bloque 7 matematicas
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7 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
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DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»
• Reconocelasolucióndeunsistemadedosecuacionescondosincógnitas(2x2)mediantelasgraficasdefuncioneslineales.
• Identificagráficamentesiunsistema2x2poseeuna,ningunaoinfinitassoluciones.
• Reconocelasolucióndeunsistemadedosecuacionescondosincógnitas(2x2)mediante:-Métodosnuméricosyanalíticos.-Métodosdereducciónalgebraica(sumayresta,sustitucióneigualación).
-Métodonuméricopordeterminantes.• Ubicaeinterpretasituacionesdiversas
utilizandosistemas2x2.
Resuelve ecuaciones lineales II
BLO
QU
E
7 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»Construyeeinterpretamodelos
aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales2x2.
• Expresamediantesistemasdeecuacioneslineales2x2,situacionesqueanteriormentefueronmodeladasconsistemaslineales1x1.
• Trazaenunplanocartesianográficasdefuncioneslineales.
• Asocialospuntosdeintersecciónconlassolucionesdeunsistema2x2.
• Reconocegráficamentecuándounsistema2x2tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.
• Identificalasecuacionesdesistemas2x2queposeeninfinitassoluciones,oninguna.
• Resuelvealgebraicamente,opormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones2x2,seleccionando,entrelosdiversosmétodosdereducciónalgebraicayelnumérico,elmásapropiado.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones2x2yargumentasussoluciones.
• Elaboraointerpretagráficas,tablasomapascondistintasescalas,realizandolascorrespondientesconversionesdeunidades,alresolversituacionesdiversasqueconllevanelusodesistemasdeecuacioneslineales2x2.
• Resuelvesistemasdedosecuacionescondosincógnitas,utilizandométodosnuméricos,analíticosygráficos.
• Expresaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas2x2.
• Resuelvesistemasdeecuaciones2x2empleandométodosdereducciónalgebraicaynumérica.
• Construyeideasyargumentosrelativosalasoluciónyaplicacióndesistemasdeecuaciones.
• Aprecialadiversidadyefectividaddelosmétodosderesolucióndesistemasdeecuaciones2x2.
• Valoralaaplicabilidaddelossistemas2x2enlamodelaciónysolucióndediversassituaciones.
• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,alrealizaractividadesasignadas.
246
B7 �B7 �
Enestebloqueabordaremosel sistemadedosecuaciones lineales condosincógnitas,apartirdediversassituaciones;aplicaremosdistintosmétodosdesolución,conénfasisenlasoluciónapartirdesugráfica.
Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:
1.¿Cuáleselenunciadoquedescribealaexpresiónalgebraica ( )22x- 3y ?
a)Ladiferenciadeldobledeunnúmeroyeltripledelcuadradodeotro.b)Ladiferenciadeldobledeunnúmeroyelcuadradodeltripledeotro.c)Elproductodeldobledeunnúmeroyelcuadradodeltripledeotro.d)Elproductodeldobledeunnúmeroyeldobledelcuadradodeotro.
2.¿Cuálopciónesunaecuaciónequivalentealaexpresión5x-2y=3?
a)5x+2y=3b)10x+4y=6c)10x-4y=6d)5x-4y=6
3.Lasolucióndelaecuación 5x-1 4x+2 2x+1- =
2 4 6es:
a) -1 b) 12
− c)12
d)1
4.Laecuacióndeunarectaestádadapor 4 23 3
y=- x+ .¿Cuáleselvalordesupendiente?
a) 43
b) 4-
3 c) 23
d) 2-
3
5.Tresllavesllenanundepósitodeaguaendiferentestiempos,cadaunaen40, otra en 60 y la última en120min.Siseabrenlastresllavessimultáneamente,¿cuántosminutostardaránenllenareldepósito?a) 10 b) 20 c) 30 d) 73
6.¿Aquéllamassistemadedosecuacioneslinealescondosincógnitas?_________
7.¿Quéentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales2 x2?_____________
INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
B7 �
247
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
8. Los sistemas de ecuaciones,de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
pueden ser resueltos por varios métodos, ¿cuáles métodos de soluciónconoces? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
9. Un estudiante gastó $100.00 al adquirir ocho artículos de papelería entrelibretasybolígrafos,sielcostodecadalibretaesde$17.00ydecadabolígrafode$5.00 elsistemadeecuacionesquerepresentadichoproblemaes:
a)l b 85l 17b 100+ =+ =
b)l b 817l 5b 100+ =
+ =
c)l b 1005l 17b 8+ =+ =
d)l b 10017l 5b 8+ =
+ =
10.Delproblemaanterior,¿cuántosartículoscompróelestudiantedecadauno?
Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionesqueacontinuaciónseplantean,asícomosurespuestacorrespondiente.
1.StevenyRamséscaminabanjuntosllevandolibrosdeigualpeso.SiSteventomaraunlibrodeRamsés,sucargaseríadeldoble.Encambio,siRamséstomaraunlibrodeSteven,suscargasseigualarían.
¿Cuántoslibrosllevacadauno?
a)Steven4yRamsés6b)Steven5yRamsés1c)Steven6yRamsés3d)Steven7yRamsés5
Actividad introductoria
248
B7 �B7 �2.JuanCarlosquiereingresaraunaescueladenataciónytieneinformacióndelcostodedosdeellas:• LaescuelaAnocobrainscripciónycobraunamensualidadfija.• LaescuelaBcobrainscripciónyhastaelcuartomesempiezaacobrar,conunacolegiaturaconstante.
Loanteriorlomuestralagráfica:
¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaqueindicaigualcostoenambasescuelasapartirdelnúmerodemeses?
a) 400(m – 4) = 2700b) 1200 + 300m = 400 (m – 4) + 700 c) 400(m – 4) + 700 = 300md) 700 – 300(m – 4) = 400m
Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Hemosestudiadoenelbloqueanterior lasecuacionesdeprimergradoconuna y dos incógnitas; ahora abordaremos un sistema de dos ecuacionessimultáneascondosincógnitaselcualsedefinecomosigue:
Unsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasseformacondosecuacionesdeprimergradocondosincógnitascomosigue:
SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
B7 �
249
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c
Elsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitastambiénesllamadosistemadedimensiones2 x 2.Lasolucióndelsistema(x,y)sonlosvaloresdelasvariablesquesatisfacensimultáneamenteambasecuaciones.
Deacuerdoconlasolucióndelsistema,éstesedeterminacomo:
Sistema compatible determinado, si la solución del sistema es la parejaordenada(x,y).Sistemacompatibleindeterminado,sitieneunainfinidaddesoluciones.Sistemaincompatible,sinotienesolución.
Con los sistemasdeecuaciones simultáneas lineales condos incógnitas, esposiblemodelardiversassituaciones.
Ejemplos1.Encontrardosnúmeroscuyasumasea10ysudiferencia2.
PlanteamientoalgebraicoUnnúmero:xOtronúmero:yLasumadeestosnúmerossea 10:x + y = 10Ysudiferencia2:x – y = 2
Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:x y 10x y 2+ =
− =2. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrode8años,laedaddePaola
doblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?
Planteamientoalgebraico:EdadactualdeCarmen:xEdadactualdePaola:yEdaddeCarmen,dentrode8años:x+8EdaddePaola,dentrode8 años:y+8Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen: y = x + 27,obien,
x – y = –27Dentrode8años,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen:y + 8 = 2(x + 8),obien, 2x – y = –8
Sistemadeecuacionesquemodelalasituación: x y 272x y 8− = −
− = −
250
B7 �B7 �Para adquirir la destreza necesaria en la modelación de sistemas de ecuaciones,es importante que se ejercite y practique sobre el tema. Encuentra el sistema deecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.
1. Paolatiene 27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrode8años,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?
2. ElpapádeJuliopesa42kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138kg,¿cuántopesacadauno?
3. Laedaddeunhijomás la tercerapartede laedaddelpadresuman22años.Dentrode 6años,laedaddelpadreexcederáen10añoseldobledelaedaddelhijo.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?
4. Un cohete y su combustible pesan juntos 5200 kg. Después de que se haya
gastadounacuartapartedelcombustible,elcoheteyelcombustiblerestantepesan4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?
5.Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarreterarinde8.5km/litro.Sielautomóvilconsumió90litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?
6. Santiagoes4vecesmayorqueJuan,yen 4añosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?
7. En una alcancía hay $1305.00 en 150 monedas de $5.00 y $10.00. ¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?
8. Hace seis años la edad de Ricardo era32 de la edad de su novia y dentro
de seis años, cuatro veces la edaddeRicardo será cinco veces la edadde sunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?
