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Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Ingenieurwissenschaften
(Dr-Ing)
vom Fachbereich
Bauingenieurwesen
der Universitaumlt Siegen
genehmigte
Dissertation
von
Dipl-Ing Jens Strohbusch
Referent Prof Dr-Ing Alfons Goris
Korreferent Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang
Tag der muumlndlichen Pruumlfung 15 Juni 2010
Siegen 2010
Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand waumlhrend meiner Taumltigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl fuumlr Massivbau der Universitaumlt Siegen
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof Dr-Ing Alfons Goris fuumlr die Unterstuumltzung und Foumlrderung meiner Arbeit sowie die vertrauensvolle und lehrreiche Zeit die ich am Lehrstuhl fuumlr Massivbau verbringen durfte
Herrn Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang moumlchte ich sehr herzlich fuumlr das Interesse an meiner Arbeit und fuumlr die Uumlbernahme des Korreferates danken
Wegen der Freundlichkeit und Hilfsbereitschaft der Kolleginnen und Kollegen des Fach-bereichs Bauingenieurwesen wird mir die Zeit an der Universitaumlt Siegen stets in guter Erinnerung bleiben Hier danke ich besonders Herrn Dipl-Ing Oliver Carl fuumlr die anregenden Diskussionen
Meinen Eltern danke ich fuumlr ihre liebevolle Unterstuumltzung die mir waumlhrend meines Studiums des Bauingenieurwesens eine groszlige Hilfe war
Siegen im Juni 2010 Jens Strohbusch
Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Verformungen von Stahlbetonbauteilen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit untersucht Da insbesondere bei Plattentragwerken eine ausreichende Verformungsbegrenzung haumlufig den maszliggebenden Einfluss auf die Dimensionierung hat ist eine ausreichend genaue Bestimmung der Durchbiegung notwendig um wirtschaftliche und schadensfreie Konstruktionen zu erhalten Wegen des nichtlinearen Verhaltens von Stahlbeton und den streuenden und zeitabhaumlngigen Materialeigenschaften ist eine genauere Durchbiegungsberechung mit einem groszligen Rechenaufwand verbunden ist so dass in der Praxis gerne auf Konstruktionsregeln (Nachweis der bdquoBiegeschlankheitldquo) zuruumlckgegriffen wird
Die derzeit bestehenden Regelungen werden in der Arbeit kritisch uumlberpruumlft Dabei ist zum einen festzustellen dass die Ergebnisse der verschiedenen Nachweisverfahren zum Teil erhebliche Unterschiede liefern Ursache dafuumlr ist insbesondere dass bei einigen Verfahren wichtige Eingangsgroumlszligen wie bspw Betonfestigkeit und Belastung unberuumlcksichtigt bleiben
Fuumlr eine differenziertere Betrachtung wird zunaumlchst ein eigenes Berechnungsverfahren entwickelt so dass wesentliche Einflussfaktoren herausgearbeitet werden koumlnnen Besondere Schwerpunkte sind dabei die Modellierung der Langzeiteinfluumlsse (Kriechen und Schwinden) das Erfassen der Rissbildung uumlber die Zug- und Biegezugfestigkeit des Betons und das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton uumlber den Verbund
Die Berechnung mit Nettoquerschnittswerten ist moumlglich Durch Untersuchungen an ver-schiedenen Querschnitten aus Normalbeton kann nachgewiesen werden dass der Einfluss von Nettoquerschnittswerten fuumlr uumlbliche Betonfestigkeitsklassen vernachlaumlssigbar klein ist
Auszligerdem wird die Teilfertigung mit einer Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt Es werden fuumlr einige Varianten Berechnungsmethoden erstellt und in eine EDV-Anwendung implementiert Es werden die zeitabhaumlngigen Spannungsumlagerungen beim Kriechen und Schwinden sowohl zwischen Beton und Bewehrung als auch zwischen Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt
Mit dem entwickelten Berechnungsverfahren koumlnnen bereits bestehende Nachweisverfahren kritisch uumlberpruumlft werden Schwerpunkt liegt hier auf die sog Biegeschlankheitsnachweise ndash insbes auch in DIN 1045-12008 ndash die sich in der Praxis wegen der einfachen Handhabbarkeit groszliger Beliebtheit erfreuen Es kann gezeigt werden dass die gaumlngigen Verfahren nur bedingt geeignet sind Anforderungen an eine Durchbiegungsbegrenzung zu erfuumlllen Das gilt insbesondere fuumlr den in DIN 1045-1 enthaltene Nachweis der sich trotz technischer Veraumlnderungen in der Bemessung und der Konstruktion noch auf Untersuchungen aus den 60er Jahre bezieht
Abschlieszligend wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt dass auf der Basis des bekannten Biegeschlankheitsnachweises weiter entwickelt wird Es koumlnnen weitere maszliggebende Parameter beruumlcksichtigt werden und so die Qualitaumlt des bisherigen Verfahrens deutlich verbessert werden
I
Inhalt 1 Einleitung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 11 Motivation und Zielsetzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 12 Aufbau der Arbeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 2 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 21 Verformungen und ihre Folgen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
3 Stand der Technik helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 313 Vergleich der Schlankheitsnachweise helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literaturhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 36 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 4 Materialverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 41 Beton helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 411 Kurzzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 412 Langzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 42 Betonstahl Spannstahl helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 43 Verbund helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung helliphelliphellip 39 52 Einfluss des Schwindens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares hellip 40 522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphellip 47 523 Schwinden nach EN 1992-1-1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 526 Schwinden im Zustand IIm helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 53 Einfluss des Kriechens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53 531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphelliphelliphellip 53 532 Ansatz nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56 533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93
7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
koumlrnung alkstein
aumlngigkeit von
sich i d Rnn der Fakt
+ sdot +8 0 2 ck (f
s der akas Verhaumlltn
pannung
hZehetmaier
st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
R auf die Fetor βcc(t) aus
+ le8 88 1)
ktuellen Denis der Ela
ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
Werte in Klam
en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
annungs-
(44)
r Kriech-
(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9 Stuumltzweite [m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
0
10
20
30
40
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
elas
tisch
e Ve
rfor
mun
g [m
m]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Ges
amtv
erfo
rmun
g [m
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
it un
d Ve
rfor
mun
g
in P
roze
nt (a
uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand waumlhrend meiner Taumltigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl fuumlr Massivbau der Universitaumlt Siegen
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof Dr-Ing Alfons Goris fuumlr die Unterstuumltzung und Foumlrderung meiner Arbeit sowie die vertrauensvolle und lehrreiche Zeit die ich am Lehrstuhl fuumlr Massivbau verbringen durfte
Herrn Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang moumlchte ich sehr herzlich fuumlr das Interesse an meiner Arbeit und fuumlr die Uumlbernahme des Korreferates danken
Wegen der Freundlichkeit und Hilfsbereitschaft der Kolleginnen und Kollegen des Fach-bereichs Bauingenieurwesen wird mir die Zeit an der Universitaumlt Siegen stets in guter Erinnerung bleiben Hier danke ich besonders Herrn Dipl-Ing Oliver Carl fuumlr die anregenden Diskussionen
Meinen Eltern danke ich fuumlr ihre liebevolle Unterstuumltzung die mir waumlhrend meines Studiums des Bauingenieurwesens eine groszlige Hilfe war
Siegen im Juni 2010 Jens Strohbusch
Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Verformungen von Stahlbetonbauteilen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit untersucht Da insbesondere bei Plattentragwerken eine ausreichende Verformungsbegrenzung haumlufig den maszliggebenden Einfluss auf die Dimensionierung hat ist eine ausreichend genaue Bestimmung der Durchbiegung notwendig um wirtschaftliche und schadensfreie Konstruktionen zu erhalten Wegen des nichtlinearen Verhaltens von Stahlbeton und den streuenden und zeitabhaumlngigen Materialeigenschaften ist eine genauere Durchbiegungsberechung mit einem groszligen Rechenaufwand verbunden ist so dass in der Praxis gerne auf Konstruktionsregeln (Nachweis der bdquoBiegeschlankheitldquo) zuruumlckgegriffen wird
Die derzeit bestehenden Regelungen werden in der Arbeit kritisch uumlberpruumlft Dabei ist zum einen festzustellen dass die Ergebnisse der verschiedenen Nachweisverfahren zum Teil erhebliche Unterschiede liefern Ursache dafuumlr ist insbesondere dass bei einigen Verfahren wichtige Eingangsgroumlszligen wie bspw Betonfestigkeit und Belastung unberuumlcksichtigt bleiben
Fuumlr eine differenziertere Betrachtung wird zunaumlchst ein eigenes Berechnungsverfahren entwickelt so dass wesentliche Einflussfaktoren herausgearbeitet werden koumlnnen Besondere Schwerpunkte sind dabei die Modellierung der Langzeiteinfluumlsse (Kriechen und Schwinden) das Erfassen der Rissbildung uumlber die Zug- und Biegezugfestigkeit des Betons und das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton uumlber den Verbund
Die Berechnung mit Nettoquerschnittswerten ist moumlglich Durch Untersuchungen an ver-schiedenen Querschnitten aus Normalbeton kann nachgewiesen werden dass der Einfluss von Nettoquerschnittswerten fuumlr uumlbliche Betonfestigkeitsklassen vernachlaumlssigbar klein ist
Auszligerdem wird die Teilfertigung mit einer Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt Es werden fuumlr einige Varianten Berechnungsmethoden erstellt und in eine EDV-Anwendung implementiert Es werden die zeitabhaumlngigen Spannungsumlagerungen beim Kriechen und Schwinden sowohl zwischen Beton und Bewehrung als auch zwischen Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt
