cac dang toan quy ve bac hai co dien
Post on 26-Jun-2015
370 Views
Preview:
TRANSCRIPT
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3
Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
với a+b=c+d và m ≠ 0 Cách giải: Phương trình (1) được viết lại: [x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc đó phương trình (1) được viết lại như sau: (t +ab)(t+cd) = m t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120 (x2
+5x +4)(x2 +5x+6)=120
Đặt t = x2 +5x Lúc đó phương trình được viết lại:
(t+4)(t+6)=120 t2
+10t-96 =0 t=6, t=-16 Với t=6 thì x2
+5x-6=0 x=1, x=-6 Với t=-16 thì x2
+5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP 1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 3. (x+2)(x+4)(x2
+6x+1)=8 4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 5. (16(x2
-1)(x2 +8x+15)=105
Tìm m để phương trình sau 6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 8. (x+2)(x+4)(x2
+4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4
Dạng 2: mxax2
+bx+c + nxax2
+dx+c =k
Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau:
m
ax+b+cx
+ n
ax+d+cx
=k (2.1)
Đặt t= ax+cx lúc đó phương trình (2.1) được viết lại:
mt+b + n
t+d =k (2.2)
Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t 1, t
2 rồi từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình
ax+ cx = t 1 , ax+ cx = t
2
Ví dụ: giải phương trình 4x
4x2 -8x+7 + 3x
4x2 -10x+7 =1 (2.3)
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5
4
4x-8+7x
+ 3
4x-10+7x
=1 (2.4)
Đặt t = 4+ 7x khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là
4t-8 + 3
t-10 =1
Quy đồng mẫu thì ta có phương trình t2
-25t +144=0. Phương trình này có hai nghiệm t
1=16, t 2=9
Với t 1=16 ta có phương trình 4x+ 7x =16
4x2 -16x +7=0 x
1 = 72 , x 2 = 12
Với t 2 =9 ta có phương trình
4x + 7x =9 4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 = 72, x
2 = 12
BÀI TẬP Giải các phương trình sau
1. 2x3x2
-x+1 + x3x2
-4x+1 = 32
2. 2x2x2
-5x+3 + 13x2x2
+x+3 =6
3. 2xx2
+8x+5 + 6xx2
+x+5 =1
4. 3xx2
-4x+1 - 2xx2
+x+1 = 83
Cho phương trình sau 2xx2
+8x+5 + 6xx2
+x+5 =m
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6
Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau: 5. Phương trình đã cho có nghiệm 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 10. Với giá trị nào của m thì phương trình
3xx2
-4mx+1 + 2xx2
+mx+1 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt
x 1, x
2, x 3, x
4 thoả mãn x 1+x
2+x 3+x
4 = 14 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình cùng họ hàng với dạng toán trên.
1x2
+9x+20 + 1x2
+11x+30 + 1x2
+13x+42 = 118 (*)
Giải như sau: Ta thấy (*) được viết lại:
1(x+4)(x+5) + 1
(x+5)(x+6) + 1(x+6)(x+7) = 1
18
1x+4 - 1
x+5 + 1x+5 - 1
x+6 + 1x+6 - 1
x+7 = 118
1x+4 - 1
x+7 = 118 x2
+11x-26 =0 x 1= 2, x
2= -13
Tương tự giải phương trình sau: 1
x2 +3x+2 + 1
x2 +5x+6 +…… + 1
x2 +(2n-1)x+n2
-n = k
Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's).
