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O Planejamento Socialde um Galinha
Considere que você está saindo com duas namoradas: Ana Paula Arósio e Scheila Carvalho.
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Pesquisa Operacional: A Ciência da Decisão
Uma decisão pode ser classificada Uma decisão pode ser classificada em em estruturadaestruturada se envolve uma série se envolve uma série de de fatoresfatores que possam ser que possam ser quantificadosquantificados, e logo, , e logo, equacionadosequacionados;;
Pesquisa Operacional é uma Pesquisa Operacional é uma ferramenta de apoio à decisão ferramenta de apoio à decisão estruturada;estruturada;
Alguns problemas são Alguns problemas são surpreendentemente equacionáveis!surpreendentemente equacionáveis!
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Qual é a decisão?
Se você pudesse, estou certo, planejaria sair Se você pudesse, estou certo, planejaria sair com as duas com as duas ao mesmo tempoao mesmo tempo, e , e a todo tempoa todo tempo, , acertei?acertei?
Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. CiumentasCiumentas!!
E, sair todo dia também não dá. Você E, sair todo dia também não dá. Você não tem não tem dinheirodinheiro (entre outras coisas) (entre outras coisas) para sair todo para sair todo diadia..
Para Para garantir a sua felicidadegarantir a sua felicidade, considerando , considerando estes problemas desagradáveis, você estes problemas desagradáveis, você precisa precisa decidirdecidir quantas vezes na semana sair com cada quantas vezes na semana sair com cada uma!uma!
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A Decisão
Chamemos assim:Chamemos assim:• x1 a quantidade de vezes que você vai a quantidade de vezes que você vai
sair com a Ana por semana;sair com a Ana por semana;
• x2 a quantidade de vezes que você vai a quantidade de vezes que você vai
sair com a Scheila por semana;sair com a Scheila por semana;
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Variáveis de Decisão
O que nós criamos, O que nós criamos, x1 e e x2, são as , são as
chamadas chamadas Variáveis de DecisãoVariáveis de Decisão;; As variáveis de decisão são aqueles As variáveis de decisão são aqueles
valores que representam o cerne do valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher problema, e que podemos escolher (decidir) livremente;(decidir) livremente;Veja que, Veja que, a princípioa princípio, você pode sair , você pode sair
quantas vezes quiser com Ana Paula quantas vezes quiser com Ana Paula e com Scheila.e com Scheila.
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Problemas Financeiros
Entretanto, existe um pequeno problema:
Ana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$180,00;Scheila é mais simples, gosta de passeios baratos. Sair com ela custa só R$100,00;Mas a sua semanada é de apenas R$ 800,00!Como fazer para garantir que você não vai se endividar?
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Garantindo a mesada
Se você sai com a Ana Se você sai com a Ana x1 vezes no vezes no mês, e cada vez gasta R$180,00, mês, e cada vez gasta R$180,00, então você gasta R$ 180então você gasta R$ 180x1 por mês! por mês!
Fazendo o mesmo raciocínio para Fazendo o mesmo raciocínio para Scheila obtemos o seguinte:Scheila obtemos o seguinte:
21 100180 xx 800gasto total da semana
total disponível por semana
garantia
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Problemas com o relógio
As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos:
Scheila é muito agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo.
Quando sai com Ana, que é mais sossegada, você gasta apenas 2 horas.
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Garantindo os estudos
Considere que os seus afazeres escolares só lhe permitem 20 horas de lazer por semana.
Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?
2021 42 xx
total de horas
garantia
tempo livre
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Pensando em tudo junto:Restrições
Você já pode se planejar! Decida Você já pode se planejar! Decida quantas vezes você vai sair com quantas vezes você vai sair com Ana (Ana (x1) e com Scheila () e com Scheila (x2]!]!
Vamos ver quantas horas e quanto Vamos ver quantas horas e quanto de dinheiro nós consumimos, e de dinheiro nós consumimos, e depois quanto sobra!depois quanto sobra!
800100180
2042
21
21
xx
xx (horas por semana)
(R$ p/ semana)
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Quanto Consumo?