Mit dem entwickelten Berechnungsverfahren koumlnnen bereits bestehende Nachweisverfahren kritisch uumlberpruumlft werden Schwerpunkt liegt hier auf die sog Biegeschlankheitsnachweise ndash insbes auch in DIN 1045-12008 ndash die sich in der Praxis wegen der einfachen Handhabbarkeit groszliger Beliebtheit erfreuen Es kann gezeigt werden dass die gaumlngigen Verfahren nur bedingt geeignet sind Anforderungen an eine Durchbiegungsbegrenzung zu erfuumlllen Das gilt insbesondere fuumlr den in DIN 1045-1 enthaltene Nachweis der sich trotz technischer Veraumlnderungen in der Bemessung und der Konstruktion noch auf Untersuchungen aus den 60er Jahre bezieht
Abschlieszligend wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt dass auf der Basis des bekannten Biegeschlankheitsnachweises weiter entwickelt wird Es koumlnnen weitere maszliggebende Parameter beruumlcksichtigt werden und so die Qualitaumlt des bisherigen Verfahrens deutlich verbessert werden
I
Inhalt 1 Einleitung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 11 Motivation und Zielsetzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 12 Aufbau der Arbeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 2 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 21 Verformungen und ihre Folgen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
3 Stand der Technik helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 313 Vergleich der Schlankheitsnachweise helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literaturhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 36 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 4 Materialverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 41 Beton helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 411 Kurzzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 412 Langzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 42 Betonstahl Spannstahl helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 43 Verbund helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung helliphelliphellip 39 52 Einfluss des Schwindens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares hellip 40 522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphellip 47 523 Schwinden nach EN 1992-1-1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 526 Schwinden im Zustand IIm helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 53 Einfluss des Kriechens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53 531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphelliphelliphellip 53 532 Ansatz nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56 533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93
7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
koumlrnung alkstein
aumlngigkeit von
sich i d Rnn der Fakt
+ sdot +8 0 2 ck (f
s der akas Verhaumlltn
pannung
hZehetmaier
st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
R auf die Fetor βcc(t) aus
+ le8 88 1)
ktuellen Denis der Ela
ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
Werte in Klam
en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
annungs-
(44)
r Kriech-
(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
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10
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30
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50
15 3 45 6 75 9 Stuumltzweite [m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
erf
Nut
zhoumlh
e [c
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81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
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15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
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15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
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elas
tisch
e Ve
rfor
mun
g [m
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Ges
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rmun
g [m
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
0
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15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
0
250
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1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
0
250
500
750
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15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
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uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
Literaturverzeichnis
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Verformungen von Stahlbetonbauteilen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit untersucht Da insbesondere bei Plattentragwerken eine ausreichende Verformungsbegrenzung haumlufig den maszliggebenden Einfluss auf die Dimensionierung hat ist eine ausreichend genaue Bestimmung der Durchbiegung notwendig um wirtschaftliche und schadensfreie Konstruktionen zu erhalten Wegen des nichtlinearen Verhaltens von Stahlbeton und den streuenden und zeitabhaumlngigen Materialeigenschaften ist eine genauere Durchbiegungsberechung mit einem groszligen Rechenaufwand verbunden ist so dass in der Praxis gerne auf Konstruktionsregeln (Nachweis der bdquoBiegeschlankheitldquo) zuruumlckgegriffen wird
Die derzeit bestehenden Regelungen werden in der Arbeit kritisch uumlberpruumlft Dabei ist zum einen festzustellen dass die Ergebnisse der verschiedenen Nachweisverfahren zum Teil erhebliche Unterschiede liefern Ursache dafuumlr ist insbesondere dass bei einigen Verfahren wichtige Eingangsgroumlszligen wie bspw Betonfestigkeit und Belastung unberuumlcksichtigt bleiben
Fuumlr eine differenziertere Betrachtung wird zunaumlchst ein eigenes Berechnungsverfahren entwickelt so dass wesentliche Einflussfaktoren herausgearbeitet werden koumlnnen Besondere Schwerpunkte sind dabei die Modellierung der Langzeiteinfluumlsse (Kriechen und Schwinden) das Erfassen der Rissbildung uumlber die Zug- und Biegezugfestigkeit des Betons und das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton uumlber den Verbund
Die Berechnung mit Nettoquerschnittswerten ist moumlglich Durch Untersuchungen an ver-schiedenen Querschnitten aus Normalbeton kann nachgewiesen werden dass der Einfluss von Nettoquerschnittswerten fuumlr uumlbliche Betonfestigkeitsklassen vernachlaumlssigbar klein ist
Auszligerdem wird die Teilfertigung mit einer Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt Es werden fuumlr einige Varianten Berechnungsmethoden erstellt und in eine EDV-Anwendung implementiert Es werden die zeitabhaumlngigen Spannungsumlagerungen beim Kriechen und Schwinden sowohl zwischen Beton und Bewehrung als auch zwischen Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt
Mit dem entwickelten Berechnungsverfahren koumlnnen bereits bestehende Nachweisverfahren kritisch uumlberpruumlft werden Schwerpunkt liegt hier auf die sog Biegeschlankheitsnachweise ndash insbes auch in DIN 1045-12008 ndash die sich in der Praxis wegen der einfachen Handhabbarkeit groszliger Beliebtheit erfreuen Es kann gezeigt werden dass die gaumlngigen Verfahren nur bedingt geeignet sind Anforderungen an eine Durchbiegungsbegrenzung zu erfuumlllen Das gilt insbesondere fuumlr den in DIN 1045-1 enthaltene Nachweis der sich trotz technischer Veraumlnderungen in der Bemessung und der Konstruktion noch auf Untersuchungen aus den 60er Jahre bezieht
Abschlieszligend wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt dass auf der Basis des bekannten Biegeschlankheitsnachweises weiter entwickelt wird Es koumlnnen weitere maszliggebende Parameter beruumlcksichtigt werden und so die Qualitaumlt des bisherigen Verfahrens deutlich verbessert werden
I
Inhalt 1 Einleitung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 11 Motivation und Zielsetzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 12 Aufbau der Arbeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 2 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 21 Verformungen und ihre Folgen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
3 Stand der Technik helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 313 Vergleich der Schlankheitsnachweise helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literaturhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 36 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 4 Materialverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 41 Beton helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 411 Kurzzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 412 Langzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 42 Betonstahl Spannstahl helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 43 Verbund helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung helliphelliphellip 39 52 Einfluss des Schwindens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares hellip 40 522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphellip 47 523 Schwinden nach EN 1992-1-1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 526 Schwinden im Zustand IIm helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 53 Einfluss des Kriechens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53 531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphelliphelliphellip 53 532 Ansatz nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56 533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93
7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
koumlrnung alkstein
aumlngigkeit von
sich i d Rnn der Fakt
+ sdot +8 0 2 ck (f
s der akas Verhaumlltn
pannung
hZehetmaier
st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
R auf die Fetor βcc(t) aus
+ le8 88 1)
ktuellen Denis der Ela
ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
Werte in Klam
en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
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(44)
r Kriech-
(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
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81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
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EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
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20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
