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Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia
eléctrica
João Tiago Abelho dos Santos Calheiros Andrade
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Orientadores: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira
Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Júri
Presidente: Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Orientador: Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Vogal: Prof. Doutor Duarte de Mesquita e Sousa
Setembro de 2014
ii
iii
“O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” –
Albert Einstein
iv
v
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço aos meus orientadores, professor Marcelino Ferreira e professora
Célia de Jesus, pela ajuda e auxílio prestados durante a realização desta dissertação.
Obrigado também a todos os professores que ao longo da vida me foram dispensando os seus
ensinamentos e cimentando os meus conhecimentos.
Igualmente agradeço aos meus amigos e colegas por todos estes anos de convívio e amizade
que muito contribuiu para me trazer até aqui.
E por fim, o maior obrigado de todos aos meus pais e avós por toda a compreensão, apoio e
força nos momentos mais difíceis. Sem vocês não teria sido possível.
vi
Resumo
De um modo geral, esta dissertação surge no âmbito da análise de redes de energia eléctrica,
bem como da tentativa de encontrar métodos alternativos para o cálculo de perdas na transmissão,
após a ocorrência de perturbações.
Surge ainda com o objectivo de retomar o trabalho realizado na dissertação para obtenção do
grau de Doutor “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e
Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” [5], realizada pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos
Cardoso de Jesus.
Uma vez que a definição da topologia de operação da rede pode significar um elevado número de
possíveis configurações para a mesma, torna-se imperativo encontrar uma forma alternativa de saber
quais as melhores soluções, sem envolver o cálculo de trânsitos de energia para todos os casos.
Desta forma, numa primeira fase, trata-se o conceito de rede adjunta e calculam-se as
sensibilidades de perdas para quaisquer parâmetros da rede, com base no Teorema de Tellegen e no
conceito de redes adjuntas. Posteriormente desenvolve-se uma fórmula exacta, continuando-se o
estudo sobre a avaliação de perdas.
Finalmente, estuda-se a ideia de, reduzindo o esforço computacional e o espaço de observação
da rede, obter resultados fiáveis para o cálculo de perdas, com base num modelo aproximado.
Todos os cálculos e resultados obtidos foram realizados com auxílio do MATLAB.
Palavras-chave
Redes de energia eléctrica, avaliação de perdas, redes adjuntas, Teorema de Tellegen, análise
de sensibilidades
vii
Abstract
In general, this dissertation appears in the ambit of the analysis of power networks, as well as the
attempt of finding alternative methods for calculating the transmission losses after the occurrence of
disturbances.
Another goal of this dissertation is to follow the study performed in the PhD dissertation “Aplicação
do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de
Energia Eléctrica” [5], realized by the Prof. Dr. Célia Maria Santos Cardoso de Jesus.
Once the definition of the network operation topology can mean a large number of possible
configurations, it becomes imperative to find an alternative way of knowing what the best solutions
without involving the calculation of power flows to all cases.
This way, in a first stage, it is treated the concept of adjoint network and the loss sensitivities are
calculated for any network parameters, based on the Tellegen’s Theorem and on the concept of
adjoint networks. Posteriorly, it is developed a precise formula, continuing the study of the loss
evaluation.
Finally, we study the idea of get reliable results for the calculation of losses, reducing the
computational effort and the network’s observation space, based on an approximate model.
All the calculations and the obtained results were performed using MATLAB.
Key words
Power networks, loss evaluation, adjoint networks, Tellegen’s theorem, sensitivity analysis
viii
Índice
Agradecimentos ....................................................................................................... v
Resumo .................................................................................................................... vi
Abstract ................................................................................................................... vii
Índice de Figuras ...................................................................................................... x
Índice de Tabelas .................................................................................................... xii
Lista de Símbolos e Abreviaturas ........................................................................ xiii
1. Introdução ............................................................................................................. 1
1.1 Contexto e Motivação ........................................................................................................... 2 1.2 Análise do problema e principais objectivos ..................................................................... 4 1.3 Estrutura da Dissertação ...................................................................................................... 5
2. Avaliação de perdas – Sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de
redes adjuntas .......................................................................................................... 7
2.1 Introdução .............................................................................................................................. 8 2.2 Objectivos .............................................................................................................................. 8
2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades ..................................................................... 9 2.2.2 Modelação da rede adjunta ............................................................................................. 9
2.3 Teorema de Tellegen ............................................................................................................. 9 2.4 Representação simbólica da rede adjunta ....................................................................... 10 2.5 Sensibilidades - Fórmulas .................................................................................................. 11 2.6 Modelação ............................................................................................................................ 12
2.6.1 Ramo .................................................................................................................. 12 2.6.2 Ramo .................................................................................................................. 12 2.6.3 Ramo .................................................................................................................. 13 2.6.4 Ramo .................................................................................................................. 13 2.6.5 Soma de Tellegen.......................................................................................................... 14
2.7 Exemplo ................................................................................................................................ 15 2.8 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 21
3. Avaliação de perdas – Fórmula exacta ............................................................. 23
3.1 Introdução ............................................................................................................................ 24 3.2 Objectivos ............................................................................................................................ 25 3.3 Variações de tensão - equações exactas .......................................................................... 25 3.4 Dedução da fórmula exacta ................................................................................................ 26
3.4.1 Ramo .................................................................................................................. 27 3.4.2 Ramo .................................................................................................................. 27 3.4.3 Ramo .................................................................................................................. 28 3.3.4 Ramo .................................................................................................................. 28
3.5 Fórmula exacta .................................................................................................................... 29 3.6 Exemplo ................................................................................................................................ 30
3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta .............................................................................................. 30 3.6.2 Comparação de resultados ........................................................................................... 33
3.7 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 37
4. Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado ........... 39
ix
4.1 Introdução ............................................................................................................................ 40 4.2 Objectivo .............................................................................................................................. 40 4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no Teorema de Tellegen . 41 4.4 Solução local para as novas equações ............................................................................. 42 4.5 Exemplos .............................................................................................................................. 43
4.5.1 Testes e Resultados ...................................................................................................... 44 4.6 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 53
5. Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado ........... 55
5.1 Introdução ............................................................................................................................ 56 5.2 Objectivos ............................................................................................................................ 57 5.3 Modelo aproximado por solução local .............................................................................. 57
5.3.1 Conceito ......................................................................................................................... 57 5.3.2 Procedimento ................................................................................................................. 58
5.4 Modelos para comparação ................................................................................................. 59 5.4.1 Fórmula exacta .............................................................................................................. 59 5.4.2 Avaliação por sensibilidades ......................................................................................... 59
5.5 Exemplos .............................................................................................................................. 60 5.6 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 64
6. Síntese final ........................................................................................................ 65
6.1 Síntese .................................................................................................................................. 66 6.2 Continuidade do estudo ..................................................................................................... 68
Bibliografia .............................................................................................................. 69
Anexos..................................................................................................................... 71
1. Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e 3 .................................................. 72
2. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os ramos) .................. 73
3. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com menos ramos) . 75
x
Índice de Figuras
Figura 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta ………………………………... 10
Figura 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo ……………………………...…...………. 15
Figura 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2 ……………………... 15
Figura 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir das sensibilidades, no espaço , ……………………………………………................. 18
Figura 2.5 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir das sensibilidades, no espaço e ……………………………………………………...... 19
Figura 2.6 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir das sensibilidades, no espaço e …………………………………………………..... 20
Figura 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir da fórmula exacta, no espaço e ……………………………………………………….. 31
Figura 3.2 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir da fórmula exacta, no espaço e ………………………………………………………... 32
Figura 3.3 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas
a partir da fórmula exacta, no espaço e …………………………………………………..... 33
Figura 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia
por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e …………………………………….... 34
Figura 3.5 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia
por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e ……………………………………..... 35
Figura 3.6 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia
por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e …………………………………... 36
Figura 4.1 – Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo
aproximado para avaliação de tensão ……………………………………………………………………... 43
Figura 4.2 – Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo que liga os nós
7 e 9) …………………………………………………………………………………………........................ 44
Figura 4.3 – Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações .……….… 44
xi
Figura 4.4 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões,
para diferentes níveis de carga nos barramentos ………………………………………………………... 45
Figura 4.5 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões
com carga nominal nos barramentos …………………………………………………………………….... 46
Figura 4.6 – Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações
entre os barramentos) ……………………………………………………………………………………….. 47
Figura 4.7 – Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os
barramentos 2 e 4 e ligar os barramentos 5 e 9) …………………………………………………………. 48
Figura 4.8 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões
nos barramentos directamente perturbados – região curta ……………………………………………... 49
Figura 4.9 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões
nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada …………….. 50
Figura 4.10 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das
tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta ………………………………….... 51
Figura 4.11 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das
tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada ….. 52
Figura 5.1 – Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em
redes de distribuição …………………………………………………………………………………………. 58
Figura 5.2 – Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela
fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas ………………………….. 60
Figura 5.3 – Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela
fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado …………………………………………. 61
Figura 5.4 – Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela
fórmula exacta e pelo modelo aproximado ………………………………………………………………... 63
xii
Índice de Tabelas
Tabela 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente ... 16
Tabela 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos
diferentes parâmetros do mesmo ..................................................................................................... 16
Anexos
Tabela 1.1 – Dados dos ramos - rede de 5 barramentos ................................................................. 72
Tabela 1.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 5 barramentos ............................... 72
Tabela 2.1 – Dados dos ramos – rede completa de 10 barramentos ............................................... 73
Tabela 2.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede completa de 10 barramentos .............. 74
Tabela 3.1 – Dados dos ramos – rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) .................. 75
Tabela 3.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 10 barramentos (versão com
menos ramos) ................................................................................................................................... 76
xiii
Lista de Símbolos e Abreviaturas
Δ - Símbolo que denota a variação de uma grandeza
¨ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta
˄ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta
~ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta
* - Símbolo que denota o conjugado de uma grandeza
- Índice do ramo de referência
- Conjunto de índices dos ramos da rede passiva
- Conjunto de índices dos ramos que correspondem a cargas activas (corresponde a na tese
de referência [5])
- Conjunto de índices dos ramos de geração
– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na potência activa de geração
– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações no módulo da tensão de geração
- Subconjunto de para ramos que sofrem alterações de potência complexa
- Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na sua admitância
- Tensão no ramo k
- Corrente no ramo k
- Admitância do ramo k
xiv
1
Capítulo 1
Introdução Este primeiro capítulo introduz o tema da dissertação, Aproximações ao cálculo de perdas em
redes de energia eléctrica, abordando o contexto em que se insere, a motivação, expondo ainda o
problema em questão.
A estrutura seguida ao longo da dissertação é também apresentada neste capítulo.
2
1.1 Contexto e Motivação
A energia eléctrica é uma forma de energia que, mediante a transformação adequada, pode
apresentar-se de outras formas que permitam o seu uso directo, em forma de luz, movimento ou
ainda calor.
Essencialmente produzida em centrais termoeléctricas, centrais hidroeléctricos, sistemas eólicos,
solares e nucleares, é uma das formas de energia mais utilizadas pela humanidade e considerada,
nos dias de hoje, como um ‘bem de primeira necessidade’, uma vez que é impensável viver sem
energia eléctrica.
Em Portugal, os principais produtores de energia eléctrica em regime ordinário são a EDP
Produção, com produção hidráulica e térmica, a Iberdrola, com produção exclusivamente hidráulica, a
REN Trading, que tem como principal função a gestão da Turbogás e da Tejo Energia, e a
ELECGÁS, ambas com produção exclusivamente térmica. Existe ainda alguma produção em regime
especial. Ao nível do transporte, a REN é a concessionária de serviço público exclusiva da RNT
(Rede Nacional de Transporte), em muito alta e alta tensão, ligando os produtores aos centros de
consumo e cobrindo a totalidade do território continental. O sector da distribuição de electricidade
divide-se em média e alta tensão e baixa tensão. A distribuição em média e alta tensão é operada em
exclusivo pela EDP Distribuição, através da RND (Rede Nacional de Distribuição). No mercado de
distribuição de baixa tensão, ainda que operado quase na totalidade também pela EDP Distribuição,
existem algumas excepções em que a distribuição de energia eléctrica está atribuída a pequenos
operadores.
Previsões apontam para o aumento do consumo de energia eléctrica no futuro. Neste sentido, é
importante a realização de estudos que facilitem a análise e aumentem a fiabilidade e eficiência dos
sistemas de energia eléctrica.
Existem vários critérios de qualidade nos sistemas de energia eléctrica. Um dos principais
indicadores da eficiência de uma rede eléctrica é as perdas de energia que ocorrem ao longo da sua
estrutura. Muitas vezes, o estudo das perdas de energia baseia-se na análise da diferença entre a
energia comprada e a energia facturada por parte da empresa responsável pela distribuição. O
principal problema desta análise é que não permite conhecer a localização das perdas e quais os
parâmetros da rede responsáveis pela sua ocorrência. Da mesma forma, a análise referida apenas
sugere um montante de perdas, o que torna difícil a realização de um estudo de optimização para
uma rede de dimensões reais.
