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conexões com a matemática
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DVD do professor
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
7. (PUC) O número complexo a 1 bi, diferente de zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo real. É correto afirmar que seu conjugado está situado:
a)sobre o eixo real.
b)sobre o eixo imaginário.
c) no primeiro quadrante.
d)no segundo quadrante.
e)no terceiro quadrante.
8. (UEG-GO) O conjunto dos números complexos que satisfazem a condição $z 2 3i$ 5 $z 2 2$ é repre-sentado no plano cartesiano por uma reta:
a)cuja inclinação é positiva.
b)que contém a origem do sistema.
c) que não intercepta o eixo real.
d)cuja inclinação é negativa.
9. (UFC-CE) Os números complexos distintos z e w são tais que z 1 w 5 1 e z 8 w 5 1.
a)Calcule $z$.b)Calcule o valor z4 1 w4 sabendo-se que z está no
primeiro quadrante do plano complexo.
10. (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados núme-ros complexos z e w, chamados mira e alvo, respec-tivamente.
Otiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz 5 w.
imaginário
real
z
|w | = 4
30°
30°
|z | = 2
w
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.
11. Determine o módulo dos números complexos abaixo.
a)1 1 i
b)3 2 4i
c) 24
d)2i
12. (Ufal) Na figura a seguir, os pontos Pl e P2 são as res-pectivas imagens de dois números complexos z1 e z2, ambos de módulo r, representados no plano de Argand-Gauss.
1. Escreva na forma algébrica os números complexos abaixo.
a) ii
12
11
b)ii
12
22 3
c)ii
21
11 22
e o
2. (UEL-PR) Qual é a parte real do número complexo z 5 a 1 bi, com a e b reais e a . 0 e b . 0, cujo qua-drado é 25 1 12i?
a)31 d)2
b)21
e) 3
c) 1
3. (Ibmec) Seja z um número complexo tal que:
z 5i21
2 4
e o , onde i é a unidade imaginária. É correto
afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a:
a) eπ
22
c) eπ
22
3 e)4 e π
b)2 e π d) eπ
42
4. Determine os valores de x para que o número com-
plexo ii
12
zxx= seja imaginário puro.
5. (UFT-TO) Considere i a unidade imaginária dos nú-meros complexos. O valor da expressão (i 1 1)8 é:
a)32i b)32 c)16 d)16i
6. (UFG-GO) O número complexo z 5 x 1 yi pode ser representado no plano, como a seguir:
y
O
θα
x
P
Considere ( )r x y12 2= o módulo de z. O número complexo z pode ser escrito como:
a)z 5 r 8 (cos a 1 i 8 sen a)
b)z 5 r 8 (cos a 2 i 8 sen a)
c) z 5 r 8 (sen t 1 i 8 cos t)
d)z 5 r 8 (sen a 2 i 8 cos a)
e) z 5 r 8 (cos t 1 i 8 sen t)
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números complexoscapítulo 28
Fácil Médio DifícilGrau de dificuldade das questões:
conexões com a matemática
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Capítulo 28 números complexos
O
Im (z)
P1r
r
P2
Re (z)
θ
Se t é o argumento de z1, analise as afirmações seguintes.
a)z1 8 z2 tem módulo r e argumento 2t
b)z
z
2
1 tem módulo unitário e argumento 2 π2
c) z2 é conjugado de z1
1d) z2 5 i 8 z1
e) z12 5 z2
2
13. (PUC) Dado o número complexo
z i senπ 1 8 π
cos6 6
= , então, se P1, P2 e P3 são as res-
pectivas imagens de z, z2 e z3 no plano complexo,a medida do maior ângulo interno do triângulo P1P2P3 é:
a)75º c)120º e)150º
b)100º d)135º
14. (UFSM-RS)
O
y
G
B(a, b)
θ
xA
Um triângulo fica determinado pelo conhecimen-to de 3 elementos, que são seus vértices. A figu-ra mostra um triângulo retângulo OAB no qual o ponto B tem por afixo o número complexo z 5 a 1 bi, cujos módulo ú e argumento t são, respec-
tivamente, eπ
24
. Assim, a equação da reta suporte
da altura relativa à hipotenusa do triângulo OAB é:
a)x 1 y 5 0 d) 1 2x y 2 0=
b)x 2 y 5 0 e)( )
1 2x y2
20=
c) 2 2x y 2 0=
15. (UFPel-RS) O módulo de um número complexo z 5 a 1 bi, a Ñ R, b Ñ R, é a distância do ponto (a, b) ao ponto (0, 0) do plano Argand-Gauss.
Com base no texto e em seus conhecimentos, é cor-reto afirmar que o módulo do número complexo
zii
( i)521 1 2
1 21 3
1 6é, aproximadamente:
a)7,07 c)8,06 e) 9,06
b)6,08 d)6,63 f) I.R.
