cap.5 modelul dinamic al firmei (van hilten).pdf
Post on 13-Jul-2016
16 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MODELUL DINAMIC AL FIRMEI
(VAN HILTEN) ŞI EXTENSII ALE ACESTUIA
Capitolul
5
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
1. Modelul dinamic al firmei (modelul van Hilten)
Unul dintre cele mai importante modele dezvoltate în literatura de specialitate este acela în care firma este privită ca un sistem dinamic.
Acest model analizează corelaţia dinamică dintre investiţiile făcute din profiturile aduse de activele corporale, investiţiile făcute din credite şi politica de dividende a firmei, în condiţiile impozitului pe profit.
Ipotezele modelului:
Ipoteza 1. Firma are o producţie omogenă, iar funcţia de producţie este liniară:
Q(t) = q K(t) (1)
unde: - K(t) sunt bunurile de capital, exprimate valoric. Se face ipoteza că o
unitate de capital este egală cu o unitate monetară (s-a ales drept numerar unitatea de capital);
- Q(t) reprezintă nivelul producţiei, exprimat valoric;
- q reprezintă productivitatea medie a capitalului, cttKtQq ==)()(
. Se
presupune că productivitatea medie este egală cu productivitatea marginală, ipoteză din care rezultă funcţia de producţie liniară (1).
Toată producţia se presupune că se vinde, astfel încât stocul de producţie finită este zero.
Ipoteza 2. Funcţia de vânzări S(Q(t)) este pozitivă, strict concavă şi satisface legea veniturilor descrescătoare la scala de fabricaţie:
S(Q(t)) = p(Q(t)) Q(t) (2)
cu: - S(Q) - funcţia de venit; - p(Q(t)) - funcţia inversă a cererii (piaţa produsului finit este cu
competiţie imperfectă); 0))(( <′ tQp
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
>⇔><′′>′
0000
QQSQSQS
(3)
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Proprietăţile funcţiei de vânzări arată faptul că aceasta este crescătoare în raport cu producţia şi cu randamente descrescătoare la scală. De asemenea, producţia nu poate fi negativă.
Ipoteza 3. Singurul input este constituit de bunurile capital. Deprecierea capitalului (amortizarea) este proporţională cu valoarea capitalului aK(t), a fiind rata de amortizare.
Venitul net din vânzări (profitul brut) este:
Π(K(t)) =[ q p(Q(t)) – a] K(t) (4)
Ipoteza 4. Singurul tip de active corporale ale firmei, bunurile capital, pot fi finanţate din împrumuturi şi/sau acţiuni:
K(t) = X(t) + Y(t) (5)
unde: X(t) – valoarea acţiunilor; Y(t) – valoarea creditelor (împrumuturilor). Se cunosc, de asemenea, valorile iniţiale ale capitalului ( K(0) = K0),
acţiunilor (X(0) = X0) şi împrumuturilor (Y(0) = Y0).
Ipoteza 5. Creşterea valorii totale a acţiunilor (a capitalului social) se realizează prin acumulări din profit.
( )&X t = E(t) (6)
unde: - ( )&X t - creşterea valorii acţiunilor; - E(t) - partea din profit utilizat pentru creşterea valorii acţiunilor. Profitul poate fi utilizat pentru investiţii şi/sau pentru creşterea valorii
acţiunilor.
E(t) = (1 – f)·[Π(K(t)) – rY(t)] – D(t) (7)
unde: − f rata de impozitare a profitului corporal; − r rata dobânzii; − rY(t) valoarea dobânzii; − (1 – f)[Π(K(t)) – rY(t)] profitul net după impozitare şi plata
datoriilor. − D(t) valoarea dividendelor; − E(t) acumulările din profit sunt partea care rămâne din profiturile
corporale, după plata impozitului şi a dividendelor.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Ipoteza 6. Investiţiile nete sunt:
( ) )()( taKtItK −=& (8)
unde: I(t) investiţia brută; aK(t) deprecierea capitalului.
)()()( tYtXtK &&& += relaţia de dinamică a balanţei. (9)
Ipoteza 7. Volumul creditului este restricţionat la o pondere din valoarea capitalului social:
Y(t) ≤ k X (t) (10)
unde: k = ponderea maximă a împrumutului.
Ipoteza 8. Costurile unitare depind de structura de finanţare: YXYXNcN ,,; =
unde indicele N arată tipul de finanţare: N = X finanţarea din acţiuni (autofinanţare); N = Y finanţarea din împrumut maxim; N = YX finanţarea mixtă.
Ipoteza 9. Pentru demararea activităţii, venitul marginal în momentul iniţial depăşeşte costul marginal (oricare dintre costurile unitare):
}{max))((( 0 NNt ctQS >′ =
S-a făcut ipoteza că costul unitar este egal cu costul marginal.
Ipoteza 10. Firma se dezvoltă numai dacă venitul net din vânzări este pozitiv:
0))(( ≥Π tK
Ipoteza 11. Piaţa financiară şi piaţa monetară se consideră a fi două pieţe distincte, astfel încât preţurile pe cele două pieţe sunt diferite:
rfi )1( −≠ unde:
i este preţul pe piaţa financiară (considerat ca randament al acţiunilor) – dividendele care revin la o unitate monetară plătită de acţionari pe acţiuni; pentru firmă i este un cost, este costul unei acţiuni: firma trebuie să asigure pentru fiecare unitate monetară plătită de acţionari pe acţiuni, o revenire i.
(1 – f)·r este costul unitar al creditului. Întrucât rata de impozitare se aplică după plata datoriilor, la o unitate monetară profit net (după impozitare),
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
revine mai puţin de o unitate monetară dobândă. Este partea dintr-o unitate monetară de profit care revine pentru amortizarea creditului.
Ipoteza 12. Valoarea acţiunilor în momentul iniţial este strict pozitivă:
0)0( >X
Performanţa modelului: maximizarea valorii firmei calculată ca sumă de dividende actualizate pe intervalul [0, T] şi a valorii reale finale a capitalului social.
Variabile de decizie (control):
I(t) – investiţia brută; Y(t) – volumul creditelor; D(t) – valoarea dividendelor.
Variabile de stare:
X(t) – valoarea acţiunilor; K(t) – valoarea bunurilor capital.
Modelul dinamic al firmei
( ) ( )TXedttDe iTT
it
ID
−− +∫0
,max (11)
( ) ( )[ ][ ] )())()(())(()1(
)()())((1.
tDtXtKrtKftDtrYtKftX
−−−Π−=−−Π−= (12)
0)0( ),()()( KKtaKtItK =−=& (13)
restricţii liniare asupra stării : )()( tXtK ≥ (14)
)()()1( tKtXk ≥+ (15)
Observaţie: din ipoteza (7) rezultă că )()( tkXtY ≤ , care împreună cu relaţia de balanţă conduce la:
)()1()()()()()()()()()1()()()()(
tXktKtXtXtKtYtXtKtXktKtkXtXtK
+≤≤⇒⎭⎬⎫
≥⇒+=+≤⇒≤−
restricţii liniare asupra comenzii D(t): ⎩⎨⎧
≥≥
)17()()16(0)(
max tDDtD
⇒ max)(0 DtD ≤≤
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
restricţii liniare asupra comenzii I(t): ⎩⎨⎧
≥≥
)19()()18()(
max
min
tIIItI
⇒ maxmin )( ItII ≤≤
Aplicarea principiului lui Pontreaghin
Construim Hamiltonianul problemei:
( )[ ]{ } ))()(()())()(())(()1()()(
),(),(),(),(),(),(
21
21
taKtItDtXtKrtKfttDttttDtItXtKH
−+−−−Π−+=
λλλλ
(20)
Lagrangeanul problemei:
( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )( ) ( ))()()()()()(
)()()()()1()()()()())()()(()())()(())(()1()()(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(
max43max2
min121
21̀
43212121
tDDttDttIItItIttKtXkttXtKt
taKtIttDtXtKrtKfttDttttttttttDtItXtKL
−++−+−+−++−+−+−−−Π−+=
µµµµνν
λλµµµµννλλ
(21)
Dinamica variabilelor adjuncte:
( )[ ] ( )
( ) ( )( )
)25( 0)()()(1 0)()(
)24( 0)()()( 0)()(
:optim de Conditiile)23( )()())((1)()(
)()()(
)22( )(1)()(1)(
)()(
431
212
2112
22
21111
=−+−⇔=⋅
=−+⇔=⋅
−−−Π′−−+=
−=
+−+−−=−=
ttttD
L
ttttI
L
ttrtKfttaitK
Ltit
tkttrfitX
Ltit
K
µµλ∂∂
µµλ∂∂
ννλλ∂∂
λλ
ννλ∂∂
λλ
&
&
Condiţiile (24) şi (25) reprezintă condiţii de maximizare a Lagrangeanului.
