bahan ajar aljabar dan trigonometri - usd
Post on 23-Oct-2021
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Aljabar dan TrigonometriYosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422
UNIVERSITAS SANATA DHARMAY O G Y A K A R T A
Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0
Internasional.
FUNGSIUniversitas Sanata Dharmaf(x)
DEFINISIFUNGSI
FungsiSebagaiAturan
Fungsi adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota range.
FungsiSebagaiPersamaan
๐ฆ๐ฆ = 0,79 + 3,89๐ฅ๐ฅ
Variabel bebas
Variabel tergantung
NotasiFungsi
Input fungsi direpresentasikan dengan x, sedangkan output fungsi direpresentasikan dengan f(x).
๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 0,79 + 3,89๐ฅ๐ฅ
Input Persamaan
Output
MenentukanNilaiFungsi
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 5๐ฅ๐ฅ2 + 121
๐๐ ๐ก๐ก = 5๐ก๐ก2 + 122
๐๐ ๐ ๐ = 5๐ ๐ 2 + 123
๐๐ = 5 2 + 124
LATIHAN 1
MENENTUKAN NILAI FUNGSIMisalkan f(x) = x2 + 2x. Tentukan masing-masing nilai fungsi berikut.(a) f(1) (b) f(โ2) (c) f(1/2)
FungsiSepotong-Sepotong
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ โ 1, ๐ฅ๐ฅ < 0๐ฅ๐ฅ2 โ 4, ๐ฅ๐ฅ โฅ 0
LATIHAN 2
NILAI FUNGSI SEPOTONG-SEPOTONGDidefinisikan fungsi f sebagai berikut.
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ5โ ๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ๐ฅ โค 5๐ฅ๐ฅ โ 5, ๐ฅ๐ฅ > 5
Tentukan masing-masing nilai fungsi berikut.(a) f(โ7) (b) f(12)
DomainFungsi
Kecuali jika ada informasi yang diberikan, domain suatu fungsi adalah himpunan semua bilangan real yang membuat bentuk aljabar dalam fungsi tersebut terdefinisi sebagai bilangan real.
CONTOH 1
MENENTUKAN DOMAIN FUNGSITentukan domain kedua fungsi berikut.(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 1
๐ฅ๐ฅโ3(b) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ โ 5
PEMBAHASAN
(a) Bentuk rasional tidak terdefinisi ketika penyebutnya sama dengan 0. Dengan demikian, f(x) tidak terdefinisi ketika x โ 3 = 0, yaitu x = 3. Jadi, domain f adalah
๐ฅ๐ฅ|๐ฅ๐ฅ โ 3, ๐ฅ๐ฅ โ โ(b) Bentuk di dalam akar kuadrat haruslah tidak
negatif. Dengan demikian, x โ 5 โฅ 0, yaitu x โฅ 5. Jadi, domain fungsi g adalah
๐ฅ๐ฅ | ๐ฅ๐ฅ โฅ 5, ๐ฅ๐ฅ โ โ
LATIHAN 3
MENENTUKAN DOMAIN FUNGSITentukan domain ketiga fungsi berikut.
(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ2
4โ5๐ฅ๐ฅ
(b) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2 3๐ฅ๐ฅโ25
(c) โ ๐ก๐ก = ๐ก๐ก๐ก๐ก+3
GrafikFungsi
Jika f memiliki domain A, maka grafik f merupakan himpunan pasangan berurutan
๐ฅ๐ฅ, ๐๐ ๐ฅ๐ฅ |๐ฅ๐ฅ โ ๐ด๐ดyang diplot pada bidang koordinat. Dengan kata lain, grafik f adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga y = f(x); yaitu grafik fmerupakan grafik persamaan y = f(x).
MenggambarGrafikFungsi
Sketsalah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ2.๐๐ ๐๐ ๐๐ = ๐๐๐๐
0 0
ยฑ12
14
ยฑ1 1
ยฑ2 4
ยฑ3 9 โ1 2 3โ2โ3 1
1
2
3
4
5
x
y
GrafikFungsiSepotong-Sepotong
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ โ 1, ๐ฅ๐ฅ < 0๐ฅ๐ฅ2 โ 4, ๐ฅ๐ฅ โฅ 0
1 2โ1โ2
2
4
โ2
โ4
โ6
x
y
UjiGarisVertikal
Kurva pada bidang koordinat merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva tersebut lebih dari satu kali.
x
y
x
y
Bukan Fungsi Fungsi
PergeseranVertikalGrafik
Misalkan ๐๐ > 0.โข Untuk menggambar
grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐, geser grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅke atas sejauh ๐๐satuan.
โข Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐, geser grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅke bawah sejauh ๐๐satuan.
x
y
c
c
y = f(x) + c
y = f(x) โ c
y = f(x)
LATIHAN 4
PERGESERAN VERTIKAL GRAFIKGunakan grafik f(x) = x2 untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut.(a) g(x) = x2 + 3(b) h(x) = x2 โ 2
PergeseranHorizontal
Misalkan ๐๐ > 0.โข Untuk menggambar
grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ , geser grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅke kanan ๐๐ satuan.
โข Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐ , geser grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅke kiri ๐๐ satuan.
x
y
c c
y = f(x)y = f(x + c)
y = f(x โ c)
LATIHAN 5
PERGESERAN HORIZONTAL GRAFIKGunakan grafik f(x) = x2 untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut.(a) g(x) = (x + 4)2
(b) h(x) = (x โ 3)2
PencerminanGrafik
โข Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = โ๐๐ ๐ฅ๐ฅ , cerminkan grafik ๐ฆ๐ฆ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ terhadap sumbu-x.
โข Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ , cerminkan grafik ๐ฆ๐ฆ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ terhadap sumbu-y.
x
y
x
y
y = f(x)
y = โf(x)
y = f(โx)
y = f(x)
PereganganPemampatanVertikal
Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ :โข Jika ๐๐ > 1,
regangkan grafik ๐ฆ๐ฆ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ vertikal dengan faktor ๐๐.
โข Jika 0 < ๐๐ < 1, mampatkan grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ vertikal dengan faktor ๐๐.
x
y
y = f(x)
PereganganPemampatanHorizontal
Untuk menggambar grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ :โข Jika ๐๐ > 1,
mampatkan grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ horizontal dengan faktor ๐๐.
โข Jika 0 < ๐๐ < 1, regangkan grafik ๐ฆ๐ฆ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ horizontal dengan faktor ๐๐.
x
yy = f(x)y = f(cx)
c > 1
x
y
y = f(x)
y = f(cx)
0 < c < 1
FungsiGenapDanGanjil
Misalkan ๐๐ adalah suatu fungsi.โข ๐๐ adalah fungsi
genap jika ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ untuk semua ๐ฅ๐ฅdalam domain ๐๐.
โข ๐๐ adalah fungsi ganjil jika ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ = โ๐๐ ๐ฅ๐ฅuntuk semua ๐ฅ๐ฅdalam domain ๐๐.
x
y
0โx
x
f(x)
f(โx)
x
y
0โx x
f(โx) f(x)
AljabarFungsi
Misalkan ๐๐ dan ๐๐ adalah fungsi-fungsi dengan domain ๐ด๐ดdan ๐ต๐ต. Maka fungsi-fungsi ๐๐ + ๐๐, ๐๐ โ ๐๐, ๐๐๐๐, dan โ๐๐ ๐๐didefinisikan sebagai berikut.
๐๐ + ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐ ๐ฅ๐ฅ Domain ๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต๐๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ Domain ๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ Domain ๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต๐๐๐๐
๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
Domain ๐ฅ๐ฅ โ ๐ด๐ด โฉ ๐ต๐ต|๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0
KomposisiFungsi
Diberikan dua fungsi ๐๐ dan ๐๐, fungsi komposit๐๐ โ ๐๐ (juga disebut komposisi ๐๐ dan ๐๐) didefinisikan sebagai
๐๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
g(x) f(g(x))x
g f
f โ g
Diagram panah untuk f โ g
DefinisiIterasi
Diberikan fungsi ๐๐ dan input ๐ฅ๐ฅ0, iterasi-iterasi ๐ฅ๐ฅ0 adalah bilangan-bilangan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 , ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 , ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 , dan seterusnya.
๐ฅ๐ฅ1 = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 iterasi pertama๐ฅ๐ฅ2 = ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 iterasi kedua
๐ฅ๐ฅ3 = ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ0 iterasi ketiga
โฎOrbit ๐ฅ๐ฅ0 di bawah fungsi ๐๐ adalah daftar bilangan-bilangan ๐ฅ๐ฅ0, ๐ฅ๐ฅ1, ๐ฅ๐ฅ2, ๐ฅ๐ฅ3, โฆ.
FungsiSatu-Satu
Fungsi dengan domain ๐ด๐ด disebut fungsi satu-satu (fungsi injektif) jika tidak ada dua anggota ๐ด๐ด yang memiliki pasangan sama, yaitu,
๐๐ ๐ฅ๐ฅ1 โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ2 jika ๐ฅ๐ฅ1 โ ๐ฅ๐ฅ2.
UjiGarisHorizontal
Suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu jika tidak ada garis horizontalyang memotong grafik fungsi tersebut lebih dari satu kali.
FungsiInvers
Misalkan ๐๐ adalah fungsi satu-satu dengan domain ๐ด๐ด dan range ๐ต๐ต. Maka fungsi invers ๐๐โ1 memiliki domain ๐ต๐ต dan range ๐ด๐ด dan didefinisikan sebagai
๐๐โ1 ๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ โบ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ
SifatFungsiInvers
Misalkan ๐๐ adalah fungsi satu-satu dengan domain ๐ด๐ด dan range ๐ต๐ต. Fungsi invers ๐๐โ1 memenuhi sifat-sifat pembatalan berikut.
๐๐โ1๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ๐ฅ di ๐ด๐ด๐๐ ๐๐โ1 ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ untuk setiap ๐ฅ๐ฅ di ๐ต๐ต
Begitu juga sebaliknya, sembarang fungsi ๐๐โ1yang memenuhi persamaan-persamaan tersebut merupakan invers ๐๐.
MenentukanFungsiInvers
Tukar antara ๐ฅ๐ฅ dan ๐ฆ๐ฆ. Persamaan yang dihasilkan merupakan ๐ฆ๐ฆ = ๐๐โ1 ๐ฅ๐ฅ3
Selesaikan ๐ฅ๐ฅ dalam persamaan (jika mungkin)2
Tulis ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ1
Tentukan invers fungsi berikut:๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅโ1
2๐ฅ๐ฅ+3Tulis ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅโ12๐ฅ๐ฅ+3
Selesaikan ๐ฅ๐ฅ dalam persamaan๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅโ1
2๐ฅ๐ฅ+32๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ฆ + 3๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ โ 12๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ฆ โ ๐ฅ๐ฅ = โ3๐ฆ๐ฆ โ 1
๐ฅ๐ฅ 2๐ฆ๐ฆ โ 1 = โ3๐ฆ๐ฆ โ 1๐ฅ๐ฅ = โ3๐ฆ๐ฆโ1
2๐ฆ๐ฆโ1
Persamaan yang diberikan
Kalikan dengan 2๐ฅ๐ฅ + 3
Jumlahkan dengan โ3๐ฆ๐ฆ dan โ๐ฅ๐ฅ
Faktorkan keluar ๐ฅ๐ฅ
Bagi dengan 2๐ฆ๐ฆ โ 1
Tukar antara ๐ฅ๐ฅ dan ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ = โ3๐ฅ๐ฅโ1
2๐ฅ๐ฅโ1Jadi, fungsi invers yang dihasilkan adalah
๐๐โ1 ๐ฅ๐ฅ = โ3๐ฅ๐ฅโ12๐ฅ๐ฅโ1
GrafikFungsiInvers
Grafik ๐๐โ1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik ๐๐terhadap garis ๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ.
x
y(b, a)
(a, b)
f
f โ1
Latihan Soal
Didefinisikan fungsi ๐๐ yang memiliki domain bilangan bulat positif, sebagai berikut:
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ3๐ฅ๐ฅ + 1 jika ๐ฅ๐ฅ ganjilโ๐ฅ๐ฅ 2 jika ๐ฅ๐ฅ genap
(a) Hitunglah ๐๐ 1 , ๐๐ 2 , ๐๐ 3 , dan ๐๐ 4 .(b) Hitunglah tiga iterasi pertama untuk ๐ฅ๐ฅ0 = 1.(c) Hitunglah iterasi-iterasi ๐ฅ๐ฅ0 = 3 sampai
diperoleh nilai 1.
Latihan Soal
Pada gambar di samping, tentukan koordinat A, B, C, D, E, dan F. Nyatakan jawabanmu ke dalam fungsi f, f โ1, dan bilangan c. x
y
c
AB
CD
E F
y = f(x)
y = f โ1(x)
y = x
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Universitas Sanata Dharma
PersamaanKuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk
๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ = 0di mana ๐๐, ๐๐, dan ๐๐ adalah bilangan real dengan ๐๐ โ 0.