Por exemplo:Por exemplo:• Sair com a Ana 3 vezes e com a Scheila Sair com a Ana 3 vezes e com a Scheila
2:2:x1 = 3= 3
x2 = 2= 2
800100180
2042
21
21
xx
xx (horas por semana)
(R$ p/ semana)
74021003180
142432
horas
Reais
Consumo
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Quanto sobra?
Saindo 3 vezes com a Ana e 2 vezes Saindo 3 vezes com a Ana e 2 vezes com a Scheila:com a Scheila:
Consumo:Consumo:
14 horas14 horas e e
R$740,00R$740,00
(horas por semana)
(R$ p/ semana)
60740800
61420
horas
reais
Sobra
800100180
2042
21
21
xx
xx
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Outra situação:
Outro exemplo:Outro exemplo:• Sair com a Ana 3 vezes e com a Scheila Sair com a Ana 3 vezes e com a Scheila
4:4:x1 = 3= 3
x2 = 4= 4
(horas por semana)
(R$ p/ semana)
94041003180
224432
horas
reais
Consumo
800100180
2042
21
21
xx
xx
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Quanto sobra?
Saindo com a Ana 3 vezes e com a Saindo com a Ana 3 vezes e com a Scheila 4, temos a seguinte situação:Scheila 4, temos a seguinte situação:
Consumo:Consumo:
22 horas22 horas e e
R$940,00R$940,00
(horas por semana)
(R$ p/ semana)
140940800
22220
horas
reais
Sobra
800100180
2042
21
21
xx
xx
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Isso eu não Posso!
Neste exemplo eu gastaria 22 horas, e eu Neste exemplo eu gastaria 22 horas, e eu só tenho disponíveis 20! Gastaria só tenho disponíveis 20! Gastaria R$940,00 e eu só tenho disponível R$940,00 e eu só tenho disponível R$800,00!R$800,00!
60020180
2042
21
21
xx
xx (horas por semana)
(R$ p/ semana)
Esta é uma situação Esta é uma situação impossívelimpossível, , dentro das condições que foram dentro das condições que foram propostaspropostas..
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Falta um Objetivo
É preciso pensar no objetivo final. O É preciso pensar no objetivo final. O que eu quero, para obter a maior que eu quero, para obter a maior felicidade?felicidade?
Algumas Opções:Algumas Opções:• Sair a maior quantidade de vezes por Sair a maior quantidade de vezes por
semana possível;semana possível;
21max xx total de saídas, independente de com quem
Ou Seja:
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Outro objetivo possível
Suponha que você gosta da Scheila Suponha que você gosta da Scheila duas vezes mais do que gosta da Ana.duas vezes mais do que gosta da Ana.
Assim, você pode criar um índice que Assim, você pode criar um índice que representa a sua preferência:representa a sua preferência:
21 2max xx
um valor unitáriopara Ana
Scheila teráo dobro
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Criamos dois modelos diferentes!
funções objetivo
rest
riçõ
es
condições de não-negatividade
0,
800100180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
modelo com o primeiroobjetivo
0,
800100180
2042
s.r.
2max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
modelo com o segundoobjetivo
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O Objeto que trabalharemos:Problemas de Otimização
Em problemas reais de otimização Em problemas reais de otimização busca-se busca-se maximizarmaximizar ou ou minimizarminimizar uma uma quantidade específica, chamada quantidade específica, chamada objetivoobjetivo, que depende de um número , que depende de um número finito de variáveis de entrada.finito de variáveis de entrada.
Em problemas reais de otimização Em problemas reais de otimização busca-se busca-se maximizarmaximizar ou ou minimizarminimizar uma uma quantidade específica, chamada quantidade específica, chamada objetivoobjetivo, que depende de um número , que depende de um número finito de variáveis de entrada.finito de variáveis de entrada.
