cálculo iii - integrais de linha resolvidas em 04 mai 2011
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Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia
Email: afonsocarioca@hotmail.com
1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
CURSOS LIVRES DE 3º GRAU
CÁLCULO III
INTEGRAIS DE LINHA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule a integral de linha C
x 2y ds, onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3
e orientada no sentido positivo.
Solução:
A parametrização dessa semicircunferência será dada por:
2 2
r(t) 3costi 3sent j, 0 t ds 3sent 3cost dt ds 9 dt 3dt . Substituindo:
0
0
3cost 6sent 3dt 3 3sent 6cost 3 12 36
2. Calcular a integral C
x² y² z ds, onde C é a hélice circular dada por :
r(t) costi sent j tk de P(1,0,0) a Q(1,0,2 )
Solução:
2
ds sent cost ² 1dt 2 dt. Assim, podemos escrever:
22 2
00 0
2
0
t²cos²t sen²t t 2 dt 2 1 t dt 2 t
2
4 ²2 1 t dt 2 2 2 2 1
2
3. Calcule C
2x y z ds , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).
Solução:
Parametrização do segmento de reta AB:
x(t) 2 t
AB (1, 2, 2) i 2j 2k; B(2,0,1) AB : y(t) 2t
z(t) 1 2t
y 2 t 1; y 0 t 0 1 t 0
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2 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr(t) x t i y t j z t k r(t) 2 t i 2tj 1 2t k
Assim :
r '(t) i 2j 2k r(t) 1 4 4 9 3 ds 3dt (1)
f x,y,z 2x y z f t 2(2 t) ( 2t) 1 2t 4 2t 2t 1 2t 5 2t f t 5 2t (2)
Substituindo (1) e (2) na integral dada:
0 0
0
1
C 1 1
C
2x y z ds 5 2t 3dt 3 (5 2t) dt 3(5t t²) |
2x y z ds 0 3( 5 1) ( 3)( 4) 12
Resp.: 12
4. Calcule
C
xz ds , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y.
Solução:
Vamos parametrizar a curva dada:
2
22 2
2 2
22
x y t t² t² z² 4 z² 4 2t² z 4 2t²
4 2t² 0 2t² 4 0 2 t 2
ˆ ˆ ˆr(t) x t i y t j z t k r(t) ti t j 4 2t² k
2tˆ ˆ ˆr ' t i j k4 2t
2t 4t 8 4tr '(t) 1 1 2
4 2t4 2t
24t
2 2 2
8 81
4 2t 4 2t 4 2t
e
f x,y,z xz f t t 4 2t² (2)
Substituindo (1) e (2) na integral dada:
C
xz ds t 4 2t²
2
22
8
4 2t
2
2
22 2 2
C 3
dt 8 t dt
t 8 8xz ds 8 2 2 2 2 0
2 2 2
Resp.: 0
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Outra Solução:
2 2 2
2 22 2 2 2 2
2 22 2 2
C : x y z 4 x y
Assim :
y zy y z 4 2y z 4 1
2 4
Parametrizando:
x t 2 cos t y t 2 cos t z t 2sent
Assim :
r t 2 cos t, 2 cos t, 2sent r ' t 2sent, 2sent, 2cos t
e
r ' t 2sent 2sent 2cos t r ' t 2sen t 2sen t 4cos t
r ' t 4
2 2 2 2
2 2 b
C 0 0 a
bb 2 22 2 2
0C a a
sen t 4cos t r ' t 4 sen t cos t r ' t 4 r ' t 2
Substituindo :
xzds 2 cos t 2sent 2dt 4 2 sentcos tdt 4 2 udu
Onde :
u sent du cos tdt
Assim:
uxzds 4 2 udu 4 2 2 2 sent 2 2 sen 2 sen 0 0
2
Resp: 0
5. Calcule
C
xyds , onde C é a elipse x² y²
1a² b²
.