Condiţiile Kuhn – Tucker:
[ ] 0)()( min1 =− ItItµ (26)
[ ] 0)()( max2 =− tIItµ (27)
0)()(3 =tDtµ (28)
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
[ ] 0)()( max4 =− tDDtµ (29)
4,1 ,0)( =≥ itiµ (30)
[ ] 0)()()(1 =− tXtKtν (31)
[ ] 0)()()1()(2 =−+ tKtXktν (32)
2,1 ,0)( =≥ itiν (33)
Eliminăm cazurile în care I(t) şi D(t) sunt pe limitele artificiale:
⎩⎨⎧
⇒===⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⇒>=⇒>=⇒>
))
0)()()()(0)()(0)()(0)(
421
max4
min2
max1
ba
tttDtDtItItItIt
µµµµµµ
a) din (24) ⇒=⇒=⇒ 0)(0)( 22 tt λλ & din (23): [ ] ⇒+−−Π′⋅−−⋅+= )()())(()1)((0)(0 211 ttrtKftai K ννλ
[ ] )()())(()1)(( 121 ttrtKft K ννλ −=−Π′⋅− (34)
b) din (25): ⇒=⇒+= )()()(1)( 3131 tttt µλµλ && din (22):
{ } )()1()())(1()1()( 2133 tkttrfit ννµµ +−++−−=& (35)
Calculăm profitul marginal:
[ ] ⇒−∂
∂⋅
∂⋅∂
=−∂∂
=∂Π∂ a
tKtKQ
tQStaKtQS
tKtKtK
)())((
)()()())((
)()())((
aSqtKtK
Q −′⋅=∂Π∂
⇒)())((
(36)
Transformăm ecuaţiile de dinamică ale variabilelor adjuncte în ecuaţie de dinamică a multiplicatorului )(3 tµ .
Înlocuim în (34) pe )(1)( 31 tt µλ += şi rezultatul obţinut în (36):
[ ] )()()1))((1( 123 ttraSqft Q ννµ −=−−′⋅−+ (37)
Condiţiile de optim devin:
( )[ ] ( ) )38( )(1)())(1(1)( 2133 tkttrfit ννµµ +−++−−=&
[ ] )39( (t)-(t))()1)((1( 123 ννµ =+−′⋅−+ raSqft Q
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
(40) 0)(2 =tλ
(41) )(1)( 31 tt µλ +=
0)( min >− ItI (42)
0)(max >− tII (43)
0)()(3 =tDtµ (44)
0)(3 ≥tµ (45)
0)()()( 421 === ttt µµµ (46)
2,1 ,0)( =≥ itiν (47)
[ ] 0)()()(1 =− tXtKtν (48)
[ ] 0)()()1()(2 =−+ tKtXktν (49) Analiza traiectoriilor Există 23 = 8 traiectorii posibile, după variaţia (0;+) a celor trei
multiplicatori µ3, ν1, ν2, din care trei sunt neadmisibile. Traiectorii neadmisibile
1) ⇒>> 0)(,0)( 21 tt νν ⇒=+= )()()1(),()( tKtXktXtK
⇒=+ )()()1( tXtXk ⇒⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
==
⇒==
0)0(0)0(
0)(0)(
KX
tKtX
contrazice ipoteza X(0) > 0
2) ⇒=⇒=== 0)(0)()()( 3321 tttt µµνν & din (38) ⇒−=⇒ rfi )1( contrazice ipoteza 11.
3) cazul 0)(,0)(,0)( 213 >>= ttt ννµ corespunde la aceeaşi contradicţie ca în cazul 1).
Traiectorii de bază admisibile
Se obţin din tabelul:
Tr. Nr. )(3 tµ )(1 tν )(2 tν 1 + 0 + 2 + 0 0 3 + + 0 4 0 + 0 5 0 0 +
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Traiectoria nr.1 0)(,0)(,0)( 213 >=> ttt ννµ
0)( (44),din 0)(3 =⇒> tDtµ ; nu se plătesc dividende (tot profitul se reinvesteşte).
⇒+=+=⇒>321)(
2 )()()()1()( (49),din 0)(tY
tkXtXtXktKtν împrumutu-
ri maxime. (39) [ ] ⇒=+−−+⇒ )()(')1))((1( 23 traqSft q νµ [ ] 0)(' >+− raqS q )( raSq Q +>′⇒ ⇒ venitul marginal din vânzări este mai mare
decât costul marginal în cazul finanţării din împrumut maxim şi acţiuni (tot profitul în acest caz se reinvesteşte).
YXQ cq
raS =+
>′
)()()(
)()( tQ
trKtaK
KQ
racYX+
=
⋅⋅+
=
Notăm QYX* soluţia ecuaţiei S’Q = cYX.
Pe traiectoria 1: S’Q este descrescătoare, deci Q(t) < QYX
*; producţia este mai mică decât valoarea staţionară.
Y(t) = kX(t) )()( tXktY && =⇒ [ ] { 0)(0)()()()())(()1()(
0
>⇒>⇒−−−−= tYtXtDtrYtaKtQSftX &&&
Pe traiectoria 1, acţiunile cresc şi împrumuturile cresc. ⇒> 0)(3 tµ pentru a exista comutaţie la un moment τ, la începutul şi
la sfârşitul traiectoriei 1, ⇒= 0)(3 tµ 0)(lim)( 33 ==<→
tttt
µµττ
0)(3 <⇒ tµ& limita
la sfârşitul traiectoriei 1. 0)(0)(lim)( 333 >⇒==
>→
ttttt
µµµττ
& limita la începutul traiectoriei 1.
Din (38) { ⇒+−++−−=⇒ )()1()())(1}()1({)( 20
1
0
33 tkttrfit ννµµ321
&
⇒>⇒+−−−=⇒ 0)()()1(})1({)( 323 ttkrfit µνµ && ⇒>+−−− 0)()1()}1({ 2 tkfi ν
⇒−>⇒++−> rfitkrfi )1()()1()1( 2ν la începutul traiectoriei 1 acţiunile sunt scumpe şi creditele ieftine.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Traiectoria nr. 2
0)(,0)(,0)( 213 ==> ttt ννµ
0)( (44),din 0)(3 =⇒> tDtµ ; pe traiectoria 2 nu se plătesc dividende. )()( (48),din 0)(1 tXtKt >⇒=ν ; pe traiectoria 2 se fac împrumuturi.
)()1()( (49),din 0)(2 tXktKt +<⇒=ν )()()( tkXtXtK +<⇒ ⇒ ⇒<⇒ )()( tkXtY împrumuturile nu sunt la maxim. (39) [ ] { {⇒−=+−′−+⇒
== 01
023 )()()()1))((1( ttraSqft Q ννµ
{ [ ] 0)('0)()1)()(1(00
3 =+−⇒=+−′−+⇒≠≠
raqSraSqft qQ43421µ ⇒
⇒=+−′⇒ 0)( raSq Q YXQ cq
raS =+
=′ ⇒ traiectoria 2 este staţionară:
Q(t) = *YXQ , I(t) = a *
YXK
⇒=⇒=⇒= 0)()()(*
* tKq
QKtqKtQ YXYX & capitalul nu creşte pe
traiectoria 2.
Începutul traiectoriei 2:
⇒−>⇒⇒=> rfitt )1((38)din 0)(,0)( 33 µµ& acţiunile sunt scumpe şi creditele ieftine; deci nu se plătesc dividende, iar împrumutul şi tot profitul se reinvesteşte.
Sfârşitul traiectoriei 2: ⇒−<⇒⇒=< rfitt )1((38)din 0)(,0)( 33 µµ& acţiunile sunt ieftine
şi creditele scumpe; se plătesc dividende.