Uma vez que a optimização desempenha um papel de grande relevância no planeamento, gestão
e operação dos sistemas de energia eléctrica, é neste contexto que se insere o estudo desenvolvido
nesta dissertação, análise de modelos aproximados para o cálculo de perdas de energia que
permitam obter resultados precisos, num curto espaço de tempo e com reduzido esforço
computacional.
Esta dissertação tem ainda como principal motivação retomar em parte o estudo realizado em
2004 pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus, na sua tese de doutoramento
“Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em
3
Sistemas de Energia Eléctrica”. A principal ideia será retomar a parte deste estudo referente aos
modelos, aproximados e exactos, sugeridos como alternativa para a avaliação de perdas em redes de
energia eléctrica.
Desta forma é sugerido, ao leitor da presente dissertação, realizar uma leitura da mesma em
paralelo com a tese de referência [5] e seguindo as sugestões que para ela remetem. Os exemplos
práticos apresentados ao longo dos vários capítulos desta dissertação seguem muitas vezes os
exemplos da tese de doutoramento de referência [5] ilustrando, no entanto, diferentes casos,
diferentes pontos de funcionamento e diferentes redes de energia. Por outro lado, e como forma de
confirmar a validade do código MATLAB desenvolvido, os exemplos ilustrativos apresentados na tese
de referência [5] foram reproduzidos. Esta reprodução de exemplos, bem como os resultados e
gráficos obtidos pela mesma com sucesso, não é apresentada nesta dissertação, uma vez que foi
apenas realizada como método de verificação e validação do código. Ainda assim, e uma vez que os
exemplos apresentados nesta dissertação correspondem de certa forma a exemplos dados na tese
de referência [5], pode encontrar-se em cada exemplo uma nota de redireccionamento para o
exemplo correspondente no estudo realizado anteriormente [5], por forma a complementar o estudo e
exemplo em questão.
Realizando esta ponte entre a presente dissertação e a tese de doutoramento da Prof.ª Doutora
Célia Maria Santos Cardoso de Jesus pretende-se retomar e complementar o estudo realizado
anteriormente sobre a aproximação ao cálculo de perdas e, ainda, facilitar a compreensão do leitor,
principalmente se este pretender prosseguir estudos relacionados com esta temática.
Desta forma, e por uma questão de simplificação e fluência na escrita e leitura da presente
dissertação, a tese de doutoramento “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao
Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” será a partir deste ponto referida
como tese de referência seguida do número que a representa na bibliografia [5].
4
1.2 Análise do problema e principais objectivos
A energia eléctrica produzida nos centros de geração, normalmente localizados a grandes
distâncias dos centros de consumo, é transportada por linhas de transmissão que alimentam as
subestações de subtransmissão, localizadas mais próximo dos centros urbanos. A partir deste ponto,
o papel do sistema de distribuição de energia eléctrica é o de levar a electricidade a todos os
consumidores do sistema, onde quer que estes se encontrem.
Evidentemente, uma vez que alimentam consumidores tão diversos e tão distanciados, as redes
eléctricas apresentam características muito específicas e alguns problemas tecnológicos.
A reconfiguração de redes de distribuição possui um papel importante no planeamento dos
sistemas de energia, onde é preciso definir a topologia em que a rede irá operar. Um dos objectivos
deste trabalho será o estudo de várias configurações de uma rede por forma a analisar a evolução
das perdas de distribuição de energia e tentar minimizá-las.
Existem outras formas de redução destas perdas de distribuição, no entanto, são as
reconfigurações que apresentam as soluções economicamente mais viáveis. O processo de
reconfiguração consiste em retirar e inserir ramos na rede, processo este que corresponde a
perturbações da mesma.
Tradicionalmente, o cálculo de perdas de energia em determinada rede pode ser efectuado
realizando o trânsito de energia (Power Flow) através de métodos como Newton-Raphson, Gauss-
Seidel ou Desacoplamento. Outra hipótese para o cálculo de perdas seria o igualmente clássico
Método do Bs. Com estas duas soluções pode-se chegar ao cálculo exacto das perdas numa rede,
no entanto, existe um grande problema associado. No cálculo de perdas para um elevado número de
possíveis configurações de uma determinada rede, o tempo e esforço de computação seria
demasiado elevado.
Desta forma, esta dissertação sugere estudar o desempenho de diferentes aproximações ao
cálculo de perdas em redes de energia eléctrica em termos de precisão de resultados como função
do esforço computacional e do espaço de observação da rede.
5
1.3 Estrutura da Dissertação
A forma como esta dissertação está organizada tem por base uma estrutura que segue uma linha
de raciocínio, ao longo da qual se vão tirando conclusões e comparando estudos de capítulos
anteriores com os estudos dos capítulos correntes. Todas as análises feitas ao longo da dissertação
são ilustradas com exemplos práticos, quem têm por base os exemplos apresentados na tese de
referência [5].
Antes de se iniciar qualquer explicação ou análise acerca do tema em questão, Aproximações ao
cálculo de perdas em redes de energia eléctrica, tem-se o primeiro capítulo da dissertação. Um
capítulo meramente introdutório que tem como objectivos a apresentação do tema, a explanação do
contexto e do problema em análise, explicar a relação entre esta dissertação e a tese de referência
[5] e ainda expor os principais objectivos deste estudo, terminando com esta apresentação da
estrutura geral da dissertação.
O Capítulo 2, Avaliação de perdas – sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de
redes adjuntas, assim como é sugerido pelo título do capítulo, introduz uma primeira forma de
avaliação de perdas em redes de energia eléctrica, as sensibilidades, assim como conceitos
fundamentais para esta dissertação. São eles, o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta
de um sistema de energia.
O Capítulo 3, Avaliação de perdas – Fórmula exacta, segue o estudo do capítulo anterior e,
com base nos conceitos apresentados no mesmo, desenvolve-se neste capítulo uma fórmula exacta
para o cálculo de perdas. Como foi dito anteriormente, esta dissertação segue uma linha de raciocínio
e, como tal, logo neste terceiro capítulo é feita a ligação com o capítulo anterior, comparando-se
alguns resultados e tirando-se algumas conclusões acerca dos modelos apresentados até esta fase.
O Capítulo 4, Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado, é um
capítulo de grande importância, uma vez que serve de estudo base para o capítulo seguinte. As
equações aproximadas para o cálculo de tensões nos barramentos de uma rede de distribuição,
analisadas neste capítulo, serão a base do modelo aproximado para avaliação de perdas do capítulo
5. São ainda estudadas, neste capítulo, soluções locais para as equações de cálculo de tensões,
como forma de aproximação.
O Capítulo 5, Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado, é o
capítulo que justifica, no verdadeiro contexto da dissertação, a existência do capítulo 4. Neste
capítulo é apresentado um modelo aproximado para o cálculo de perdas que tem por base as tensões
aproximadas calculadas com o modelo apresentado no capítulo anterior. Para este modelo é ainda
utilizada a fórmula exacta desenvolvida no terceiro capítulo, ainda que de forma aproximada e
localizada. Este capítulo é o culminar dos estudos feitos ao longo da dissertação e onde se podem
6
tirar as conclusões relacionadas com a precisão dos modelos para avaliação de perdas, aquando da
ocorrência de perturbações e fazendo variar as condições de funcionamento dos sistemas.
O Capítulo 6, Síntese Final, conclui a dissertação, apresentando-se conclusões gerais
como forma de encerrar os tópicos abertos neste capítulo introdutório. Apresentam-se algumas
considerações relativamente ao problema e contexto que poderão, no final da dissertação, fazer
maior sentido. As possibilidades de trabalho futuro que poderão ter por base o estudo elaborado
nesta dissertação são também abordadas.
A secção Anexos contém informações relacionadas com as redes de energia utilizadas nos
exemplos práticos apresentados ao longo de todos os capítulos.
7
Capítulo 2
Avaliação de perdas –
Sensibilidades, Teorema de
Tellegen e conceito de redes
adjuntas
Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através do cálculo das sensibilidades e explica-
se o procedimento para o cálculo das mesmas com base no Teorema de Tellegen e no conceito de
redes adjuntas. São ainda apresentadas as fórmulas utilizadas no processo, bem como um exemplo
para uma rede de cinco barramentos.
8
2.1 Introdução
O conceito de rede tratado nesta dissertação e o Teorema de Tellegen são uma base teórica para
o cálculo de perdas em redes.
O Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas,
isto é, com o mesmo grafo (1)
.
A avaliação de perdas começa com um estudo de sensibilidades, uma vez que estas
desempenham um papel fundamental no planeamento e reconfiguração de redes de distribuição.
Neste capítulo, estabelece-se a relação entre as variações incrementais de variável dependente
(variações ) e uma série de variações incrementais nas variáveis independentes da rede ( ,
, , , ).
Desta forma, após a definição de rede adjunta e descrição da sua representação simbólica, são
apresentadas as fórmulas para o cálculo de sensibilidades de perdas, relativamente a qualquer
parâmetro do sistema, susceptível de sofrer perturbações.
O estudo efectuado neste capítulo tem por base o estudo desenvolvido no capítulo 4 da tese de
referência [5] relacionado com a avaliação de perdas por sensibilidades.
Relativamente à estrutura do capítulo 2, após esta breve introdução (2.1), encontram-se os
objectivos do capítulo (2.2), seguindo-se a apresentação do Teorema de Tellegen (2.3) e a
representação simbólica da rede adjunta (2.4). As secções 2.5 e 2.6 são destinadas à apresentação
das fórmulas das sensibilidades e à modelação que permite obter a variação . Por fim, apresenta-
se um exemplo de aplicação do estudo realizado (2.7) e são descritas algumas considerações finais
sobre o capítulo (2.8).
2.2 Objectivos
Este capítulo tem como principais objectivos:
1. A apresentação das fórmulas para o cálculo das sensibilidades de perdas (perdas
incrementais de primeira ordem) relativamente a qualquer parâmetro do sistema.
2. Derivação das fórmulas a partir do Teorema de Tellegen e do conceito de redes adjuntas.
_______________________
(1) Entende-se por grafo um conjunto de pontos (vértices) ligados entre si por segmentos de recta (arestas)
9
2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades
As fórmulas apresentadas neste capítulo permitem calcular todo o tipo de sensibilidades, isto é,
tanto as que dizem respeito a quantidades nodais, relacionadas com as cargas (potência activa e
reactiva) ou com parâmetros dos geradores (potência activa e tensão gerada), como as que dizem
respeito a alterações da rede (mudanças nas resistências e/ou reactâncias das linhas). Estas
fórmulas podem também ser consultadas nas páginas 93 e 94 da tese de referência [5] ou na
publicação referida no ponto [1] da bibliografia.
2.2.2 Modelação da rede adjunta
A modelação da rede adjunta definida para o sistema de energia inclui tanto a modelação de nós
PQ e PV, como de todas as perturbações possíveis de ocorrer na rede.
As fórmulas são derivadas a partir do Teorema de Tellegen em vez das convencionais equações
do trânsito de energia.
2.3 Teorema de Tellegen
Como foi dito anteriormente, o Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de
ramos de duas redes adjuntas.
Assim, considerando uma rede de energia N onde é a tensão através do ramo k ϵ K (conjunto
de índices para todos os ramos da rede), e considerando ainda uma rede (rede adjunta à rede de
energia em estudo), onde é a corrente que atravessa o ramo k, o teorema de Tellegen diz que:
∑
No caso de redes que sofrem variações incrementais o Teorema de Tellegen sugere:
∑
Uma vez que as perdas são uma quantidade real e a equação acima é uma equação complexa,
usa-se a parte real da equação:
∑ { }
10
2.4 Representação simbólica da rede adjunta
A representação simbólica da rede adjunta é topologicamente equivalente à rede de energia,
apresentando ambas as redes a mesma estrutura de grafo. Sendo assim, a rede adjunta é definida
segundo as seguintes regras:
1. A representação do barramento de balanço, ou de referência, da rede de energia N é feito por
uma fonte de tensão independente na rede adjunta das perdas – equação 2.13
2. A representação das linhas na rede adjunta é efectuada através da mesma admitância da linha
da rede de energia, isto é, o ramo k da rede passiva corresponde a uma admitância na
representação simbólica da rede adjunta – equação 2.14
3. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PQ (ramo de carga) é
realizada na rede adjunta por uma fonte de corrente dependente – equação 2.15
4. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PV (geradores) é realizada
por meio de uma fonte de tensão dependente – equação 2.16
A figura seguinte mostra a representação simbólica dos elementos da rede adjunta:
Fig. 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta
(1) Fonte de tensão independente (2) Admitância (3) Fonte de corrente dependente (4) Fonte de
tensão dependente
11
2.5 Sensibilidades - Fórmulas
As seguintes fórmulas retiradas de [1] e/ou [5] são a base para computação das sensibilidades
de perdas de energia do sistema relativamente a qualquer grandeza do mesmo, incluindo a tensão de
referência do sistema, a demanda de potência activa e reactiva, magnitude da tensão gerada e
parâmetros de transmissão da rede. Os valores relativos à rede adjunta estão representados com um
trema.