Solução:
A parametrização da elipse é dada por:
2 2 2 2 2
x(t) acos t e y(t) bsen t t 0, 2
r(t) acos ti bsen t j, 0 t 2
e
ˆ ˆr ' t asent i bcos tj
r '(t) a²sen²t b²cos²t, mas sen²t 1 cos²t
r '(t) a² 1 cos t b²cos t r '(t) a² a cos t b²cos t r '(t) (b² a²)cos²t a²
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ds r '(t) dt ds (b² a²)cos²t a² dt
Substituindo na integral dada:
2
C 0
2
C 0
C
xyds acos t bsent (b² a²)cos ²t a² dt
xyds ab cos t sent (b² a²)cos ²t a² dt
u (b² a²)cos ²t a² du 2(b² a²)cos t ( sent) 2(b² a²) cos t sent
dudu 2(a² b²) cos t sent dt dt
2(a² b²) cos t sent
xyds ab co s t sent
du
u2(a² b²) cos t sent
32
12 2
0
C
C
(b² a²)cos ²t a²ab abxyds u du |
32(a² b²) 2(a² b²)
2
abxyds
2
2
(a² b²)
23
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
2 2
0
2 2 2 2 2 2
2 2C C
abb² a² cos t a b a cos 2 a b a cos 0 a
3 3 a b
abxyds b a a b a a 0 xyds 0
3 a b
Resp.:0
6. C
3y z ds , onde C é o arco da parábola z = y² e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4).
Solução:
Parametrizando C:
2
x t 1
C y t t 0 t 2
z t t
Assim:
2 2r t 1,t,t r ' t 0,1,2t r ' t 1 4t
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Assim:
2 2 2
2 2 2 2
C 0 0 0
2
2 17 17 12 2
C 0 1 1
17
3
2
C
1
3y z ds 3t t 1 4t dt 3t t 1 4t dt 2t 1 4t dt
Fazendo :
du duu 1 4t 8t dt
dt 8t
e
0 t 2 1 u 17
Substituindo :
du 2t3y z ds 2t 1 4t dt 2t u u du
8t 8t
1 u 1 23y z ds 17
34 4 3
2
3 332 2
C
11 17 1
6
13y z ds 17 17 1
6
Resp: 1
17 17 16
7. C
y ds , onde C é a curva dada por y = x³ de (-1,-1) a (1, 1).
Solução:
Sabemos que:
y, se y 0 1 y 0y
y, se y 0 0 y 1
Parmetrizando C:
3C: x t t; y t t
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6 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
Assim:
1 2
3
22 2 4
0 1
3 4 3 4
C C C 1 0
4 3
3
3
C
ˆ ˆr t x t i y t j r t t,t
Assim :
r ' t 1,3t r ' t 1 3t r ' t 1 9t
Assim :
yds -yds yds t 1 9t dt t 1 9t dt
Fazendo :
du duu 1 9t 36t dt
dt 36t
Se 1 t 0 10 u 1e 0 t 1 1 u 10
Substituindo :
yds t
0 1 1 10
4 3 4 3 3
3 3
1 0 10 1
1 10 10 10 101 1 1 1 1
2 2 2 2 2
C 10 1 1 1 1
310 1 3 32
32 2 2
C 1
du du1 9t dt t 1 9t dt t u t u
36t 36t
1 1 1 1 1yds u du u du u du u du 2 u du
36 36 36 36 36
1 1 u 1 2 1 1yds u du 10 1 10 1
318 18 18 3 27 2
2
C
10 10 17
10 10 1 10 10 1yds
27 27 27
Resp: 10 10 1
27
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8. Calcule
C
y(x z)ds , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.