MenyelesaikanPersamaanKuadrat
Pemfaktoran MelengkapkanKuadrat RumusKuadrat
1 2 3
Pemfaktoran
Sifat Hasil Kali Nol๐ด๐ด๐ด๐ด = 0 jika dan hanya jika ๐ด๐ด = 0 atau ๐ด๐ด = 0
ContohPemfaktoran
๐ฅ๐ฅ2 โ 5๐ฅ๐ฅ = 14๐ฅ๐ฅ2 โ 5๐ฅ๐ฅ โ 14 = 0๐ฅ๐ฅ + 2 ๐ฅ๐ฅ โ 7 = 0
๐ฅ๐ฅ + 2 = 0 atau ๐ฅ๐ฅ โ 7 = 0๐ฅ๐ฅ = โ2 ๐ฅ๐ฅ = 7
Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah ๐ฅ๐ฅ = โ2 dan ๐ฅ๐ฅ = 7.
Persamaan yang diberikan
Kurangi dengan 14
Faktorkan
Sifat Hasil Kali Nol
Selesaikan
MelengkapkanKuadrat
Untuk membuat ๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ menjadi kuadrat sempurna, jumlahkan dengan ๐๐
2
2, yaitu kuadrat
dari setengah koefisien ๐ฅ๐ฅ. Hal ini akan memberikan kuadrat sempurna
๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐2
2= ๐ฅ๐ฅ + ๐๐
2
2
ContohMelengkapkanKuadrat
4๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ โ 7 = 04๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ = 74 ๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ = 7
4 ๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ + 14= 7 + 4 ๏ฟฝ 1
4
4 ๐ฅ๐ฅ โ 12
2= 8
๐ฅ๐ฅ โ 12
2= 2
๐ฅ๐ฅ โ 12= ยฑ 2
๐ฅ๐ฅ = 12ยฑ 2
Persamaan yang diberikan
Jumlahkan dengan 7
Faktorkan keluar 4
Lengkapi kuadrat
Kuadrat sempurna
Bagi dengan 4
Akar kuadratkan
Jumlahkan dengan ยฝ
RumusKuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ = 0 di mana ๐๐ โ 0, adalah
๐ฅ๐ฅ = โ๐๐ยฑ ๐๐2โ4๐๐๐๐2๐๐
MenemukanRumusKuadrat
๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ = โ ๐๐
๐๐
๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐
2๐๐
2= โ ๐๐
๐๐+ ๐๐
2๐๐
2
๐ฅ๐ฅ + ๐๐2๐๐
2= โ4๐๐๐๐+๐๐2
4๐๐2
๐ฅ๐ฅ + ๐๐2๐๐= ยฑ ๐๐2โ4๐๐๐๐
2๐๐
๐ฅ๐ฅ = โ๐๐ยฑ ๐๐2โ4๐๐๐๐2๐๐
Bagi dengan ๐๐; kurangi ๐๐๐๐
Lengkapi kuadrat
Kuadrat sempurna
Akarkan kuadrat
Kurangi dengan ๐๐2๐๐
ContohRumusKuadrat
Cari semua selesaian persamaan ๐ฅ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ฅ โ 4 = 0.PEMBAHASAN Pertama, identifikasi ๐๐, ๐๐, dan ๐๐.
๐ฅ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ฅ โ 4 = 0
Dengan Rumus Kuadrat, diperoleh
๐ฅ๐ฅ = โ โ2 ยฑ โ2 2โ4 1 โ42 1
= 1 ยฑ 5
๐๐ = 1
๐๐ = โ2
๐๐ = โ4
Diskriminan
Diskriminan bentuk umum persamaan kuadrat๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ = 0 di mana ๐๐ โ 0
adalah ๐ท๐ท = ๐๐2 โ 4๐๐๐๐.1. Jika ๐ท๐ท > 0, persamaan memiliki dua selesaian
real yang berbeda.2. Jika ๐ท๐ท = 0, persamaan memiliki tepat satu
selesaian real.3. Jika ๐ท๐ท < 0, persamaan tidak memiliki selesaian
real.
LatihanSoal
Gunakan diskriminan untuk menentukan banyaknya selesaian masing-masing persamaan berikut.(a) 4๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ โ 19 = 0(b) 9๐ฅ๐ฅ2 โ 6๐ฅ๐ฅ + 1 = 0(c) 2๐ฅ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ฅ + 5 = 0
PemodelanPersamaanKuadrat
Jika bersama-sama, Essna dan Ruth dapat membersihkan jendela rumah mereka selama 1 jam 48 menit. Jika bekerja sendiri, Essna dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 1 ยฝ jam lebih lama dari Ruth. Berapa lama yang diperlukan oleh Essna dan Ruth untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut?
Identifikasi variabel. Kita diminta untuk menentukan lama waktu yang diperlukan Essna dan Ruth untuk menyelesaikan pekerjaan. Sehingga, misalkan
๐ฅ๐ฅ = waktu yang diperlukan oleh Ruth
Maka, ๐ฅ๐ฅ + 1 12= waktu yang diperlukan oleh Essna
Ubah kata-kata ke aljabar.
Kata-Kata AljabarJumlah pekerjaan Essna dan Ruth selama 1 jam
1โ9 5
Jumlah pekerjaan Ruth selama 1 jam 1๐ฅ๐ฅ
Jumlah pekerjaan Essna selama 1 jam 1๐ฅ๐ฅ+112
Buat model. Jumlah pekerjaan yang dilakukan sendiri-sendiri oleh Essna dan Ruth sama dengan jumlah pekerjaan yang dilakukan keduanya secara bersama-sama.
Sehingga,1๐ฅ๐ฅ+ 1
๐ฅ๐ฅ+112= 1
โ9 5
1๐ฅ๐ฅ+ 2
2๐ฅ๐ฅ+3= 5
99 2๐ฅ๐ฅ + 3 + 18๐ฅ๐ฅ = 5๐ฅ๐ฅ 2๐ฅ๐ฅ + 310๐ฅ๐ฅ2 โ 21๐ฅ๐ฅ โ 27 = 0
Jumlah pekerjaan Ruth
Jumlah pekerjaan
Essna
Jumlah pekerjaan keduanya
+ =
Selesaikan. Kita gunakan Rumus Kuadrat untuk memperoleh
๐ฅ๐ฅ = 21ยฑ โ21 2โ4 10 โ272 10
= 21ยฑ3920
๐ฅ๐ฅ = โ 910
atau ๐ฅ๐ฅ = 3
Karena ๐ฅ๐ฅ merepresentasikan waktu, maka ๐ฅ๐ฅ tidak boleh negatif, maka kita tolak jawaban negatif, dan menyimpulkan bahwa waktu yang dibutuhkan Ruth adalah 3 jam, sedangkan waktu yang dibutuhkan Essna adalah 3 + 1 ยฝ = 4 ยฝ jam.
PersamaanBentukKuadrat
๐ฅ๐ฅ4 โ 4๐ฅ๐ฅ2 โ 5 = 0๐ฅ๐ฅ2 2 โ 4 ๐ฅ๐ฅ2 โ 5 = 0
๐ข๐ข2 โ 4๐ข๐ข โ 5 = 0๐ข๐ข + 1 ๐ข๐ข โ 5 = 0
๐ข๐ข + 1 = 0 atau ๐ข๐ข โ 5 = 0๐ข๐ข = โ1 ๐ข๐ข = 5๐ฅ๐ฅ2 = โ1 ๐ฅ๐ฅ2 = 5
๐ฅ๐ฅ = ยฑ 5
Persamaan yang diberikan
Persamaan memuat ๐ฅ๐ฅ2
Misalkan ๐ข๐ข = ๐ฅ๐ฅ2
Faktorkan
Sifat Hasil Kali Nol
Selesaikan ๐ข๐ข
Substitusi ๐ข๐ข dengan ๐ฅ๐ฅ2
Selesaikan ๐ฅ๐ฅ
Uji โ 5:๐ฅ๐ฅ4 โ 4๐ฅ๐ฅ2 โ 5 = 0
โ 54โ 4 โ 5
2โ 5= 0
25โ 20โ 5 = 00 = 0
Uji 5:๐ฅ๐ฅ4 โ 4๐ฅ๐ฅ2 โ 5 = 0
54โ 4 5
2โ 5 = 0
25โ 20โ 5 = 00 = 0
?
?
?
?
INGAT! Setiap kali menyelesaikan persamaan dalam bentuk kuadrat, periksa kembali jawabannya.
LatihanSoal
Selesaikan masing-masing persamaan berikut.(a) 2๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ โ 10 = 0.(b) ๐ฅ๐ฅ2 โ 5 2 + 3 ๐ฅ๐ฅ2 โ 5 โ 10 = 0.(c) 10๐ฅ๐ฅโ2 + 7๐ฅ๐ฅโ1 + 1 = 0.
(d) 5๐ฅ๐ฅ23 + 11๐ฅ๐ฅ
13 + 2 = 0.
PemecahanMasalah
1. Selesaikan ๐๐ dalam persamaan 2๐๐๐๐2 + 2๐๐๐๐๐ =20๐๐.
2. Jika ๐๐1 dan ๐๐2 adalah selesaian-selesaian persamaan kuadrat ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ = 0, tunjukkan bahwa ๐๐1 + ๐๐2 = โ โ๐๐ ๐๐ dan ๐๐1๐๐2 =โ๐๐ ๐๐.
3. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ = 0 ๐๐ โ 0
memiliki dua akar real yang berbeda.
4. Metode substitusi. Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan metode substitusi. Misalkan kita gunakan persamaan kuadrat
๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ โ 1 = 0 (1)(a) Pada persamaan (1), substitusikan ๐ฅ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ + ๐๐.
Tunjukkan bahwa persamaan yang diperoleh adalah๐ฆ๐ฆ2 + 2๐๐ + 1 ๐ฆ๐ฆ = 1โ ๐๐ โ ๐๐2 (2)
(b) Cari nilai ๐๐ sehingga koefisien ๐๐ pada persamaan (2) bernilai 0. Kemudian, gunakan nilai ๐๐ tersebut untuk menunjukkan persamaan (2) menjadi ๐ฆ๐ฆ2 =โ5 4.
(c) Selesaikan persamaan ๐ฆ๐ฆ2 = โ5 4. Kemudian gunakan persamaan ๐ฅ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ untuk memperoleh selesaian persamaan (1).
FungsiKuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dapat ditulis ke dalam bentuk
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐,dimana ๐๐, ๐๐, dan ๐๐ adalah bilangan real, dan ๐๐ โ 0.
BentukBakuFungsiKuadrat
Fungsi kuadrat ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ dapat dinyatakan dalam bentuk baku
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐ 2 + ๐๐dengan melengkapkan kuadrat. Grafik ๐๐ adalah parabola dengan titik puncak ๐,๐๐ ; parabola tersebut terbuka ke atas jika ๐๐ > 0 atau ke bawah jika ๐๐ < 0.
h
k
x
y
0
Titik puncak(h, k)
f(x) = a(x โ h)2 + k, a > 0
h x0
k
y
Titik puncak(h, k)
f(x) = a(x โ h)2 + k, a < 0
ContohSoal
Misalkan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ2 โ 16๐ฅ๐ฅ + 37.(a) Nyatakan ๐๐ dalam bentuk baku.(b) Sketsalah grafik ๐๐.PEMBAHASAN(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ2 โ 16๐ฅ๐ฅ + 37
= 2 ๐ฅ๐ฅ2 โ 8๐ฅ๐ฅ + 37= 2 ๐ฅ๐ฅ2 โ 8๐ฅ๐ฅ + 16 + 37 โ 2 ๏ฟฝ 16= 2 ๐ฅ๐ฅ โ 4 2 + 5
Fungsi yang diberikan
Faktorkan keluar 2
Bentuk baku
2 4 6 8
10
20
30
40
50y
0 x
Titik puncak(4, 5)
f(x) = 2(x โ 4)2 + 5
EksplorasiPolaKuadrat
Amati pola kuadrat ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ berikut.
๐ฅ๐ฅ 0 1 2 3 4๐๐ ๐ฅ๐ฅBeda pertamaBeda kedua
๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ 4๐๐ + 2๐๐ + ๐๐ 9๐๐ + 3๐๐ + ๐๐ 16๐๐ + 4๐๐ + ๐๐
โ
โ โ
๐๐ + ๐๐ 3๐๐ + ๐๐ 5๐๐ + ๐๐ 7๐๐ + ๐๐
2๐๐ 2๐๐ 2๐๐
Apa yang dapat kalian amati?
BilanganSegitiga
1 3 6 10 15 21
Tentukan pola bilangan-bilangan ini.โ
NilaiMaksimum&Minimum
Misalkan ๐๐ adalah fungsi kuadrat dalam bentuk baku ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐ 2 + ๐๐. Nilai maksimum atau minimum ๐๐ terjadi pada ๐ฅ๐ฅ = ๐.โข Jika ๐๐ > 0, maka nilai minimum ๐๐ adalah ๐๐ ๐ = ๐๐.โข Jika ๐๐ < 0, maka nilai maksimum ๐๐ adalah ๐๐ ๐ = ๐๐.
LatihanSoal
Diberikan fungsi kuadrat ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 5๐ฅ๐ฅ2 โ 30๐ฅ๐ฅ + 49.(a) Nyatakan ๐๐ dalam bentuk baku.(b) Sketsa grafik ๐๐.(c) Tentukan nilai minimum ๐๐.
NilaiMaksimum&Minimum
Nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ๐๐ ๐ฅ๐ฅ =๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ terjadi pada
๐ฅ๐ฅ = โ ๐๐2๐๐
โข Jika ๐๐ > 0, maka nilai minimumnya adalah ๐๐ โ ๐๐2๐๐
.
โข Jika ๐๐ < 0, maka nilai maksimumnya adalah ๐๐ โ ๐๐2๐๐
.
