aula de funções

FunçõesFunções

Equipe: Anizio de Miranda Gomes

Ramon Carvalho da Fonseca

Wendel de Oliveira Silva Prof. Dr°. Ronaldo da Silva Busse

Caraça (1989): o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo.

Rezende (2006): Saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação.

IntroduçãoIntrodução

Foi Leibniz ( nascido na Alemanha ) quem primeiro usou

o termo função em 1673 num manuscrito Latino. Leibniz usou o termo apenas para designar, em termos muito gerais, como a dependência de uma curva de quantidades geométricas. Introduziu também os conceitos de constante, variável e parâmetro. 

História das FunçõesHistória das Funções

IntroduçãoIntrodução

Um dos conceitos mais utilizados em Matemática é o de função. Ele se aplica não somente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre outras. Além disso, está muito presente em nosso dia-a-dia, ajudando a melhor compreender o mundo que nos cerca.

Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:

o preço de um armário é função da área que ele cobre;a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;a altura de uma criança é função de sua idade;o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;o salário de um vendedor é função do volume de vendas;a área de um quadrado é função da medida de seus lados;o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição etc.

Construir relações de Construir relações de dependência entre dependência entre

grandezas.grandezas.

ObjetivoObjetivo

tempo, temperatura, comprimento, volume, etc.

força, velocidade, posição, aceleração,etc.

É uma regra que estabelece um vínculo entre elementos de dois conjuntos distintos, em particular, entre elementos de conjuntos numéricos.

RelaçãoRelação

R = {(x, y): x, y ,(∈ ℜ x − 2)2 + (y −1)2 = 9}

FunçãoFunção

É uma relação que permite associar a É uma relação que permite associar a cada elemento de um dos conjuntos um cada elemento de um dos conjuntos um único elemento do segundo conjunto.único elemento do segundo conjunto.

Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.

Formas de RepresentaçãoFormas de Representação

Domínio, Contradomínio e ImagemDomínio, Contradomínio e Imagemy = f(x)y = f(x)

A Domínio de f

B Contradomínio de f

O conjunto de todos os elementos de B que são imagens dos

elementos de A é chamado de conjunto imagemconjunto imagem.

Exemplos:Exemplos:

Considere os conjuntos A = {-3,-1,0,2} e B = {-1,0,1,2,3,4}.

BAfSeja : 2xy

-1,1,2,4}{)Im(

,4}-1,0,1,2,3{)(

}2,0,1,3{)(

f

fCD

fD

Exemplos:Exemplos:

Relação:Relação:

1}x-1|{)Im(

}|{)(

Ryf

xRxfD

Determinando se um conjunto de Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma funçãopontos é gráfico de uma função

Analisando geometricamente, traçamos qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo num único ponto. Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função.

Não é função

É função

Tipologia das FunçõesTipologia das Funções

As funções podem ser:As funções podem ser:

Função InjetoraFunção Injetora

Uma função f : A →B é injetora quando não há elementos Uma função f : A →B é injetora quando não há elementos em B que seja imagem de mais de um elemento de A.em B que seja imagem de mais de um elemento de A.

0

-3

2

4

1

6

8

Ex. 1Ex. 1

Qualquer reta paralela ao eixo x, corta a função só 1 vez.Qualquer reta paralela ao eixo x, corta a função só 1 vez.

2121 xfxfxx

Função SobrejetoraFunção Sobrejetora

Uma função f : A →B é sobrejetora quando todo elemento Uma função f : A →B é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando Im(f) = B.quando Im(f) = B.

Ex: 1Ex: 1 Ex: 2Ex: 2

-1

1

3

1

9

1 3

1

3

x

y

2

2

f(x)=x

x

y

x

y

É sobrejetora, não sobram valores de y

Sobram valores de y, não é sobrejetora

Função SobrejetoraFunção Sobrejetora

Função BijetoraFunção Bijetora

Uma função f : A →B é bijetora se ela é, simultaneamente, Uma função f : A →B é bijetora se ela é, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva.injetiva e sobrejetiva.

