apuntes de clases2 ingeniería sisimica
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Silvana Cominetti
APUNTES DE LA ASIGNATURA INGENIERÍA SÍSMICA
PROFESORA: SILVANA COMINETTI
SISMOLOGÍA APLICADA A LA INGENIERÍA SÍSMICA
CAUSAS DE LOS SISMOS
PLACAS TECTÓNICAS: la tierra está cubierta por varias placas duras que interactúan generando los sismos.Estas capas tienen un espesor de 70 km. Bajo el mar y 140 km. Bajo la tierra.Las placas duras se orientan sobre placas relativamente suaves y se mueven como cuerpos rígidos
Silvana Cominetti
A menudo los sismos se generan en la zona de subducción y en las regiones donde las placas se deslizan unas contra otras.
Núcleo interno
Núcleo Externo
Manto
2900 km
6370 km
5000 km
Corteza 10 km a 150 km
Placa de Nazca
Placa Sudamericana
http://www.pbs.org/wnet/savageearth/animations/earthquakes/index.html
Tipos de Sismos:
Según Movimiento Según ProfundidadINTERPLACA SUPERFICIALES H<60kmINTRAPLACA INTERMEDIO 60<H<300 kmCORDILLERANO (MARINOS) PROFUNDO H>300 km
Subducción
Placa de Nazca
Placa Sudamericana
Costa
Andes
FALLAS: deslizamientos recíprocos de las capas de roca en un plano determinado. Según la dirección se clasifican en:.- Deslizamiento en inclinación: el deslizamiento se lleva a cabo en una dirección vertical.NORMAL: capa superior desliza hacia abajoREVERSA: capa superior desliza hacia arriba.- Deslizamiento horizontal:
IZQUIERDA
DERECHA
Silvana Cominetti
FALLA SÍSMICA: falla que aflora a la superficie. Ej.: Falla de San Andrés
Foco, Centro o Hipocentro: punto donde se origina el movimiento sísmicoEpicentro: proyección del foco sobre la superficie de la tierraDistancia focal: distancia desde el foco al punto observado del movimiento del terrenoDistancia epicentral: distancia desde el epicentro al punto observado
foco
epicentro Distancia epicentral
Distancia focal
ONDAS DE CUERPO: se propaga en un continuo infinito P: onda longitudinalS: onda de corte perpendicular a su vibración
ONDAS SÍSMICASONDA DE SUPERFICIE: se propaga en la superficie de la tierra
(sismos poco profundos) OndasL (Love) y R (Raleigh)
ESCALAS: MAGNITUD DE RICHTER (CUANTITATIVA) M = log A – log A0 A = amplitud máxima (m) en un punto a 100 km del epicentro, medida en un sismómetro tipo Wood-Anderson
INTENSIDAD DE MERCALLI MODIFICADA (CUALITATIVA)
INTENSIDAD DE MERCALLI MODIFICADA (CUALITATIVA)VALOR DESCRIPCIÓNDE LA INTENSIDADI no se percibeII percibido por personas en descansoIII se percibe en interioresIV se agitan puertas y ventanasV se percibe en exteriores. Las puertas oscilan. Personas
dormidas se despiertan. VI todos lo perciben. Caminata inestable. Platos y ventanas
se rompen.VII dificultad para estar de pie. Lo advierten quienes
manejan. Caídas de enyesado.VIII se afecta la conducción de vehículos. Daños a la
albañilería ordinariaIX pánico general. Albañilería débil destruida. Albañilería
ordinaria dañada.X generalidad de albañilería y estructura de marcos
destruidaXI rieles se tuercen. Tubería subterránea se rompeXII daño total
MEDICIÓN DE SISMOS Sismómetro: se mide el movimiento del terreno registrando las de un péndulo simple suspendido de un punto fijo.
Sismógrafo: mide desplazamientos.