Traiectoria nr.3 0)(,0)(,0)( 213 =>> ttt ννµ
0)( (44),din 0)(3 =⇒> tDtµ ; pe traiectoria 3 nu se plătesc dividende. ⇒=⇒⇒> )()((48)din 0)(1 tXtKtν nu se fac împrumuturi, Y(t) = 0
⇒=⇒ 0)(tY& autofinanţare. (39) [ ] ⇒−=+−′−+⇒ )()()1))((1( 13 traSqft Q νµ
{ [ ] )(0)(0)()1)()(1(00
3 raSqraSqraSqft QQQ +<′⇒<+−′⇒<+−′−+⇒>>
43421µ
⇒ ⇒<′ YXQ cS (S’ este descrescătoare): Q(t) > *YXQ , K(t) > K*
YX ⇒ 0)( >tK& , capitalul creşte pe traiectoria 3. D(t) = 0 ⇒ )(tX& > 0 ⇒ acţiunile cresc pe traiectoria 3.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Începutul traiectoriei 3: rfitt )1((38)din 0)(,0)( 33 −>⇒⇒=> µµ& Sfârşitul traiectoriei 3:
rfitt )1((38)din 0)(,0)( 33 −<⇒⇒=< µµ&
Traiectoria nr.4 0)(,0)(,0)( 213 =>= ttt ννµ
0)( (44),din 0)(3 >⇒= tDtµ ; se plătesc dividende. ⇒=⇒⇒> )()((48)din 0)(1 tXtKtν nu se fac împrumuturi, Y(t) = 0
(39) { [ ] { )()()()1)()(1( 10
20
3 ⇒−=+−′−+⇒ ttraSqft Q ννµ
[ ] )()()1( 1 ⇒−=+−′−⇒ traSqf Q ν
[ ])()1()(1 raSqft Q +−′−−=ν (50)
)(0)( 33 tt µµ &⇒= 38⇒ {i – (i – f)r}·(1 + {
03 )(tµ ) + ν1(t) – (1 + k) {
02 )(tν
= 0 ⇒ {i – (1 – f)r} + ν1(t) = 0 50⇒{i – (1 – f)r} = [ ])()1( raSqf Q +−′− ⇒ QS ′
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+f
iaq 11 = cX
cX → costul unitar în cazul autofinanţării pure. Venitul marginal din vânzări este egal cu costul marginal al finanţării
din acţiuni (autofinanţării). Traiectoria 4 este staţionară ⇒ Q(t) = *
XQ ⇒ K(t) = *XK ⇒ I * = a *
XK
⇒⎭⎬⎫
==
0)(0)(
tYtK
&
&)(tX& = 0 ⇒ valoarea acţiunilor nu creşte
(38) ⇒ 0 = {i – (1 – f)r}(1 + 0) + ν1(t) – 0 0)(1 >
⇒tν
i – (1 – f)r < 0 ⇒ i < (1 – f)r ⇒ pe traiectoria 4 acţiunile sunt ieftine şi creditele sunt scumpe.
Traiectoria 5 0)(,0)(,0)( 213 >== ttt ννµ
0)( (44),din 0)(3 >⇒= tDtµ ; se plătesc dividende. ⇒>⇒⇒= )()((48)din 0)(1 tXtKtν se fac împrumuturi, Y(t) > 0.
⇒+=⇒⇒> )()1()((49)din 0)(2 tXktKtν Y(t) = kX(t) împrumuturi la maxim.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
(39) [ ] { )()()()1)()(1(0
12
0
3 ⇒−=+−′−+⇒ ttraSqft Q ννµ321
[ ] )()()1( 2 traSqf Q ν=+−′− (51)
(38) ⇒ )(3 tµ& = 0 ⇒ 0 = {i – (1 – f)r}(1 + 0) +{0
1 )(tν – (1 + k)ν2(t)
0)(1 >
⇒tν
0 = {i – (1 – f)r}(1 + 0) – (1 + k)ν2(t) ⇒
QS ′ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
++
+f
ik
rk
kaq 11
11
1 = cY
cY → costul marginal al finanţării din împrumuturi maxime şi plata dividendelor.
Venitul marginal din vânzări este egal cu costul marginal al finanţării din împrumut maxim şi plata dividendelor.
QS ′ = cY ⇒ traiectoria 5 este staţionară ⇒ Q(t) = *YQ ⇒ K(t) = *
YK ⇒ I
* = a *YK ⇒ )(tK& = 0. D(t) > 0 ⇒ )(tX& = 0 ⇒ capitalul social se menţine staţionar.
⇒⎭⎬⎫
==
0)(0)(
tXtK
&
&)(tY& = 0 ⇒ volumul împrumuturilor nu creşte.
(38) ⇒ )(3 tµ& = 0 ⇒ 0 = {i – (1 – f)r}(1 + 0) +{0
1 )(tν – (1 + k)ν2(t) ⇒
0)(1 >
⇒tν
0 = {i – (1 – f)r}(1 + 0) – (1 + k)ν2(t) ⇒ i > (1 – f)r → pe traiectoria 5 acţiunile sunt scumpe şi creditele sunt ieftine (se justifică împrumutul maxim şi plata dividendelor).
TRAIECTORII FINALE
Trebuie să verifice condiţiile de transversalitate:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
≥=
∂∂
+∂∂
= ∑=
qjTTxh
TTxhx
TTxSx
t
j
jj
q
jj
ij
ii
,10
0)),((
)),(()),(()(
*1
**
γγ
γλ
În cazul nostru:
h1(X(T),T) = [K(T) – X(T)] ≥ 0
h2(X(T),T) = [(1 +k) X(T) – K(T)] ≥ 0
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
S(X(T),T) = X(T)
Variabilele de stare sunt:
X1(t) = X(T) = valoarea acţiunilor
X2(t) = K(T) = valoarea capitalului
λ1(T) = 1 – γ1 + (1 + k)γ2 (52)
λ2(T) = γ1 – γ2 (53)
γ1,γ2 ≥ 0 (54)
γ1[K(T) – X(T)] = 0 (55)
γ2[(1 +k) X(T) – K(T)] = 0 (56)
Din (55) + (56) ⇒ este imposibil cazul în care γ1 > 0 şi γ2 > 0 întrucât aceasta ar însemna K(T) = X(T) şi (1 +k) X(T) – K(T) = 0 ⇔ k = 0.
Din (53) ⇒ λ2(T) = γ1 – γ2 şi conform (44) λ2(T) = 0, iar din observaţia că nu pot fi ambele strict pozitive ⇒ γ1 = γ2 = 0 (54).
Ştim că λ1(t) = 1 + µ3(t) ⇒ µ3(t) = λ1(t) – 1 ⇒ µ3(T) =
= λ1(T) – 1 = – γ1 + (1 + k)γ2 = 0 ⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
0)(0)(0)(
2
1
3
TTT
λλµ
Singurele traiectorii care satisfac aceste condiţii sunt: Traiectoria 4, pe care i < (1 – f)r Traiectoria 5, pe care i > (1 – f)r Şiruri de traiectorii optimale care se finalizează cu traiectoria 5
Condiţii pe care trebuie să le satisfacă predecesoarea:
1) Pe traiectoria 5, Y(t) = kX(t) ⇒ la sfârşitul predecesoarei Y(t) = kX(t),
2) Pe traiectoria 5, Q(t) = *YQ ⇒ la sfârşitul predecesoarei Q(t) = *
YQ ,
3) Pe traiectoria 5, i > (1 – f)r ⇒ la sfârşitul predecesoarei i > (1 – f)r,
4) Pe traiectoria 5, µ3(t) = 0 ⇒ la sfârşitul predecesoarei µ3(t) = 0, Din tabelul de mai jos: Traiectoria Predecesor admisibil Cauza
1 DA satisface 1...4 2 NU nu satisface 2 3 NU nu satisface 1 4 NU nu satisface 3
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
rezultă că singura predecesoare posibilă este traiectoria 1. Predecesorii traiectoriei 1
Cerinţele predecesoarei
Traiectoria 1
Predecesoare
K& = 0 Y& =0
K(t) şi Q(t) crescătoare
Y(t) = k⋅X(t) → la sfârşitul predecesoarei Y(t) = k⋅X(t) Q(t) < *
YQ → pe traiectoria predecesoare Q(t) < *YQ
i > (1 – f)⋅r → i > (1 – f)⋅r µ3(t) > 0 → 3µ (t) = 0 Nici una dintre traiectorii nu poate precede traiectoria 1. Traiectoria de magistrală va cuprinde doar TR 5 sau succesiunea de
traiectorii TR 1 → TR 5, în funcţie de condiţiile iniţiale:
Condiţii iniţiale Traiectoria optimă Evoluţia capitalului
X(0) = *
)1(1
YQqk ⋅+
TR 5 K(t) = q1 Q(t)
X(0) < *
)1(1
YQqk ⋅+
TR 1 → TR 5 K(t) = (1 + k)⋅X(t) → X(t) =
ktK
+1)( = )(
)1(1 tQ
qk ⋅+
Şiruri de traiectorii optimale care se finalizează cu TR4
Predecesorii traiectoriei 4
TR 4 La sfârşitul predecesoarei K(t) = X(t) → Y(t) = 0 Y(t) = 0
Q(t) = *XQ Q(t) = *
XQ i < (1 – f)⋅r i < (1 – f)⋅r µ3(t) = 0 3µ (t) = 0
TR 3 satisface simultan toate condiţiile.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Predecesorii traiectoriei 3
TR 3 La sfârşitul predecesoarei Q(t) > *
YXQ Q(t) = *YXQ (pe toată traiectoria predecesoare)
i < (1 – f)⋅r i < (1 – f)⋅r Y(t) = 0 Y(t) = 0
Singura traiectorie care satisface aceste cerinţe este traiectoria 2.
