atom vodika - fizika.unios.hr · odredite valnu funkciju i dopu stene energije. igor luka cevi c...

Atom vodika

Atom vodikaQuantum mechanics 1 - Lecture 11

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

23. svibnja 2013.

Igor Lukacevic Atom vodika

Atom vodika

Sadrzaj

1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba

2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika

3 Literatura

Atom vodika

Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe

Sadrzaj

3 Literatura

Atom vodika

Schrodingerova jednadzba u sfernim koordinatama

Atom vodika

Pitanja

1 Kako izgleda potencijal u kojem segiba elektron u atomu vodika?

2 O cemu on ovisi?

3 Koje bi bile tada prirodne koordinateza ovaj problem?

4 Sto je s vremenom?

Atom vodika

S.J. u Kartezijevim koordinatama

− ~2

∂x2+

∂y 2+

)Ψ(x , y , z) + V (x , y , z)Ψ(x , y , z) = EΨ(x , y , z)

S.J. u sfernim koordinatama

− ~2

r 2∂

(r 2∂

r 2 sinϑ

(sinϑ

r 2 sin2 ϑ

∂ϕ2

)]Ψ(r , ϑ, ϕ) + V (r)Ψ(r , ϑ, ϕ) = EΨ(r , ϑ, ϕ)

Pitanje

Mozete li razdvojiti S.J. u sfernim koordinatama?

Atom vodika

Razdvajanje varijabli

PretpostavkaΨ(r , ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ)

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ]

}︸︷︷︸

samo o r

= − 1

(sinϑ

sin2 ϑ

∂ϕ2

}︸︷︷︸

samo o ϑ,ϕ

Atom vodika

Razdvajanje varijabli

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ] = l(l + 1)

(sinϑ

sin2 ϑ

∂ϕ2

}= l(l + 1)

Atom vodika

Kutna jednadzba

sinϑ∂

(sinϑ

)+∂2Y

∂ϕ2= −l(l + 1) sin2 ϑY

Pitanje

Prepoznajete li ovu jednadzbu?

Hint: Malo je “zamaskirana”.

Atom vodika

Kutna jednadzba

Sferni harmonici - rjesenja kutne jednadzbe [4,5]

Y ml (ϑ, ϕ) = Θm

l (ϑ)Φm(ϕ) = ε

√(2l + 1)

(l − |m|)!

(l + |m|)!e imϕ Pm

l (cosϑ) ,

{(−1)m , m > 01 , m ≤ 0

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Pitanje

Na koji dio valne funkcije, Ψ(r , ϑ, ϕ) = R(r) · Y (ϑ, ϕ), ce utjecati sfernosimetricni potencijal oblika V = V (r)?

Atom vodika

Radijalna jednadzba

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ] R = l(l + 1)R

u(r) = rR(r)

− ~2

l(l + 1)

]u = Eu

↓RADIJALNA JEDNADZBA

Pitanje

Sto mozete zakljuciti iz usporedbe radijalne jednadzbe sa Schrodingerovomjednadzbom?

Atom vodika

Radijalna jednadzba

efektivni potencijal Veff = V +~2

l(l + 1)

r 2︸︷︷︸↓

centrifugalni clan

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

Promotrite beskonacno duboki sferni bunar

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

Odredite valnu funkciju i dopustene energije.

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

izvan bunara: u = 0

unutar bunara: V = 0

⇒ d2u

[l(l + 1)

r 2− k2

]u , k =

√2mE

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

1 l = 0 ⇒d2u

dr 2= −k2u ⇒ u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)

Pitanje

Kako cete odrediti A i B?

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

1 l = 0 ⇒d2u

u(0) = 0 ⇒ B = 0

u(a) = 0 ⇒ ka = nπ ⇒ En0 =n2π2~2

2ma2, n ∈ N

Zadatak

Usporedite En0 s energijama u kvadratnom bunaru.

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

1 l = 0 ⇒d2u

U.N. ⇒ A =

a⇒ ψn00 = R(r)Ylm(ϑ, ϕ) =

sin(nπr/a)

r· 1√

=1√2πa

sin(nπr/a)

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

2 l = 1, 2, 3, . . .[6]⇒

u(r) = Arjl (kr) + Brnl (kr)

jl (x) = (−x)l

)lsin x

x sferne Besselove funkcije

nl (x) = −(−x)l

)lcos x

x sferne Neumannove funkcije

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

Atom vodika

Radijalna jednadzba

Primjer 1.

99K zasto cemo staviti B = 0?

Atom vodika

Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Pitanje

Sto dobijemo iz rubnog uvjeta?

Atom vodika

Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1

Atom vodika

Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1

Enl =~2

2ma2β2

ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Anl jl

(βnl r

l (ϑ, ϕ)

Atom vodika

Sadrzaj

3 Literatura

Atom vodika

Radijalna valna funkcija

Potencijal

V (r) = − e2

4πε0

Radijalna jednadzba

− ~2

l(l + 1)

]u = Eu

u(r) =?

