calculo optimo
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7/23/2019 Calculo Optimo
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Control Optimo
F. Alvarez
Universidad Complutense de Madrid
9 Septiembre, 2012
F. Alvarez Control Optimo
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7/23/2019 Calculo Optimo
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Recursos naturales renovables
Sea x(t) el stock en el instante tde un recurso naturalrenovable (calidad ambiental), y sea su tasa de renovacion.
Sea u(t) el nivel de contaminacion.
x=x u
En cada instante, podemos vender a un precio ppagando un
coste de extraccion cuadratico. c(u) =u2
. Tenemos una licencia de explotacion durante el horizonte
temporal [0,T]. Al final recibiremos un pago por cadaunidad de stock sobrante.
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Recursos naturales renovables, II
Cuanto estaremos dispuestos a pagar por una unidadadicional de stock en algun instante t [0,T]?
Podemos resolver el anterior problema usando Calculo deVariaciones, pero no podemos responder a la preguntaanterior.
Una pregunta relacionada: Cual es el valor del stock en cadainstante?
Ese valor puede cambiar en el tiempo.
Cuando aprovecho mas una unidad de stock que me cae delcielo, al principio o al final?
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Recursos naturales renovables, III
Distinguimos: Stock (nivel de calidad) Estado, x
Emisiones Control, u De modo que el problema es:
max{
T0
pu u2
dt+ x(T)}
Sujeto a la dinamica: x=x u
y a la condicion inicial x(0) =x0.
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El b i
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Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Recursos naturales renovables, IV
En ese problema, hasta ahora, habamos usado la dinamicapara eliminar uy habamos calculado directamente la x quesoluciona.
Pero podemos ser algo mas sutiles:
Si calculo la funcion (del tiempo) u optima, esta, partiendode la condicion inicial dada, determina la x solucion.
El par de funciones (x, u) satisfaceel principio deoptimalidad de Bellman.
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El t b i
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Principio de optimalidad
El par (x, u) satisface:
t0
x, u
x
u
Tt
x (t)
Sea t [0,T] arbitrario, u en [t,T] resuelve el subproblemadesde t hasta T tomando x (t) como condicion inicial. El x del
subproblema es el del problema inicial en [t,T].F. Alvarez Control Optimo
Elementos basicos
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Principio de optimalidad: funcion valor
Basandonos en el principio de Bellman, el valor del estado ent [0,T] es:
J(x (t) , t) :=
Tt
pu (s) u (s)2
ds+ x(T)
sujeto a la poltica de estado a partir de instante t con x (t)
dado.
La funcion J se denominafuncion valor.
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
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Condiciones de segundo orden y otros
Principio de optimalidad: derivada de la funcion valor
Calculada la funcion valor, J, el valor adicional de una unidadmas de estado en el instante tviene dado por
x
J(x (t) , t)
Es decir: una unidad mas de estado me hace mejorar(empeorar) en tanto en cuanto aumente (disminuye) la
funcion valor. Si la unidad adicional es suficientemente pequena, dicha
mejora se aproxima por la derivada parcial de Jrespecto de suprimer argumento.
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Condiciones de segundo orden y otros
Derivada de la funcion valor, cont.
Podemos calcular esa derivada aun sin haber obtenido lafuncion valor?
Veamos, dicha derivada es funcion del tiempo:
t x
u
J
Luego existe una funcion del tiempo, sea , tal que:
(t) =
x
J(x (t) , t) (1)
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Condiciones de segundo orden y otros
PMP: Formulacion general
Nos permite calcular de un modo sencillo a la vez quecalculamos la solucion, (x, u).
Supongamos el problema
maxu
T0
g(x, u, t) dt+S(x(T))
sujeto a: x=f (x, u, t), con x(0) =x0 dado.
Sse conoce como funvion residual, en nuestro ejemplo iniciales S(x) =x.
La solucion es ahora la funcion (del tiempo) u, quedenominamospoltica optima o control optimo.
Notemos que fijado u y x(0) =x0 tenemos tambien x.
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Condiciones de segundo orden y otros
PMP: Formulacion general, II
Definimos el Hamiltoniano:
H(x, u, , t) :=g(x, u, t) + f(x, u, t)
Donde es arbitraria.
Principio del maximo: La solucion (x, u), junto con algunafuncion , satisfacen:
u
argmaxu{H(x
, u, , t)} (2)
=
xH(x, u, , t) (T) =
d
dxS(x (T)) (3)
La funcion que verifica (2) y (3), verifica tambien (1).
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Diferentes condiciones terminalesCondiciones de segundo orden y otros
...volviendo a nuestro ejemplo
El Hamiltoniano es:
H=pu u2 + (x u)
La condicion (2) da lugar a:
u= 1
2(p )
La condicion (3) da lugar a:
(t) =Aet (T) =
De donde (t) =e(Tt)
Y ahora, sin prisas, entendamos la economa!!!
