cálculo diferencial em -...
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Cálculo Diferencial em �
Definição de Derivada
Seja f uma função real de variável real definida num intervalo
aberto que contém c.
Chama-se derivada de f em c a
f ��c� �x�clim
f�x��f�c�x�c ,
caso este limite exista.
Esta definição é equivalente a
f ��c� �h�0
limf�c�h��f�c�
he a f ��c� �
�x�0
limf�c��x��f�c�
�x
�x � x � c � incremento de x
�y � �f � f�c � �x� � f�c� � incremento de y
�y
�x� f�c��x��f�c�
�x� razão incremental
Diz-se que:
� f é derivável em c, se f tem derivada (finita ou infinita) em c;
� f é diferenciável em c, se f tem derivada finita em c;
� f é diferenciável no intervalo aberto �a,b�, se f for
diferenciável em todos os pontos de �a,b�.
Notações:
f �;dy
dx; y �;
df
dx�x�; Dx�f�x�� com y � f�x�.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 1
Interpretação Geométrica
Se f é diferenciável em c:
� a recta que passa por �c, f�c�� e tem declive m é a recta
tangente ao gráfico de f no ponto �c, f�c�� e é definida por:
y � f�c� � f ��c��x � c�;
� a recta normal ao gráfico de f no ponto �c, f�c�� é a recta
perpendicular à recta tangente nesse ponto e é definida por:
se f ��c� � 0, y � f�c� � � 1
f ��c��x � c�,
se f ��c� � 0 x � c.
Observações:
� Se f ��c� � 0, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é
horizontal e a recta normal é vertical.
� Se f ��c� � �� ou f ��c� � ��, a recta tangente ao gráfico de
f nesse ponto é vertical e a recta normal é horizontal.
� Se f ��c� é infinito sem sinal determinado, não existe recta
tangente nem recta normal ao gráfico de f nesse ponto.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 2
� f�x� � x3
10.50-0.5-1
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
f ��0� �x�0
lim x3�0x�0
� 0
� g�x� � 3 x
10.50-0.5-1
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
g ��0� �x�0
lim3 x �0
x�0� ��
� h�x� � 3 x2
10.50-0.5-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x
y
x
y
h ��0� �x�0
lim3 x2 �0
x�0� �
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 3
Interpretação geométrica dos limites notáveis:
� f�x� � senx
f ��0� �x�0
lim sen xx � 1
� g�x� � ex
g ��0� �x�0
lim ex�1x � 1
� h�x� � ln�x � 1�
h ��0� �x�0
limln�x�1�
x � 1
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 4
Aplicações à Física
Considere-se um ponto móvel sobre um eixo e
s�t� � posição do ponto em cada instante t.
Sendo t0 e t dois instantes distintos (com t0 � t),
s�t� � s�t0�t � t0
�espaço percorrido
tempo gasto,
representa a velocidade média no intervalo de tempo �t0, t�.
v�t0� �t�t0
lims�t��s�t0�
t�t0� s ��t0� � derivada de s�t� em t0
representa a velocidade instantânea no instante t0.
Analogamente, sendo t0 � t,
v�t� � v�t0�t � t0
representa a aceleração média no intervalo de tempo �t0, t�.
a�t0� �t�t0
limv�t��v�t0�
t�t0� v ��t0� � derivada de v�t� em t0
representa a aceleração instantânea no instante t0.
Observação:
- A razão incremental,f�x��f�c�
x�c , representa a taxa de variaçãomédia da função f no intervalo de extremos x e c.
- A derivada de f em c, f ��c� �x�clim
f�x��f�c�x�c , representa a taxa de
variação instantânea da função f em c.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 5
Derivadas Laterais
Derivadas laterais de f em c:
� Se D f contém um intervalo �c � �,c� , com � � 0, caso exista
fe��c� �
x�c�lim
f�x��f�c�x�c � derivada à esquerda de f em c.
