cap2 frequencia complexa eiii 2003 -...
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Octávio Páscoa Dias 19
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
)(tv
t
2 – Frequência Complexa (revisão)2 – Frequência Complexa (revisão)
n Considere-se a expressão,
que representa uma sinusoide com a amplitude modulada por umaexponencial. Com σ real, tem-se,n se σ>0 a amplitude de v(t) cresce com o tempo;n se σ<0 a amplitude de v(t) decresce com o tempo;n se σ=0 a amplitude de v(t) é constante.
1)()cos()(00 VtvVtve =⇒=⇒== θωσ
)cos()( θωσ += tVetv t
tensão constante (tensão dc)
Figura 1.19 – Tensão constante (dc).
Octávio Páscoa Dias 20
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
tensão sinusoidal de amplitude constante)cos()(00 θωωσ +=⇒≠= tVtve
tensão exponencial crescentett eVtvVetve σσ θωσ 1)()cos()(00 =⇒=⇒=>
t
)(tv
Figura 1.20 – Tensão sinusoidal de amplitude constante.
Figura 1.21 – Tensão exponencial crescente.
)(tv
t
Octávio Páscoa Dias 21
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
tensão exponencial decrescentett eVtvVetve σσ θωσ 1)()cos()(00 =⇒=⇒=<
)(tv
t
Figura 1.22 – Tensão exponencial decrescente.
n Considerando o caso particular da tensão exponencial,teVtv σ
1)( =
Octávio Páscoa Dias 22
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tjeVtv ω1)( =
e substituíndo σ por jω
ααα jsine j += cos
2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
que coincide com a representação complexa de uma função sinusoidal. De facto, tendo em conta a fórmula de Euler,
)cos()( θω += tXtx m
uma grandeza sinusoidal,
pode escrever-se na forma:
[ ]tjeXtx ωRe)( =onde,
θjmeXX =
representa a amplitude complexa da grandeza sinusoidal x(t)
Octávio Páscoa Dias 23
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
Re
Im
mX
X
θ
Figura 1.23 – Amplitude complexa de uma função sinusoidal.
n A analogia entre as expressões,tjt eVtveeVtv ωσ
11 )()( ==Permite indentificar,σ com a parte real de uma frequência complexa eω com a parte imaginária dessa frequência complexa.
Octávio Páscoa Dias 24
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n Representando por s a frequência complexa acabada de definir, podeescrever-se, ωσ js +=
2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
stketf =)(
onde, k e s são constantes complexas independentes do tempo, é caracterizada pela frequência complexa,
ωσ js +=
n Deste modo, uma função do tempo, que possa ser escrita na forma,
n Deve ser realçado que a representação,stketf =)(
é compatível com os resultados obtidos anteriormente.
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
tensão constante (tensão dc)
1)( Vtv =pode ser escrita na forma,
000)( 01 ==⇒=⇒= ωσ eseVtv tj
tensão exponencialteVtv σ
1)( =
corresponde a,
000 =≠⇒+= ωσσ ejs
De facto,
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
Quanto à tensão sinusoidal de amplitude constante, tem-se,
)cos()( θω += tVtv
Recorrendo à identidade de Euler,
2cos
αα
αjj ee −+
=
pode escrever-se,
)(21
)cos( )()( θωθωθω +−+ +=+ tjtj eet
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
assim,
tjjtjj
jtjjtj
tjtj
eVeeVe
eeeeV
eeVtVtv
ωθωθ
θωθω
θωθωθω
−−
−−
+−+
+=
+=
+=+=
)21
()21
(
)(21
)(21
)cos()(
)
)()(
Podendo escrever-se,tsts ekektv 21
21)( +=com,
ωωθθ jsjsVekVek jj −==== −2121 ;;
21
;21
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
Deste modo, a função,)cos()( θω += tVtv
pode ser representada pela soma de duas exponênciais complexas,
sendo de realçar a presença de duas frequências complexas,
tjtj ekektv ωω −+= 21)(
ωω jej −
Tendo em conta que k1 é o conjugado de k2 e que s1 é o conjugado de s2, pode concluir-se que os dois termos da soma,
são complexos conjugados, e assim, a sua soma conduz a umaquantidade real.
tjtj ekek ωω −+ 21
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
Retomando a expressão da sinusoide modulada por uma exponencial,
)cos()( θωσ += tVetv t
e sabendo que ela pode ser representada na forma exponencial recorrendoà identidade de Euler,
obtém-se,
tjjtjj
jtjtjtjt
tjtjt
t
eVeeVe
eeVeeeVe
eeVe
tVetv
)()(
)()(
21
21
)(21
)(21
)(21
)cos()(
ωσθωσθ
θωσθωσ
θωθωσ
σ θω
−−+
−−
+−+
+=
+=
+=
+=2
cosαα
αjj ee −+
=
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
logo,tjjtjj eVeeVetv )()(
21
21
)( ωσθωσθ −−+ +=
Verifica-se, assim, que as frequências complexas,
ωσωσ jsejs −=+= 21
são também necessárias para representar uma sinusoide com a amplitude modulada por uma exponencial.