{ } k ϵ (2.4)
{ } k ϵ (2.5)
k ϵ (2.6)
{
} k ϵ (2.7)
{
} k ϵ (2.8)
{
} k ϵ (2.9)
{
} k ϵ (2.10)
As fórmulas para a sensibilidade de perdas com respeito a e , k ϵ derivam das fórmulas
anteriores que estão relacionadas com parâmetros dos ramos da rede ( – Network):
{
} k ϵ (2.11)
{
} k ϵ (2.12)
É importante notar que as grandezas adjuntas são definidas segundo o seguinte sistema [1]:
k ϵ (2.13)
k ϵ (2.14)
k ϵ (2.15)
k ϵ (2.16)
12
2.6 Modelação
Nesta secção do capítulo 2 é apresentada a metodologia para obter as fórmulas das
sensibilidades, tendo esta por base a modelação da rede adjunta.
Tendo em conta a já apresentada soma de Tellegen (primeira parte da equação 2.3), e
considerando as diferentes partições do conjunto (ver lista de símbolos)
(2.17)
conseguem obter-se, com base no sistema das grandezas adjuntas, os k termos da soma de
Tellegen. Pode consultar-se uma modelação mais detalhada das fórmulas das sensibilidades na
secção 4.4 da tese de referência [5] (pp 95 a 97).
2.6.1 Ramo
Começando pelo nó de referência e considerando-se o ramo pertencente à partição ( ),
assume-se uma alteração na tensão de referência de . Desta forma, o termo 0 da soma de
Tellegen é
(2.18)
Então, com base no sistema que define as grandezas adjuntas, mais concretamente assumindo a
equação 2.13, o termo 0 da soma de Tellegen fica:
(2.19)
2.6.2 Ramo
Considerando agora um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância
desse ramo ΔYk, uma vez que , então
(2.20)
Combinando as equações 2.3 e 2.20, chega-se ao termo k da soma de Tellegen
{ ( ) } (2.21)
Tal como na secção anterior, tendo por base o sistema que define as grandezas adjuntas e
considerando a equação 2.14, chega-se ao termo k da soma de Tellegen que é
(2.22)
13
2.6.3 Ramo
Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de
carga , tem-se
(2.23)
Utilizando agora a equação 2.23 e substituindo na equação 2.3, obtém-se o termo k da soma de
Tellegen
{ (
)
} (2.24)
Novamente com base no sistema que modela a rede adjunta e utilizando para este caso a
equação 2.15, o termo k da equação de Tellegen contribui da seguinte forma
{
} (2.25)
2.6.4 Ramo
Por fim, considerando um ramo da partição e assumindo desta vez duas alterações, uma na
amplitude da tensão e outra na potência activa tem-se que
(2.26)
(2.27)
Tendo mais uma vez presente a equação base do teorema de Tellegen (2.3) e utilizando as
equações 2.26 e 2.27, o termo k da soma de Tellegen pode escrever-se
{ (
)} {
}
{
} (2.28)
Considerando então a última equação do sistema de modelação da rede adjunta (2.16), o termo k
da soma de Tellegen baseia-se nos termos
{
} {
} (2.29)
14
2.6.5 Soma de Tellegen
A variação de primeira ordem na potência de pode obter-se através da soma das
contribuições de todos os ramos, correspondentes à soma de Tellegen (contribuições deduzidas ao
longo da modelação realizada anteriormente). Tendo em conta que esta variação de primeira ordem
corresponde, no nó de referência, a
(2.30)
obtém-se
{( ) } (2.31)
∑ { }
∑ {
}
∑ {
}
∑ {
}
As derivadas parciais, representadas na secção 2.5 Formulas, são facilmente obtidas tendo em
conta o seguinte diferencial:
∑ ( )
(2.32)
15
2.7 Exemplo
Por forma a clarificar toda a informação contida neste capítulo, segue-se um exemplo da
aplicação do conceito de rede adjunta e do cálculo das sensibilidades, relativamente aos diferentes
parâmetros de uma rede exemplo de cinco barramentos (dados da rede em anexo). Considere-se
então a rede da figura abaixo.
Fig. 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo. Os barramentos estão numerados a
negrito, enquanto a numeração dos ramos não tem qualquer formatação. Nó 0 – referência. Nó 2 –
PV. Nós 1, 2 e 3 – PQ
Com base na secção 2.4, e seguindo a representação simbólica para redes adjuntas, obtém-se
para o sistema de energia da figura 2.2 a seguinte representação adjunta
Fig. 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2. A numeração dos
barramentos e ramos segue a mesma lógica da figura anterior
16
O próximo passo implica o cálculo dos valores de tensão para cada barramento, bem como os
valores de tensão da rede adjunta correspondentes. Só com todos estes valores é possível calcular
as sensibilidades das perdas com base nas fórmulas da secção 2.5.
Desta forma, na tabela em baixo estão representados os valores de tensão para os nós da rede
exemplo e da correspondente rede adjunta.
k
0 1 1
1 0.9966 - j0.0828 1.0390 + j0.0863
2 1.0621 + j0.0213 1.0487 - j0.0370
3 0.9338 - j0.1366 1.0088 + j0.1680
4 0.9935 - j0.0431 1.0166 + j0.0481
Tab. 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente
Note-se que para chegar aos valores de tensão para os ramos passivos, faz-se
ou , para o ramo que liga os barramentos i e j. Por exemplo, para se obter faz-se
. Fazendo chega-se ao valor de . Exemplificando:
Tendo todos os valores de tensão, quer da rede de energia quer da sua rede adjunta, podem
então calcular-se as sensibilidades das perdas para os diferentes parâmetros do sistema. Na tabela
seguinte encontram-se alguns dos valores de sensibilidade para o sistema de energia exemplo.
Tipo de ramo k
Referência 0
- 0.0913
Ramos passivos
8
10
0.3578 - 0.0022
0.2014 - 0.0068
Nós PQ
1
3
4
0.0426 - 0.0000
0.0834 0.0213
0.0234 0.0040
Nó PV 2
-1.0942 0.5313
Tab. 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes
parâmetros do mesmo
17
Este exemplo tem semelhanças com o exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de
referência [5], no qual também se estudaram as sensibilidades relativas aos parâmetros de uma rede
de cinco barramentos (diferente da rede utilizada nesta dissertação).
As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base no cálculo das
sensibilidades, aquando da ocorrência de perturbações em alguns parâmetros da rede. A explicação
mais detalhada de cada caso será dada seguidamente à figura. Note-se que, as figuras apresentadas
neste capítulo ilustram as rectas de nível obtidas a partir do cálculo de perdas por sensibilidades,
sendo que a sua comparação com as curvas de nível exactas apenas será realizada no próximo
capítulo. No exemplo do capítulo 4 da tese de referência [5], as imagens apresentadas ilustram as
perdas calculadas por sensibilidades para um determinado ponto de funcionamento e apresentam as
curvas de nível exactas respeitantes às perdas do sistema. Os valores de perdas obtidos no exemplo
da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso ainda que não apresentados nesta
dissertação.
No primeiro caso, figura 2.4, está representada a evolução das perdas, dependendo das
potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2.
No caso seguinte, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do sistema, com
dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 2.5 foram
e .
A última figura (2.6) representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à
existência de perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os
barramentos 2 e 4 do sistema.
18
Fig. 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
das sensibilidades, no espaço ,
Como foi dito anteriormente, as rectas representadas na figura 2.4 ilustram as perdas de energia
do sistema da figura 2.2 no espaço , .
Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e
.
Os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível desta figura são
e
.
19
Fig. 2.5 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
das sensibilidades, no espaço e
Por sua vez, as rectas representadas na figura 2.5 ilustram as perdas de energia do sistema da
figura 2.2 no espaço , .
Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base
e .
Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são
e
.
20
Fig. 2.6 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
das sensibilidades, no espaço e
No exemplo da figura 2.6, as rectas representadas ilustram as perdas de energia do sistema da
figura 2.2 no espaço , .
À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de
funcionamento base e .
Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são
e
.
21
2.8 Considerações sobre o capítulo
Com o exemplo dado na secção 2.7 ilustrou-se todo o procedimento explicado ao longo do
capítulo.
Exemplificou-se o conceito de rede adjunta para um sistema de energia exemplo de cinco
barramentos e calcularam-se as sensibilidades para os vários parâmetros do mesmo, com base nas
fórmulas apresentadas na secção 2.5.
As imagens obtidas ilustram a evolução das perdas de energia do sistema quando este sofre
perturbações em alguns parâmetros. Como seria de esperar, o cálculo das perdas a partir do modelo
de sensibilidades, dá origem a rectas de nível, uma vez que o conceito base desta aproximação
representa uma evolução linear de perdas de energia.
Outra conclusão que pode tirar-se de cada uma das imagens com as rectas de nível será, quais
dos parâmetros testados poderão ter uma maior influência nas perdas de energia, quando sofrem
perturbações. Por exemplo, considerando a figura 2.5, pode ver-se facilmente que uma perturbação
da potência activa do barramento 1 tem maior efeito nas perdas do que a mesma perturbação na
potência activa do barramento 4. Isto confirma os valores de sensibilidade para cada um destes nós
relativamente à potência activa (
= 0.0426 e
= 0.0234) que consideram o barramento 1 mais
sensível a perturbações deste parâmetro.
Os resultados obtidos neste capítulo reforçam os resultados obtidos no exemplo apresentado na
tese de referência [5], relativamente ao cálculo de perdas por sensibilidades. Referir mais uma vez
que os valores de sensibilidade e de perdas obtidos no exemplo apresentado a partir da página 102
da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso, provando assim a correcta implementação
do modelo de sensibilidades em MATLAB.
O estudo efectuado neste capítulo será tido em conta mais à frente, a título de comparação com
outros modelos de cálculo de perdas de energia, onde poderão tirar-se algumas conclusões acerca
da sua precisão.
22
23
Capítulo 3
Avaliação de perdas – Fórmula
exacta
Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através da utilização da fórmula exacta
desenvolvida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, como seguimento
do capítulo anterior. É ainda descrita a sua modelação, bem como alguns exemplos para a rede de
cinco barramentos já utilizada.
24
3.1 Introdução
O estudo desenvolvido neste capítulo apresenta-se como tendo por base o capítulo anterior, no
entanto, com uma diferença de importante relevo. Não fazer quaisquer aproximações na utilização
das equações de Tellegen levando, desta forma, ao desenvolvimento da fórmula exacta para o
cálculo de perdas.
Este capítulo deve ser considerado relevante no âmbito desta dissertação, uma vez que, na
comparação entre modelos aproximados para o cálculo de perdas, é em relação ao modelo exacto
que se consideram os erros e se pode concluir acerca da performance das aproximações realizadas.
Tal como no capítulo anterior, as perdas no sistema são uma consequência de perturbações na
rede, sendo tidos em conta todos os tipos de perturbações já anteriormente considerados.
Desta forma, são agora disponibilizadas, sobre a forma de equações exactas, todas as relações
relativas às fórmulas derivadas para as sensibilidades, tornando possível a determinação dos valores
exactos de perdas em todos e quaisquer barramentos de uma rede de distribuição de energia
eléctrica. Este capítulo tem por base o estudo realizado no capítulo 5 da tese de referência [5] e
procura complementá-lo com um novo exemplo, que completa também o exemplo do capítulo
anterior.
É importante notar que, para calcular as perdas através da fórmula exacta, é necessário fazer
primeiro a avaliação das tensões do sistema quando sujeito a perturbações. Desta forma, são
primeiramente apresentadas as equações exactas para avaliação da tensão. Estas, à semelhança do
capítulo anterior, fazem uso de grandezas adjuntas que correspondem às redes adjuntas (valores
reais) e (valores imaginários). A modelação destas equações não será apresentada uma vez que o
raciocínio é semelhante ao já apresentado na modelação das fórmulas de sensibilidade e ao que será
posteriormente apresentado para a fórmula exacta das perdas. Para obter informações mais
detalhadas, tanto das equações exactas para avaliação da tensão como da sua modelação e ainda
analisar alguns exemplos, deve consultar-se o capítulo 3 da tese de referência [5] – “Avaliação de
tensão – Equações exactas”.
A estrutura deste capítulo é semelhante à do capítulo 2, começando-se com uma breve nota
introdutória, seguida dos seus principais objectivos (3.2). A diferença consiste na secção 3.3 que
apresenta as equações para avaliação das variações de tensão. É então explicada a modelação da
fórmula exacta para avaliação das perdas (3.4), apresentando-se a respectiva fórmula obtida na
secção 3.5. O capítulo termina com um exemplo de aplicação da fórmula desenvolvida (3.6) e
algumas considerações finais (3.7).
25
3.2 Objectivos
Tal como anteriormente, o grande objectivo deste capítulo consiste no cálculo de perdas em
redes de distribuição com base no Teorema de Tellegen e no conceito de rede adjunta, contudo,
agora de forma exacta, não se considerando quaisquer aproximações.