� Se D f contém um intervalo �c,c � �� , com � � 0, caso exista
fd� �c� �
x�c�lim
f�x��f�c�x�c � derivada à direita de f em c.
Proposição
Uma função definida num intervalo aberto que contém c é
derivável em c sse existem, e são iguais, as derivadas laterais de
f em c.
Observação:
Se fe��c� � fd
� �c�, então f não é derivável em c e o gráfico de f
não tem recta tangente no ponto �c, f�c��.
� f diz-se derivável no intervalo �a,b� (subconjunto de D f) se
for derivável em todos os pontos do intervalo �a,b� e
existirem fd� �a� e fe
��b�;
� f diz-se diferenciável no intervalo �a,b� (contido em D f) se
for diferenciável em todos os pontos do intervalo �a,b� e
existirem e forem finitas fd� �a� e fe
� �b�.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 6
Diferenciabilidade e continuidade
Proposição
Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c.
Observação:
� O contra-recíproco é verdadeiro, isto é
se f não é contínua em c, então f não é diferenciável em c.
� O recíproco não é verdadeiro, isto é
f contínua em c não implica f diferenciável em c.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 7
Regras de derivação
Propriedades das operações
Se f e g são funções diferenciáveis em a e k � �, então f � g,
f � g, kf e f � g também são diferenciáveis em a e:
� �f � g� ��a� � f ��a� � g ��a�;
� �f � g� ��a� � f ��a� � g ��a�;
� �kf� ��a� � kf ��a�, com k � �;
� �f � g� ��a� � f ��a�g�a� � f�a�g ��a�;
Se g�a� � 0, entãofg é diferenciável em a e
� fg
��a� � f ��a�g�a��f�a�g��a�
g2�a�.
Teorema (Derivada da Função Composta)
Sejam g diferenciável em a e f diferenciável em g�a�. Então f � g
é diferenciável em a e
�fog� ��a� � f ��g�a��g ��a�.
Teorema (Derivação da função inversa)
Seja f : I � � � � uma função estritamente monótona e
contínua em I.
Se f é diferenciável em a � I e f ��a� � 0, então f�1 é
diferenciável em f�a� e
�f�1� ��f�a�� � 1
f ��a�.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 8
Tabela de Derivadas
Sendo u e v funções diferenciáveis, k e a constantes reais,
� k � � 0;
� �ku� � � ku �;
� �u�� � � �u��1u �, � � �;
� � n u � � � u�
n n un�1, n � � resulta do anterior, � � 1
n ;
� �eu� � � u �eu;
� �au� � � auu � ln a, a � 0 resulta do anterior, au � eu lna ;
� �uv� � � uvv � ln u � vuv�1u �;
� �lnu� � � u�
u ;
� �logau� � � u�
u lna, a � 0 resulta do anterior, logau � lnu
lna
� �senu� � � u � cosu;
� �cosu� � � �u � senu;
� �tgu� � � u � sec2u recorde que sec u � 1cosu ;
� �cotgu� � � �u � cosec2 u recorde que cosec u � 1senu ;
� �sec u� � � u � sec u tg u resulta de sec u � 1cosu ;
� �cosec u� � � �u � cosec ucotgu resulta de cosec u � 1senu ;
� �arcsenu� � � u�
1�u2;
� �arccosu� � � � u�
1�u2;
� �arctg u� � � u�
1�u2;
� �arccotg u� � � � u�
1�u2.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 9
Diferencial
Seja f : I � �a,b� � � � � uma função diferenciável em �a,b�e �x � � tal que x � �x ��a,b�. Chama-se
�x � acréscimo ou incremento da variável x
�f � f�x � �x� � f�x� � acréscimo ou incremento da função f,
correspondente ao acréscimo �x
Interpretação geométrica:
x x+∆x
y=f(x)
∆ ff’(x)∆x
0
∆x
f(x)
f(x+∆x) α∆x
x x+∆x
y=f(x)
∆ ff’(x)∆x
0
∆x
f(x)
f(x+∆x) α∆x
Seja f diferenciável em x. Para valores de �x pequenos, tem-se
�f � f ��x��x f�x � �x� � f�x� � f ��x��x.