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7
Dạng 3 (x+a)4 + (x+b)
4 =c (3)
Cách giải: Đặt t= x+a+b2 lúc đó phương trình (3) được
viết lại như sau:
t+a-b
24+
t-a-b
24 =c
2t4 +3(a-b)2
t2 + (a-b)4
8 -c=0
Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ t suy ra giá trị của x Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4
+ (x+3)4 = 272
Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được viết lại là: (t-1)4
+(t+1)4 =272
t4 +6t2
-135=0 Đặt X=t2 0 khi đó ta có
X2 +6X-135=0 X=9, X=-15<0 (loại)
Khi X=9 t2 =9 t
1=3, t 2=-3 x
1= 1, x 2 = -5
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1=1,x
2=-5 BÀI TẬP Giải phương trình sau: 1. (x-2)4
+ (x-4)4 =2
2. (x+4)4 + (x+6)4
=82 3. (x+3)4
+ (x+5)4 =2
Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5)4
=m 4. có nghiệm 5. có 2 nghiệm phân biệt 6. có 4 nghiệm phân biệt 7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x+1)4
+(x+m)4 =82
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8
Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này thông qua ví dụ sau: Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6
+ (x-4)6 =64
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau: (t+1)6
+ (t-1)6 =64 t6
+15t4 +152
-31=0 Đặt X=t2
0 lúc đó phương trình viết lại như sau: X3
+15X2 +15X-31=0
(X-1)(X2 +16X+31)=0
X 1=1, X
2=-8+ 33 <0( loại) X 3=-8- 33<0(loại)
Với X=1 t2 =1 t
1=1, t 2=-1 x
1=4, x 2=2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 1=4, x
2=2 Tương tự giải phương trình sau: 1. (x-1)6
+(x-2)6 =1
2. (x+2)6 + (x+4)6
=64 3. Tìm m để phương trình (x-1)6
+ (x-3)6 =m có nghiệm
NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH
Lối vào tim em như một đường hàm số Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin Anh tìm vào tọa độ trái tim Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó Ôi mắt em phương trình để ngỏ Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha Mái tóc em dài như định lí Bunhia Và môi em đường tròn hàm số cos Xin em đừng bảo anh là ngốc Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay Anh giận em cả con tim thổc thức Mãi em ơi phương trình không mẫu mực Em là nghiệm duy nhất của đời anh.
Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9
Dạng 4: af2 (x) + bf(x)g(x) + cg2
(x) =0 (4) Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: g(x)=0 , gọi x= x
o là nghiệm của phương trình g(x)=0 Lúc đó nếu f(x
o)=0 thì x=x o là nghiệm của phương trình
(4) đã cho. Ngược lại nếu f(x
o)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã cho g(x).Khi đó ta có:
a
f(x)
g(x)2+ b
f(x)
g(x) +c =0 (4.1)
Đặt t= f(x)g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành
at2 +bt +c=0 (4.2)
Giải phương trình này ta tìm được t Giả sử t=t
o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của
phương trình f(x)g(x) =t
o f(x)=t og(x)
Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6)2
-8x(x2 +6)+7x2
=0 Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho x2
. Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x2
+6)2
x2
-8(x2 +6)x +7=0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10
Đặt t= (x2 +6)x khi đó phương trình đã cho được viết lại
như sau: t2 -8t+7=0 t
1=1, t 2=7
Khi t 1=1 thì ta có phương trình x2
- x +6 =0 (Vô nghiệm) Khi t
2=7 thì ta có phương trình x2 -7x+6 =0
x 1 =1, x
2 =6 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x
1=1, x 2 =6
BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. (x+3)2
- x2 -x+6 = 2(x-2)2
2. 2(x2
+x+1)2 -7(x-1)2
=13(x3 -1)
3. 4x + 6x
= 9x
4. 2(x-1)2 + 3(x2
-1)=5(x+1)2
5. 20102x
-3.4002x
+2.4x
=0
6. 3.16x
+2.81x
=5.36x
7. 2.41x +6
1x =9
1x
8. Giải và biện luận các phương trình sau: a. 2(x2
+x+1)2 +(m-1)(x3
-1) +(x-1)2 =0
b. 49x
- 4.21x
+m.9x
=0
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x
1, x 2 thoả mãn 2< x
1 x 2 5
2+ 52x
+ 5-22x
+ m = 0
- Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11
Dạng 5 mx+a + m
x+b - mx+c - m
x+d = n (5)
Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho là xác định. Vói loại này ta có phương pháp giải như sau: Đưa phương trình về dạng: m
x+a - mx+c + m
x+b - mx+d =n quy đồng ta được:
m(c-a)x2
+px+ac + m(d-b)x2
+px+bd =n
Khi đó đặt t=x2 +px ta được phương trình có dạng
kt+ + h
t+ =n
Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra nghiệm của (1) Ví dụ: Giải phương trình
1x+3 + 1
x+4 - 1x+5 - 1
x+6= 59420 (5.1)
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) tương đương với phương trình sau:
3x2
+9x+18 + 1x2
+9x+20 = 59420
Đặt t = x2 +9x khi đó ta có phương trình sau
3t+18 + 1
t+20 = 59420