Dividindo em pequenos objectivos tem-se para este capítulo:
1. Apresentação da fórmula exacta continuando o estudo do capítulo anterior e calculando as
variações de tensão de forma exacta.
2. Exemplificar a fórmula utilizando a rede de cinco barramentos já descrita no cálculo das
sensibilidades.
3.3 Variações de tensão - equações exactas
Esta secção serve, exclusivamente, para apresentar as equações exactas utilizadas no cálculo
das variações de tensão, aquando da ocorrência de perturbações no sistema. As variações de tensão
calculadas a partir das equações seguintes serão utilizadas, mais à frente, na fórmula exacta para o
cálculo de perdas. Estas equações exactas para o cálculo das variações de tensão podem
igualmente ser consultadas nas páginas 53 e 54 da tese de referência [5].
Assim, a parte real das variações de tensão nos barramentos calcula-se da seguinte forma:
{ } (3.1)
∑ { }
∑ {
}
∑ {
}
∑ {
}
∑ {
}
∑ { ( {
}
{
})}
26
A parte imaginária das variações de tensão nos barramentos é calculada a partir de:
(3.2)
∑ { }
∑ {
}
∑ {
}
∑ {
}
∑ {
}
∑ { ( {
}
{
})}
3.4 Dedução da fórmula exacta
À semelhança do capítulo anterior, a dedução apresentada nesta secção do capítulo 3 terá por
base o teorema de Tellegen e considera-se novamente as diferentes partições do conjunto (ver
lista de símbolos).
(3.3)
Ainda seguindo a lógica do capítulo 2, tem-se um sistema [5] que vai definir as grandezas
adjuntas, apresentado a seguir:
27
(3.4)
k ϵ (3.5)
k ϵ (3.6)
k ϵ (3.7)
É importante notar que esta análise dedutiva da fórmula exacta é em tudo semelhante à
modelação da soma de Tellegen do capítulo anterior, assentando a única diferença no facto de
considerar para as expressões que representam as perturbações os termos de ordem superior, o que
garante a exactidão dos resultados obtidos. Assim sendo, a dedução apresentada de seguida é
realizada da mesma forma que a modelação do capítulo 2, apresentando-se apenas para cada
partição a(s) perturbação(ões) respectivas, o termo da fórmula exacta que se obtém e a contribuição
final para a fórmula exacta, após a aplicação de uma das condições do sistema considerado em cima.
Para uma modelação mais detalhada da fórmula exacta para o cálculo de perdas deve consultar-se a
secção 5.4 da tese de referência [5] (pp 116 a 119).
3.4.1 Ramo
Tal como foi feito anteriormente e começando pelo ramo pertencente à partição e
considerando uma variação de , o termo 0 da soma de Tellegen é
{ } (3.8)
Assumindo a equação 3.4, o termo 0 da soma de Tellegen fica:
{ } (3.9)
3.4.2 Ramo
Considerando um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo
, então
(3.10)
Sendo o termo k da soma de Tellegen
{ ( ) } (3.11)
28
Recorrendo à equação 3.5 do sistema das grandezas adjuntas obtém-se o termo k simplificado
{ } (3.12)
3.4.3 Ramo
Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de
carga
(3.13)
O termo k da fórmula é
{ (
)
} (3.14)
Simplificado pela equação 3.6, o termo k fica
{
} (3.15)
3.3.4 Ramo
Para os ramos da partição e tendo em conta alterações na amplitude da tensão e na
potência activa tem-se que
(3.16)
(3.17)
Obtêm-se assim os últimos termos da soma de Tellegen:
{ (
)} {
}
{
}
{ ( {
}
{
})} (3.18)
Considerando então a última equação do sistema das grandezas adjuntas (3.7), o termo k da
soma de Tellegen baseia-se apenas nos termos
29
{
} {
}
{ ( {
}
{
})} (3.19)
3.5 Fórmula exacta
Considerando também os termos de ordem superior, o Teorema de Tellegen sugere que a
fórmula exacta [5] é
∑ (3.20)
Juntando agora todos os termos obtidos na dedução anterior chega-se a , obtendo-se a
fórmula que permite calcular com exactidão as perdas para uma rede distribuição, relativamente a
qualquer perturbação que possa ocorrer na mesma.
{( ) (3.21)
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ( {
}
{
})}
30
3.6 Exemplo
Tal como no capítulo anterior, esta secção “Exemplo” serve para apresentar os resultados obtidos
aquando da aplicação das expressões e modelos descritos ao longo do capítulo.
Seguindo também a lógica do capítulo anterior, serão então apresentadas as curvas de nível
relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, dependendo da ocorrência de perturbações
em diferentes parâmetros da rede. Estes resultados serão apresentados na subsecção 3.6.1.
Na subsecção 3.6.2 ter-se-á então uma primeira comparação de resultados entre modelos. Esta
primeira comparação torna possível começar a tirar algumas conclusões relativamente à precisão do
modelo de cálculo de perdas por sensibilidades, quando comparado com a fórmula exacta deduzida
com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Remetendo para a tese de
referência [5] podemos igualmente encontrar no exemplo do capítulo relativo à fórmula exacta
algumas comparações dos resultados obtidos por sensibilidades com os resultados obtidos de forma
exacta (pp 124 e 125). Tal como no capítulo anterior alguns dos resultados obtidos no exemplo da
tese de referência [5] foram replicados com sucesso, provando-se assim a correcta implementação
da fórmula exacta no MATLAB.
3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta
As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base na fórmula exacta
deduzida a partir do Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, para a ocorrência de
perturbações em alguns parâmetros do sistema de energia. Os espaços escolhidos são semelhantes
aos apresentados no capítulo 2 para tornar possível a posterior comparação de resultados. A
explicação mais detalhada de cada caso será dada a seguir à respectiva figura.
Nestas figuras estão, à semelhança das figuras obtidas no exemplo do capítulo anterior, está
ainda assinalado o valor das perdas para os pontos de funcionamento do caso base (determinado
através de um trânsito de energia convencional).
31
No primeiro caso está representada a evolução das perdas com base na fórmula exacta,
dependendo das potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2.
Fig. 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
da fórmula exacta, no espaço e
Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e
que é igual a 0.0475.
32
No segundo exemplo, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do mesmo
sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na
figura 3.2 foram e .
Fig. 3.2 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
da fórmula exacta, no espaço e
Neste exemplo é claramente notório que, apesar das perdas de energia aumentarem tanto com a
potência activa do barramento 1 como com a potência activa do barramento 2, têm uma evolução
mais rápida para valores de potência activa mais elevados no primeiro barramento.
Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base
e que é igual a 0.0475.
33
A figura 3.3 representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de
perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os barramentos 2 e 4 do
sistema.
Fig. 3.3 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir
da fórmula exacta, no espaço e
À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de
funcionamento base e que é novamente igual a 0.0475.
Tal como já tinha sido visto no capítulo das sensibilidades, confirma-se com este exemplo que a
resistência de uma linha tem um efeito muito superior relativamente às perdas de energia do que a
sua reactância.
A secção seguinte permite tirar algumas conclusões relativamente a estes dois modelos uma vez
que são comparados os resultados dos dois modelos já conhecidos.
3.6.2 Comparação de resultados
Como foi dito, esta secção de comparação de resultados permite tirar as primeiras conclusões
relativamente à precisão do modelo de sensibilidades para o cálculo de perdas.
Uma vez que, tanto no capítulo 2 como neste capítulo os exemplos escolhidos foram os mesmos,
podem então sobrepor-se os resultados e observar quão preciso é o cálculo de perdas por
sensibilidades em relação ao cálculo de perdas pela fórmula exacta desenvolvida neste capítulo.
34
Fig. 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por
sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e
Tendo em conta a figura acima, a primeira diferença que se destaca é o facto de, quando se trata
da fórmula exacta, se obterem curvas de nível e não rectas, uma vez que as perdas não evoluem
necessariamente de forma linear com a variação de um parâmetro.
Para este caso específico, olhando para a imagem, pode considerar-se que o cálculo de perdas
por sensibilidades aproxima-se daquilo que são os valores exactos, pelo menos no que diz respeito à
evolução das perdas. Naturalmente, no ponto de funcionamento base e , a
recta das sensibilidades é tangente à curva de nível resultante da fórmula exacta, sendo o valor das
perdas para este ponto 0.0475. Isto acontece uma vez que para as sensibilidades é realizado um
trânsito de energia para o caso base. Olhando para outras rectas, como é o caso em que as perdas
são 0.04 e 0.06, vê-se que estas rectas de sensibilidades não são tangentes à curva que corresponde
ao mesmo valor de perdas, no entanto, são bastante próximas.
Considerando outro ponto de funcionamento específico, podemos olhar para o caso em que a
potência activa do barramento 3 é 0.2 e a potência reactiva é 0.1. Aqui pode ver-se, que o valor de
perdas para este ponto de funcionamento quando calculado pelas sensibilidades é igual a 0.03,
enquanto, na realidade, o valor de perdas exacto é de 0.0345. O mesmo acontece com o ponto de
funcionamento em que as potências activa e reactiva são, respectivamente, 0.65 e 0.15, onde
segundo as sensibilidades o valor de perdas é de 0.07 quando o valor real é 0.078. Com esta análise
mais precisa, percebe-se que o erros do modelo de sensibilidades para este exemplo são
consideráveis (entre 10% e 15%).
35
Fig. 3.5 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por
sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e
Neste segundo exemplo, em que o plano escolhido envolve as potências activas de dois dos
barramentos pode ver-se que os resultados do cálculo de perdas por sensibilidades são mais
precisos para valores de potência mais elevados e, ainda, que o sentido de evolução das perdas é
correcto.
Observando a imagem, nota-se que para alguns pontos de funcionamento, os resultados obtidos
a partir das sensibilidades são muito próximos dos valores exactos, uma vez que as rectas de nível
são praticamente tangentes às curvas de nível da fórmula exacta. No entanto, à medida que nos
afastamos deste ponto de funcionamento, para potências activas mais baixas, o erro vai aumentar e
os resultados começam a ser menos precisos. Tenhamos em conta, por exemplo, o caso em que
uma perturbação leva as potências activas de ambos os barramentos para 0.55. Para este caso, o
valor de perdas calculado pelas sensibilidades é 0.0442, sendo que o valor exacto é de 0.0449.
Olhando para este ponto de funcionamento na imagem, vê-se que a recta de nível é praticamente
tangente à curva de nível, obtendo-se então um erro muito pequeno de 1.55%. Ainda dentro dos
resultados com bons níveis de precisão, podemos observar o ponto em que ambas as potências
activas vão para 0.8. Aqui, pelas sensibilidades, o valor de perdas é igual a 0.0607, e pela fórmula
exacta é 0.060. Novamente um erro muito pequeno de cerca de 1.2%.
Por outro lado, se considerarmos uma perturbação que afaste o sistema do ponto de
funcionamento base, e com potências activas abaixo deste ponto para o barramento 4, irão obter-se
erros superiores. Considerando assim, um ponto próximo do cruzamento de uma recta de nível com
uma curva, a potência activa do barramento 1 é igual a 0.45 e a potência activa do barramento 4 é
0.4. Neste ponto, o resultado para as perdas obtido através das sensibilidades é de 0.0364, sendo
36
que o valor exacto corresponde a aproximadamente 0.040. Quer isto dizer que o valor se tornou
menos preciso, verificando-se um erro de cerca de 9%.
Não obstante e após esta avaliação detalhada, podemos considerar que para este exemplo, o
modelo aproximado por sensibilidades tem uma precisão bastante razoável.
Fig. 3.6 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por
sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e
Para este exemplo final, em que o plano escolhido foi o da resistência e reactância do ramo que
liga os barramentos 2 e 4, percebe-se facilmente que a variação da reactância é o principal factor
para reduzir significativamente a precisão do modelo de sensibilidades.
Se considerarmos a reactância no ponto de funcionamento base ( ) e variarmos
apenas a resistência, o valor das perdas calculadas a partir das sensibilidades, é aproximado ao valor
exacto (rectas tangentes ou que cruzam as curvas de nível nestes pontos). No entanto, variando a
reactância, a precisão vai diminuir bastante. Olhando, por exemplo, para o ponto em que uma
perturbação reduz a resistência do ramo para 0.02pu, ficando a reactância com valor igual a 0.45pu,
as perdas exactas são de 0.045, enquanto pelas sensibilidades se obtém 0.04. Este erro é
considerável (cerca de 11%) e observando a evolução da curva tende a aumentar. Resumindo, para
este exemplo, as rectas de nível geradas pela análise das sensibilidades dão a ideia de que as
perdas diminuem com o aumento da reactância, quando na verdade aumentam.
37
3.7 Considerações sobre o capítulo
Fazendo uma breve revisão do que foi apresentado até este capítulo é importante recordar que
foram, até agora, estudadas duas formas diferentes de calcular as perdas num sistema de energia
eléctrica. São eles o cálculo de perdas por sensibilidades e a fórmula exacta.