LatihanSoal
Tentukan nilai maksimum atau minimum masing-masing fungsi kuadrat berikut.(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ + 1.(b) ๐๐ ๐ก๐ก = 100โ 49๐ก๐ก โ 7๐ก๐ก2.
PemodelanFungsiKuadrat
Pendapatan Stadion Sebuah tim bola basket bermain di stadion dengan kapasitas 10.000 penonton. Jika harga sebuah tiket Rp 25.000,00, rata-rata penonton yang hadir adalah 5000 penonton. Sebuah survei pasar menunjukkan bahwa setiap penurunan harga tiket sebesar Rp 1.000,00, maka jumlah penontoh yang hadir bertambah 500 orang.(a) Carilah fungsi yang memodelkan pendapatan dalam
harga tiket.(b) Tentukan harga tiket yang memaksimumkan
pendapatan dari penjualan tiket.(c) Berapakah harga tiket yang terlalu tinggi sehingga tidak
ada pendapatan yang diterima?
Nyatakan model dalam kata-kata. Model yang diinginkan adalah fungsi yang memberikan pendapatan untuk setiap harga tiket.
pendapatan = harga tiket ร jumlah penontonPilih variabel. Terdapat dua kuantitas: harga tiket dan jumlah penonton. Karena fungsi yang diinginkan bergantung pada harga tiket, maka misalkan
๐ฅ๐ฅ = harga tiket
Kata-Kata AljabarHarga tiket ๐ฅ๐ฅPenurunan harga tiket 25.000 โ ๐ฅ๐ฅPertambahan penonton
500 ๏ฟฝ25.000 โ ๐ฅ๐ฅ1.000
Jumlah penonton5.000 + 500 ๏ฟฝ
25.000 โ ๐ฅ๐ฅ1.000
Buat model. Model yang diinginkan adalah fungsi ๐๐ yang memberikan pendapatan untuk setiap harga tiket ๐ฅ๐ฅ.
pendapatan = harga tiket ร jumlah penonton
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ ร 5.000 + 500 ๏ฟฝ 25.000โ๐ฅ๐ฅ1.000
= ๐ฅ๐ฅ 17.500 โ 12๐ฅ๐ฅ
= 17.500๐ฅ๐ฅ โ 12๐ฅ๐ฅ2
(a) Fungsi pendapatan yang diminta adalah๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 17.500๐ฅ๐ฅ โ 1
2๐ฅ๐ฅ2
(b) Gunakan model. Karena ๐๐ adalah fungsi kuadrat dengan ๐๐ = โ1
2 dan ๐๐ = 17.500, maka nilai maksimum terjadi pada
๐ฅ๐ฅ = โ ๐๐2๐๐= โ17.500
2 โ12= 17.500
Jadi, harga tiket yang membuatpendapatan maksimum adalahRp 17.500,00.
(c) Gunakan model. Akan ditentukan harga tiket yang menyebabkan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 0.
17.500๐ฅ๐ฅ โ 12๐ฅ๐ฅ2 = 0
๐ฅ๐ฅ 17.500โ 12๐ฅ๐ฅ = 0
๐ฅ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ๐ฅ = 35.000Berdasarkan hal ini, harga tiket Rp 35.000,00 sangatlah tinggi. Pada harga ini, tidak ada seorangpun yang ingin menonton tim tersebut bermain.
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 0
Faktorkan
Sifat Hasil Kali Nol
PertanyaanReflektif
Titik puncak grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ + ๐ 2 + ๐๐ adalah ๐, ๐๐ .
Grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 16โ 2๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ2 terbuka ke atas, sehingga memiliki nilai minimum.Pola kuadrat memiliki beda kedua konstan.
Tidak ada fungsi kuadrat yang memiliki range semua bilangan real.
PemecahanMasalah
Sebuah segitiga terletak di dalam setengah lingkaran dengan diameter 2๐ ๐ . Tunjukkan bahwa luas minimum daerah yang diarsir adalah ๐๐ โ 2 ๐ ๐ 2/2.
2๐ ๐
๐ฅ๐ฅ
PertidaksamaanUniversitas Sanata Dharma
Persamaan&Pertidaksamaan
Persamaan PertidaksamaanContoh 3๐ฅ๐ฅ โ 2 = 7 3๐ฅ๐ฅ โ 2 โค 7Selesaian
Grafik
๐ฅ๐ฅ = 3 ๐ฅ๐ฅ โค 3
30 30
MenemukanSifatPertidaksamaan
โ9 โ6 โ3 0 3 6 9Bilangan-bilangan awal
Jumlahdengan 5
Kurangidengan 4
Kalikandengan 2
Kalikandengan โ3
โ4 โ1 โ2 5 8 11 14
โ13 โ10 โ7 โ4 โ1 2 5
โ18 โ12 โ6 0 6 12 18
< < < < < <
< < < < < <
< < < < < <
< < < < < <
27 18 9 0 โ9 โ18 โ27> > > > > >
Sifat-SifatPertidaksamaan
1. ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต โบ ๐ด๐ด + ๐ถ๐ถ โค ๐ต๐ต + ๐ถ๐ถ2. ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต โบ ๐ด๐ด โ ๐ถ๐ถ โค ๐ต๐ต โ ๐ถ๐ถ3. Jika ๐ถ๐ถ > 0, maka ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต โบ ๐ด๐ด๐ถ๐ถ โค ๐ต๐ต๐ถ๐ถ4. Jika ๐ถ๐ถ < 0, maka ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต โบ ๐ด๐ด๐ถ๐ถ โฅ ๐ต๐ต๐ถ๐ถ5. Jika ๐ด๐ด > 0 dan ๐ต๐ต > 0,
maka ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต โบ 1๐ด๐ดโฅ 1
๐ต๐ต6. Jika ๐ด๐ด โค ๐ต๐ต dan ๐ถ๐ถ โค ๐ท๐ท, maka ๐ด๐ด + ๐ถ๐ถ โค ๐ต๐ต + ๐ท๐ท
PertidaksamaanLinear
Selesaikan ๐ฅ๐ฅ < 4๐ฅ๐ฅ + 6, dan gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.PEMBAHASAN
๐ฅ๐ฅ < 4๐ฅ๐ฅ + 6โ3๐ฅ๐ฅ < 6
๐ฅ๐ฅ > โ2Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
๐ฅ๐ฅ | ๐ฅ๐ฅ > โ2, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ atau โ2,โ
Pertidaksamaan yang diberikan
Kurangi dengan 4๐ฅ๐ฅ
Bagi dengan โ3
โ2 0
Grafik ๐ฅ๐ฅ | ๐ฅ๐ฅ > 0โ 2, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ atau โ2,โ
PertidaksamaanMajemuk
Selesaikan โ9 < 4๐ฅ๐ฅ โ 5 โค โ1.PEMBAHASAN Himpunan penyelesaiannya memuat semua nilai ๐ฅ๐ฅ yang memenuhi:(1) โ9 < 4๐ฅ๐ฅ โ 5; dan(2) 4๐ฅ๐ฅ โ 5 โค โ1Sehingga dengan menggunakan Sifat 1 dan 3:
โ9 < 4๐ฅ๐ฅ โ 5 โค โ1โ4 < 4๐ฅ๐ฅ โค 4โ1 < ๐ฅ๐ฅ โค 1
Pertidaksamaan yang diberikan
Jumlahkan dengan 5
Bagi dengan 4
Grafik ๐ฅ๐ฅ | โ 1 < ๐ฅ๐ฅ โค 1, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ atau (โ1, 1]
โ1 10
LatihanSoal
Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan berikut, kemudian sketsalah grafiknya.(a) 4๐ฅ๐ฅ + 6 < 3 ๐ฅ๐ฅ โ 1 โ 2๐ฅ๐ฅ
(b) 2๐ฅ๐ฅ+12
โ ๐ฅ๐ฅโ13< ๐ฅ๐ฅ + 1
2
(c) โ1 โค 4โ3๐ฅ๐ฅ5
< 2
1. Pindah semua suku ke satu ruas.
2. Faktorkan.3. Cari interval.4. Buat tabel atau diagram.5. Selesaikan.
PertidaksamaanNonlinear
MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN
NONLINEAR
PertidaksamaanKuadrat
Selesaikan pertidaksamaan ๐ฅ๐ฅ2 โค 7๐ฅ๐ฅ โ 10.PEMBAHASAN Kita ikuti langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan nonlinear.Pindah semua suku ke satu ruas.
๐ฅ๐ฅ2 โค 7๐ฅ๐ฅ โ 10๐ฅ๐ฅ2 โ 7๐ฅ๐ฅ + 10 โค 0
Faktorkan.๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5 โค 0
Persamaan yang diberikan
Kurangi 7๐ฅ๐ฅ; jumlahkan 10
Faktorkan
Cari interval. Sebelum mencari interval, tentukan pembuat nol masing-masing faktor.Pembuat nol ๐ฅ๐ฅ โ 2: Pembuat nol ๐ฅ๐ฅ โ 5:๐ฅ๐ฅ โ 2 = 0 ๐ฅ๐ฅ โ 5 = 0
๐ฅ๐ฅ = 2 ๐ฅ๐ฅ = 5
Garis bilangan:
Seperti yang terlihat, bilangan-bilangan 2 dan 5 membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu:
โโ, 2 , 2, 5 , dan 5,โ
0 2 5
Buat tabel atau diagram.
Interval โโ, 2 2, 5 5,โTanda ๐ฅ๐ฅ โ 2 โ + +Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 5 โ โ +Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5 + โ +Informasi ini juga dapat dinyatakan ke dalam garis bilangan seperti berikut.
Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 2Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 5Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5
2 5
โโ+
+โโ
+++
Selesaikan. Karena kita diminta menyelesaikan๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5 โค 0
dan dari diagram kita melihat bahwa nilai ๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5 bernilai negatif pada interval 2, 5 ,
maka selesaian pertidaksamaan yang diberikan adalah
๐ฅ๐ฅ | 2 โค ๐ฅ๐ฅ โค 5, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ = 2, 5
CATATAN Kita menyertakan titik-titik ujung 2 dan 5 karena kita mencari nilai-nilai ๐ฅ๐ฅ sedemikian sehingga hasil kali ๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 5 kurang dari atau sama dengan nol.
FaktorBerulang
Selesaikan pertidaksamaan berikut.โ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ โ 1 2 ๐ฅ๐ฅ โ 3 < 0
PEMBAHASAN Kita langsung masuk ke langkah mencari interval.Cari interval. Faktor-faktor bentuk ruas kiri adalah โ ๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ๐ฅ โ 1 2, dan ๐ฅ๐ฅ โ 3. Pembuat nol faktor-faktor ini adalah ๐ฅ๐ฅ = 0, 1, 3. Bilangan-bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 4 interval, yaitu:
โโ, 0 , 0, 1 , 1, 3 , dan 3,โ
Buat diagram.
Tanda โ๐ฅ๐ฅ
Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 1 2
Tanda ๐ฅ๐ฅ โ 3
Tanda โ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ โ 1 2 ๐ฅ๐ฅ โ 3
0 1 3
+
+
โ
โ
โ
+
โ
+
โ
+
โ
+
โ
+
+
โ
Selesaikan. Dari diagram kita dapat melihat bahwa โ ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ โ 1 2 ๐ฅ๐ฅ โ 3 < 0 ketika ๐ฅ๐ฅ dalam interval โโ, 0 atau ๐ฅ๐ฅ dalam interval 3,โ . Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalahโโ, 0 โช 3,โ
BentukPembagian
Selesaikan pertidaksamaan 2+๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โฅ 1.
PEMBAHASAN Pindah semua suku ke satu ruas.2+๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โฅ 12+๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โ 1 โฅ 02+๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โ 2โ๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โฅ 02๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โฅ 0
Pertidaksamaan yang diberikan
Kurangi dengan 1
Samakan penyebut
Sederhanakan
Cari interval. Faktor-faktor bentuk ruas kiri adalah 2๐ฅ๐ฅ dan 2โ ๐ฅ๐ฅ. Faktor-faktor ini akan bernilai nol ketika ๐ฅ๐ฅ sama dengan 0 dan 2. Bilangan-bilangan ini akan membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu:
โโ, 0 , 0, 2 , dan 2,โBuat diagram.
Tanda 2๐ฅ๐ฅTanda 2โ ๐ฅ๐ฅTanda 2๐ฅ๐ฅ
2โ๐ฅ๐ฅ
0 2
โ+
โ
++
+
+โ
โ
Selesaikan. Dari diagram kita dapat melihat bahwa 2๐ฅ๐ฅ2โ๐ฅ๐ฅ
โฅ 0 ketika ๐ฅ๐ฅ dalam interval [0, 2). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
๐ฅ๐ฅ | 0 โค ๐ฅ๐ฅ < 2, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ = [0, 2)
CATATAN Titik ujung 0 disertakan karena pertidaksamaan awal meminta bentuk pembagian yang lebih dari atau sama dengan 1. Akan tetapi, titik ujung 2 tidak disertakan karena bentuk pembagian dalam pertidaksamaan tidak terdefinisi di 2.