Giải phương trình trên ta có nghiệm là -115259 , 10
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 12
Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho
là: 1, -10, -92 + 3 1121118 , -92 - 3 1121
118
BÀI TẬP Giải các phương trình sau
1. 1x+2 + 1
x+5 - 1x+4 - 1
x+7 = 29252
2. 4x2
-3 + 4
x2 -5
- 4x2
+7 - 4x2
+9 = 4336
3. Giải và biện luận phương trình sau: 3
x2 +1 + 3
x2 +2 - 3
x2 +3 - 3
x2 +4 =m (5.2)
4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2) có 4 nghiệm phân biệt. - Ai đó ví người theo nghề giáo như những người chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại... Thầy cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không mong nhận lại điều gì... - Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với những gì đang có. - Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo lối mòn cũ.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13
Dạng 6* x4
=ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c
là hằng số. Với dạng này ta có phương pháp giải như sau: Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn (2m+a)x2
+bx +c+m2 = (x+)2
(6.1) Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là b2
-4(2m+a)(c+m2 )=0
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm được giá trị m cần tìm. Ta có x4
=ax2 +bx+c
x4 +2mx2
+m2 =(2m+a)x2
+bx +c+m2
Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về dạng (x2
+m)2 = (x+)2
(x2
-x-+m)(x2 +x++m)=0
Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ dàng Ví dụ: Giải phương trình: x4
=6x2 - 37x +3 (6.2)
Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho 37-4(2m+6)(m2
+3)=0 Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là
m=- 52
Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có
x4 -5x2
+ 254 = x2
- 37x+ 374
x2
-52
2 =
x- 372
2
x2 +x-52- 37
2
x2 -x+ 37
2 -52 =0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14
, , , 12
11 2 372
12
11 2 372
12
11 2 372
12
11 2 372
Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là:
Chú ý đối với phương trình x4
=6x2 +bx+3 thì ta
chọn giá trị m cần chọn là m= (b2
-64)13
2 -1
BÀI TẬP Giải phương trình sau
1. x4 = 6x2
+ 56x+3
2. x4 =x2
+2x- 195
3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm phân biệt
x4 = 6x2
+ (8m3 +64) x +3 (6.3)
4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]
- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè. Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa, nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến thật tâm mình rung động, yêu thương không tính toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và thiêng liêng làm sao... (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15
,5 1 1 5
Dạng 7 a(ax2 +bx+c)2
+b(ax2 +bx+c) +c=x (7)
Đặt t= ax2
+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:
ax2
+bx+c=t at2
+bt+c=x Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2
+3x-4)2 +3(x2
+3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2
+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau:
x2
+3x-4=t t2
+3t-4=x (7.2) Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai khi đó ta có (x2
-t2 )+4(x-t)=0 (x-t)(x+t+4)=0
Với t=x thì ta có các nghiệm là Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4 Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là 0, 4, 5-1, - 5-1 BÀI TẬP Giải các phương trình sau
1. (x2 +4x+2)2
+4(x2 +4x+2)=x-2
2. (x2 -4x+3)2
-4x2 +15x-9=0
Cho phương trình (x2 +5x+m)2
+5x2 +24x+6m=0
3. Giải phương trình khi m=-12 4. Giải phương trình khi m=-22 5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho. 6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt.
Cho phương trình sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 16
2m(2mx2 +3x+m)2
+6mx2 +8x+4m=0
7. Giải phương trình khi m=- 23
8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm phân biệt.
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x2
-2x+2)2 +2(1-m)(x2
-2x+2)+m2 -2m+4=0
Yêu Toán nhất
Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007 (Tôi chỉ trích dẫn)
Bạn ơi, Toán học là gì?
Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn! Là tư duy lôgic, ma lanh,
Giúp cho đời những giải pháp nhanh, Rút ngắn thời gian và đầu tư công của,
Để thu về cuộc sống optimal!
Chính vì thế mà ta đã yêu! Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán! Toán cho ta một bầu trời trí tuệ,
Một kho tàng chìa khóa để tư duy.
Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa, Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta.
Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi, Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống!
Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời!
Hà Nội, 30/7/2007
- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17
Dạng 8: ax2 +bx+c= px2
+qx+r trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là không âm
Với loại này ta có cách giải như sau: Viết phương trình đã cho dưới dạng:
a.
x2
+bax+c
a = p x2 +
qpx+r
p (8.1)
Khi đó đặt t = x2 + bax= x2
+ qp x (do aq=bp≠ 0)
Phương trình (8.1) được viết lại là: ap
t+c
a = t+rp (việc giải phương trình này đã dễ
dàng hơn rồi bạn nhỉ !). Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó suy ra nghiệm x của phương trình đã cho Ví dụ Giải phương trình sau x2
-3x+2= 2x2 -6x+28 (8.2)
Đặt t= x2 -3x khi đó phương trình đã cho viết lại
như sau:
t+2= 2 t+14 t+20 (t+2)2
=2(t+14) t 1=4, t
2=-6
Khi t=4 thì ta có x2 -3x =4 x
1=-1, x 2=4.
Khi t=-6 thì ta có x2 -3x=-6 phương trình không có
nghiệm thực. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. 2x2
-3x+2= 4x2 -6x+28
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18
2. x2 -7x +2= 2x2
-14x+84 Cho phương trình sau x2
-7x+m - 3x2 -21x+85 =0
3. Giải phương trình khi m=19 4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương
trình. Cho phương trình 6x2
-12x+5= 2x2 -4x+m (8.3)
5. Giải phương trình khi m= 85, m=2.
6. Giải phương trình khi m= 11972
7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương.
8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn nghiệm phân biệt.
- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy, nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh. - Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới bầu trời Việt Nam. (Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19
Dạng 9
1
f(x)+a2 +
1
f(x)+b2 = c
(9) Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không.
Với loại này ta đặt X= f(x)+ a+b2 và = b-a
2 khi đó
phương trình đã cho được viết lại như sau:
1
X-2 +
1
X+2= c
Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: cX4
-2(c2 +1)X2
+ c4 -22
=0 (9.1) Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng . Khi tìm được X = X
0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt X ta đưa phương trình đã cho về dạng:
f(x) + a+b2 =X
0
Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách giải phương trình trên.
Lưu ý: Dạng phương trình
k
f(x)+a2+
k
f(x)+b2=c ta
luôn đưa về được dạng phương trình (9) Ví dụ: Giải phương trình:
1
sin(x)-12 +
1
sin(x)-22 = 40
9 (9.2)
Đặt t=sin(x)- 32 khi đó phương trình (9.2) viết lại
như sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20
1
t+12
2 +
1
t-12
2 = 40
9 18t2 + 92 = 40t4
-20t2 + 52
40t4 -38t2
-2= 0 t 1=-1, t
2=1
Với t=-1 sin(x)= 12 x= (-1)k 6 + k (kZ)
Với t=1 sin(x)= 52 ( vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là
x= (-1)k 6 + k (kZ)
BÀI TẬP Giải các phương trình sau:
1.
1
x2 -3
2 +
1
x2 -2
2 = 54
2.
3
2cos2 (x)-2
2 +
3
2sin2 (x)+1
2 =40
3.
4
e2x +1
2 +
4
e2x +3
2 =5
4.