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in P
roze
nt (a
uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
I
Inhalt 1 Einleitung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 11 Motivation und Zielsetzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 12 Aufbau der Arbeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 2 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 21 Verformungen und ihre Folgen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
3 Stand der Technik helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 313 Vergleich der Schlankheitsnachweise helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literaturhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 36 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 4 Materialverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 41 Beton helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 411 Kurzzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 412 Langzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 42 Betonstahl Spannstahl helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 43 Verbund helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung helliphelliphellip 39 52 Einfluss des Schwindens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares hellip 40 522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphellip 47 523 Schwinden nach EN 1992-1-1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 526 Schwinden im Zustand IIm helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 53 Einfluss des Kriechens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53 531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphelliphelliphellip 53 532 Ansatz nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56 533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93
7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
koumlrnung alkstein
aumlngigkeit von
sich i d Rnn der Fakt
+ sdot +8 0 2 ck (f
s der akas Verhaumlltn
pannung
hZehetmaier
st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
R auf die Fetor βcc(t) aus
+ le8 88 1)
ktuellen Denis der Ela
ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
Werte in Klam
en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
annungs-
(44)
r Kriech-
(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
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81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
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EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
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Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
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in P
roze
nt (a
uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
II
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93
7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
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+ sdot +8 0 2 ck (f
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pannung
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st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
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+ le8 88 1)
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ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
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en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
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(44)
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(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
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81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
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EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
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DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
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20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
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in P
roze
nt (a
uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
III
72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133
1
1 Einleitung
11 Motivation und Zielsetzung
Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)
Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)
In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen
Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt
Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich
Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist
12 Aufbau der Arbeit
2
In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar
Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt
Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten
12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen
In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt
In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt
1 Einleitung
3
Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht
Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann
Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten
In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert
Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken
Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben
12 Aufbau der Arbeit
4
5
2 Allgemeines
21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand
Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen
- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden
- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)
- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren
- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden
- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren
Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung
6 Kapitel 2 Allgemeines
Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an
Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit
Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7
Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte
Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])
Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet
Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]
Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen
8 Kapitel 2 Allgemeines
Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung
Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden
Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam
Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten
Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]
Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])
22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 9
- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)
- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)
Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden
Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen
Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken
Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten
- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile
10 Kapitel 2 Allgemeines
11
3 Stand der Technik
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen
- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)
- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern
Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen
311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1
Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten
- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502
iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)
Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)
Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]
12 Kapitel 3 Stand der Technik
Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden
)(41)(841
21
21
mmmm
++++
=α (32)
mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge
Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind
Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)
312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)
Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist
0
23
00 wenn1235111 ρρρρ
ρρ
le⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus++= ckck ffK
dL (33a)
00
0 wenn121
5111 ρρ
ρρ
ρρρ
gt⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
minus+= ckck ffK
dL (33b)
mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es
gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm
ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das
Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)
31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13
Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen
reqs
provs
yks AA
f
500310sdotasymp
σ (34)
Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)
Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)
Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))
313 Vergleich der Schlankheitsnachweise
Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)
Grenzwert L250
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Grenzwert L500
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2
Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )
14 Kapitel 3 Stand der Technik
32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt
Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)
III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)
Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird
2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)
mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden
Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden
)(1 0 t
EE cmeffc infin+
=ϕ
(38)
Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt
IS
r ecscs
sdotsdot= αε1 (39)
Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton
Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15
33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten
Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen
)1( ϕ+sdot= elI ww (310)
Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden
elII wdhw sdot⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot+sdot
sdotsdotminus
=3
70 )10750(10
201 ϕρ
ρ (311)
In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind
Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden
Bauteile ρ = 15 ρ = 05
Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32
Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35
Flachdecken 21 30
Kragbalken und Kragplatten 7 10
Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]
Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt
16 Kapitel 3 Stand der Technik
Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung
)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k
BM
r I
(312)
mit ( )121 1251
1ss AA
k+sdot+
=ρϕ (313)
As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl
BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul
M Biegemoment unter Gebrauchslast
Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt
)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk
BM
r MII
(314)
mit 2
311 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminusminus=
MMkk
BBk cr
DI
IIM ϕ (315)
1
1
22
21
151ϕϕ k
dx
dx
AA
k II
II
s
s
lesdot
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (316)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ sdot+
sdot+=
2
13 1
1kk
k (317)
xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt
Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung
In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17
34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden
Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt
iic Lkd λsdotle (318)
mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)
λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250
k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34
kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2
Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten
zul Durchbiegung L 250 L 500
Li (in m)λi
le 40 60 80 10 29 26 23 21
le 40 60 80 10 23 19 16 14
Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten
Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung
λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw
k1 = 056 bei L 500
berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen
Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη
Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 3 23 065020004730 LL kk sdotminussdot+=η
Platte 4 24 162057801030 LL kk sdotminussdot+=η
mit yxL LLk = und yx LL ge
18 Kapitel 3 Stand der Technik
Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi
Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger
100 080 070 250
L 250
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
28 26 23 21 19
L 500
le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m
16 15 14 13 13
Tafel 35 Beiwerte α1 und λi
Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)
Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32
0
21
00 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot=
ck
ck
i ff
LL
dL λ (319)
mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren
Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250
Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die
35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19
Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden
Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab
Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht
Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist
In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde
- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden
jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-
keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]
- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt
Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I
aIIk aka 0sdot= (320)
20 Kapitel 3 Stand der Technik
mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0
ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr
MrareMcr ψ ω
le 10 12 15 24
34 40 43 47
-002 -024 -035 -040
Tafel 37 Beiwerte ψ und ω
36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen
Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2
Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt
In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden
Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt
36 Vergleichendes Beispiel 21
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24
Kon
stru
ktio
nsre
gel EN 1992-1
vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26
EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
21 21
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 27
25 40
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30
Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30
Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)
zulaumlssige Durchbiegung
gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500
DIN 1045-1 17 24 K
onst
rukt
ions
rege
l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs
20 20
EN 1991-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs
22 22
KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32
Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na
OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 20 20
SIA 262 Zustand I Zustand II
18 23
25 31
Ber
echn
ung
KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 24 28
Heft 240 erwarteter Mittelwert 19 26
Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)
22 Kapitel 3 Stand der Technik
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter
Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt
23
4 Materialverhalten
41 Beton
Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend
Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo
Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung
Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit
Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen
Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]
24 Kapitel 4 Materialverhalten
411 Kurzzeitverhalten
Druckfestigkeit
Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden
Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln
σsdotminus= 641cmck ff (41a)
Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben
28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)
Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden
)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)
mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
Tcc t
st 281exp)(β
mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41
Festigkeitsklasse des Zementes
325
325 R 425
425 R 525
s 038 025 020
Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse
Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist
Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))
41 Beto
ck+
=σ1
Dabei = minus1 1k
und fc d
A
Elastizi
Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun
Die Ermzahl nac
Der Elaquarzitiskation m
T
Der Elahaumlngige
=cmE α
0 9=mcE
on
fk
ksdot
sdotminus+minussdot
ηηη)2(
2
ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE
ie maximal
Abb 42 Las
itaumltsmodul
pannungs-Dngegangen
estigkeit vonausgegangeDehnungsku
[DIN 1045ngslinie bere
mittlung desch [DIN 104
astizitaumltsmosche Zusch
mit dem Fak
Art derBasaltQuarzKalksteSands
Tafel 42 Faksind
astizitaumltsmoder Wert ben
sdot 0 mi c mα E
(9500 +sdot ckf
cf
1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba
t-Dehnungsbe
l
Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs
5-1 ndash 08] aechnet werd
s Tangente45-1 ndash 08] z
odul ist starhlage anwenktor αE beruuml
r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein
ktor αE in Abhd Mittelwerte
dul bezieht oumltigt so ka
=mit 0 8iα
31)8
Verhaumlltniswert der daare Drucksp
eziehung [Zilc
erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe
sprung und aus dem Taden
nmoduls wzugrunde lie
rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w
koumlrnung alkstein
aumlngigkeit von
sich i d Rnn der Fakt
+ sdot +8 0 2 ck (f
s der akas Verhaumlltn
pannung
hZehetmaier
st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm
welcher beisegt erfolgt d
rwendeten Zere koumlnnen werden
1000
der Gesteins
R auf die Fetor βcc(t) aus
+ le8 88 1)
ktuellen Denis der Ela
ndash 06]
er den Elastnn bei Spanerhalten un
er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i
spielsweisedirekt aus d
Zuschlag agemaumlszlig [DA
αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085
koumlrnung nach
estigkeit nas Gl (42) v
ehnung zustizitaumltsmod
tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun
e der Bestimer Druckfes
abhaumlngig DAfStb-H525
(120) (100) (090) (070)
[DAfStb -03]
ach 28 Tageverwendet w
ur Bruchddule beruumlck
ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta
waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa
mmung derstigkeit
Die Gl (45ndash 03] uumlber
Werte in Klam
en Wird einwerden
25
(43)
dehnung ksichtigt
ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann
annungs-
(44)
r Kriech-
(45)
5) ist fuumlr Multipli-
mmern
n zeitab-
26 Kapitel 4 Materialverhalten
Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule
Zugfestigkeit
Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)
In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten
Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen
Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit
3230 ckctm ff sdot= (46)
Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet
( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)
Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen
41 Beton 27
Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung
Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung
70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot= (h in mm) (48)
In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung
ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)
Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(
[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2
wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=
[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=
[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70
70
)100(51)100(511
hhff ctmflct sdot
sdot+sdot=
[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=
[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash
Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046
Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit
Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den
3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den
28 Kapitel 4 Materialverhalten
verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert
a) b)
Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
