aula 16 sinais e sistemas – capítulo 4 simon haykin
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Aula 16
Sinais e Sistemas – Capítulo 4
Simon Haykin
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Seja x(t) um sinal periódico. Então sua representação por FS é
k
tjkekXtx 0
Observe agora que a FT de um impulso deslocado em frequência, δ(ω-kωo), é uma senóide complexa com frequência kωo,, isto é
00
2
1
keFT
tjk
Combinando as duas expressões, temos
k
FT
k
tjk kkXjXekXtx 020
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Consequentemente, a FT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental ωo. O k-ésimo impulso tem força 2πX[k], em que X[k] é o k-ésimo coeficiente da FS.
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Exemplo: Encontre a representação por FT para x(t)=cos(ω0t)
Solução: A representação por FS para x(t) é
1,0
1,2
1cos
0,
0
k
kkXtFS
Considerando que
k
FT
k
tjk kkXjXekXtx 020
então
0000 2
12cos
k
FT
kjXt
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
000cos FT
t
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Seja x[n] um sinal periódico com período N. Então sua representação por DTFS é
Nk
njkekXnx 0
Observe que a DTFT inversa de um impulso deslocado em frequência é uma senóide complexa de tempo discreto. A DTFT é uma função da frequência com período 2π, de modo que podemos expressar um impulso deslocado em frequência das seguintes formas:
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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Expressando um período
00 ,, kk
Usando uma série finita de impulso deslocados e separados entre si por um intervalo de 2π, de modo a obter a função com período 2π
m
mk 20
Aula 16
Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
A DTFT inversa de é obtida
usando a propriedade de peneiramento do impulso, isto é
m
mk 20
m
DTFTnjk mke
2
2
10
0
Usando a linearidade e substituindo a última expressão em
Nk
njkekXnx 0
então
m
jDTFT
Nk
njk mkeXekXnx 22 00
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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Uma vez que X[k] tem período N e NΩ0=2π, podemos reescrever a DTFT de x[n] como
k
jDTFT
Nk
njk kkXeXekXnx 020
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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
Exemplo: Determine a DTFT inversa da representação mostrada na figura a seguir
Solução: um período de X(ejΩ) pode ser expressado como
,2
1
2
111 jj
eX j
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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos
A DTFT inversa de cada impulso deslocado em frequência resulta em
n
eej
nx njnj
1sen2
1
2
1
2
111
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
É comum haver combinações de sinais periódicos e não periódicos em problemas de convolução e modulação. Exemplo: aplique um sinal periódico x(t) ou x[n] a um filtro estável. A saída será a convolução do sinal de entrada periódico com a resposta ao impulso do filtro não periódica. Em casos assim, usaremos como ferramentas de análise a FT e a DTFT.
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Considere a convolução entre os sinais x(t) e h(t), isto é
jHjXjYthtxtyFT
*
Digamos que x(t) seja um sinal periódico. Logo, sua FT é dada por
k
FT
kkXjXtx 02
em que X[k] são os coeficientes da FS de x(t).
Aula 16
Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Substituindo X(jω) na expressão de convolução, temos
k
FT
k
FT
kkXjkHjY
jHkkXjYthtxty
00
0
2
2*
Aula 16
Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
k
kkXjkHjY 002
A força do k-ésimo impulso é ajustado pelo valor H(jω). Y(jω) corresponde a um sinal periódico. Consequentemente y(t) também é periódico, com o mesmo período de x(t).
Aula 16
Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Considere a convolução entre os sinais x[n] e h[n], isto é
jjjDTFT
eHeXeYnhnxny *
Digamos que x[n] seja um sinal periódico. Logo, sua DTFT é dada por
k
j kkXeX 02
em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n].
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Substituindo X(ejΩ) na expressão de convolução, temos
k
jkjDTFT
kkXeHeYnhnxny 002*
A forma de Y(ejΩ) indica que y[n] também é periódico, com o mesmo período de x[n].
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Propriedade da Modulação: Seja x(t) e z(t) sinais não periódicos. Desejamos expressar a FT de y(t)=x(t)z(t). Logo, representando x(t) e z(t) em termos de suas respectivas FTs, temos
dejZtz
dejXtx
tj
tj
2
1
2
1
Logo
ddejZjXty tj22
1
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Fazendo η=ω-υ, temos
A integral interna em υ representa a convolução de X(jω) e Z(jω). A integral externa em ω está na forma da representação de Fourier para y(t). Daí,
dedjZjXty tj
2
1
2
1
jZjXjYtztxtyFT
*2
1
em que
djZjXjZjX *
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
De forma similar, encontramos que
jjjDTFT
eZeXeYnznxny *2
1
em que
2
* deZeXeZeX jjjj
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Podemos utilizar a propriedade da modulação mesmo que um dos sinais seja periódico. Seja a modulação de dois sinais, x(t) e g(t), com x(t) periódico e g(t) não periódico
0][*2
1
*2
1
kkXjGjY
jXjGjYtxtgty
k
FT
FT
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
A propriedade de peneiramento da função impulso implica que a convolução de qualquer função com um impulso deslocado resulta numa versão deslocada da função original, de forma que
0][ kjGkXjY
txtgty
k
FT
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Seja agora a modulação de dois sinais, x[n] e g[n], com x[n] periódico e g[n] não periódico
jjjDTFT
eGeXeYnxngny *2
1
sendo
k
j kkXeX 02
onde X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n].
Substituindo a última equação na definição de convolução, temos
deGkkXeY j
k
j
2
0
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Aplicando a propriedade de peneiramento, temos
Nk
kjjDTFT
eGkXeYngnxny 0
Logo, a modulação de g[n] com a sequência periódica x[n] resulta numa DTFT que consiste numa soma ponderada de versões deslocadas de G(ejΩ). Observe que y[n] é não periódico e consequentemente Y(ejΩ) também é não periódico.
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Exemplo: Considere o sinal
nnnx
16
9cos
16
7cos
Use a propriedade de modulação para avaliar o efeito de computar a DTFT usando apenas os 2M+1 valores de x[n], isto é |n|≤M.
Solução: Queremos avaliar y[n]=x[n]w[n], onde
Mn
Mnnw
,0
,1
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
A DTFT de é
nnnx
16
9cos
16
7cos
onde
contráriocaso,016
9,
16
7,
2
1 kkX
k
j kkXeX 02
de modo que
,
16
7
16
9
16
7
16
9jeX
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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais
Considere a propriedade de modulação, isto é
onde
contráriocaso,016
9,
16
7,
2
1 kkX
de modo que
167169167169
2
1 jjjjj eWeWeWeWeY
Nk
kjj eWkXeY 0
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