calculo_mecanico catenarias

CCáállccuulloo mmeeccáánniiccooddee llíínneeaass

JJoosséé MMaannuueell AArrrrooyyoo SSáánncchheezz

ÁÁrreeaa ddee IInnggeenniieerrííaa EEllééccttrriiccaa DDeeppaarrttaammeennttoo ddee IInnggeenniieerrííaa EEllééccttrriiccaa,, EElleeccttrróónniiccaa,, AAuuttoommááttiiccaa yy CCoommuunniiccaacciioonneess

UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCaassttiillllaa –– LLaa MMaanncchhaa

Contenidos

• Introducción • Curva de equilibrio • Ecuación de cambio de condiciones • Sobrecargas • Vanos inclinados • Distancias de seguridad

Introducción Objetivos

• Determinar los esfuerzos a que están

sometidos los conductores ⇒ Tensión en las condiciones más desfavorables

• Determinar las flechas máximas ⇒ Distancias

de seguridad

Introducción Objetivos

• Condiciones de tendido ⇒ Tensiones y

flechas de los cables en función de su temperatura y de las sobrecargas de hielo y viento

Curva de equilibrio del cable

Ecuación del cambio de estado

• Tensiones transmitidas a las estructuras de

Introducción

• Legislación vigente:

Reglamento técnico de líneas eléctricas aéreas de alta tensión

Reglamento sobre condiciones técnicas y

garantías de seguridad en líneas eléctricas de alta tensión

Curva de equilibrio

• Hilo homogéneo flexible y extensible • Suspendido libremente de sus extremos • Sometido sólo a esfuerzos proporcionales a

su longitud

Curva de equilibrio

• Vano (a) ⇒ Distancia horizontal entre dos apoyos consecutivos

• Flecha (f) ⇒ Distancia vertical máxima entre la

curva de equilibrio y la recta imaginaria que une los dos apoyos

Curva de equilibrio

• Curva de equilibrio ⇒ Curva compleja • Hipótesis de hilo no extensible ⇒

Aproximación mediante catenaria

Cálculo de la catenaria Definiciones

• ω ≡ Peso unitario del cable (kg/m)

• T ≡ Tensión mecánica total en un punto (kg)

• Tx ≡ Componente horizontal de T (kg)

• Ty ≡ Componente vertical de T (kg)

• l ≡ Longitud del cable entre un punto y el vértice de la curva (m)

• L ≡ Longitud total del cable (m) 9

Cálculo de la catenaria

yT = ωl

• Curva en equilibrio ⇒ Tx es constante en toda la curva

dxdyd ⎟22 1dxdydx

⎠⎞

⎜⎝⎛=l +=+

∫====θll

y dTTT

Tdxdytg

• Por lo tanto:

dxdxdy1

Tdxdy x

x∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

• Diferenciando respecto a x:

22 dyyd ⎞⎛ω

1Tdx ⎟

⎠⎜⎝

• Cambio de variable: ⇒=dxdyu

= duω

• Integrando:

( )11 uulnKu +=+ 1

K1senhxT

++=ω −

• En el vértice (x = 0): 0K1 =⇒0udxdy

== • Deshaciendo el cambio de variable:

xsenhdy ω= Tdx x

• Integrando de nuevo:

coshTy +ωω

• Si el vértice de la curva es el origen de ejes:

−( )ω

=⇒== 2K00xy xT

⎟⎠

⎞= 1y ⎜

⎛−ω

TcoshT

( )• Si en el vértice 0KT0xy 2x =⇒ω

xcoshTy x ω= Txω

• Expresión general de la catenaria:

hxcoshhy =

= xTh Constante de la catenaria donde

Longitud de un arco de catenaria

• Anteriormente se obtuvo:

2dyd ⎟dx1dx

⎠⎞⎛l ⎜

• Operando:

x Txcoshdx

Txsenhd ω=⎟1dx⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωl +=

Longitud de un arco de catenaria

• Integrando:

xsenhT+

• En el vértice (x = 0) ⇒ l = 0 ⇒ K3 = 0 • Finalmente:

xTωx xsenhT ω

Cálculo de la tensión

• De la figura:

22T l= 2x

2x TTT ω+=+

• Sustituyendo la expresión de l:

x Txsenh1T

TxsenhTTT ⎟

⎞⎜⎝

⎛ ω+=⎟

⎞⎜⎝

⎛ ωω

Cálculo de la tensión

• Finalmente:

xx TcoshTT =

• Si yThxcoshhy ω=⇒=

Cálculo de la flecha Vano nivelado

• Apoyos en cotas idénticas • La flecha se obtiene en el vértice (x = 0)