Note-se que ambos têm por base o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta, matérias
que foram igualmente abordadas.
Após este capítulo é então possível tirar conclusões acerca da precisão do modelo aproximado
por sensibilidades. Analisando os vários exemplos descritos é possível dizer que este modelo pode,
em alguns casos, ter uma precisão aceitável obtendo-se resultados próximos dos exactos, porém
pode igualmente gerar valores que se afastam consideravelmente da realidade. Nos dois primeiros
exemplos, em que se consideraram perturbações ao nível de potências activas e reactivas nos
barramentos, os resultados obtidos foram aceitáveis, não só do ponto de vista da sua proximidade
com os valores exactos, mas também do ponto de vista da evolução das perdas com a variação dos
parâmetros em questão. Por outro lado, o último exemplo, representa um caso em que o modelo
aproximado por sensibilidades, apresenta resultados ‘enganosos’, uma vez que sugere a diminuição
das perdas com o aumentar de um parâmetro, quando na realidade acontece precisamente o
contrário.
Os resultados obtidos com os exemplos apresentados neste capítulo permitem reforçar as
conclusões da tese de referência [5] acerca de uma análise de perdas por sensibilidades e
recorrendo ao modelo exacto, uma vez que também nos exemplos dados em [5] o modelo de
sensibilidades apresentou erros elevados para alguns espaços de parâmetros e erros inferiores para
outros, relativamente à fórmula exacta.
Desta forma, deve ter-se em conta que através das sensibilidades, ainda que possam obter-se
resultados com um pequeno esforço computacional e um tempo de cálculo atractivo quando
comparado com a realização de um trânsito convencional de energia para cada caso possível, pode
chegar-se a resultados muito distantes da realidade. Isto faz deste modelo útil quando a precisão dos
resultados não é o mais importante, mas sim a facilidade e rapidez com que são obtidos.
Por outro lado, a fórmula exacta derivada do Teorema de Tellegen é bastante precisa, uma vez
que faz o uso das variações de tensão exactas em cada barramento, também elas calculadas com
base no mesmo teorema e no conceito de rede adjunta.
38
39
Capítulo 4
Avaliação de tensão em redes de
distribuição - Modelo aproximado
Abordagem do tema aproximação na avaliação de tensões, contrapondo-se o trânsito de energia
convencional com o novo modelo numa solução local. Estudo da precisão para ambos os casos com
um exemplo e posteriores conclusões.
40
4.1 Introdução
Neste capítulo será abordada a avaliação de tensões de forma aproximada.
Apesar de o tema desta dissertação incidir sobre a aproximação ao cálculo de perdas, este
capítulo servirá de base para o capítulo seguinte. Como o próprio título indica, no capítulo 4 será
apresentado um modelo a partir do qual se obterão valores de tensão aproximados, que serão
posteriormente utilizados no modelo aproximado de perdas apresentado no próximo capítulo.
Abordando o tema “equações de trânsito de energia para redes de distribuição”, sabe-se que as
tensões são as grandezas desconhecidas, que são necessárias tantas equações quantos os
barramentos da rede e que estas equações têm por base o princípio da conservação da potência em
cada um dos nós.
Contudo, existe outro tipo de equações de trânsito de energia, também elas assentes no conceito
de redes adjuntas e baseadas no Teorema de Tellegen. Serão estas equações o principal alvo de
estudo deste capítulo. Note-se que aqui apenas serão consideradas redes com um nó de referência e
os restantes nós PQ – rede de distribuição.
Ainda que este capítulo esteja relacionado com o capítulo 6 da tese de referência [5] tem por
base a publicação referenciada com o número [2] na bibliografia. Exemplos de ambas as publicações
são a base para os exemplos apresentados neste capítulo, no entanto, os exemplos aqui
apresentados utilizam redes de distribuição diferentes (10 barramentos) e cujas características
podem ser consultadas no final em anexo. Nos exemplos apresentados na tese de referência [5] são
comparados mais modelos para o cálculo de tensões (e.g. sensibilidades para cálculo de tensões),
uma vez que o trabalho desenvolvido nessa tese também envolve o estudo do cálculo aproximado de
tensões. Na presente dissertação o estudo incidirá exclusivamente sobre o modelo apresentado
neste capítulo e sobre as equações convencionais numa solução local.
A estrutura deste capítulo conta, tal como nos anteriores, com uma nota introdutória (4.1),
seguida do objectivo principal que se pretende demonstrar (4.2). Na secção 4.3 apresentam-se, em
forma de comparação, os dois tipos de equações de trânsito de energia abordados neste capítulo,
sendo que a secção 4.4 se destina à apresentação das equações baseadas no modelo de Tellegen
mas para uma solução local, isto é, definindo-se uma região de acção em torno da perturbação
ocorrida. Seguem-se então as comuns secções de exemplos (4.5) e considerações sobre o capítulo
(4.6).
4.2 Objectivo
O grande objectivo do capítulo 4 é fazer-se a comparação dos dois tipos de equações de trânsito
de energia (eqs. convencionais e eqs. com base no Teorema de Tellegen), aquando da ocorrência de
perturbações locais, estudando-se qual a precisão para cada um dos casos na obtenção da resposta
de todo o sistema de distribuição.
Desta forma, será apresentado um modelo de equações de solução local baseado no Teorema
de Tellegen e será comparado com a solução local do modelo convencional de trânsito de energia.
41
4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no
Teorema de Tellegen
Olhando primeiramente para o caso convencional, as equações de trânsito de energia [2]
apresentam-se da seguinte forma:
∑
(4.1)
∑
(4.2)
sendo que m corresponde ao índice do nó, é a admitância do ramo mk, e
correspondem à magnitude da tensão nos nós m e k respectivamente, assim como e são,
respectivamente, os ângulos da tensão em m e k.
e
são a potência activa e reactiva
injectadas.
Como foi dito anteriormente, na nota introdutória, quando se fala em trânsito de energia em redes
de distribuição, os valores que correspondem a incógnitas são os valores de tensão, sendo assim
necessário, que o número de equações 4.1 e 4.2 corresponda ao número de barramentos de rede.
No entanto, o foco do capítulo 4 é estudar as equações de trânsito de energia para um contexto
diferente, o estudo do comportamento do sistema a perturbações localizadas.
Assim sendo, voltando à base de estudo definida para esta dissertação, segundo o Teorema de
Tellegen e com base no conceito de redes adjuntas, apresentam-se em baixo as novas equações de
trânsito de energia [2]:
{ ∑
∑
∑
}
(4.3)
{ ∑
∑
∑
}
(4.4)
onde novamente m corresponde ao índice de um nó.
42
Tal como nas equações de Tellegen dos capítulos anteriores, temos agora um conjunto de
partições de K, sendo que corresponde aos ramos que sofrem uma perturbação na sua
admitância, para os nós cuja perturbação afecta a sua potência complexa e para todos
os nós da rede.
Nestas equações, os valores de , , e são conhecidos, assim como os valores
e , que correspondem às quantidades adjuntas e são computadas juntamente com todas as
outras grandezas conhecidas, para o caso base considerado.
Note-se que, o cálculo e desenvolvimento de expressões para estas grandezas adjuntas (~ e ^)
não são apresentados nesta dissertação, uma vez que são em tudo semelhantes ao cálculo das
grandezas adjuntas apresentado no capítulo 2 e não são o foco principal deste estudo.
Comparando agora os dois conjuntos de equações de trânsito de energia, são notadas uma série
de diferenças. Para começar, as equações com base no Teorema de Tellegen têm em conta
quantidades incrementais e . A outra grande diferença assenta no facto de as equações
que são alvo de estudo neste capítulo serem de uma natureza mais local. Quer isto dizer que não são
necessárias tantas equações quanto o número de nós da rede em estudo, sendo suficiente um
conjunto de equações que contemple os nós directamente envolvidos nas perturbações – região curta
– ou um conjunto que também inclua os nós vizinhos dos nós envolvidos em cada perturbação –
região alargada.
Um dos objectivos, no exemplo dado no final deste capítulo, será precisamente comprovar a
natureza mais local destas equações, face às equações do trânsito de energia convencional.
4.4 Solução local para as novas equações
Um modelo de solução local consiste na obtenção da resposta do sistema, considerando apenas
uma região localizada em torno da(s) perturbação(ões).
Assim, tendo em conta as equações 4.3 e 4.4 e excluindo todos os termos que não se incluem na
região definida, obtêm-se as equações do modelo aproximado por solução local para avaliação de
tensões [2]. São elas:
{ ∑
∑
∑
}
(4.5)
{ ∑
∑
∑
}
(4.6)
43
Note-se que agora tem-se a partição , em vez da partição . Esta nova partição contém
todos os nós dentro da região definida em torno da perturbação (apenas nós envolvidos – região
curta - ou incluindo nós vizinhos – região alargada).
É importante reter que é igualmente possível fazer esta mesma aproximação, definindo uma
região localizada em torno da perturbação, para as equações convencionais. Este teste será feito na
secção seguinte, podendo então tirar-se conclusões acerca da precisão para os dois grupos de
equações aquando da aproximação por solução local.
4.5 Exemplos
Neste capítulo, a secção de exemplo visa, principalmente, mostrar a precisão do modelo
aproximado para avaliação da tensão em redes de distribuição. Como tal, é apresentada uma rede de
distribuição de 10 barramentos, com a qual se irá testar o modelo apresentado, após a ocorrência de
algumas perturbações na mesma.
O primeiro teste feito nesta secção de exemplo será a avaliação do erro de cálculo da variação de
tensão nos barramentos para uma solução local, quer do modelo aproximado, quer das equações
convencionais de trânsito de energia. Este teste implica a aplicação de uma perturbação na rede (e.g.
retirar uma linha), testando-se ainda o efeito de diferentes cargas na precisão do novo modelo
desenvolvido.
Numa segunda abordagem vai verificar-se a diferença de precisão do modelo aproximado
considerando-se uma região superior para a solução local, isto é, considerando-se não apenas os
nós envolvidos na perturbação, mas também os nós vizinhos (região alargada).
Desta forma, considera-se para os primeiros testes a rede de 10 barramentos da figura 4.1
apresentada em baixo. Note-se que, os dados relativos a resistências e reactâncias dos ramos, bem
como potências injectadas nos nós, se encontram no final em anexo.
Fig. 4.1 – Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo
aproximado para avaliação de tensão
44
4.5.1 Testes e Resultados
Nesta secção segue-se a apresentação dos testes realizados e respectivos resultados.
Fig. 4.2 – Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo entre os nós 7 e 9)
A figura 4.2 mostra a ocorrência de uma perturbação na configuração da rede de distribuição. A
perturbação em causa é o retirar de um dos ramos da rede (ramo a vermelho que liga os barramentos
7 e 9).
O primeiro gráfico apresenta os resultados para uma aproximação por solução local de ambos os
modelos (equações derivadas do Teorema de Tellegen e equações convencionais do trânsito de
energia).
Fig. 4.3 – Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações
45
O gráfico anterior mostra-nos que, quando efectuada uma localização do problema, apenas com
as equações derivadas do Teorema de Tellegen se obtêm bons resultados. Considerou-se uma
região de observação contendo apenas os barramentos envolvidos directamente na perturbação -
região curta - e utilizando ambas as equações calcularam-se os novos valores de tensão. Assim, em
comparação com os resultados obtidos pela fórmula exacta para o cálculo de variações de tensão
apresentada na secção 3.3 do capítulo anterior, pode verificar-se que o erro para as equações de
Tellegen é praticamente nulo (valores de erro representados por circulos azuis e sobrepondo o eixo)
enquanto que, para as equações convencionais, os erros resultantes desta solução local foram
bastante consideráveis. Prova-se, desta forma, que as equações derivadas do Teorema de Tellegen
são bastante precisas, mesmo para uma solução local, enquanto que, para a mesma situação, as
equações convencionais não apresentam resultados precisos. Este resultado reforça o resultado
apresentado no gráfico da página 153 da tese de referência [5] no qual se pode igualmente ver que o
erro das equações derivadas do Teorema de Tellegen é praticamente nulo ao contrário das equações
convencionais, para uma solução local.
Os testes realizados a partir deste ponto apenas contemplam as equações baseadas no Teorema
de Tellegen. O gráfico em baixo mostra os erros no cálculo das tensões nos barramentos para a
solução local destas equações, considerando exclusivamente os nós envolvidos na perturbação (7 e
9) – região curta – e diferentes níveis de carga nos barramentos.
Fig. 4.4 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões para
diferentes níveis de carga nos barramentos
46
Observando o gráfico da figura 4.4, há duas conclusões claras que podem ser tiradas. A primeira
é que, naturalmente, o erro de cálculo aumenta com o nível de carga nos barramentos. A segunda é
que, independentemente do nível de carga nos barramentos, os valores de erro são muito pequenos,
aproximando-se muito de 0 (ordem de 10-6
). Note-se, ainda que considerando apenas os barramentos
envolvidos na perturbação – região curta – que os resultados mostram que uma solução local das
equações baseadas no Teorema de Tellegen, para o cálculo de tensões, é bastante precisa.