Solução:
Parametrizando C:
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2
2 2
x y z 9 x y z 9C : C :
x z 3 z 3 x
Assim :
x y z 9 x y 3 x 9
x y 9 26x x 9
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2x 6x y 0
Comple tando o quadrado :
9 9 3 9 32 x 3x y 0 2 x y 4 x 2y 9
4 2 2 2 2
3 34 x x
2y y2 21 1
9 99 9
4 2
Assim:
3 3 3x cos t e y sent
2 2 2
Mas :
3 3 3 3z x 3 z cos t 3 cos t
2 2 2 2
Assim
22 2
2 2 2
2 2 2 2
:
3 3 3 3 3r t cos t, sent, cos t 0 t 2
2 2 2 22
e
3 3 3r ' t sent, cos t, sent
2 22
Então :
3 3 3 9 9 9r ' t sent cos t sent r ' t sen t cos t sen t
2 2 4 2 42
9 9 9r ' t sen t cos t sen t cos t
2 2 2
1 9 3 3r ' t
2 2 2
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8 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
Assim:
2
C 0
C
3 3 3 3 3 3y(x z)ds sent cos t cos t 3 dt
2 2 2 22 2
3 3 3y(x z)ds sent
22 2
3cost
2
3-
2
3cos t
2
2
0
22 2
0C 0 0
C
3 dt
9 27 27 27 27y(x z)ds 3sentdt sentdt cos t cos2 cos0 1 1 0
2 2 2 2 2
Assim :
y(x z)ds 0
Resp: 0
9. Calcule
C
(x y)ds , onde C é a interseção das superfícies z = x² + y² e z = 4.
Solução:
A curva C é a circunferência x² + y² = 4, cuja parametrização é dada por:
2 2 2 2
x 2cos tC : 0 t 2
y 2sent
Assim :
r t 2cos t, 2sent r ' t 2sent, 2cos t
e
r ' t 4sen t 4cos t 4 sen t cos t
1
2 22
0C 0 0
C
C
4 2 r ' t 2
Substituindo :
(x y)ds 2cos t 2sent 2dt 4 cos t sent dt 4 sent cos t
(x y)ds 4 sen 2 sen 0 cos 2 cos 0 4 0 0 1 1 4 0 0
Logo :
(x y)ds 0
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9 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
10. Calcule
C
(x y z)ds , onde C é o quadrado de vértices (1,0,1), (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).
Solução:
Parametrizando os segmentos de reta que formam os lados do quadrado, temos:
1
AB
1
11 1 2
C 0 0 0
A(1,0,1), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1)
Reta AB :
u B A 0,1,0
Assim :
x 1
C : y t
z 1
r t 1,t,1 r ' t 0,1,0 r ' t 1 0 t 1
Assim :
t 1 5x y z ds 1 t 1 dt 2 t dt 2t 2
2 2 2
2
BC
2
00 0 2
C 1 1 1
A(1,0,1), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1)
Reta BC :
u C B 1,0,0
Assim :
x t
C : y 1
z 1
r t -t,1,1 r ' t 1,0,0 r ' t 1 1 t 0
Assim :
t 1 5x y z ds t 1 1 dt 2 t dt 2t 0 2
2 2 2
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10 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
3
CD
3
00 0 2
C 1 1 1
A(1,0,1), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1)
Reta CD :
u D C 0, 1,0
Assim :
x 0
C : y t
z 1
r t 0,-t,1 r ' t 0, 1,0 r ' t 1 1 t 0
Assim :
t 1 3x y z ds 0 t 1 dt 1 t dt t 0 1
2 2 2
4
DA
4
00 0 2
C 1 1 1
A(1,0,1), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1)
Reta DA :
u A D 1,0,0
Assim :
x 1 t
C : y 0
z 1
r t 1+t,0,1 r ' t 1,0,0 r ' t 1 1 t 0
Assim :
t 1 3x y z ds 1 t 0 1 dt 2 t dt 2t 0 2
2 2 2
Assim:
1 2 3 4C C C C C
C C
(x y z)ds (x y z)ds (x y z)ds (x y z)ds (x y z)ds
5 5 3 3 5 5 3 3 16(x y z)ds 8 (x y z)ds 8
2 2 2 2 2 2
Resp: 8
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11 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
11. Calcular a integral
C
xyds, onde C é a interseção das superfícies x² + y² = 4 e y + z = 8.
12. Calcular
C
3xyds , sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2), no sentido anti-horário.
13. Calcule
C
y(x z)ds , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.
14. Calcule
C
(x y)ds , onde C é a interseção das superfícies z = x² + y² e z = 4.
15. Calcule c
x² y² z ds , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 8z e z = 4.
16. Calcule
C
xy²(1 2x²)ds , onde C é a parte da curva de Gauss x²y e de A(0,1) a
1 1B
2 e
.
17.