⎟⎠

⎞−ω 1

⎜⎝

=−= coshTyyf xVS

Cálculo mecánico de cables

• Conductores de las líneas ⇔ Cables heterogéneos de aluminio y acero

• Cálculo mecánico ⇒ Análisis de ΔT y ΔL en el tendido por:

Variación de la temperatura ambiente (θ): ↑θ ⇒ ↑L ⇒ ↑f ⇒ ↓T

Viento: ↑ Peso aparente ⇒ ΔT, ΔL, Δf

Hielo (esfuerzo vertical): ↑ Peso aparente ⇒ ΔT, ΔL, Δf

Cálculo mecánico de cables

• Por seguridad, el Reglamento fija:

Tensión máxima admisible

Flechas

Distancias de seguridad

Ecuación de cambio de condiciones

• Cálculo de la variación de la tensión mecánica cuando las condiciones ambientales cambian

• La diferencia de longitud unitaria entre un

estado 1 y un estado 2 es la suma del efecto de la diferencia de tensión y del efecto de la diferencia de temperatura:

( ) ( )

LLL θ−θα+− −=

Cálculo mecánico de cables Parámetros necesarios

• Módulo de elasticidad, E (kg/m2):

Cociente entre la fatiga del material sometido a una fuerza y la variación de la longitud (L ∝ E-1)

• Coeficiente de dilatación lineal, α (ºC-1):

Variación de la longitud de 1 m de conductor al variar 1ºC la temperatura (L ∝ α)

Ejemplos de conductores típicos

Ecuación de cambio de condiciones Aproximación de la catenaria

• Aproximación de las funciones hiperbólicas

(desarrollo de Taylor) ⇒ Expresión algebraica

K+++= 42 z!4

11zcosh

K+++= 53 z!5

1zsenhz

Aproximación de la catenaria

• Tomando los dos primeros términos de la aproximación, la expresión de la catenaria con ( ) 00xy == es:

T2x1x1TcoshTy ω=

⎥⎥⎦

x T211x

T ⎢⎢⎣

⎡−

⎞⎛ω⎞⎜⎝

⎛ ωω

= ⎟⎠

⎜⎝

=⎟⎠

• Flecha para vanos nivelados:

xVS T8

yyf =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

2 aa ωω

• Tomando los dos primeros términos de la aproximación, la expresión de la catenaria con

== xT0xy es:

TxcoshTy ω+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ω+ω

• Flecha para vanos nivelados:

Taf = x

T2Tyy ω=

ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω+

ω=−

• En ambos casos se obtiene la ecuación de una parábola ⇒ Buena aproximación para vanos < 700-800 m

• Longitud total del cable (vano nivelado):

T2aT2 ω+=

⎥⎥⎦⎢

⎢233

T2asenhT2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω+ωω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == l

• Expresión original:

( ) ( )( )12

LLL θ−θα+− −=

• Usando la aproximación de la catenaria:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω=−2

12 TT24aLL

• Finalmente:

( ) ( )

( ) ( )( )

TTTθα+−= 12

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω+

⎢⎢⎣ ⎥

⎥⎦

⎡⎟⎠

⎜⎝

−⎟⎠

⎞⎛ ω⎞⎜⎝

⎛ ω

• En vanos no muy grandes (f < 0.1a):

( ) 64.0a1.0a2

11 <⎟TT8 1

⎞⎜⎛ ω⇒<ω ⎝33

• Por lo tanto:

( ) a026.0a2464.0

1 =<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω • Despreciando el 2º sumando del

denominador:

( ) ( )

( ) ( )( )12

T24a θ−θ

⎢⎢

Tα+−=

⎥⎥⎦

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω

• Ecuación de cambio de condiciones (3er grado ⇒ resolución por aproximaciones sucesivas):

( )( ) ( ) ( ) ( )

T24ESTTEST

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω+−+θ−θα a212

Sobrecargas en los cables

• Hipótesis ⇒ Uniformemente distribuidas • Sobrecarga por hielo:

Hp' +ω=ω

• Depende de la zona según los artículos 16 y

17 del Reglamento

Sobrecargas en los cables Sobrecarga por hielo

• Zona A (altitud < 500 m) ⇒ No se considera

• Zona B (500 m ≤ altitud ≤ 1000 m): d180pH = • Zona C (altitud > 1000 m): 360pH = d • d ≡ Diámetro del cable (mm) • pH ≡ Peso del hielo (gr/m)

