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PARTE I
VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES
CONTEÚDOS
Vetores – um pouco de história
Grandezas vetoriais
Segmentos orientados
Equipolência e propriedades
Vetor
Representação analítica de um vetor
Operações com vetores e propriedades
Produto escalar – definição, propriedade e aplicações
Produto vetorial – definição, propriedades e aplicações
Produto misto – definição, propriedades e aplicações
Exercícios de Aprendizagem
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 2
VETORES – UM POUCO DE HISTORIA
A lei do paralelogramo para a adição de vetores é tão intuitiva que sua origem é
desconhecida. Pode ter aparecido em um trabalho, agora perdido, de Aristóteles (384-322
a.C.), e está na Mecânica de Heron (primeiro século d.C.) de Alexandria. Também era o
primeiro corolário no Principia Mathematica (1687) de Isaac Newton (1642-1727). No
Principia, Newton lidou extensivamente com o que agora são consideradas entidades vetoriais
(por exemplo: velocidade e força), mas nunca com o conceito de um vetor. O estudo
sistemático e o uso de vetores foram fenômenos do século XIX e início do século XX.
Vetores nasceram nas primeiras duas décadas do século XIX com as representações
geométricas de números complexos. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-
1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e pelo menos um ou dois outros, conceberam
números complexos como pontos no plano bidimensional, isto é, como vetores bidimensionais.
Matemáticos e cientistas trabalharam com estes novos números e os aplicaram de várias
maneiras; por exemplo, Gauss fez um uso crucial de números complexos para provar o
Teorema Fundamental da Álgebra (1799). Em 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865)
mostrou que os números complexos poderiam ser considerados abstratamente como pares
ordenados ( , )a b de números reais. Esta idéia era parte de uma campanha de muitos
matemáticos, incluindo Hamilton, para procurar uma maneira de estender os “números”
bidimensionais para três dimensões; mas ninguém conseguiu isto preservando as propriedades
algébricas básicas dos números reais e complexos.
Em 1827, August Ferdinand Möbius publicou um pequeno livro, The Barycentric
Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta que eram denotados por letras do
alfabeto, vetores na essência, mas não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e
geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-
os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro
lugar, contudo, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos.
Depois de muita frustração, Hamilton estava finalmente inspirado a desistir da procura
por um sistema “numérico” tridimensional e em vez disso, inventou um sistema de quatro
dimensões que chamou de quatérnios. Nas suas próprias palavras: 16 de outubro de 1843,
O que parecia ser uma segunda-feira e um dia de Conselho da Academia Real
Irlandesa - eu estava caminhando para participar e presidir, …, ao longo do Canal
Real, … uma sub-corrente de pensamento estava na minha mente, que finalmente deu
um resultado, o qual não é muito dizer que logo senti a importância. Um circuito
elétrico pareceu fechar; e uma faísca surgiu, ... Não pude resistir ao impulso ...
escrever com uma faca sobre uma pedra da ponte Brougham, quando passamos por
ela, a fórmula fundamental... .
Os quatérnios de Hamilton foram escritos, q w ix jy kz , onde w, x, y, e z eram
números reais. Hamilton rapidamente percebeu que seus quatérnios consistiam de duas partes
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 3
distintas. O primeiro termo, o qual chamou de escalar e “x, y, z para suas componentes
retangulares, ou projeções em três eixos retangulares, ele [referindo-se a si próprio] foi
induzido a chamar a expressão trinomial propriamente dita, assim como a reta a qual ela
representa, de um VETOR”. Hamilton usou suas “fórmulas fundamentais”,
2 2 2 1i j k ijk , para multiplicar quatérnios, e imediatamente descobriu que o
produto, 1 2 2 1q q q q , não era comutativo.
Hamilton tinha se tornado cavaleiro em 1835, e era um cientista conhecido que já
tinha feito um trabalho fundamental em Ótica e Física Teórica na época que inventou
quatérnios, por isso foi imediatamente reconhecido. Em troca, devotou os 22 anos restantes
de sua vida ao seu desenvolvimento e promoção. Escreveu dois livros completos sobre o
assunto, Lectures on Quaternions (1853) e Elements of Quaternions (1866), detalhando não
apenas a álgebra dos quatérnios mas também como poderiam ser usados em Geometria. Em
certo ponto Hamilton escreveu, “eu ainda devo afirmar que esta descoberta me parece ser tão
importante para a metade do século XIX como a descoberta de flúxions foi para o final do
século XVII”. Ele teve um discípulo, Peter Guthrie Tait (1831-1901), que, na década de 1850,
começou a aplicar quatérnios a problemas em eletricidade e magnetismo e a outros problemas
em Física. Na segunda metade do século XIX, a defesa de Tait dos quatérnios provocou
reações calorosas, ambas positivas e negativas, na comunidade científica.
Ao redor da mesma época que Hamilton descobriu os quatérnios, Hermann Grassmann
(1809-1877) estava escrevendo The Calculus of Extension (1844), agora muito conhecido pelo
seu título em alemão, Ausdehnungslehre. Em 1832, Grassmann começou a desenvolver “um
novo cálculo geométrico” como parte do seu estudo da teoria de marés, e subseqüentemente
usou estas ferramentas para simplificar partes de dois trabalhos clássicos, o Analytical
Mechanics de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e o Celestial Mechanics de Pierre Simon
Laplace (1749-1827). Em seu Ausdehnungslehre, primeiro Grassmann expandiu o conceito de
vetores a partir da familiar 2 ou 3 dimensões para um número arbitrário, n, de dimensões;
isto estendeu grandemente as idéias de espaço. Segundo, e ainda mais geralmente, Grassmann
antecipou grande parte da álgebra matricial e linear moderna e análise vetorial e tensorial.