a) b)
Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und vari- abler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000
Ris
smom
ent [
kNm
]
Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
00100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]
DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov
EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 10 20 30 40 50 60
Ris
smom
ent [
kNm
]
Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz
DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz
Malcov βz
EC 2 fctflNoakowski βz
Leonhardt βz
41 Beton 29
412 Langzeitverhalten
Kriechen
Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)
Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)
Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden
Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf
In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])
Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern
30 Kapitel 4 Materialverhalten
Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden
Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben
))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)
mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt
)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)
berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst
)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)
mit 213
10 1010011 ααϕ sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
+=hh
RHRH (413)
cmcm ff 816)( =β (414)
2010
0 )(101)(
ttt
eff+=β (415)
Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins
30
10
100 )(
)()( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+
minus=
tttttttt
Hc β
β (416)
mit 331
018
1500250100
211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdot+sdot=
hhRH
H (417)
Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]
Tage501)tt(2
9tt 2110
0eff0 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+sdot=
α
RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist
41 Beton 31
h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70
1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50
3 )35( cmf=α fcm in Nmm2
Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden
)()(
)()(
)(0
00 tE
tEt
tttt
c
c
el
crc sdot=ε
εϕ (418)
Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot=+=
mc
cmelccrcelcc E
Etttttt0
000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)
Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])
In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf
ττϕττσσσϕσε
ττ
dtEEE
t
cc
tt
ct sdot
partpart
sdot+minus
++sdot= int=
)()(1)1(0
00 (420)
Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in
)1()1( 00t
c
tt
ct EE
ϕρσσϕσε sdot+sdotminus
++sdot= (421)
Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen
Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt
Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen
Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]
32 Kapitel 4 Materialverhalten
Schwinden
Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden
- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in
den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]
- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung
- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht
- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung
Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])
Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-
szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden
- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der
Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-
niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein
41 Beton 33
Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre
Betonfes-tigkeits-klasse
Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200
innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020
Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren
In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert
)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)
Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)
)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)
mit 6
52
0
00 10
6)( minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sdotminus=cmcm
cmcmascmcas ff
fff αε
( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β
Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45
Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht
)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)
mit 6
0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50
12
10
1
)()(350)(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+sdot
minus=minus
ttthhttt
tts
ssdsβ (426)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
sdotge
sdotltle⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminus=
1
1
3
0
99250
99401551
s
sRH
RHfuumlr
RHfuumlrRHRH
β
ββ (427)
34 Kapitel 4 Materialverhalten
Dabei sind 01)50( 10
01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den
Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2
Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012
Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp
Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1
SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R
Tafel 46 Definition der Zementtypen
Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt
42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])
Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden
43 Verbund 35
Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])
43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt
- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung
Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])
Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung
Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden
Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen
36 Kapitel 4 Materialverhalten
[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an
)()( max xsx ssαττ sdot= (428)
mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante
Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben
)()1(
)( max txstxv
ss
ααϕ
ττ sdot
+= (429)
Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])
Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm
Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)
bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben
αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21
max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21
max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons
zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab
bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)
Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz
43 Verbund 37
Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21
max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21
max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht
Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung
τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)
Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21
max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den
reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt
max150 ττ sdot=R (433)
Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]
[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an
)()( xsCxsατ sdot= (434)
Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α
Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden
Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN
23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des
38 Kapitel 4 Materialverhalten
Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds
= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)
32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)
Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)
39
5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man
ϕ=minusdxdw (51)
Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet
dxdϕκ = und somit 2
2
dxwd
=κ (52)
Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M
int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)
Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment
int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)
mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades
Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung
40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
EIGA
EA
MVN
V
000000
(55)
Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen
elc⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡sdot=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κγε
ϕκγε
(56)
Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird
Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt
52 Einfluss des Schwindens
521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares
5211 Grundsaumltzliches
Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (58)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (59)
Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet
Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)
12
1122 )(
ss
ssssSs AA
AdhAdz+
sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)
sum sdotsdot=j
isicc
Sc zAA
z1
1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)
52 Einfluss des Schwindens 41
Zustand I Zustand II
z Id s
2d s
1
d h
Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II
Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet
s
ssssI
dhdhzρρρ
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
=2
)2()2( 2211 (511)
1 2 22 22
s s sII
s
( ) ( d d )z d
ρ ξ ρ ξρ
sdot minus minus sdot minus sdot= sdot
sdot mit dx =ξ (512a)
bzw
2)1(
2)2()2( 2211 hdhdh
z hs
ssssII sdotminus+
sdotsdotminussdotminussdotminussdot
= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)
mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen
Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden
Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)
Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 2
ϕραρϕρα
εε
esc
sIse
csIss
IIAz
(513)
42 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(2
ϕραρϕρα
ϕραρεεε
esc
sIse
escscs
Ics
IIAz
(514)
mit
12
3hbIcsdot
= ρ ρρsdot
= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s
s ss
I b h d d hbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+=
]1[)1(1 3
2
ϕραξξρϕρα
εε
esc
sIIse
csIIss
IIAz
