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Apresentação do Projeto
Matemática AMatemática A • 11.° ano
• Manual (3 partes)
• Caderno de Atividades
• Guia do Professor
• Propostas de resolução
• e-Manual
• Aplicações Didáticas
Recu
rsos
do
Prof
esso
r
Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011
Mais valor! Mais futuro!
O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Matemática A 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.
wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.
1
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MA11FNEP_CAP_20100471_4P_AO4_20100471_CAP_P01_02 4/2/11 3:57 PM Page 1
22
Tema 1 Sucessões monótonas e sucessões limitadas
MA
11FN-SU
C ©
Porto Editora
Exemplo
Mostre que é limitada a sucessão deBnida por: un = .
Estratégia
Vamos aplicar a deXnição.
Porquê
Porque sabemos que se un é limitada Em , M å R : m ≤ an ≤ M , A n å N .
ResoluçãoUsando enquadramento, temos que:
Por outro lado, 0 < ≤ 1 , daí que 0 < ≤ 2
E, assim, 1 < 1 + ≤ 3 , A n å N ,
ou seja, 1 < un ≤ 3 , A n å N .
A sucessão é limitada porque o conjunto dos seus termos é minorado e majo-rado.
Outro processo para mostrar que existem números reais, m e M , de modo que
m ≤ ≤ M , A n å N , pode ser o seguinte:
Recorrendo a uma representação gráXca da sucessão
Parece poder concluir-se que:
1 ≤ ≤ 3 , A n å N
Vejamos se, de facto, tal é verdade.
• 1 ≤ §n 0 0n ≤ n + 2 § 0n ≤ 2
• ≤ 3 §n 0 0n + 2 ≤ 3n
§ - 2n ≤ - 2 § n ≥ 1 .
Atendendo a que 0n ≤ 2 e n ≥ 1 , A n å N ,
pode concluir-se que a sucessão é limitada e que
1 ≤ ≤ 3 , A n å N
n + 2n
n + 2n = n
n + 2n = 1 + 2
n
1n
2n
2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
Estudar a monotonia de uma sucessão5
Questão 5
Mostre que são limitadas as sucessões:
5.1. an = 1 + ;
5.2. bn = 5 ;
5.3. cn = (- 1)n * ;
se n é par
- 1 se n é par
1n
1n
abc
5.4. dn =1n
60
Tema 5 Funções irracionais
MA
11FN-FU
N ©
Porto Editora
Exemplo
Seja f uma função real de variável real de>nida por f (x) = .
22.1. Represente f gra>camente e identi>que o domínio e as assíntotas dográ>co de f .
22.2. Partindo do grá>co de f , obtenha o grá>co g (x) = f (x) + 2 e h (x) = f (x + 2) e identi>que as respetivas assíntotas.
22.3. Partindo do grá>co de f obtenha o grá>co h e identi>que as respetivasassíntotas.
Estratégia
Vamos começar por determinar o domínio da função.
Em seguida, com a ajuda da calculadora, faz-se um esboço do gráRco de f .
A partir do gráRco de f obtêm-se os gráRcos das funções g e h .
Porquê
Porque os gráRcos das funções g e h podem facilmente ser obtidos do gráRcopor uma deslocação vertical e uma deslocação horizontal, respetivamente.
Resolução
22.1. f (x) = x- = =
Df = ]0 , + ?[
Os eixos coordenados são assíntotas do gráRco: x = 0 e y = 0 .
22.2. g (x) = f (x) + 2 ; g (x) = + 2
O gráRco de g obtém-se do gráRco de f subindo 2 unidades.
São assíntotas do gráRco de g as retas de equação:
y = 2 e x = 0 .
22.3. h (x) = f (x + 2) ; h (x) =
O gráRco de h obtém-se do gráRco de f peladeslocação de duas unidades para a esquerda.
São assíntotas do gráfico de h as retas deequação:
x = - 2 e y = 0
x-12
12 1
x12
1
"x
0 1
1
x
y
y = 1x
1
"x
1
"x + 2
Assíntota do gráEco de uma função22
Questão 22
Considere a função real de variável realde9nida por:
f (x ) = (x - 1)-
.