Infelizmente, o Ausdehnungslehre tinha dois pontos contra si. Primeiro, era muito
abstrato, faltando exemplos explicativos e foi escrito em um estilo obscuro com uma notação
extremamente complicada. Mesmo depois de tê-lo estudado, Möbius não tinha sido capaz de
entendê-lo completamente. Segundo, Grassmann era um professor de ensino médio sem uma
reputação científica importante (comparado a Hamilton). Embora seu trabalho tenha sido
amplamente ignorado, Grassmann promoveu sua mensagem nas décadas de 1840 e 1850 com
aplicações em eletrodinâmica e geometria de curvas e superfícies, mas sem muito sucesso
geral. Em 1862, publicou uma segunda edição revisada do seu Ausdehnungslehre, mas
também era escrito de maneira obscura e era muito abstrato para os matemáticos de sua
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 4
época e praticamente teve a mesma sina da primeira edição. No final de sua vida, Grassmann
distanciou-se da matemática e iniciou uma segunda carreira de pesquisa muito bem sucedida,
em fonética e lingüística comparada. Finalmente, nas décadas de 1860 e 1870, o
Ausdehnungslehre começou lentamente a ser entendido e apreciado e Grassmann começou a
receber algum reconhecimento favorável por sua matemática visionária. Uma terceira edição
do Ausdehnungslehre foi publicada em 1878, ano seguinte de sua morte.
Durante a metade do século XIX, Benjamin Peirce (1809-1880) era, de longe, o mais
proeminente matemático nos Estados Unidos, e se referiu a Hamilton como, “o monumental
autor dos quatérnios”. Peirce foi um professor de matemática e astronomia em Harvard de
1833 a 1880 e escreveu um enorme livro chamado System of Analytical Mechanics (1855;
segunda edição 1872), no qual, surpreendentemente não incluiu quatérnios. Em vez disso,
Peirce expandiu o que chamou de “esta maravilhosa álgebra do espaço” ao escrever seu livro
Linear Associative Algebra (1870), um trabalho totalmente de álgebra abstrata. Dizia-se que
quatérnios era o assunto favorito de Peirce e ele teve muitos alunos que se tornaram
matemáticos e que escreveram um bom número de livros e artigos sobre o assunto.
James Clerk Maxwell (1831-1879) foi um proponente dos quatérnios perspicaz e crítico.
Maxwell e Tait eram escoceses, tinham estudado juntos em Edimburgo e na Universidade de
Cambridge e dividiam os mesmos interesses em Física-Matemática. No que chamou de
“classificação matemática de quantidades físicas”, Maxwell dividiu as variáveis da Física em
duas categorias, escalares e vetoriais. Então, em termos desta estratificação, apontou que usar
quatérnios tornava transparente as analogias matemáticas em Física que tinham sido
descobertas por Lord Kelvin (Sir William Thomson, 1824-1907) entre o escoamento de calor e
a distribuição de forças eletrostáticas. Contudo, nos seus artigos, especialmente em seu muito
influente Treatise on Electricity and Magnetism (1873), Maxwell enfatizou a importância do
que descreveu como “idéias de quatérnios... ou a doutrina de vetores” como um “método
matemático... um método de pensar”. Ao mesmo tempo, apontou a natureza não homogênea
do produto de quatérnios, e avisou cientistas para não usar “os métodos de quatérnios” com
seus detalhes envolvendo os três componentes vetoriais. Essencialmente, Maxwell estava
sugerindo uma análise puramente vetorial.
William Kingdon Clifford (1845-1879) expressou “admiração profunda” pelo
Ausdehnungslehre de Grassmann e era claramente a favor de vetores, os quais freqüentemente
chamava de passos, em lugar de quatérnios. Em seu Elements of Dynamic (1878), Clifford
decompôs o produto de dois quatérnios em dois produtos vetoriais muito diferentes, os quais
chamou de produto escalar e produto vetorial. Para análise vetorial, disse “minha convicção é
que seus princípios exerceram uma ampla influência sobre o futuro da ciência matemática”.
Embora o Elements of Dynamic fosse supostamente o primeiro de uma seqüência de livros-
texto, Clifford não teve a oportunidade de seguir estas idéias porque morreu jovem.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 5
O desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje foi
revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839-
1903) feito para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven,
Connecticut (seu pai também foi professor em Yale) e suas conquistas científicas principais
foram em Física, termodinâmica propriamente dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em
termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas dos resultados de Gibbs. Gibbs
tomou conhecimento dos quatérnios quando leu o Treatise on Electricity and Magnetism de
Maxwell, e Gibbs também estudou o Ausdehnungslehre de Grassmann. Concluiu que vetores
forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu trabalho em física. Assim, começando em
1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre análise vetorial para seus
alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados Unidos, na
Inglaterra e na Europa. O primeiro livro moderno sobre análise vetorial em inglês foi Vector
Analysis (1901), as notas de Gibbs colecionadas por um de seus alunos de pós-graduação, e
Edwin B. Wilson (1879-1964). Ironicamente, Wilson cursou a graduação em Harvard (B.A.
1899) onde tinha aprendido sobre quatérnios com seu professor, James Mills Peirce (1834-
1906), um dos filhos de Benjamin Peirce. O livro de Gibbs/Wilson foi reimpresso em uma
edição em 1960. Uma outra contribuição para o moderno entendimento e uso de vetores foi
feita por Jean Frenet (1816-1900). Frenet entrou na École normale supérieure em 1840, então
estudou em Toulouse, onde escreveu sua tese de doutorado em 1847. A tese de Frenet
continha a teoria de curvas espaciais e as fórmulas conhecidas como as fórmulas de Frenet-
Serret (o triedro de Frenet). Frenet contribuiu com apenas seis fórmulas enquanto que Serret
contribui com nove. Frenet publicou esta informação no Journal de mathematique pures et
appliques em 1852.
Na década de 1890 e na primeira década do século XX, Tait e alguns outros
ridicularizaram vetores e defenderam quatérnios enquanto outros cientistas e matemáticos
desenharam seu próprio método vetorial. Oliver Heaviside (1850-1925), um físico autodidata
que foi grandemente influenciado por Maxwell, publicou artigos e seu livro Electromagnetic
Theory (três volumes, 1893, 1899, 1912) nos quais atacou quatérnios e desenvolveu sua
própria análise vetorial. Heaviside tinha recebido cópias das notas de Gibbs e falou muito
bem delas. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha
(1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão
se seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia
(1907) e na Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da
Física e da Matemática Aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático
intrínseco.