Outra conclusão que pode ser tirada olhando para o gráfico da figura 4.4 é que, a partir dos
valores de carga nominal, o aumento do erro é superior do que a diminuição do mesmo para valores
de carga abaixo dos nominais. Os erros para valores de carga a 125% dos valores nominais,
aumentaram mais do que diminuíram ao considerar-se 50% da carga nominal. Um teste com
conclusões semelhantes pode ser encontrado na página 152 tese de referência [5].
O gráfico em baixo mostra o erro de cálculo do teste realizado no gráfico anterior, mas apenas
para valores nominais de carga.
Fig. 4.5 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões com
carga nominal nos barramentos
47
Os próximos testes realizados servem para mostrar o aumento de precisão das equações
derivadas do Teorema de Tellegen quando é considerada uma região de observação superior. Todos
os valores exactos de tensão apresentados de seguida foram calculados com as equações
apresentadas na secção 3.3 desta dissertação.
Assim sendo, os próximos testes consideram uma perturbação na rede de distribuição da figura
4.6, à qual é retirado um ramo e inserido outro que liga barramentos diferentes. Notar ainda que nos
testes seguintes, a carga nos barramentos foi colocada a 150% dos valores nominais por forma a
obterem-se resultados mais expressivos e fáceis de observar. Na tese de referência [5] é possível
encontrar um teste semelhante mas para uma rede de 14 barramentos (pp 164 a 169). O exemplo
apresentado na presente dissertação tem apenas em conta a parte real e imaginária das variações de
tensão nos barramentos, enquanto no exemplo da tese de referência [5], o módulo e fase das
variações de tensão são também considerados. É importante notar mais uma vez que, por questões
de validação do código MATLAB implementado para este modelo aproximado para avaliação de
valores de tensão, o exemplo aqui referido da tese de referência [5] (pp 164 a 169) foi reconstituído
com sucesso, obtendo-se os mesmos resultados e gráficos ainda que não apresentados nesta
dissertação.
Como forma de esclarecimento note-se que, tanto na presente dissertação como na tese de
referência [5], e ainda que as equações derivadas do Teorema de Tellegen calculem apenas as
variações de tensão nos barramentos após a ocorrência de perturbações na rede, os gráficos de
resultados dos exemplos apresentados mostram os valores de tensão nos barramentos após a
perturbação em vez das variações (valor base de tensão + variação calculada).
A rede em baixo é a rede de distribuição a ser perturbada. É em tudo semelhante à rede da figura
4.1, tendo apenas um reduzido número de ligações entre os barramentos.
Fig. 4.6 – Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações entre os
barramentos)
48
A imagem seguinte mostra a perturbação considerada e quais os barramentos envolvidos. Assim,
ao retirar-se o ramo que liga os barramentos 2 e 4 e colocando-se um ramo de ligação entre os
barramentos 5 e 9, a região curta de observação irá conter os nós 2, 4, 5 e 9 (directamente
envolvidos nas perturbações), enquanto que a região alargada de observação (também contém os
barramentos vizinhos) inclui os nós 2, 4, 5, 9 e, ainda, os nós 3, 6, 7.
Fig. 4.7 – Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os barramentos 2 e
4 e ligar os barramentos 5 e 9)
Referir ainda que, caso seja feito um acompanhamento simultâneo do exemplo da tese de
referência [5] (pp 164 a 169 e que considera uma rede de 14 barramentos), a sintaxe utilizada para
referir as diferentes regiões de observação é diferente. Desta forma, na tese de referência [5] foi
utilizado o termo “camada 1”, para referir a região de observação que contém apenas os barramentos
envolvidos directamente na perturbação, e que corresponde, na presente dissertação, ao termo
“região curta de observação” ou apenas “região curta”. Para o caso em que os barramentos vizinhos
são incluídos na região de estudo, a tese de referência [5] utiliza o termo “camada 2” cuja
correspondência na presente dissertação é “região alargada de observação” ou apenas “região
alargada”.
49
Considerando a perturbação descrita em cima, o primeiro gráfico de resultados compara os
valores exactos da parte real da tensão, com os mesmos valores quando calculados pelas equações
baseadas no Teorema de Tellegen, para a solução local considerando apenas a região curta de
observação – barramentos 2, 4, 5 e 9.
Fig. 4.8 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos
barramentos directamente perturbados – região curta
Olhando para o gráfico anterior pode ver-se que existe alguma diferença entre os valores exactos
(traço contínuo) e os valores calculados com o modelo aproximado (traço ponteado), ainda que isto
não aconteça para todos os nós.
Note-se que esta diferença entre valores exactos e aproximados, ainda que bem visível
graficamente, é bastante reduzida (ordem de 10-2
), o que mostra a grande precisão do modelo
aproximado por solução local das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen.
50
No gráfico seguinte, pretende observar-se se, considerando uma região superior, a precisão dos
valores aumenta. Assim, considerando também os barramentos vizinhos daqueles que estão
directamente envolvidos nas perturbações (barramentos 3, 6 e 7) obtém-se o gráfico da figura 4.9, em
baixo.
Fig. 4.9 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos
barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada
No gráfico da figura 4.9, pode então ver-se que os valores da parte real da tensão se tornaram
mais precisos aumentando a região de estudo. Comparando entes gráfico com o da figura 4.8, nota-
se claramente que a diferença de valores, principalmente dos barramentos 4 e 9, foi bastante
reduzida. Neste último gráfico, o facto de a linha ponteada (modelo aproximado) se sobrepor muito
mais à linha dos valores exactos, significa que a precisão dos resultados aumentou com a região de
observação.
51
As próximas imagens são o resultado dos testes que, seguindo a mesma linha de raciocínio dos
dois testes anteriores, consideram agora a parte imaginária dos valores de tensão nos barramentos.
Assim, o gráfico apresentado em baixo mostra a parte imaginária dos valores de tensão
calculados a partir das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen face aos valores
clculados pelas equações exactas, considerando apenas a região curta de observação.
Fig. 4.10 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das
tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta
Neste caso, ainda que os valores calculados a partir do modelo aproximado sejam mais precisos
que os observados para a parte real das tensões nas mesmas condições (figura 4.8), nota-se para o
barramento 9 uma diferença bastante explicita entre os valores aproximados e os valores reais.
52
Tal como nos exemplos apresentados para a parte real das tensões é esperado que, com o
aumento da região de observação, as pequenas diferenças observadas na imagem anterior sejam
reduzidas e se tornem quase nulas. A figura em baixo mostra-nos os resultados da parte imaginária
das tensões considerando-se então a região alargada de observação para o modelo aproximado por
solução local das equações derivadas do Teorema de Tellegen.
Fig. 4.11 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das
tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada
Olhando para o gráfico acima, em que é considerada a região alargada de observação, a linha
ponteada correspondente aos valores aproximados sobrepõem, praticamente, a linha contínua dos
valores exactos. Isto significa que também na parte imaginária dos valores de tensão, se verifica o
fenómeno do aumento de precisão no cálculo de tensões através do modelo aproximado por solução
local com base no Teorema de Tellegen quando se aumenta a região de observação.
53
4.6 Considerações sobre o capítulo
Tal como foi dito no início deste capítulo, o estudo aqui descrito serve de base para o capítulo
seguinte, uma vez que o cálculo aproximado de perdas poderá ter por base o cálculo aproximado de
valores de tensão nos barramentos aqui considerado.
O grande objectivo deste capítulo era mostrar que o modelo aproximado para o cálculo de
tensões baseado no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas tem uma precisão
bastante aceitável o que permite, ao mesmo tempo, inseri-lo num modelo aproximado para o cálculo
de perdas.
Os testes realizados provam que, de facto, os valores de tensão calculados a partir deste modelo,
após qualquer perturbação da rede, são muito próximos dos valores de tensão exactos e que, quanto
maior a região de estudo considerada, maior será a precisão do modelo. Tal como sugerido
anteriormente, o acompanhamento em simultâneo dos exemplos apresentados nesta dissertação e
dos exemplos apresentados na tese de referência [5] permite reforçar esta conclusão acerca do
modelo aproximado por solução local desenvolvido neste capítulo uma vez que, nos exemplos de
ambas as dissertações, o comportamento do modelo foi semelhante, podendo notar-se um aumento
de precisão com a região de observação.
Outro dos objectivos era estudar uma solução local para as equações convencionais de trânsito
de energia. Este teste foi o primeiro a ser realizado na secção de exemplo, tendo-se chegado à
conclusão que, considerando apenas a região perturbada para estas equações, os resultados obtidos
revelam um erro muito superior, comparativamente à solução local do modelo aproximado com base
no Teorema de Tellegen. Pode assim dizer-se que as novas equações derivadas do Teorema de
Tellegen têm um carácter mais local do que as equações convencionais. Testes apresentados na
publicação [2] devem igualmente ser consultados para reforçar esta conclusão.
Introduzindo o próximo capítulo, será estudado um modelo aproximado para avaliação de perdas,
que tem por base as equações para o cálculo aproximado de tensões estudadas neste capítulo, as
quais apresentaram resultados muito bons relativamente à precisão, quando comparados com os
valores exactos.
54
55
Capítulo 5
Avaliação de perdas em redes de
distribuição - Modelo aproximado
Capítulo destinado à apresentação de um modelo aproximado para cálculo de perdas que tem
por base o capítulo anterior, isto é, o cálculo aproximado e localizado das variações de tensão.
Numa fase final compara-se o método apresentado neste capítulo com outros métodos para
cálculo de perdas já abordados ao longo da dissertação (sensibilidades e fórmula exacta).
56
5.1 Introdução
O capítulo 5 deve ser tido em conta como um capítulo chave na obtenção de conclusões. Não só
apresenta um modelo aproximado para o cálculo de perdas, que tem por base todo o estudo
efectuado no capítulo anterior (avaliação aproximada de valores de tensão), como ainda tem em
conta a comparação ao nível de desempenho e precisão dos diferentes modelos para cálculo de
perdas em redes de distribuição de energia eléctrica.
Note-se também que para calcular as perdas de forma exacta é necessário calcular as tensões
de forma exacta. Com uma simples leitura do capítulo 3 (fórmula exacta para avaliação de perdas) é
facilmente perceptível esta questão. No entanto, a ideia do modelo aproximado para a avaliação de
perdas consiste na obtenção de bons resultados para as perdas, fazendo um menor esforço para
calcular as tensões. Quer isto dizer que, mesmo recorrendo à fórmula exacta desenvolvida no
capítulo 3, nem todos os termos desta vão ser utilizados, mas apenas aqueles para os quais se
obteve um valor de ΔV, através da utilização do modelo aproximado para avaliação de tensões
desenvolvido no capítulo anterior.
Numa abordagem simplificada, este modelo é a fusão dos dois capítulos anteriores, pois envolve
a utilização da fórmula exacta de forma aproximada.
O estudo desenvolvido neste capítulo tem por base o capítulo 7 da tese de referência [5]. A
consulta deste capítulo na tese de referência [5] irá reforçar a ideia da validade deste modelo
aproximado, uma vez que podem encontrar-se alguns testes semelhantes e que pretendem
demonstrar o comportamento do mesmo face a outros modelos para cálculo de perdas. Notar que, na
tese de referência [5], o modelo aproximado apresentado neste capítulo surge com o nome de LMini
(notação não utilizada na presente dissertação).
Relativamente à estrutura deste capítulo é conservada a estrutura utilizada para os capítulos
anteriores. Introduz-se o capítulo, bem como os seus principais objectivos (5.2), segue-se a
explicação teórica do modelo a desenvolver (5.3), uma apresentação geral dos modelos com que se
pretende comparar o modelo desenvolvido (5.4) e de seguida, já como forma de tirar as conclusões
chave da dissertação, são apresentados exemplos por forma a comparar os diferentes métodos de
cálculo de perdas propostos (5.5). O capítulo termina com uma secção de considerações sobre o
mesmo (5.6).
57
5.2 Objectivos
Para este capítulo é importante clarificar a existência não de um, mas de dois grandes objectivos.
O primeiro objectivo deste capítulo é estabelecer equações aproximadas e procedimentos para o
cálculo de perdas em redes de distribuição, através do desenvolvimento de um modelo aproximado
que engloba estudos apresentados anteriormente nesta dissertação, mais concretamente o modelo
aproximado para avaliação de tensões e a fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de
Tellegen.
Outro objectivo é obter conclusões, comparando os diferentes modelos desenvolvidos para
avaliação de perdas em redes, ao nível da precisão dos resultados.
Cumpridos estes objectivos podem então tirar-se as conclusões finais que são o grande objectivo
da dissertação.
5.3 Modelo aproximado por solução local
5.3.1 Conceito
Como foi explicado de forma geral na introdução, a grande ideia deste modelo é o cálculo de
perdas por aproximação, utilizando a fórmula exacta do capítulo 3, mas de forma aproximada.
Nesta secção pretende-se uma abordagem mais específica, isto é, qual o tipo de aproximações
que serão feitas na fórmula exacta do terceiro capítulo por forma a conseguir-se um modelo
aproximado para as perdas.