9. Pedro le da a Juan tres canicas para tener ambos elmismo tanto, porque siJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?
Ahora,encontradoelsistemadeecuacionesquemodelaciertasituación,esprecisoresolverloparadarsoluciónalmismo;hayvariosmétodosalgebraicosdesolución,mismosqueabordaremosacontinuación.
Actividad
B7 �
251
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes
Losmétodosalgebraicosdesolucióndeunsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasqueabordaremosenestecursoson:sumayresta,sustitución,igualaciónydeterminantes.Paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma,porlocual,paraencontrarlasolucióndeunsistema,sesugiereelegirelmétodoqueconduzcaaprocesosalgebraicosmássimples.
A continuación se describe cada uno de estosmétodos y se indica cuándoelegircadauno,segúnelsistemadeecuacionesplanteado.
Método de suma y resta
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneas linealescondos incógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesumayresta,delaformasiguiente:
1. Observamossienelsistemasetienentérminossimétricosparalamismavariable; si es así, continuamos al paso dos.De otramanera, debemosmultiplicarporunnúmerounade lasecuacionesdel sistema,oambas,de talmanera que se obtengan coeficientes simétricos para una de lasincógnitas.
2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términossimétricosseanulen,paraobtenerasíunaecuacióndeprimergradoconunaincógnita.
3. Resolvemosestaecuaciónyencontramosasíelvalordeunaincógnita.
4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior enalguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente unaecuacióndeprimergrado,peroconlaotraincógnita,lacualtambiéndeberesolverse,paraencontrarelvalordelaotraincógnita.
5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4,formandolapareja(x,y);conellos,haremoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.
Ejemplos
Acontinuaciónseresuelvendossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas, por elmétodode sumay resta, siguiendo cadaunode los pasos antescitados.
Unpastorledijoaotro:«Siteregalounademisovejas,tútendráseldobledelasqueyotengo.Perositúmedasunadelastuyastendríamoslasmismas».¿Cuántasovejasteníancadauno?
Si al efectuar la suma delasecuacionesseobtiene:
1 1 1
2 2 2____________________
a x b y c
a x b y c
+ =+ =
0x 0y c ,c 0+ = ≠
elsistemanotienesolución.Siresulta
1 1 1
2 2 2____________________
a x b y c
a x b y c
+ =+ =
0x 0y 0+ =
elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
252
B7 �B7 �I.
( )( )
x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Seobservaqueloscoeficientesdelavariableysonsimétricos.Luegoseefectúaelsiguientepaso.
2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.
x y
x y
x
+ =
− =
=
10
2
2 12
3.Resolviendolaecuación2x = 12,tenemos:
12x 6
2= =
4.Elvalordex = 6 sesustituyeen(1):
(6) + y = 10Donde: y = 10 – 6 = 4
5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10
6 4 2+ =
− =
II.3 1 1
4 9 2x y
x y− =+ =
( )( )
1. Paraquelostérminosconlavariableytengancoeficientessimétricos, semultiplica(1) por 4,dedonde:
12 4 4 14 9 2
x yx y− =+ =
( )( )
2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.
12 4 4
4 9
13 13
x y
x y
x
− =
+ =
=
3.Resolviendolaecuación13x = 13,tenemos:
x = =1313
1
B7 �
253
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Sialefectuarseelpaso2yresolverselaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c o 0y = c,conc ≠ 0,entonceselsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0 o 0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones..
4.Elvalordex=1sesustituyeen(1):
3(1) – y = 1
Donde:
– y = 1– 3
– y = – 2
y = 2
5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).
Comprobación:
( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétododesumayrestadebeelegirsecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitastengacoeficientessimétricosenlostérminosdelamismaincógnita.
Método de sustitución
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
dondex yy son las incógnitas y a1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces, la soluciónquecorrespondealparordenado(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesustitucióndelaformasiguiente:
1.Elegimosunadelasecuacionesdelsistemaydespejamosenellaunadelasvariables(seprefiere,silahay,ladecoeficienteuno).
2. Eldespejeobtenidodelpasoanteriorlosustituimosenlaotraecuacióndelsistema,quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordeunaincógnita.
3.Elvalorencontradoessustituidoeneldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.
4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosenlospasos3 y 4,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.
254
B7 �B7 �Ejemplos
A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales condosincógnitas,porelmétododesustitución,siguiendocadaunodelospasosarribacitados.(Conlafinalidaddemostrarquelasolucióndelsistemaeslamismaalaplicarcualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).