Predecesorii traiectoriei 2
TR 2 La sfârşitul predecesoarei Q(t) = *
YXQ Q(t) < *YXQ
0)( =tK& 0)( >tX&
→ 0)( >tY& i < (1 – f)⋅r
Singura traiectorie care satisface aceste cerinţe este traiectoria 1. Traiectoriile de magistrală, pentru cazul i < (1 – f)⋅r, pot fi sintetizate, în
funcţie de condiţiile iniţiale, în tabelul de mai jos:
Condiţiile iniţiale Traiectoria optimală
X(0) = K(0) şi X(0) = q1⋅ *
XQ TR 4
X(0) = K(0) şi q1⋅ *
YXQ < X(0) < q1⋅ *
XQ TR 3 → TR 4
K(0) = q1⋅ *
YXQ şi X(0) = q1⋅ *
YXQ TR 2 → TR 3 → TR 4
K(0) = (1 + k)⋅ X(0) şi X(0) < *
)1(1
YXQkq +
TR 1 → TR 2 → TR 3 → TR 4
Rezumatul traiectoriilor de bază
TR nr.
Structura financiară
Nivelul producţiei )(tX& )(tK& D(t) Condiţii de fezabilitate
1 Y(t) = k⋅X(t) Q(t) < *YXQ + + 0 –
2 0 < Y(t) < k⋅X(t) Q(t) = *
YXQ + 0 0 –
3 Y(t) = 0 Q(t) > *YXQ + + 0 –
4 Y(t) = 0 Q(t) = *XQ 0 0 + i < (1 – f)⋅r
5 Y(t) = k⋅X(t) Q(t) = *YQ 0 0 + i > (1 – f)⋅r
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Costurile firmei a) cY – costul finanţării din împrumut maxim
cY = q1⋅ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+
++
+f
ik
rk
ka11
11
kk+1
→ cota parte din împrumut pe o unitate de bun capital
Y(t) = k⋅X(t), K(t) = (1 + k)⋅X(t) → )()(tKtY =
kk+1
→ Y(t) = k
k+1
⋅K(t)
r⋅k
k+1
→ dobânda pe o unitate de bun capital
fi−1
→ rata de revenire a acţionarilor, înainte de plata impozitului.
Dividendele se plătesc după impozitare ⇒ înainte de impozitare trebuie inclusă
în cost valoarea f
i−1
.
k+11 → partea dintr-o unitate monetară plătită pe acţiuni, care revine
la o unitate de bun capital. K(t) = (1 + k)⋅ X(t) → )()(
tKtX =
k+11 ⇒ X(t) =
k+11 ⋅ K(t)
fi
k −⋅
+ 111 → costul unei acţiuni (al dividendelor), pe o unitate de
bun capital. a – costul deprecierii capitalului
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+
++
+f
ik
rk
ka11
11
= costul total care revine la o unitate de
bun capital.
q = )()(
tKtQ
q1⋅ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+
++
+f
ik
rk
ka11
11
= costul total pe o unitate de produs finit.
a → cost de producţie
Cost de finanţare
Pe acţiuni
Din împrumuturi r⋅
cY include fi
k −⋅
+ 111
kk+1
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Deci:
b) cYX = q1 (a + r) → costul finanţării mixte (toate profiturile se
reinvestesc şi nu se plătesc dividende); finanţare din împrumut maxim şi acţiuni.
c) cX = q1⋅ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+f
ia1
→ costul finanţării numai din acţiuni
(împrumuturile sunt zero şi se plătesc dividende).
Traiectorii de magistrală
I) Cazul în care împrumuturile sunt ieftine (1 – f)⋅r < i Din analiza concatenarităţilor admisibile deducem:
Q(0) = q⋅(1 + k)⋅X(0), deoarece K(t) = (1 – k)⋅X(t).
Pe traiectoria 1, K(t) < *YK ⇒ X(0) < *
)1(1
YQqk+
.
Firma porneşte de la valorile iniţiale şi se dezvoltă întrucât )(tK& > 0, )(tX& > 0, )(tY& > 0, cu credite maxime, până în momentul în care QS′ = cY,
moment în care firma comută pe traiectoria staţionară. Pe traiectoria 1 venitul marginal din vânzări este mai mare decât costul
marginal în cazul finanţării din împrumut maxim.
Y(0) = k·X(0) K(0) = (1 – k)·X(0)
Q(0) = q(1 + k)X(0)
TR1: creştere tI,V TR5: staţionară
D,K,Q,Y
T
*YQ
*YK
Y* = k⋅ *YX
D(t) = D*
t
Figura 4.3 a) Traiectoria de magistrală în cazul creditelor ieftine
QY*
KY*
Y*
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Dorim să arătăm că această condiţie marginală implică faptul că venitul marginal al unei acţiuni este mai mare decât costul marginal al unei acţiuni (dat de venitul minim i). Avem:
K∂∂π → profitul marginal al bunurilor capital;
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π → profitul marginal al bunurilor capital după plata
datoriilor către bancă;
(1 – f)⋅ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π → profitul marginal al bunurilor capital după
plata datoriilor către bancă şi după impozitare; (1 + k) → multiplicator al puterii de cumpărare a capitalului social:
deoarece K(t) = (1 + k)⋅X(t) rezultă că o unitate monetară investită în capitalul social (pe acţiuni) este egală cu (1 + k) unităţi monetare de bunuri capital (datorită împrumutului) şi mai departe, că venitul marginal al unei acţiuni (al unei unităţi monetare investită în acţiuni) este egal cu (1 + k) ⋅ venitul marginal al bunurilor capital (al unei unităţi monetare investită în bunuri capital).
(1 + k)⋅ (1 – f)⋅ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π → venitul marginal al unei acţiuni.
Pornind de la QS′ > cY rezultă (1 + k)⋅ (1 – f)⋅ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π > i, unde i
este costul marginal al acţiunii. Într-adevăr, din QS ′ > cY şi ţinând cont că cY =
q1⋅ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+
++
+f
ik
rk
ka11
11
rezultă q⋅ QS ′ – a > f
ik
rk
k−
⋅+
++ 11
11
şi
deoarece K∂∂π = q⋅ QS′ – a avem succesiv:
K∂∂π (1 + k) > k⋅r +
fi−1
⇒ K∂∂π (1
+ k) – k⋅r > f
i−1
⇒ (1 + k)⋅ (1 – f)⋅ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π > i.
Dacă venitul marginal al acţiunii este mai mare decât costul marginal al acţiunii nu se plătesc dividende (D(t) = 0), acţionarii reinvestind toate câştigurile până când nivelul producţiei Q(t) ajunge la nivelul *
YQ corespunzător profitului maxim.
Acţionarii nu vor spori capitalul peste valoarea *YK , deoarece va scădea
atât venitul marginal al acţiunii în raport cu costul său marginal, cât şi venitul
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
marginal din vânzări în raport cu costul marginal al producţiei. Rezultă că
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==
0)(0)(
tKtX
&
& deci pe traiectoria 5 toate profiturile se împart acţionarilor:
D(t) = (1 – f)⋅[π( *YK ) – r⋅ *
YY ] = (1 – f)⋅[π( *YK ) – r⋅k⋅ *
YX ]
II) Cazul în care acţiunile sunt ieftine (la începutul perioadei) i < (1 – f)⋅r În cazul traiectoriei de magistrală precedente, se păstrează aceeaşi
structură de finanţare pe întreg intervalul [0, T]: i > (1 – f)⋅r. În cazul acestei traiectorii de magistrală se va schimba structura de
finanţare în timpul procesului de creştere. Cazul i < (1 – f)⋅r la începutul perioadei de creştere
TR 1. Firma îşi demarează activitatea cu o valoare mică a capitalului
social X(0) < )1(
1kq +
*YXQ . În ciuda creditelor scumpe, firma porneşte
activitatea cu împrumut maxim, datorită faptului că venitul marginal din vânzări este mai mare decât costul marginal al finanţării mixte (fiecare unitate de bun capital achiziţionat din împrumut va aduce un profit pozitiv) deci firma investeşte la maxim din împrumut şi câştig, rata de creştere a firmei fiind maximă.
