as sombras do tempo
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AS SOMBRAS DO TEMPO...AS SOMBRAS DO TEMPO...
Évora - ProfMat 2005
Ana Paula Silva, Escola Secundária da Amora anapfsilva@netcabo.pt
Pedro Miguel de Oliveira pmoliveira@megamail.pt
Ao longo dos tempos as sombras despertaram no Homem sentimentos diversos. O Sol,
um dos principais responsáveis no aparecimento dessas sombras, revelava ser um
mistério com comportamentos cíclicos, o que provocou as primeiras observações e os
primeiros estudos. Com o passar dos milénios foram aparecendo vários instrumentos de
medição do tempo, entre os quais os Relógios de Sol.
Durante a nossa sessão vamos desafiar todos os intervenientes a uma viagem no tempo,
na procura da magia acumulada de séculos de história. Os Relógios de Sol e a
Trigonometria serão a simbiose de uma natureza matemática intemporal que poderá dar
a conhecer aos alunos algumas das belezas do nosso Universo...
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
AS SOMBRAS DO TEMPO...AS SOMBRAS DO TEMPO...
Évora - ProfMat 2005
Determinação do Norte Verdadeiro
A indicação da direcção Norte-Sul é imprescindível para a orientação dos Relógios
de Sol. Na Antiguidade foram desenvolvidos processos que permitiram a determinação
do chamado Norte Verdadeiro. O procedimento que se segue permite a obtenção desse
ponto:
1. Escolha um local iluminado durante um período de cerca de quatro horas para a obtenção do alinhamento do Norte geográfico verdadeiro.
2. Próximo das 10 horas, coloque uma estaca (gnómon) na vertical e trace uma circunferência de centro na base da estaca e raio igual à sombra da mesma e marque o ponto em que a extremidade da sombra toca a circunferência, unindo o ponto à base do gnómon.
3. Perto das 14 horas verifique o momento em que a extremidade da sombra toca novamente a circunferência. Marque esse ponto e una-o à base do gnómon.
4. A bissectriz do ângulo formado aponta para o Norte verdadeiro.
http://www.gea.org.br/relogio.html
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
AS SOMBRAS DO TEMPO...AS SOMBRAS DO TEMPO...
Évora - ProfMat 2005
Construção de um relógio de Sol VerticalÉ o mais usual nos monumentos e igrejas.
Materiais necessários:
1 quadrado de cartão com 20 cm de lado;1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado;Régua;Transferidor;Marcador;Cola;X-acto;Bostik
Procedimentos:
2. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.
3. No segmento de recta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
4. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo correspondente à latitude do lugar onde quer implantar o relógio (Évora- 38.6o) e trace um segmento de recta com origem no ponto C. Assinale um ponto E (cerca de ± 3 cm de C)
5. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE. Ao ponto de intersecção com o segmento CD atribua a letra F.
6. Trace uma recta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
7. Construa uma circunferência com centro em F e raio igual à medida do segmento FE. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
8. Construa uma semi-circunferência com centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à recta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
9. A partir dos novos pontos obtidos na recta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
A C B 6
7 5
E8 4
F
9 3
G 10 11 12 1 2 D
AS SOMBRAS DO TEMPO...AS SOMBRAS DO TEMPO...
Évora - ProfMat 2005 10. Com o pedaço de cartolina construa o gnómon com base no seguinte esquema:
– latitude do lugar
11. Dobre a peça construída no segmento CS e cole os dois triângulos um ao outro.
12. Com o X-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
13. Enfie o gnómon na incisão feita no mostrador, de modo a que as letras C e F fiquem coincidentes, e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnómon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
14. Está em condições de fixar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o mostrador deve estar virado a Sul.
Para ler as horas neste relógio temos de ter em consideração os seguintes três factores:
- Somar (ou subtrair) 4 minutos por cada por cada grau de longitude a Oeste (ou Este) do meridiano de referência – Meridiano de Greenwich.
- Adicionar uma hora quando estamos com a hora de Verão.
- Aplicar a correcção horária para o dia do ano, através do gráfico da Equação do Tempo.
Dados de Évora:
- Latitude 38.6º
- Longitude 7º 54’
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
C
90º - a = 5
S F
CS – representa o gnómon
CF – representa a base do gnómon
a – medida do gnómon
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Évora - ProfMat 2005 Construção de um Relógio de Sol Equatorial
O relógio de Sol equatorial é um instrumento de medição do tempo que simula de uma forma simples o movimento de rotação do nosso planeta.
Materiais necessários:
1 folha de cartão de dimensões 1421 cm2; 1 palhinha de 12 cm; Compasso; Régua; Transferidor; Marcador; Cola; Tesoura.
Procedimentos:
1. Trace uma margem de 1 cm em cada um dos lados menores do cartão (segmentos z e w).
2. Marque os pontos médios (Z e W) dos segmentos que traçou e, a partir do ponto W, trace na margem do cartão duas linhas perpendiculares a w, afastadas 2 mm do ponto W. Com a ajuda de uma tesoura, saliente (mas não corte) esse pedaço do cartão.Posteriormente será necessário para segurar a palhinha- gnómon.
3. Coloque o compasso no ponto Z e trace uma semi-circunferência com um raio de 6 cm. Divida a semi-circunferência em 12 partes iguais com um transferidor. Trace os respectivos raios na semicircunferência. Repita este passo no verso do cartão. As marcações efectuadas representam as linhas horárias e devem ser realçadas com a ajuda de um marcador.