I.
( )( )
x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Seeligedespejarxenlaecuación(1),donde:
x = 10 – y2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(2),seobtiene: (10 – y) – y = 2
Resolviendolaecuacióntenemos:10 – 2y = 2 – 2y = 2 – 10
8y 4
2−
= =−
3.Sustituyendoy= 4eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 10 – (4) = 6
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).
Comprobación:
6 4 106 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
1.Seeligedespejarxenlaecuación(2),dedonde:
x = 9 – 4y 2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(1)seobtiene:
3(9 – 4y) – y = 1Alresolverestaecuacióntenemos:27 – 12y – y = 1
–13y = 1 – 27
26y 2
13−
= =−
B7 �
255
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
3.Sustituyendoy = 2 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación:
( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétodode sustitucióndebeelegirse cuandoel sistemadeecuacionessimultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de lasecuaciones,porlomenos,untérminoconcoeficienteuno.
Método de igualación
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodeigualación,delaformasiguiente:
1. Despejamoslamismaincógnitaenambasecuaciones.
2. Losdespejesobtenidosse igualanentresí,quedandounaecuaciónenunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordelaincógnita.
3. Elvalorencontradosesustituyeenunodelosdosdespejesobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.
4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos2 y 3,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente
Ejemplos
Ahoraresolvemoslossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas,por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en elprocedimientoanterior.(Nuevamente,parareafirmarquelasolucióndelsistemaeslamismaaplicandocualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).
I.( )
( )x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):
Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = co0y = c,conc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0o0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
256
B7 �B7 � De (1): x = 10 – y
De (2): x = 2 + y
2.Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:
10 – y = 2 + y
Resolviendolaecuacióntenemos: – 2y = 2 – 10
8y 4
2−
= =−
3.Sustituyendoy=4eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:
x = 10 – (4) = 6
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10
6 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):
De (1): 1 yx
3+
=
De (2): x = 9 – 4y2. Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:
1 y9 4y
3+
= −
Resolviendolaecuacióntenemos:
31
33 9 4
+
= [ − ]y
y
1 + y = 27 – 12y
13y = 26
26y 2
13= =
B7 �
257
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
3. Sustituyendoy = 2eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:
1 2 3x 1
3 3+
= = =
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación: ( )
( )3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétododeigualaciónseeligecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambasecuacionesdistintosdeuno.
Método por determinantes
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicopordeterminantes,delaformasiguiente:
1 11 2 2 1
2 2
a bD a b a b
a b= = − , 1 1
x 1 2 2 12 2
c bD c b c b
c b= = − , 1 1
y 1 2 2 12 2
a cD a c a c
a c= = −
SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlasdivisiones:
xDx
D= yD
yD
=
Ejemplos
Denuevacuenta,seresuelvenlosmismossistemasdelejemploanterior,aplicandoelmétodopordeterminantes.
I.x y 10x y 2+ =
− =
Seresuelvenlosdeterminantes:
( )( ) ( )( )1 1
D 1 1 1 1 1 1 21 1
ℵℵℵℵ−
SiD=0,Dx≠ 0yDy≠0elsistemanotienesolución.SiD=0,Dx=0 yDy=0elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
258
B7 �B7 �( )( ) ( )( )x
10 1D 10 1 2 1 10 2 12
2 1= = − − = − − = −
−
( )( ) ( )( )y
1 10D 1 2 1 10 2 10 8
1 2= = − = − = −
Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:
xD 12x 6
D 2−
= = =−
yD 8y 4
D 2−
= = =−
Luego,lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación:
6 4 106 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
Seresuelvenlosdeterminantes:
( )( ) ( )( )3 1
D 3 4 1 1 12 1 131 4−
= = − − = + =
( )( ) ( )( )x
1 1D 1 4 9 1 4 9 13
9 4−
= = − − = + =
( )( ) ( )( )y
3 1D 3 9 1 1 27 1 26
1 9= = − = − =
Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:
xD 13x 1
D 13= = = yD 26
y 2D 13
= = =
Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).
Comprobación: ( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Elmétodopordeterminantespuedeaplicarseentodosistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitas.
Otra formade obtener la solución de un sistemade ecuaciones lineales esa partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos acontinuación.
Manosydedos.Enunamanohaycincodedos,endos manoshay10dedos.¿Cuántosdedoshayen10manos?