D , K , Q , Y
QX*
Q YX*
Q*
K*
Y *
t I , II tII,III tIII,IVT
tO
k · X (0)
(1 + k ) X (0)
q (1 + k ) X (0)
cre ştere consolidare cre ştere sta ţionară
(I)
(II) (III)
(IV)
Figura 4.3 b) Traiectoria de magistral ă pentru cazul creditelor scumpe
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Să arătăm că la începutul traiectoriei 1, Q(t) < *YXQ ⇒ QS ′ > cYX ⇒
profitul marginal al unei unităţi de bun capital este mai mare decât costul de finanţare, dacă finanţarea s-ar face numai din împrumut (deci se justifică împrumutul maxim).
QS′ > cYX = q1⋅(a + r)
Kπ ′ = q⋅ QS ′ – a → QS ′ = ( Kπ ′ + a)⋅ q1 >
q1⋅(a + r) →
→ Kπ ′ > r → (1 – f)⋅ Kπ ′ > (1 – f)⋅r. Deoarece (1 – f)⋅ Kπ ′ > (1 – f)⋅r firma va atrage împrumut maxim
pentru a-şi maximiza vânzările. Întrucât la începutul perioadei de studiu acţiunile sunt ieftine, firma va
reinvesti toate câştigurile (acţionarii renunţă la dividende). Definim formula de pârghie (legătura cu efectul de levier):
RE = RT + (RT – c)⋅XY
RE = (1 + k)⋅ (1 – f)⋅ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
∂∂ r
kk
K 1π este venitul marginal al acţiunii
RT = (1 – f)⋅ Kπ ′ este venitul marginal al capitalului după impozitare c = (1 – f)⋅r este costul marginal al împrumutului
Dacă RT > c ⇒ XY (ponderea împrumutului) trebuie să crească pentru
ca venitul marginal al acţiunii RE să crească.
Dacă RT < c ⇒ XY trebuie să scadă pentru ca RE să crească.
În cazul traiectoriei 1 avem RT > c, deci XY trebuie să crească.
TR 2: Când Q(t) a devenit egal cu *YXQ ⇒ QS′ = cYX ⇒ acţionarii au
trei posibilităţi de împărţire a câştigurilor: − să accepte plata dividendelor; − să le utilizeze pentru dezvoltare (ajungându-se la un venit marginal
mai mic decât costul marginal al împrumutului (1 – f)⋅r, ceea ce este exclus;
− să utilizeze câştigurile pentru plata datoriilor către bănci (pentru amortizarea creditelor, economisind (1 – f)⋅r pentru fiecare unitate de capital împrumutat.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Deoarece i < (1 – f)⋅r, a treia variantă este cea mai economică ⇒ până la momentul t2,3 firma îşi achită toate datoriile, finalizând perioada de consolidare.
TR 3: La sfârşitul traiectoriei 2, după faza de consolidare, Q(t) < *XQ
⇒ S�(Q) > cX = q1⋅(a +
fi−1
) → S� = q1 [ Kπ ′ + a] >
q1⋅(a +
fi−1
) = cX →
Kπ ′ > f
i−1
→ (1 – f)⋅ Kπ ′ > i → venitul marginal al bunurilor capital este mai
mare decât costul marginal al bunurilor capital finanţate prin acţiuni ⇒ pe traiectoria 3 investiţia netă se face din acţiuni (autofinanţare).
După ce şi-a plătit datoriile firma începe o perioadă de creştere pe traiectoria 3 prin autofinanţare, până când Q(t) = *
XQ , când începe traiectoria staţionară, pe care se plătesc dividende.
TR 4: (1 – f)⋅ Kπ ′ = i → venitul marginal al capitalului este egal cu costul marginal în cazul finanţării din acţiuni ⇒ capitalul a atins valoarea maximă ⇒ se vor plăti dividende:
D(t) = (1 – f)⋅π( *XK )
2. Valoarea Prezentă Netă şi MDF
Conceptul de valoare prezentă netă (VPN) este utilizat în teoria economică pentru evaluarea proiectelor de investiţii, compararea acestora şi acceptarea sau respingerea lor.
Valoarea prezentă netă se defineşte ca sumă a valorilor prezente aşteptate ale veniturilor lichide pe o perioadă de timp, mai puţin capitalul investit.
Dacă VPN > 0, proiectul aduce o rată de revenire mai mare decât rata de scont. Rata de scont este egală cu costul de oportunitate al capitalului, respectiv venitul pe care îl obţine firma investindu-şi capitalul în proiecte alternative.
Considerăm rata de scont egală cu rata de revenire aşteptată a acţionarilor.
Firma va accepta un proiect numai dacă 0≥VPN şi va alege proiectul cu VPN maximă, adică: }}0{max{ ≥iii
VPNVPN .
Dacă investitorul are un capital limitat, el va alege proiectul care are
indicele VPN maxim: }0{maxinvestit capital
VPN>⇒=
ii VPNVPNiVPN III .
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Presupunem că un investitor are W0 resurse monetare disponibile. Decizia întreprinzătorului va consta în partea din aceste resurse pe care le poate consuma în acest an şi partea pe care trebuie să o investească pentru a-şi spori consumul în anul viitor.
Dacă piaţa capitalului este perfect competitivă, preţul pe piaţa de capital este constant şi egal cu rata dobânzii, de unde rezultă că rata de revenire aşteptată a individului este egală cu rata dobânzii.
Vom avea: W0 = C0 + I0, unde: W0 – capitalul investit iniţial; C0 – consumul la momentul iniţial; I0 – investiţia la momentul iniţial.
Notăm 0
iinvestitie profitulW
=α (randamentul investiţiei)
Dacă 0000 Π=⇒= WIW α , profitul perioadei 1, în ipoteza că tot capitalul în momentul 0 a fost investit.
Funcţia de consum este f(C0, C1), cu:
001),0( Π== WCf α ; f(C0, 0) = W0
curba de indiferenţă a consumului intersectează coordonatele în punctele (W0, 0), respectiv (0, Π0).
Curba de indiferenţă a VPN este mulţimea combinaţiilor (C0, C1) care aduc aceeaşi VPN pentru W0 dat.
Punctul C* va fi punctul de tangenţă al celor două curbe de indiferenţă. Notăm cu i rata de revenire aşteptată a investitorului, egală cu rata de
scont, egală cu costul de oportunitate al capitalului.
VPN Π0
C1*
C0* W0
C*
C0
C1
Curba de indiferenţă a consumului
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
(1) 0*
0
*1*
0
*1*
1 11)( WC
iCI
iCCVPN −+
+=−
+=
*00
*0 CWI −= ,
iC+1
*1 este valoarea prezentă a consumului în perioada 1.
Calculul VPN pentru MDF Ilustrăm în continuare mecanismul decizional de investiţii pe MDF
stuadiat anterior. Definim investiţia marginală ca sporul de venit adus de o unitate
monetară suplimentară de investiţie.
Traiectoria 4: µ3(t) = 0, ν1(t) > 0, ν2(t) = 0
)()1()()(})1({)( 2111 tkttrfit ννλλ +−+−−=&
)()(}){1)(()()()( 21122 ttrfttait K ννλλλ +−−Π′−−+=&
0)(0)(0)()(
22 =⇒=⇒=∂
⋅∂ tttI
L λλ &
0)()(10)()(
31 =+−⇒=∂
⋅∂ tttD
L µλ , dar µ3(t) = 0 1)(1 =⇒ tλ
Din ecuaţia de evoluţie a lui λ2(t) rezultă:
}){1)((}){1)(()(
)(}){1)((0
111
11
raSftrftttrft
KK
K
++′−−=−Π′−−=⇒−−Π′−−=λλν
νλ
aSaKKpQ
KpQQS
KK −′=Π′−=Π
=)(
)()(
Înlocuim ν1(t) în expresia lui :)(1 tλ& })1()){(()( 11 faSfaitt K −′−−+= λλ& Integrând ecuaţia diferenţială şi ţinând seama că pe traiectoria 4 λ1(T) =
1, obţinem:
))(())((1 }))(()1{()( tTai
T
t
tsaiK edsefasKSft −+−−+− ++′−= ∫λ
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Dar λ1(t) = 1, rezultând că pe traiectoria 4, VPN este:
(2) { 01}))(()1{( ))(())(( =−++′− −+−−+−∫CB
tTai
A
T
t
tsai edsefasKSf 43421444444 3444444 21
)()()())(( sqKQpQQpsKS ⋅=⋅= )())(())(( saKsKSsK −=Π
asKSsK KK −′=Π′ ))(())(( este profitul marginal al unei unităţi de capital.
afasKSfsKf +−′−=Π′− ))(()1())(()1( este profitul marginal după impozitare, adus de o unitate de bun capital.