Sobrecargas en los cables Sobrecarga por viento

ω’ δ

22 p' +ω=ω V

• El efecto del viento equivale a inclinar el plano

vertical del cable ⇒ La flecha no es vertical sino inclinada un ángulo δ

ω=δ VpTg

(acción horizontal) PdpV =

• El Reglamento considera la dependencia de la presión del viento, P, con el diámetro del cable, d, un viento máximo de 120 km/h y conductores situados a alturas ≤ 40 m:

2mkg 60Pmm 16d =⇒≤

2mkg 50mm 16d > P =⇒

• Para vientos excepcionalmente fuertes (>>120

km/h) ⇒ Expresión empírica de presión del viento sobre conductores cilíndricos:

6.0V007.0P 2=

• P ≡ Presión del viento (kg/m2) • V ≡ Velocidad del viento (km/h)

Sobrecargas en los cables Sobrecargas simultáneas

• Acción conjunta del viento y del hielo ⇒ No

considerada en el Reglamento antiguo

ω δ ( )ω’

2H pp ++ω'=ω

( )e2dPpV = +

• e ≡ Espesor del manguito de hielo

Proceso del cálculo mecánico

• Hipótesis de tensión máxima ⇒ Situación más desfavorable según el Reglamento

• Hipótesis de flechas máximas ⇒ Hipótesis de

viento, temperatura, hielo • Comprobación de fenómenos vibratorios ⇒

Tensión de cada día, tensión de horas frías • Tabla de tendido

Tensión máxima

• Tmáx soportada por el cable < Tmáx admisible ⇒ Coeficiente de seguridad (2.5 ó 3 según el Reglamento)

• Se parte de las condiciones más

desfavorables fijadas por el Reglamento

1x1 ,T,• Ecuación de cambio de condiciones: θω

Tensión máxima Condiciones más desfavorables

• Zona A: -5 ºC con viento

• Zona B: -15 ºC con hielo

Hipótesis adicional: -10 ºC con viento

• Zona C: -20 ºC con hielo

Hipótesis adicional: -15 ºC con viento

Flechas máximas

• Útil para determinar la altura de los apoyos

Zonas A, B y C: Sobrecarga de viento a 15 ºC

Zonas A, B y C: Sin sobrecarga a θ ≥ 50 ºC

Zona B y C: Sobrecarga de hielo a 0 ºC • Ecuación de cambio de condiciones: ( )

x2 ,T, θω • En general, la flecha máxima no coincide con

máximo viento, sino con máxima sobrecarga de hielo o con la máxima temperatura

Tabla resumen

Fenómenos vibratorios

• Esfuerzos adicionales ⇒ Rotura del conductor • ↑ Tensión mecánica ⇒ ↑ Probabilidad de

vibraciones • Uso de antivibradores • Sin antivibradores ⇒ Se recomienda que la

tensión del conductor a 15 ºC y sin sobrecarga no supere el 15% de la carga de rotura

Fenómenos vibratorios Tensión de cada día (T.C.D. o E.D.S.)

• Tensión a la que está sometido un conductor

la mayor parte del tiempo, a la temperatura media y en ausencia de sobrecarga

• Uso de la ecuación de cambio de condiciones:

( )( )= θ = ω = ω222

X ,Cº 15T.D.C.T

( )15.0T 2

Fenómenos vibratorios Tensión en horas frías (T.H.F.)

• Modela el fenómeno vibratorio de los conductores en condiciones de temperaturas mínimas frecuentes sin sobrecarga

• Reglamento ⇒ Tensión a -5 ºC y sin sobrecarga no debe exceder el 22.5% de la carga de rotura

( )( )= θ = − ω22X ,Cº 5T.F.H.T 2 = ω

225.02

X ≤Tσ

Fenómenos vibratorios

• Si se superan los límites de T.C.D. o T.H.F. ⇒ Nuevo coeficiente de seguridad

• Conclusión ⇒ 3 estados tensionales posibles:

Tensado al límite elástico (no considera vibraciones)

Tensado al límite dinámico (T.C.D.)

Tensado al límite dinámico (T.H.F.)