Atom vodika

√−2mE

~⇒ 1

[1− me2

2πε0~2κ1

(κr)+

l(l + 1)

(κr)2

Supstitucija ρ = κr , ρ0 =me2

2πε0~2κ

⇒ d2u

[1− ρ0

l(l + 1)

]u , u = u(ρ)

Atom vodika

Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!

1 ρ→∞

Pitanje

Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?

Atom vodika

1 ρ→∞

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

∼ Ae−ρ

Atom vodika

1 ρ→∞

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

∼ Ae−ρ

2 ρ→ 0

Pitanje

Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?

Atom vodika

1 ρ→∞

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

∼ Ae−ρ

2 ρ→ 0

l(l + 1)

ρ2u ⇒ u(ρ) = Cρl+1 +��

�HHHDρ−l︸︷︷︸?

∼ Cρl+1

Atom vodika

Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)

[2]=⇒ ρ

dρ2+ 2(l + 1− ρ)

dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0

v(ρ) =?

Atom vodika

Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)

[2]=⇒ ρ

dρ2+ 2(l + 1− ρ)

dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0

v(ρ) =?

Pretpostavimo v(ρ) =∞∑

ajρj ⇒ aj =?

[2]=⇒

∞∑j=0

j(j + 1)aj+1ρj + 2(l + 1)

∞∑j=0

(j + 1)aj+1ρj

−2∞∑

jajρj + [ρ0 − 2(l + 1)]

∞∑j=0

ajρj = 0

=⇒ j(j + 1)aj+1 + 2(l + 1)(j + 1)aj+1 − 2jaj + [ρ0 − 2(l + 1)] aj = 0

Atom vodika

⇒ rekurzivna formula

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

Pitanje

Kako biste odredili A?

Atom vodika

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

potrazimo aj kada j →∞

Pitanje

Koji clanovi dominiraju u v(ρ) kada j →∞?

Atom vodika

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

potrazimo aj kada j →∞[2]⇒ aj ≈

pretpostavimo da je to “egzaktan” rezultat

⇒ v(ρ) = A∞∑

(2ρ)j

j!= Ae2ρ

⇒ u(ρ) = Aρl+1eρ

Pitanje

Kako se ponasa u(ρ) kadaρ→∞?

Atom vodika

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

⇒ v(ρ) = A∞∑

(2ρ)j

j!= Ae2ρ

Pitanje

Da li je to “pozeljno”ponasanje funkcije u(ρ)?Imate li ideju kako rijesitiovaj problem?

Atom vodika

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

⇒ v(ρ) = A∞∑

(2ρ)j

j!= Ae2ρ

Rjesenje

Red mora biti konacan.

Atom vodika

⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸︷︷︸n

−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0

Atom vodika

⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸︷︷︸n

−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0

Sjetimo se

E = −~2κ2

2m= − me4

8π2ε20~2ρ20⇒ E En

Atom vodika

Dopustene energije eektrona u atomu vodika

En = −

4πε0

n = 1, 2, 3, . . . glavni kvantni broj

Zadatak

Usporedite ovu formulu s Bohrovom formulom za energije elektrona u atomu.

Pitanje

Koliko iznosi E1?

Atom vodika

Bohrov radijus

4πε0~2

an⇒ a =

4πε0~2

me2= 0.529 · 10−10 m

Atom vodika

Ukupna valna funkcija

Ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Rnl (r) · Y ml (ϑ, ϕ)

Radijalna valna funkcija [7]

Rnl (r) =1

rρl+1e−ρv(ρ)

Sferni harmonici

Y ml (ϑ, ϕ) = ε

√(2l + 1)

(l − |m|)!

(l + |m|)!e imϕ Pm

l (cosϑ)

Atom vodika

Primjer 2.

Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?

Atom vodika

Primjer 2.

Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

⇒ R10(r) =a0

Pitanje

Kako biste odredili a0?

Atom vodika

Primjer 2.

Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

⇒ R10(r) =a0

Pitanje

Kako biste odredili a0? U.N. ⇒ a0 =2√a

Atom vodika

Primjer 2.

Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

⇒ R10(r) =a0

Y 00 =

1√4π

⇒ Ψ100(r , ϑ ϕ) =1√πa3

e−ra

Atom vodika

Primjer 3.

Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.

Atom vodika

Primjer 3.

n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja

Atom vodika

Primjer 3.

n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja

jmax = 0 ⇒ a1 = −a0

jmax = 1 ⇒ a2 = 0

⇒ v(ρ) = a0(1− ρ)

⇒ R20(r) =a0

(1− r

Atom vodika

Primjer 3.

n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja

l = 1 jmax = 0 ⇒ v(ρ) = a0

⇒ R21(r) =a0

4a2re−

Atom vodika

Pitanje

1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?

(Hint: n = jmax + l + 1)

2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?

3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?

Atom vodika

Pitanje

1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?

(Hint: n = jmax + l + 1)

2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?

3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?