B7 �
259
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas
Lagráficadeunsistemadeecuacioneslinealescondosincógnitasseobtienetrazandoenunmismoplanocartesianoambasecuaciones.
Existentrescasosdesolucióndelsistema:
• Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, lasolucióndelsistemaeslacoordenada(x,y),puntodeintersección.
• Cuandolasrectastrazadassonparalelas,elsistemanotienesolución.• Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el
sistematieneunainfinidaddesoluciones.
Ejemplos
Representar gráficamente los sistemas que se indican,mismos que coinciden conlossistemasquesehanresueltoenlosejemplosanterioresalaplicar losdiferentesmétodosalgebraicosyqueahora,conelmétodogeométrico,podemosvisualizar:
I.( )
( )1
2
y 10 xx y 10y x 2x y 2
= − − − −+ = → = − − − −− =
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = 10 – x P(x, y)4 y = 10 – (4) = 6 (4, 6)5 y = 10 – (5) = 5 (5, 5)6 y = 10 – (6) = 4 (6, 4)
7 y = 10 – (7) = 3 (7, 3)
x y = x – 2 P(x, y)4 y = (4) – 2 = 2 (4, 2)5 y = (5) – 2 = 3 (5, 3)6 y = (6) – 2 = 4 (6, 4)7 y = (7) – 2 = 5 (7, 5)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(6, 4),elcualeslasolucióndelsistema.
Comprobación: 6 4 106 4 2+ =
− =
260
B7 �B7 �II.
( )
( )1
2
9 xx 4y 9 y
43x y 1 y 3x 1
−+ = = − − − → − = = − − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = (9 – x )/4 P(x, y)–3 y = (9 – (–3) )/4 = 3 (–3, 3)1 y = (9 – (1) )/4 = 2 (1, 2)3 y = (9 – (3) )/4 = 1.5 (3, 1.5)5 y = (9 – (5) )/4 = 1 (5, 1)
x y = 3x – 1 P(x, y)0 y = 3(0) – 1 = –1 (0, –1)1 y = 3(1) – 1 = 2 (1, 2)2 y = 3(2) – 1 = 5 (2, 5)3 y = 3(3) – 1 = 8 (3, 8)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(1, 2),elcualeslasolucióndelsistema.
III.Elsistemaquesepresentaacontinuaciónseresuelveporlosmétodosalgebraicosdesumayrestaeigualación,observaquenotienesolución:
( )( )
2x 3y 7 14x 6y 10 2
+ = − − − + = − − −
Método de suma y resta
Semultiplicapor–2laecuación(1),paraobtener:
( )( )
4x 6y 14 14x 6y 10 2− − = − − − − + = − − −
Alsumarestasecuacionessetiene:
Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tienesolución.
Niñosymoscas.Sitresniñoscazantresmoscasentresminutos.¿Cuántotardarántreintaniñosencazartreintamoscas?
B7 �
261
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Métododeigualación
Sedespejax,enambasecuaciones:
De(1): 7 3yx
2−
=
De(2): 10 6yx
4−
=
Aligualarestosdespejes,tenemos:
7 3y2− = 10 6y
4−
Donde:
7 3y 10 6y4
2 414 6y 10 6y
0y 4
− − = − = −
= −
Lo cual indica, por unade lasobservaciones antesdada, queel sistemanotienesolución.
Acontinuaciónsehacelarepresentacióngeométricadelsistemaanterior.
( )
( )
1
2
7 2xy2x 3y 7 3
4x 6y 10 10 4xy
6
− = − − − + = → + = − = − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = (7 – 2x )/3 P(x, y)–4 y = (7 – 2(–4) )/3 = 5 (–4, 5)–1 y = (7 – 2(–1) )/3 = 3 (1, 2)0 y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3 (0, 2.3)2 y = (7 – 2(2) )/3 = 1 (2, 1)
x y = (10 – 4x)/6 P(x, y)–2 y = (10 – 4(–2) )/6 = 3 (-2, 3)0 y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6 (0, 1.6)1 y = (10 – 4(1) )/6 = 1 (1, 1)4 y = (10 – 4(4) )/6 = –2 (4, –2)
Enelsistema
3 59 3 15
x yx y+ =+ =
ambasecuacionesrepresentanlamismarecta.luegotodoslospuntosdeunacoincidenconlospuntosdelaotrateníendoasí,unainfinidaddesoluciones
262
B7 �B7 �Comopuedesobservarlasrectassonparalelas(nohaypuntodeintersección),porlocualseconcluyequeelsistemanotienesolución.
