arc consistance et généralisation
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Arc consistance et généralisation
Michel LiquièreLirmm
Langages de descriptionDescription
languageGeneralization
orderComplexity Generalization
operatorComplexity
Set inclusion P Intersection P
Sequence Prefix inclusion p Maximal common prefix
P
Rooted Tree Rooted tree inclusion
P Maximal common rooted tree
P
Locally injective labeled graph
Morphism P Graph product and reduction
P
Labeled Graph
Morphism NP Graph product and reduction
NP
Labeled Graph
? ? ? ?
CSPRésoudre un probléme de satisfaction de contraintes (CSP)<=> trouver un morphisme d’un graphe G1 vers un graphe G2.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
Un morphisme de G dans H correspond à une solution du CSP
Arc consistance• Morphisme => NP-complet
• CSP utilise un filtrage basé sur des contraintes de voisinages (l’arc consistance)
• Nous proposons d’utiliser un nouveau type de projection (AC-projection) basé sur l’arc consistance
Ensembles N-compatible
1 2
4
5
7
8
9
Pour un graphe dirigé G, deux ensembles S, S’ de sommets de G sont dit N-compatible ssi
Pour tout x dans S il y a un successeur (voisin) de x dans S’ et
pour tout x’ dans S’ il y a un predecesseur de x’ dans S.
Notation S ~> S’.Nous avons {A1,A2) ~> {B4,B5} puisque (A1,B4),(A2,B5) sont des arcs de G.
De même {C7,C8) ~> {A1,A2,A9}
{A1,A2,A9} et {B4,B5} ne sont pas N-compatible puisqu’il n’y a aucun arc entre A9 et B4 ou B5
G
AC-Projection
AC
0
123
4
56
7
8
9
G1 G2
AC: A0 -> {A1,A2}, B3 -> {B4,B5} et C6 ->{C7,C8} est une AC- projection de G1 dans G2. Par exemple pour l’arc (A0,B3) nous avons:
AC(A0)={A1,A2} ~> AC(B3)= {B4,B5}
Pour deux graphes dirigés (étiquetés) G1 et G2, une application AC: N(G1) -> N(G2)* est une AC- projection (Notation G1--• G2) ssi pour tout (x,y) dans E(G1) nous avons
AC(x) ~> AC(y) et pour tout x’ dans AC(x) label(x’)= label(x).
Propriétés de l’AC-projection
• La recherche d’une AC-projection de G1 dans G2 est polynomial
• S’il n’y a pas d’AC-projection de G1 dans G2 alors il n’y a pas de morphisme de G1 dans G2.
• S’il y a une AC-projection de G1 dans G2 Alors tout arbre qui a un morphisme dans G1 a un morphisme dans G2.
Pour G1 et G2 deux graphes:
Interpretation
AC
G1 G2
T
Morphism
Morphism
…
Operations
• Il existe un opérateur produit de complexité polynomiale
• Il existe un opérateur de réduction de complexité polynomiale (élément minimal d’une classe d’équivalence).
Generalization operator
E
D
R(G1 G2)
Treillis des concepts et
AC-Projection
Calcul via l’opérationProduit (généralisation)
Operation de spécialisationOn définit l’opération ~ entre deux ensembles de sommets S1,S2 d’un graphe G. (S’1,S’2)= S1 ~ S2 avecS’1= {x S1 / y S2 avec (x,y) arc de G}S’2= {y S2 / x S1 avec (x,y) arc de G}
Rectangle
on on
Rectangle Circle
right
0
1 2
3 4
Rectangle 0,3 on 1,2
0Rectangle
~
1,2
Méthode en spécialisationRectangle
on on
Rectangle Circle
right
Rectangle
on on
Circle Rectangle
right
Square
on
Rectangle Square
on
0
1 2
3 4
5
6
7 8
9 10
11
12
13
14
15
16
Rectangle 0,3,6,10,14 on 1,2,7,8,13,15 Circle 4,9 Right 5,11 Square 12,16
Rectangle 0,6,14 on 1,2,7,8,15 on 1,8 13 Rectangle 3,10,14
Rectangle 0,6 on 1,8
on 1,2,7,8
Rectangle 3,10,14
on 2,7
Support 2
Conclusion
Résultats:
• Une nouvelle relation d’ordre partiel pour les graphes: AC-projection.
• Un opérateur de généralisation pour cet ordre partiel.
• Calcul des opérations de projections et de généralisation: polynomial.
• Les graphes trouvés représentent un grand (potentiellement infini) ensemble d’arbres.
• On posséde un opérateur de spécialisation ~ très simple à calculer ce qui donne une méthode de parcours en spécialisation.
• L’algorithme est parallélisable
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