1 l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 n

2 m = −l , . . . , 0, . . . , l 2l + 1

3 d(n) =∑n−1

l=0 (2l + 1) = n2

Atom vodika

Degeneracija stanja elektrona u atomu vodika

d(n) = n2

0 m = 0 d(n) = 1

10−1

d(n) = 3

n − 1 m =

n − 1...−(n − 1)

d(n) = 2n − 1

Atom vodika

v(ρ) = L2l+1n−l−1(2ρ)

Pridruzeni Laguerreovi polinomi

Lpq−p(x) = (−1)p

Atom vodika

v(ρ) = L2l+1n−l−1(2ρ)

Pridruzeni Laguerreovi polinomi

Lpq−p(x) = (−1)p

Atom vodika

Laguerrovi polinomi (slika)

Lq(x) = ex

)q (e−x xq)

Atom vodika

Laguerrovi polinomi (slika)

Lq(x) = ex

)q (e−x xq)

Atom vodika

Valna funkcija elektrona u atomu vodika [8-11]

Ψnlm(r , ϑ, ϕ) =

)3(n − l − 1)!

2n [(n + l)!]3e− r

L2l+1n−l−1

l (ϑ, ϕ)

Atom vodika

Primjer 4.

a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.

b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.

c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.

Atom vodika

Primjer 4.

ψ =1√a3π

e−ra ⇒ 〈r n〉 =

∫r ne−

2ra · r 2 sinϑdrdϑdϕ

∫ ∞0

r n+2e−2ra dr

〈r〉 =4

∫ ∞0

r 3e−2ra dr =

〈r 2〉 =4

∫ ∞0

r 4e−2ra dr = 3a2

Atom vodika

Primjer 4.

Atom vodika

Primjer 4.

〈x〉 DZ= 0

〈x2〉 DZ=

3〈r 2〉 = a2

Atom vodika

Primjer 4.

ψ211 = R21 · Y 11 = − 1√

8a2re−

r2a sinϑe iϕ

〈x2〉 =1

(8a2)2

∫ (r 2e−

ra sin2 ϑ

)(r sinϑ cosϕ)2︸︷︷︸

r 2 sinϑdrdϑdϕ

= 12a2

Atom vodika

Primjer 4.

Atom vodika

Spektar atoma vodika

Atom vodika

Eγ = Ep − Ek = E1

n2p− 1

)Eγ = hν

c = λν

4πc~3

4πε0

= 1.097 · 107 m−1

Atom vodika

99K Pogledajte ref. [12].

Atom vodika

Primjer 5.

Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.

a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?

b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?

c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =

√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.

d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?

Atom vodika

Primjer 5.

a) V (r) = −GMm

r⇒ e2

4πε0! GMm

Atom vodika

Primjer 5.

aBohr =

(4πε0

m⇒ ag =

GMm2= 2.34 · 10−138 m

Atom vodika

Primjer 5.

En = −[ m

2~2(GMm)2

Ekl =1

2mv 2 − G

r0, FG = Fcf ⇒

2r0⇒ Ekl = −G

En = Ekl ⇒ n =

√r0ag≈ 2.53 · 1074

Atom vodika

Primjer 5.

∆E = −[

G 2m2m3

(n + 1)2− 1

]︸︷︷︸

≈−2/n3

≈ G 2m2m3

≈ 2.09 · 10−41 J = 1.3 · 10−22 eV

⇒ λ ≈ 9.52 · 1015 m ≈ 1 gs

Atom vodika

Literatura

Sadrzaj

3 Literatura

Atom vodika

Literatura

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Aplet - Kompleksni sferni harmonici

5 Aplet - Sferni harmonici

6 M. Abramowitz, I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, 1972.

7 Aplet - Radijalna valna funkcija

8 Aplet - H orbitali 1

12 Aplet - Posebne funkcije Aplet - Spektar vodika

atom vodika - fizika.unios.hr · odredite valnu funkciju i dopu stene energije. igor luka cevi c...

Documents

6. diofantske...

6. diofantske...

struktur atom, spu, & ikatan kimia. perkembangan teori atom...

struktur atom - · pdf fileteori dasar atom dalton ......

proizvodnja vodika elektrolizom vode pomoću sunčeve

6 ikatan atom dan susunan atom - knowledge sharing · pdf...

ČiŠĆenje i skladiŠtenje vodika - unizg.hr

obi cne diferencijalne jednad zbe -...

republika hrvatska ministarstvo znanosti, … ·...

linearne diferencijalne jednad zbe i njihovi...

larutan teori atom atom

atom dan struktur atom - ipb university

batasan - fisikaloyolafreedownload.files.wordpress.com teori...

atom struktur atom oke2

obi cne diferencijalne jednad...

atom. atom nüvəsi

neke istaknute obi cne diferencijalne jednad zbe 1....

ispitivanje cjevovoda vodika u rafineriji nafte sisak

nastanek kemijskih...

perkembangan model atom dan struktur atom