(515)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdot+
sdot+sdotsdotsdotminus=
]1[)1(1
)1(
32
ϕραξξρϕρα
ϕραξρεεε
esc
sIIse
escscs
IIcs
IIAz
(516)
Dabei sind
12
3dbIcsdot
= 22
21 )()( ss
sss dddbI minussdotsdotsdot
sdot=
ρρρ
dbAA ss
s sdot+
= 21ρ
Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt
5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt
Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt
Zustand I
Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)
ndash Schwerpunkt der Bewehrung
s
sss
ss
sssSs
hddhAA
AhdAdhz
ρρρ )2()2(
)2()2(
122
21
122
minussdot++minussdot=
+sdotminus+sdot+minus
=
(517)
ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)
s
sss
ss
sssSc
hddhAbhAbh
AhdbhhAdhbhhz
ρρρ
minusminussdotminus+minussdotminus
=
minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus
=
1)2()2(
22)2(22)2(22
122
12
122
(518)
52 Einfluss des Schwindens 43
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
[ ]
s
sssss
ssssss
s
sss
s
sssScSs
dhdh
dhdh
hddhhddhzz
ρρρρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
minus+minussdot++minussdot
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minussdot
+sdot+minussdot++minussdot=
minusminussdotminus+minussdotminus
minusminussdot++minussdot
=minus
1)2()2(
)11(11)2()2(
1)2()2()2()2(
122
122
122122
(519)
mit hbAA ss
s sdot+
= 21ρ hb
Ass sdot
= 11ρ
hbAs
s sdot= 2
2ρ
Zustand II
ndash Schwerpunkt Bewehrung
s
sssSs
dhdhzρ
ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)
ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt
dxddhxxh
AbxAdhbxxhz
s
ss
s
ssSc
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
=
minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus
=
2
22
2
22
)2()22(
)2()22(
ρρ
(521)
ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt
)()22()2()()2()(
)2()22()2()2(
2
12221
2
22122
ss
ssssss
s
ss
s
sssScSs
xhdhdhdx
ddhxxhdhdhzz
ρξρρξρρξρρξ
ρρ
ρρρ
minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+
=
sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus
minus+minussdot++minussdot
=minus (522)
mit dbAA ss
s sdot+
= 21ρ db
Ass sdot
= 11ρ
dbAs
s sdot= 2
2ρ dx
=ξ
Berechnung der Dehnungen
Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen
Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung
44 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten
sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)
sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)
sc κκ = ss
s
cc
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdotrarr )1( ϕρ
(523c)
I
ss
s
ss
s
cc
ccs
Issscc
zIE
MAE
NAE
Nz
sdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
sdotminus=rarr
)1(
ϕρε
κεε (523d)
Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt
ss
sIss
cc IEMzNM
IE sdot=sdotminusminussdot
sdotsdot+ )()1( ϕρ
)1(11
)1()1(
ϕρα
ϕραϕρα
sdot+sdotsdot+
sdotminus=rarr
sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr
cse
Iss
sc
sesIs
c
se
II
zNM
MIIMzN
II
und mit (523a) (523c) und (523d)
111
1
s s s IIcs
c c s s S s
e s c
N N N zz( )
E A E A E II I ( )
ε ρ ϕ
α ρ ϕ
sdotminus sdot + sdot = + sdot
sdot sdot sdot+
sdot sdot + sdot
21 1
1
Ics s s s
c c s s c cS s
z( )N N NE A E A E I
E I( )
ρ ϕε
ρ ϕ
+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot
sdot sdot sdotsdot +
+ sdot
)1(
1)1( 2
ϕρ
ϕρε
sdot+sdot
+sdot+
sdot+
sdotsdot+
=rarr
ccsS
I
sscc
css
IEIE
zAEAE
N (524)
Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung
)1(1)1(
2
ϕρϕρρα
εε
sdot+sdot+sdotsdotsdot
++sdot+sdotsdot=
sdot=
ccsS
Issse
cs
ss
sss
IEIEzAEAE
N (525)
sssecs
cc
c
ss
sscs
cc
ccscc AE
NAEAE
AEN
)1(
)1()1(
εϕρραε
ϕρεϕρεε
sdotsdot+sdotsdotminus=
sdot+sdotsdot
sdotsdotsdot
minus=sdot+sdotsdot
+= (526)
Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen
IIcSs
IIc
IIc
AAbxIxbA
12)(
3
=
sdot=
sdot=
ρ
cscc εε =
52 Einfluss des Schwindens 45
Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt
Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt
Zustand I I
Iss
IccI
s z εε
κminus
= (527)
Zustand II II
IIss
IIccII
s z εε
κminus
= (528)
5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten
Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt
Platten
Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt
0
05
1
15
2
25
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)
46 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Balken
Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρ s2 ρ s1
Abw
eich
ung
Netto
Bru
tto [
]
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
Abb 55 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in
Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit
Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand
-4
-2
0
2
4
6
8
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
ρs2
ρs1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01
Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015
52 Einfluss des Schwindens 47
522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren
5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung
Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc
(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen
1
1
s
sccsIcs z
εεεκ +minusminus= (529)
Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt
dcsI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot=
6040 (530)
Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)
Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (532)
Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung
Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden
)1()1(1
0
2111
11
11110
ϕρϕρ
εδδ
sdot+sdotsdotsdotsdotsdot
+sdot+sdotsdot
sdot+
sdotsdot=rarr
=sdot+
c
c
ccm
sss
ccm
ss
sscs
AA
IEzAE
AEAE
AEX
X
(533)
Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdot=minus==
c
scse
sscscs
IzA
AEFFX21
1
111
1)1(1 ϕρρα
ε (534)
48 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Somit ergibt sich die Stahldehnung zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+
=sdot
=
c
scse
cs
ss
ss
IzAAE
F21
11
11
1)1(1 ϕρρα
εε (535)
und die Betondehnung in der Schwereachse zu
111
1
)1()1()1( ssecc
ss
ss
s
cc
cc AE
AEAE
FAE
F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot
sdotsdot
minus=sdot+sdot
sdot= (536)
5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf
Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung
Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21
Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft
beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene
Kraft beschreibt
Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung
Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich
52 Einfluss des Schwindens 49
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
(537)
Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet
Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (540)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (541)
LzIE
zAE s
ccm
s
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
== 21
2112
)1(1 ϕρϕρδδ (542)
mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus
Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt
1 21 2
1 1 1 1 cm c cm c s s s s
a b c cE A E I E A E A
ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =
sdot sdot sdot sdot
Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20
21111 szbac sdot++=δ 2
2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen
0)2(0)1(
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
( )
10 12 22 12 221
12 12 11 22 12 12 11 22
2 1 1222
1
cs
cs
( ) ( )X
X X
δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ
ε δδ
sdot minus sdot minusrarr = =
sdot minus sdot sdot minus sdot
rarr = sdot minus sdot
Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man
21212
22121
221
22121 )()()(
))((cczczcbccazzba
czzzbXssss
ssscs
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot
=ε (543)
( ))(12112
222 sscs
s
zzbaXzbac
X sdotsdot+sdotminussdotsdot++
= ε (544)
Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden
50 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen
Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h
cc 12 εεκ minus=
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (545)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz
IEAEXhz
IEAEX s
ccmccms
ccmccmcsc
ϕρϕρϕρϕρεε (546)
Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet
523 Schwinden nach EN 1992-1-1
In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert
Zustand I I
I
ecsIcs I
Ssdotsdot= αεκ (547)
Zustand II II
II
ecsIIcs I
Ssdotsdot= αεκ (548)
Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann
ceffcm
1s1sIcs IE
zFsdot
sdot=κ
bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1
52 Einfluss des Schwindens 51
( )( ) ( )ϕρρααε
κsdot+sdotsdot+sdotsdot+
sdotsdotsdotminus=
1IzA11IzA
c21sc1se
c1s1seffecsIcs (549)
Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-
den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind
1seffe
1seffeI
1hd50
ραρα
ξsdot+
sdotsdot+= (550a)
2I1seffe
2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)
Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt
Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII
III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]
524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze
Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben
2Ld
ksf cssII
IIcs sdotsdotsdot=
ε (551)
mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-
heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48
sII )1(6
231 2sEIIs ραϕsdotminussdot
+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])
In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs
II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt
52 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen
Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen
[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3
Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3
Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3
Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)
525 Schwinden im Zustand IIm
Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen
Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-
52 Einfluss des Schwindens 53
kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)
Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit
Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)
In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu
d6040 csI
csIIcs
εκκ sdotminus+sdot= (552)
53 Einfluss des Kriechens
