cap05 - teoremas de rede
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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 5
Teoremas de Rede
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5.1 Circuitos Lineares
Propriedade da Proporcionalidade:
Se x e y são variáveis associadas a um elemento de dois terminais, então
este elemento é dito linear se a multiplicação de x por uma constante K
resulta na multiplicação de y pela mesma constante.
Exemplo de elementos lineares:
onde a é uma constante.
Circuito é linear se ele contém somente fontes de correntes independentes e/ou
elementos lineares.
dt
dxay
axdt
dy
axy
=
=
=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
As equações que descrevem um circuito linear são obtidas pela aplicação das
leis de Kirchhoff para tensões e correntes.
Estas equações são, por exemplo, da forma:
onde f é a soma algébrica das tensões das fontes independentes no laço e
ai = 0, -1 ou +1.
fvavava nn =+++ L2211
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo:
+–
2 Ω
vg1
5 Ω
+ v1 –
i1
+ –
v3
+– vg2
+v2–
i2
3i6
21321 gg vvvvv −=−+Lei de Kirchhoff:
Então, a1 = +1, a2 = +1, a3 = −1 e f = vg1 – vg2.
Note que:
O mesmo vale para a equação de correntes.
fvavava =++ 332211
KfKvaKvaKva =++ 332211
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade
+-
2 Ω
vg1 4 Ω ig2
i
Lei de Kirchhoff de tensões: ( ) 12 42 gg viii =+−3621 gg iv
i +=
8636
4318
i [A]ig2 [A]vg1 [V]
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade. Achar a v1.
+-
i5 i3
i4
vg = 45 V 5 Ω
i2 i1
1 Ω 1/2 Ω+v3–
+v1–
1 Ω 3 Ω
+ v4 – + v2 –
Chute: v1 = 1 [V], então i1 = 2 [A]
[ ]A 3
21
1
1331 =⇒
+= iii
[ ]A 123 2321 =−=⇒=+ iiii
[ ]V 933332 =⋅== iv
[ ]V 1091213 =+=+= vvv
[ ]A 25
1053
4 === vi
[ ]A 532 5345 =+=⇒+= iiii
[ ]V 5511 54 =⋅=⋅= iv
[ ]V 1510534 =+=+= vvvg
Então v1 tem que ser 3 vezes maior, ou seja, v1 = 3 [V]
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo:
+-
2 Ω
vg R (não linear) v = i 2= i⋅i
i+v–
Calculo da corrente que sai do terminal positivo da fonte para:
a) vg = 8 [V]
b) vg = 16 [V]
( ) 222 iiviiiRv gsg +=⇒+==
[ ]A 208228 22 =⇒=−+⇒+= iiiii
[ ]A 1231,301622 =⇒=−+ iiivg dobrou mas i não!
Proporcionalidade não se aplica!
R = i
Rs = i + 2
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5.2 Superposição
Circuitos lineares com mais de 1 entrada.
Propriedade de linearidade torna possível obter a resposta nestes circuitos pela
análise de apenas uma entrada.
Exemplo:
+-
2 Ω
vg1 4 Ω ig2
i
( ) 12 42 gg viii =+−3621 gg iv
i +=Lei de Kirchhoff de tensões:
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
( ) 12 42 gg viii =+−
Se i1 é a componente de i devido apenas a vg1, isto é, ig2 = 0, então:
( ) 111 402 gvii =+−
Se i2 é a componente de i devido apenas a ig2, isto é, vg1 = 0, então:
( ) 12 42 gg viii =+− ( ) 042 222 =+− iii g
( ) 111 402 gvii =+−
( ) 042 222 =+− iii g
+
( )[ ] ( ) 121221 42 gg viiiii =++−+
( ) 12 42 gg viii =+−21 iii +=
611gv
i =
322gii =
3621 gg iv
i +=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Processo alternativo para obtenção de i:
+-
2 Ω
vg1 4 Ω
i1
2 Ω
4 Ω ig2
i2
61
1gv
i =
3422 2
22g
gi
ii =+
=
3621 gg iv
i +=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Superposição:
Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontes
independentes, qualquer tensão (ou corrente) do circuito pode ser calculada
como a soma algébrica de todas as tensões (ou correntes) individuais causadas
pelas atuação isolada de cada fonte independente, isto é, com todas as outras
fontes independentes mortas.