Fonte: George B. Thomas Cálculo, vol I e II. Pearson Education.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 6
ÁLGEBRA VETORIAL
Grandezas escalares e vetoriais. As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais.
As grandezas escalares são caracterizadas por sua intensidade ou tamanho (um número e sua
unidade correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatura, etc.
As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes: intensidade, direção e sentido,
como por exemplo: a força, momento linear, velocidade, deslocamento, etc.
Alguns exemplos de grandezas escalares
50 kg de massa
30 minutos
15 m de comprimento
Grandezas vetoriais
Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30° com a
reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita.
Veja a figura ao lado
F
x 30º
Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e
no sentido da direita para a esquerda. Veja figura
ao lado.
Na tabela abaixo, listamos algumas grandezas físicas escalares e vetoriais.
Grandezas escalares Grandezas vetoriais
Distância percorrida Posição
Comprimento Velocidade
Tempo Aceleração
Temperatura Força
Energia Campo elétrico
Massa Campo magnético
Potência Momento linear
Pressão Momento angular
Carga elétrica Torque
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 7
Fluxo magnético Densidade de corrente elétrica
Corrente elétrica Magnetização
Potencial elétrico Momento de dipolo elétrico
Entropia Momento de dipolo magnético
Segmento orientado é um segmento determinado por um par ordenado de pontos, onde o
primeiro é chamado origem e o segundo, extremidade. Isto define a orientação ou sentido do
segmento.
Notação: ( , )A B ou AB
A
B
Segmento nulo é aquele cuja origem coincide com a extremidade: ( , )A A ou AA .
Segmentos opostos. O segmento orientado BA diz-se oposto do
segmento orientado AB .
A
B
Medida de um segmento – comprimento. Fixada uma unidade de comprimento, fica
associado a cada segmento orientado AB um número real não negativo, seu comprimento,
que é a sua medida em relação àquela unidade.
Exemplo – O segmento ao lado tem med 3AB .
A
B
|
|
Observações
med medAB BA
med 0AA
Direção e sentido. Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se
as suas retas suportes são paralelas ou coincidentes.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 8
AB , DC e EF têm a mesma direção.
AB e EF têm o mesmo sentido.
AB e DC têm sentidos opostos
Observação. Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles possuem
a mesma direção.
Segmentos eqüipolentes. Um segmento orientado AB é eqüipolente a um segmento orientado
CD , se e somente se:
i) ambos são nulos;
ii) se não são nulos, têm mesmo comprimento e mesmo sentido.
Notação: AB CD
Propriedades da eqüipolência
i) AB AB (reflexiva)
ii) AB CD CD AB (simétrica)
iii) e AB CD CD EF AB EF (transitiva)
iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C , existe um único ponto D tal que
AB CD .
v) AB CD BA DC
vi) AB CD AC BD
Vetor. Chama-se vetor determinado por um
segmento orientado AB o conjunto de todos os
segmentos eqüipolentes a AB . Denotamos por AB
ou B A ou ainda por uma letra minúscula v .
A
B
v
C
D
A
B
A B C D
E F
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 9
Observações
Os segmentos nulos determinam um único vetor, chamado vetor nulo. Denotamos
0AA .
AB CD AB CD .
Vetor oposto. O vetor BA diz-se oposto de AB . Se AB é representante de um vetor v , o
vetor oposto de v é indicado por v .
Módulo (norma ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus
representantes. Notação: v ou v .
Vetor unitário é o vetor cujo módulo (norma) é 1, ou seja, um vetor v é dito unitário se
1v .
Direção (e sentido). A direção (o sentido) de um vetor não nulo v é a direção (o sentido) de
qualquer um dos seus representantes.
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário que tem mesmo sentido de v . Denotamos
o versor de v por ºv ou v .
Vetores paralelos são aqueles que têm a mesma direção.
Observamos que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor.
A
B
C
D
Vetores coplanares são aqueles que têm representantes num mesmo plano.
Vetores colineares são aqueles que têm representantes numa mesma reta.
Proposição. Dado um ponto A e um vetor v , existe um único ponto B tal que v AB , isto
é B A v , ou ainda, v B A.
Propriedades envolvendo ponto e vetor
i. 0A A
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 10
ii. ( )A v v A
iii. A v B v A B
iv. A v A u v u
v. A AB B
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de vetores. Dados dois vetores e u v e um ponto A , tomemos um ponto B tal que
B A u e um ponto C tal que C B v . Os pontos A e C determinam um vetor
s u v , chamado soma de e u v .
, e A B C
AC AB BC
u
v
A
B
C
u v
s Observamos que o vetor s não depende do ponto A .
Regra do paralelogramo. Escolhendo representantes de e u v
com a mesma origem A , o vetor soma tem como representante
a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores e u v .
u
v
s
Propriedades da adição de vetores. Sejam , e u v w vetores quaisquer. Então,
i. u v v u comutativa
ii. u v w u v w associativa
iii. 0u u elemento neutro
iv. 0u u elemento oposto
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 11
Diferença de vetores. Dados dois vetores e u v , chama-se diferença dos vetores e u v ao
vetor ( )d u v e é indicado por d u v .
Exemplos – Observemos a soma dos vetores indicados nas figuras abaixo:
a) b)
AB AC AF AH AO FO DC FC
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
Definição. Sejam a e v um vetor.
a. Se 0a ou 0v então 0av .
b. Se 0a e 0v , então o vetor av caracteriza-se por:
av v (a direção do vetor resultante é a mesma de v );
av e v têm o mesmo sentido, se 0a ;
av e v têm sentidos contrários, se 0a ;
av a v .
Propriedades. Sejam ,a b e e u v vetores quaisquer.
v 2v 1
2v
A B
C
G
E
F
D
H
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 12
i. ( )a u v au av
ii. ( )a b v av bv
iii. ( ) ( )ab v a bv
iv. 1v v
Observações
Se 0a , 1va
é indicado por va
.
Se 0v , ˆv
vv
é o versor de v .
Regras de sinais. Sejam a e v um vetor.
i. a v av
ii. ( )a v av
iii. ( )a v av
DEPENDÊNCIA LINEAR
Combinação linear. Dados n vetores 1 2, , , nv v v e n escalares 1 2, , , na a a , o vetor
1 1 2 2 n nv a v a v a v é dito uma combinação linear dos vetores 1 2, , , nv v v com
coeficientes 1 2, , , na a a .