4. Observe a figura ao lado. Considerando a latitude do lugar onde está, determine os valores de a e de b com base na condição: a + b = 19 (distância que separa z de w)Trace um segmento XY paralelo ao segmento z, que dista a de z e b de w.
5. Está em condições de fazer as dobragens e os cortes necessários para pôr de pé o seu relógio de sol. Para tal, deve dobrar o cartão pelo segmento XY.
6. Com base no movimento aparente do Sol, assinale correctamente as horas no cimo do cartão, sabendo que o raio perpendicular a XY indica o meio-dia solar. No verso do mostrador as linhas horárias terão de ser coincidentes com as do mostrador.
7. Enfie a palhinha no ponto Z e fixe-a no pedaço de cartão considerado no ponto W. O ângulo que a palhinha faz com o plano horizontal deve ser .
8. Oriente a palhinha, que constitui o gnómon do relógio, para Norte e tente estimar a hora neste momento. Devido à inclinação dos raios solares a leitura das horas no Outono e no Inverno é feita na parte inferior do mostrador.
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
1
a
b
1
X Y19 cm
Z z
W w
cartão 90º palhinha a
90º – b = 19 – a
N
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Évora - ProfMat 2005
Construção de um Relógio de Sol Horizontal
No relógio de Sol horizontal, o mostrador está na horizontal pelo que o gnómon faz um
ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.
Materiais necessários:
1 quadrado de cartão com 20 cm de lado; 1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado; Régua ; Transferidor; Marcador; Cola; X-acto.
Procedimentos:
1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.
2. No segmento de recta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, , do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de recta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma recta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à recta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na recta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
A C B6 6
5 7
E4 8
F
3 9
G 2 1 12 11 10 D
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Évora - ProfMat 2005 mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnómon com base no esquema representado:
– latitude do lugar
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o X-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnómon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnómon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
F
N b = 5 C
CN – representa o gnómon
CF – representa a base do gnómon
b – medida do gnómon
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Como ver as Horas num Relógio de Sol?
A diferença que existe entre as horas indicadas por um relógio de sol e um relógio
normal deve-se a três razões:
Hora de Inverno e de Verão
Para aproveitarmos a luz do dia da melhor maneira possível em cada estação
atrasamos ou adiantamos os nossos relógios em determinadas alturas do ano. Dado
este facto e se estivermos na hora de Verão, necessitaremos de adicionar uma
hora às horas indicadas pelo relógio de sol.
Longitude
A hora dada pelo relógio de sol necessita ser corrigida de acordo com a longitude
do lugar. Por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada
grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos (a longitude de Lisboa é de 9º 10’
Oeste).
Equação do Tempo
Visto que a órbita da terra em torno do sol é uma elipse e como o eixo da Terra não
é perpendicular ao plano da órbita o dia solar tem variações que atingem 31
minutos. Por questões de conveniência sobre o uso de relógios, faz-se a média
destas variações para obter a hora média de Greenwich. Assim, para corrigir a
hora dada pelo relógio de sol, chamada de tempo solar aparente, e obter a hora
média de Greenwich (hora standard para todo o país), aplica-se uma correcção
apropriada chamada Equação do Tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra
quanto o relógio de sol está adiantado ou atrasado.
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
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Évora - ProfMat 2005
Referências Bibliográficas
Bivar Weinholtz, António –– Algumas Aplicações Históricas da Geometria –Textos de Apoio, Departamento de Matemática-FCUL
Bless, R.C. –– Discovering the Cosmos, Sausalito, University Science Books,1996
Brown, David e outros (1993) – Make a Sundial, 2ª Edição, British SundialSociety
Carreira, Adelaide; Silva, Ana Paula; Oliveira, Pedro Miguel; Nápoles, SuzanaMetello – As Sombras do Tempo..., Catálogo da Exposição de Relógios de Sol.
Embacher, Franz – Relojes de Sol-Teoria Y Construccion; Progensa, 1992Fonseca, Helena e Brunheira, Lina – Uma experiência com Relógios de Sol,
Ensinar Matemática, Constância.Kausmann III, William, J. –– Universe, New-York, W.H. Freeman and company
4 th ed., 1994Pavanello, Gian Carlo e Trinchero, Aldo – Relojes de Sol: Historia,Funcionamiento, Construcción, Editorial De Vecchi, S.A. 1998-BarcelonaRansom, Peter (1994) – Fun With the sun”, Curso ProfMat 94Silva, Ana Paula; Lopes, Ana Sofia; Saporiti, Cristina; Oliveira, Pedro; Bastos,
Rita – Sombras do Tempo, ProfMat 2001Silva, Ana Paula; Lopes, Ana Sofia; Oliveira, Pedro – Sombras do Tempo, ProfMat2002Silva, Ana Paula; Oliveira, Pedro – Sombras do Tempo, ProfMat 2003Veloso, Eduardo – Algumas Noções Elementares de Astronomia, APMAssociação
Professores de Matemática, 1991Teixeira, José – D. Fernando II; Rei-Artista, Artista-Rei, Fundação da casa de
Bragança, 1986Inventário do Património Arquitectónico – Direcção Geral dos Edifícios e
Monumentos Nacionais
Ana Paula Silva, Pedro Oliveira
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