22.1. Determine o domínio de f e asassíntotas do respetivo grá9co.
22.2. Determine as assíntotas do grá9coda função g de9nida por:
g (x ) = f (x - 2) + 3 .
12
0 1
1
x
y
3
2
+ 2y = 1x
0 1 x
y
–1–2
1 + 2y = 1x
16
Tema 1 A calculadora e as razões trigonométricas
MA
11FN-G
EO ©
Porto Editora
Exemplo
A Lgura 3 representa uma ponte e a Lgura 4 o modelo geométrico da ponte.
No modelo tem-se:
•
• = 6 m
• [FECB] é um retângulo.
• ABWF = 62°
Sabe-se ainda que um peão para atravessar a ponte percorre 40,5 m .
Determine .
Apresente a resposta com aproximação às décimas do metro.
Estratégia
Começamos por determinar .
Em seguida, subtraímos 2 * a 40,5 m .
Porquê
Porque sabemos que:
• sin 62° =
•
•
•
Resolução
sin 62° = De]nição de sin a
= 26,9 m (1 c. d.)
AB = CD
AF
BC
AB
AB
6AB
AB = CD
BC = 40,5 - AB - CD
BC = 40,5 - 2 * AB
6AB
AB = 6sin 62°
BC = 40,5 - 2 * 6sin 62°
BC
A ponte2
6 m
62°
DEF
B C
AFigura 3 Figura 4
Questão 2
A Cgura 5 representa uma janela notelhado de uma casa.
A Cgura 6 representa o modelo geomé-trico da janela.
[ABC] é um triângulo equilátero.
= 1,5 m
Determine, com aproximação às décimasdo metro quadrado, a área do triângulo[ABC] .
1,5 m
A D B
C
Figura 6
CD
Figura 5
ManualO manual com a didática maisatualizadaO manual acompanha as novastendências do ensino daMatemática. Ao incorporar asnovas abordagens “Estratégia” e “Porquê”, promovemos a comunicação matemática, o raciocínio e a resolução deproblemas. Todos os exemplosapresentados, ao longo doMatemática A, seguem estaabordagem inovadora. Com oMatemática A nunca mais estadisciplina será ensinada eaprendida da mesma forma. Este é o manual que, mais doque ensinar Matemática, ensinaa pensar Matemática.
1
Manual
O manual que promove oestudo autónomoAo longo de todo o manual énotório o cuidado tido emintegrar temas de revisão quepermitam recuperar e/ouestruturar logicamente asmatérias.O sucesso em Matemáticapressupõe uma boa organizaçãoe uma orientação cuidada. O manual Matemática Aapresenta uma sequênciaestruturada da matéria que,passo a passo, vaiproporcionando e motivandopara o estudo autónomo,tornando-se, assim, um aliado do professor e dos pais /encarregados de educação.
Manual estruturado A apresentação dos conteúdosem formato de aula adapta-sefacilmente a metodologiasdiversificadas, de acordo com o perfil do professor e o nível daturma.
Caderno de Atividades
As destrezas matemáticasadquirem-se fazendo exercícios eresolvendo problemas. OCaderno de Atividadesproporciona aos alunos inúmerasfichas de trabalho que ospreparam para os momentos deavaliação ao longo do ano letivo.
Guia do Professor
O professor que adote esteprojeto tem disponíveis eorganizadas por capítulo:
• Tarefas de exploração/modelação, com planos deoperacionalização da tarefa.
• Propostas de questões-aula– Questões-aula;– Questões-aula em duas fases.
• Proposta de teste intermédio.
• Proposta de planos de aula:no sentido de apoiar oprofessor a integrar o manualno vasto conjunto de recursoshoje existentes (em papel e emformato digital), para cada aulaindicam-se os recursosdisponíveis, sugestões deutilização, propostas de
3
2 abordagem de cada tema esugestões sobre todos osaspetos que um plano de aulacontém. Estes planos de aulasão uma mais-valia nas aulas de substituição.