A este processo chama-se linearização de f, em torno de x.
Consiste em aproximar o valor da função em x � �x, para �x
pequeno, pelo valor da ordenada do correspondente ponto da
recta tangente ao gráfico de f em �x, f�x��.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 10
Definição
Chama-se diferencial de f em x relativamente ao acréscimo
�x, ao produto f ��x��x e escreve-se
dxf��x� � f ��x��x ou df � f ��x��x ou df � f ��x�dx.
Nota: Em resumo, para uma variação �x,
f�x � �x� � é o valor exacto de f
�f � f�x � �x� � f�x� � é o valor exacto da variação de f
f�x� � f ��x��x � é um valor aproximado de f
df � f ��x��x � é um valor aproximado da variação de f
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 11
Teoremas Fundamentais
Teorema
Sejam f : I � �a,b� � � � � uma função diferenciável em
�a, b� e c ��a,b�.
Se f�c� é extremo relativo de f , então
f ��c� � 0.
Observação 1: O teorema só se aplica a pontos interiores do
intervalo.
Observação 2: O recíproco não é verdadeiro - a derivada de
uma função pode ser nula num ponto sem que a função tenha um
extremo no ponto.
Teorema de Rolle
Seja f uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�.Se f�a� � f�b�, então existe c ��a,b� tal que f ��c� � 0.
Corolário 1
Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há
pelo menos um zero da sua derivada.
Corolário 2
Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função não
pode haver mais do que um zero da função.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 12
Teorema de Lagrange
Se f é uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�,então existe pelo menos um c ��a,b� tal que
f ��c� �f�b� � f�a�
b � a.
Corolário 1
Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange:
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é constante no intervalo �a,b�;
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é estritamente crescente no intervalo �a,b�;
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é estritamente decrescente no intervalo �a,b�.
Corolário 2
Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange,
f é crescente em �a,b� sse f ��x� 0,x ��a,b�,
f é decrescente em �a,b� sse f ��x� � 0,x ��a,b�.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 13
Teorema de Cauchy
Se f e g são funções contínuas em �a,b� e diferenciáveis em
�a, b�, com g ��x� � 0,x ��a,b�, então existe pelo menos um
c ��a, b� tal que
f�b� � f�a�g�b� � g�a�
�f ��c�g ��c�
.
Aplicação a indeterminações do tipo 00
ou ��
Corolário (Regra de Cauchy)
Sejam f e g duas funções diferenciáveis em �a,b� (com a e b
finitos ou infinitos) tais que:
� g ��x� � 0,x � �a,b�;
�x�alim f�x� �
x�alim g�x� � 0 ou
x�alim f�x� �
x�alim g�x� � �.
Então, se existirx�alim
f ��x�
g��x�, também existe
x�alim
f�x�g�x�
e estes dois
limites são iguais.
Observação: Os símbolos
� � � 0 � � 00
�� 00 1� �0
representam indeterminações.
Para aplicar a regra de Cauchy é necessário ter ou transformar a
indeterminação existente numa indeterminação do tipo 00
ou �� .
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 14
Derivadas de ordem superior à primeira
Seja f : D f � � � � uma função diferenciável em a.
Se a função derivada de f, f �, for diferenciável em a, diz-se que
f é duas vezes diferenciável em a e a derivada de f � designa-se
por segunda derivada de f no ponto a e representa-se por
f ���a�, f �2��a�,d2f
dx2�a� ou D2f�a�.
Tem-se
f ���a� � f � ��a� �
x�alim
f ��x� � f ��a�x � a
A derivada de ordem n da função f define-se, por recorrência,
do seguinte modo:
f�0��a� � f�a�,
f�n��a� � �f�n�1�� ��a�, com n � �.
