bahan ajar metode numerik

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Galat dalam Komputasi Numerik

• Pengantar

• Sumber Galat

• Penyajian Bilangan

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 1

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Pengantar

• Masalah matematika tidak selalu dapat

diselesaikan secara analitik, misalnya yang

melibatkan integral dari fungsi-fungsi yang

berbentuk kompleks

• Dalam kasus demikian, komputasi numerik

(penyelesaian masalah menggunakan metode

numerik) menjadi salah satu pendekatan

alternatif yang dapat digunakan

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 2

1. Galat dalam Komputasi Numerik

• Strategi yang digunakan dalam komputasi

numerik adalah menyederhanakan masalah

melalui transformasi berikut:

• infinite → finite

• differential → algebraic

• nonlinear → linear

• complicated → simple

• Dalam penyelesaian masalah, metode numerik

menggunakan operasi-operasi yang dapat

dilakukan oleh komputer, yaitu operasi aritmatika

dan logika.

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 3

1. Galat dalam Komputasi Numerik

• Penggunaan komputer dapat memperpendek

waktu yang digunakan untuk penyelesaian

masalah-masalah yang membutuhkan waktu

sangat lama bila dikerjakan secara manual.

• Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik

biasanya berupa suatu hampiran, yang

mengandung kesalahan numerik

• Aspek penting dalam komputasi numerik selain

kecepatan proses adalah keakuratan hasil

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 4

1. Galat dalam Komputasi Numerik

• Metode numerik yang baik adalah yang bisa

memberikan solusi yang akurat dalam waktu

yang relatif cepat

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 5

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Sumber Galat

• Sebelum proses komputasi:

• Kesalahan akibat model yang salah

• Kesalahan karena hasil observasi yang salah/ pengukuran yang salah

• Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya

• Selama proses komputasi:

• Kesalahan karena hasil pendekatan/ hampiran

• Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 6

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Contoh:

• Kesalahan yang terjadi dalam perhitungan luas

permukaan bumi menggunakan formula

A = 4 π r2 adalah:

• Memodelkan bumi sebagai bola dengan

permukaan yang rata

• Perhitungan jari-jari bumi

• Perhitungan nilai π

• Hasil komputasi yang melibatkan proses

pembulatan

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 7

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Penyajian Bilangan

• Sistem Bilangan:

� Sistem Desimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

� Sistem Biner : 0, 1

� Sistem Oktal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

� Sistem Hexadesimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,

B, C , D, E, F

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 8

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Sistem Biner

• Sistem bilangan yang mendasari operasi

komputer adalah sistem bilangan biner, sehingga

sistem bilangan ini perlu dibahas lebih lanjut.

• Suatu bilangan biner � adalah suatu sekuens

terbatas dari digit-digit 0 dan 1, serta dapat

dilambangkan sebagai berikut :

� = ���������� …����� �

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 9

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Konversi Sistem Biner ke Desimal

� = ���������� …����� �↓

� = ��2� + ����2��� +⋯+ ��2 + �Contoh:

� = 110101 � = 2� + 2� + 2� + 2 = 53

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 10

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Program MATLAB:

Pada Command Window, ketik

>> bin2dec(‘110101’)

Sehingga jawabannya

adalah:

ans =

53

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 11

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Konversi Sistem Desimal ke Biner

Algoritma:

� = 2� + �� = 2�� + ���� = 2�� + ��

⋮���� = 2���� + ����

���� = 2�� + ��, �� = 0dengan �� ∈ 0,1 .

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 12

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Selanjutnya, dalam sistem biner y dapat dinyatakan:

� = ���������� …����� �Contoh:

53 = 2 26 + 126 = 2 13 + 013 = 2 6 + 16 = 2 3 + 03 = 2 1 + 11 = 2 0 + 1

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 13

53 = 110101 �

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Program MATLAB:

Pada Command Window, ketik

>> dec2bin(53)

Sehingga jawabannya

adalah:

ans =

110101

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 14

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Pecahan Biner

• Suatu pecahan biner adalah bilangan biner �dalam bentuk pecahan yang berupa suatu

sekuens (bisa tak terbatas) dari digit-digit 0 dan 1

berikut :

� = . ������ …�� … �

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 15

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Konversi Pecahan Biner ke Pecahan Desimal

� = . ������ …�� … �↓

� = ��2�� + ��2�� + ��2�� +⋯

Contoh:

� = .1101 � = 2�� + 2�� + 2�� = .5 + .25 + .0625 = 0.8125

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 16

1. Galat dalam Komputasi Numerik

• Perhatikan deret geometrik berikut:

� !"

!#= 1 − "%�

1 − , ≠ 1

• Untuk ' mendekati takhingga, akan diperoleh:

� !(

!#= 1

1 − , ≠ 1

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 17

1. Galat dalam Komputasi Numerik

• Sifat ini dapat digunakan untuk menghitung

.0101010101010⋯ � = 2�� + 2�� + 2�) +⋯= 2�� 1 + 2�� + 2�� +⋯

sehingga menghasilkan 1/3.

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 18

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Konversi Pecahan Desimal ke Pecahan Biner

Algoritma:

2� = �� + *�2*� = �� + *�2*� = �� + *�

⋮2*��� = �� + *�

⋮

Selanjutnya, dalam pecahan biner � dapat dinyatakan:

� = . ������ ⋯�� ⋯ �

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 19

1. Galat dalam Komputasi Numerik

Contoh:

2 0.3 = 0 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.6

⋮

James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 20

0.3 = .010011001⋯ �