Acelerógrafo de movimiento intenso: es el que se requiere para los objetivos de la ingeniería sísmica, que se interesa en los sismos fuertes.Normalmente está en reposo, hasta que se dispara cuando la aceleración del terreno supera un valor preestablecido. Mide aceleraciones.
t(seg)
us(cm/seg2)
Registro sísmico
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
frecuencia f = 1/T (ciclos/seg)período T (seg) tiempo de repetición
de un ciclofrecuencia angular = 2/T (rad/seg) = 2f
M
K
x(t)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S es aquél que se puede expresar como:
A
t seg
T = 1/
A =t
)()(;cos)(;)( 22 txtsenAtxtAtxtAsentx
Ir a: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm
PÁGINAS INTERESANTES PARA CONOCER DE ONDAS Y M.A.S.
ECUACIONES M.A.S.videos de física interesante mecánica ondulatoria. Ecuaciones F=-kx, etc. F=maLey de Hoock, Ecuación diferencial del mas, Eergía Potencial Elástica,http://www.acienciasgalilei.com/videos/video.htmhttp://platea.pntic.mec.es/jjreal/WebQuest/m_princi.htm
descripción de propagación de una ondahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/descripcion/descripcion.html#Descripción%20de%20la%20propagación
PÉNDULO SIMPLEhttp://www.kettering.edu/~drussell/Demos/Pendulum/Pendula.html
El movimiento ondulatoriohttp://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/index.html#
http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/Prism400.html
ondas longitudinales y transversaleshttp://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm
RFRFRFFx
00
Ec. de Newton (2ª Ley)
0
KxxmxmxK
xKF
xmamF
m
m
(fuerza elástica o
fuerza de inercia - restitutiva) R F
K
K
M
M xx
x
KxR
0 DRI FFF
PRINCIPIO DE D`ALEMBERT
FI : Fuerzas de Inercia con signo contrarioFR: Fuerzas ResistentesFD: Fuerzas Disipativas
k
mT
m
k
m
kxxteníaseSAMPor
xm
kx
mxkxm
22
:...
1/0
22
M
K1
M
K2
K1 < K2 T1 > T2
M1
K
M2
KM1 > M2 T1 > T2
FLEXIBLE RÍGIDO
D´ALEMBERT
s
s
abs
abs
xMxkxM
xkxxM
xkxM
xmxkF
0)(
0
0
)()()(
)(var
txMtxktxM
txtiempoelconiableesxSi
s
ss
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DINÁMICO DE UN SISTEMA DE 1 g.d.l. SOLICITADO POR UNAACELERACIÓN DEL SUELO
)(;0
0)(
0)0()(
0)()(
0
21
21
21
021
2211
kkkxkxm
xkkxm
xkkxm
xxkkxm
kkxm
eqeq
k1 k2
m
k1 k2
x
m
k11 k22
k11 k22
xm
1 = x – x0 = x – 0 = x
2 = x – x0 = x – 0 = x1 = 2 = x
x0=0
EJEMPLO Nº 1
nteindependieldgconecuaciónxkxm
kkko
kk
kkk
xkkk
kkxx
kk
kxkxxk
xkk
kx
xkkxk
xkxkxk
xkxxk
fuerzasdeequilibrio
xkxkxm
kxm
eq
eqeq
eq
...110
111
)(
)()
)(()(
)(
)(
)(
0
0
22
2121
21
221
2122
21
222122
221
21
12122
111222
11122
12222
222
k1
m
k1
k2
x2
m
k11= k1(x1-x0) = k1x1
2xm
x0=0EJEMPLO Nº 2
k2
x1
k11= k1(x1-x0) = k1x1
k22= k2(x2-x1)
k22= k2(x2-x1)
OSCILACIONES PERIÓDICAS SIN AMORTIGUAMIENTO
KM
)(tx)(txs
t seg
M M
)(txs
t seg
k/2 k/2
k/2 k/2
)(tx)(tx )(tx
)(txs
t seg
suelodelnaceleraciótx
estructuraladedinámicolibertaddegradotx
s )(
)(
KM
)(tx
M
x0=0
)(txK )(txK
)()()(
)(
txtxtx
txM
sabs
abs
))()()(
0)())()((
0)()(
txMtxKtxM
txKtxtxM
txKtxM
s
s
abs
J
EJEMPLO Nº 3
m
k k
a
L
m
k k
a
m
aka kaka ka
Mrestitutivo
segak
mLT
mL
ak
mL
ak
mLakmL
akJ
DINÁMICOMOVIMIENTODEECUACIÓN
mLJ
polarinerciademomentoJJM
aakM
n
inercial
orestitutiv
2
2
2
22
2
2
222
2
2
22;
2
02
1/02
02
;
2
EJEMPLOS PROPUESTOS:DETERMINAR Tn
m
k
k
a1
L
m
a2
m
a
L
k x
m
a1
L
k2 x
1 2 3
k1
a2
4
k2
k1
k1m x
EJEMPLO Nº 4PÉNDULO INVERTIDO
3
3 3
3
;
L
EIk
IE
LP
PkkP
m
L ColumnaE,I
xFR xm
¿k?