Obs.: As equações envolvidas no circuito são de primeiro grau (lineares).
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito com três fontes independentes
Resolução tradicional:
[ ]
[ ]
[ ]V 18
A 2
V 6
3
2
1
=
=
=
g
g
g
v
i
v
3 Ω
+-
2 Ω
18 V6 Ω 2 A
+ v -
+ -6 V
ab
c
dnó de referência
13
3
3
: nó no tensão
: nó no tensão
: nó no tensão
gg
g
g
vvv
vv
v
+−
−
a
c
bEquação nodal (nó genérico):
0326 2
113 =−−+−
++−
gggg i
vvvvvv
[ ]V 5234 =−+= v
231 61
32
ggg ivvv −+=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Resolução por sobreposição:
3 Ω2 Ω
6 Ω
+ v1 -
+ -
6 V
ab
c
d
[ ]V 463
23
31 =⋅
+=v
6 Ω // 2 Ω em série com 3 Ω:
3 Ω2 Ω
6 Ω
+ v1 -
+ -
6 V
ab, d
c
[ ]Ω=+⋅=
23
6262
eqR
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
[ ]Ω=⇒=++= 1131
21
611
eqeq
RR
3 Ω2 Ω
6 Ω 2 A
+ v2 -a
bc
d3 resistores em paralelo:
[ ]V 22122 −=⋅−=⋅−= eqRv
b d
3 Ω2 Ω6 Ω 2 A-v2+
a c
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
[ ]Ω=+⋅=
56
3232
eqR
3 Ω
+-
2 Ω
18 V6 Ω
+ v3 -a
bc
d
3 Ω // 2 Ω em série com 6 Ω:
3 Ω
+-
2 Ω
18 V6 Ω
+ v3 -
a, c b
d
[ ]V 3186
56
56
3 =⋅+
=v
[ ]V 5324321 =+−=++= vvvv
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito com uma fonte dependente. Potência entregue a R3.
– +
1 Ω
12 V
3 Ω
i
+
–
+v–
2i V
6 A
A potência não é uma combinação linear de tensões ou correntes.
3
2vp =
Superposição não pode ser diretamente aplicada para a potência.
Mas superposição pode ser aplicada para a tensão.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
– +
1 Ω
12 V
3 Ω
i1
+
–
+v1–
2i1 V
11 3 iv ⋅=
01212 111 =+++− iiv
[ ]A 26
12012312 1111 ==⇒=+++− iiii
[ ]V 63 11 =⋅= iv
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
1 Ω3 Ω
i2
+
–
+v2
–
2i2 V
6 A
1833
6 222
2 +=⇒=+ ivv
i
22222 312 ivivi −=⇒⋅−=+[ ]V 918
33 2
22 =⇒+−= v
vv
[ ]V 159621 =+=+= vvv [ ]W 753
153
22=== v
p
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5.3 Teoremas de Thévenin e de Norton
O uso destes teoremas permite a troca de um circuito inteiro, visto de seus
terminais, por um circuito equivalente, composto de uma fonte e um resistor.
Circuito A: fontes independentes e/ou dependentes, resistores.
Circuito B: pode também ter elementos não lineares.
Restrição adicional: nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser
controlada por uma tensão ou corrente do circuito B e vice-versa.
Circuito Linear A Circuito B
a
b
i
+v-
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Pode-se substituir o circuito A por um circuito equivalente:
• uma fonte e um resistor,
• relações de tensão e corrente nos terminais a-b sejam as mesmas
Em relação ao circuito A , pode-se trocar o circuito B por uma fonte de tensão:
Aplicando o princípio da superposição ao circuito linear obtido, temos:
Circuito Linear A
a
b
i
+v-
v+-
sciii += 1
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
i1 = corrente produzida pela fonte de tensão v com o circuito A morto (todas as
fontes independentes foram mortas).
Lei de Ohm:
Circuito A morto
a
b
i1
v+-
Rth = resistência equivalente de A
thR
vi −=1
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
isc = corrente de curto circuito produzida por alguma fonte no circuito A com a
fonte v morta (curto-circuitada).
