas observações sobre o efeito de cada um a das ações de
controle do PID. O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de
forma a diminuir o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime
permanente. O controlador integral elimina por completo o erro de regime
permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema. A ação derivativa
tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal, e
melhorando a resposta transitória. O efeito de cada uma das ações de controle no
sistema em malha-fechada é sumariado na tabela abaixo:
Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela
conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações
observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente
como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao
encargo do projetista.
Exemplo sistema regulador de nível mostrado abaixo.
Gráfico das Ações de Controle para o exemplo do Regulador de Nível
5.4- MODIFICAÇÕES DAS AÇÕES DE CONTROLE
5.4.1 PID Original
O controlador PID representado no diagrama de blocos abaixo é uma forma
simplificada. A implementação industrial do PID deve levar em consideração alguns
detalhes práticos.
5.4.2 Filtragem da Parte Derivativa
Como observado na ação de controle derivativa, o controle PD possui um alta
sensibilidade ao ruído do sistema. Para eliminarmos este tipo de problema a
implementação da ação derivativa é dada com a introdução de um pólo em alta
freqüência, como na equação abaixo:
NsT
sKTsGd
dd
+=
1)(
Esta equação pode ser interpretada como o termo derivativo sTd sendo filtrado por
um sistema de primeira ordem com tempo constante Td/N, ou seja, atua como
derivativa para sinais de baixa freqüência ou filtro bassa baixa. O ganho, no entanto,
fica limitado a KN, isto significa que a medição do ruído a altas freqüência é
amplificado pelo fator KN. Geralmente o valor de N varia de 4 a 20.
5.4.3 Setpoint Weighting
Uma mudança brusca (degrau) no sinal de referência (setpoint) pode gerar um
impulso no sinal de controle. Geralmente isto não é desejável, afinal a ação
derivativa não se aplica no sinal de referência. Este problema pode ser contornado
filtrando o sinal de referência antes de enviá-lo ao controle, o qual é chamado de
Setpoint Weighting. A equação então do controlador PID ficaria assim:
++= ∫
td
di
p dtdeTdsse
TeKtu
0
)(1)(
Onde o erro na parte proporcional é:
ybye spp −=
Onde o erro na parte derivativa:
ycye spd −=
E o erro na parte integrativa, o qual seria o verdadeiro erro:
yye sp −=
Os controladores com setpoint weighting, mesmo com diferentes valores de b e c,
obtêm os mesmos valores de resposta que o controlador PID original para
alterações de ruído e distúrbio sistema. A resposta para a variação do sinal de
referência pode ser modificado pelos parâmetros b e c. O sobressinal do sistema
para mudanças do setpoint é o menor para b=0. O parâmetro c é geralmente zero
para evitar grandes mudanças no sinal de controle devido a mudanças repentinas
do setpoint.
5.4.4 PI-D (Ligação alternativa do modo derivativo) e I-PD (com ligação alternativa
do modo proporcional)
O sinal de entrada usual de cada modo (proporcional, integral e derivativo) do
controlador PID é o erro entre o sinal de referência e o sinal de saída medido. Se o
sinal de erro está sujeito a mudanças repentinas de valor, o modo derivativo tende a
produzir instantaneamente valores muitos altos que podem saturar o sinal de
controle. Uma forma de atenuar esse efeito é conectar a entrada do modo derivativo
diretamente do sinal de saída medido, conforme diagrama de blocos abaixo. O sinal
de saída medido não apresenta alterações bruscas de valor, pois a própria dinâmica
associada ao processo funciona como um filtro. O controlador com o modo
derivativo ligado diretamente do sinal de saída medido é chamado de PI+D, para
diferenciar do esquema original do PID. A modificação proposta para o modo
derivativo também pode ser aplicada no modo proporcional. A modificação proposta
para o modo derivativo também pode ser aplicada no modo proporcional. Com isso
obtém-se o controlador I-PD o qual é muito utilizado para não derivar e nem
amplificar variações bruscas no sinal de referência.