Observaţii: În formula (2) termenii A, B, C au interpretarea: A: - observăm că din profitul marginal după impozitare, lipseşte
termenul a, care este însă regăsit în exponenţială. – e-a(s-t) este partea dintr-o unitate de bun capital existent în momentul t
care rămâne (valoarea rămasă) în momentul s > t, ţinând seama de contribuţia amortizării.
– e-i(s-t) este valoarea actualizată a venitului produs în intervalul (s - t), s >t.
– termenul A reprezintă valoarea actualizată a profitului net (după taxare), pe intervalul [t, T].
B: – valoarea prezentă a unei unităţi de bun capital (echipamente), existent
în funcţiune la momentul T. – e-a(T-t) este valoarea rămasă a capitalului în momentul T. – e-i(T-t) este valoarea prezentă a unei unităţi de capital social în
momentul T. C reprezintă cheltuielile de investiţii de 1 u.m. Membrul stâng al relaţiei (2) reprezintă venitul net actualizat al unei
unităţi monetare investite, deci VPN a investiţiei marginale. Din relaţia (2) VPN a investiţiei marginale este egală cu 0, de unde
rezultă că valoarea actualizată a fluxurilor de profit net egalează investiţia marginală de o unitate monetară, deci firma a atins scala optimă de fabricaţie.
Expresia VPN pe traiectoriile 1, 2, 3 este dată de multiplicatorul µ3(t), ataşat restricţiei de nenegativitate a dividendelor.
µ3(t) reprezintă valoarea suplimentară a Lagrangeanului, dacă limita minimă a dividendelor descreşte cu o unitate monetară. În acest caz, firma va dispune de o unitate monetară suplimentară pe care o va cheltui fie pentru investiţii, fie pentru plata dividendelor.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
VPN pe traiectoria 3:
(3) ∫ −+−+′−=T
t
tsai dsefasKSft ))((3 }))(()1{()(µ
1)(}))(()1{( ))(()(3
)( −++′−+ −+−−−−−∫ tTaiT
t
tsitsa edsesefasKSf µ
Pe traiectoria 3, µ3(t) > 0 ⇒ VPN a investiţiei marginale este strict pozitivă, deci fluxul marginal de venituri este mai mare decât cheltuielile marginale de investiţii, ceea ce înseamnă că pentru firmă este optimal să investească la maxim. Deoarece pe traiectoria 3, Y(t) = 0, finanţarea creşterii pe traiectoria 3 se va face din acţiuni.
Pe traiectoria 1, µ3(t) > 0 ⇒ VPN a investiţiei marginale este strict pozitivă, deci este preferabil pentru firmă să investească la maxim. Întrucât pe această traiectorie Y(t) = kX(t), finanţarea se va face din împrumut maxim şi din acţiuni.
Pe traiectoria 2, µ3(t) > 0, dar 0)(3 <tµ& ; este profitabil pentru firmă să-şi amortizeze împrumutul, întrucât VPN scade. Pe traiectoria 2, firma îşi va opri creşterea şi îşi va amortiza împrumutul (consolidare).
Pe traiectoria 5, µ3(t) = 0 ⇒ VPN = 0 ⇒ firma şi-a atins nivelul de echilibru, îşi opreşte dezvoltarea şi plăteşte dividende.
Regula VPN este folosită pentru decizia de investiţii a firmei, dată fiind structura de finanţare (cu ajutorul VPN nu se poate decide structura optimă de finanţare).
3. Teoria Costurilor de Ajustare şi VPN
Costurile de ajustare sunt generate de cheltuielile de investiţii ale firmei. Costurile de ajustare pot fi:
- costuri de ajustare interne: înlocuirea liniilor tehnologice şi pregătirea forţei de muncă generate de instalarea noului echipament;
- costuri de ajustare externe: practica marketingului de către firmele furnizoare de capital, care poate duce la creşterea preţului activelor pe termen scurt.
Se presupune că A’(I) > 0, deci costurile de ajustare sunt crescătoare, şi pozitive (A(I) > 0).
Se pune problema dacă costurile marginale sunt constante, crescătoare sau descrescătoare, în raport cu volumul investiţiei: A’’(I) = 0 (costuri de ajustare liniare), A’’(I) < 0 (costuri de ajustare concave) sau A’’(I) > 0 (costuri de ajustare convexe).
Situaţia A’’(I) > 0 (costuri de ajustare convexe) se aplică pieţei monopsonice de capital (există o singură firmă care cumpară un anumit factor de producţie).
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
În cazul în care A’(I) > 0 şi A’’(I) > 0, rata de creştere a costului va creşte o dată cu creşterea capitalului achiziţionat; deci firma va controla creşterea capitalului.
Controlul creşterii capitalului (ajustarea) se va face în conformitate cu mecanismul acceleratorului flexibil.
(4) )]([)( * tKKatK −=&
unde I(t) = aK* = I* este investiţia optimă, K* este stocul dorit de capital (poate fi valoarea staţionară a capitalului), iar a este coeficientul vitezei de ajustare (egal cu rata de amortizare).
Relaţia (4) exprimă faptul că acumularea bunurilor capital este proporţională cu diferenţa între capitalul dorit şi stocul de capital al firmei.
Model de creştere a firmei cu autofinanţare şi cu cheltuieli de ajustare convexe
Transformăm MDF în ipoteza că nu există posibilitatea de creditare. Diferenţele faţă de MDF:
– nu există credite;
– nu există taxe pe profiturile corporale;
– există costuri de ajustare.
(5) iTT
it
IDeTXdtetD −− +∫ )()(max
0,
Relaţia de balanţă:
(6) )()( tXtK =
I(t)
liniareconvexe
concave
Costuri de ajustare
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Funcţia costului de ajustare:
(7) 0)0(,0)(,0)(,0))(( =>′′>′≥ AIAIAtIA
Funcţia de producţie este liniară:
(8) )()( tqKtQ =
Funcţia vânzărilor este:
(9) )())(())(( tQtQptKS ⋅=
Ecuaţia de creştere a valorii acţiunilor este:
(10) )())(()())(()( tDtIAtaKtKStX −−−=& ; veniturile din vânzări, după scăderea deprecierii şi a costurilor de ajustare sunt folosite pentru autofinanţare şi plata dividendelor.
(11) 0)0( 0 >= XX ; valoarea acţiunilor în momentul iniţial este strict pozitivă.
Ecuaţia de evoluţie a capitalului:
(12) )()()( taKtItK −=&
(13) 0)0( 0 >= KK
(14) 0)( ≥tD
(15) 0)( ≥tI Din relaţia (6), )()()()( tXtKtXtK && =⇒= ; iar din (10) şi (12):
⇒−−−=− )())(()())(()()( tDtIAtaKtKStaKtI
(16) ))(()())(()( tIAtItKStD −−=
Ţinând seama de (16) şi substituind X(t) prin K(t), obţinem:
(17) [ ] iTT
it
IeTKdtetIAtItKS −− +−−∫ )())(()())((max
0
(18) )()()( taKtItK −=&
(19) 0))(()())(( ≥−− tIAtItKS (nenegativitatea dividendelor)
(20) 0)( ≥tI
(21) 0)0( 0 >= KK
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Introducem o restricţie suplimentară care ne asigură ca stocul de capital creşte, atunci când investiţiile sunt mai mari decât amortizarea capitalului ( 0)()()( >⇒> tXtaKtI & ).
(22) 0))(()())(( >−− tIAtaKtKS
Funcţia Lagrangean:
(23) )()()]()()[())(1))]((()())(([
))(),(),(),(),((
21
21
tIttaKtItttIAtItKSttttItKL
µλµµµλ
+−++−−=
Condiţiile de optim:
(24) 0)()())(1))](((1[0)()(
21 =+++′+−⇒==∂
⋅∂ ttttIAtI
L µλµ
(25) )()())(1))((()()()()( 1 taittKStK
Ltit λµλλ +++′−=∂
⋅∂−=&
(26) 0)(1 ≥tµ
(27) 0))](()())(()[(1 =−− tIAtItkStµ
(28) 0)(2 ≥tµ
(29) 0)()(2 =tItµ
(30) 1)( =Tλ
Soluţia 0)(1 >tµ şi 0)(2 >tµ este inadmisibilă, întrucât ar rezulta D(t) = I(t) = 0. Rămân 22 – 1 = 3 traiectorii admisibile.