Exemplo – s u v , o vetor s é combinação linear de e u v .
u
v
s
Independência linear. Dados n vetores 1 2, , , nv v v , dizemos que esses vetores são
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 13
linearmente independentes (LI) se, e somente se, a equação
1 1 2 2 0n nv a v a v a v admite apenas a solução nula 1 2 0na a a .
Se existe algum escalar não nulo como solução da equação acima, então os vetores são
ditos linearmente dependentes (LD).
Exemplos
u
2v u
u
v
e u v são LD, pois 2 0v u . e u v são LI, pois 0 0 0v u .
ALGUNS RESULTADOS SOBRE (IN)DEPENDÊNCIA LINEAR
1. Teorema. n vetores são LD se, e somente se, um deles for escrito como combinação linear
dos outros.
2. Teorema. Um vetor v é LD se, e somente se, 0v .
3. Teorema. e u v são LD se, e somente se, e u v são paralelos.
4. Corolário. Se 0v , então dados e u v vetores paralelos, existe um único k tal que
u kv .
5. Teorema. Três vetores são LD se, e somente se, são coplanares.
6. Corolário. Se e u v são LI e w é coplanar com e u v , então existe um único par de
números ,a b , tal que w au bv .
7. Teorema. Quatro vetores são sempre LD no 3 .
8. Corolário. Se 1 2 3, ,v v v são LI e w é um vetor qualquer, então existe um único terno de
números , ,a b c , tal que 1 2 3w av bv cv .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 14
BASE
Algumas definições
1.1. Um conjunto de vetores V munido das operações definidas anteriormente de
multiplicação por um número real e adição, é chamado espaço vetorial sobre .
1.2. Seja V um espaço vetorial. Sejam 1 2, , , nv v v V . Dizemos que 1 2, , , nv v v geram V ,
se para todo w V , 1 1 2 2 n nw a v a v a v , ou seja, w pode ser escrito como
combinação linear de 1 2, , , nv v v .
1.3. Dizemos que 1 2, , , nv v v é uma base de V , se esses vetores geram V e se são LI.
Exemplos
a) O conjunto unitário de qualquer 0v constitui uma base para um conjunto de vetores
paralelos a v .
b) O conjunto de quaisquer dois vetores 1 2,v v LI constitui uma base para o conjunto de
vetores coplanares com 1 2, v v .
c) O conjunto de quaisquer três vetores 1 2 3, ,v v v LI constitui uma base para o conjunto de
vetores do espaço 3 .
Seja 1 2 3, ,E e e e uma base para o 3 . Se 3v , temos 1 1 2 2 3 3v a e a e a e . Costuma-
se expressar v da forma 1 2 3, ,E
v a a a que são as coordenadas de v na base E ou
1 2 3, ,v a a a sem o índice E quando não se há dúvida quanto à base utilizada.
Teorema. Sejam 1 2 3, ,u a a a e 1 2 3, ,v b b b expressos pelas suas coordenadas numa
mesma base E e seja k . Então,
r
v
1v
2v
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 15
I. 1 1 2 2 3 3 , e u v a b a b a b
II. 1 1 2 2 3 3, ,u v a b a b a b
III. 1 2 3, ,ku ka ka ka
Exemplo – Sendo 1,2,0u e 3, 3,5v , determine 3 2w u v .
3 1,2,0 2 3, 3,5 3, 6,0 6, 6,10 9, 12,10w
Teorema. 1 2 3, ,u a a a e 1 2 3, ,v b b b são LD 1 1 2 2 3 3, e a k b a k b a k b para
algum escalar k .
Exemplos
a) 1,2,0u e 2, 4,0v são LD, pois 2v u .
b) 0 e u são LD, pois 0 0u .
Teorema. 1 2 3, ,u a a a e 1 2 3, ,v b b b e 1 2 3, ,w b b b são LD 1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
.
Corolário. 1 2 3, ,u a a a e 1 2 3, ,v b b b e 1 2 3, ,w b b b são LI 1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
.
Exemplo – 1,2,3 , 0,1,2 e 1,2, 1u v w são LI, pois
1 0 1
2 1 2 4 0
3 2 1
.
Vetores ortogonais. Dois vetores e u v são ortogonais se podem ser
representados por segmento orientados ortogonais.
Denotamos u v (lê-se “u é ortogonal a v ”).
Aplicando o teorema de Pitágoras e a sua recíproca, temos: 2 2 2
u v u v u v .
u v u
v
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 16
Observações
a. o vetor nulo é ortogonal a todo vetor.
b. e ( )u v u w u v w .
c. e u v k u kv .
Base ortonormal. Uma base é ortonormal se é formada por vetores unitários, ortogonais dois
a dois.
O conjunto ˆˆ ˆ, ,i j k é a base canônica do 3 , onde ˆ 1,0,0i , ˆ 0,1,0j , ˆ 0,0,1k .
Sistema de coordenadas cartesianas é um conjunto formado por um ponto O e uma base.
Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço por ˆˆ ˆ, , ,O i j k , se usarmos a base
canônica do 3 . O ponto O é chamado de origem do sistema e os eixos que passam por O e
tem as direções dos vetores da base, no caso, de ˆˆ ˆ, e i j k são chamados de eixo das abscissas,
eixo das ordenadas e eixo das cotas, respectivamente.
Consideremos as coordenadas do vetor OP em relação à base ˆˆ ˆ, ,i j k :
ˆˆ ˆOP xi yj zk ou , ,OP x y z .
Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema ˆˆ ˆ, , ,O i j k , as coordenadas do
vetor OP . Portanto, para , ,OP x y z tem-se , ,P x y z .
x
y
i
j
ˆxi
ˆyjv
O
ˆ ˆv xi yj
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 17
Exemplo
Propriedades. Seja ˆˆ ˆ, , ,O i j k um sistema de coordenadas
a. Se 1 1 1, ,P x y z e 2 2 2, ,Q x y z , então 2 1 2 1 2 1, ,PQ Q P x x y y z z .
b. Se 1 1 1, ,P x y z e , ,v a b c , então 1 1 1, ,P v x a y b z c .
c. O ponto médio de PQ é o ponto 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z zM .