5.4.5 Saturação do sinal de controle
Os processos industriais são submetidos a restrições construtivas, ou seja, a faixa
de valores do sinal de controle aplicado ao processo é definida pelas suas
características intrínsecas. Por exemplo, um controlador opera num intervalo
limitado de 0–10 volts ou 0–20 mA, uma válvula não pode abrir mais que 100% e
menos que 0%, um motor funcionando como atuador tem um limite de velocidade,
etc. Tais restrições são usualmente descritas como limitações na entrada da planta.
Por tanto, é preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro uma
faixa de operação especificada. O sinal de entrada do processo deve ser limitado
dentro desta faixa de operação, chamada de saturação. Como resultado das
limitações, a entrada real da planta é temporariamente diferente da saída do
controlador. Quando isto acontece, se o controlador é inicialmente projetado para
operar em uma região linear, o desempenho em malha fechada deteriora-se em
relação ao desempenho linear esperado. Esta deterioração de desempenho é
denominada windup.
5.4.6 Anti-Windup
A ação chamada de Anti-Windup, consiste em atenuar o efeito produzido pela
saturação do sinal de controle no desempenho do sistema. Um das formas de
aplicar essa ação é evitar que o modo integral mantenha o atuador saturado mesmo
quando o erro diminui.
A técnica de back-calculation funciona da seguinte forma: quando a saída do
atuador satura, o termo integral é novamente calculado de forma que seu valor
permaneça no limite do atuador. É vantajoso fazer esta correção não
instantaneamente, mas dinamicamente com uma constante de tempo Tt. O
diagrama abaixo exemplifica a inclusão de uma ação Anti-windup num controlador
PID.
O sistema apresenta uma malha de realimentação adicional. A diferença entre
a entrada e saída do atuador constitui um erro es que é realimentado à entrada do
integrador com ganho 1/Tt. Note que quando não existe saturação o erro es é nulo
e, portanto, a malha não tem nenhum efeito quando o controlador está operando
linearmente, ou seja, quando a saída u(t) não está saturada. Se existe a saturação
es é diferente de zero. O tempo para que a entrada do integrador chegue a zero é
determinado pelo ganho 1/Tt, onde Tt pode ser interpretado como a constante de
tempo que determina o quão rápido a entrada do integrador é levada a zero. Assim,
a seleção de valores pequenos para Tt pode parecer vantajosa à primeira vista.
Entretanto, deve-se ter cuidado na seleção de Tt especialmente em sistemas com
ação derivativa. O que pode acontecer é que ruídos espúrios podem levar a saída
do controlador à saturação provocando a atuação rápida da malha anti-windup e
tornando a entrada do integrador indesejavelmente zero. Na prática deve-se ter Tt
maior que Td e menor que Ti. Uma regra empírica sugerida é selecionar de acordo
com t i dT TT= .
5.4.7 Controlador IP
O controlador do tipo PI é empregado na maioria dos processos industriais onde se
deseja prioritariamente reduzir ou eliminar o erro de regime existente entre o valor
de referência e o sinal de saída. O diagramna abaixo exemplifica um controlador PI.
Uma variante da estrutura de controle PI, mostrada acima, é o chamado
controlador Integral- Proporcional (IP), mostrado no diagrama abaixo. O controle IP
é utilizado em controle de velocidade de maquinas elétricas e apresenta as mesmas
características de regulação e menor sobressinal a resposta ao degrau em relação
ao controle PI.
5.4.8 PID completo
O diagrama abaixo apresenta um esquema completo do PID incluindo um filtro
passa-baixa no modo derivativo e anti-windup no modo integral. As variáveis b e c
introduzidas no modo proporcional e o modo derivativo relativo à entrada de
referência valem 1 ou 0. Para b=1 e c=1 tanto o modo proporcional e derivativo
estão ligados ao sinal de referência, por outro lado se b=0 e c=0, estes modos estão
desligados do sinal de referência originado a configuração I+PD. A configuração
padrão do controlador PID é obtida com b=1 e C=1 e a configuração PI+D é obtida
com b=1 e c=0.
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