• Propostas de resolução dasQuestões-aula como forma deotimizar o tempo do Professor.
A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.
Propostas de resolução
Propostas de resolução de todasas questões do Manual e doCaderno de Atividades.Oferta ao professor em caso deadoção deste projeto.
e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)
O e-Manual apresenta:– uma versão digital do manual
Matemática A;– uma versão digital das
propostas de resolução detodas as questões do Manuale do Caderno de Atividades;
– tudo o que o CD das aplicaçõesdidáticas contém.
5
4
Aplicações Didáticaspara o Professor
Para otimizarem o trabalho doprofessor que usa oMatemática A, os autoresdesenvolveram um conjuntodiversificado de aplicaçõesdidáticas que sãodisponibilizadas a todos osprofessores em formato digitalnum CD:• Manual em formato digital• Apresentações em
PowerPoint®, com a síntese do capítulo;
• Aplicações GeoGebra e emfolha de cálculo para os temasem que estas ferramentasapresentam vantagempedagógica;
• Tarefas e questões-aula emQuizFaber® para motivar,diversificar métodos eestratégias de ensino e facilitara avaliação contínua;
• Questões-aula em duas fases,um recurso de excelência paraenvolver os alunos na construçãodo seu processo de ensino --aprendizagem, consolidando-oe promovendo o sucesso.
A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.
6
1 Caderno de Atividades2 Guia do Professor3 e-Manual do Professor5Propostas de resolução4 Aplicações Didáticaspara o Professor
6
Recu
rsos
do
Prof
esso
r
O manual que potencia osucesso para todosA diversidade de atividadespropostas (Atividades deAplicação, Fichas de Avaliaçãocom exercícios de escolhamúltipla e de desenvolvimento eProposta de testes intermédios)em cada tema do Matemática Apromove um ensino diferenciado,proporcionando, em particularaos alunos com maior potencial,a realização de tarefas deenriquecimento e pesquisa quelhes permitirão atingirclassificações elevadas, quer emavaliação em situação de aula,quer nos Testes Intermédios e noExame Nacional. Desta forma,alunos, professores e escolaalcançarão sucesso.
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Tema 1 Sucessões monótonas e sucessões limitadas
MA
11FN-SU
C ©
Porto Editora
Exemplo
Mostre que é limitada a sucessão deBnida por: un = .
Estratégia
Vamos aplicar a deXnição.
Porquê
Porque sabemos que se un é limitada Em , M å R : m ≤ an ≤ M , A n å N .
ResoluçãoUsando enquadramento, temos que:
Por outro lado, 0 < ≤ 1 , daí que 0 < ≤ 2
E, assim, 1 < 1 + ≤ 3 , A n å N ,
ou seja, 1 < un ≤ 3 , A n å N .
A sucessão é limitada porque o conjunto dos seus termos é minorado e majo-rado.
Outro processo para mostrar que existem números reais, m e M , de modo que
m ≤ ≤ M , A n å N , pode ser o seguinte:
Recorrendo a uma representação gráXca da sucessão
Parece poder concluir-se que:
1 ≤ ≤ 3 , A n å N
Vejamos se, de facto, tal é verdade.
• 1 ≤ §n 0 0n ≤ n + 2 § 0n ≤ 2
• ≤ 3 §n 0 0n + 2 ≤ 3n
§ - 2n ≤ - 2 § n ≥ 1 .
Atendendo a que 0n ≤ 2 e n ≥ 1 , A n å N ,
pode concluir-se que a sucessão é limitada e que
1 ≤ ≤ 3 , A n å N
n + 2n
n + 2n = n
n + 2n = 1 + 2
n
1n
2n
2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
n + 2n
Estudar a monotonia de uma sucessão5
Questão 5
Mostre que são limitadas as sucessões:
5.1. an = 1 + ;
5.2. bn = 5 ;
5.3. cn = (- 1)n * ;
se n é par
- 1 se n é par
1n
1n
abc
5.4. dn =1n
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Tema 5 Funções irracionais
MA
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N ©
Porto Editora
Exemplo
Seja f uma função real de variável real de>nida por f (x) = .