Traiectorii admisibile
Tr. )(1 tµ )(2 tµ I(t) D(t) Politica firmei 1 + 0 max 0 creştere maximă 2 0 0 > 0 > 0 Politică de echilibru 3 0 + 0 max restrângere
Aplicându-se procedura de cuplare, obţinem patru traiectorii optimale
de magistrală:
TR I: tr 1→tr 2→tr 3
TR II: tr 2→tr 3
TR III: tr 3→tr 2→tr 3
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
TR IV: tr 3 Observăm că TR II şi TR IV sunt incluse în TR I şi TR III. Se va alege una din traiectoriile de magistrală, în funcţie de VPN la
începutul perioadei.
VPN şi alegerea traiectoriei de magistrală când T este finit
• VPN0 > 0, se alege magistrala I; • VPN0 = 0, se alege magistrala II; • VPN0 < 0, se alege magistrala III si IV.
Traiectoria de magistrală I, vpn0 > 0 Firma porneşte activitatea pe traiectoria 1, nu plăteşte dividende,
investeşte toate câstigurile, împrumuturile nefiind posibile. Expresia VPN pe traiectoria 1 este:
(31)
434214342144444 344444 21
444 3444 21
DC
tTaiT
t B
tsitsa
T
t A
tsai
IAedsesesKS
dsesKStIA
))(1()())((
))(()())(1(
))(()(1
)(
))((1
′+−+′
+′=′+
−+−−−−−
−+−
∫
∫
µ
µ
Observaţii: )(1 tµ este multiplicatorul lui Lagrange ataşat restricţiei de
nenegativitate a dividendelor: 0))()()()((1 =−− IAtIKStµ ; dividendele sunt egale cu venitul net din vânzări şi sunt pozitive; rezultă că investiţiile şi costul de ajustare trebuie să fie maxim valoarea venitului din vânzări S(K).
)(1 tµ arată creşterea Lagrangeanului, dacă se creşte cu o unitate monetară venitul net din vânzări (adică dividendele).
)](1[ IA′+ exprimă cheltuiala totală, pentru a se creşte cu o unitate monetară stocul de capital.
)](1[ IA′+ )(1 tµ arată creşterea Lagrangeanului, când stocul de capital creşte cu o unitate monetară.
A: integrantul reprezintă fluxul prezent de lichidităţi generat de valoarea rămasă a unei unităţi monetare de bunuri capital achiziţionată în momentul t şi aflată în funcţiune în momentul s; integrala reprezintă valoarea prezentă a fluxului de lichidităţi pe intervalul [t, T] generat de investiţia de o unitate monetară în bunuri capital la momentul t, care se depreciază în fiecare moment cu o rată a;
B: reprezintă fluxul de lichidităţi indirect al investiţiei. Dacă I(t) creşte cu o unitate monetară, venitul va creşte, iar limita restricţiei
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
))()())((( IAtItKS ′−− va creşte, în valori prezente, cu )()())(( tsitsa eesKS −−−−′ .
)(1 tµ arată creşterea valorii Lagrangeanului, dacă restricţia se relaxează cu o unitate monetară.
)()(1 ))(()( tsitsa eesKSt −−−−′µ arată creşterea valorii Lagrangeanului când
restricţia se relaxează (cu )()())(( tsitsa eesKS −−−−′ ). C: valoarea rămasă (în valori prezente) a unei unităţi de bunuri capital,
achiziţionată pe intervalul [t, T], calculată în momentul T. D: cheltuielile necesare la momentul t, pentru a creşte stocul de capital
cu o unitate monetară. A+B+C+D: beneficiul net actualizat al unei investiţii de o unitate
monetară, pe intervalul [t, T] şi deci VPN a investiţiei marginale.
Pe Tr 1, )(max)(00)(1 IAtIVPNt ′⇒=⇒>⇒>µ creşte, întrucât ⇒>′′ 0)(IA K(t) creşte şi )(KS ′ descreşte, pentru ca 0)( <′′ KS ; va rezulta că
VPN va deveni la un moment dat zero şi firma comută pe Tr 2, unde 0)(1 =tµ şi va rămâne zero pe toată perioada. Relaţia (31) devine:
(32) 0))(1())(( ))(())(( =′+−+′ −+−−+−∫ 4342143421444 3444 21DC
tTaiT
t A
tsai IAedsesKS
K(T)
Tr. 3t1,2 Tr. 2Tr. 1
aK(0)
I(0)
K0
t2,3 Tt
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Deoarece ⇒= 0VPN investiţiile nu mai cresc, ele încep să scadă. Stocul de capital va creşte în continuare, până când )()( taKtI = , după care începe să descrească.
Când I(t) ajunge zero, traiectoria comută pe Tr 3. Expresia VPN pe Tr 3 este (pe Tr 3, ⇒>= )0)(,0)( 21 tt µµ expresia lui VPN pe Tr 3 este dată de
)(2 tµ ):
(33) ))(1())(()( ))(())((2 IAedsesKSt tTai
T
t
tsai ′+−+′=− −+−−+−∫µ
Din relaţia (33) se vede că VPN pe Tr 3 este negativă, deci firma nu va angaja în continuare investiţii. Aceasta se datorează faptului că din momentul t2,3, până la sfârşitul perioadei T, timpul este prea scurt pentru a acoperi costurile de ajustare a noilor investiţii; cheltuielile marginale depăşesc fluxul marginal de lichidităţi şi este optimal pentru firmă să oprească investiţiile; în consecinţă, valoarea capitalului în T va fi mai mică decât în t2,3.
Traiectoria de magistrală III, vpn0 < 0
Dacă VPN0 < 0, firma demarează activitatea pe Tr 3, pe care nu investeşte nimic, în schimb va plăti dividende.
)()(0)( KStDtI =⇒= ; stocul de capital va scădea şi venitul marginal (S’(K)) va creşte.
În momentul t3,2, S’(K) a crescut suficient astfel încât ⇒= 0VPN este indiferent dacă I(t) > 0 sau I(t) = 0; deci I(t) creşte, dar pe perioada Tr 2
I(t)
D
D
aK(T)
K(T)
Tr. 3t3,2 Tr. 2Tr. 3
aK(0)
K(0)
t2,3 Tt
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
investiţia nu atinge nivelul de înlocuire, astfel încât K(t) continuă să scadă pe Tr 2. Întrucât pe Tr 2, VPN = 0, I(t) începe din nou să scadă, până ajunge la zero, când se comută pe Tr 3.
Scăderea investiţiilor pe Tr 2 se datorează faptului că firma are o capacitate de acumulare prea mică pentru a acoperi costurile mari de investiţii, iar intervalul de timp până la T este prea mic pentru a se recupera cheltuielile de investiţii.
Pe Tr 3, VPN < 0, deci nu se investeşte, se plătesc dividende şi capitalul scade.
Cazul în care T→∞ (T este foarte mare)
a) VPN0 > 0
Firma nu va mai comuta pe Tr 3.
Pe Tr 2, investiţiile tind către nivelul de depreciere, iar creşterea capitalului va fi dată de mecanismul acceleratorului flexibil:
)]([)( * tKKatK −=& Valoarea staţionară K* este dată de relaţia: ))(1)(()( ** KAaiKS ′++=′ Relaţia de mai sus este derivată din condiţia ca costul marginal al unei
unităţi de bun capital pentru nivelul dorit K* să fie egal cu venitul marginal al
aK(0)
I(0)
K(0)
aK(t)
K*
I(t)
t1,2
Tr 1 Tr 2 t
aK*
K(t)
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
unei unităţi de bun capital pe intervalul [t, ∞]:
∫∞
−+−′=′+t
tsai dseKSKA ))((** )()(1
b) VPN0 < 0, T→∞
Traiectoria de magistrală nu mai comută pe Tr 3; Tr 2 va fi cea finală. Pe Tr 2, sporul capitalului urmează mecanismul accelerator flexibil, iar
nivelul staţionar se atinge asimptotic.
Demonstraţia VPN
VPN pe traiectoria 2: Din condiţiile de optim: 0)(1 =tµ , 0)(2 =tµ (25) )()()()( taiKSt λλ ++′−=⇒ & , ecuaţie liniară de ordinul I, a cărei
soluţie este:
))(())(())(()()( tTaiT
t
tsai edsesKSt −+−−+− +′=∗ ∫λ
Pe traiectoria 2:
⇒′+= )(1)( IAtλ ⇒′=′+ ∫ −+−T
t
tsai dsesKSIA ))(())(()(1
0))(1())(( ))(( =′+−′∫ −+− IAdsesKST
t
tsai
K(0)
K*
t3,2
Tr 3 Tr 2 t
aK*
K(t)
I(t)
K*
aK(0)
aK(t)
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
este expresia VPN pe traiectoria 2.