Exemplo –
(1,2,3)P , (2,3,5)Q , 1,1,2PQ OA
Módulo de um vetor a partir de suas coordenadas. Seja ˆˆ ˆ, ,i j k uma base ortonormal. Se
ˆˆ ˆv xi yj zk , então
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 18
2 2 2v x y z .
Exemplo – 22 21, 1,2 1 1 2 6v v v .
Propriedades do módulo (ou da norma) de um vetor
1. 0v e 0 0v v .
2. kv k v onde k .
3. u v u v (desigualdade triangular)
Distância entre dois pontos. Considere dois pontos 1 1 1, ,A x y z e 2 2 2, ,B x y z , a distância
entre A e B , ( , )d A B , é dada por
( , )d A B BA B A .
Exemplo – Considere os pontos (0,2, 1)A e (3,0,1)B , a distância entre esses pontos é dada
por
2 2 2( , ) | | (3, 2,2) 3 ( 2) 2 17d A B BA .
Vetor unitário (versor) associado a um vetor. Dado um vetor 0v , podemos associar a este
vetor um vetor unitário v do seguinte modo: ˆ| |
vv
v.
Exemplo – Seja (0,2, 1)u , o vetor unitário associado a u é
(0,2, 1) 2 1ˆ 0, ,
| | 5 5 5
uu
u.
PRODUTO ESCALAR
Definição. Dados e u v vetores não nulos e escolhido um ponto O , podemos escrever
A O u e B O v . O ângulo determinado pelos representantes OA e OB de e u v ,
respectivamente, é denominado ângulo dos vetores e u v (ou medida angular entre e u v ).
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 19
Notação: ,u v , onde 0 180
Se 0 , e u v têm mesmo sentido.
Se 180º , e u v têm sentidos opostos.
, e ,u v u v são ângulos suplementares. O
A
B
u
v
Definição. O produto escalar ou produto interno dos vetores e u v , indicado por u v ou
,u v é o número real
cosu v u v , onde ,u v .
0u v indica que cos 0 , o que ocorre quando é ângulo agudo.
0u v indica que cos 0 , o que ocorre quando é ângulo obtuso.
0u v indica que:
a) um dos vetores é nulo,
b) os vetores são ortogonais, pois cos90º 0 .
~
Propriedades. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w e qualquer que seja k , vale:
I. Se e u v são não nulos e ,u v , então cosu v
u v.
II. u u u
III. u v v u
IV. k u v ku v u kv
V. u v w u v u w
VI. Se 0u , então 0u u .
Interpretação geométrica do produto escalar. Sejam e u v
vetores não nulos. O vetor v se exprime de maneira única
1 2v v v , onde 1 2 e v u v u .
v 2v
u 1v
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 20
1v diz-se projeção ortogonal do vetor v na direção do vetor u . Denotamos 1 projuv v .
Prova. Como 1v u , temos 1 , .v ku k Temos o seguinte
2 2
2 2( ) 0v u ku v u k u u v u k u k u 2
v uk
u. Ainda, 1 2
v uv u
u.
Logo, 2
projuv u
v uu
.
2
v u
u é a medida algébrica da projeção de v na direção de u .
Expressão cartesiana do produto escalar. Fixada uma base ortonormal ˆˆ ˆ, ,i j k , o produto
escalar dos vetores 1 1 1ˆˆ ˆu x i y j z k e 2 2 2
ˆˆ ˆv x i y j z k é o número real
1 2 1 2 1 2x x y y z z . Ou seja,
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z .
Prova.
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
u v x i y j z k x i y j z k
x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k
z x k i z y k j z z k k
Como ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i j i k j k e ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k , a expressão acima reduz-se a
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z
Exemplos – Dados 3,0,4u e ( 1,2,0)v , temos:
3 1 0 2 4 0 3u v
3 3 3 5 3 5
cos , , arccos25 255 59 16 1 4
u v u v
3 9 12
proj ,0,25 25 25uv u
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 21
medida algébrica da 3
proj25uv .
Aplicação física do produto escalar. A projeção de vetores ocorre naturalmente na Física para
calcular trabalho. Definimos o trabalho W realizado por uma força de intensidade F
movimentando um objeto de uma distancia d por W Fd , mas esta definição só se aplica
quando a força é dirigida na mesma direção em que o objeto é movimentado.
Suponha, entretanto, que a força constante é um vetor F PR como na figura
abaixo, movendo um objeto do ponto P para o ponto Q , então o vetor deslocamento é dado
por D PQ . O trabalho dessa força é definido como o produto da componente dessa força
ao longo de D e a distancia que o objeto foi movido:
cos cosW F D F D F D
Exemplos
1 – Um caixote é empurrado 8 metros para cima de uma
rampa por uma força constante de 200N aplicada a um
ângulo de 25º com a rampa. Determine o trabalho
produzido por essa força. (resposta: 1450N.m=1450 Joules)
2 – Uma força é dada pelo vetor ˆˆ ˆ3 4 5F i j k e move uma partícula do ponto (2,1,0)P
para o ponto (4,6,2)Q . Determine o trabalho realizado.
Cossenos diretores de um vetor. Fixada
uma base ortonormal ˆˆ ˆ, ,i j k , chamamos
cossenos diretores de v , 0v , os cossenos
dos ângulos que v forma com os vetores da
base.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 22
Sejam ˆˆ ˆ, , , e ,v i v j v k , chamados de ângulos diretores do vetor v . Para
ˆˆ ˆv xi yj zk , temos as seguintes expressões:
ˆcos
ˆv i x
vv i ;
ˆcos
ˆv j y
vv j ;
ˆcos
ˆv k z
vv k.
Logo, , , cos , cos , cosv x y z
v v v v,
ou seja, as coordenadas de um versor são as coordenadas dos cossenos diretores do vetor e,
portanto,
2 2 2cos cos cos 1 .
Exemplos
1 – Dado o vetor (1,2,1)v , calcular os cossenos e os ângulos diretores.