22.1. Represente f gra>camente e identi>que o domínio e as assíntotas dográ>co de f .
22.2. Partindo do grá>co de f , obtenha o grá>co g (x) = f (x) + 2 e h (x) = f (x + 2) e identi>que as respetivas assíntotas.
22.3. Partindo do grá>co de f obtenha o grá>co h e identi>que as respetivasassíntotas.
Estratégia
Vamos começar por determinar o domínio da função.
Em seguida, com a ajuda da calculadora, faz-se um esboço do gráRco de f .
A partir do gráRco de f obtêm-se os gráRcos das funções g e h .
Porquê
Porque os gráRcos das funções g e h podem facilmente ser obtidos do gráRcopor uma deslocação vertical e uma deslocação horizontal, respetivamente.
Resolução
22.1. f (x) = x- = =
Df = ]0 , + ?[
Os eixos coordenados são assíntotas do gráRco: x = 0 e y = 0 .
22.2. g (x) = f (x) + 2 ; g (x) = + 2
O gráRco de g obtém-se do gráRco de f subindo 2 unidades.
São assíntotas do gráRco de g as retas de equação:
y = 2 e x = 0 .
22.3. h (x) = f (x + 2) ; h (x) =
O gráRco de h obtém-se do gráRco de f peladeslocação de duas unidades para a esquerda.
São assíntotas do gráfico de h as retas deequação:
x = - 2 e y = 0
x-12
12 1
x12
1
"x
0 1
1
x
y
y = 1x
1
"x
1
"x + 2
Assíntota do gráEco de uma função22
Questão 22
Considere a função real de variável realde9nida por:
f (x ) = (x - 1)-
.
22.1. Determine o domínio de f e asassíntotas do respetivo grá9co.
22.2. Determine as assíntotas do grá9coda função g de9nida por:
g (x ) = f (x - 2) + 3 .
12
0 1
1
x
y
3
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+ 2y = 1x
0 1 x
y
–1–2
1 + 2y = 1x
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Tema 1 A calculadora e as razões trigonométricas
MA
11FN-G
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Porto Editora
Exemplo
A Lgura 3 representa uma ponte e a Lgura 4 o modelo geométrico da ponte.
No modelo tem-se:
•
• = 6 m
• [FECB] é um retângulo.
• ABWF = 62°
Sabe-se ainda que um peão para atravessar a ponte percorre 40,5 m .
Determine .
Apresente a resposta com aproximação às décimas do metro.
Estratégia
Começamos por determinar .
Em seguida, subtraímos 2 * a 40,5 m .
Porquê
Porque sabemos que:
• sin 62° =
•
•
•
Resolução
sin 62° = De]nição de sin a
= 26,9 m (1 c. d.)
AB = CD
AF
BC
AB
AB
6AB
AB = CD
BC = 40,5 - AB - CD
BC = 40,5 - 2 * AB
6AB
AB = 6sin 62°
BC = 40,5 - 2 * 6sin 62°
BC
A ponte2
6 m
62°
DEF
B C
AFigura 3 Figura 4
Questão 2
A Cgura 5 representa uma janela notelhado de uma casa.
A Cgura 6 representa o modelo geomé-trico da janela.
[ABC] é um triângulo equilátero.
= 1,5 m
Determine, com aproximação às décimasdo metro quadrado, a área do triângulo[ABC] .
1,5 m
A D B
C
Figura 6
CD
Figura 5
ManualO manual com a didática maisatualizadaO manual acompanha as novastendências do ensino daMatemática. Ao incorporar asnovas abordagens “Estratégia” e “Porquê”, promovemos a comunicação matemática, o raciocínio e a resolução deproblemas. Todos os exemplosapresentados, ao longo doMatemática A, seguem estaabordagem inovadora. Com oMatemática A nunca mais estadisciplina será ensinada eaprendida da mesma forma. Este é o manual que, mais doque ensinar Matemática, ensinaa pensar Matemática.