Vano ideal de regulación

• Cantón ⇒ Tramo de línea comprendido entre dos apoyos de anclaje consecutivos

• Típicamente las longitudes de los vanos que

forman un cantón son distintas ⇒ Las dilataciones en los cables no son iguales en cada vano ⇒ Inclinación de cadenas de suspensión

• Δai ≡ Variación de la longitud del vano i

• Para cada vano hay una ecuación de cambio de condiciones:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω=θ−θα+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω=θ−θα+

• Multiplicando la ecuación de cada vano i por la longitud de dicho vano, ai, y sumando:

( ) ( )

( ) ( ) ∑∑

∑∑

Δ=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω

=θ−θα+−

aaTT24

1ii =Δ∑• Los extremos del cantón son fijos ⇒

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎡

⎣⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−θ−θα+

• ar ≡ Longitud del vano regulador (ficticio)

• La tensión de un tramo de línea comprendido entre dos apoyos de anclaje se calcula para un vano de longitud igual a la del vano regulador

• Sólo es aplicable si los apoyos están

nivelados • Cálculo de flechas ⇒ Tabla de tendido

aT8af ⎟

⎝= ⎜

⎛=⇒

Ejemplo de tabla de tendido

• Cable gaviota • Zona B • Coeficiente de seguridad = 2.5 • 6 vanos (265, 270, 283, 290, 304 y 310 m)

Ejemplo de tabla de tendido

Vano crítico

• Longitud del vano a partir de la cual predomina el efecto del viento sobre el hielo a una temperatura determinada

• Sólo se calcula para vientos

excepcionalmente fuertes (>> 120 km/h)

• Cálculo de sobrecarga debida al viento: PdpV =

• d ≡ Diámetro del conductor (m)

Vano crítico Ecuación de cambio de condiciones

Estado 1

(Sobrecarga de viento) Estado 2

(Sobrecarga de hielo)

21 p+ω=ω H2 pω = ω +

θ1 θ2

3TT máx

σ== ( )

3TT máx

( )( ) ( ) ( ) ( )

ES22ω24

T24aESTTEST

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+−+θ−θα

• Operando:

2c ESES

−=ω−ω ( ) 2máx12 Tθ−θα

• Finalmente:

12máxc

24Taω−ωθ−θα

• Si a < ac ⇒ Predomina el efecto del hielo • Si a > ac ⇒ Predomina el efecto del viento

Vano inclinado Cálculo exacto de la flecha

• Apoyos en cotas diferentes

• Hay que obtener el punto de tangencia (xf, yf) ⇒ Línea paralela a la línea imaginaria que une los apoyos

aTxxx f

yyxsenhdxdy ABfω −

• Despejando xf:

−⎜⎝⎛

ω= −

ayysenhTx AB1x

f ⎟⎞

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−

2ABABx

f ayy1

ayylnTx

• yAB se obtiene de la recta que une los apoyos:

( )fBAB

BAB xxa

yyyy −⎟−

⎜⎝⎛ ⎞−=

⎠ • yf se obtiene de la ecuación de la catenaria:

xcoshTy ωω

• Finalmente, la flecha es:

fxfAB T

xcoshTyyyyf fBAB

y ωω

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=

• Si el vano es nivelado ⇒ xf = 0, yA = yB :

⎟⎟⎟

⎞⎜⎛

B⎜⎜

coshTT xx

Vano inclinado Cálculo aproximado de la flecha

• Ecuación de la parábola para vanos nivelados:

Tx se reemplaza con la tensión en el punto de tangencia Tf

a se sustituye por la longitud de la recta que une los apoyos, b ⇒ Punto de tangencia en la mitad de la recta que une los apoyos

T8bf ω

Vano inclinado Cálculo aproximado de la flecha

• Además (propiedad de la parábola):

• Por lo tanto:

xT8abf ω

Vano inclinado Relación entre Tf, Tx y TB

( ) ( ) fBfBBfBf yyTTyyTT − = ω − =⇒ + ω −

• Igualmente:

( ) ABBfB yyfTT = + −+ω

• Usando las expresiones previas de Tf y f:

⎟⎠

⎞⎜⎝

−+= ABBxB yyTabT

Vano inclinado Relación entre Tf, Tx y TB

• Finalmente:

( ) ( )

ω−ω−=

yyTy BBABB −ω−±−

Grandes vanos desequilibrados • a > 800 m • Tensión del apoyo superior mucho mayor que

la tensión del vértice (Tx) ⇒ Criterio de tensión máxima aplicado al apoyo superior

• Ecuación de cambio de condiciones basada

en la parábola no válida ⇒ Uso de catenaria

Grandes vanos desequilibrados

Grandes vanos desequilibrados Ecuaciones básicas

hxcoshhy =

hxcoshTT x=

⎜⎝⎛ −=

hxsenh

hxsenhhL IS ⎟

⎞ ⎠

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

hxcoshh S −−=

hxcoshyyd I

axx IS =−

• Operando:

h2hsenh2L +⎟

⎠⎞⎛

⎜⎝

• Además:

senhh2

hsenh2xcoshh

xacoshhdI

h ⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2adhsenhx 1

I −⎥⎥⎤

⎢⎢

h2ahsenh2

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Grandes vanos desequilibrados Proceso de cálculo