Circuito A
a
b
isc
scth
sc iR
viii +−=+= 1Descreve o circuito A , no caso geral:
Suponha que os terminais a-b estejam abertos, então
scthocscth
oc iRviR
v =⇒+−=0
v = voc tensão de circuito aberto
thsc R
vii +=
th
ocsc R
vi =
octhth
oc
thviRv
R
v
R
vi +⋅−=⇒=+
Circuito A
a
b
+voc_
i = 0
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
octh viRv +⋅−=
Circuito equivalente de Thévenin é descrito pela equação:
sendo a tensão v e corrente i orientadas como na figura:
Note que v é a soma de dois termos representando 2 elementos em série
cujas tensões somadas dão o valor v.
Circuito Linear A Circuito B
a
b
i
+v-
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito equivalente de Thévenin do circuito A:
+-
Rth
voc
i
+
v
−−−−
a
b
octh viRv +⋅−=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito equivalente de Norton do circuito A:
Rthisc
+
v
−−−−
ia
b
Circuito equivalente de Norton é o dual do Thévenin.
th
oc
thocth R
v
R
viviRv +−=⇒+⋅−=
th
ocsc R
vi =
scth
iR
vi +−=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito de Thévenin e de Norton
6 V
6 Ω
i
3 Ω R
+
v
–
2 Ω- +
2 A
a
b
Obter i em termos da carga R.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito morto e obtenção Rth:
6 Ω 3 Ω
2 Ω a
b Rth
Ω=+⋅+= 4
6363
2thR
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Obtenção voc:
6 V
6 Ω 3 Ω
+
voc
–
2 Ω- +
2 A
a
b
vocvoc −−−− 6
236
6 =+− ococ vv
[ ]V 6=ocv
th
ocRR
vi
+=
+-
Rth
voc
i
+
v
−−−−
a
b
R
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+-
4 Ω
voc = 6 V
+
v
-
a
b
i
R
Circuito equivalente de Thévenin:
[ ]A 4
6+
=R
i
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito equivalente de Norton:
4 Ω
i
R1,5 A
a
b
Ω= 4thR
[ ]A 5,146
46 ==⇒=⇒= scscscthoc iiiRv
[ ]A 4
65,1
44
+=⋅
+=
RRi
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito equivalente de Norton.
Circuito morto e obtenção Rth:
2i1 V
4 Ω 6 Ω
3 Ω
10 A
a
b
- +i1
2i1 V
4 Ω 6 Ω
3 Ω a
b
- +i1
i
+
v
−−−−Rth
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
sc
octh i
vR =
2i1 V
4 Ω 6 Ω
3 Ω
10 A
a
b
- +i1 isc
i2
sciii −−= 12 100624 112 =+−− iii
11 2036 iiii scsc =⇒=+−
[ ]A 5=sci
1 2
( ) 062104 111 =+−−−− iiii sc
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
2i1 V
4 Ω 6 Ω
3 Ω
10 A
a
b
- +i1 +
voc
−−−−
16 ivoc ⋅= ( ) 062104 111 =+−−− iii
[ ]A 5840
062440 1111 ==⇒=+−+− iiii
[ ]V 3056 =⋅=ocv
[ ]Ω 6530 ===
sc
octh i
vR
[ ]A 5=sci
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
6 Ω5 A
+
v
-
ia
b
Circuito equivalente de Norton:
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito equivalente de Thévenin
2i1 V
4 Ω 6 Ω
a
b
- +i1
Por inspeção: voc = 0 e isc = 0 (não há fontes independentes).
Não podemos achar Rth através de voc = Rth isc
Solução: Excitar o circuito com uma fonte nos terminais a e b e calcular Rth.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
1v
Rth =
2i1 V
4 Ω 6 Ω
a
b
- +i1
1 A
+
v
-
Rth
vv – 2i1
5612
164
2 11 iv
viv +=⇒=+−
16iv =[ ]V 3=v [ ]Ω= 3thR
3 Ω Circuito equivalente de Thévenin
chute
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5.4 Fontes Práticas
Na prática uma fonte de tensão fornece uma tensão V somente quando seus
terminais estão sem carga (abertos).