Diz-se que f é n vezes diferenciável no ponto a se existir e for
finita a derivada f�n��a�
(o que obriga a que a função e todas as suas derivadas de ordem
menor que n sejam diferenciáveis em a�.
Tem-se assim
f�n��a� � �f�n�1�� ��a� �x�alim
f�n�1��x� � f�n�1��a�x � a
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 15
Observação: Para justificar, rigorosamente, a generalidade das
propriedades das derivadas de ordem n é necessário recorrer ao
seguinte resultado:
Princípio de Indução finita
Seja P�n� uma condição na variável natural n tal que:
� P�1� é verdadeira;
� para qualquer n � �, se P�n� é verdadeira, então P�n � 1� é
verdadeira.
Então P�n� é verdadeira para qualquer n � �.
Observação:
� Diz-se que uma função f é continuamente diferenciável ou
de classe C1 se f for diferenciável e, além disso, a sua
derivada for contínua.
� Se, para algum k � �, f for k vezes diferenciável e, além
disso, f�k� for uma função contínua, diz-se que f é de classe
Ck.
� Se uma função f tiver derivadas contínuas de todas as
ordens, diz-se que f de classe C�.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 16
Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor
Objectivo: Aproximar uma função dada (perto dum ponto) por
funções polinomiais.
Suponhamos que as derivadas de f, até à ordem n, existem e são
finitas em a.
Chama-se polinómio de Taylor de ordem n de f , em a, (ou
polinómio de Taylor de ordem n em potências de �x � a�) a
Pn�x� � f�a� � f ��a��x � a� �f ���a�
2!�x � a�2 �� �
f �n��a�n!
�x � a�n.
Chama-se polinómio de Mac-Laurin de ordem n de f (ou
polinómio de Mac-Lauirn de ordem n em potências de x) ao
polinómio de Taylor de ordem n de f, para a � 0, isto é, a
Pn�x� � f�0� � f ��0�x �f ���0�
2!x2 �� �
f �n��0�n!
xn.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 17
Teorema (Fórmula de Taylor de ordem n de f em a):
Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contínua e n
vezes diferenciável no ponto a � I.
Então, para qualquer x � I,
f�x� � f�a� � f ��a��x � a� �f ���a�
2!�x � a�2 �
f ����a�3!
�x � a�3 �. . .�
�f �n��a�
n!�x � a�n � Rn�x�
onde Rn�x� verifica a condição
x�alim
Rn�x��x � a�n � 0.
(Se a � 0, chama-se fórmula de Mac-Laurin.)
Chama-se resto de ordem n da Fórmula de Taylor de f em a à
função Rn�x�.
Chama-se erro associado à aproximação de f�x� por Pn�x� a
� � |Rn�x�| � |f�x� � Pn�x�|.
Observação: Há várias expressões para Rn�x�, entre as quais a
do resto de Lagrange de ordem n:
Rn�x� �f�n�1�����n � 1�!
�x � a��n�1�,
para algum � no intervalo aberto de extremos a e x.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 18
Monotonia e extremos
Monotonia
Recorde-se o corolário do teorema de Lagrange
Corolário
Seja f é uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�:
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é constante no intervalo �a,b�;
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é estritamente crescente no intervalo �a,b�;
� se f ��x� � 0,x ��a,b�,
então f é estritamente decrescente no intervalo �a,b�.
Extremos
Chamam-se pontos de estacionaridade de uma função f aos
pontos em que a sua derivada é nula.
Um ponto de estacionaridade pode não ser um extremo de f.
Recorde-se que, sendo f uma função diferenciável em a,
se f tem um extremo em a então f ��a� � 0.
Para esclarecer se um ponto de estacionaridade é ou não um
extremo da função podem-se analisar as derivadas da função:
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 19
Proposição
Sendo a um valor tal que f ��a� � 0, tem-se que:
� se f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��, para
algum � � a e algum � � a, então f�a� é um máximo
relativo;
� se f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��, para
algum � � a e algum � � a, então f�a� é um mínimo relativo.