LatihanSoal
Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan berikut.(a) 24๐ฅ๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฅ < 15(b) ๐ฅ๐ฅ + 1 2 ๐ฅ๐ฅ โ 1 ๐ฅ๐ฅ โ 3 โฅ 0(c) ๐ฅ๐ฅ+1
๐ฅ๐ฅ+2< ๐ฅ๐ฅโ3
๐ฅ๐ฅ+4
Refleksi
1. Deskripsikan persamaan dan perbedaan selesaian dari pertidaksamaan berikut:
๐ฅ๐ฅ + 3 ๐ฅ๐ฅ โ 4 โฅ 0 dan ๐ฅ๐ฅ+3๐ฅ๐ฅโ4
โฅ 0
(Benar/Salah)
2. Untuk menyelesaikan ๐ฅ๐ฅโ1๐ฅ๐ฅโ3
< 2, pertama saya akan menentukan pembuat nol dari ๐ฅ๐ฅ โ 1 dan ๐ฅ๐ฅ โ 3. (Benar/Salah)
PemecahanMasalah
1. Tentukan nilai ๐๐ โ 0 sedemikian sehingga pertidaksamaan berikut๐ฅ๐ฅ2 + 2๐๐๐ฅ๐ฅ โ 6๐๐ < 0
memiliki himpunan penyelesaian interval buka โ3๐๐, ๐๐ .
2. Selesaikan ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ 2 โ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ 2 > โ๐๐ โ ๐๐ 2 4, dimana ๐๐ dan ๐๐ adalah konstanta dan ๐๐ > ๐๐.
FUNGSIPOLINOMIALUniversitas Sanata Dharma
DefinisiFungsiPolinomial
Fungsi PolinomialFungsi polinomial berderajat ๐๐ adalah fungsi yang memiliki bentuk
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 +โฏ+ ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0dimana ๐๐ adalah bilangan bulat tidak negatif dan ๐๐๐๐ โ 0.
GrafikFungsiPolinomial
x
y
Bukan grafik fungsi polinomial
x
y
Grafik fungsi polinomial
Grafik dasar fungsi-fungsi polinomial dan transformasinya
KarakteristikUjung
Karakteristik Ujung PolinomialKarakteristik ujung polinomial ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ +๐๐๐๐โ1๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 +โฏ+ ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0 ditentukan oleh derajatnya, yaitu ๐๐, dan tanda dari koefisien tertinggi ๐๐๐๐.
๐๐ berderajat ganjil ๐๐ berderajat genap
x
y
0
๐ฆ๐ฆ โ โketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
๐ฆ๐ฆ โ โโketika๐ฅ๐ฅ โ โโ
Koefisien tertinggi positif
x
y
0
๐ฆ๐ฆ โ โketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
๐ฆ๐ฆ โ โketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
Koefisien tertinggi positif
x
y
0
๐ฆ๐ฆ โ โketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
๐ฆ๐ฆ โ โโketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
Koefisien tertinggi negatif
x
y
0
๐ฆ๐ฆ โ โโketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
๐ฆ๐ฆ โ โโketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
Koefisien tertinggi negatif
LatihanSoal
Tentukan karakteristik ujung masing-masing polinomial berikut.(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = โ2๐ฅ๐ฅ4 + 5๐ฅ๐ฅ3 + 4๐ฅ๐ฅ โ 7(b) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 3๐ฅ๐ฅ5 โ 5๐ฅ๐ฅ3 + 2๐ฅ๐ฅ(c) ๐ ๐ ๐ฅ๐ฅ = 3๐ฅ๐ฅ5
PembuatNol
Pembuat Nol PolinomialJika ๐๐ adalah polinomial dan ๐๐ adalah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:(1) ๐๐ adalah pembuat nol ๐๐.(2) ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ adalah selesaian persamaan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 0.(3) ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ adalah faktor dari ๐๐ ๐ฅ๐ฅ .(4) ๐๐ adalah perpotongan sumbu-x
dengan grafik ๐๐.
TeoremaNilaiTengah
Jika ๐๐ adalah polinomial dan ๐๐ ๐๐ dan ๐๐ ๐๐memiliki tanda yang berlawanan, maka ada paling tidak satu nilai ๐๐ di antara ๐๐ dan ๐๐ sedemikian sehingga ๐๐ ๐๐ = 0.
MenggambarGrafikPolinomial
Gambarlah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ3 โ 2๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ + 8.PEMBAHASAN Pembuat nol.๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ3 โ 2๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ + 8
= ๐ฅ๐ฅ2 ๐ฅ๐ฅ โ 2 โ 4 ๐ฅ๐ฅ โ 2= ๐ฅ๐ฅ2 โ 4 ๐ฅ๐ฅ โ 2= ๐ฅ๐ฅ + 2 ๐ฅ๐ฅ โ 2 ๐ฅ๐ฅ โ 2= ๐ฅ๐ฅ + 2 ๐ฅ๐ฅ โ 2 2
Sehingga, pembuat nolnya adalah ๐ฅ๐ฅ = โ2 dan ๐ฅ๐ฅ =2.
Kelompokkan dan faktorkan
Faktorkan ๐ฅ๐ฅ โ 2
Perkalian sekawan
Sederhanakan
Uji titik. Pembuat nolnya adalah ๐ฅ๐ฅ = โ2 dan ๐ฅ๐ฅ =2, maka diperoleh tiga interval: โโ,โ2 , โ2, 2 , dan 2,โ .
๐๐ โ3 โ2 โ1 0 1 2 3๐ท๐ท ๐๐ โ25 0 9 8 3 0 5
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ3 โ 2๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ + 8
Grafik ๐๐
โ2 2โ3 0 3
โ + +
Di bawah sumbu-x
Di atas sumbu-x
Di atas sumbu-x
Karakteristik Ujung. Karena ๐๐ berderajat ganjil dan koefisien tertingginya positif, maka๐ฆ๐ฆ โ โ ketika ๐ฅ๐ฅ โ โ dan ๐ฆ๐ฆ โ โโ ketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
x
y
10
5
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ3 โ 2๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ + 8
PembagianPolinomial
Algoritma PembagianJika ๐๐ ๐ฅ๐ฅ dan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ adalah polinomial, dengan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0, maka ada polinomial-polinomia tunggal ๐ป๐ป ๐ฅ๐ฅ dan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ , dimana ๐๐ ๐ฅ๐ฅ adalah 0 atau berderajat kurang dari ๐๐ ๐ฅ๐ฅ , sedemikian sehingga
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ ๐ป๐ป ๐ฅ๐ฅ + ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
Pembagi Sisa
Hasil bagi
MetodePembagianPolinomial
Pembagian BersusunCara Horner (Pembagian Sintetis)
6๐ฅ๐ฅ2 โ 26๐ฅ๐ฅ + 12๐ฅ๐ฅ โ 46๐ฅ๐ฅ โ 2
6๐ฅ๐ฅ2 โ 24๐ฅ๐ฅโ2๐ฅ๐ฅ + 12โ2๐ฅ๐ฅ + 8
4
โ
โ
6 โ26 124
6 โ224 โ8
4
TeoremaSisa
Jika polinomial ๐๐ ๐ฅ๐ฅ dibagi dengan ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐, maka sisanya adalah nilai dari ๐๐ ๐๐ .
LatihanSoal
Misalkan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ5 โ 5๐ฅ๐ฅ4 + 5๐ฅ๐ฅ3 + 5๐ฅ๐ฅ2 โ 6๐ฅ๐ฅ + 1.(a) Tentukan hasil bagi dan sisa ๐๐ ๐ฅ๐ฅ jika dibagi
dengan ๐ฅ๐ฅ + 1.(b) Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan
๐๐ โ1 .
PolinomialBentukBersarang
Jabarkan ๐๐ untuk menunjukkan bahwa polinomial-polinomial ๐๐ dan ๐๐ sama.
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ4 โ ๐ฅ๐ฅ3 โ 16๐ฅ๐ฅ2 โ 3๐ฅ๐ฅ + 18
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ โ 1 ๐ฅ๐ฅ โ 16 ๐ฅ๐ฅ โ 3 ๐ฅ๐ฅ + 18
Tanpa menulis, tentukan ๐๐ 3 dan ๐๐ 3 . Manakah yang lebih mudah?Sekarang tulis ๐ ๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ5 โ 17๐ฅ๐ฅ4 + 37๐ฅ๐ฅ3 โ 7๐ฅ๐ฅ2 โ15๐ฅ๐ฅ ke dalam bentuk bersarang seperti ๐๐, dan kemudian tentukan ๐ ๐ 5 .
Refleksi
โข Karakteristik ujung polinomial dapat ditentukan hanya dengan memperhatikan koefisien tertingginya.
โข Dalam membagi ๐ฅ๐ฅ5 + 1 dengan ๐ฅ๐ฅ + 1 tidak perlu dilakukan metode pembagian bersusun karena hasil baginya jelas-jelas ๐ฅ๐ฅ4 + 1.
โข Jika polinomial berderajat 6 dibagi dengan polinomial berderajat 3, maka hasil baginya merupakan polinomial berderjat 2.
FUNGSI RASIONALUniversitas Sanata Dharma
Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
dimana ๐๐ dan ๐๐ adalah polinomial.(Diasumsikan ๐๐ dan ๐๐ tidak memiliki faktor persekutuan.)
DefinisiFungsiRasional
Gambarlah grafik fungsi๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 1
๐ฅ๐ฅkemudian nyatakan domain dan rangenya.
FungsiRasionalSederhana
PEMBAHASAN Pertama kita buat tabel nilai-nilai fungsi ๐๐.
๐๐ ๐๐ ๐๐โ0,1 โ10โ0,01 โ100โ0,00001 โ100.000
๐๐ ๐๐ ๐๐0,1 100,01 1000,00001 100.000
Mendekati 0โ Mendekati โโ Mendekati 0+ Mendekati โ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ โโ ketika ๐ฅ๐ฅ โ 0โ
โ๐ฆ๐ฆ mendekati negatif tak hingga ketika ๐ฅ๐ฅ mendekati 0 dari kiriโ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ โ ketika ๐ฅ๐ฅ โ 0+
โ๐ฆ๐ฆ mendekati tak hingga ketika ๐ฅ๐ฅ mendekati 0 dari kananโ
Tabel berikut ini menunjukkan bagaimana ๐๐ ๐ฅ๐ฅketika ๐ฅ๐ฅ menjadi besar.
๐๐ ๐๐ ๐๐โ10 โ0,1
โ100 โ0,01โ100.000 โ0,00001
๐๐ ๐๐ ๐๐10 0,1
100 0,01100.000 0,00001
Mendekati โโ Mendekati 0 Mendekati โ Mendekati 0
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0 ketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
โ๐ฆ๐ฆ mendekati 0 ketika ๐ฅ๐ฅmendekati negatif tak hinggaโ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0 ketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
โ๐ฆ๐ฆ mendekati 0 ketika ๐ฅ๐ฅmendekati tak hinggaโ
0 2
2
x
y
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =1๐ฅ๐ฅ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0ketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0ketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ โketika ๐ฅ๐ฅ โ 0+
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ โโketika ๐ฅ๐ฅ โ 0โ
Definisi Asimtot VertikalGaris ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ adalah asimtot vertikal fungsi ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ jika ๐ฆ๐ฆ mendekati ยฑโ ketika ๐ฅ๐ฅmendekati ๐๐ dari kanan atau kiri.
AsimtotVertikal
x
y ๐ฆ๐ฆ โ โ ketika ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐โ
x
y
a
๐ฆ๐ฆ โ โ ketika ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐+
Definisi Asimtot HorizontalGaris ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ adalah asimtot horizontal fungsi ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅjika ๐ฆ๐ฆ mendekati ๐๐ ketika ๐ฅ๐ฅmendekati ยฑโ.
AsimtotHorizontal
x
y
b๐ฆ๐ฆ โ ๐๐ ketika ๐ฅ๐ฅ โ โ
x
y
b
๐ฆ๐ฆ โ ๐๐ ketika ๐ฅ๐ฅ โ โโ
Gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2
๐ฅ๐ฅโ5(b) ๐ ๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅโ1
๐ฅ๐ฅ+2
Petunjuk Misalkan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 1๐ฅ๐ฅ, tunjukkan bahwa
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 5Dengan cara yang sama, maka
๐ ๐ ๐ฅ๐ฅ =
TransformasiGrafik
โ?โ
Misalkan ๐๐ adalah fungsi rasional
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 +โฏ+ ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ + ๐๐๐๐โ1๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 +โฏ+ ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0
1. Asimtot vertikal ๐๐ adalah garis ๐ฅ๐ฅ = ๐๐, dimana ๐๐ adalah pembuat nol penyebut.
2. (a) Jika ๐๐ < ๐๐, maka ๐๐ memiliki asimtot horizontal๐ฆ๐ฆ = 0.
(b) Jika ๐๐ = ๐๐, maka ๐๐ memiliki asimtot horizontal๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐๐
๐๐๐๐.
(c) Jika ๐๐ > ๐๐, maka ๐๐ tidak memiliki asimtot horizontal.
MenemukanAsimtot
Carilah asimtot vertikal dan horizontal fungsi
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =2๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ โ 15๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ โ 2
LatihanSoal
Gambarlah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ2โ3๐ฅ๐ฅโ9๐ฅ๐ฅ2โ4
, kemudian nyatakan domain dan rangenya.PEMBAHASAN Kita lakukan langkah-langkah berikut.
Faktorkan ๐ฆ๐ฆ = 2๐ฅ๐ฅ+3 ๐ฅ๐ฅโ3๐ฅ๐ฅ+2 ๐ฅ๐ฅโ2
Titik potong sumbu-x Titik potong sumbu-xadalah pembuat nol pembilang, yaitu
๐ฅ๐ฅ = โ32
dan ๐ฅ๐ฅ = 3
MenggambarGrafik
Titik potong sumbu-y Untuk menentukan titik potong sumbu-y kita substitusi ๐ฅ๐ฅ = 0.