Quando uma corrente flui através de seus terminais a tensão fornecida é menor
que V.
Modelo:
+-
Rg
vg
+
v
−−−−
i
RL
Fonte de tensão prática
iRvv gg −=
Circuito aberto (i = 0):
Curto circuito (v = 0):
gvv =
g
g
R
vi =
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Fixados os valores de vg e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui
nos terminais.
Assim, corrente de carga é
E a tensão de saída é
Lg
g
RR
vi
+=
Lg
gLL RR
vRiRv
+=⋅=
vg
v
RL
fonte ideal
fonte prática
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Pode-se substituir a fonte de tensão prática por uma fonte de corrente prática,
reescrevendo a equação:
Fazendo
Obtemos
gg
ggg R
v
R
viiRvv −=⇒−=
g
gg R
vi =
gg R
vii −=
Rg
i
RLig
a
b
+
v
−−−−
Fonte de corrente prática
gLg
g iRR
Ri
+=
iRv L ⋅=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
ig
i
RL
fonte ideal
fonte prática
Fixados os valores de ig e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui
nos terminais.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Encontrar a corrente i.
2 Ω+-
i
32 V 6 Ω 6 Ω
3 Ω 4 Ω 1 Ω
4 A
Resolução pelo método de troca sucessiva de fontes:
2 Ω
+-
i
32/3 A 6 Ω 6 Ω3 Ω
4 Ω 1 Ω
8 V
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+-
i
32/3 A 2 Ω 6 Ω
4 Ω 3 Ω
8 V
+-
i
64/3 V 6 Ω
4 Ω
3 Ω 8/3 A
2 Ω
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+-
i
64/3 V 2 Ω
4 Ω
8/3 A
2 Ω
+-
i
64/3 V
2 Ω4 Ω
16/3 V
2 Ω
+-
[ ]A 2242
316
364
=++
−=i
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+-
i
64/3 V
2 Ω4 Ω
16/3 V
2 Ω
+-
Exemplo: Combinação de fontes em série.
+-
16 V
8 Ωi
[ ]A 28
16 ==i
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5.5 Transferência Máxima e Potência
Potência pL entregue ao resistor RL:
Queremos maximizar pL!!!
+-
Rg
vg
+
v
-
i
RL
Fonte de tensão prática
LLg
gLL R
RR
vRip
22
+=⋅=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Tensão vg e Rg fixas, então,
( ) ( )( )
( )( ) 0
2
2
2
4
22
2
=+
−=
+
+−+=
+=
Lg
gLg
Lg
LLgLggL
Lg
g
LL
L
RR
vRR
RR
RRRRRvR
RR
v
dR
d
dR
dp
gL RR =
08 3
2
2
2<−=
= g
g
RRL
L
R
v
dR
pd
gL
Portanto, a condição é de máximo.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Teorema da Máxima Transferência de Potência:
• a máxima potência é entregue por uma fonte prática quando a carga RL
possui valor igual a resistência interna da fonte.
Potência máxima que uma fonte de tensão prática pode entregar a uma carga é
dada por:
Potência máxima que uma fonte de corrente prática pode entregar a uma carga
é dada por:
g
gg
gg
gL
Lg
gL R
vR
RR
vR
RR
vp
4
222
max =
+=
+=
4
2
maxgg
LiR
p =
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Pode-se estender o Teorema da Máxima Transferência de Potência para um
circuito linear:
máxima potência é obtida em um dado par de terminais quando estes
terminais possuir carga igual à resistência de Thévenin do circuito.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Potência máxima do circuito abaixo conectando nos terminais a-b
uma carga com a resistência de Thévenin:
2i1 V
4 Ω 6 Ω
3 Ω
10 A
a
b
- +i1
[ ]Ω== 6thL RR
[ ]A 5=sci
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito equivalente de Norton:
6 Ω RL = 6 Ω5 A
a
b
Potência fornecida para a carga:
( ) ( )[ ]W 5,37
66
6900
6
90022
=+
⋅=+
=L
L
R
Rp
Qualquer outro valor de RL fornece potência menor.
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