calculus iii

CALCULUS III

อาจารย์ ดร. เจษฎา ตัณฑนุช

สว่นท่ี 2 : สมการเชงิอนุพนัธ์

KdV equation

สมการการเคล่ือนท่ี

dxvdt

2

2

d xgdt

(ความเรว็)

(ความเรง่)( ) ( ) ( ) ( ) 0mx t bx t qx t r kx t

สมการการผสมกันของของเหลว

1 1

2 2

1 ( )'( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) ( )

x tx t a x t b y t x tp

y t a y t b x t r y t r

ระบบสมการระบบนิเวศน์วทิยาระหวา่งผู้ล่า-ผู้ถกูล่า

สมการ Navier-Stokes equationgrad divdu f

dt

( ) xy f x e ตัวอยา่ง

เป็นผลเฉลยชดัแจง้ (explicit solution)ของสมการ 0dy y

dx

1 1 0y x

ตัวอยา่งความสมัพนัธ์

เป็นผลเฉลยโดยปรยิาย (implicit solution ) ของสมการ2

2

dy ydx x

จงหาผลเฉลยของสมการ

จงหาผลเฉลยของสมการ

จงหาผลเฉลยของสมการ

จงหาผลเฉลยชดัแจง้ (exact solution ) ของสมการcsc 'x y y

ตัวอยา่งท่ีผ่านมา

2

' , (3) 11

x y yy yy

2 2( ) 0, (1) 1x xy dy y dx y 5.

2 1 ( 2) 0y xdx x ydy

2 2' 2 4 , (2) 4xyy y x y

หรอื

22' 2 3 , (0) 5xy xy x e y

2

2 6 xdy xy xedx

( ) 02

y

5' 3 2 , (2) 1xy y x y

จงแสดงวา่เป็นผลเฉลยของสมการ

2 3 4x xy y c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

2

' , (1) 22 1yy yxy

M Ny x

ส ม ก า ร ใ ด ต ่อ ไ ป น ี้ไ ม ใ่ ช ่ (ส ม ก า ร เ อ ก พ นั ธ ุ์ h o m o g e n e o u s )( 1 ) ' 1x y y

( 2 ) 2 2 2( 3 ) 0x x y y d x x d y

( 3 ) /' 2 y xx y y x e ( 4 ) 2 2' 3 2 0x y x y y ( 5 ) 2 2( 2 ) 0x y d x x y d y

ส ม ก า ร ใ ด ต ่อ ไ ป น ี้ไ ม ใ่ ช ่ (ส ม ก า ร เ ช งิ เ ส น้ l i n e a r )( 1 ) 2 ' 3 2 0x y x y y

( 2 ) 2( 2 ) 0x y d x x y d y

( 3 ) 'x y y x ( 4 ) ' 2 xx y y x e ( 5 ) 2 2( 3 ) 0x x y d x x d y

ส ม ก า ร ใ ด ต ่อ ไ ป น ี้ไ ม ใ่ ช ่ (ส ม ก า ร เ แ ม น่ ต ร ง e x a c t)( 1 ) 23( 2 ) ( 3 2 ) 0

2x x d y x y y d x

( 2 ) 2( 2 ) 2 0x y d x x d y ( 3 ) 2 2( 2 ) 0x x y d x x d y ( 4 ) 'x y y x ( 5 ) ' 2 xx y y x e

(2 ) ( 4) 0x y dx x dy

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับท่ีหน่ึงท่ีกำาหนดให้เป็นสมการชนิดใด

(1) สมการแยกตัวแป (separable)รได้(2) (homogeneous)สมการเอกพันธ์ุ(3) (linear)สมการเชิงเส้น(4) (exact)สมการแม่นตรง(5) 1 มีข้อถูกมากกว่า ข้อ

จ ง ห า ผ ล เ ฉ ล ย ช ดั แ จ ง้ (e x p lic it s o lu tio n )ข อ ง ส ม ก า ร ด ัง ก ล ่า ว(1 ) 2 4x y x y c (2 )

2

4x cy

x

(3 ) 2

4xy c

x

(4 ) 2 4x y x y c

(5 ) ไ ม ม่ คี ำา ต อ บ ท ี่ถ กู

(2 ) ( 4) 0x y dx x dy

ถ้า ( )y y x เป็นผลเฉลยของปัญหาค่าต้ังต้น( 2 ) ( 4 ) 0 , ( 2 ) 1 0x y d x x d y y

จงหาค่า (0 )y

(1) 0(2) 1(3) 4(4 ) 10(5 ) 16