IV.Resolverlasituaciónqueacontinuaciónseindica,alaplicarunmétodoalgebraico,yhacerlarepresentacióngráficadelsistemavisualizandolasolución.
Danielfuealalmacénypagóportres camisasycincotrajes$4180.00,mientrasquesupapápagópornuevecamisasyocho trajes$6940.00.Silostrajesylascamisasquecomprócadaunotienenelmismoprecio,¿cuántodebiópagarelabuelitoqueenesemomentolosacompañabapordoscamisasydostrajes?
Planteamientoalgebraico
Costodecadacamisa:xCostodecadatraje:ySepagóportrescamisasycincotrajes$4180.00: 3x + 5y = 4180Sepagópornuevecamisasyochotrajes$6940.00: 9x + 8y = 6940
Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:3x 5y 41809x 8y 6940
+ = + =
Porelmétododeigualación:
( )
( )
4180 3xy 13x 5y 4180 5
9x 8y 6940 6940 9xy 2
8
− = − − −+ = → + = − = − − −
Seigualanlosdespejes(1) y (2)yseresuelvelaecuación:
4180 3x 6940 9x5 8
4180 3x 6940 9x40
5 833440 24x 34700 45x
21x 1260x 60
− −=
− − = − = −
==
Sesustituye x = 60en4180 3x
y5−
= ,seobtiene:
( )4180 3 60y
54180 180
y5
4000y 800
5
−=
−=
= =
B7 �
263
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Comprobación: ( ) ( )( ) ( )
3 60 5 800 41809 60 8 800 6940
+ = + =
Respuesta:sehaencontradoqueunacamisacuesta$60.00yuntraje$800.00.Luego,despuésdehacerlaoperación2(60) + 2(800) = 1720,elabuelitodebiópagarpordoscamisasydostrajes$1720.00.
Gráficadelsistema.
( )
( )
1
2
4180 3xy3x 5y 4180 5
9x 8y 6940 6940 9xy
8
− = − − −+ = → + = − = − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación
x y P(x, y)–100 y = 896 (–100, 896)
60 y = 800 (60, 800)400 y = 2980 (400, 2980)
900 y = 296 (900, 296)
x y P(x, y)–200 y = 1092.5 (–200, 1092.5)
60 y = 800 (60, 800)
500 y = 305 (500, 305)770 y = 1.25 (770, 1.25)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes (60, 800),elcualeslasolucióndelsistema.
I.Resuelvelossiguientessistemasdeecuacionessimultáneaslineales,yeligeparacadaunodeellos,elmétodoalgebraicomásapropiado,yparacadaunodelossistemasconstruyelagráficayverificalasolución.
Actividad
264
B7 �B7 �1.
3x y 11x 4y 11
+ = + = −
2. x y 0x 4y 15− + =
+ =
15. 2x 5y 208x 3y 46
+ = − + = −
16. x 4y 5002x y 300
+ = + =
3. x 5y 5
2x 5y 15− =
− + = −
4. 4x 5y 22x 7y 11
− = + = −
17. 2x y 1100y 2x 100
+ = − = −
5. 2x 6y 05x 3y 18
− = + =
18. x 78 y
2y 113 x= −
= −
6. 10x 12y 16x 3y 4
− = + =
19. 40x 1190 34y
11y 301 8x− = −
− = −
7. 8x 5y 4
4x 10y 5− + =
− = −20.
x 3 y 212 5 5
x 2y 12
5 3
+ + = + + =
8.
4x y 54x y 5− + = − = −
9. 7x 2y 114x 4y 1
+ = + =
21. 3x 1 y 1
132 3
4x 8 3y 40
4 5
+ − + = − + − =
10. 11x 12y 111x 4y 15
+ =− + =
22.
( ) ( )
( ) ( )
2 x 4 6 3y 451
3 25 x 4 2 3 6y
32 12
+ −+ = −
− − − = −
11. 2 4 6
2 3x yx y
+ =− − = −
12. 21x 40y 1414x 10y 2
+ = − =
23.
x y 87 2 7
x y 67 2 7
+ = − = −
13. 1 1x y 20
2 31 1
x y 04 6
+ = − =
24.
x y 12 9 2
2y 1x
9 4
+ = + =
14. x y 15 2 5
x y 14 8 10
+ = − =
25. 3x y 14 3 7
3x y 18 6 14
+ =− − = −
B7 �
265
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por unsistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado,compruebalasoluciónyrespondecorrectamentecadauna.
1. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrodeochoaños,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?
2. ElpapádeJuliopesa42 kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138 kg,¿cuántopesacadauno?
3. Laedaddeunhijomáslatercerapartedelaedaddelpadresuman22 años.Dentrodeseisaños, laedaddelpadreexcederáendiezañoseldoblede laedaddelhijo.¿Cuáles laedadactualdecadauno?
4.Uncoheteysucombustiblepesanjuntos5200 kg.Despuésdequesehayagastadouna cuartapartedel combustible, el cohete y elcombustiblerestantepesan 4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?
5. Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarretera rinde8.5 km/litro.Sielautomóvilconsumió90 litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?
6.SantiagoescuatrovecesmayorqueJuan,yencuatroañosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?
7. Enunaalcancíahay$1305.00en150 monedasde$5.00 y $10.00.¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?
8. Haceseisaños laedaddeRicardoera 32de laedaddesunoviay
dentrode6años,cuatroveceslaedaddeRicardoserácincoveceslaedaddesunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?
9. Pedro ledaaJuantrescanicasparateneramboselmismotanto,porquesiJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?
10. Lasumadelasdoscifrasdeunnúmeroesnueve,perosilacifradelasdecenasseaumentaenunoyladelasunidadessedisminuyeenuno,lascifrasdelnúmeroseinvierten.¿Cuáleselnúmero?
266
B7 �B7 �
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinandoen cadaunade ellas: sistemade ecuaciones,métodode solución ygráfica.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.
1.JessylediceasuhermanoJulio:“Simedas$50.00detudinero,yotendréeldoblededineroquetendrástú”,sientreamboshermanostienen$600.00,¿cuántotienecadauno?
a)Julio:$250Jessy: $350
c) Julio: $200 Jessy: $300
b) Julio:$350Jessy:$250
d)Julio:$300Jessy:$200
2.LacantidaddedineroquetienenIselayRicardosuma$4500,ladiferenciadeloquetieneIselaconeldobledeloquetieneRicardoes$2100.¿Cuántotienecadauno?
a)Isela:$800Ricardo:$5300
c)Isela:$800Ricardo:$3700
b)Isela:$3700Ricardo:$1800
d)Isela:$3700Ricardo:$800
3. Ana y Paola pesaban5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se haincrementando1kgcadamesdurante5meses.¿Cuáleselsistemadeecuacionesquerepresentaestasituación?Observalatabla.
Mes (x) Ana PaolaPrimero 6 7Segundo 7 8Tercero 8 9Cuarto 9 10Quinto 10 11
a)A =5-nP =6-n
c)A =5+n
P =6-n
b)A =5+nP =6+n
d)A =5-nP =6+n
4. Karencompra1chocolateydospaletascon $4.00;Karimecompra3chocolatesyunapaletacon$7.00. AlllegaracasasuhermanaLuzdelCarmenlespregunta,¿cuántocostócadadulce?a)Chocolate:$1Paleta:$2
c)Chocolate:$4Paleta: $2
b)Chocolate:$2Paleta:$1
d)Chocolate:$3Paleta:$1
Autoevaluación
B7 �
267
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Evaluación FormativaAutoevaluación
Resuelvecorrectamentelasiguientesituación.
Enunexamende40preguntas,Lucíahaobtenido7 decalificación.Cadaaciertovale1puntoycadaerrorleresta2puntos.
Apartirdeestasituaciónrealizaloquesepide:
¿Cuáleselsistemaquemodelalasituaciónplanteada?
a)x y 403x 2y 10
+ =− =
c) x y 33x 2y 8
+ =− =
b) x y 24x 4y 16
+ =− =
d) x y 40x - 2y 7
+ ==
¿CuántosaciertosyerrorestuvoLucy?Aciertos:__________Errores:__________
Enunplanocartesiano,graficalasrectasdelsistema.
Escala de Rango
Nombredelalumno:Escala de valoración:
0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituaciónplanteada
Eligióelsistemacorrectamente
Contestócorrectamentelaspreguntas
Realizólagráfica
TOTAL:
CalTotal
=×
=10
12Observaciones:Nombredequienrevisó:
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