2 – Calcular os ângulos diretores do vetor AB sabendo que (2,2, 3)A e (3,1, 3)B .
3 – Os ângulos diretores de um vetor são 45º, e 60º , determine .
PRODUTO VETORIAL
Orientação do espaço. Consideremos as bases 1 2 3, ,e e e e 1 2 3, ,f f f tais que possamos
expressar
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
3 1 1 2 2 3 3
f a e a e a e
f b e b e b e
f c e c e c e
.
Se
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
, dizemos que as bases 1 2 3, ,e e e e 1 2 3, ,f f f têm mesma orientação.
Se 0 , elas têm orientações opostas.
As bases são divididas em duas classes. As bases da classe fixada
são ditas positivas e as de orientação oposta à classe fixada são
ditas negativas. Adotamos, por convenção, uma base positiva do
espaço 3 , a que é formada por três vetores cujos sentidos são os
sentidos dos dedos médio, indicador e polegar da mão esquerda,
nesta ordem.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 23
Exemplos
a) ˆˆ ˆ, ,i j k é uma base positiva.
b) ˆˆ ˆ, ,j i k é uma base negativa, pois tem orientação oposta à base ˆˆ ˆ, ,i j k .
c) ˆ ˆ ˆ, ,k i j é uma base positiva, pois tem a mesma orientação da base ˆˆ ˆ, ,i j k .
Definição. Fixada uma orientação no espaço, o produto vetorial dos vetores e u v , indicado
por u v , é um vetor tal que
i) se e u v são LD, então 0u v ;
ii) se e u v são LI e ,u v , então
a) senu v u v ,
b) u v é ortogonal a e u v ,
c) , e u v u v formam uma base positiva.
Exemplos
1 – Dada a base ortonormal positiva ˆˆ ˆ, ,i j k tem-se que
a) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k
b) ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , i j k j k i k i j
2 – Sejam e u v vetores com representantes no plano , conforme a figura, onde 4u ,
5v e , 30u v . Temos:
1sen 30 4 5 10
2e
1sen 30 5 4 10
2
u v u v
v u v u
Assim, u v v u , mas v u e u v são vetores opostos, como ilustra a figura.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 24
3 – Para cada caso nas figuras, determine u v .
a)
b)
Propriedades do produto vetorial. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w e qualquer que
seja k , vale:
0u u
u v v u
k u v ku v u kv
u v w u v u w
Expressão cartesiana do produto vetorial. Fixada uma base ortonormal positiva ˆˆ ˆ, ,i j k e
dados os vetores 1 1 1, ,u x y z e 2 2 2, ,v x y z , o produto vetorial de e u v é dado por
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ˆˆ ˆy z z x x y
u v i j ky z z x x y
,
que é o desenvolvimento de Laplace em relação à primeira linha do determinante simbólico
1 1 1
2 2 2
ˆˆ ˆi j k
u v x y z
x y z
.
Prova. 1 1 1 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v x i y j z k x i y j z k
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k
z x k i z y k j z z k k
Logo, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆu v y z z y i z x x z j x y y x k
Exemplo – Dados 1,2, 2 e 1,0, 1u v , temos
ˆˆ ˆ2 2 2 1 1 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 2 2 2 20 1 1 1 1 0
1 0 1
i j k
u v i j k i j k .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 25
Interpretação geométrica do produto vetorial
Cálculo da área de um paralelogramo. Seja ABCD o paralelogramo abaixo.
A área do paralelogramo é dada por
ABCDS AB h
onde senh AD , logo, senABCDS AB AD , ou seja,
ABCDS AB AD
Área de um triângulo. Observamos também que a área do triângulo ABD é dada por
1
2ABDS AB AD .
Exemplos
1 – De um triângulo ABC sabemos que 2, 3AB AC e 3 3AB AC . Determine
a área deste triângulo.
3 3 3 13 3 cos , sen ,
2 3 2 2AB AC AB AC AB AC
12 3 32
2 2 2ABC
AB ACS u.a.
2 – Calcule a área do triângulo PQR
representado na figura.
C D
h
B A
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 26
PRODUTO MISTO
Definição. Sejam , e u v w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores , e u v w ,
indicado por , ,u v w , é o número real u v w .
Exemplo – Dados os vetores 1,0, 1 , 1,3,2 e 1,3,2u v w , tem-se:
, , 1,0, 1 1,3,2 1,3,2 3, 1,3 1,3,2 3 3 6 6u v w .
Expressão cartesiana do produto misto. Fixada uma base ortonormal ˆˆ ˆ, ,i j k e dados os
vetores
1 1 1
2 2 2
3 3 3
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
u x i y j z k
v x i y j z k
w x i y j z k
tem-se o produto misto
1 1 1 1 1 13 3 3
2 2 2 2 2 2
, ,y z z x x y
u v w u v w x y zy z z x x y
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
x y z
u v w x y z
x y z
Exemplo – Dados os vetores 1,0, 1 , 1,3,2 e 1,3,2u v w , refazendo o cálculo,
1 0 1
, , 1 3 2 6
1 3 2
u v w
Propriedades do produto misto. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w e k , valem:
1. , , 0 , e u v w u v w são coplanares.
2. , , , , , , , ,k u v w ku v w u kv w u v kw
3. 1 2 1 2, , , , , ,u u v w u v w u v w
4. , , , , , ,u v w v w u w u v
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 27
5. , , , ,u v w v u w
6. , , , , , , 0u u v v u u u v u
A demonstração de todas estas propriedades é imediata, usando as propriedades dos
determinantes.
Interpretação geométrica do produto misto
Volume de um paralelepípedo. O módulo de , ,u v w é igual ao volume do paralelepípedo de
arestas , e u v w .
Considere o paralelepípedo de arestas , eAB u AD v AE w como mostrado na figura.
O volume deste paralelepípedo é dado por
P bV S h
onde bS u v e cosh w . Lembrando que u v tem a direção da altura h do
paralelepípedo, pois é ortogonal a e a u v , do que observamos que ,w u v . Logo,
cos , ,PV u v w u v w u v w .
, , PV u v w
Exemplo – Considere o paralelepípedo da figura. Sabe-se
que (1,0,1)AB , 1,1,1BE e 0,3,3AD .