1
Manual
O manual que promove oestudo autónomoAo longo de todo o manual énotório o cuidado tido emintegrar temas de revisão quepermitam recuperar e/ouestruturar logicamente asmatérias.O sucesso em Matemáticapressupõe uma boa organizaçãoe uma orientação cuidada. O manual Matemática Aapresenta uma sequênciaestruturada da matéria que,passo a passo, vaiproporcionando e motivandopara o estudo autónomo,tornando-se, assim, um aliado do professor e dos pais /encarregados de educação.
Manual estruturado A apresentação dos conteúdosem formato de aula adapta-sefacilmente a metodologiasdiversificadas, de acordo com o perfil do professor e o nível daturma.
Caderno de Atividades
As destrezas matemáticasadquirem-se fazendo exercícios eresolvendo problemas. OCaderno de Atividadesproporciona aos alunos inúmerasfichas de trabalho que ospreparam para os momentos deavaliação ao longo do ano letivo.
Guia do Professor
O professor que adote esteprojeto tem disponíveis eorganizadas por capítulo:
• Tarefas de exploração/modelação, com planos deoperacionalização da tarefa.
• Propostas de questões-aula– Questões-aula;– Questões-aula em duas fases.
• Proposta de teste intermédio.
• Proposta de planos de aula:no sentido de apoiar oprofessor a integrar o manualno vasto conjunto de recursoshoje existentes (em papel e emformato digital), para cada aulaindicam-se os recursosdisponíveis, sugestões deutilização, propostas de
3
2 abordagem de cada tema esugestões sobre todos osaspetos que um plano de aulacontém. Estes planos de aulasão uma mais-valia nas aulas de substituição.
• Propostas de resolução dasQuestões-aula como forma deotimizar o tempo do Professor.
A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.
Propostas de resolução
Propostas de resolução de todasas questões do Manual e doCaderno de Atividades.Oferta ao professor em caso deadoção deste projeto.
e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)
O e-Manual apresenta:– uma versão digital do manual
Matemática A;– uma versão digital das
propostas de resolução detodas as questões do Manuale do Caderno de Atividades;
– tudo o que o CD das aplicaçõesdidáticas contém.
5
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Aplicações Didáticaspara o Professor
Para otimizarem o trabalho doprofessor que usa oMatemática A, os autoresdesenvolveram um conjuntodiversificado de aplicaçõesdidáticas que sãodisponibilizadas a todos osprofessores em formato digitalnum CD:• Manual em formato digital• Apresentações em
PowerPoint®, com a síntese do capítulo;
• Aplicações GeoGebra e emfolha de cálculo para os temasem que estas ferramentasapresentam vantagempedagógica;
• Tarefas e questões-aula emQuizFaber® para motivar,diversificar métodos eestratégias de ensino e facilitara avaliação contínua;
• Questões-aula em duas fases,um recurso de excelência paraenvolver os alunos na construçãodo seu processo de ensino --aprendizagem, consolidando-oe promovendo o sucesso.
A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.
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1 Caderno de Atividades2 Guia do Professor3 e-Manual do Professor5Propostas de resolução4 Aplicações Didáticaspara o Professor
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O manual que potencia osucesso para todosA diversidade de atividadespropostas (Atividades deAplicação, Fichas de Avaliaçãocom exercícios de escolhamúltipla e de desenvolvimento eProposta de testes intermédios)em cada tema do Matemática Apromove um ensino diferenciado,proporcionando, em particularaos alunos com maior potencial,a realização de tarefas deenriquecimento e pesquisa quelhes permitirão atingirclassificações elevadas, quer emavaliação em situação de aula,quer nos Testes Intermédios e noExame Nacional. Desta forma,alunos, professores e escolaalcançarão sucesso.
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Apresentação do Projeto
Matemática AMatemática A • 11.° ano
• Manual (3 partes)
• Caderno de Atividades
• Guia do Professor
• Propostas de resolução
• e-Manual
• Aplicações Didáticas
Recu
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Prof
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r
Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011
Mais valor! Mais futuro!
O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Matemática A 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.
wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.
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