3
x+4 x-22 +
3
x+4 x-62=10
Cho phương trình
12
x2 -3x+5
2+
12
x2 -3x+6
2=m (9.3)
5. Giải phương trình khi m=25. 6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3). - Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi
chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau. - Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu hết mình.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21
Dạng 10 (Phương trình phản phương)
ax4 +bx3
+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10)
Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2
khi đó ta được ax2 +bx+c bx + a
x2 =0
a
x1
x2+b
x1
x +c 2=0
Đặt t= x 1x khi đó ta có phương trình mới
at2 +bt +c 2=0 (10.1)
Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x. Ví dụ: Giải phương trình x4
-4x3 +x2
+4x+1= 0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình cho x2
khi đó ta có
x-1x2 -4
x-1x +3=0
Đặt t=x- 1x lúc đó ta có phương trình
t2 -4t+3=0 t
1=1, t 2 =3
Với t=1 thì ta có phương trình
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22
x2 -x-1=0 x
1= 1+ 52 , x
2= 1- 52
Với t=3 thì ta có phương trình
x2 -3x-1=0 x
3= 3+ 132 , x
4= 3- 132
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
x 1= 1+ 5
2 , x 2= 1- 5
2 , x 3= 3+ 13
2 , x 4= 3- 13
2
BÀI TẬP Giải phương trình 1. 9x4
-9x3 -52x2
-9x+9=0 2. x4
+ 2x3 -6x2
-2x+1=0 3. x4
+10x3 +26x2
+10x+1=0 Cho phương trình x4
+5x3 +mx2
+5x+1=0 (10.2) 4. Giải phương trình khi m=-12. 5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình. 6. Cho phương trình sau x4
- (m+1)x3 +(m+2)x2
- (m+1)x+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm. 7. Cho phương trình sau x4
+mx3 +x2
+mx +1=0 Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác nhau. 8. Biết phương trình x4
-bx3 - cx2
- bx+1=0 có nghiệm Chứng minh rằng: b2
+(c+2)2 >3
Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn , nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh cho ta
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 23
Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4
+bx3 +cx2
dx+k=0 (11) trong đó kb2 =ad2
Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba. Với loại này ta có cách giải như sau
Trước hết để thuận tiện ta đặt = db = ka
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11). Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho x2
thì thu được phương trình sau:
ax2 +bx +c dx + k
x2 =0
a
x2 +2
x2
+b
xx +c =0
a
xx2+b
xx +c 2a=0
Đặt t= x x khi đó ta có phương trình bậc hai
at2 +bt+c 2a=0 Việc giải phương trình này ta có
thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm được x dựa vào cách đặt t. Ví dụ: Giải phương trình: x4
+x3 -8x2
+2x+4=0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 24
Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho
x2 khi đó ta thu được:
x2 +
4x2
+
x+2x -8=0
Đặt t= x+2x lúc đó ta sẽ có được phương trình là:
t2 +t-12=0 t
1 =3, t 2=-4
Với t=3 thì ta có phương trình x2
-3x+2=0 x 1 =1, x
2=2 Với t= -4 thì ta có phương trình x2
+4x+2=0 x 3 =-2+ 2 , x
4=-2- 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là: x
1 =1, x 2=2, x
3 =-2+ 2 , x 4=-2- 2
BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 4x4
+2x3 -8x2
+3x+9=0 2. x4
+ x3 -8x2
-3x+9=0 Cho phương trình x4
+x3 +mx2
+2x+4=0 3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm. Cho phương trình 9x4
+3x3 -2m2
x2 +4x+16=0
5. Giải phương trình khi m=4 6. Giải phương trình khi m= 12-2 3 , m= 12+ 3 7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm. 8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm
- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè. - Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 25
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
AX3 +BX2 +CX+D=0(A≠ 0) (12) Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát hơn về phương trình bậc ba. Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn được đưa về dạng x3
+ax2 +bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ
cần xét phương trình này.
Đặt x=t- a3 khi đó phương trình (12.1) được đưa về
dạng
t-a33
+a
t-a32
+b
t-a3 +c=0
t3 +
b-a
2
3 t +
2a3
27 -ab
3 +c =0
Đặt p= b- a2
3 , q= 2a3
27 - ab3 +c khi đó ta có phương
trình t3 +pt+q=0 (12.2)
TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t3 +q=0 t=- 3 q
Tức là đã giải được nên ta không cần xét tiếp nữa
TH2: Nếu p>0 thì ta đặt t = p3u khi đó (12.2) viết lại
là:
p
3u3 +p p
3u +q=0 u3 +3u= -3 3q
p p
Đặt m=-3 3qp p
khi đó ta có phương trình u3 +3u = m
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 26
TH3: Nếu p<0 thì ta đặt t= -p3 u khi đó (12.2) viết lại
là:
-p
3 u3+ p -p
3 u +q=0 u3 -3u = 3 3q
p -p
Đặt m= 3 3qp -p
thì ta có phương trình là u3 -3u =m
Kết luận: Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng x3
+3x=m hoặc x3 -3x=m
Ta có đồ thị hàm y=x3 +3x như sau
Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3
+3x=m có duy nhất nghiệm.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 27
Đồ thị hàm số y= x3 -3x
Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình x3
-3x=m Có ba nghiệm phân biệt nếu -2 < m < 2 Có một nghiệm nếu m > 2 hoặc m<-2 Có hai nghiệm nếu m=-2 hoặc m=2 Giải phương trình x3
+3x=m
Từ đẳng thức
a-1a
3 +3
a-1a = a3
- 1a3
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 28
Nên ta suy ra phương trình x3 +3x =a - 1a có một
nghiệm duy nhất là x = 3 a - 1
3 a
Xét phương trình x3 +3x =m và ta đặt m= a- 1a khi đó ta
chon một giá trị a thoả mãn là đủ Việc chọn a chính là giải phương trình bậc hai
a2 -ma-1=0 a
1= m+ m2 +4
2 a 2= m- m2
+42
ta chọn giá trị nào trong hai giá trị trên cũng được, giả sử chọn a
1 Khi đó ta có phương trình:
x3 +3x = m+ m2
+42 - 1
m+ m2 +4
2
x = 3 m+ m2
+42 - 1
3 m+ m2 +4
2
Giải phương trình x3
-3x=m Trường hợp 1: m >2 hoặc m < -2
Từ đẳng thức
a+1
a3- 3
a+1
a =a3 + 1
a3 cũng làm tương
tự như giải phương trình x3 +3x=m ta tìm được nghiệm
là:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 29
x= 3 m+ m2
-42 - 1
3 m+ m2 -4
2
Trường hợp 2: Nếu m=2 thì rõ ràng phương trình x3
-3x=m có hai nghiệm là x
1=-1, x 2=2.
Nếu m=-2 thì phương trình x3 -3x=m có hai
nghiệm là x 1=1, x
2= -2. Trường hợp 3: -2 < m<2 Trước tiên ta chứng minh x (-2,2) m (-2,2) Thật vậy, ta đặt x=2cos thì phương trình trở thành 8cos3
- 6cos = m 2(4cos3 - 3cos)= m
2cos3 = m m (-2,2) (đpcm) Vạy trong trường hợp này thì ta đặt x=2cos (0,) lúc này phương trình x3
-3x=m sẽ có dạng là
2cos3 = m cos3 = m2
Đặt cos= m2 (0,) khi đó ta có = 3 + k23 (kZ)
Vậy nghiệm của phương trình x3 -3x=m trong trường
hợp này là:
x 1= 2cos3 , x
2= 2cos
3+23 , x
3= 2cos
3+43
trong đó cos= m2 (0,).
Quá trình giải phương trình bậc ba tổng quát ta phải đi theo các bước như trên. Sau đó dựa vào cách đặt các biến mà ta suy ra nghiệm của phương trình ban đầu. - Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại!
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 30
Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2
+3x +4=0 (12.3) Hướng dẫn: Bằng cách đặt x = t - 23 ta đưa phương trình đã cho
về dạng t3 + 53 t + 70
27 =0. (12.4)
Bằng cách đặt t= 53 X ta có thể đưa (12.4) về dạng
X3 +3X = -14
5 (12.5)
Phương trình (12.4) có duy nhất nghiệm (vì có dạng 3x3
+3x=m) và như đã trình bày ở phần giải phương trình tổng quát ta tìm được nghiệm của phương trình (12.5) là
X= 3 3 6-7
5 - 1
3 3 6-75
Vậy nghiệm của phương trình (12.3) là:
x = 53
3 3 6-7
5- 1
3 3 6-75
- 23
Bây giờ bạn có thể thử sức mình với các bài sau: Giải phương trình: 1. x3
+3x2 +4x+5=0
2. x3 +4x2
+2x+5=0 3. x3
- 6x+ 4 2 =0 4. 72x3
-108x2 -18x+ 27+8 6 =0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 31
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC BỐN
AX4 +BX3 +CX2 +DX+E=0(A≠ 0) (13) Trước hết ta chú ý rằng phương trình (13) luôn có thể được đưa về dạng x4
+ax3 +bx2
+cx+d=0 (13.1) nên ta chỉ cần xét phương trình này. Khi a2
+b2 +c2
=0 thì ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình.