-1

3

7

1

5

9

ExemploExemplo

x

y

-2-2 22

- - 44

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

44

x

y

-2-2 22-2-2 22

44f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

f : D CD

xx

f : R+ R

x

y

2222

44

22

44

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é Injeto

ra

Não é Injeto

ra

f : R+ R

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

00

Im(f) = [0, +∞)CD = R

Não é Sobrejeto

ra

Não é Sobrejeto

ra

Im(f) ≠ CD

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

xx yy

f : R+ R

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

f : R+ R

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

f : R+ R

x

y

2222

44

22

44

É uma função SimplesÉ uma função Simples

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

f : R+ R

Não é BijetoraNão é Bijetora

xfy

x1x 2x

Chama-se função constante toda Chama-se função constante toda função f : R → R, tal que f(x) = k, sendo função f : R → R, tal que f(x) = k, sendo k uma constante real.k uma constante real.

Função ConstanteFunção Constante

k

0

o

O gráfico da função constante f(x) = k é a reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (0, k)

k

o

0

k

o

xfy

x1x 2x

1xf

2xf

Uma função f: D Uma função f: D B, dada por y = f(x) B, dada por y = f(x) é dita crescente no conjunto A é dita crescente no conjunto A D se, D se, para quaisquer dois valores xpara quaisquer dois valores x11 e x e x22

pertencentes a A, com xpertencentes a A, com x22 > x > x11, tivermos , tivermos

f(xf(x22) > f(x) > f(x11).).

1212 xfxfxx

Função CrescenteFunção Crescente

xfy

x1x 2x

2xf

1xf

Uma função f: D Uma função f: D B, dada por y = f(x) B, dada por y = f(x) é dita decrescente no conjunto A é dita decrescente no conjunto A D D se, para quaisquer dois valores xse, para quaisquer dois valores x11 e x e x22

pertencentes a A, com xpertencentes a A, com x22 > x > x11, tivermos , tivermos

f(xf(x22) < f(x) < f(x11).).

1212 xfxfxx

Função DecrescenteFunção Decrescente

Ex.: Para o gráfico da função f dada a seguir, determine a Ex.: Para o gráfico da função f dada a seguir, determine a soma dos valores inteiros que pertencem ao intervalo em soma dos valores inteiros que pertencem ao intervalo em que o gráfico de f é:que o gráfico de f é:

x

y

3 1

1

0 4 7

10123 5

Decrescente:Decrescente:

Constante:Constante:104321

Crescente:Crescente:227654

ExercícioExercício

xfy

x

xfy

x

Função Par e função ÍmparFunção Par e função Ímpar

Função PARFunção PAR

Uma função f: D Uma função f: D R dada por y = f(x), é dita R dada por y = f(x), é dita PARPAR se, e se, e somente se, somente se, f(x) = f(-x)f(x) = f(-x) para todo x para todo x D. D.

Função ÍMPARFunção ÍMPAR

Uma função f: D Uma função f: D R dada por y = f(x), é dita R dada por y = f(x), é dita ÍMPARÍMPAR se, e se, e somente se, somente se, f(-x) = – f(x)f(-x) = – f(x) para todo x para todo x D. D.

DefiniçãoDefinição

32 xxf)a

32 xxf

32 xxf 32 xxf

PARPAR

Função Par ou Ímpar?Função Par ou Ímpar?

)( xfxf

xxxf 33 )b

xxxf 33

xxxf 33

ÍMPARÍMPAR

xxxf 33

xf xfxf

Função Par ou Ímpar?Função Par ou Ímpar?

xxxf 42 )c

xxxf 42

xxxf 42

Não é PAR nem ÍMPARNão é PAR nem ÍMPAR

xfxf xfxf

Função Par ou Ímpar?Função Par ou Ímpar?