๐๐ 0 = 2 0 2โ3 0 โ90 2โ4
= 94
Asimtot vertikal ๐ฅ๐ฅ = โ2 dan ๐ฅ๐ฅ = 2, dari pembuat nol penyebut.Karakteristik dekat asimtot vertikal
Ketika ๐๐ โ โ2โ โ2+ 2โ 2+
Tanda ๐ฆ๐ฆ = 2๐ฅ๐ฅ+3 ๐ฅ๐ฅโ3๐ฅ๐ฅ+2 ๐ฅ๐ฅโ2
โ โโ โ
โ โ+ โ
+ โ+ โ
+ โ+ +
Sehingga ๐๐ โ โ โโ โ โโ
Asimtot Horizontal ๐ฆ๐ฆ = 2, yaitu rasio koefisien tertinggi pembilang dan penyebut.Grafik Kita gunakan informasi yang telah kita temukan, bersama dengan beberapa nilai untuk menggambar grafik ๐๐.
๐๐ ๐๐
โ3 18/5
โ1 4/3
1 10/3
4 11/12
2
5
x
y
0
Domain dan Range Domain {}
๐ฅ๐ฅ | ๐ฅ๐ฅ โ โ2 dan ๐ฅ๐ฅ โ 2, ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ , Range ๐ ๐ .
Gambarlah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ2โ4๐ฅ๐ฅโ5๐ฅ๐ฅโ3
.
Asimtot miring Kita gunakan algoritma pembagian untuk menuliskan fungsi ๐๐ ke dalam bentuk
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ โ 1โ 8๐ฅ๐ฅโ3
Sehingga asimtot miringnya adalah๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ โ 1
AsimtotMiring
3
5
y = x โ 1
x
y
Asimtot miring
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ โ 5
๐ฅ๐ฅ โ 3
Gambarlah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ2
๐ฅ๐ฅโ2.
LatihanSoal
โข Saya bisa menggambar grafik fungsi rasional dengan dua asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal.
โข Grafik ๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ+1๐ฅ๐ฅ+1 ๐ฅ๐ฅโ5
memiliki asimtot vertikal ๐ฅ๐ฅ = โ1 dan ๐ฅ๐ฅ = 5.
โข Fungsi rasional mungkin saja tidak memotong sumbu-y.
โข Fungsi rasional tidak mungkin memotong asimtot vertikal.
Refleksi
#HaveANiceDay!
FUNGSI EKSPONENSIALAljabar & Trigonometri
Foto: Loozrboy - Flickr.com
Definisi
Fungsi EksponensialFungsi eksponensial dengan basis a didefinisikan untuk semua bilangan real x sebagai berikut:
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ
dimana a > 0 dan a โ 1.
LATIHAN 1
Misalkan ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ. Tentukan hasil masing-masing bentuk berikut.
(a) ๐๐ 6 (b) ๐๐ โ 34
(c) ๐๐ ๐๐ (d) ๐๐ 3
Latihan 2
Dengan menggunakan plot titik-titik untuk x = โ2, โ1, 0, 1, dan 2 gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.
(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2๐ฅ๐ฅ (b) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 12
๐ฅ๐ฅ
Grafik Fungsi-Fungsi Eksponensial
0โ1โ2 1 2
1
2
x
y
Grafik Fungsi-Fungsi EksponensialFungsi eksponensial
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ, ๐๐ > 0, ๐๐ โ 1Memiliki domain โ dan range (0, โ). Garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot horizontal grafik f. Grafik f memiliki bentuk seperti gambar di bawah.
0x
(0, 1)
y
f(x) = ax untuk a > 1 f(x) = ax untuk 0 < a < 1
0x
(0, 1)
y
Latihan 3
Transformasi Fungsi-Fungsi EksponensialGunakan grafik f(x) = 2x untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut. Tentukan domain, range, dan asimtotnya.(a) g(x) = 1 + 2x
(b) h(x) = โ2x
(c) k(x) = 2x โ 1
Latihan 4
PERTUMBUHAN BAKTERISebuah kultur bakteri mula-mula memuat 1500 bakteri dan berlipat ganda setiap jamnya.(a) Carilah suatu fungsi yang memodelkan banyaknya
bakteri setelah t jam.(b) Tentukan banyaknya bakteri setelah 12 jam.
#HaveANiceDay
FUNGSI LOGARITMAUniversitas Sanata Dharma
DefinisiFungsiLogaritma
Misalkan ๐๐ adalah bilangan positif dengan ๐๐ โ 1. Fungsi logaritma dengan basis ๐๐, dinotasikan dengan ๐๐log, didefinisikan sebagai
๐๐log ๐ฅ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ โบ ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅSehingga ๐๐log ๐ฅ๐ฅ adalah eksponen dari basis ๐๐ agar hasil perpangkatannya sama dengan ๐ฅ๐ฅ.
BentukLogaritma&Eskponensial
Bentuk Logaritma Bentuk Eksponensial
๐๐log ๐ฅ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ
10log 10.000 = 4 104 = 10.0003log 243 = 5 35 = 2433log 1
243 = โ5 3โ5 = 1243
5log ๐ ๐ = ๐๐ 5๐๐ = ๐ ๐
Eksponen
Basis Eksponen
Basis
Sifat-SifatLogaritma
1. ๐๐log 1 = 02. ๐๐log ๐๐ = 13. ๐๐log ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ4. ๐๐
๐๐log ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ
GrafikFungsiLogaritma
Sketsalah grafik ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2log ๐ฅ๐ฅ.PEMBAHASAN Kita buat tabel nilai-nilai fungsi ๐๐.
๐๐ ๐๐ ๐๐
8 34 22 11 012 โ114 โ218 โ3
2 4 86
1
x
y ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2log ๐ฅ๐ฅ
TransformasiGrafik
Sketsalah grafik masing-masing fungsi berikut, kemudian tentukan domainnya.(a) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = โ 2log ๐ฅ๐ฅ(b) โ ๐ฅ๐ฅ = 2log โ๐ฅ๐ฅ(c) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 3 + 2log ๐ฅ๐ฅ(d) ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2log ๐ฅ๐ฅ โ 5
LogaritmaUmum
Logaritma dengan basis 10 disebut dengan logaritma umum, dan dinotasikan dengan menghilangkan basisnya:
log ๐ฅ๐ฅ = 10log ๐ฅ๐ฅ
LogaritmaUmum&Bunyi
Persepi kelantangan ๐ต๐ต (dalam dB) suatu bunyi dengan intensitas ๐ผ๐ผ (dalam W/m2) diberikan oleh rumus
๐ต๐ต = 10 log ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ0
Dimana ๐ผ๐ผ0 adalah intensitas bunyi yang hampir tidak bisa didengar.Tentukan tingkat kelanta-ngan bunyi yang memilikiintensitas 100 kali dari ๐ผ๐ผ0.
PEMBAHASAN Kita tentukan kelantangan ๐ต๐ตdengan menggunakan ๐ผ๐ผ = 100๐ผ๐ผ0.
๐ต๐ต = 10 log ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ0
= 10 log 100๐ผ๐ผ0๐ผ๐ผ0
= 10 log 100= 10 ๏ฟฝ 2= 20
Kelantangan bunyi tersebut adalah 20 dB.
Definisi ๐ต๐ต
๐ผ๐ผ = 100๐ผ๐ผ0
Bagi faktor persekutuan
Definisi log
Hasil
Sifat-SifatLogaritma
Misalkan ๐๐ adalah bilangan positif, dengan ๐๐ โ 1. Misalkan ๐ด๐ด, ๐ต๐ต, dan ๐ถ๐ถ adalah sembarang bilangan real dengan ๐ด๐ด > 0 dan ๐ต๐ต > 0.1. ๐๐log ๐ด๐ด๐ต๐ต = ๐๐log๐ด๐ด + ๐๐log๐ต๐ต
2. ๐๐log ๐ด๐ด๐ต๐ต= ๐๐log๐ด๐ด โ ๐๐log๐ต๐ต
3. ๐๐log๐ด๐ด๐ถ๐ถ = ๐ถ๐ถ ๐๐log๐ด๐ด
LatihanSoal
Hitunglah masing-masing bentuk berikut.(a) 9log 3 + 9log 27(b) 2log 96โ 2log 3Jabarkan bentuk berikut.
(c) log ๐๐๐๐3 ๐๐
Gabunglah bentuk berikut.(d) 3 log ๐ฅ๐ฅ โ 1
2log ๐ฆ๐ฆ + 2 log ๐ง๐ง2 โ 1
RumusGantiBasis
๐๐log ๐ฅ๐ฅ =๐๐log ๐ฅ๐ฅ๐๐log ๐๐
LatihanSoal
Jika 2log 5 = ๐๐ dan 3log 2 = ๐๐, tentukan15log 12
Refleksiโข Karena saya tidak bisa menyederhanakan ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐
dengan menjumlahkan eksponen, maka tidak ada sifat untuk penjumlahan logaritma.
โข Karena logaritma adalah eksponen, maka sifat-sifat hasil kali, hasil bagi, dan perpangkatan logaritma mengingatkan saya pada sifat-sifat operasi pada eksponen.
โข Saya dapat menjabarkan 3log ๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ฆ dengan menggunakan
eksponen rasional, dilanjutkan dengan sifat hasil bagi, untuk memperoleh 12
3log ๐ฅ๐ฅ โ 3log ๐ฆ๐ฆ.
MenemukanKesalahan
Apa yang salah dari pernyataan berikut.log 0,1 < 2 log 0, 1
= log 0,1 2
= log 0,01log 0,1 < log 0,01
0,1 < 0,01
#HaveANiceDay
BARISAN DAN NOTASI SIGMA
Universitas Sanata Dharma
BarisanDefinisi BarisanBarisan adalah suatu fungsi ๐๐ yang domainnya adalah himpunan bilangan asli. Suku-suku dari barisan adalah nilai-nilai fungsi
๐๐ 1 , ๐๐ 2 , ๐๐ 3 , โฆ, ๐๐ ๐๐ , โฆBiasanya suku-suku tersebut ditulis sebagai ๐ข๐ข๐๐. Sehingga, suku-suku barisan dapat dituliskan menjadi
๐ข๐ข1, ๐ข๐ข2, ๐ข๐ข3, โฆ, ๐ข๐ข๐๐, โฆBilangan ๐ข๐ข1 disebut dengan suku pertama, ๐ข๐ข2 disebut dengan suku kedua, dan secara umum, ๐ข๐ข๐๐ disebut dengan suku ke-๐๐.
ContohBarisan
Tentukan lima suku pertama dan suku ke-100 barisan yang didefinisikan oleh rumus berikut.(a) ๐ข๐ข๐๐ = 2๐๐ (b) ๐ก๐ก๐๐ = ๐๐2 โ 1
(c) ๐๐๐๐ =๐๐
๐๐+1(d) ๐๐๐๐ =
โ1 ๐๐
2๐๐โ1
Suku ke-๐๐ Lima suku pertama Suku ke-100(a) ๐ข๐ข๐๐ = 2๐๐ 2, 4, 6, 8, 10 200(b) ๐ก๐ก๐๐ = ๐๐2 โ 1 0, 3, 8, 15, 24 9.999(c) ๐๐๐๐ =
๐๐๐๐+1
12,23,34,45,56
100101
(d) ๐๐๐๐ =โ1 ๐๐
2๐๐โ1 โ1,13,โ17,115,โ
131
12100 โ 1
MenentukanSukuKe-n
Tentukan suku ke-n barisan yang beberapa suku pertamanya diberikan sebagai berikut.
(a) 1, 34, 59, 716, 925, โฆ (b) 1,โ3, 5,โ7, 9, โฆ
BarisanRekursif
Barisan rekursif adalah barisan yang suku ke-nbarisan tersebut didefinisikan sebagai fungsi terhadap suku-suku sebelumnya.CONTOH Tentukan lima suku pertama barisan rekursif dengan
๐ข๐ข1 = 3; ๐ข๐ข๐๐ = 2 ๐ข๐ข๐๐โ1 โ 2
PEMBAHASAN Diketahui ๐ข๐ข1 = 3. Sehingga,๐ข๐ข2 = 2 ๐ข๐ข1 โ 2 = 2 3โ 2 = 2๐ข๐ข3 = 2 ๐ข๐ข2 โ 2 = 2 2โ 2 = 0๐ข๐ข4 = 2 ๐ข๐ข3 โ 2 = 2 0โ 2 = โ4๐ข๐ข5 = 2 ๐ข๐ข4 โ 2 = 2 โ4โ 2 = โ12
Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah3, 2, 0,โ4,โ12
LatihanSoal
Tentukan 11 suku pertama barisan Fibonacciyang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut.
๐น๐น1 = 1; ๐น๐น2 = 1;๐น๐น๐๐ = ๐น๐น๐๐โ1 + ๐น๐น๐๐โ2
JumlahParsialBarisan
Untuk barisan๐ข๐ข1, ๐ข๐ข2, ๐ข๐ข3, ๐ข๐ข4, โฆ, ๐ข๐ข๐๐, โฆ
jumlah parsial-nya adalah๐๐1 = ๐ข๐ข1๐๐2 = ๐ข๐ข1 + ๐ข๐ข2๐๐3 = ๐ข๐ข1 + ๐ข๐ข2 + ๐ข๐ข3โฎ๐๐๐๐ = ๐ข๐ข1 + ๐ข๐ข2 + ๐ข๐ข3 +โฏ+ ๐ข๐ข๐๐
Jumlah parsial juga disebut dengan jumlah n suku pertama.