• Paso 1) Hipótesis inicial:

ω=⇒σ=< x

máxxTh

seguridad de eCoeficientTT

• Paso 2) Cálculo de xI, xS ⇒ TI, TS

hxcoshTT I

hxcoshTT S

• Paso 3)

Si TS = Tmáx ⇒ Cálculo de L

Si TS < Tmáx ⇒ El proceso se inicia con ↑Tx

Si TS > Tmáx ⇒ El proceso se inicia con ↓Tx

• Paso 4): Regulación del cable en su tendido

Se parte de las condiciones de tracción máxima admisible según la zona

Tendido a temperatura θ y sin sobrecarga

θθθθ ⇒⇒Δ = + α θΔ+= ISx x,xTLLLLL

• Paso 5): Cálculo de flechas

Flecha de regulación:

= − θθθ mM yyf

medio punto al ónAproximacixxx ISM ⇒

+= θθ

Flechas de apoyos en el tendido:

= − = − θθθθθ hyyyf SVSS

= − = − θθθθθ hyyyf IVII

Distancias de seguridad

• Recogidas en el artículo 25 del Reglamento:

Distancia conductor-terreno

Distancia conductor-conductor

Distancia conductor y accesorios en tensión-apoyo

Distancia conductor-terreno ⎜⎝⎛ +≥− 6,

150U3.5máxd TC ⎟

⎞ ⎠

• dC-T ≡ Distancia conductor-terreno (m) • U ≡ Tensión nominal de la línea (kV)

Distancia conductor-conductor

150UfKd CC +λ+≥−

• dC-C ≡ Distancia entre conductores (m)

• K ≡ Coeficiente dependiente de la inclinación de los conductores (Reglamento)

• f ≡ Flecha máxima (m)

• λ ≡ Longitud de la cadena de suspensión (m)

• Cadenas de amarre o aislador rígido ⇒ λ = 0 82

Distancia conductor y accesorios en tensión-apoyo

⎟⎠⎞

⎜⎝

+≥− 2.0,150

1.0máxd AC⎛ U

• dC-A ≡ Distancia entre conductor y accesorios en tensión y el apoyo (m)

• Se considera que la cadena de aisladores se desplaza un ángulo sobre la vertical debido a un viento de fuerza mitad a la correspondiente a la zona

Distancias de seguridad Distancias mínimas reales (m)

Disposición de conductores

U (kV) 1 plano horizontal Triángulo Doble

triángulo Hexágono

132 5.0 5.0 - 4.4

220 7.3 6.7 - 6.7

380 9.5 10.5 7 -

Curvas características

• Curva de flechas máximas verticales ⇒ Distribución de apoyos en el perfil longitudinal

• Según Reglamento (sin viento ⇒ verticales):

Condiciones 1 Condiciones 2 Hielo + 0 ºC Tensión máxima 50 ºC sin sobrecarga

• Resultado ⇒ h:

Curvas características

• Curva de flechas mínimas verticales ⇒ Apoyos sometidos a tracción ascendente

Condiciones 1 Condiciones 2

Temperatura mínima sin sobrecarga

Tensión máxima

• Resultado ⇒ h:

Distribución de apoyos

• Determinación/elección de la altura del apoyo de alineación o normal

• Plantilla de distribución de apoyos

3 curvas paralelas

Para resaltar los accidentes del terreno:

o Escala horizontal 1:2000

o Escala vertical 1:500

Plantilla de distribución de apoyos Vano nivelado

Plantilla de distribución de apoyos Vano inclinado

Plantilla de distribución de apoyos

• Curva de flechas máximas verticales (ACB) ⇒ Parábola/catenaria máxima

• Curva de distancia mínima al terreno (HKM)

Tangente al terreno

Separada de ACB por dC-T 90

Plantilla de distribución de apoyos

• Curva de pie de apoyos (NOP)

Separada de ACB por la altura engrape-terreno (apoyo de alineación)

Emplazamiento de los apoyos ⇒ Puntos de corte de NOP con el perfil

• Parábola/catenaria mínima ⇒ Detección de apoyos sometidos a tracción ascendente

Se aplica cada 3 apoyos (2 vanos) uniendo

los pies de los apoyos extremos

Si la curva está debajo del pie del apoyo intemedio ⇒ No hay tracción ascendente

Si la curva está encima del pie del apoyo

intemedio ⇒ Sí hay tracción ascendente

Distribución de apoyos Parábola mínima

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