16. (Unifor-CE) Seja z um número complexo dado por
z( i)
( i) ( i)
2
1 8 2 1
3 3
3 4 12
4
= . Considerando as aproxima-
ções log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, o valor de log |z| é:
a)0,02 c)0,06 e)0,6
b)0,04 d)0,4
17. (Unifor-CE) Seja o número complexo z 5 x 1 3i, em que x é um número real negativo. Se z 6= , então a forma trigonométrica de z é:
a) i sen8 π 1 8 πcos6
32
32d n
b) i sen8 π 1 8 πcos6
65
65d n
c) i sen8 π 1 8 πcos6
34
34d n
d) i sen8 π 1 8 πcos6
35
35d n
e) i sen8 π 1 8 πcos6
611
611d n
18. (Unifesp) Considere, no plano complexo, confor-me a figura, o triângulo de vértices z1 5 2, z2 5 5 e z3 5 6 1 2i.
0
y
2
x5 62
A área do triângulo de vértices w1 5 iz1, w25 iz2 e
w3 5 2iz3 é:
a)8 c)4 e)2
b)6 d)3
19. (Vunesp) Considere os números complexos z1 5 2 1 i e z2 5 x 1 2i, onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine:
a)o número complexo z1 8 z2 em função de x.
b)os valores de x tais que Re(z1 8 z2) < Im(z1 8 z2), onde Re denota a parte real e Im, a parte imagi-nária do número complexo.
20. (Vunesp) O número complexo z 5 a 1 bi é vértice de um triân gulo equilátero, como mostra a figura.
O
b
aθ
z
Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , deter mine z2.
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Capítulo 28 números complexos
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Capítulo 28 números complexos
21. (FCC-SP) É dado o número complexo z 5 x 1 iy, com x, y Ñ R. O lugar geométrico das imagens dos núme-ros z, tais que $z$ , l e x 1 y , 0, é representado no plano Argand-Gauss pela região pintada na figura:
a)
Re(z)
Im(z)
1–1
1
–1
b)
Re(z)
Im(z)
1–1
–1
1
c)
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
d)
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
e)
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
22. (Fuvest-SP) Sabendo que a é um número real e que
a parte imaginária do número complexo i
i11
22
a é
zero, então a é:
a)24 b)22 c) 1 d) 2 e) 4
23. (UFPel-RS) Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impe-dância (em ohms) e a potência aparente (em volt--ampère) são exemplos de quantidades complexas.
Considerando Z1 e Z2 dois números complexos, Z1 e Z2 seus respectivos conjugados e $Z1$ e $Z2$ seus respectivos módulos, analise as afirmativas.
I. Z1 8 Z1 é sempre um número real.
II. $Z1$ 8 $Z2$ é sempre um número irracional. III. 8 8Z Z Z Z51 2 1 2
IV. $Z1 Z2$ i $Z1$ 8 $Z2$
A respeito dessas afirmativas, é correto afirmar que:
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e IV são verdadeiras.
c) Somente I e III são verdadeiras.
d) Todas as afirmativas são verdadeiras.
e)Todas as afirmativas são falsas.
f ) I.R.
24. (Unifesp) Os números complexos z1, z2 5 2i e
z3 5 a 3 1 ai, onde a é um número real positivo, representam no plano complexo vértices de um triângulo equilátero. Dado que $z2 2 z1$5 2, o valor de a é:
a) 2 c) 3 e) 21
b) 1 d) 23
25. (UPF-MG) Sendo o número complexo z 5 i18
6 2 ,
as expressões de z3 e z6 são dadas, respectivamente, por:
a) i e 21 c) 2i e 1 e) 1 e 1
b) i e 11 d) 2i e 21
26. (Mackenzie-SP) Que números complexos repre-sentam dois vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de centro na origem, onde um dos três vértices do triângulo é dado por V1 5 22i?
a) 3 1 i e 3 2 ib) 2 3 2 i e 3 2 ic) 3 1 i e 2 3 1 i
d) 2 3 1 i e 2 3 2 ie) 2i e 2
27. (Unir-RO) Fixado um ângulo t, em radianos, a multiplicação complexa (cos t 2 i 8 sen t) 8 (x 1 iy) representa a rotação de t radianos, no sentido anti--horário, em torno da origem, do número complexo x 1 iy. Rotacionando 30 graus, no sentido anti- -horário e em torno da origem, o número complexo
1 111
22
32
3 i, obtém-se:
a) 3 1 i c) 1 1 2i e) 1 1 i
b) 1 1 i 3 d) 2 1 4i
28. (Fuvest-SP) Dentre os números complexos z 5 a 1 bi,
não nulos, que têm argumento igual a π4
, aquele
cuja representação geométrica está sobre a parábo-la y 5 x2 é:
a) 1 1 i c) 21 1 i e) 2 2 1 2i
b) 1 2 i d) 2 1 2i
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Capítulo 28 números complexos
29. (Unicamp-SP) Dado o número complexo z 5 x 1 iy, o seu conjugado é o número complexo z 5 x 2 iy.
a) Resolva as equações z 8 z 5 4 e (z)2 5 z2.