Jumlah parsial pertama
Jumlah parsial ke-2
Jumlah parsial ke-3
Jumlah parsial ke-n
MenentukanJumlahParsial
Tentukan empat jumlah parsial pertama dan jumlah parsial ke-n dari barisan ๐ข๐ข๐๐ =
23๐๐
.
PEMBAHASAN Suku-suku barisan tersebut adalah
23,29,227,281, โฆ
Sehingga empat jumlah parsial pertama barisan tersebut adalah
๐๐1 =23
= 23
๐๐2 =23+ 2
9= 8
9
๐๐3 =23+ 2
9+ 2
27= 26
27
๐๐4 =23+ 2
9+ 2
27+ 2
81= 80
81Secara umum, jumlah parsial ke-n barisan tersebut adalah
๐๐๐๐ =3๐๐โ13๐๐
= 1โ 13๐๐
Jumlah parsial pertama
Jumlah parsial ke-2
Jumlah parsial ke-3
Jumlah parsial ke-4
Jumlah parsial ke-n
1 2 3 4 5
1
1/2
n
a1
a2
a3 a4 a5
S2
S3S4 S5
S1
LatihanSoal
Carilah empat jumlah parsial pertama dan jumlah parsial ke-n barisan yang didefinisikan dengan rumus
๐๐ โ ๐๐ + 1
NotasiSigma
Jumlah n suku pertama barisan ๐ข๐ข1, ๐ข๐ข2, ๐ข๐ข3, ๐ข๐ข4, โฆ dapat dituliskan ke dalam notasi sigma seperti berikut:
๏ฟฝ๐๐=1
๐๐
๐ข๐ข๐๐ = ๐ข๐ข1 + ๐ข๐ข2 + ๐ข๐ข3 + ๐ข๐ข4 +โฏ+ ๐ข๐ข๐๐
LatihanSoal
Tentukan masing-masing penjumlahan berikut.(a) โ๐๐=13 1
๐๐(b) โ๐๐=18 1 + โ1 ๐๐
MenuliskanNotasiSigma
Tulislah masing-masing penjumlahan berikut ke dalam notasi sigma.(a) 12 + 22 + 32 + 42 +โฏ+ 202
(b) 1โ 2๐ฅ๐ฅ + 3๐ฅ๐ฅ2 โ 4๐ฅ๐ฅ3 +โฏโ 100๐ฅ๐ฅ99
SifatPenjumlahan
Misalkan ๐๐1, ๐๐2, ๐๐3, ๐๐4, โฆ dan ๐๐1, ๐๐2, ๐๐3, ๐๐4, โฆ adalah barisan. Maka untuk setiap bilangan bulat pisitif ๐๐ dan sembarang bilangan real ๐๐, sifat-sifat berikut terpenuhi.1. โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐ + โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐2. โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐ โ โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐3. โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐
MeninjauKembali
โข Apa yang dimaksud barisan? Berikan contoh.โข Bagaimana rupa dari grafik suatu barisan?
Bagaimana kita memperolehnya?โข Apa yang dimaksud barisan rekursif?
#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay
BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI
Universitas Sanata Dharma
BarisanAritmetika
Definisi Barisan AritmetikaBarisan aritmetika adalah barisan yang memiliki bentuk
๐๐, ๐๐ + ๐๐, ๐๐ + 2๐๐, ๐๐ + 3๐๐, ๐๐ + 4๐๐, โฆBilangan ๐๐ disebut dengan suku pertama, dan ๐๐adalah beda dari barisan tersebut. Suku ke-nbarisan aritmetika diberikan oleh rumus
๐ข๐ข๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โ 1 ๐๐
ContohBarisanAritmetika
(a) Jika ๐๐ = 1 dan ๐๐ = 4, maka diperoleh barisan aritmetika
1, 1 + 4, 1 + 8, 1 + 12, 1 + 16, โฆatau
1, 5, 9, 13, 17, โฆ(b) Perhatikan barisan aritmetika berikut.
7, 4, 1, โ2, โฆBarisan tersebut memiliki suku ke-n:
๐ข๐ข๐๐ = 7โ 3 ๐๐ โ 1
LatihanSoal
Tentukan empat suku pertama dan suku ke-200 dari barisan aritmetika berikut.17, 15, โฆ
MenentukanSuku
Suku ke-7 dan ke-15 dari suatu barisan aritmetika secara berturut-turut adalah 19 dan 43. Tentukan suku ke-500 barisan tersebut.
๏ฟฝ๐๐=1
100
๐๐
DeretAritmetika
Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmetika, yaitu
๐๐๐๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + 2๐๐ +โฏ+ ๐๐ + ๐๐ โ 1 ๐๐Penjumlahan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:1. ๐๐๐๐ =
๐๐22๐๐ + ๐๐ โ 1 ๐๐
2. ๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐+๐ข๐ข๐๐2
LatihanSoal
Berapa banyak suku pertama dari barisan aritmetika 4, 6, 8, 10, โฆ yang harus dijumlahkan untuk mendapatkan 8.008.
BarisanGeometri
Definisi Barisan GeometriBarisan geometri adalah barisan yang berbentuk
๐๐, ๐๐๐๐, ๐๐๐๐2, ๐๐๐๐3, โฆBilangan ๐๐ disebut dengan suku pertama, dan ๐๐disebut dengan rasio barisan tersebut. Suku ke-nbarisan geometri tersebut adalah
๐ข๐ข๐๐ = ๐๐๐๐๐๐โ1
MenentukanSuku
Tentukan suku ke-8 dari barisan geometriโ3, 6, โ12, 24, โฆ
MenentukanSuku
Suatu barisan geometri memiliki suku keempat 24 dan suku ketujuh 64
9. Tentukan suku ke-6 barisan
tersebut.
๏ฟฝ๐๐=1
10
2๐๐โ1
DeretGeometriTerhingga
Deret geometri terhingga adalah jumlah n suku pertama suatu barisan geometri, yaitu
๐๐๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐4 +โฏ+ ๐๐๐๐๐๐โ1 ๐๐ โ 1Rumus untuk menentukan jumlah tersebut adalah
๐๐๐๐ =๐๐ 1โ๐๐๐๐
1โ๐๐
ContohDeretGeometri
Tentukan jumlah lima suku pertama barisan geometri berikut.
1, 0.4, 0.16, 0.064, โฆPEMBAHASAN Barisan geometri tersebut memiliki ๐๐ = 1 dan ๐๐ = 0,4. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah
๐๐5 =1(1โ0,45)1โ0,4
= 1,6496
DeretGeometriTakHingga
Misalkan ๐๐ < 1. Maka jumlah ๐๐ deret geometri tak hingga ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐3 +โฏ diberikan oleh rumus
๐๐ =๐๐
1โ ๐๐
LatihanSoal
Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut.
1 +23+49+827
+โฏ
DesimalBerulang
Carilah pecahan biasa yang senilai dengan desimal berulang 0,235.PEMBAHASAN Misalkan ๐๐ = 0,235, maka
๐๐ = 0,2353535โฆ= 0,2 + 0,035 + 0,00035 + 0,0000035 +โฏ
= 210+ 35
1000+ 35
100.000+ 35
10.000.000+โฏ
= 210+
3510001โ 1
100= 233
990
Jadi, pecahan yang diberikan senilai dengan pecahan 233990
.
MeninjauKembali
โข Daripada melakukan penjumlahan, saya gunakan ๐๐๐๐ =
๐๐2๐๐ + ๐ข๐ข๐๐ untuk menentukan jumlah 30
suku pertama barisan 2, 4, 8, 16, โฆ.โข 10โ 5 + 5
2โ 5
4+โฏ = 10
1โ12โข Jika suku ke-n barisan geometri adalah ๐ข๐ข๐๐ = 5๐๐,
maka suku pertamanya adalah 1 dan rasionya adalah 5.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Universitas Sanata Dharma
MenyelesaikanSistemPersamaan
Berikut ini adalah dua contoh sistem persamaan linear tiga variabel.
SPLTV SPLTV Bentuk Segitiga
๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ + 3๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 12๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ โ 2๐ง๐ง = 6
๐ฅ๐ฅ โ 2๐ฆ๐ฆ + 3๐ง๐ง = โ14๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ + 3๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 12๐ฆ๐ฆ + 3๐ง๐ง = โ5
๐ง๐ง = โ3
SubstitusiBalik
Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan substitusi balik.
๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ + 3๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 12๐ฆ๐ฆ + 3๐ง๐ง = โ5
๐ง๐ง = โ3
Persamaan 1
Persamaan 2
Persamaan 3
PEMBAHASAN Kita substitusi balik ๐ง๐ง = โ3 ke persamaan 2 untuk menyelesaikan ๐ฆ๐ฆ.
2๐ฆ๐ฆ + 3 โ3 = โ5๐ฆ๐ฆ = 2
Substitusi balik ๐ฆ๐ฆ = 2 dan ๐ง๐ง = โ3 ke persamaan 1 untuk menyelesaikan ๐ฅ๐ฅ.2๐ฅ๐ฅ + 3 2 + โ3 = 1
๐ฅ๐ฅ = โ1Selesaian dari SPLTV yang diberikan adalah ๐ฅ๐ฅ =โ 1, ๐ฆ๐ฆ = 2, dan ๐ง๐ง = โ3. Selesaian ini juga dapat dituliskan menjadi triplet berurutan โ1, 2,โ3 .
Substitusi ๐ง๐ง = โ3
Selesaikan ๐ฆ๐ฆ
Substitusi ๐ฆ๐ฆ = 2 dan ๐ง๐ง = โ3
Selesaikan ๐ฅ๐ฅ
SistemEkuivalen
Operasi-operasi yang menghasilkan sistem ekuivalen:1. Menjumlahkan kelipatan tidak nol dari satu persamaan
ke persamaan lainnya.2. Mengalikan persamaan dengan konstanta tidak nol.3. Menukar posisi dua persamaan.
Kita gunakan operasi-operasi ini untuk mengubah sistem yang diberikan menjadi sistem bentuk segitiga yang ekuivalen, kemudian kita gunakan substitusi-balik. Proses tersebut dinamakan eliminasi Gauss.
MenyelesaikanSPLTV
Selesaikan sistem berikut dengan eliminasi Gauss.
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 4
๐ฅ๐ฅ + 3๐ฆ๐ฆ + 3๐ง๐ง = 102๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ โ ๐ง๐ง = 3
PEMBAHASAN Kita eliminasi suku-๐ฅ๐ฅ pada P2.
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 42๐ฆ๐ฆ + 2๐ง๐ง = 62๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ โ ๐ง๐ง = 3
Persamaan 1 (P1)
Persamaan 2 (P2)
Persamaan 3 (P3)
P2 โ P1 = P2 baru
Selanjutnya eliminasi suku-๐ฅ๐ฅ pada P3:
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 42๐ฆ๐ฆ + 2๐ง๐ง = 6๐ฆ๐ฆ + 3๐ง๐ง = 5
Sekarang, eliminasi suku-๐ฆ๐ฆ di P3:
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 42๐ฆ๐ฆ + 2๐ง๐ง = 64๐ง๐ง = 4
Sistem tersebut ekuivalen dengan sistem berikut.
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 4๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = 3๐ง๐ง = 1
2 ร P1 โ P3 = P3 baru
2 ร P3 โ P2 = P3 baru
Substitusi balik ๐ง๐ง = 1 ke persamaan 2 diperoleh๐ฆ๐ฆ + 1 = 3
๐ฆ๐ฆ = 2Selanjutnya substitusi balik ๐ฆ๐ฆ = 2 dan ๐ง๐ง = 1 ke persamaan 1 untuk mendapatkan๐ฅ๐ฅ + 2 + 1 = 4
๐ฅ๐ฅ = 1Jadi, selesaian sistem tersebut adalah (1, 2, 1).
Substitusi balik ๐ง๐ง = 1 ke P2
Substitusi balik ๐ฆ๐ฆ = 2 dan ๐ง๐ง = 1 ke P1
LatihanSoal
Selesaikan sistem berikut dengan eliminasi Gauss.
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ โ ๐ง๐ง = 42๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง = โ1
โ๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ โ 2๐ง๐ง = 5
BanyaknyaSelesaian
Untuk suatu sistem persamaan linear, tepat satu dari pernyataan-pernyataan berikut benar.1. Sistem tersebut memiliki tepat satu selesaian.2. Sistem tersebut tidak memiliki selesaian.3. Sistem tersebut memiliki tak hingga selesaian.
Sistem dengan satu selesaian
Sistem dengan tak hingga selesaian Sistem tanpa selesaian
SistemTanpaSelesaian
Selesaikan sistem berikut.
๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + 2๐ฆ๐ฆ โ ๐ง๐ง = 1
2๐ฅ๐ฅ + 3๐ฆ๐ฆ โ 4๐ง๐ง = โ33๐ฅ๐ฅ + 6๐ฆ๐ฆ โ 3๐ง๐ง = 4
TakHinggaSelesaian
Selesaikan sistem berikut.