Khi a2 +b2
+c2 ≠ 0
Đặt x= y- a4 khi đó phương trình (13.1) được viết lại
như sau:
y-a
44+a
y-a
43+ b
y-a
42+c
y-a
4 +d=0
y4 +
b-3a3
8 y2
+
a3
8 +ab
2 +c y+
ba2
16 -3a4
256-ac
4 +d =0
Đặt p= b - 3a3
8 q= a3
8 + ab2 +c r = ba2
16 - 3a4
256 - ac
4 +d
Khi đó ta đưa về phương trình y4
+ py2 + qy+r = 0
y2
+p2+
2 -
2y2 -qy+
2 +p-r+p2
4 =0 (13.2)
Bây giờ ta đặt ra yêu cầu là chọn giá trị để biểu thức
2y2 -qy +
2 +p-r+p2
4 (13.3) là bình phương đúng.
Thực chất quá trình chọn giá trị chính là đi tìm để
= q2 - 8
2 +p-r+p2
4 =0 (13.4)
Phương trình (13.4) là một phương trình bậc ba theo biến do đó phương trình (13.4) có ít nhất một nghiệm
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 32
(giải phương trình bậc ba tổng quát đã trình bày ở phần trước). Vì vậy, ta luôn tìm được giá trị thoả mãn yêu cầu mà đặt ra. Giả sử =
0 là giá trị làm cho biểu thức (13.3) trở thành bình phương đúng. Khi đó
2 0y2
-qy +
02 +p
0-r+p2
4 =
2 0
y- q
4 0
2
Nên phương trình (13.2) được viết lại như sau
y2
+p2+
02-
2 0
y- q
4 0
2 = 0
y2
+p2+
02 =
2 0
y- q
4 0
2
y2
- 2 0y+p
2+ 0+
q2 2
0
y2
+ 2 0y+p
2+ 0-
q2 2
0=0
y
2 - 2
0y+p2+
0+q
2 2 0=0
y2 + 2
0y+p2+
0-q
2 2 0=0
(13.5)
1= -2
02 -2
0p- 2 0q
0
2=
-2 02 -2
0p+ 2 0q
0
Bây giờ ta sẽ đi vào các trường hợp cụ thể: a)
1<0 và 2<0 thì phương trình vô nghiệm.
b) 1=0 và
2<0 hoặc 1<0 và
2=0 thì phương trình
có một nghiệm kép y= 2 0
2 hoặc y= - 2 0
2
c) 1>0 và
2<0
1<0 và 2>0
1=0 và
2=0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 33
Trong cả ba trường hợp này phương trình có hai nghiệm trong đó hai trường hợp đầu hai nghiệm của phương trình là nghiệm đơn trường hợp thứ ba là hai ngiệm kép. d)
1>0 và 2=0
1=0 và
2>0 Trong hai trường hợp này phương trình có ba nghiệm trong đó có một nghiệm là nghiệm kép và hai nghiệm đơn. e)
1>0 và 2>0, trong trường hợp này phương trình có
bốn nghiệm phân biệt( bốn nghiệm đơn).
y 1= 2
0+ -2 02 - 2
0q-2 0p
2 0
y 2= 2
0- -2 0
2 - 2
0q-2 0p
2 0
y 3= - 2
0- -2 02 + 2
0q-2 0p
2 0
y 4= - 2
0+ -2 0
2 + 2
0q-2 0p
2 0
Chú ý rằng: Do a, b,c không đồng thời bằng không nên theo cách đặt q thì q≠ 0 do đó theo phương trình (13.4) thì giá
trị 0≠ 0.Vì vậy các biểu thức ở trên luôn xác định.
Sau khi tìm hiểu một cách tổng quát về phương trình bậc bốn thì bạn có thể thử với một số ví dụ như sau 1) x4
+2x3 -23x2
+12x+5=0 2) x4
+2x3 +3x2
+4x+5=0 3) x4
+2x3 +3x2
+4x+5=0 4) x4
+2x3 +3x2
+4x+2=0 5) x4
+5x3 -20x2
+12x-2=0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 34
Phụ lục một số nhà toán học có công trong việc giải các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và cao hơn
François Viète Niccolo Tartaglia
Carl Friedrich Gauss Evariste Galois Niels Henrik Abel
www.VNMATH.com
top related