Calcule:
a) o volume do paralelepípedo ABCDEFGH ;
b) a altura do paralelepípedo em relação à base ABCD .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 28
a) , ,PV AB AD AE , onde 1,0,1 1,1,1 2,1,2AE AB BE
1 0 1
, , 0 3 3 3
2 1 2
AB AD AE e o volume do paralelepípedo é 3 3 .
b) 0
0 0 0
projAB AD
h AE AE AB AD AB AD AE AB AD
0
1,0,1 0,3,3 3, 3,3 e 3 3 3, 3, 3AB AD AB AD AB AD
2,1,2 3, 3, 3 3 3h
Volume de um Tetraedro. Também podemos afirmar que o
módulo de , ,u v w é igual a seis vezes o volume do
tetraedro de arestas , e u v w .
O volume do tetraedro ABDE é dado por 1
3T bV S h ,
onde 2b
u vS e cosh w .
Logo, 1 1
cos3 2 6T
u vV w u v w . Então,
AB u , AD v e AE w .
1 , ,
6TV u v w
Exercício – Em relação a uma base ortonormal positiva são dados os vetores 1,2, 1u ,
0,3, 4 , 1,0, 3v w e 0,0,2t . Calcule o volume do tetraedro ABCD , sabendo
que projvAB u , AC é o vetor oposto do versor de w e projt
BD AB AC .
Aplicação em Química. Na molécula do metano ( 4CH ), o átomo de carbono ocupa o centro
de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. Determine o ângulo
entre duas das valências do carbono.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 29
Solução. O resultado deste problema está presente em todos os cursos de química orgânica. O
estranho número fornecido pelo professor é aceito pelos alunos, mas, em geral, eles não têm a
menor idéia de como esse resultado foi obtido. Para calcular esse ângulo, a geometria
analítica é um método imbatível, aliada, é claro, com alguma inventividade.
Em um sistema de coordenadas no espaço, consideremos inicialmente um cubo de
aresta 2 (para facilitar) com um vértice na origem, outro no eixo X , outro no eixo Y e outro
no eixo Z . Não é difícil escolher quatro vértices desse cubo que formem um tetraedro
regular.
Os pontos (0,0,0)A , (2,2,0)B , (0,2,2)C e (2,0,2)D formam um tetraedro regular (uma vez
que as distâncias entre dois quaisquer deles são diagonais de faces do cubo) e são ocupados
pelos hidrogênios.
O ponto (1,1,1)P , centro do cubo e também centro do
tetraedro, está ocupado pelo carbono.
O resto é fácil. Para calcular, por exemplo, o ângulo ˆAPB ,
consideremos os vetores:
( 1, 1, 1)u PA e (1,1, 1)v PB .
O cosseno do ângulo entre eles é: 1 1 1 1
cos33 3
Com uma calculadora, determinamos um valor muito
aproximado para esse ângulo: 109 28 16.395 .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 30
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL
1 – Em cada afirmação marque V (verdadeira) ou F (falsa).
a) [__] Se u v , então u v .
b) [__] Se u v , então u v .
c) [__] Se u v , então u v .
d) [__] Se u v , então u v .
e) [__] Se w u v , então w u v .
f) [__] Se w u v , então , e w u v são paralelos.
g) [__] 5 5 5v v v .
h) [__] 3v e 47v são paralelos e de mesmo sentido.
i) [__] Se e u v são vetores que tem a mesma direção, então 0u v .
j) [__] u v u v .
2 – Na Figura 1 os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores
indicados.
Figura 1
3 – Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da Figura 2.
a) ABCDEFGH é um paralelepípedo.
b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes.
c) O cubo ABCDEFGH tem centro O e está dividido em oito cubos congruentes por planos
paralelos às faces.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 31
Figura 2
4 – Sejam , , , M N P O pontos coplanares e não colineares, tais que 2
5MN PM . Escreva
ON como combinação linear de OM e OP .
5 – Sejam , , e A B C D pontos coplanares tais que e CD CB são LI e 1
3CD AB .
Expresse AD como combinação linear de e AC AB .
6 – Considere os vetores ˆˆ ˆ 2A i j k , ˆˆ ˆ3 2B i j k e ˆˆ 5C j k . Determine:
a) 2 3A B b) A B
c) A B d) A C
e) A B f) C B
g) A B C h) C C
i) A B C j) projAB
k) ângulo entre A e B . l) ângulo entre projAB e C .
7 – Dados (2, 4)u , ( 5,1)v e ( 12,6)w determinar 1 2 e k k de modo que
1 2w k u k v .
8 – Considere u , v e w vetores quaisquer. Demonstre ou argumente corretamente cada um
dos resultados abaixo:
a) ˆ ˆproj ( )uv v u u .
b) proj ( ) proj proju u ua b a b .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 32
c) a desigualdade de Schwarz: u v u v .
d) a desigualdade triangular: u v u v .
e) a lei do paralelogramo: 2 2 2 2
2 2u v u v u v .
f) u v u v .
g) 2 22 2( )a b a b a b
h) Se a e b são ortogonais a u então +a b é ortogonal a u .
i) e a b são ortogonais se e somente se a b a b .
j) Se u v então 0u v .
k) ( ) ( )u v w u w v u v w
l) , , 0 , e u v w u v w são coplanares.
m) , , 0a b c se pelo menos dois dos vetores forem iguais.
9 – Suponha que ( ) 2u v w . Determine:
a) ( )u v w b) ( )u w v
c) ( )v u w d) ( )u v v
10 – Determine v , paralelo ao vetor (1, 1,2)u tal que 18v u .
11 – Sejam dados , e a b c vetores unitários tais que o ângulo entre quaisquer deles é 45º.
Calcule 2a b c .
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 33
12 – Dados os pontos (2,3)A e (5,4)B , determine um ponto C tal que (2,1)AC e
AC AB .
13 – Dados os pontos ( 4,3)A e (2,1)B , encontrar as coordenadas do ponto P quando:
a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B ;
b) P é eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abcissa.
14 – Sabendo que o ângulo entre os vetores (2,1, 1)u e (1, 1, 2)v é dado por
rad3
, determine o valor de .