๏ฟฝ2๐ฅ๐ฅ + 4๐ฆ๐ฆ โ ๐ง๐ง = 3๐ฅ๐ฅ + 2๐ฆ๐ฆ + 4๐ง๐ง = 6๐ฅ๐ฅ + 2๐ฆ๐ฆ โ 2๐ง๐ง = 0
ProgramDiet
Jesica memulai program diet agar setiap makanan yang dia makan harus mengandung 46o kalori, 6 gram serat, dan 11 gram lemak. Tabel di bawah menunjukkan kalori, serat, dan lemak yang terkandung dari 3 jenis makanan. Berapakah yang harus dikonsumsi oleh Jesica dari masing-masing makanan tersebut?
Makanan Serat Lemak KaloriRoti 2 1 100Keju 0 5 120Buah 2 0 60
MenyelesaikanSistem
Selesaikan sistem berikut untuk ๐ผ๐ผ, ๐ฝ๐ฝ, dan ๐พ๐พ.
๏ฟฝln๐ผ๐ผ โ ln๐ฝ๐ฝ โ ln ๐พ๐พ = 2
3 ln๐ผ๐ผ + 5 ln๐ฝ๐ฝ โ 2 ln ๐พ๐พ = 12 ln๐ผ๐ผ โ 4 ln๐ฝ๐ฝ + ln ๐พ๐พ = 2
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Universitas Sanata Dharma
IdentitasDasarTrigonometri
Identitas-Identitas Kebalikan
csc ๐ฅ๐ฅ = 1sin ๐ฅ๐ฅ
sec ๐ฅ๐ฅ = 1cos ๐ฅ๐ฅ
cot ๐ฅ๐ฅ = 1tan ๐ฅ๐ฅ
tan ๐ฅ๐ฅ = sin ๐ฅ๐ฅcos ๐ฅ๐ฅ
cot ๐ฅ๐ฅ = cos ๐ฅ๐ฅsin ๐ฅ๐ฅ
Identitas-Identitas Pythagorassin2 ๐ฅ๐ฅ + cos2 ๐ฅ๐ฅ = 1 tan2 ๐ฅ๐ฅ + 1 = sec2 ๐ฅ๐ฅ1 + cot2 ๐ฅ๐ฅ = csc2 ๐ฅ๐ฅ
Identitas-Identitas Genap-Ganjilsin โ๐ฅ๐ฅ = โ sin ๐ฅ๐ฅ cos โ๐ฅ๐ฅ = cos ๐ฅ๐ฅtan โ๐ฅ๐ฅ = โ tan ๐ฅ๐ฅ
MembuktikanIdentitasTrigonometri
Panduan dalam Pembuktian Identitas Trigonometri1. Mulai dengan satu ruas.2. Gunakan identitas-identitas yang diketahui.3. Ubah ke dalam bentuk sinus dan cosinus (jika
perlu)
ContohSoal
Buktikan identitas berikut.cos ๐ฅ๐ฅ
sec ๐ฅ๐ฅ sin ๐ฅ๐ฅ= csc ๐ฅ๐ฅ โ sin ๐ฅ๐ฅ
PEMBAHASANcos ๐ฅ๐ฅ
sec ๐ฅ๐ฅ sin ๐ฅ๐ฅ= cos ๐ฅ๐ฅ
1cos ๐ฅ๐ฅ sin ๐ฅ๐ฅ
= cos2 ๐ฅ๐ฅsin ๐ฅ๐ฅ
= 1โsin2 ๐ฅ๐ฅsin ๐ฅ๐ฅ
= 1sin ๐ฅ๐ฅ
โ sin2 ๐ฅ๐ฅsin ๐ฅ๐ฅ
= csc ๐ฅ๐ฅ โ sin ๐ฅ๐ฅ
Identitas Kebalikan
Identitas Pythagoras
Identitas Kebalikan
LatihanSoal
Buktikan identitas berikut.tan ๐ฆ๐ฆcsc ๐ฆ๐ฆ
= sec๐ฆ๐ฆ โ cos๐ฆ๐ฆ
KombinasiPecahan
Buktikan identitas berikut.1
sec ๐ฅ๐ฅ+tan ๐ฅ๐ฅ+ 1
sec ๐ฅ๐ฅโtan ๐ฅ๐ฅ= 2sec ๐ฅ๐ฅ
PEMBAHASAN1
sec ๐ฅ๐ฅ+tan ๐ฅ๐ฅ+ 1
sec ๐ฅ๐ฅโtan ๐ฅ๐ฅ= sec ๐ฅ๐ฅโtan ๐ฅ๐ฅ + sec ๐ฅ๐ฅ+tan ๐ฅ๐ฅ
sec ๐ฅ๐ฅโtan ๐ฅ๐ฅ sec ๐ฅ๐ฅ+tan ๐ฅ๐ฅ
= 2 sec ๐ฅ๐ฅsec2 ๐ฅ๐ฅโtan2 ๐ฅ๐ฅ
= 2 sec ๐ฅ๐ฅ1
= 2 sec ๐ฅ๐ฅ
LatihanSoal
Buktikan identitas berikut.1+sin ๐ฅ๐ฅ1โsin ๐ฅ๐ฅ
โ 1โsin ๐ฅ๐ฅ1+sin ๐ฅ๐ฅ
= 4 tan ๐ฅ๐ฅ sec ๐ฅ๐ฅ
PerkalianSekawan
Buktikan identitas 1โcos ๐ก๐กsin ๐ก๐ก
= sin ๐ก๐ก1+cos ๐ก๐ก
.
PEMBAHASAN1โcos ๐ก๐กsin ๐ก๐ก
= 1โcos ๐ก๐กsin ๐ก๐ก
๏ฟฝ 1+cos ๐ก๐ก1+cos ๐ก๐ก
= 1โcos2 ๐ก๐กsin ๐ก๐ก 1+cos ๐ก๐ก
= sin2 ๐ก๐กsin ๐ก๐ก 1+cos ๐ก๐ก
= sin ๐ก๐ก1+cos ๐ก๐ก
Kalikan dengan 1
Jabarkan penyebutnya
Identitas Pythagoras
Sederhanakan
LatihanSoal
Buktikan identitas berikut.cos๐๐
1โ sin๐๐= sec๐๐ + tan๐๐
Rumus-RumusPenjumlahan&Pengurangan
Rumus untuk Sinussin ๐ ๐ + ๐ก๐ก = sin ๐ ๐ cos ๐ก๐ก + cos ๐ ๐ sin ๐ก๐กsin ๐ ๐ โ ๐ก๐ก = sin ๐ ๐ cos ๐ก๐ก โ cos ๐ ๐ sin ๐ก๐ก
Rumus untuk Cosinuscos ๐ ๐ + ๐ก๐ก = cos ๐ ๐ cos ๐ก๐ก โ sin ๐ ๐ sin ๐ก๐กcos ๐ ๐ โ ๐ก๐ก = cos ๐ ๐ cos ๐ก๐ก + sin ๐ ๐ sin ๐ก๐ก
Rumus untuk Tangen
tan ๐ ๐ + ๐ก๐ก = tan ๐ ๐ +tan ๐ก๐ก1โtan ๐ ๐ tan ๐ก๐ก
tan ๐ ๐ โ ๐ก๐ก = tan ๐ ๐ โtan ๐ก๐ก1+tan ๐ ๐ tan ๐ก๐ก
ContohSoal
Tentukan nilai eksak bentuk-bentuk berikut.(a) cos 75ยฐ (b) cos ๐๐
12
PEMBAHASAN(a) cos 45ยฐ + 30ยฐ = cos 45ยฐ cos 30ยฐโ sin 45ยฐ sin 30ยฐ
= 22
32โ 2
212= 6โ 2
4
(b) cos ๐๐12= cos ๐๐
4โ ๐๐
6
= cos ๐๐4cos ๐๐
6+ sin ๐๐
4sin ๐๐
6
= 22
32+ 2
212= 6+ 2
4
LatihanSoal
Tentukan nilai eksak bentuk berikut.sin 18ยฐ cos 27ยฐ + cos 18ยฐ sin 27ยฐ.
Rumus-RumusSudutRangkap
Rumus untuk Sinussin 2๐ฅ๐ฅ = 2 sin ๐ฅ๐ฅ cos ๐ฅ๐ฅ
Rumus untuk Cosinuscos 2๐ฅ๐ฅ = cos2 ๐ฅ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ๐ฅ
= 1โ 2 sin2 ๐ฅ๐ฅ= 2 cos2 ๐ฅ๐ฅ โ 1
Rumus untuk Tangentan 2๐ฅ๐ฅ = 2 tan ๐ฅ๐ฅ
1โtan2 ๐ฅ๐ฅ
ContohSoal
Jika tan ๐ฅ๐ฅ = โ43
dan ๐ฅ๐ฅ di Kuadran II, tentukan sin 2๐ฅ๐ฅ dan cos ๐ฅ๐ฅ.
PEMBAHASAN Karena tan ๐ฅ๐ฅ = โ43
dan ๐ฅ๐ฅ di Kuadran II, maka
sin ๐ฅ๐ฅ = 45
dan cos ๐ฅ๐ฅ = โ35
Sehingga,
sin2๐ฅ๐ฅ = 2 sin ๐ฅ๐ฅ cos ๐ฅ๐ฅ = 2 45
โ 35= โ24
25
cos 2๐ฅ๐ฅ = 1โ 2 sin2 ๐ฅ๐ฅ = 1โ 2 45
2= 1โ 32
25= โ 7
25
PolinomialTchebycheff
Tunjukkan bahwa ada polinomial ๐๐ ๐ก๐ก berderajat 4 sedemikian sehinggacos 4๐ฅ๐ฅ = ๐๐ cos ๐ฅ๐ฅ
RumusSudutPertengahan
sin ๐ข๐ข2= ยฑ 1โcos ๐ข๐ข
2cos ๐ข๐ข
2= ยฑ 1+cos ๐ข๐ข
2
tan ๐ข๐ข2= 1โcos ๐ข๐ข
sin ๐ข๐ข= sin ๐ข๐ข
1+cos ๐ข๐ขTanda + atau โ tergantung pada kuadran di mana letak sudut ๐ข๐ข
2.
ContohSoal
Jika cos ๐ฅ๐ฅ = โ45
dan 180ยฐ < ๐ฅ๐ฅ < 270ยฐ tentukan sin ๐ฅ๐ฅ2
dan tan ๐ฅ๐ฅ
2.
PEMBAHASAN Karena cos ๐ฅ๐ฅ = โ45
dan 180ยฐ < ๐ฅ๐ฅ < 270ยฐ, maka
sin ๐ฅ๐ฅ = โ35
Sehingga,
sin ๐ฅ๐ฅ2= 1โ โ โ4 5
2= 3
1010
tan ๐ฅ๐ฅ2= 1โ โ โ4 5
โ โ3 5= โ3
Sudut Pertengahan untuk sinus
Sudut Pertengahan untuk tangen
LatihanSoal
Tentukan:(a) cos 165ยฐ (b) tan 22,5ยฐ (c) sin 15ยฐ
RumusPerkalian-Penjumlahan
sin๐ข๐ข cos ๐ฃ๐ฃ =12sin ๐ข๐ข + ๐ฃ๐ฃ + sin ๐ข๐ข โ ๐ฃ๐ฃ
cos๐ข๐ข sin ๐ฃ๐ฃ =12sin ๐ข๐ข + ๐ฃ๐ฃ โ sin ๐ข๐ข โ ๐ฃ๐ฃ
cos๐ข๐ข cos ๐ฃ๐ฃ =12cos ๐ข๐ข + ๐ฃ๐ฃ + cos ๐ข๐ข โ ๐ฃ๐ฃ
sin๐ข๐ข sin ๐ฃ๐ฃ =12cos ๐ข๐ข โ ๐ฃ๐ฃ โ cos ๐ข๐ข + ๐ฃ๐ฃ
ContohSoal
Nyatakan sin2๐ฅ๐ฅ cos 3๐ฅ๐ฅ sebagai penjumlahan fungsi-fungsi trigonometri.PEMBAHASANsin 2๐ฅ๐ฅ cos 3๐ฅ๐ฅ = 1
2sin 2๐ฅ๐ฅ + 5๐ฅ๐ฅ + sin 2๐ฅ๐ฅ โ 3๐ฅ๐ฅ
= 12sin7๐ฅ๐ฅ + sin โ๐ฅ๐ฅ
= 12sin7๐ฅ๐ฅ โ sin ๐ฅ๐ฅ
RumusPenjumlahan-Perkalian
sin ๐ฅ๐ฅ + sin๐ฆ๐ฆ = 2 sin๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ2
cos๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ2
sin ๐ฅ๐ฅ โ sin๐ฆ๐ฆ = 2 cos๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ2
sin๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ2
cos ๐ฅ๐ฅ + cos๐ฆ๐ฆ = 2 cos๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ2
cos๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ2
cos ๐ฅ๐ฅ โ cos๐ฆ๐ฆ = โ2 sin๐ฅ๐ฅ + ๐ฆ๐ฆ2
sin๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ2
ContohSoal
Buktikan identitas sin ๐ฅ๐ฅ+sin 5๐ฅ๐ฅcos ๐ฅ๐ฅ+cos 5๐ฅ๐ฅ
= tan 3๐ฅ๐ฅ.