m x
Determinación de k:
P=1
332
3
3
32
3
03
1/0
3
0
mL
EIT
mL
EI
xmL
EIx
mx
L
EIxm
xkxm
DINÁMICOMOVIMIENTODEECUACIÓN
n
MOMENTOS DE INERCIA POLAR DE MASAS
mr
)(
)(
)(
:
)()()(
22
``
22
``
22
``
222222
22`
yxmII
zxmII
zymII
STEINER
dmyxIzzdmzxIyydmzyI
m
Jr
mrJgiroderadiodmrJ
zzzz
yyyy
xxxx
xx
m
AA
A
A`
VARILLA
L
x
y
z2
12
1mLII zzyy
DISCO DELGADO
2
2
4
12
1
mRII
mRIJ
yyyy
xx
PARALELEPÍPEDO
2
2
22
12
112
1
)(12
1
amI
bmI
bamIJ
zz
yy
xx
CILINDRO
)3(12
12
1
22
2
LRmII
mRIJ
zzyy
xx
OSCILADOR DE 1.G.D.L. CON AMORTIGUAMIENTO
Mmxc
xk
absxm
s
abs
xmxkxcxm
xkxcxm
0
cr
ncrncr
ntDtD
C
C
críticoientoamortiguam
deteConsmCsubradicalelanulasem
C
subradicaldelcantidadladedependenquesolucionesm
c
m
cDeBeAxsolución
Dm
cDcaractecuac
xm
kx
m
cxxkxcxm
LIBRESSOSCILADORE
tan22
3
)2(
2:
0..
00
:
22
22
21
kM
)(tx)(txs
t seg
m
m
)(txs
t seg
k/2 k/2
)(tx
c c
tiempoelendecrecenquesponencialedosdesumatx
eBeAtx
D
lestructuraeréstieneno
D
D
mCCC
tttt
nn
nn
nnn
ncr
nnnn
exp)(
)(
11
int:1
1
2
11
22
2
222
22
tn
)(tx
)1()(
int:1
BeAtx
D
lestructuraeréstieneno
t
n
n
tn
)(tx
00
2
11
2
)0(;)0(;0
cos)(
)(cos)()(
)(cos)(cos)(
)(
1
)(
1
int:1
22
xxxxt
inicialesscondicionelasdedependenFyE
tiFsentEetx
tsenBAitBAetx
tisentBtisentAetx
BeAeetx
aamortiguadfrecuencia
BeAetx
iD
lestructuraeréstienesí
aat
aat
aaaat
titit
na
tittit
nn
n
n
n
aan
nnnn
00
00
000
000
00
)()(
cos)(
1)0(
)0(
coscos)(
xx
xtg
sen
xA
tsenAetx
tsenxx
txetx
i
xxFxx
xExx
tFitEsenetiFsentEetx
n
a
at
aa
na
t
a
n
aaaat
aat
n
n
n
nn
)(05,0);(02,0;1;2
2
2 hormigónaceroT
T
aa
a
aa
ta
)(tx
0x
Determinación de
Para determinar , se usa el método denominado “Decremento Logarítmico”. Se necesita conocer dos amplitudes consecutivas “oscilando libremente”.