Outra questão que se põe, e como pode verificar-se pelo título desta secção (5.3 – Modelo
aproximado por solução local), é precisamente como será feita esta localização no modelo a
desenvolver.
Assim, como resposta a estas duas questões, pode dizer-se que este modelo aproximado
envolve a utilização da fórmula exacta para cálculo de perdas, contudo, não se utilizam todas as
variações de tensão, mas apenas algumas (certas variações podem ser consideradas como
desprezáveis), e para essas variações não serão utilizados valores exactos, mas aproximados.
Como tal, as variações de tensão calculadas incidirão exclusivamente sobre os ramos mais
influentes (como explicado no capítulo anterior, ramos onde ocorrem as perturbações e/ou ramos da
sua vizinhança). Estes valores de variações de tensão a utilizar devem ser obtidos segundo o modelo
aproximado para avaliação de tensões desenvolvido no capítulo 4.
58
5.3.2 Procedimento
De uma forma mais explícita, o modelo aproximado para o cálculo de perdas em redes de
distribuição, segue o procedimento apresentado no diagrama abaixo.
Fig. 5.1 – Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em redes de
distribuição
59
5.4 Modelos para comparação
Como tem vindo a ser dito, neste capítulo 5, além de se apresentar o modelo aproximado para o
cálculo de perdas em redes de distribuição, faz-se também a comparação de resultados entre os
modelos estudados ao longo da dissertação.
Assim, com base na ocorrência de perturbações na rede de distribuição de 10 barramentos já
utilizada nos exemplos do capítulo 4 (rede completa e versão da mesma com menos ramos), vão
comparar-se os resultados do cálculo de perdas quando calculados através das sensibilidades, com
recurso ao modelo aproximado para avaliação de perdas estudado neste capítulo e, ainda,
recorrendo à fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de Tellegen. Na tese de referência [5]
é ainda comparado um outro modelo aproximado baseado em equações convencionais de cálculo de
perdas (MLL). No entanto, não foi considerado na presente dissertação uma vez que, como pode
confirmar-se nos exemplos da tese de referência [5] os seus resultados são pouco precisos,
afastando-se muito dos valores reais.
A proximidade dos resultados dos modelos, relativamente aos resultados obtidos pela fórmula
exacta, irá indicar o nível de precisão de cada um deles para cada situação testada.
5.4.1 Fórmula exacta
Como o próprio nome sugere, utilizando a fórmula exacta desenvolvida com base no Teorema de
Tellegen e no conceito de redes adjuntas, obtêm-se resultados exactos semelhantes aos obtidos
através de um trânsito de energia convencional. Assim sendo, os resultados obtidos com esta fórmula
serão utilizados como referência, por forma a conseguir apurar os níveis de precisão dos restantes
modelos desenvolvidos.
Lembrar que esta fórmula foi desenvolvida e estudada no terceiro capítulo desta dissertação,
como continuidade do estudo desenvolvido ao longo do capítulo 2. Para explicações mais
aprofundadas e detalhadas acerca da fórmula exacta deve consultar-se o capítulo 3.
5.4.2 Avaliação por sensibilidades
A avaliação de perdas por sensibilidades, desenvolvida no capítulo 2, representa outro modelo
estudado nesta dissertação e que, no terceiro capítulo, foi já comparado com a fórmula exacta. Esta
comparação foi realizada sobrepondo-se as rectas de nível, geradas pelo modelo de sensibilidades,
com as curvas de nível do modelo exacto.
Neste capítulo poderá ver-se o comportamento e precisão desta avaliação por sensibilidades
comparado, não só com a fórmula exacta, mas também com o modelo aproximado para avaliação de
perdas aqui desenvolvido. Poderá igualmente ver-se o comportamento do modelo das sensibilidades,
relativamente aos restantes modelos, para diferentes funcionamentos de uma rede de distribuição,
como por exemplo, quando a carga nos barramentos é inferior ou superior aos valores nominais.
Para um estudo mais detalhado, acerca das sensibilidades e das respectivas fórmulas para cada
parâmetro da rede, deverá consultar-se o capítulo 2 desta dissertação.
60
5.5 Exemplos
À semelhança dos capítulos anteriores, é na secção de exemplo que são apresentados todos os
testes realizados, bem como os resultados dos mesmos.
Aqui, os testes realizados põem frente a frente os três modelos desenvolvidos ao longo da
dissertação, para diferentes condições de funcionamento de uma rede de distribuição e aquando da
ocorrência de diferentes perturbações na mesma.
Referir ainda que, para os testes realizados nesta secção, o modelo aproximado para avaliação
de perdas desenvolvido neste capítulo apenas considerou os barramentos envolvidos na perturbação,
isto é, a região curta de observação, não tendo em conta os nós vizinhos. Pode então dizer-se que
este modelo foi estudado considerando o seu pior cenário, isto é, a sua forma menos precisa.
Para o primeiro teste foi utilizada a rede de distribuição da figura 4.1 tendo-se estudado o valor
das perdas para cinco casos diferentes, como o retirar de ramos ( ) e variação de cargas em
alguns barramentos ( ). O gráfico em baixo mostra os resultados obtidos para as perdas
calculadas pelos três modelos.
Fig. 5.2 – Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula
exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas
Olhando para o gráfico, algo que salta imediatamente à vista, é o facto de as perdas serem muito
superiores para os dois últimos casos, quando comparados com os três primeiros.
Isto acontece porque, nos dois últimos casos, as perturbações afectam as cargas de alguns nós
da rede. Desta forma pode dizer-se que uma perturbação do tipo tem maior influência no
comportamento da rede que uma reconfiguração simples, como retirar ou inserir ramos, fazendo com
que os valores de perdas se afastem mais do valor calculado para o caso base. Pode ver-se ainda
61
que, para estes casos em que a perturbação afecta os valores de carga, a precisão dos modelos
diminui, obtendo-se resultados mais afastados dos resultados exactos.
Outra conclusão que se pode tirar com uma rápida observação do gráfico é que, para qualquer
situação, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo e que tem por base o uso da fórmula
exacta é muito mais preciso que o modelo das sensibilidades. Para os três primeiros casos em que
apenas ocorrem reconfigurações simples da rede e são retirados alguns ramos, a linha que
representa o modelo aproximado sobrepõe a linha de valores exactos. O mesmo não acontece com a
linha relativa às sensibilidades que, apesar de próxima, nunca se sobrepõe à linha dos resultados da
fórmula exacta. Para os dois últimos casos, o cálculo de perdas através de sensibilidades gera
resultados com um erro bastante significativo.
Este é o teste mais geral deste capítulo relativamente à análise das diferentes perturbações
através dos diferentes modelos estudados, podendo dizer-se que este teste é transversal a todos os
exemplos apresentados na tese de referência [5], não correspondendo a nenhum deles em
específico.
Em suma, com base neste teste pode dizer-se mais uma vez que, se o nível de precisão
requerido não for muito elevado, o modelo de sensibilidades pode ser suficiente, no entanto, poderá
apresentar resultados afastados da realidade para casos em que as perturbações envolvam mais do
que simples alterações dos valores de impedância nos ramos.
O segundo teste realizado tem como principal objectivo mostrar o comportamento dos diferentes
modelos quando se encontra em funcionamento com diferentes níveis de carga nos seus
barramentos. Assim, a perturbação induzida foi apenas uma perturbação simples de configuração. À
rede representada na figura 4.1 retirou-se o ramo que liga os barramentos 1 e 6. Os resultados
encontram-se no gráfico em baixo.
Fig. 5.3 – Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela fórmula
exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado
62
Olhando para o gráfico da figura 5.3, é novamente visível uma maior precisão para o modelo
aproximado comparativamente ao modelo de sensibilidades.
Acontece que, segundo os resultados apresentados, o modelo de sensibilidades pode ser
bastante preciso quando a carga nos barramentos é reduzida relativamente ao seu valor nominal.
Pelo contrário, para valores de carga superiores aos nominais, o erro do modelo de
sensibilidades pode atingir quase os 40%, fazendo com que os resultados se afastem bastante dos
valores reais. Note-se que, para este exemplo específico, o modelo de sensibilidades é também
pouco preciso quando as cargas se encontram nos valores nominais. Como já tínhamos visto noutros
exemplos, o modelo de sensibilidades nem sempre apresenta resultados muito fiáveis (ver exemplo
da figura 3.6 – sensibilidades para o espaço resistência, reactância de um ramo).
Notar que, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo 5, apesar de muito preciso, também
apresenta valores com um erro maior, quando a carga nos barramentos tem valores acima dos
valores nominais.
Concluindo a análise deste teste, pode dizer-se que os modelos aproximados para cálculo de
perdas apresentam resultados tanto melhores, quanto menores forem os valores de carga nos
barramentos, relativamente aos seus valores nominais.
Um teste semelhante mas considerando uma rede de distribuição de 14 barramentos pode ser
analisado consultando a página 190 da tese de referência [5]. Os resultados obtidos permitiram tirar
conclusões semelhantes reforçando assim o que foi dito anteriormente relativamente à influência dos
valores de carga nos barramentos sobre a precisão dos modelos. O teste da página 190 da tese de
referência [5] foi ainda reconstituído com a única intenção de validar o código MATLAB
implementado, não sendo portanto apresentado na presente dissertação.
63
Por fim, o terceiro e último teste tem por base a rede apresentada na figura 4.6 (rede de
distribuição de 10 barramentos – versão com menos ramos) na qual ocorre a perturbação sugerida na
figura 4.7 (retirar ramo 2 – 4 e inserir ramo entre os barramentos 5 e 9).
Para este teste não foi considerado o modelo de sensibilidades, uma vez que, o cálculo de
sensibilidades implementado não envolve ramos que antes não existiam na rede. Assim, a ideia deste
teste será verificar que perturbações irão provocar um maior desvio dos resultados do modelo
aproximado relativamente aos resultados da fórmula exacta, sendo que com os nós a funcionar com
a carga nominal apenas está em causa a perturbação nos ramos.
Este exemplo pode também ser comparado ao exemplo da página 192 da tese de referência [5],
no qual se perturba uma rede de 14 barramentos com a remoção de um ramo e, de seguida, se
perturba a carga de alguns nós. No exemplo da tese de referência [5] pode ver-se também o
comportamento do modelo das sensibilidades uma vez que só foi retirado um ramo e não houve
qualquer inserção.
Fig. 5.4 – Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula
exacta e pelo modelo aproximado
Note-se que, apesar de o gráfico, em todos os casos, sugerir um afastamento entre os valores
dos dois modelos, observando a escala de valores de perdas pode ver-se que o erro é sempre muito
pequeno. A principal conclusão que se pode tirar deste teste é que, quando ocorrem perturbações
nas cargas dos barramentos, as perdas afastam-se do valor calculado para o caso base. Esta
conclusão vem confirmar o que já tinha sido dito no primeiro teste relativamente à influência de
perturbações do tipo . É também para estes casos (casos 2 e 3 na figura 5.4) que o modelo
aproximado apresenta valores um pouco mais afastados dos valores reais, ainda que, sempre
bastante próximos.
64
5.6 Considerações sobre o capítulo
O final deste capítulo permite chegar às principais conclusões desta dissertação. Após todos os
testes realizados conhece-se agora, quais os níveis de precisão de cada modelo implementado, quer
para o cálculo dos valores de perdas de energia em redes, quer para o cálculo de tensões nos
barramentos.
Após este capítulo, em que foi estudado o modelo aproximado para avaliação de perdas baseado
na fórmula exacta e numa localização das novas equações de cálculo das tensões apresentadas no
capítulo 4, sabe-se quais os parâmetros da rede que, quando perturbados, afectam mais, ou menos,
tanto os valores de perdas de energia, como a precisão de cada modelo. A conclusão que se pôde
tirar é que uma perturbação ao nível da carga de um qualquer barramento tem maior influência nas
perdas do que uma perturbação ao nível das impedâncias dos ramos. Da mesma forma, uma
perturbação relacionada com a potência complexa dos barramentos faz com que os resultados
aproximados dos valores de perdas sejam mais afastados da realidade.
Outras conclusões que se podem tirar, estão relacionadas com o funcionamento da rede
relativamente aos níveis de carga nos seus barramentos e de que forma esta questão afecta não só o
desempenho dos diferentes modelos, mas também os valores de perdas na rede.
Sabe-se agora que o funcionamento da rede, com níveis de carga nos barramentos superiores
aos valores nominais, tem uma influência negativa no desempenho e na precisão dos modelos de
cálculo aproximado. As perdas de energia também são directamente afectadas por esta questão,
uma vez que crescem com os níveis de carga dos barramentos da rede, isto é, para cargas abaixo
dos valores nominais as perdas são menores, sendo que aumentam consideravelmente quando os
níveis de carga ultrapassam os valores nominais.
Como conclusão particular deste capítulo, o modelo aproximado para avaliação de perdas em
redes de distribuição aqui analisado, apresentou sempre resultados com valores muito próximos dos
reais (calculados pela fórmula exacta).