PEMBAHASANsin ๐ฅ๐ฅ+sin 5๐ฅ๐ฅcos ๐ฅ๐ฅ+cos 5๐ฅ๐ฅ
= 2 sin 3๐ฅ๐ฅ cos โ2๐ฅ๐ฅ2 cos 3๐ฅ๐ฅ cos โ2๐ฅ๐ฅ
= sin 3๐ฅ๐ฅcos 3๐ฅ๐ฅ
= tan 3๐ฅ๐ฅ
Rumus Penjumlahan-Perkalian
Sederhanakan
Identitas Kebalikan
PertanyaanReflektif
1. Jelaskan bagaimana cara membuktikan identitas trigonometri.
2. Sebutkan 2 strategi untuk membuktikan identitas trigonometri.
FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI
Universitas Sanata Dharma
Aljabar & Trigonometri
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Ukuran Sudut
DEFINISI UKURAN RADIANUkuran radian (disingkat rad) dari sebuah sudut pusat lingkaran berjari-jari 1 satuan sama dengan panjang busur lingkaran yang dipotong oleh sudut tersebut.
ฮธ
1
Ukuran radian ฯด
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Derajat dan Radian
1. Untuk mengubah derajat ke radian, kalikan dengan ฯ/180.
2. Untuk mengubah radian ke derajat, kalikan dengan 180/ฯ.
180ยฐ = ๐๐ rad 1 rad =180๐๐
ยฐ1ยฐ =
๐๐180
rad
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Sudut dalam Posisi Baku
x
y
x
y
x
y
0 0 0
(b)(a) (c)
Sudut-sudut koterminal
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Posisi Baku dan Koterminal
Suatu sudut dalam posisi baku jika sudut tersebut digambar pada bidang koordinat kartesius, berpusat di titik asal, dan sisi awalnya pada sumbu-x positif.Dua sudut dalam posisi baku dikatakan koterminaljika sisi-sisinya saling berhimpit.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Latihan 1
(a) Nyatakan 75ยฐ ke dalam radian.(b) Nyatakan ฯ/6 ke dalam derajat.(c) Carilah sudut yang besarnya di antara 0ยฐ dan
360ยฐ yang koterminal dengan sudut yang besarnya 1290ยฐ dalam posisi baku.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Perbandingan-Perbandingan Trigonometri
sin๐๐ =depanmiring
cos ๐๐ =sampingmiring tan๐๐ =
depansamping
csc ๐๐ =miringdepan
sec ๐๐ =miringsamping cot๐๐ =
sampingdepan
miringdepan
sampingฮธ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Latihan 2
Jika cos๐ผ๐ผ = 34, sketsalah segitiga siku-siku dengan
sudut lancip ฮฑ, dan tentukan perbandingan-perbandingan trigonometri lainnya dari sudut ฮฑ.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Sudut-Sudut Istimewa
45ยฐ
45ยฐ
2
1
1
1
2
3
60ยฐ
30ยฐ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Sudut-Sudut Istimewa
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
ฮธ ฮธ sin ฮธ cos ฮธ tan ฮธ csc ฮธ sec ฮธ cot ฮธ0ยฐ 0 0 1 0 โ 1 โ30ยฐ ฯ/6 1
232
33
2 2 33
3
45ยฐ ฯ/4 22
22
1 2 2 1
60ยฐ ฯ/3 32
12 3 2 3
32 3
3
90ยฐ ฯ/2 1 0 โ 1 โ 0
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Latihan 3
Selesaikan segitiga ABC yang ditunjukkan pada gambar di bawah.
A
BC30ยฐ
12
a
b
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Fungsi-Fungsi TrigonometriDEFINISI FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRIMisalkan ฮธ adalah sudut dalam posisi baku, dan misalkan P(x, y) adalah suatu titik pada sisi terminal sudut tersebut. Jika ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฆ๐ฆ2 adalah jarak titik asal ke titik P(x, y), maka
sin๐๐ =๐ฆ๐ฆ๐๐
cos๐๐ =๐ฅ๐ฅ๐๐
tan๐๐ =๐ฆ๐ฆ๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ โ 0
csc๐๐ =๐๐๐ฆ๐ฆ
๐ฆ๐ฆ โ 0 sec ๐๐ =๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ 0 cot๐๐ =
๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ฆ
๐ฆ๐ฆ โ 0
x
y
P(x, y)r ฮธ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Sudut Acuan
DEFINISI SUDUT ACUANMisalkan ๐๐ adalah sudut dalam posisi baku. Sudut acuan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ yang bersesuaian dengan ๐๐ adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sisi terminal ๐๐ dengan sumbu-x.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Latihan 4
Tentukan sudut acuan untuk sudut-sudut:
(a) ๐๐ = 5๐๐3
(b) ๐๐ = 870ยฐ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Fungsi Trigonometri Sembarang Sudut
MENENTUKAN FUNGSI TRIGNOMETRI SEMBARANG SUDUT1. Tentukan sudut acuan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ yang bersesuaian
dengan ๐๐.2. Tentukan tanda dari fungsi trigonometri sudut
๐๐.3. Nilai fungsi trigonometri ๐๐ sama dengan nilai
fungsi trigonometri ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐, kecuali mungkin tandanya.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Latihan 5
Tentukan (a) sin 495ยฐ dan (b) sec (โฯ/4).
PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR
Universitas Sanata Dharma
Aljabar & Trigonometri
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Fase-FaseBulan
Bagaimana kita bisa menjelaskan fase-base bulan?Mengapa bentuk bulan yang terlihat dari bumi berubah-ubah?Kapan kita melihat bulan baru, bulan sabit, dan bulan purnama?
Integrating academic exce l lence and humanistic value
PersamaanTrigonometriSederhana
Ketika menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam persamaan trigonometri sederhana
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐dimana ๐๐ adalah fungsi trigonometri dan ๐๐ adalah konstanta.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
ContohSoal
Selesaikan persamaan sin ๐ฅ๐ฅ = 32
.
PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai sin ๐ฅ๐ฅ bernilai positif ketika ๐ฅ๐ฅ di Kuadran I dan II. Padahal
sin 60ยฐ = 32
Sehingga,๐ฅ๐ฅ = 60ยฐ๐ฅ๐ฅ = 180ยฐ โ 60ยฐ = 120ยฐ
Kuadran I
Kuadran II
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena fungsi sinus berulang setiap 360ยฐ, maka semua selesaiannya adalah
๐ฅ๐ฅ = 60ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ๐ฅ๐ฅ = 120ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ
dimana ๐๐ adalah sembarang bilangan bulat.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK
Integrating academic exce l lence and humanistic value
PersamaanFungsiSinus
Selesaian Umum Persamaan Fungsi SinusJika sin ๐ฅ๐ฅ = sin๐๐, maka
๐ฅ๐ฅ = ๐๐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ, atau๐ฅ๐ฅ = 180ยฐโ ๐๐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ
dimana ๐๐ adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika ๐๐ dalam radian, maka kita ganti 360ยฐ dengan 2ฯ.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
LatihanSoal
Tentukan semua selesaian persamaan berikut.sin ๐ฅ๐ฅ = โ1
2
Integrating academic exce l lence and humanistic value
ContohSoal
Selesaikan persamaan cos ๐ฅ๐ฅ = 122 dan daftarlah
beberapa selesaiannya.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai cos ๐ฅ๐ฅ bernilai positif ketika ๐ฅ๐ฅ di Kuadran I dan IV. Padahalcos 45ยฐ = 1
22
Sehingga,๐๐ = 45ยฐ๐๐ = โ45ยฐ
Kuadran I
Kuadran IV
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena fungsi cosinus berulang setiap 360ยฐ, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah
๐ฅ๐ฅ = 45ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ๐ฅ๐ฅ = โ45ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ
dimana ๐๐ adalah sembarang bilangan bulat.Jika kita substitusi ๐๐ = โ1, 0, 1, 2 maka kita dapatkan beberapa selesaian berikut.
๐ฅ๐ฅ = โ405ยฐ,โ315ยฐ,โ45ยฐ, 45ยฐ, 315ยฐ, 405ยฐ, 675ยฐ, 765ยฐ
๐๐ = โ1 ๐๐ = 0 ๐๐ = 1 ๐๐ = 2
Integrating academic exce l lence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK
Integrating academic exce l lence and humanistic value
PersamaanFungsiCosinus
Selesaian Umum Persamaan Fungsi CosinusJika cos ๐ฅ๐ฅ = cos๐๐, maka
๐ฅ๐ฅ = ๐๐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ, atau๐ฅ๐ฅ = โ๐๐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ
dimana ๐๐ adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika ๐๐ dalam radian, maka ganti 360ยฐdengan 2ฯ.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
LatihanSoal
Selesaikan persamaan berikut, kemudian tuliskan beberapa selesaiannya.cos ๐ฅ๐ฅ = โ1
2
Integrating academic exce l lence and humanistic value
ContohSoal
Tentukan selesaian persamaan tan ๐ฅ๐ฅ = 2.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode.tan ๐ฅ๐ฅ = 2
๐ฅ๐ฅ = tanโ1 2๐ฅ๐ฅ โ 63,4ยฐ
Selesaian tersebut merupakan satu-satunya selesaian dalam satu periode.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena periode tangen adalah 180ยฐ, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah
๐ฅ๐ฅ = 63,4ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 180ยฐ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK
Integrating academic exce l lence and humanistic value
PersamaanFungsiTangen
Selesaian Umum Persamaan Fungsi TangenJika tan ๐ฅ๐ฅ = tan๐๐, maka
๐ฅ๐ฅ = ๐๐ + ๐๐ ๏ฟฝ 180ยฐdimana ๐๐ adalah sembarang bilangan bulat.
Integrating academic exce l lence and humanistic value
LatihanSoal
Carilah selesasian umum persamaan berikut.tan ๐ฅ๐ฅ = 2 + 3
Integrating academic exce l lence and humanistic value
CaraPemfaktoran
Selesaikan persamaan 2 sin2 ๐ฅ๐ฅ + sin ๐ฅ๐ฅ โ 1 = 0.PEMBAHASAN Kita faktorkan bentuk pada ruas kiri.
2 sin2 ๐ฅ๐ฅ + sin ๐ฅ๐ฅ โ 1 = 02 sin ๐ฅ๐ฅ โ 1 sin ๐ฅ๐ฅ + 1 = 0
2 sin ๐ฅ๐ฅ โ 1 = 0 atau sin ๐ฅ๐ฅ + 1 = 0sin ๐ฅ๐ฅ = 1
2atau sin ๐ฅ๐ฅ = โ1
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Periode fungsi sinus adalah 360ยฐ. Sehingga kita tentukan selesaiannya untuk 0 โค ๐ฅ๐ฅ < 360ยฐ.sin ๐ฅ๐ฅ = 1
2๐ฅ๐ฅ = 30ยฐ atau ๐ฅ๐ฅ = 150ยฐ
sin ๐ฅ๐ฅ = โ1๐ฅ๐ฅ = 270ยฐ
Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah๐ฅ๐ฅ = 30ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ๐ฅ๐ฅ = 150ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ๐ฅ๐ฅ = 270ยฐ + ๐๐ ๏ฟฝ 360ยฐ
Integrating academic exce l lence and humanistic value
LatihanSoal
Selesaikan persamaan berikut.cos2 ๐ฅ๐ฅ โ cos ๐ฅ๐ฅ = 0
Integrating academic exce l lence and humanistic value
PertanyaanReflektif
โข Apa yang membedakan antara membuktikan identitas trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri?
โข Bagaimana kalian melihat selesaian persamaan2 sin2 ๐ฅ๐ฅ โ 1 = 0
dalam selang 0, 2๐๐dengan menggunakankalkulator grafik?
Integrating academic exce l lence and humanistic value
Fase-FaseBulan
Jika sudut yang dibentuk oleh matahari, bumi, dan bulan adalah ๐๐, maka nilai
๐น๐น = 121โ cos๐๐
akan menentukan bentuk bulan.Bulan baru : ๐น๐น = 0Bulan sabit : ๐น๐น = 0,25Kuartal awal/akhir : ๐น๐น = 0,5Bulan purnama : ๐น๐น = 1
Integrating academic exce l lence and humanistic value
๐๐ = 60ยฐ
F = 0,25 (bulan sabit)
๐๐ = 300ยฐ
F = 0,25 (bulan sabit)
ReferensiAbramson, J. P. (2015). Algebra
and Trigonometry. Houston: OpenStax
Aufmann, R. N., Barker, V. C., & Nation, R. D. (2011). College Algebra and Trigonometry (7th
ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning.
Barnett, R. A., Ziegler, M. R., & Byleen, K. E. (2012). Analytic Trigonometry with Applications(11th ed.). Hoboken, N.J:
Wiley.Kristanto, Y. D. (2016).
Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Grasindo.
Larson, R. (2011). Algebra and Trigonometry (8th ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole.
Larson, R. (2014). Precalculus (9th
ed.). Stamford: Cengage Learning.
Lial, M. L. (2013). Trigonometry(10th ed.). Boston: Pearson.
Mardjono, A. (2004). Aljabar dan Trigonometri. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
McKeague, C. P., & Turner, M. D. (2008). Trigonometry (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole.
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Cengage Learning.
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th
ed.). Boston: Cengage Learning.
Sullivan, M. (2012). Algebra and Trigonometry (9th ed.). Boston: Prentice Hall.
Sullivan, M. (2016). Algebra and Trigonometry (10th ed.). Boston: Pearson.
Tutoyo, A., Susanta, B., & Murwaningtyas, C. E. (2004). Prakalkulus. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
top related