Se define:
ta
)(tx
a
Ta
1x2x
21
2lnlnln
1
lnln
2)(2
1
12
2
1
1
1
2
1
n
nanT
Tt
t
a
t
t
Tee
e
x
x
tsenendasemáximoel
Ttt
Ae
Ae
x
x
an
an
n
n
n
0)ln(
2
1
2 2
1
x
x
OSCILACIONES FORZADAS
)(txs
t seg
m
k/2 k/2
)(tx
PARTICULARSOLUCIÓNTRANSIENTESOLUCIÓN
GENERALSOLUCIÓN
tsenxtxtxtx
m
c
txtxm
ktx
m
ctx
mtxmtxktxctxm
txktxctxtxm
suelodelnaceleraciótsenxtx
suelodelentodesplazamitsenxtx
sssnn
n
s
s
s
ssss
sss
2
0
2
2
0
0
)()(2)(
2
)()()()(
1/)()()()(
0)()())()((
)(
)(
c
OSCILACIONES FORZADAS
0
2
222
2
2
0
2
222
2
2
0
0
00
0
00
...;
4)1(
4)1(
)()(
;
,,
)()(
s
máxP
s
n
s
n
s
máxP
s
n
s
n
ss
P
a
n
a
a
tn
H
x
xDAF
xx
tsenxtx
PARTICULARSOLUCIÓN
sen
xA
xx
xtg
xxinicialesscondicionedeA
tseneAtx
TRANSIENTESOLUCIÓN
F.A.D
1
s
n
1
0
Resonancia
RESONANCIA PUENTE TACOMAhttp://www.kettering.edu/~drussell/Demos/
TacomaNarrowsBridge.mpg
OSCILACIONES FORZADAS
)(
4)1(
)()()()(
..
2
222
2
2
0
tsenx
tseneAtxtxtx
iaestacionarsoltransientesol
FINALMENTEESCOMPLETASOLUCIÓNLA
s
s
n
s
n
s
a
tn
PH
)(
4)1(
)()()()(
..
2
222
2
2
0
tsenx
tseneAtxtxtx
iaestacionarsoltransientesol
FINALMENTEESCOMPLETASOLUCIÓNLA
s
s
n
s
n
s
a
tn
PH
Si la solicitación del suelo es una función sinusoidal, entonces conocemos la respuesta en el tiempo de nuestro sistema de 1 g.d.l.
Si la aceleración del suelo no es una función sinusoidal, tenemos las siguientes alternativas:
ALTERNATIVA A: si la excitación es una función periódica, ésta se puede escribir como una composición de funciones sinusoidales, mediante la TRANSFORMADA DE FOURIER.
OSCILACIONES FORZADAS
TRANSFORMADA DE FOURIER
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/Fourier/Fourier.html
OSCILACIONES FORZADAS
Tt
tm
Tt
tn
Tt
t
mm
nn
tdtsenmtfb
tdtntfa
tfdepromediovalordttfT
dttfa
tsenmbtnaatf
2
2
2
0
110
1
1
1
1
1
1
)(
cos)(
)()(1
)(2
cos)(
ALTERNATIVA B:
INTEGRAL DE SUPERPOSICIÓN O DE CONVOLUCIÓN O INTEGRAL DE DUHAMEL
Si la función excitatriz no es una función periódica, se determina la respuesta del sistema solicitado por esta función, la que es subdividida en una serie de IMPULSOS. Las respuestas del sistema ante los impulsos que componen la función, son finalmente superpuestos.