15 – Determinar o valor de e m n para que o vetor (1,2 , )w m n seja simultaneamente
ortogonal aos vetores (2, 1,0)u e (1, 3, 1)v .
16 – Considere as forças E e B definidas por ( ) ,3 1,1E t t t e 2( ) 2 ,1, 1B t t t , onde
0t , atuando numa região do espaço 3 . Calcule o valor de t para que E e B sejam
ortogonais.
17 – Resolva os problemas:
a) Determine z para que os vetores (2, 1, )u z , (1,0,2)v e ( ,3, )w z z sejam coplanares.
b) Verifique se são coplanares os vetores: (3,1,2)u , (4, 1,0)v e (0, 1,0)w .
18 – De um paralelogramo ABCD temos: (1,2,3)A , (5,2,3)B , (7,3,4)C , AB DM e
1
3DE DB . Determine a área do triângulo MDE .
19 – Calcule o volume do tetraedro que possui vértice nos pontos (1,0,0)A , (2,1, 1)B ,
(0, 1,1)C e (4,2,7)D .
20 – Dados os pontos (0,0,1)A , (2, 1,2)B , (0,2,2)C e ( ,3 , 1)D t t t que constituem os
vértices de um tetraedro ABCD , determine t sabendo que o volume deste tetraedro é 5
3.
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 34
21 – Três vetores, , e A B C estão orientados como na figura.
Sabe-se que 20A , =40B e 30C .
Determine
a) as componentes do vetor resultante (VR);
b) módulo e direção de VR;
(a direção pode ser dada pelo ângulo com a horizontal)
y
x O
A
B
C
45
45
22 – A figura dá informações sobre dois vetores: u e v .
Ambos os vetores tem módulo 10 unidades e a sua soma
vetorial é s . Determine:
a) as coordenadas x e y de s ;
b) o módulo de s ;
c) o ângulo que s faz com o eixo Ox . x
y
30º
105º
23 – Duas forças 1F e 2F com intensidades de 10 N e 12 N
respectivamente, atuam sobre um objeto localizado no
ponto P (figura ao lado). Determine a força resultante F
que atua em P , determinando sua intensidade e direção
(ângulo ).
24 – Considere os vetores , eu v w representados na
figura ao lado. Determine:
a) a projeção ortogonal de v sobre w ;
b) o ângulo formado entre os vetores e u v ;
c) a área do triangulo determinado por ev w .
d) o volume do paralelepípedo determinado por
, eu v w .
25 – Determine a resultante das forças em cada item a seguir:
(I) 1F 80kgf , 2F 150kgf e 3F 180kgf . (II) 1F 120kgf , 2F 100kgf e 3F 120kgf .
w
v
u
3
3
4
1
1
O
Z
Y
X
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 35
1F
2F
3F
x
y
30º 45º
1F
2F
3F 30º x
y
(III) (IV) 1T 100kgf , 2T 80kgf e 3T 60kgf e gF 40kgf .
26 – Uma pessoa vende a hamburgers, b cachorros quentes e c sucos. Ela cobra $3,00R por
um hamburger, $2,00R por cachorro quente e $1,00R por suco. Se ( , , )A a b c e
(3,2,1)P , o que significa o produto escalar A P ?
27 – Dada a força constante ˆˆ ˆ10 18 6F i j k move uma partícula ao longo de uma reta
do ponto (2,3,0)A ao ponto (4,9,15)B . Suponha que a distancia é medida em metros e a
intensidade da força medida em Newtons. Determine o trabalho realizado por essa força.
28 – Considere o conjunto de forças na figura ao
lado. Determine o trabalho realizado pela força
resultante dessas forças para deslocar (em
metros), em linha reta, uma partícula que está na
origem até o ponto (2, 3)Q . Sabendo que
1F 120N , 2F 100N e 3F 120N .
1F
2F
3F 30º x
y
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 36
Vetor torque. Seja uma força F atuante em uma partícula única, situada no ponto P , cuja
posição relativamente à origem O do referencial inercial é dada pelo vetor r (veja figura).
Esses dois vetores, r e F , estão contidos num plano.
O momento vetorial ou vetor torque atuante sobre a
partícula em relação á origem O é definido em temos
do produto vetorial de r e F , isto é
r F .
A unidade de torque pode ser o Newton-metro (N m )
ou libra-pé ( lb ft ), entre outras possibilidades.
29 – Um parafuso é apertado aplicando uma força de 40N a
0,25m por uma chave inglesa como mostra a figura.
Determine a magnitude do torque em torno do centro do
parafuso.
30 – Suponha que uma força F com magnitude
de 3 lb é aplicada ao conjunto alavanca-haste
mostrado na figura ao lado.
a) Determine as coordenadas da força F e do
vetor r que liga a origem ao ponto onde F é
aplicada;
b) Determine o vetor torque de F em relação à
origem.
31 – A posição de uma partícula no plano xy , no tempo t é dada por ( ) , ( )t tx t e y t te .
a) Escrever a função vetorial ( ) ( ), ( )f t x t y t que descreve o movimento da partícula;
b) Onde se encontrará a partícula em 0t e em 2t ?
32 – Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por
1 ˆˆ ˆ( )2
r t ti j kt
. Determinar a posição da partícula no instante 0t e 1t ;
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 37
33 – Considere as aplicações vetoriais 2ˆ ˆ( )f t ti t j e ˆˆ ˆ( ) (sen ) (cos )g t ti t j t k , com
0 2t . Calcular:
a) (1) (0)f g b) ( 1) ( )f g
c) (1) (2 )f g d) 2 (1) (0)f g
34 – Calcule:
a) 3 2
22
4 4 ˆ ˆlim 6t
t t ti j
t t b)
1
1 ˆˆ ˆlim ( 1) ( 1)1t
ti t j t k
t
35 – Seja 2 3ˆˆ ˆ( ) 2 3f t ti t j t k e 2ˆˆ ˆ( ) 2 3g t ti j t k , 0t . Calcule:
a) 1
lim t
f t g t b) 1
lim t
f t g t
c) 1
lim ( ) ( )t
f t g t d) 1
lim 1t
t f t
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