Nota: As condições anteriores garantem a existência de extremo
de f mesmo que f não tenha derivada em a.
Proposição
Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 2,
tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f
em a, isto é:
f ��a� � f ���a� �. . .� f �n�1��a� � 0 e f �n��a� � 0.
Então:
� se n é ímpar, f�a� não é extremo de f.
� se n é par, f�a� é um
máximo relativo, se f �n��a� � 0;
mínimo relativo, se f �n��a� � 0.
Corolário
Seja f uma função que admite segunda derivada contínua numa
vizinhança de um ponto de estacionaridade a:
� se f ���a� � 0, então f�a� é um máximo;
� se f ���a� � 0, então f�a� é um mínimo.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 20
Concavidades e Pontos de inflexão
Concavidades
Diz-se que f, diferenciável no intervalo �a,b�, tem a
concavidade voltada para cima em �a,b� se, para qualquer
x � �a, b�, o gráfico de f está acima da recta tangente ao gráfico
em �x, f�x��.
Diz-se que f, diferenciável no intervalo �a,b�, tem a
concavidade voltada para baixo em �a,b� se, para qualquer
x � �a, b�, o gráfico de f está abaixo da recta tangente ao gráfico
em �x, f�x��.
Corolário
Seja f com segunda derivada no intervalo aberto I:
� se f ���a� � 0,x � I, então f tem concavidade voltada para
cima;
� se f ���a� � 0,x � I, então f tem concavidade voltada para
baixo.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 21
Pontos de inflexão
Um ponto onde ocorra uma mudança de concavidade do gráfico
de f diz-se um ponto de inflexão de f.
Proposição
Seja a um valor tal que f ���a� � 0. Se
f ���x� � 0, x � ��,a� e f ���x� � 0, x � �a,��
ou
f ���x� � 0, x � ��,a� e f ���x� � 0, x � �a,��,
para algum � � a e algum � � a, então f�a� é um ponto de
inflexão.
Proposição
Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 3,
tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f
em a, isto é
f ���a� � f ����a� �. . .� f �n�1��a� � 0 e f �n��a� � 0.
Então:
� se n é ímpar, a é um ponto de inflexão de f.
� se n é par, f tem
a concavidade voltada para cima,
se f �n��a� � 0;
� a concavidade voltada para baixo,
se f �n��a� � 0.
.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 22
Assímptotas
Seja f uma função real de variável real.
Assímptotas verticais
A recta x � a é uma assímptota vertical de f se
x�a�lim f�x� � � ou
x�a�lim f�x� � �.
Assímptotas não verticais
A recta y � b é uma assímptota horizontal de f se
x���lim f�x� � b ou
x���lim f�x� � b.
A recta de equação y � mx � b é uma assímptota nãovertical de f se
x���lim �f�x� � �mx � b�� � 0 ou
x���lim �f�x� � �mx � b�� � 0.
� Se m � 0, a assímptota é horizontal.
� Se m � 0, a recta é uma assímptota oblíqua de f.
Proposição: A recta de equação y � mx � b é uma assímptota
não vertical de f , sse
x���lim
f�x�x � m
x���lim �f�x� � mx� � b
oux���lim
f�x�x � m
x���lim �f�x� � mx� � b
.
Observação: Se f tem uma assímptota horizontal quando
x � �� (respectivamente x � ��), então f não tem assímptota
oblíqua quando x � �� (respectivamente x � ��).
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 23
Estudo de uma função e esboço do gráfico
Pontos fundamentais (em geral) para esboçar o gráfico de f :
� domínio;
� pontos de descontinuidade e assímptotas verticais;
� intersecção com os eixos / zeros de f;
� sinal de f;
� paridade de f (simetrias);
� intervalos de monotonia e extremos;
� concavidades e pontos de inflexão;
� assímptotas não verticais.
Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 24
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