OBS.:OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico em relação ao eixo das ordenadas (y), essa função será em relação ao eixo das ordenadas (y), essa função será classificada como PAR.classificada como PAR.

y

3

0 x

32 xxf

Analisando graficamente...Analisando graficamente...

OBS.:OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico em relação à origem do plano cartesiano, essa função em relação à origem do plano cartesiano, essa função será classificada como ÍMPAR.será classificada como ÍMPAR.

y

0 x

xxxf 33

1

2

1

2

Analisando graficamente...Analisando graficamente...

OBS.:OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer não for Se o gráfico de uma função qualquer não for simétrico em relação ao eixo das ordenadas (y) e nem em simétrico em relação ao eixo das ordenadas (y) e nem em relação à origem do plano cartesiano, essa função não se relação à origem do plano cartesiano, essa função não se classifica quanto a paridade, não é PAR nem ÍMPAR.classifica quanto a paridade, não é PAR nem ÍMPAR.

y

0 x

xxxf 42

42

4

Analisando graficamente...Analisando graficamente...

Função InversaFunção InversaDada uma função f : A→B , se f é bijetora então para cada x tem-seum y correspondente, assim a inversa de f é a função f-1 que define que para cada y teremos um correspondente x. Define-se a função inversa f -1 como sendo a f : B→A , tal que f -1 (y) = x .

• O domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .• O conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .• Os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante .• Para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .

Função InversaFunção Inversa

Uma vez que funções bijetoras estabelecem uma correspondência biunívoca entre todos os elementos de X e de Y.

Exemplo de Função InversaExemplo de Função Inversa

Dada a função , qual será a sua função inversa?53

32

x

xy

Inicialmente

yxxy

yxxyxyxy

xxy

5323

53233253

32)53(

53

32

x

xy

Colocando o x em evidência no primeiro membro da igualdade, temos

23

53

53)23(

y

yx

yyx

Por fim, trocando o x pelo y e o y pelo x, teremos:23

531

x

xf

Multiplicando

cruzado

Exemplo de Função Não InversaExemplo de Função Não Inversa

Função CompostaFunção Composta

Considere a seguinte situação:

Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, vamos mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, representando uma composição de funções.

Para isso, indicaremos por:

x = medida do lado de cada lote;

y = área de cada lote;

z = área do terreno.

Função CompostaFunção Composta

Área de cada lote = (medida do lado)2 → y = x2

Então, a área de cada lote é uma função da medida do lado, ou seja: y = f(x) = x2

A área do terreno = 20.(área de cada lote) → z = 20y

Então, a área do terreno é uma função da área de cada lote, ou seja: z = g(y) = 20y.

Comparando 1 e 2 , temos:

Área do terreno = 20.(medida do lado)2, ou seja, z = 20x2, pois y = x2 e z = 20y.

Então, a área do terreno é uma função da medida de cada lote, ou seja: z = h(x) = 20x2.

Função CompostaFunção Composta

x2x 20x2

h Composta de g com f

f g

A função h, assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por gof.

h =

y = x²= 20x²

Função CompostaFunção Composta

Vemos que :

→ A cada x ϵ A corresponde um único y ϵ B tal que y = x²;

→ A cada y ϵ B corresponde um único z ϵ C tal que z = 20y;

→ A cada x ϵ A corresponde um único z ϵ C tal que z = 20y = 20x².

Logo, existe uma função h (composta de g e f) de A em C definida por h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)), para todo x ϵ D(f).

Definição de função composta:Definição de função composta:

Dadas as funções f: A →B e g: B →C, denominamos função composta de g e f a função g o f: A →C, que é definida por

(g o f)(x) = g(f(x)), x ϵ A.

ExemploExemplo

Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, determinar gof(x) e fog(x).

Substituindo o valor de f(x), calculamos:

1510)32(5)32( xxxg

Desta forma, 1510))(( xxfg

Agora, para fog(x) = f(g(x)), substituímos o valor de g(x). Assim:

3103)5(2)5( xxxfCom isso, 310))(( xxgf

Observe que fog ≠ gof