La respuesta del sistema del sistema ante este impulso es una respuesta en el tiempo “”
OSCILACIONES FORZADAS
M
K
x()=x(t)
f()0=0
f()
1
d2
0=0
f()
f0
Solicitación: Impulso en 0
Respuesta del sistema, x0()ante un impulso provocado en tiempo 0
x0()=h0()
1
f()
f1
Respuesta del sistema, x1()ante un impulso provocado en tiempo 1
x1()=h1()
2
f()
f2
Solicitación: Impulso en 2
Respuesta del sistema, x2()ante un impulso provocado en tiempo 2
x2()=h2()
3
f()
f3
Respuesta del sistema, x3()ante un impulso provocado en tiempo 3
x3()=h3()
1
2 3
x(t)
t
f(t)
..........)()()()()( 33322211100 thfthfthfhftx
(t)
1
tsenek
thtx
UADOSUBAMORTIGCASO
atn n
21)()(
10
Respuesta a un Impulso Unitario
m
k(t)
x(t)=h(t)
t
x(t)=h(t)
t
Al aplicar un impulso en el tiempo t=, su peso será:
Su contribución a la respuesta en el tiempo t, dependeráDel tiempo transcurrido, (t-), es decir:
Respuesta a una Excitación ArbitrariaYa que el sistema que se está analizando es lineal, es posible aplicar el principiode superposición, por lo que, combinando todas las contribuciones de estos impulsos,La respuesta a la excitación arbitraria será:
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN O DE DUHAMEL
)(ˆ fF
)()( thf
tt
dhtftxiablesdecambiohaciendoodthftx00
)()()(var,)()()(
1
0
111 )()()()(Ret
p dhtftxttónsolicitaciladurantespuesta
pt
p dhtftxttónsolicitaciladedespuésspuesta0
222 )()()()(Re
t
x(t)
t1
x(t1)
Respuesta del Sistema
f(t1)
tp
t
Solicitación
tp
t1
t2
t2
x(t2)
a
s
a
s
a
t
pat
a
t
pat
a
snn
s
x
m
xm
m
f
ttdtsenem
ftx
ttdtsenem
ftx
txxtxtx
mtxmtfkxtxctxm
p
n
n
)()()(
)()(
)(
0)()(
)(
)()(2)(
1/)()()()(
0
)(
0
)(
2
Respuesta de un sistema sometido a una aceleración del suelo
tsenm
eth
impulsounaspuesta
aa
tn
)(
:Re
)(
)(
`)`cos(`)(`0)(
)()(1
)(
0)()(1
)(
0
0
000
`
0
)(
0
)(
p
p
aa
na
tpsp
t
pat
sa
t
pat
sa
ttxx
ttxx
con
tsenxx
txetxttttxttpara
ttdtsenextx
ttdtsenextx
n
n
n
Respuesta de un sistema sometido a una aceleración del suelo
dttsenextx
esosciladordelrelativavelocidadlaLuego
LEIBNITZdt
tdatatF
dt
tdbtbtFd
dt
tFtx
dtFtx
dtsenextx
aaant
t
a
tb
ta
tb
ta
t
at
sa
n
n
)}(cos)({)(1
)(
:,
)()(
))(,()(
))(,(),(
)(
),()(
)()(1
)(
)(
0
)(
)(
)(
)(
0
)(
PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTASe conoce la respuesta de desplazamiento relativo del oscilador de 1 g.d.l.