C
ds
, onde C:r t t cost,tsent t 0,1 .
Solução:
0
t
C C t
2 2
2
ds ds r ' t dt 1
Assim:
r ' t cos t tsent,sent t cos t
r ' t cos t tsent sent t cos t
r ' t cos t 2t cos tsent
2 2 2t sen t sen t 2tsent cos t
0
2 2
2 2 2
2
t
C C t
12
C 0
t cos t
r ' t 1 t sen t cos t
r ' t 1 t
Substituindo em 1 :
ds ds r ' t dt
ds 1 t dt
Resolvendo
12
C 0
ds 1 t dt
:
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12 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
12
C 0
2
1 42 2 2 2 2
C 0 0
ds 1 t dt
Mas :
t tg de sec d
Se t 0 0 Se t 14
Assim:
ds 1 t dt 1 tg sec d Mas :1 tg sec
Substituindo:
1 42 2 2
C 0 0
1 42 2 2
C 0 0
1 42 2
C 0 0
1 42 3
C 0 0
n n 2 n 2
12
C 0
ds 1 t dt 1 tg sec d
ds 1 t dt sec sec d
ds 1 t dt sec sec d
ds 1 t dt sec d
Utilizando :
1 n 2sec udu sec u tgu sec udu
n 1 n 1
Assim:
ds 1 t dt se
43
0
1 42
C 0 0
14
2
0C 0
12
C 0
c d
1 1ds 1 t dt sec tg sec d Mas : secud ln secu tgu c
2 2
Substituindo :
1 1ds 1 t dt sec tg ln sec tg
2 2
1 1 1ds 1 t dt sec tg ln sec tg sec 0
2 4 4 2 4 4 2
1
2
C 0
1tg 0 ln sec 0 tg 0
2
1 1 1ds 1 t dt 2 1 ln 2 1 sec 0 tg 0
2 2 2
0
1ln 1 0
2
0
12
C 0
Logo :
2 1ds 1 t dt ln 2 1
2 2
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13 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
18. 2
C
x ds , onde
2 2 2
3 3 3C: x y a a 0 1º quadrante .
Solução:
Uma equação vetorial para a hipociclóide
2 2 2
3 3 3x y a é: 3 3ˆ ˆr t acos ti asen tj
3 3
2 2
2 22 2 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
ˆ ˆr t acos ti asen tj
Mas :
r ' t 3acos t sent,3asen t cos t
Assim:
r ' t 3acos t sent 3asen t cos t 9a cos t sen t 9a sen t cos t
r ' t 9a cos t sen t cos t sen t
12 2 29a cos t sen t 3acos t sent
r ' t 3acos t sent
Assim:
0
t 22
2 3
C t 0
2 22 2 6 3 7
C 0 0
2 3 7
C 0
r ' t 3acos t sent
x ds f t r ' t dt acos t 3acos t sent dt
x ds a cos t 3acos t sent dt 3a cos t sentdt
Fazendo :
du duu cos t sent dt
dt sent
Se t 0 u 1 Se t u 02
Substituindo :
x ds 3a cos t sent
2
3 7dt 3a u sent
du
sent
0 03 7
1 1
3a u du
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14 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
0
0 8 8 8 32 3 7 3 3 3
C 1 1
32
C
u 0 1 1 3ax ds 3a u du 3a 3a 3a
8 8 8 8 8
Logo :
3ax ds
8
19. 2
C
x ds , onde 3 3C: r t 2cos t,2sen t t 0,2
.
Solução:
3 3
2 2
2 22 2 4 2 4 2
2 2 2 2
ˆ ˆr t 2cos ti 2sen tj
Mas :
r ' t 6cos t sent,6sen t cos t
Assim:
r ' t 6cos t sent 6sen t cos t 36cos t sen t 36sen t cos t
r ' t 36cos t sen t cos t sen t
12 236cos t sen t 6cos t sent
r ' t 6 cos t sent
Assim:
0
t 22
2 3
C t 0
2 22 6 7
C 0 0
22 7
C 0
r ' t 6 cos t sent
x ds f t r ' t dt 2cos t 6cos t sent dt
x ds 4cos t 6cos t sent dt 24 cos t sentdt
Fazendo :
du duu cos t sent dt
dt sent
Se t 0 u 1 Se t u 02
Substituindo :
x ds 24 cos t sentdt
724 u sent
du
sent
0 07
1 1
24 u du
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15 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
0
0 8 8 82 7
C 1 1
2
C
u 0 1 1 24x ds 24 u du 24 24 24 3
8 8 8 8 8
Logo :
x ds 3
20. C
x y ds , onde C é o triângulo da figura abaixo:
Solução:
Parametrizando os segmentos de reta AB, BC e CA .