De facto, a expressão,)cos()( θωσ += tVetv t
com σ≠0 e ω≠0, representa o caso mais geral de uma sinusoide,
Octávio Páscoa Dias 31
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
onde,n a tensão constante (tensão dc, σ=0 e ω=0);
n a tensão sinusoidal de amplitude constante (σ=0 e ω≠0);
n e a tensão exponencial (σ≠0 e ω=0) casos particulares que dela podemser derivados.
Pode, assim, concluir-se, que a frequência complexa, s, descreve a variaçãoda sinusoide, estando:
n a parte real, σ, associada à variação exponencial da amplitude;
n e parte imaginária, ω, à variação da frequência cíclica.
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
σ
ωj
Figura 1.24 – Comportamento de v(t) com a variação de σ e ω.
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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)
Assim,
−−=+−=
⇒+=
−==
=⇒=
+−=⇒=
=⇒=
−
−
6363
)º106sin(4)(
500500
500sin2)(
025)(
0100)(
2
13
2
1
2
jsjs
tetv
jsjs
sttv
jsetv
stv
t
t
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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão)
Tomando a expressão geral da sinusoide modulada por uma funçãoexponencial,
)cos()( θωσ += tVetv t
e tendo em conta a identidade de Euler,
ααα jsine j += cosconstata-se que a parte real de,
))sin()(cos()( θωθωσθωσ +++=+ tjtVeeVe ttjt
descreve a tensão,
)cos()( θωσ += tVetv t
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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)
isto é, { })(Re)( θωσ += tjteVetvou,
{ })(Re)( θωσ −−= tjteVetvuma vez que,
)cos()cos( θθ −=Constata-se assim, que o par de frequências conjugadas, jω e -jω , estáassociado à representação de uma função sinusoidal de amplitude variável (σ≠0) ou amplitude constante (σ=0). A expressão,
{ })(Re)( θωσ += tjteVetvPode ser escrita na forma,
{ } { }tjjjtjt eVetveeVetv )(Re)(Re)( ωσθθωσ +=⇔=
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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)
e como, ωσ js +=obtém-se,
{ }stj eVetv θRe)( =Tendo em conta que a amplitude complexa de uma grandeza sinusoidal pode ser descrita por,
θθ ∠== VVouVeV j
então, { }steVtv Re)( =
que no domínio das frequências físicas, s=jω, toma a forma,
{ } θω θ jtj VeVouVVeVtv =∠== ;Re)(
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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)
Para uma corrente sinusoidal,
)cos()( θωσ += tIeti t
tem-se,
{ }stststj eItieIsIeIesI Re)()()( =⇒=⇔= θ
e,
θθ ∠== IIouIeI j
Para as frequências físicas, s=jω
{ } θω θ jtj IeIouVIeIti =∠== ;Re)(
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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão)
BobinaBobina
{ } { }{ } { }
=⇒=
=⇔=
=⇔=
)(Re)()(
Re)(Re)(
Re)(Re)(
st
ststj
ststj
eIdtd
Ltvdtdi
Ltv
eItieIeti
eVtveVetvφ
θ
Para o circuito com bobina representado na figura 1.25, tem-se,
L
)(ti
)(tv
Figura 1.25 –Representação no domínio do tempo de um circuito com bobina.
Octávio Páscoa Dias 39
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{ }stsLeItv Re)( =
2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)
Dado que, { }steVtv Re)( =tem-se,
{ } { } stststst sLeIeVsLeIeV =⇒= ReRe
Tendo em conta que a impedância, Z, é definida pela relação,
IV
Z =
sLsIsV )()( =Eliminando o termo est de ambos os membros da equação,
sLsZsIsLsI
sZsIsV
sZ LLL =⇒=⇔= )()(
)()(
)()(
)(
assim,
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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)
ZY
1=
E como a admitância, Y, se define por,
tem-se,
sLsY
sZsY L
LL
1)(
)(1
)( =⇒=
As figuras 1.26 (a) e (b) representam o circuito com bobina no domíniodas frequências complexas, s, e físicas, ω, respectivamente.
sL
)(sI
)(sV Ljω
)( ωjI
)( ωjV
Figura 1.26 – Circuito com bobina no domínio da frequência(a) (b)
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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)
CondensadorCondensador
Figura 1.27 –Representação no domínio do tempo de um circuito com condensador.
