bÖlÜm 1. genel kavramlar

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ

BÖLÜM 5

KUVVET SİSTEMLERİ

ve

MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-1

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

Bir eksen çevresindeki kuvvetin Momenti (cisimdeki birnokta), uygulanan kuvvetin bu eksen çevresinde cismiçevirme (döndürme) ölçüsüdür.

Momentin şiddeti aşağıdaki eşitlik ile belirlenir:

Mo = F x dMo : Moment

F : Kuvvetd : Dönme eksenine veya noktasına olan

Dik uzaklık (Kuvvet kolu)

Rotasyonun yönü sağ el kuralı ile belirlenir.

Ref: Beer, et al. (2012)

Örnek : O noktasına etki eden F1, F2 ve F3 kuvvetsistemi için moment toplamını belirleyelim.

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

O noktasına etki eden F1, F2 ve F3 kuvvet sistemi için moment toplamları (Saat yönü tersi + alınırsa):

ƩFxd = MRo

Mro = -50Nx(2m)+60Nx (0)+20Nx(3.sin30˚m)-40Nx(4m+3.cos30˚m) = -334Nm

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-2

Ref : Hibbeler (2010)

Ref : Hibbeler (2010)

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

Örnek : Kuvvetler ve O noktasına olan uzaklıklara göre momentleri hesaplayalım.

• A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-3

Ref : Hibbeler (2010)

sin for any d,

:Note

r dq q

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

O noktası etrafında F kuvvetinin momenti;

Mo = F x r

r : Kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada kuvvet ile O noktası arasındakikonum vektörü

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-4

Ref : Hibbeler (2010)

Let

and

Then,

x y z

x y z

o x y z

x y z

F F i F j F k

r r i r j r k

i j k

M r F r r r

F F F

Moment ekseni F ve r vektörlerini içerendüzleme diktir. Eksen merkezi O noktasındangeçmektedir

BÖLÜM 5. DÜZLEMSEL KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-5

Ref : Hibbeler (2010)

Cisme O noktası etrafında etkiyen kuvvet sistemlerinin net momenti “Her bir kuvvet veuzaklık vektörlerinin momentleri toplamı olacaktır.”

MRo = F x r

Kartezyen koordinatlarda x, y ve z yönlerinde net moment :

MRo= Ʃmxi + Myj + Mzk

BÖLÜM 5. CİSİM KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-6

Ref : Hibbeler (2010)

CCW ;

4 3 375 (11) (500) (5) (500) (0)

5 5

160 cos 30 (0) 160 sin 30 (0.5)

6165 lb ft 6.16 kip ft C CW

B

B

RB

RB

R

M M

M

M

Örnek : Bir kirişe etkiyen kuvvetleraşağıdaki şekilde verilmiştir. B noktasıetrafındaki toplam momenti hesaplayınız.

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-7

Ref : Hibbeler (2010)

Örnek : B şahsı direğe bağlı halatı P = 30 lb (pound) ile çekmektedir. Direğin A noktasıetrafında herhangi bir yöne devrilmemesi için C şahsının uygulaması gereken Fkuvvetinin şiddeti kaç lb olmalıdır?

BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT

Saat yönü tersi (+) alınırsa,

30 x (cos 45˚) x 18 = F (4/5) x 12 F = 39.8 lb

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-8

Ref : Hibbeler (2010)

VARIGNON TEOREMİ

Fransız matematikçi Pierre Varignon tarafından 1687 yılında “Projet d' unè nouvelle mèchanique”isimli eserde yayınlanmıştır. Bir Bileşke Kuvvetin Momenti, Aynı Noktada Etkiyen KuvvetBileşenlerinin Momentleri Toplamına Eşittir.

0 1 2 1 2M r F r F F r F r F

BÖLÜM 5. VARIGNON TEOREMİ

Gerilmiş kablo direği hareket etmeyecek şekilde tutuyorsaA noktasındaki moment:

MA = Fxh = Fyb = IFId olmalıdır.

Not : F, iletimlilik yasasına göre konumlandırılmıştır

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-9

Ref : Hibbeler (2010)

Aynı noktada farklı eksenlerdeki momenti belirlemek için skaler veya vektörel analizyapılabilir

F=20 N. Tipik olarak b-ekseni için momentidüşünelim. Aynı şekilde y-eksenindekimomenti hesaplayalım?