Mais uma vez, os resultados obtidos e previamente estudados na tese de referência [5] foram
comprovados através de novos testes sugeridos na presente dissertação, permitindo não só reforçar
o seu significado mas também garantir a sua validade.
65
Capítulo 6
Síntese final
Este capítulo encerra o estudo realizado com algumas conclusões que são resposta às questões
realizadas no capítulo de introdução. É, de facto, uma síntese que faz referência, de forma resumida,
a todos os estudos efectuados ao longo da dissertação e das conclusões que se obtiveram para cada
um deles.
São ainda abordados possíveis estudos que podem dar continuidade ao trabalho elaborado nesta
dissertação.
66
6.1 Síntese
Foi no âmbito do estudo e análise de redes que surgiu o tema Aproximações ao cálculo de
perdas em redes de energia eléctrica. Para este tema seguiu-se um estudo que foi sugerindo
diferentes modelos aproximados para o cálculo de perdas que pudessem ser uma alternativa fiável e
precisa ao convencional trânsito de energia, uma vez que, como foi dito no início, para redes com um
número muito elevado de possíveis configurações, realizar esta operação para cada possibilidade
poderá requerer muito tempo e um elevado esforço computacional. Foi também com a intenção de
retomar e seguir o estudo previamente realizado na dissertação para obtenção do grau de Doutor da
Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus que surge a presente dissertação. Para este
efeito, pode agora considerar-se que este trabalho veio reforçar todas as conclusões anteriormente
obtidas na tese utilizada como referência [5] relativamente ao cálculo aproximado de perdas uma vez
que, para diferentes exemplos apresentados se obtiveram resultados de significado semelhante.
O estudo efectuado no capítulo 2 apresentou o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta
como base para a modelação de fórmulas que permitiram calcular a sensibilidade à ocorrência de
perturbações de cada parâmetro de uma rede. Para a rede exemplo de cinco barramentos foram
realizados alguns testes que, tal como previsto, geraram rectas de nível que sugeriram qual a
evolução e os valores aproximados de perdas se determinados parâmetros fossem perturbados. Os
resultados obtidos só puderam ser avaliados no capítulo seguinte, através da comparação com
resultados gerados pela fórmula exacta, no entanto, olhando apenas para as rectas de nível geradas
pelas sensibilidades, pode comparar-se a evolução destas com os valores de sensibilidades
calculados previamente para cada parâmetro.
No capítulo 3 estudou-se a modelação de uma fórmula exacta, baseada no anteriormente
apresentado Teorema de Tellegen. Utilizando a mesma rede de cinco barramentos, e considerando
os espaços de parâmetros dos exemplos do capítulo anterior, obtiveram-se então valores de perdas
que geraram curvas de nível que ilustram a verdadeira evolução destas e os seus valores reais. No
final do capítulo sobrepuseram-se as curvas de nível geradas com as rectas de nível resultantes das
sensibilidades. Os resultados obtidos mostraram que o modelo das sensibilidades pode, em alguns
casos, gerar resultados que sugerem uma evolução errada das perdas para perturbações ocorridas
em determinados parâmetros da rede. Para outros casos, a evolução de perdas apresentou-se
correcta, mas sempre com alguns erros consideráveis relativamente ao seu valor. As principais
conclusões retiradas deste capítulo foram que é possível calcular as perdas exactas sem recorrer ao
convencional trânsito de energia e, ainda, que o cálculo das perdas de energia a partir do estudo de
sensibilidades, poderá ser útil quando apenas se pretenda ter uma ideia da possível evolução e
dimensão dos valores de perdas relativamente a determinado parâmetro, sem despender de muito
tempo e sem grande esforço computacional. Estas conclusões relacionadas com o estudo de
sensibilidades foram comprovadas no capítulo 5.
No quarto capítulo estudou-se a possibilidade de calcular as tensões nos barramentos de uma
rede de distribuição de forma aproximada, tendo em vista a construção de um modelo aproximado
para o cálculo de perdas. Sugeriram-se novas equações como alternativa às equações convencionais
67
e, para ambas, foi analisada a possibilidade de serem utilizadas de forma localizada, isto é, apenas
tendo em conta uma região predefinida da rede contendo, naturalmente, os barramentos envolvidos
na perturbação. Com os testes realizados, apenas se obtiveram bons resultados para a solução local
com as novas equações sugeridas, tendo-se chegado a erros muito superiores para as equações
convencionais. Relativamente aos testes realizados com as novas equações, mostrou-se também
que, considerando uma região superior e incluindo nesta os barramentos vizinhos daqueles que estão
directamente envolvidos na perturbação, os valores de variação de tensão encontrados se
aproximam muito mais dos valores exactos. De notar que, os valores de tensão exactos foram
calculados a partir de equações exactas para avaliação das tensões, também elas baseadas no
Teorema de Tellegen. A modelação destas equações não foi apresentada por se considerar em tudo
semelhante à modelação da fórmula exacta para avaliação de perdas e, também, por não estar
directamente incluída no âmbito desta dissertação.
No capítulo 5, que pode ser considerado o capítulo final desta dissertação, apresentou-se então o
modelo aproximado para o cálculo de perdas, que tem por base o cálculo aproximado de tensões do
capítulo 4. Os testes realizados permitiram comparar este modelo com a fórmula exacta,
desenvolvida no terceiro capítulo, e com o modelo de sensibilidades apresentado no capítulo 2. Este
modelo aproximado para o cálculo de perdas mostrou-se uma alternativa bastante precisa, uma vez
que, para todos os testes considerados, desde a ocorrência de perturbações nos ramos, à ocorrência
de perturbações ao nível das cargas de alguns barramentos, passando pelo funcionamento da rede
com níveis de carga acima e abaixo dos valores nominais, apresentou sempre resultados com erros
muito pequenos relativamente à fórmula exacta. Novamente, o cálculo de perdas através do estudo
das sensibilidades revelou-se uma solução considerável sempre que a precisão dos resultados não
seja, de todo, o mais importante e apenas se pretenda ter uma ideia da influência de um parâmetro
nas perdas da rede.
Toda esta análise elaborada com vista a encontrar soluções aproximadas para o cálculo de
perdas em redes de energia eléctrica permitiu chegar à conclusão que existem, de facto, soluções
que não envolvem o cálculo excessivo de trânsitos de energia. Para todas as soluções apresentadas,
apenas é realizado um trânsito de energia para o ponto de funcionamento base da rede, sendo que,
os resultados seguintes são obtidos considerando-se apenas as variações ocorridas nos diferentes
parâmetros da rede.
Todos os modelos abordados nesta dissertação, quer para avaliação de perdas quer para
avaliação de tensão, foram implementados em MATLAB como parte do trabalho original da mesma.
A próxima secção refere os estudos realizados anteriormente e os casos práticos reais em que
estas aproximações podem ser utilizadas. Sugere ainda possíveis estudos que podem dar
continuidade à análise efectuada nesta dissertação.
68
6.2 Continuidade do estudo
A eficiência energética de uma rede eléctrica está directamente relacionada com as perdas de
energia enquanto esta é transportada até cada consumidor.
As redes de distribuição são, em geral, redes de grandes dimensões. São redes complexas que
ligam um número muito elevado de barramentos e que, quer do ponto de vista da dimensão, quer do
ponto de vista económico, podem ser consideradas as redes eléctricas de maior importância. Como
tal, há um grande interesse em encontrar uma solução óptima de funcionamento relativamente à
configuração destas redes.
Sendo a análise de perdas de energia um dos principais critérios para a reconfiguração de redes,
é importante que existam soluções eficientes para a avaliação das mesmas, considerando que as
hipóteses para a reconfiguração de uma rede de distribuição são bastante vastas.
As soluções apresentadas nesta dissertação têm por base o Teorema de Tellegen e o conceito
de redes adjuntas. Este conceito foi abordado pela primeira vez ainda nos anos 70 com a intenção de
estudar as sensibilidades em pequenas redes electrónicas. Os estudos neste campo levaram ao
desenvolvimento de novas equações de trânsito de energia e possibilitaram, consequentemente, a
criação de métodos para o cálculo de perdas, fazendo uma análise muito mais rápida e eficiente de
possíveis configurações nas redes de distribuição. Um desses estudos é a tese de referência [5] em
que a presente dissertação se baseia e pretende complementar com alguns exemplos e conclusões.
Neste contexto, e considerando que o trabalho desenvolvido nesta dissertação visou apenas, de
forma sucinta, dar a conhecer, analisar e testar a eficácia de alguns destes métodos alternativos já
abordados na tese de referência [5], seria interessante continuar o estudo sobre a aplicação dos
mesmos para redes de dimensões reais, tentando encontrar-se, para um número elevado de
possíveis configurações, um ponto de funcionamento óptimo. Este estudo deveria ser feito recorrendo
aos vários modelos aqui apresentados podendo, desta forma, comparar-se novamente os resultados
obtidos para cada um deles.
69
Bibliografia
[1] C.M.S.C. Jesus and L.A.F.M. Ferreira, “Loss sensitivity formulas by adjoint networks”, Electric
Power Systems Research, ELSEVIER, 23 de Junho 2010.
[2] C.M.S.C. Jesus and L.A.F.M. Ferreira, “Comparing Power Flow Equations on a Local Basis for
Distribution Networks”, Int. Conf. on Power Engineering, POWERENG, Setúbal – Portugal, 12-
14 de Abril 2007.
[3] T.S. de Almeida e B. Costa Pinto, “O sector eléctrico em Portugal continental – contributo para
discussão”, Banco BPI, Março de 2011.
[4] J. P. Sucena Paiva, “Redes de energia eléctrica – uma análise sistémica”, IST Press, 2ª
Edição, Dezembro 2007.
[5] C.M.S.C. Jesus, “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de
Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica”, Dissertação para obtenção do grau de
Doutor, Instituto Superior Técnico, Dezembro 2004.
[6] MathWorks - MATLAB Documentation Center. [Online] http://www.mathworks.com/help/matlab/
70
71
Anexos
72
1. Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e 3
1.1. Dados dos ramos
Ramo Resistência (% de pu) Reactância (% de pu)
0 – 1 (5) 10.0 40.0
0 – 3 (6) 15.0 60.0
0 – 4 (7) 5.0 20.0
1 – 2 (8) 5.0 20.0
1 – 3 (9) 10.0 40.0
2 – 4 (10) 5.0 20.0
1.2. Potências injectadas nos barramentos
Barramento Potência activa (pu) Potência reactiva (pu)
0 (Ref) - - - - - - - - - -
1 (PQ) -0.60 -0.30
2 (PV) 1.00 0.48
3 (PQ) -0.40 -0.10
4 (PQ) -0.60 -0.20
73
2. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os
ramos)
2.1. Dados dos ramos
Ramo Resistência (% de pu) Reactância (% de pu)
0 – 1 8.350 10.250
0 – 2 6.320 18.530
0 – 3 4.860 14.150
1 – 6 6.670 16.200
2 – 3 8.360 17.100
2 – 4 3.560 17.660
2 – 6 9.500 18.900
3 – 4 5.680 25.750
3 – 5 10.740 26.020
4 – 5 9.670 12.060
4 – 6 3.350 6.750
5 – 9 18.200 35.780
6 – 7 0.000 42.300
6 – 8 2.170 20.120
6 – 9 7.100 13.940
7 – 8 16.350 30.450
7 – 9 7.680 11.110
74
2.2. Potências injectadas nos barramentos
Barramento Potência activa (pu) Potência reactiva (pu)
0 (Ref) - - - - - - - - - -
1 (PQ) 0.212 0.250
2 (PQ) -0.578 0.250
3 (PQ) -0.170 0.250
4 (PQ) -0.383 0.045
5 (PQ) 0.000 0.000
6 (PQ) -0.648 -0.045
7 (PQ) -0.065 -0.019
8 (PQ) 0.076 0.250
9 (PQ) -0.186 -0.053
75
3. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com
menos ramos)
3.1. Dados dos ramos
Ramo Resistência (% de pu) Reactância (% de pu)
0 – 1 8.350 10.250
0 – 2 6.320 18.530
0 – 3 4.860 14.150
1 – 6 6.670 16.200
2 – 4 3.560 17.660
3 – 5 10.740 26.020
4 – 6 3.350 6.750
6 – 7 0.000 42.300
6 – 8 2.170 20.120
7 – 9 7.680 11.110
(dados iguais à secção 2.1 dos anexos para os ramos existentes)
76
3.2. Potências injectadas nos barramentos
Barramento Potência activa (pu) Potência reactiva (pu)
0 (Ref) - - - - - - - - - -
1 (PQ) 0.212 0.250
2 (PQ) -0.578 0.250
3 (PQ) -0.170 0.250
4 (PQ) -0.383 0.045
5 (PQ) 0.000 0.000
6 (PQ) -0.648 -0.045
7 (PQ) -0.065 -0.019
8 (PQ) 0.076 0.250
9 (PQ) -0.186 -0.053
(dados iguais à secção 2.2 dos anexos para os barramentos)
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