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Diferentes condiciones terminalesCondiciones de segundo orden y otros
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Interpretacion economica
Sea xel stock de capital de una empresa, y usus decision, demodo que en un problema generico:
max T
0 g(x, u, t) +S(x(T))
g es el beneficio instantaneo y Ses la valoracion final de laempresa.
La dinamica del capital viene dada por:
x=f (x, u, t)
Interpretemos el Principio del Maximo, basado en: Dorfman, R. (1969), An economic interpretation of Optimal
Control Theory, American Economic Review,59,pp. 817-831.
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Elementos basicos
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Diferentes condiciones terminalesCondiciones de segundo orden y otros
Interpretacion economicaOtras aplicaciones
Interpretacion economica, II
Definimos el Hamiltoniano H=g+ f.
Supongamos que a partir de un instante t, consideramos unapequena variacion tiempo, (t, t+dt), tal que no vara (x, u).
La variacion en el Hamiltoniano es
Hdt=gdt+ fdt=gdt+ xdt=gdt+ dx
gdtes la variacion que se produce en el beneficio instantaneo.
dxes la variacion en el beneficio futuro: contribucion albeneficio futuro de cada unidad de stock, , por variacion delstock, x.
Luego hemos de maximizar H y no g.
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Elementos basicosP i i i d l M i d P i
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Diferentes condiciones terminalesCondiciones de segundo orden y otros
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Interpretacion economica, III
Ademas, la dinamica de puede expresarse:
= Hx d= Hxdt=gxdt+ fxdt
d es la variacion en el valor del stock si no hacemos nada,luego es tambien el coste marginalde mantener el stock.
El coste de oportunidad de mantener el stock es la variacion en el
valor que hubieramos obtenido por no hacer nada: d.
gxdt+ fxdtes la contribucion (instantanea + futura) demantener el stock, luego es tambien elingreso marginaldemantenerlo.
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Elementos basicosP i i i d l M i d P t i
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Consumo-ahorro
Volvemos al problema de consumo-ahorro que vimos en laparte de calculo de variaciones.
max T
0ln cdt k=Ak c k
Recordemos, Ak es el nivel de produccion dada una cantidadde capital k. Esta produccion se reparte entre consumo, c y
ahorro. El ahorro aumenta la cantidad de capital, que sedeprecia a tasa .
Deseamos maximizar el flujo de utilidad en cierto horizontetemporal.
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Elementos basicosPrincipio del Maximo de Pontryagin
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Consumo-ahorro, II
SeaH= ln c+ (Ak c k)
La condicion de maximizacion de Hda lugar a: c= 1
Ademas:
=
kH =
Ak1
Usando la condicion de maximizacion en la ultima igualdad, setiene:c
c =Ak1
Que ya habamos obtenido usando calculo de variaciones.
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Modelo de publicidad Nerlove-Arrow
Recordemos, xes el deseo de la gente por comprar unproducto y uel gasto en publicidad. El deseo aumenta losingresos R(x) y el gasto aumenta los costes C(u).
El problema es
max
T0
(R(x) C(u)) dt x=u x
Tenemos:
maxu
H C (u) = =
xH = R (x) +
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Modelo de publicidad Nerlove-Arrow, II
Combinando las anteriores igualdades, queda:
C (u)
C (u)u=
R (x)
C (u) (4)
Es decir, bajo convexidad (rendimientos decrecientes) de C es:
u>0 >R (x)
C (u)
Ademas, tomando R(x) =x y C(u) =u2, (4) queda lo quehabamos obtenido:
u
u =
1
2u
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I i i
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Learning by doing
Wright(1932) presento evidencia de que el tiempo necesariopara construir un avion disminua con el numero de aviones yaproducidos.
Desde entonces ha habido mucha evidencia emprica sobredicho fenomeno y tambien muchos estudios teoricos.
Debemos subvencionar/proteger a una industria nacientequees ineficiente esperando que sea mas eficiente con el paso deltiempo?
Debemos permitir cierto lmite de practicas predatorias(producir masivamente, bajar los precios del mercado y hacerentrar en perdidas a los rivales) con el objeto de que estopermita mejorar la eficiencia productiva?
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I t t i i
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p y gInterpretacion economica y otras aplicaciones
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Learning by doing, II
Sea un monopolista, sin amenazas de entrada, que enfrentafuncion inversa de demanda es p=a q. Sus costes deproduccion son c(q) =xq, siendo:
x= u Por tanto el problema es
max
T0
((a q) q xq) dt
Sujeto a la dinamica de estado dada y alguna condicion inicialsobre el estado, sea x(0) =a/2.