Los máximos valores de velocidad y desplazamiento del sistema dependen del terremoto y de las características de la estructura, (Tn, )
dttsenextx
esosciladordelrelativavelocidadlaLuego
LEIBNITZdt
tdatatF
dt
tdbtbtFd
dt
tFtx
dtFtx
dtsenextx
aaant
t
a
tb
ta
tb
ta
t
at
sa
n
n
)}(cos)({)(1
)(
:,
)()(
))(,()(
))(,(),(
)(
),()(
)()(1
)(
)(
0
)(
)(
)(
)(
0
)(
a
nVnD
at
t
snV
nD
TSTS
dtsenetxAVMTS
txAVMTS
n
),(),(
)()(...),(
)(...),(
)(
0
Se define el Espectro de Respuesta de Desplazamiento Relativo a la función:
Se define el Espectro de Respuesta de Pseudo Velocidad a la función:
)()()()( tPtxktxmtxkR
)(tx
R
k
)()()()(
)()(0)()()(
txtxtPFtxm
txtxtPtxktxm
yy
y
ESPECTRO DE CAPACIDAD
),(),(),(
),(),(),(
),(
),(
),(
),(),(),(
2
2
nAnVnVnmáx
nVnV
n
nVmáx
nDmáx
máxmáx
DnnA
VnnA
n
nV
a
nVnD
TSmTSmTSmF
mkmk
mk
TSk
mk
TSk
TSkF
TSkF
xkF
xkF
STS
STS
TSTSTS
n
k/2 k/2
)(tx )(tx
)(txs
t seg
m
APLICACIÓN DEL PSEUDO ESPECTRO
)(tx
t segmáxx
CONCEPTOS
Ductilidad
Demanda de Ductilidad: lo que el terremoto va a demandar de acuerdo a un conjunto de condiciones. Es un concepto teórico. La demanda teórica es una estimación de la demanda real.
Condición que debería cumplirse:
Suministro de Ductilidad > Demanda Real
y
p
x
x
elásticoR
pxyx x
R
yR
vigcol MM 5/6
Mecanismos de Falla
Mecanismo de Falla Ideal Falla de Panel (Piso blando) hay que evitarla
Concepto “Columna Fuerte-Viga Débil”
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS PLANOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
k1
k2
k3
k4
m1
m2
m3
m4m4
m3
m2
m1 u1
u2
u3
u4
)(txs
t seg
)(txs
t seg
u1
u2
u3
u4
GENERACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UNA ESTRUCTURA
MÉTODO DE CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
g.d.l. dinámicos “”
g.d.l. estáticos “”
k1
k2
k3
k4
1
2
3
4
1
2
3
4
2020xmarcoK
44xmarcolateralK
entosdesplazamidevectorr
rigidezdematrizK
externasfuerzasdevectorF
rKF
nx
nxn
nx
nxnxnnx
:
:
:
1
1
11
Se tiene la Ecuación General:
KK
KKPT0
En el caso sísmico las fuerzas equivalentes actúan en la dirección de los g.d.l. dinámicos. No hay fuerzas preponderantes en las otras direcciones. Se asumen iguales a 0. Por lo tanto esta expresión se puede escribir como:
)(
)(
0
1
1
1
Tcond
cond
T
TT
KKKKK
KP
KKKKP
KKKK
KKP
Se tiene entonces:
k1
k2
k3
k4
m1
m2
m3
m4m4
m3
m2
m1 x1
x2
x3
x4
)(txs
t seg
)(txs
t seg
x1
x2
x3
x4
ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE UN SISTEMA DE N g.d.l.
1.- Fuerzas de Inercia
)(
)(
)(
)(
44
33
22
11
s
s
s
s
xxm
xxm
xxm
xxm
2.- Fuerzas en los Elementos Elásticos
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
x
x
x
x
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
F
F
F
xKF
e
e
e
e
e
3.- Fuerzas de Amortiguamiento Viscoso. En general el efecto del amortiguamiento se considera en forma implícita en los espectros. xCFa
4
3
2
1
000
000
000
000
m
m
m
m
MMatriz de Masas Concentradas
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Vectores de Desplazamientos, Velocidades y Aceleraciones
Para cada masa la suma de las fuerzas debe ser igual a cero.
Por lo tanto la Ecuación de Equilibrio Dinámico queda:
ss
s
xx
con
xMxKxCxM
1
1
1
1
1
1
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS - CASO NO AMORTIGUADO
Vibración LibreToda estructura elástica puede vibrar libremente en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus masas con respecto a su posición de equilibrio estático es igual al producto de una función de la posición de la masa por una función del tiempo, que es la misma para todas las masas.
0 xKxM
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/vibracion_barra/vibracion_barra.htm#Modos%20normales%20de%20vibración%20de%20una%20barra%20elástica
modos de vibrar http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
)(
.