Para o circuito com condensador ilustrado na figura 1.27, tem-se,
C)(tv
)(ti
{ } { }{ } { }
=⇒=
=⇔=
=⇔=
)(Re)()(
Re)(Re)(
Re)(Re)(
st
ststj
ststj
eVdtd
Ctidtdv
Cti
eItieIeti
eVtveVetvφ
θ
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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)
{ }stsCeVti Re)( =Dado que, { }steIti Re)( =tem-se,
{ } { } stststst sCeVeIsCeVeI =⇒= ReRe
Como a admitância, Y, é definida pela relação,
VI
Y =
sCsVsI )()( =Dividindo por est ambos os membros da equação,
sCsYsVsCsV
sYsVsI
sY CCC =⇒=⇔= )()(
)()(
)()(
)(
tem-se,
Octávio Páscoa Dias 43
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sC1)(sV
)(sI
Cjω1)( ωjV
)( ωjI
YZ
1=
tem-se,
sCsZ
sYsZ C
CC
1)(
)(1
)( =⇒=
As figuras 1.28 (a) e (b) ilustram, respectivamente, o circuito com condensador no domínio das frequências complexas, s, e físicas, ω.
2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)
Dado que a impedância, Z, é definida pela relação,
Figura 1.28 – Circuito com condensador no domínio da frequência(a) (b)
Octávio Páscoa Dias 44
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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)
A introdução ao conceito de frequência complexa foi realizada com base no regime sinusoidal, tendo-se estabelecido uma correspondência biunívocaentre a função do tempo e a função da frequência.
Por intermédio da ferramenta matemática designada por Transformada de Laplace pode ser estabelecida aquela correspondência para uma excitaçãodiferente da sinusoidal.
De facto, a Transformada de Laplace estabelece uma correspondênciabiunívoca entre a função do tempo x(t) e a sua transformada X(s).
)()( sXtxLaplacededatransforma
→←
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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)
n É usual indicar que X(s) é a transformada de Laplace de x(t) porintermédio da notação,
X(s)=L[x(t)]onde a variável s=σ+jω é a frequência complexa.
n Diz-se que x(t) é a transformada inversa de X(s), representando-se por,
x(t)=L-1[X(s)]
n A transformada de Laplace é definida por,
∫∞
−
−
≡0
)()( dtetxsX st
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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)
existindo transformada se,0,)( >< tparaMetx ct
sendo M e c constantes positivas. O integral converge para σ>c.
n Exemplos da transformada de Laplace:
<≥
==
+=
+=
+=
=== ∫
0 t,00 t,1
)( com ,1
)]([
;1])sin([sin ;)][cos( ;1][
;1)]([ );(1
])([ );()]([
2222
0
tus
tuL
stL
sstL
aseL
tLsFs
dfLssFtfdtd
L
at
t
ωωω
ωω
δλλ
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2.4 –Descrição do comportamento aos terminaisdos componentes de redes (revisão)
2.4 –Descrição do comportamento aos terminaisdos componentes de redes (revisão)
n Resistência
Ritv =)(
)()( sRIsV =
RsIsV
=)()(
n Bobina
dtdi
Ltv =)(
)()( ssLIsV =
sLsIsV
=)()(
n Condensador
dtdv
Cti =)(
)()( ssCVsI =
sCsIsV 1)()(
=
Octávio Páscoa Dias 48
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Rede resistiva Rede reactiva
valores instatâneos regime sinusoidal
transformadas de Laplace
(condições iniciais nulas)
Variáveis v(t), i(t) ,V I )(sV , )(sI
Leis de Kirchhoff ∑ = ,0)(ti ∑ = 0)(tv ∑ = ,0I ∑ = 0V ∑ = ,0)(sI ∑ = 0)(sV
Componentes v(t)=Ri(t) IZV = )()()( sIsZsV =
2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas
A tabela 2.1 mostra as equações nos domínios do tempo, da frequênciafísica e da frequência complexa.
Tabela 2.1 – Correspondência entre os domínios do tempo, frequência física e frequência complexa.
Octávio Páscoa Dias 49
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n A analogia formal entre a descrição das redes resistivas e redesreactivas permite utilizar muitos resultados estabelecidos para as redesresistivas , nomeadamente: associação em série e em paralelo, divisão de tensões divisão de correntes, teoremas da sobreposição e de Thevenin-Norton.
nÉ importante notar que, quando se considera a impedância Z(s) dabobina ou do condensador e se faz, s=jω, se obtém o resultadoencontrado para no estudo do regime sinusoidal. Pode assim ser estabelecida uma correspondência (tabela 2.2) entre a descrição dasredes em termos das transformadas de Laplace (com condições iniciaisnulas), e as equações do regime forçado sinusoidal em termos dasamplitudes complexas.
2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas(cont.)
2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas(cont.)
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transformadas de Laplace
(condições iniciais nulas) → = ωjs regime sinusoidal
s ωj
V(s) V
I(s) I
R R
sL jωL
1/sC 1/jωC
2.5 –Correspondência entre o regime sinusoidale a frequência complexa
2.5 –Correspondência entre o regime sinusoidale a frequência complexa
Tabela 2.2 – Correspondência entre o regime sinusoidale o domínio s.
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