Ademas, supondremos T
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p y gInterpretacion economica y otras aplicaciones
Diferentes condiciones terminalesCondiciones de segundo orden y otros
Interpretacion economicaOtras aplicaciones
Learning by doing, III
Sea el Hamiltoniano: H= (a q) q xq u
maxu
H q=1
2(a x ) =
xH = q
De la anterior igualdad y la dinamica de estado queda:
x= x= +B
Sustituyendo en la dinamica de y operando queda:
=1
2(a B) = A+
1
2(a B) t
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Interpretacion economica
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Condiciones de segundo orden y otros
Interpretacion economicaOtras aplicaciones
Learning by doing, IV
Usando las condiciones de contorno x(0) =a/2 y (T) = 0queda:
= a2T 4
(T t) q= a4 2T
x= a ((T+t) 2)2T 4
Por tanto, la produccion es constante en el tiempo y superior
a la que tendra lugar en el caso miope. Ademas, aumentar xen cada instante reduce el beneficio y
dicha reduccion, en valor absoluto, disminuye en el tiempo.
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Condiciones de segundo orden y otros
Conceptos previos
Consideremos el problema: minyY{f (x)}, siendo Y unconjunto convexo arbitrario. La solucion, sea x, siempresatisface:
f
(x
) (y x
) 0 y Y
x
f
xx
f
xx
f
x
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I i i li i
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Condiciones de segundo orden y otros
Condicion general sobre estado terminal en convexo
Consideremos ahora un problema de control de minimizacionen el que la condicion terminal es x(T) Y, siendo Y unconjunto convexo.
La condicion de transversalidad es:
S (x (T)) (T)
(y x (T)) 0 y Y (5)
Donde el primer termino anterior es la funcion a minimizar. Involucra no solo la valoracion final sino el valor del estado.
La desigualdad cambia de signo si el problema es demaximizacion.
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I t t i i t li i
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Condiciones de segundo orden y otros
Ejemplo: Recursos no renovables
Supongamos el problema de recursos renovables visto alcomienzo de este tema.
Lo convertimos en un problema de recursos no renovables
tomando = 0. El problema queda:
max
T0
pu u2
dt+ x(T) x= u
Sea la condicion inicial x(0) =x0.
Supongamos que ademas debe verificar x(T) a, siendoa
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Condiciones de segundo orden y otros
Ejemplo: Recursos no renovables, II
Sea el Hamiltoniano
H=pu u2 u
Tenemos:
maxu
H u=p
2=
xH = 0
De la ultima igualdad tenemos (t) =A, siendo A unaconstante a determinar.
Sustituyendo el valor de en el control y resolviendo ladinamica de estado queda:
x(t) =x0+A p
2 t
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Condiciones de segundo orden y otros
Ejemplo: Recursos no renovables, III
La condicion (5) queda:
( A) (y x (T)) 0 y a
Hay dos casos posibles: Caso (i): x (T) =a y A
Caso (ii): x (T)>a y =A
El caso (i) ocurre si y solo si:
p2
T (x0 a)
Notemos que el ultimo termino es la media (a lo largo del tiempo)del coste marginal de extraccion.
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Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Estado final fijado y libre
Consideremos de nuevo (5):
S (x (T)) (T)
(y x (T)) 0 y Y
Siendo Yun conjunto convexo arbitrario. Como caso particular, si Y =a, es decir, el estado final
factible es un unico punto (como en un problema estandardde Calculo de Variaciones), la anterior condicion se satisface
para cualquier (T). Notemos ademas que en este caso lafuncion Sdeja de tener sentido.
Otro caso particular, si Y = R, es decir, el estado final eslibre, la anterior condicion se convierte en S (x (T)) = (T).
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Interpretacion economica y otras aplicacionesDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Condicion suficiente de Mangasarian
Sea un problema de maximizacion, siendo (x, u, ) la terna quesatisface las condiciones del Principio del Maximo. Si para todo
t [0,T] se verifica: g y f son concavas en (x, u),
Ses concava en x,
(t) 0 si fes no lineal en (x, u),
entonces: u es la poltica optima y es la derivada de la funcionvalor respecto del estado.
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p y pDiferentes condiciones terminales
Condiciones de segundo orden y otros
Condicion suficiente de Arrow
Sea un problema de maximizacion, siendo (x, u, ) la terna quesatisface las condiciones del Principio del Maximo. Definimos elHamiltoniano derivado:
H0 (x, , t) =maxuH(x, u, , t)
Si para todo t [0,T] se verifica:
H0 es concava en x,
Ses concava en x,
entonces: u es la poltica optima y es la derivada de la funcionvalor respecto del estado.Puede probarse que la condicion de Arrow es mas debil (estaincluida en) que la de Mangasarian.
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