As variáveis de entrada podem serAs variáveis de entrada podem ser• Independentes uma das outrasIndependentes uma das outras• Relacionadas umas com as outras por Relacionadas umas com as outras por
meio de uma ou mais restriçõesmeio de uma ou mais restrições
As variáveis de entrada podem serAs variáveis de entrada podem ser• Independentes uma das outrasIndependentes uma das outras• Relacionadas umas com as outras por Relacionadas umas com as outras por
meio de uma ou mais restriçõesmeio de uma ou mais restrições
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Programação Matemática Um problema de programação Um problema de programação
matemática é um problema de matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções restrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionaismatemáticas e relações funcionais
Um problema de programação Um problema de programação matemática é um problema de matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções restrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionaismatemáticas e relações funcionaisOtimizar:
Sujeito a:
z f x x x
g x x x
g x x x
g x x x
b
b
b
n
n
n
n n n
( , ,..., )
( , ,..., )
( , ,..., )
:
( , ,..., )
:
1 2
1 1 2
2 1 2
1 2
1
2
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Programação Linear
Um problema de programação Um problema de programação matemática é linear se a função matemática é linear se a função objetivo e cada uma das restrições objetivo e cada uma das restrições forem lineares das respectivas forem lineares das respectivas variáveis de entradavariáveis de entrada
Um problema de programação Um problema de programação matemática é linear se a função matemática é linear se a função objetivo e cada uma das restrições objetivo e cada uma das restrições forem lineares das respectivas forem lineares das respectivas variáveis de entradavariáveis de entrada
f x x x c x c x c xn n n( , ,..., ) ...1 2 1 1 2 2
g x x x a x a x a xi n i i in n( , ,..., ) ...1 2 1 1 2 2
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Quebrando a linearidade
A presença de qualquer das A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o expressões abaixo tornam o problema não linearproblema não linear
11
1;1;
xnx n
basequalquer com ;log 1x
aa x dealor qualquer v para ;1
etc. );cos();(sen 11 xx
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Exemplos
Os exemplos criados anteriormente Os exemplos criados anteriormente eram Problemas de Programação eram Problemas de Programação Linear:Linear:
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2042
s.r.
2max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
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Programação LinearForma Padrão
Existem 4 características para um Existem 4 características para um problema na forma padrão:problema na forma padrão:• A função objetivo é de Maximizar;A função objetivo é de Maximizar;• As restrições são todas com sinal de As restrições são todas com sinal de
menor ou igual;menor ou igual;• As constantes de todas as restrições As constantes de todas as restrições
são não negativas;são não negativas;• As variáveis são todas não negativasAs variáveis são todas não negativas
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Programação LinearForma Padrão
0,...,,
...
:
...
...
:a Sujeito
... Maximizar
321
2211
22222121
11212111
2211
n
mnmnmm
nn
nn
nn
xxxx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcZ
não negativos
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Exemplos
Os exemplos criados anteriormente Os exemplos criados anteriormente além de serem lineares, estão na além de serem lineares, estão na forma padrão:forma padrão:
0,
800100180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
0,
800100180
2042
s.r.
2max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
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Forma Padrão:Notação de Somatório
Função-ObjetivoMaximizar:
Sujeito a:
Z c x
a x b i m
x x x x
i ii
n
ij j ij
n
n
1
1
1 2 3
1 2
0
( , ,... )
, , ,... Restrições
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Áreas de Aplicação da Programação Linear
Administração da Produção:Administração da Produção:• Alocação de Recursos Limitados;Alocação de Recursos Limitados;
Análise de Investimentos;Análise de Investimentos; Logística:Logística:
• Custo de transporte;Custo de transporte;• Localização de rede de distribuição;Localização de rede de distribuição;
Alocação de Recursos em Alocação de Recursos em Marketing.Marketing.
Administração da Produção:Administração da Produção:• Alocação de Recursos Limitados;Alocação de Recursos Limitados;
Análise de Investimentos;Análise de Investimentos; Logística:Logística:
• Custo de transporte;Custo de transporte;• Localização de rede de distribuição;Localização de rede de distribuição;
Alocação de Recursos em Alocação de Recursos em Marketing.Marketing.
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