1
1
C
3A 1, ;B 2,2 e C 2,1
2
x 2 t
AB C : 1 t 01y 2 t
2
Assim:
1 1r t 2 t, 2 t r ' t 1,
2 2
e
1 5 5r ' t 1 r ' t
4 4 2
Assim:
x y ds 2
t 2
1 1
0 0
1 1
00 2
C 1 C1
1 5 5 1t dt t dt
2 2 2 2
5 5 t 5 0 1 5 5x y ds tdt x y ds
4 4 2 8 2 2 8 8
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16 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
2
2
C
3A 1, ;B 2,2 e C 2,1
2
x 2BC C : 0 t 1
y 2 t
Assim:
r t 2, 2 t r ' t 0, 1
e
r ' t 0 1 1 r ' t 1
Assim:
x y ds 2
2 2
11 1 2
0 0 C0
t 1 1t 1 dt t dt x y ds
2 2 2
3
3
3
1 1
C 0 0
12
C 0
3A 1, ;B 2,2 e C 2,1
2
x 2 t
CA C : 0 t 11y 1 t
2
Assim:
1 1r t 2 t, 1 t r ' t 1,
2 2
e
1 5 5r ' t 1 r ' t
4 4 2
Assim:
1 5 5 3x y ds 2 t 1 t dt 1 t dt
2 2 2 2
5 3 tx y ds t
2 2 2
3C
5 3 5 1 5 51 x y ds
2 4 2 4 8 8
Assim:
1 2 3C C C C
C C
x y ds x y ds x y ds x y ds
5 1 5 1 1x y ds x y ds
8 2 8 2 2
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21. 2
C
y ds , onde C é a semicircunferência da figura abaixo:
Solução:
Parametrizando a semicircunferência, temos:
2 2 2 2
x 2cos tC : 0 t 2
y 2sent
Assim :
r t 2cos t, 2sent r ' t 2sent, 2cos t
e
r ' t 4sen t 4cos t 4 sen t cos t
1
22 2 2
C 0 0 0 0
2
C 0 0
2
0C
4 2 r ' t 2
Substituindo :
1 1y ds 2sent 2dt 2 4sen tdt 8 sen tdt 8 cos 2t dt
2 2
1y ds 4 dt 4 cos 2t dt Mas : cos mx dx sen mx C
m
Assim :
1y ds 4t 4 sen 2t 4 2 sen 2 sen 0
2
12
C
4 y ds 4
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22. 2
C
y ds , onde C é o 1º arco da ciclóide:
ˆ ˆr t 2 t sent i 2 1 cost j .