.
)(
)(
)(;
)(
.
.
)(
)(
)(
)()(
2
1
2
1
tZ
tZ
tZ
tZ
tx
tx
tx
tx
tZtx
nn
Z no depende de t. A esta forma de vibrar se llama modos naturales. Al conjunto de valores zi se le llama forma del modo. Al período de (t), en caso de que exista, se llama período natural, Ti.
Derivando, se tiene:
y sustituyendo se llega a :
Para la masa mi, se tiene:
)()( tZtx
0)()( tZKtZM
ii
jjij
i
i
jijijiii
zm
zk
t
t
tzktzm
)(
)(
0)()()(
f(t) Indep. de t
Ambos términos deben ser constantes, pues el 1º depende de t, pero el 2º no. Si a este término se le denomina -2, se tiene:
0)()( 2 tt iii
iiT
2
0)det(0)(
0)()(
0)()(
0)(
)()(
22
2
22
MKZMK
tZKtZM
tZKtZM
tquedoconsideran
ttsenat
ii
ii
i
iiiiii
Cuya solución es (*): tsenat iii )(
i: frecuencia natural del modo i
Derivando (*), se tiene
**
rjsim
rjsiZMZ
jr
T
j
0
De aquí se obtienen las frecuencias i2, las que también reciben el nombre de
valores propios.
Al reemplazar cada valor de i2 en la ecuación **, se obtienen los Zi. Cada uno
de estos vectores se llama modo de vibración.
Para cada modo no se obtienen soluciones únicas, sino que solamente valores relativos entre las zij.
Se demuestra que los modos de vibración tienen las siguientes propiedades:
a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas
b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez
rjsim
rjsiZKZ
jjr
T
j 2
0
./
""
1
.
)()(
masaslasarc
OSNORMALIZADMODOS
dehablaseZMZSi
arbitrarioesZMZproductoEl
Zttx
j
T
j
j
T
j
jj
j
Los modos naturales constituyen un conjunto completo, lo que significa que cualquier configuración de desplazamientos x(t) puede expresarse como una combinación lineal de los Zj.
x1(t)
x2(t)
= 1(t) xZ11
Z21
MODO 1 1 MODO 2 2
Z12
Z22
+ 2(t) x
)(
)()(;
;)(
)()(
2
1
22
21
2
12
11
12
1
t
tt
Z
ZZ
Z
ZZ
tx
txtx
203875.00
040775.0
0040775.
3
2
1
m
m
m
M
EJEMPLO
m3=200(Ton)/g
k3=80 T/cm
k3
k3
3=1
k2+k3
k3
2=1
k2k1+k2
k2
1=1
33
3322
221
0
0
kk
kkkk
kkk
K
m2=400(Ton)/g
m1=400(Ton)/g
k2=200 T/cm
k1=200 T/cm
0
804203875.110
180
40775.5.355.2
05.280
40775.5
det
0)(
110
15.35.2
05.25
80
2
2
2
2
MK
K
segTseg
rady
segTseg
rady
segTseg
rady
yyy
ySea
169.0;2.1375;19.17
265.0;4.562;030.7
569.0;122;523.1
0386.184885.157751.25
80:
3233
2222
1211
23
2
321.0
804.0
0.1
969.1
853.0
0.1
:log
541.2
751.1
0.1
1
..
0
0
0
1273.55800
802545.230200
02002545.350
/122)
0)(
32
23
221
11
31
21
11
21
2
ZZ
obtieneseyconamenteanáZ
zcon
DLsistema
z
z
z
segradconi
ZMK n
Modos de Vibración:
1.0
1.751
2.541
1.0 1.0
0.853
-1.969
-0.804
0.321
MODO 1 MODO 3MODO 2
EJERCICIO:
a) Verificar la ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS c/r a la Matriz de Masas y a la Matriz de Rigidez
b) Normalizar los modos a: i
iTi
ii
T
iZ
ZMZM
11
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