b) sumar los dos términos anteriores ; 19, 31 g...
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1.- CONCEPTO DE SUCESIÓN
a) "Multiplicar por 2" ; 48, 96 b) "sumar los dos términos anteriores" ; 19, 31
c) "restar 5" ; 8, 3 d) "sumar los tres términos anteriores" ; 17, 31
e) "restar 2" ; 9, 7 f) "restar 7" ; 0, 7 g) "multiplicar por 3" ; 162, 486
h) "restar 7" ; 11, 18 i) "multiplicar los dos términos anteriores" ; 1944, 209952
j) "sumar los dos términos anteriores" ; 38, 61
k) "restar los dos términos anteriores" ; 4, 7
1.- CONCEPTO DE SUCESIÓN
105.10 1 49
a)x3.10 2 32
750 752 2750 2
1 3b)a 3.2 3.2 3.
42
1.- CONCEPTO DE SUCESIÓN
2a) 15 225 círculos
2nb) a n
2 1a 2a 3 2.7 3 11
2.- SUCESIONES RECURRENTES
3 2a 2a 3 2.11 3 19
4 3a 2a 3 2.19 3 35
5 4a 2a 3 2.35 3 67
2.- SUCESIONES RECURRENTES
5 4a) a a 5 10 5 15
6 5 7 6b) a a 6 15 6 21 a a 7 21 7 28
2.- SUCESIONES RECURRENTES
3 2 1 4 3 2a) a a 3a 5 3.2 1 a a 3a 1 3.5 16
3 2 1 4 3 2b) a 2a a 2.5 ( 3) 7 a 2a a 2.7 5 19
3 2 1 4 3 2c) a 6a a 6.7 5 47 a 6a a 6.47 7 289
3 2 1 4 3 2d) a 5a a 5.6 7 37 a 5a a 5.37 6 191
3 2 1 4 3 2e) a 5a 6a 5.7 6.2 47 a 5a 6a 5.47 6.7 277
n 1 n 1 11n 1 12
a) como el cociente entre 2 términos es siempre 3, es una p.g.
de razón r 3 a a .r 2.3 a 2.3 354 294
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1 12
b) como la diferencia entre 2 términos es siempre 7, es una p.a.de diferencia
d 7 a a (n 1)d 10 (n 1)( 7) 17 7n a 17 7.12 67
n 1 n 1 11n 1 12
c) como el cociente entre 2 términos es siempre 2, es una p.g.
de razón r 2 a a .r 3.2 a 3.2 6 144
n 1 n 1 11n 1 12
d) como el cociente entre 2 términos es siempre 3, es una p.g.
de razón r 3 a a .r 5.( 3) a 5.( 3) 885 735
n 1 12
e) como la diferencia entre 2 términos es siempre 3,5, es una p.a.de diferencia
d 3,5 a a (n 1)d 12 (n 1)( 3,5) 15,5 3,5n a 15,5 3,5.12 26,5
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1
n
Como la diferencia entre 2 términos es siempre 7, es una p.a.de diferencia
d 7 a a (n 1)d 10 (n 1).7 3 7n
a 689 3 7n 689 7n 686 n 98 ocupa el lugar 98
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1
250
a) La sucesión del número de puntos es 2, 5, 8, 11, ...
Como la diferencia entre 2 términos es siempre 3, es una p.a.de diferencia
d 3 a a (n 1)d 2 (n 1).3 3n 1
a 3.250 1 749 Luego, tiene 749 puntos
nb) a 59 3n 1 59 3n 60 n 20 ocupa el vigésimo lugar
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
1 2
3
n 1n 1
n 1
2a) 1er día : a 600 m 2º día : a de 600 m 400 m
32 800
3er día : a de 400 m m3 3
800La sucesión de los metros que recorre es 600, 400, , ...
32
Como el cociente entre 2 términos es siempre , es una p.g.3
2 2de razón r a a .r 600. a
3 3
9
102
600. 15,63
Luego, recorre aproximadamente 15,6 metros
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
1
Como 100% 0,5% 99,5%, la población cada año es el 99,5% del
año anterior (es decir, se va multiplicando por 99,5% 0,995)
Luego, la sucesión de habi tantes de la aldea es una p.g. de razón r 0,995
Cuando pase 1 año el nº de habi tantes es :
a 99
n 1 n 1 19n 1 20
,5% de 1600 1600.0,995 1592
a a .r 1592 . 0,995 a 1592 . 0,995 1447
Luego, tendrá aproximadamente 1447 hab
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1
n
La sucesión de dinero que recibe es 10, 13, 16, ...