Solução:
2 2 2 2
2 2
ˆ ˆr t 2 t sent i 2 1 cos t j
r t 2t 2sent,2 2cos t 0 t 2
Derivando :
r' t 2-2cost,2sent
Mas :
ds r ' t dt
Assim:
r ' t 2 2cos t 2sent 4 8cos t 4cos t 4sen t
r ' t 4 8cos t 4 cos t+sen t
1
4 8cos t 4 8 8cos t
Assim:
r ' t 8 1 cos t 8 1 cos t r ' t 2 2 1 cos t
Substituindo na integral:
222
C 0
22 2
C 0
2 2 22 2
C 0 0 0
2 2
2 22 2
C 0 0
y ds 2 2cos t 2 2 1 cos t dt
y ds 2 2 4 8cos t 4cos t 1-cost dt
y ds 8 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 cos t 1 cos t dt
Mas :
cos t 1 sen t
Assim:
y ds 8 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 1 sen t
2
0
2 2 2 22 2
C 0 0 0 0
2 2 22 2
C 0 0 0
1 cos t dt
y ds 8 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 1 cos t dt 8 2 sen t 1 cos t dt
y ds 16 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 sen t 1 cos t dt
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2 2 22 2
C 0 0 0
2 2
2 2 2 2 2
y ds 16 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 sen t 1 cos t dt
Fazendo :
t 2 dt 2d
e
se t 0 0 e se t=2
e
mais :
1 cos t 1 cos2 cos 2 cos sen
Assim:
1 cos t 1 cos sen sen sen 2sen
Logo :
1 cos t 2 sen
2 2 22 2
C 0 0 0
2 2
C 0 0 0
2 2
C 0 0 0
Substituindo :
y ds 16 2 1 cos t dt 16 2 cos t 1 cos t dt 8 2 sen t 1 cos t dt
y ds 16 2 2 sen 2d 16 2 cos 2 2 sen 2d 8 2 sen 2 2 sen 2d
y ds 64 sen d 64 cos 2 sen d 32 sen 2 sen d
Resolvendo 0
64 cos 2 sen d
:
2 2
0 0
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
64 cos 2 sen d 64 cos sen sen d
64 cos 2 sen d 64 cos sen d 64 sen sen d
64 cos 2 sen d 64 cos sen d 64 1 cos sen d
64 cos 2 sen d 64 cos sen d 64 sen d +64 cos sen d
0
2
0 0 0
64 cos 2 sen d 128 cos sen d 64 sen d
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2
0 0 0
2
0
2 2
0
64 cos 2 sen d 128 cos sen d 64 sen d
Resolvendo 128 cos sen d :
128 cos sen d 128 u sen
du
sen
1 12
1 1
11 32 2
0 1 1
3 3
2
0
2
0
128 u du
Onde :
du duu cos sen d
d sen
e
se 0 u 1 e se u 1
Logo :
u128 cos sen d 128 u du 128
3
1 1 128 128 256128 cos sen d 128
3 3 3 3 3
Assim:
128 cos sen d
256
3
Substituindo:
2
0 0 0
00
00
0
0
64 cos 2 sen d 128 cos sen d 64 sen d
25664 cos 2 sen d 64 cos
3
256 25664 cos 2 sen d 64 cos 64 cos cos0
3 3
256 256 25664 cos 2 sen d 64 1 1 64 2 128
3 3 3
12864 cos 2 sen d
3
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Resolvendo 2
0
32 sen 2 sen d
:
22
0 0
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
2 2 4
0 0 0
32 sen 2 sen d 32 2sen cos sen d
32 sen 2 sen d 128 sen cos sen d
32 sen 2 sen d 128 1 cos cos sen d
32 sen 2 sen d 128 cos sen d 128 cos sen d
Fazendo :
duu cos sen
d
2 2 4
0 0 0
2 2
0
dud
sen
e
se 0 u 1 e se u 1
Assim:
32 sen 2 sen d 128 cos sen d 128 cos sen d
32 sen 2 sen d 128 u sen
du
sen
4128 u sen
du
sen
1 1
1 1
1 12 2 4
0 1 1
-1 13 5
2
0 1 1
3 3 5 5
2
0
2
0
32 sen 2 sen d 128 u du 128 u du
u u32 sen 2 sen d 128 128
3 5
1 1 1 132 sen 2 sen d 128 128
3 3 5 5
1 132 sen 2 sen d 128
3 3
2
0
1 1 256 256 512128
5 5 3 5 15
Assim:
51232 sen 2 sen d
15
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22 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
Substituindo na integral:
2 2
C 0 0 0
00
0
2
0
2
C 0 0
y ds 64 sen d 64 cos 2 sen d 32 sen 2 sen d
Onde :
64 sen d 64 cos 64 cos cos0 64 1 1 128
12864 cos 2 sen d
3
51232 sen 2 sen d
15
Substituindo :
y ds 64 sen d 64 cos 2 sen d 3
2
0
2
C
2
C
2 sen 2 sen d
128 512 128 512 2048y ds 128 128
3 15 3 15 15
Logo :
2048y ds
15
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