531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I
Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen
Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I
54 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die
zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo
die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft
Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1
110
)1()1( ϕρσϕρεδ (553)
LzIM
AN
EL
EL s
cccmcm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdot
sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 2
220
)1()1( ϕρσϕρεδ (554)
Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 11
111
)1(11 ϕρϕρδ (555)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdotsdot+
+sdotsdot+
+sdot
= 22
222
)1(11 ϕρϕρδ (556)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== 21211211 ϕρϕρδδ (557)
mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h
Mit den Konstanten ccm AE
asdotsdot+
=ϕρ1
ccm IEb
sdotsdot+
=ϕρ1 sowie
11
1ss AE
csdot
= 2
21
ss AEc
sdot= erhaumllt man
110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2
1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ
Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen
00
22221120
12211110
=sdot+sdot+
=sdot+sdot+
δδδδδδ
XXXX
212
122
21212
21
1222121 )()()(
)()(cczczcbccazzba
zMcbNcaMzNzzbaXssss
ssss
sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot
= (558)
22
211
22
202 δ
δδδ
sdotminusminus= XX (559)
53 Einfluss des Kriechens 55
Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu
21212
2
121 )()(
)(cccczba
zMbNacXs
s
sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot
=
Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt
hcc 12 εεκ minus
=
mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)
( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)
5312 Kruumlmmungen im Zustand II
Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung
Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist
Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II
Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben
LxdIE
xhNMAE
N
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
10ϕρϕρδ (562)
LdxIE
xhNMAE
Ns
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot
sdotsdot+sdotminussdot+
+sdot
sdot+sdot= )2()1())22(()1(
220ϕρϕρδ (563)
LIE
xdAEAE ccmccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
111
)2()1(11 ϕρϕρδ (564)
LIE
dxAEAE ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minussdotsdot++
sdotsdot+
+sdot
=2
2
222
)2()1(11 ϕρϕρδ (565)
56 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
LdxxdIEAE s
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotminussdot
sdotsdot+
+sdotsdot+
== )2()2(1122112
ϕρϕρδδ (566)
Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt
Edss
sEdEdss
NFFdFhNMdF
xerf+minus
sdotminussdot++sdotsdot=
12
122 23 (567)
mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=
532 Ansatz nach EN 1992-1-1
Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit
))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)
Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man
hcc 21 εεκ minus
= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =
rArrccm
cc
IEtM
h sdotinfin+sdot
=minus
=))(1( 021 ϕεεκ (569)
Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)
533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur
[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)
Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen
00 ϕψ ϕ sdot+
=k
EE cm
effc (570)
Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl
Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben
53 Einfluss des Kriechens 57
In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt
tIII
kIIIkIII
k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ
0 (571)
mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert
Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-
so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk
I ca 095
Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-
stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)
- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist
534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten
Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering
Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)
58 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
Kriechzahl ϕ
Zustand I Zustand II
0
05
1
15
2
25
3
35
4
45
5
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
Zustand I C 4050 Zustand II C 4050
Zustand I C 5060 Zustand II C 5060
0
05
1
15
2
25
0 02 04 06 08 1
Abw
eich
ung
Net
toB
rutto
[]
As2 As1
Zustand I C 2025 Zustand II C 2025
Zustand I C 3037 Zustand II C 3037
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln
Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen
Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)
Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung
Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss
Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung
In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt
60 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)
Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung
Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt
541 Allgemeines
Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu
sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)
Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert
ssssm σασσ Δsdotminus=
mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ= (s Abb 517)
s
sm
Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung
Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen
ssssm εαεε Δsdotminus= (573)
Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 61
542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]
Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von
ssssm σασσ Δsdotminus= mit s
smss σ
σσαΔ
ΔminusΔ=
wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb
ατ sdot=
und die beiden Spannungsspruumlnge
int=Δx
bs
s dxxd
x0
)(4)( τσ und int Δ=Δesl
ses
sm dxxl
x0
)(1)( σσ
Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs
αλαλαsdot+sdot+
=21
s mit 111
51
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
minus+
=s
cr
FF
ααλ (574)
Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen
Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen
)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)
Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt
)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)
62 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]
Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss
ss
ums AE
Tsdot
=Δε (578)
Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden
rk
rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus
minussdotminussdotsdotsdot=
302
670)3(330)( (579)
mit r 1 0 5 1 F t
Fcr
s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes
t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast
Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)
wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu
070max
)1(1ns
sumLwum rF
FTT+
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot= (581)
Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung
ss
umssm AE
Tsdot
sdotminus= 60εε (582)
543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])
Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs
II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr
I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-
nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr
II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden
- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )
Issm εε = (583a)
- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)
( )Isr
IIsrII
sr
IIs
IIsr
IIsr
IIstII
ssm εεσ
σσσσβεε minussdotsdot
minussdot+minussdotminus=
3031)( (583b)
- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 63
Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden
IIssm εζε sdot= mit (584a)
( ) 130
31)(1 leminussdotsdotsdot
minussdot+minussdotminus= I
srIIsrII
sIIsr
IIs
IIsr
IIsr
IIst
s εεεσ
σσσσβζ (Erstriss) (584b)
( ) 11 le
minussdotminus= II
s
Isr
IIsr
ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)
544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]
[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich
)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht
In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)
Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr
IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im
Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr
I ) I
ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I
srIIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus= (587)
Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung
64 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]
Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )
Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt
IIs
IIsr
t σσββ sdot= (588)
mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen
Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu
)()( seffsctmIsr
IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)
Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen
IIs
IIsrI
sIsr σ
σεε sdot= und IIs
IIsrII
sIIsr σ
σεε sdot= (590)
Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )
( )2
II II Ism s t sr sr
II II II IIsr sr sr srII II I II II I
s s s s s sII II II IIs s s s
ε ε β ε ε
σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε
σ σ σ σ
= minus sdot minus
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(591)
546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren
( )Isr
IIsrt
IIssm εεβεε minussdotminus=
mit IIs
IIsr
t σσββ σ sdot= und
01111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ
Daraus erhaumllt man
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot=
2
1 IIs
IIsr
s
IIs
sm E σσβσε (592)
mit
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot= II
sr
Isr
σσββ σ 1
Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)
54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 65
547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]
[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung
dxdxxAE
UL bss
sesm intintsdot
sdot=sdot )(τε (594)
Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung
IIssm
N εε sdotminus
=2
1 (595)
Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II
ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm
IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)
Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung
IIs
IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)
IIssm εε sdot= 580 (598)
548 Vergleich und Anmerkung
Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird
Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])
Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)
Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann
66 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 00005 0001 00015 0002 00025 0003
εs
σs
DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II
Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze
55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
551 Zustand I
Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt
Elastisch
Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)
Kriechen
Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt
elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=
In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67
Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es
stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-
wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch
)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)
- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit
( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)
Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung
Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden
)1(2)(
ϕρεε
sdot+sdot
sdot+
= cmcmumcuumcocc
AEF (5103)
Schwinden
Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen
111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)
222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)
Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden
)1(2
ϕρεε
εsdot+
sdotsdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +minus= ccmscoscu
csscAEF (5105)
Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)
Beispiele
Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt
68 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962
Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]
Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)
Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]
Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 69
Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754
Abb 523a Balken Dehnungen
Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)
70 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 523c Balken Betonspannungen
Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung
552 Zustand II
Elastisch
Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt
111 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106a)
222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)
elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)
Kriechen
Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden
celel
oceloelx+
+
minussdot+sdotminussdot+sdot
=κϕρκεϕρε
)1()1(
0 (5107)
55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 71
Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II
In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand
ϕρεϕρεσ
sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1
))1(( cm
oceloelcctE (5108)
Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum
ϕρεσ
sdot+sdotminus= + 1
)(cm
elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)
Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)
cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)
ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)
Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt
1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)
2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)
111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)
222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)
Schwinden
Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II
In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt
72 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)
Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte
Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen
Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt
73
6 Ergaumlnzte Querschnitte
61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden
611 Verschiedene Fertigteilsysteme
Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)
Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt
Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])
612 Besonderheiten bei der Berechnung
Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden
Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden
Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen
74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
613 Vorgehensweise und Definitionen
Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht
Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden
Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen
Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert
Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)
Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind
Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und
62 Berechnung im Zustand I 75
Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen
Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung
62 Berechnungen im Zustand I
621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)
Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (61)
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
sdot+sdotsdot
minus=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmocε (62)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
sdot+sdotsdot
=2
112
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccmucε (63)
( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)
Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt
)()(1)(1)(
222
1221
220
11
101
ccmsccmss
ccm
IEzAEAEIEMX
sdot+sdot+sdotsdot
minus=minus=δδ (64)
Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε
Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei
100201 hococ sdotminus= κεε (65a)
0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)
Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (66)
mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes
( ) 21212
22
21
0
1)(1121
1
ssE
s
I
zhz
++sdotsdotminus
=
ρα
β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)
76 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt
212
1221220 1
)(2
sE
ssE dhhx
ραρα
sdot+minussdotsdot+
= (68)
Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden
)()( 00 xzz minussdot= κε
622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz
Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1
Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen
Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt
Lh
IEM
ccm
Z sdotsdotsdot
=2
1
1110δ (69)
LIE
M
ccm
Z sdotsdot
minus=11
20δ (610)
030 =δ (611)
LzIE
Ms
ccm
Z sdotsdotsdot
minus= 211
40δ (612)
Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen
LhIE
hAE
hIE
hAE ccmccmccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdotsdot
sdot+
sdot= 2
2112211
222
2
221
11
1
1111δ (613)
LIEIE ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+sdot
=2211
2211δ (614)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 122
1
22133
111δ (615)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
+sdot
= 211
2
11244
111δ (616)
62 Berechnung im Zustand I 77
2122
2
11
112
2121δδ =sdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot
minus= LIE
hIE
h
ccmccm
(617)
31122
2
2213
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
+sdot
minus= LzIE
hAE s
ccmccm
(618)
41211
1
1114
211 δδ =sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotsdot
minussdot
= LzIE
hAE s
ccmccm
(619)
3222
123
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (620)
4211
224
1δδ =sdot
sdotsdot
= LIE
z
ccm
s (621)
4334 0 δδ == (622)
Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen
014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX
bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sdot
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
minus=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡minus
40
30
20
101
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
δδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
XXXX
(624)
Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden
0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten
111
1ccm
A AEk
sdot=
222
1ccm
A AEk
sdot=
111
1ccm
I IEk
sdot=
222
1ccm
I IEk
sdot=
11
1ss
S AEk
sdot=
22
1ss
S AEk
sdot=
erhaumllt man folgende Dehnungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)
02222 42
21232
222
22
212 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)
131 Szs kX sdotminus=ε (630)
242 Szs kX sdotminus=ε (631)
78 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz
IBccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(632)
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt
22
22
22222
2
212
2
12
22
2
1
2
2
1222
2
1
2
2
1
2
1
)(12)(12
31
21212
3112
hdx
hxd
hh
hh
hh
hh
hh
AA
szsE
zsE
c
cEc
IB
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+sdotsdotminus++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξαβ (633)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ
Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt
1)()()2(2
2221221
22221221211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=ssEccEc
sssEccEcz AA
ddhhAAhx
ρρααρραα
(634)
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
cicmi
iAi AE
ksdot
sdot=
ϕρϕ
cicmi
iIi IE
ksdot
sdot=
ϕρϕ (640)
erhaumllt man als Dehnungen
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9 Stuumltzweite [m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
0
10
20
30
40
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
elas
tisch
e Ve
rfor
mun
g [m
m]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Ges
amtv
erfo
rmun
g [m
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
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roze
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uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
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- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
-
- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-
- Literaturverzeichnis
-
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