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geo-métricos que representam as soluções dessas equações.
30. (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e an o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 5 2 8 a1. Se a1 é um número ímpar, então
ia1 1 ia2 1 ia3 1 ... 1 ia10 é igual a:
a) 9i ou 29i
b) 29 1 i ou29 2 i
c) 9 1 i ou9 2 i
d) 8 1 i ou8 2 i
e) 7 1 i ou 7 2 i
31. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferência de centro na origem dos eixos coordenados e raio igual a 2 u.c. O comprimento do menor arco de origem em A e extremidade em P1 é igual a π
3 u.c.
y
–2
–2 2
P1
2
x
O A
Considere os pontos P1, P2 e P3 vértices de um triân-gulo equilátero inscrito na circunferência e repre-sentado, nessa ordem, no sentido anti-horário.
Sendo P1, P2 e P3, respectivamente, afixos dos núme-
ros complexos z1, z2 e z3, calcule 5
11 1z z z32
.
32. (ITA-SP) O conjunto A, definido por ; ( i) ( i) 4Ñ YA z z z2 2= =$ ., representa no plano
complexo:
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e 2i.
b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e raio 2.
c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 4.
d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).
e) nenhuma das anteriores.
33. Escreva os números complexos abaixo na forma tri-gonométrica.
a) z 5 2
b) z 5 23i
c) z 5 2 1 2i
d) iz 1 32 1=
34. Escreva o número complexo w z z22 1= na forma trigonométrica, dados os complexos z1 5 21 1 t
e z2 5 t 1 1.
35. (Cesgranrio-RJ) O lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que z2 é real é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
d) uma circunferência.
e) uma parábola.
36. Considere os números complexos z1 5 10(cos 75° 1 i 8 sen 75°) e z2 5 2(cos 15° 1 i 8 sen 15°) e determine:
a) z1 8 z2 b) z
z
2
1 c) z14
37. Dado o número complexo iπ 8 π
cosz16 16
sen1= ,
determine o valor da expressão: w 5 z4 1 z8 1 z16
38. (Unicamp-SP) Identifique o lugar geométrico dos pontos z 5 x 1 iy do plano complexo tal que
Re 5z1
41d n . Determine a equação cartesiana e faça
o gráfico desse lugar.
39. (Fuvest-SP)
a) Se z15 cos t1 1 i 8 sen t1 e z2 5 cos t2 1 i 8 sen t2, mostre que o produto z1 8 z2 é igual a
cos (t1 1 t2) 1 i 8 sen (t1 1 t2).
b) Mostre que o número complexo z 5 cos 48º 1 i 8 sen 48º é raiz da equação
z101z5 1 1 5 0.
40. (Unicamp-SP) Se z 5 x 1 iy é um número complexo, o número real x é chamado “parte real de z” e é in-dicado por Re(z), ou seja, Re(x 1 iy) 5 x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que sa-
tisfazem a equação Re i
zz
22
21
21 =e o , ao qual se
acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (22, 0) e é tangente àquela circunferência.
41. (Unicamp-SP) Um número complexo z 5 x 1 iy, z i 0,podeser escrito na forma trigonométrica: z 5 $z$ (cos t 1 i 8 sen t), onde ,z x y$ $ 5 12 2 cos
z
xt 5$ $
.z
ye sen t 5
$ $ Essa forma de representar os núme-
ros complexos não nulos é muito conveniente, es-pecialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:
[$z$(cos t 1 i 8 sen t)]k 5 |z|k (cos kt 1 i 8 sen kt), que é válida para todo k Ñ Z. Use essas informações para:
a) calcular ( 3 1 i)12.
b) sendo i ,5 1z22
22
calcular o valor de
1 1 z1z21z3 1 ... 1 z 15.
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Capítulo 28 números complexos
42. (Fuvest-SP) O numero complexo z i 0 e o seu inver-
so z1 têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
a) ezz1 são conjugados.
b) z 1 z1
5 i
c) este módulo é 2.
d) ezz1 são reais.
e) z2 5 1
43. (Fuvest-SP) Determine os números complexos z
que sa tisfazem, simultaneamente, |z| 5 2 e
.ii
12
Imz1 2
1=e o
Lembretes: i2 5 21; w 5 a 1 bi, com a e b reais, então
1w a b2 2= e Im(w) 5 b.
44. (Fuvest-SP)
a) Determine todas as soluções, no campo comple-xo, da equação z 5 iz2 , onde i é a unidade imagi-nária, isto é, i2 5 21, e z é o conjugado de z.
b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o sistema de coordenadas desenhado a seguir.
Re (z)
Im (z)
45. (Fuvest-SP) Nos itens a seguir, z denota um número complexo e i aunidade imaginária (i2 5 21). Supo-nha z i i.
a) Para quais valores de z tem-se ii
11
zz1
5 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de z
para os quais ii
11
zz1
é um número real.
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