basis ruang vektor eigen suatu matriks atas …eprints.uns.ac.id/21294/1/cover.pdf · mengkaji...
Post on 30-Jun-2019
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS
ATAS ALJABAR MAX-PLUS
oleh
PUNDRA ANDRIYANTO
M0109057
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
MOTO
1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6).
2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai
pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan
hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. Al-
Israa’:36).
3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya
setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan.
Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan
Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan
barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena
wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju
(niatkan) (H.R.Bukhari-Muslim).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
PERSEMBAHAN
Tulisan ini kupersembahkan untuk
Ibu, Bapak, Saudaraku, serta untuk teman-temanku,
terimakasih atas bantuan yang telah diberikan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
ABSTRAK
Pundra Andriyanto, 2013. BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU
MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan * + yang
dilengkapi dengan dua operasi dan . Himpunan matriks berukuran atas
Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai . Penelitian ini bertujuan untuk
mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam
Aljabar Max-Plus. Misalkan , matriks disebut tak terreduksi jika
strongly connected. Jika matriks tak terreduksi maka mempunyai nilai eigen
tunggal, tetapi jika matriks terreduksi maka mempunyai nilai eigen sebanyak
( ). Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu
perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga elemen-
elemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak
terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks
untuk nilai eigen yang bersesuaian.
Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal
Form (FNF), himpunan peta.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
ABSTRACT
Pundra Andriyanto, 2013. BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR
MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and
Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-Plus Algebra is a set * + equipped with two operation
and . The set of matrix over Max-Plus Algebra denoted as . The aim
of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space
in Max-Plus Algebra. Let , matrix is called irreducible if has a
strongly connected. If matrix is irreducible then has a unique eigenvalue, but
if matrix is reducible then has ( ) eigenvalues. To determine
eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal
Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square
submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix are determined by
theirs eigenvalues.
Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form
(FNF), image set.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan
hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan skripsi ini, khususnya kepada
1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik
Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan
kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,
2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas,
3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat
penulis sebut satu per satu.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Surakarta, Januari 2014
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR ISI
JUDUL ........................................................................................................ i
PENGESAHAN .......................................................................................... ii
MOTO ......................................................................................................... iii
PERSEMBAHAN ....................................................................................... iv
ABSTRAK .................................................................................................. v
ABSTRACT .................................................................................................. vi
KATA PENGANTAR ................................................................................. vii
DAFTAR ISI ............................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................. x
DAFTAR TABEL ....................................................................................... xi
DAFTAR NOTASI ..................................................................................... xii
I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang Masalah ................................................................. 1
1.2. Perumusan Masalah ........................................................................ 2
1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 3
1.4. Tujuan .............................................................................................. 3
1.5. Manfaat ............................................................................................ 3
II LANDASAN TEORI ................................................................................... 4
2.1. Tinjauan Pustaka ............................................................................. 4
3.1.1. Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa ......................................... 4
3.1.2. Aljabar Max-Plus ................................................................. 4
3.1.3. Digraf ................................................................................... 5
3.2. Kerangka Pemikiran ....................................................................... 9
III METODE PENELITIAN ............................................................................ 10
IV PEMBAHASAN ......................................................................................... 11
4.1. Nilai Eigen Utama .......................................................................... 11
4.2. Menentukan Semua Nilai Eigen ...................................................... 23
4.3. Menentukan Semua Vektor Eigen .................................................. 28
4.4. Himpunan Peta Suatu Matriks ........................................................ 30
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ix
V PENUTUP ................................................................................................... 37
5.1. Kesimpulan ..................................................................................... 37
5.2. Saran ................................................................................................ 37
DAFTAR PUSTAKA 38
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR GAMBAR
1 Contoh digraf .............................................................................................. 6
2 Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer ......................................... 7
3 Digraf untuk Contoh 4.1.1 .......................................................................... 16
4 Digraf untuk Contoh 4.1.2 .......................................................................... 17
5 Digraf untuk Contoh 4.1.3 .......................................................................... 22
6 Condensation digraph untuk matriks ...................................................... 26
7 Condensation digraph ................................................................................. 28
8 Condensation digraph untuk matriks pada Contoh 4.4.1 ........................... 36
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xi
DAFTAR TABEL
1 Cycle elementer dari Gambar 4.1 ............................................................. 16
2 Cycle elementer dari Gambar 4.2 ............................................................. 17
3 Cycle elementer dari Gambar 4.3 ............................................................. 22
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xii
DAFTAR NOTASI
: himpunan bilangan real
: * +
: operasi maksimum
: operasi penjumlahan
:
: 0
: himpunan matriks aljabar max-plus berukuran
: himpunan bilangan asli
: vektor yang semua elemennya
: matriks yang semua elemennya
: invers dari
( ) : himpunan peta dari
: invers dari matriks
: matriks permutasi
: himpunan node
: himpunan arc
( ) : entri matriks
( ) : digraf
( ) : weight digraph
: path
( ) : bobot path dari node ke node
: cycle
: dapat dicapai dari
: associated weighted digraph dari
( ) : matriks metrik dari
( ) : panjang dari cycle
( ) : bobot dari cycle pada
( ) : bobot rata-rata cycle pada
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xiii
( ) : nilai eigen matriks
: matriks pangkat aljabar max-plus
( ) : himpunan vektor eigen dari yang bersesuaian dengan
( ) : himpunan semua nilai eigen dari
( ) : himpunan semua vektor eigen dari yang bersesuaian
dengan
( ) : himpunan vektor eigen berhingga dari yang bersesuaian
dengan
( ) : himpunan semua vektor eigen berhingga dari yang
bersesuaian dengan
( ) : himpunan eigen nodes atau critical nodes
( ) : critical digraph dari
: ekuivalen dengan
: himpunan kosong
( ( ) ) : kelas ekuivalensi dari ( )
( ) : himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari
, - : principal submatriks dari
, - : subvektor dari vektor
, - : induced subdigraph dari
: submatriks persegi yang tak terreduksi dari
: node untuk matriks
: condensation digraph dari matriks yang FNF
: submatriks lain dari
| ( )| : kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks
( ) : himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
yang FNF dengan nilai eigen
( ) : himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
dengan nilai eigen
: ekuivalen
: akhir pembuktian
top related