Como la diferencia entre 2 términos es siempre 3, es una p.a.de diferencia
d 3 a a (n 1)d 10 (n 1).3 3n 7
a 55 3n 7 55 3n 48 n 16 estuvo trabajando 16 días
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
61
Como 100% 20% 80%, el valor de la maquinaria cada año es el 80% del
año anterior (es decir, se va multiplicando por 80% 0,8)
Luego, la sucesión de precios de la maquinaria es una p.g. de razón r 0,8
Cuando pase 1 año el valor es : a 80% de 4.10
6
n 1 6 n 1 6 9n 1 10
€ 3,2.10 €
a a .r 3,2.10 . 0,8 a 3,2.10 . 0,8 429 496,73 €
Luego, se valorará en 429 496,73 €
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1
10
a) La sucesión de tiempos de entrenamiento es 15, 20, 25, ...
Como la diferencia entre 2 términos es siempre 5, es una p.a.de diferencia
d 5 a a (n 1)d 15 (n 1).5 5n 10
a 5.10 10 60 debe entrenar 60 min 1 hora
nb)Como 2 horas 120 min a 120
5n 10 120 5n 110 n 22 el 22 de Octubre
1 2
3
n 1
a) mes 1 58,40 € : a 58,40 ; mes 2 a 63,9
mes 3 a 69,4 ;...
Es una p.a.de diferencia d 5,5
mes n simo a a (n 1)d 58,4 (n 1).5,5 5,5n 52,9
1 2 3 4b) a 58,4 a 63,9 a 69,4 a 74,9
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
18c) 1 año y medio 18 meses a 5,5.18 52,9 151,90 €
nd) a 200 5,5n 52,9 200 5,5n 147,1 n 26,7
Luego, podrá comprársela dentro de 27 meses
3.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
n 1
1 151 nn 15 15
15
a) Como la diferencia entre 2 términos es siempre 6, es una p.a.de diferencia
d 6 a a (n 1)d 80 (n 1).( 6) 86 6n
(a a ).15(a a ).nS S . Como a 86 6.15 4,
2 2[80 ( 4)].15 76.15
S 5702 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
n 1 n 1n 1 n
n 151
n 15
b) Como el cociente entre 2 términos es siempre 3, es una p.g., r 3
a a r a 2. 3
a (1 r ) 2(1 3 )S S 14 348 906
1 r 1 3
n 1
1 151 nn 15 15
15
c) Como la diferencia entre 2 términos es siempre 3, es una p.a.de diferencia
d 3 a a (n 1)d 14 (n 1).( 3) 17 3n
(a a ).15(a a ).nS S . Como a 17 3.15 28,
2 2[14 ( 28)].15 ( 14).15
S 2102 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
n 1 n 1n 1 n
n 151
n 15
d) Como el cociente entre 2 términos es siempre 0,5, es una p.g., r 0,5
a a r a 20. 0,5
a (1 r ) 20(1 0,5 )S S 40
1 r 1 0,5
n 1
1 151 nn 15 15
15
e) Como la diferencia entre 2 términos es siempre 7, es una p.a.de diferencia
d 7 a a (n 1)d 60 (n 1).( 7) 67 7n
(a a ).15(a a ).nS S . Como a 67 7.15 38,
2 2[60 ( 38)].15 22.15
S 1652 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
n 1
1 10001 nn 1000 1000
15
a) La sucesión es 1, 2, 3, 4, ...., 1000 es una p.a. de diferencia d 1
a a (n 1)d 1 (n 1).1 n
(a a ).1000(a a ).nS S . Como a 1000,
2 2(1 1000).1000
S 500 5002
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
2 3 25
n 261
n 26
b) La sucesión es 1, 2, 2 , 2 , ...., 2 es una p.g. de razón r 2
a (1 r ) 1(1 2 )S S 67 108 863
1 r 1 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1
2
3
5
n1
n 5
1 .1 1a á r e a d e la r e g ió n g r i s d e la 1 ª f ig u r a
2 2
1 1. 12 2a á r e a d e la r e g ió n g r i s d e la 2 ª f ig u r a2 8
1 1. 14 4a á r e a d e la r e g ió n g r i s d e la 3 ª f ig u r a2 3 2