Mo = F x r (eksen r ve F’e dik)

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-10

Ref : Hibbeler (2010)

C A B

Şiddet

C = A B sinq

Yön

C , A ve B ‘ye DİK

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)

VEKTÖR ÇARPIMINDA SAĞ EL KURALI

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-11

Ref : Hibbeler (2010)

Çarpım Komütatif değildir

(Farklı yönlerin çarpımı eşit değildir)

In fact

A B B A

A B B A

A B A B A B A B

Skaler Çarpım

Çarpım Distribütiftir (Dağılım)

A B D A B A D

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-12

Ref : Hibbeler (2010)

0

0

0

i j k i k j i i

j k i j i k j j

k i j k j i k k

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)

i x j çarpımında;

Şiddet : (i)(j)(sinq)

Doğrultu (Yön) : k= i x j

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-13

Ref : Hibbeler (2010)

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT

1. Aşama

Mo = rA x F = (0.3i+0.4j) x (-20k)

= (-8i + 6j)Nm

2. Aşama

My = Mo x ua = (-8i + 6j) x (j)=6)Nm

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-14

Ref : Hibbeler (2010)

Ref : Hibbeler (2010)

Cisme herhangi bir noktada etkiyen kuvveti ele alırsak; bir önceki örnekteki aşamalar skalerüç eksende bir moment oluşturur. Cisimdeki nokta komütatif (yönlere göre sabit) olduğundan,

ˆIf and then

ˆ

x y z

x y z

o a a o

a a

a a a x y z

x y z

a a a

x y z

x y z

M r F M u M

M u r F

i j k

u i u j u k r r r

F F F

u u u

r r r

F F F

BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-15

Ref : Hibbeler (2010)

Kuvvet çifti; birbirlerine paralel doğrultuda, aynı şiddete sahip ve zıt yönlerde etkiyen kuvvetlerdir.

Net kuvvet sıfır fakat bir yönde hareket vardır.

BÖLÜM 5. KUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-16

Moment çiftleri; aynı noktadaki momentler toplamıdır.

O noktasında moment;

M = rA x (-F) + rB x F = (rB-rA) x F = r x F

Ref : Hibbeler (2010)

Eşdeğer kuvvet çiftleri; aynı momenti yaratan kuvvet çiftleridir.Kuvvetler aynı veya birbirine paralel düzlemlerde etkimelidir. Eşdeğermomentleri oluşturan kuvvetler serbest vektörler olup, cismin herhangibir noktasında eklenebilirler.

BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ

Momentleri M1 ve M2 olan eşdeğer kuvvetler için:

MR = M1 + M2 = (r x F)

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-17

Ref : Hibbeler (2010)

Ref : Meriam and Kraige (1987)

Örnek : Aşağıdaki ahşap çerçeveye iki moment çifti etki etmektedir. d = 6 ft ise, bileşkemomenti hesaplayalım.

a. Tüm kuvvetleri x ve y bileşenlerine ayırıp ayrı ayrı momentleri belirleyelim.

b. A noktası etrafında kuvvetlerin bileşkelerine göre momentleri hesaplayarak toplamıbelirleyelim

1

2

1 2

(a)

100cos30 (6)

519.6 lb ft CW

4 (150)(4) 480 lb ft CCW

5

519.6-480

39.6 lb ft CW

R

M

M

M M M

BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-18

Ref: Beer, et al. (2012)

(b)

CCW ;

4 100cos30 (3) (150)(4) 100cos30 (9)

5

39.6 lb ft

39.6 lb CW ft

R B

R

R

M M

M

M

BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-19

Ref: Beer, et al. (2012)

Örnek : Moment çiftlerini dikkate alarak toplam momenti a. direkt, b. A noktasına göre x ve y bileşkeleri ile belirleyelim (d = 4ft)

45

40cos30(4) 60 (4)

53.4lb.ft (CW)

cM

3 34 45 5 5 5

40cos30(2) 40cos30(6)

60 (3) 60 (7) 60 (7) 60 (7)

53.4lb.ft (CW)

cM

BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-20

Ref: Beer, et al. (2012)

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM221 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ 5-21

BÖLÜM 5. HATIRLATMA

Bölüm 5. Kısa Notlar

Moment; kuvvetin bir eksen etrafında veya cismin uygulanan noktasındaoluşturduğu çevirme hareketinin ölçüsüdür.

Moment şiddeti, kuvvetin şiddeti ile ilgili noktaya olan dik uzaklığının çarpımıkadardır.

Varignon Teoremi; bileşke kuvvetin momenti, aynı noktada etkiyen kuvvet

bileşenlerinin momentleri toplamı olarak tanımlanmıştır.

Kuvvet vektörlerinin çarpımında sağ el kuralı

Kuvvet ve moment çiftleri. Cismin hareketsiz kalması için toplam momentinnoktasal ve düzlemsel koordinatlarda sıfır olması.

Eşdeğer kuvvet çiftleri ve momentleri