1 1 1 1L a s u c e s ió n e s , , e s u n a p .g . d e r a z ó n r
2 8 3 2 4
1 11
2 4a (1 r )S S
1 r
1 1 0 2 3 1 0 2 3. 4 0 9 22 1 0 2 4 2 0 4 8 0 , 6 7
1 3 3 6 1 4 414 4 4
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3 4
n 1
1 601 nn 60 60
60
1er piso 1 bloque : a 1 ; a 5 ; a 9 ; a 13 ;... p.a.de diferencia d 4
a a (n 1)d 1 (n 1).4 4n 3
(a a ).60(a a ).nS S . Como a 4.60 3 237,
2 2(1 237).60 238.60
S 7140 bloques2 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3
n 1 20
a) 1ª fila 3 soldados : a 3 ; a 7 ; a 11 ; ... p.a.de diferencia d 4
a a (n 1)d 3 (n 1).4 4n 1 a 4.20 1 79 soldados
1 361 nn 36 36
36
(a a ).36(a a ).nb) S S . Como a 4.36 1 143,
2 2(3 143).36 147.36
S 2646 soldados2 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3
n 1
21 nn
2 2 2
1er metro 12 € : a 12 ; a 17 ; a 22 ; ... p.a.de diferencia d 5
a a (n 1)d 12 (n 1).5 5n 7
(a a ).n (12 5n 7).nS 1190 1190.2 (5n 19).n 2380 5n 19n
2 2
5n 19n 2380 0 D b 4ac 19 4.5.( 2380) 47961
b D 19n
2a
n 2047961 19 219tiene 20 m
n 23,8 (no válida)2.5 10
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3
n 1
21 nn
: 502 2 2
1er mes 100 € : a 100 ; a 150 ; a 200 ; ... p.a.de diferencia d 50
a a (n 1)d 100 (n 1).50 50n 50
(a a ).n (100 50n 50).nS 9450 9450.2 (50n 150).n 18900 50n 150n
2 2
50n 150n 18900 0 n 3n 378 0 D b 4
2ac 3 4.1.( 378) 1521
n 18b D 3 1521 3 39n leduró 18 meses 1 año y medio
n 21 (no válida)2a 2.1 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3
n 1
1 n 1 24n 24 24
24
a) 1er mes 600 € : a 600 ; a 650 ; a 700 ;... p.a.de diferencia d 50
a a (n 1)d 600 (n 1).50 50n 550
(a a ).n (a a ).24S S . Como a 50.24 550 1750,
2 2(600 1750).24 2350.24
S 28200 €2 2
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
n 241
n 24
b) Como 100% 20% 120%, el sueldo de cada mes es el 120% del
mes anterior (es decir, se va multiplicando por 120% 1,2)
Luego, la sucesión de sueldos es una p.g. de razón r 1,2
a (1 r ) 100(1 1,2 )S S 39748,42 €
1 r 1 1,2
c) El contrato B porque gana más
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2
3 4
3a) Sucesión de alturas :a 50 a de 50 m 30 m
53 3
a de 30 m 18 m a de 18 m 10,8 m ; etc5 5
La sucesión de alturas es 50 ; 30 ; 18 ; 10,8, ...
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
n 101
n 10
3b) La sucesión de alturas es una p.g. de razón r 0,6
5
a (1 r ) 50(1 0,6 )S S 124,24 m
1 r 1 0,6
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1
2 3
n 1 10
1 101 nn 10
precio de cada una de las 20 butacas de la 1ª fila 95 € : a 95
a 89 ; a 83 ;... Es una p.a.de diferencia d 6
a a (n 1)d 95 (n 1).( 6) 101 6n a 101 6.10 41
(a a ).10(a a ).n (95 41).10 136.10S S 680
2 2 2 2Como cada
a fila tiene 20 butacas, la recaudación máxima sería 680.20 13600 €
4.- SUMA DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
1 2 3
n 1
n
1 181 nn 18 18
1
1er mes 18,50 € : a 18,50 ; a 21 ; a 23,50 ;... p.a.de diferencia d 2,5
a a (n 1)d 18,5 (n 1).2,5 2,5n 16
a) a 61 2,5n 16 61 2,5n 45 n 18 le duró 18 meses 1 año y medio
(a a ).18(a a ).nb) S S . Como a 61,
2 2
S
8(18,5 61).18 79,5.18
715,50 €2 2
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