VPN pe traiectoria 1:
Din condiţiile de optim: 0)(1 >tµ , 0)(2 =tµ )()())(1)(()( 1 taitKSt λµλ +++′−=&
Integrăm relaţia de mai sus între momentele de timp t şi t1,2, întrucât în t1,2, firma comută pe traiectoria 2:
)())(()( 2,1))(())(( 2,1
2,1
tedsesKSt ttait
t
tsai λλ −+−−+− +′= ∫
Calculăm )( 2,1tλ cu ajutorul relaţiei )(∗ şi introducem în relaţia de mai sus:
∫∫ −−−−−+− ′+′=T
t
tsitsaT
t
tsai dsesesKSdsesKSt )(1
)())(( )())(())(()( µλ
))(1())(( IAe tTai ′+−+ −+−
Pe traiectoria 1: 0)(1 >tµ , ))(1))((1()(0)( 12 tIAtt µλµ +′+=⇒= Înlocuim )(tλ în expresia de mai sus:
∫ −+−′=′+T
t
tsai dsesKStIA ))((1 ))(()())(1( µ +
))(1()())(( ))(()(1
)( IAedsesesKS tTaiT
t
tsitsa ′+−+′+ −+−−−−−∫ µ
care este relaţia VPN pe traiectoria 1. Concluzie: Din această succintă abordare a problematicii complexe a
deciziei de investiţii a firmei se deduce rolul foarte important al indicatorului VPN în angajarea de către firmă a fondurilor (proprii) de investiţii, când nu are posibilitatea de apelare la credite. Evident, demersul folosit în acest paragraf prin combinarea MDF cu teoria costurilor de ajustare şi VPN se poate extinde şi la alte modele, cercetare pe care o lăsăm pe seama cititorului care poate aduce astfel contribuţii personale în fundamentarea mecanismelor investiţiona-le la nivel microeconomic.
4. Model dinamic de analiză a activităţii fără împrumuturi şi granturi
Ipoteza 1: Firma produce un bun omogen folosind doi factori de producţie: capitalul şi munca.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Ipoteza 2: Modelul dinamic de analiză este un model cu factori de producţie complementari, funcţia de producţie este liniară, proporţia între factorii de producţie rămânând constantă. Activitatea de producţie este un proces prin care este fabricat produsul finit din muncă şi capital. Sunt presupuse două activităţi de producţie:
- activitatea 1: capital intensivă (raportul K/L este mare); - activitatea 2: forţa de muncă intensivă (raportul K/L este mic). Funcţia de producţie este dată de:
(1) Q(t) = q1K1(t) +q2K2(t) unde Q(t) este producţia fizică (omogenă). Veniturile sunt constante la scala de fabricaţie (funcţia de producţie este
liniară). Productivitatea medie a capitalului din activitatea j = 1,2 este:
qj = )()(
tKtQ
j
j , j = 1,2
Ecuaţia de structură a forţei de muncă este:
(2) L(t) = l1K1(t) + l2K2(t) iar compoziţia organică a capitalului:
lj = )()(tKtL
j
j , j =1,2
Ecuaţia de formare a bunurilor capital:
(3) K(t) = K1(t) + K2(t) Ipoteza 3: Pentru activitatea 1 – activitate capital intensivă, vom avea
condiţiile: K1 > K2 L1 < L2
de unde rezultă:
2121 )(
tKtQ
tKtQ
<⇒<
212
2
1
1
)()(
)()( ll
tKtL
tKtL
<⇒<
⇒>)()(
)()(
21 tLtQ
tLtQ productivitatea muncii este mai mare în activitatea 1.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Ipoteza 3’: Piaţa producţiei finite este cu competiţie imperfectă:
)()()( tQQpQV ⋅=
Ipoteza 4: Funcţia de câştig:
(4) S(K1(t), K2(t)) = (q1p(Q)-wl1)⋅K1(t) + (q2p(Q)-wl2)K2(t) Ipoteza 5: Singura sursă de finanţare este autofinanţarea:
(5) X(t) = K(t) Ipoteza 6: Ecuaţia de evoluţie a acţiunilor:
(6) X& = S(K1(t), K2(t)) – aK(t) – D(t); X(0) = K0 > 0
Ipoteza 7: Ecuaţia de evoluţie a bunurilor capital (investiţia netă):
(7) K& = I(t) – aK(t); K(0) = K0 > 0
Ipoteza 8: Funcţionala obiectiv:
∫ −T
it
DdtetD
0
)(max + X(T)e-iT
Restricţii momentane:
(8) D(t) ≥ 0
(9) K1(t) ≥ 0
(10) K2(t) ≥ 0
Din ⇒= )()( tKtX && I(t) – aK(t) = S(K1, K2) – aK(t) – D(t)⇒
(11) D(t) = S(K1, K2) – I(t) ≥ 0
Înlocuim X(t) cu K(t) şi K2(t) cu K(t) – K1(t) şi vom obţine modelul:
(12) ∫ −−T
it
KIdtetItKtKS
01,
))())(),(((max1
+ K(T)e-iT
A1
A2 L
K
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
(13) K& = I(t) – aK(t); K(0) = K0 > 0
(14) K(t) – K1(t) ≥ 0
(15) K1(t) ≥ 0
(16) S(K1(t), K2(t)) – I(t)≥ 0
Rezolvarea modelului
Lagrangeanul problemei:
(17) L(K(t),I(t),K1(t),λ(t),µ1(t),µ2(t),µ3(t)) = (S(K(t), K1(t)) – I(t))(1+µ3(t)) + λ(t)(I(t) – aK(t)) + µ1(t)(K(t) – K1(t)) + µ2(t)K1(t)
Condiţiile de optim:
(18) 1)()(0)()(10)()(
33 +=⇒=+−−⇒=∂
⋅∂ tttttI
L µλλµ
(19) 0)()())(1()(
)(0)(
)(213
11
=+−+∂
⋅∂⇒=
∂⋅∂ ttt
tKS
tKL µµµ
(20) )()()()()(
)()()(
)()()()(
11 tStaittatK
Sti
tKLtit
K µλµλλ
λλ
−′−+=−+∂
⋅∂−=
=∂
⋅∂−=&
(21) µ1(t)(K(t) – K1(t)) = 0
(22) µ2(t)K1(t) = 0
(23) µ3(t) (S(K(t), K1(t)) – I(t)) = 0
(24) µ1(t), µ2(t), µ3(t) ≥ 0
(25) λ(T) = 1
Datorită concavităţii Lagrangeanului şi a restricţiilor, condiţiile necesare sunt şi suficiente.
Calcule preliminare: (26) Q(t) = (q1 – q2)K1(t) + q2K(t); L(t) = (l1 – l2)K1 + l2K(t)
(27) S(K(t), K1(t)) = V(Q) – (wl1 – wl2)K1(t) – wl2K(t); V(Q) = p(Q)Q
(28) 211 )(
)( qqtKtQ
−=∂∂ ; 2)(
)( qtKtQ=
∂∂
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
(29) )()()()(
)()(
12211
llwqqtdQtdV
tKS
−+−=∂
⋅∂
(30) 22 )()(
)()( wl
tdQtdVq
tKS
−=∂
⋅∂
Observaţie:
11 KQ
QV
KS
∂∂
⋅∂∂
=∂∂ ; 2wl
KQ
QV
KS
−∂∂⋅
∂∂
=∂∂
Costurile unitare:
(31) cj = )(1 aiwlq j
j
++ , c1 ≠ c2 ≠ c21
unde:
wlj – salariile pe o unitate de bun capital
i – revenirea pe o unitate de capital investit (de bun capital)
a – amortizarea pe o unitate de bun capital
(32) c21 = 12
12 )(qqllw
−−
c21 – costul unitar al trecerii de la activitatea 2 la activitatea 1
Traiectorii posibile – sunt 23 = 8, conform variaţiei celor 3 multiplicatori µj(t), j = 3,1 , din care 5 sunt traiectorii admisibile şi 3 neadmisibile.
Traiectorii admisibile
Tr.. µ1(t) µ2(t) µ3(t) Activitatea K& Q Politica firmei
1 0 + + 2 + <Q*21 creştere cu activitatea 2
2 0 + 0 2 0 Q*2
staţionară, dividende, activitatea 2
3 0 0 + 21 + Q*21
trecere de la activitatea 2 la activitatea 1
4 + 0 + 1 + >Q*21 creştere cu activitatea 1
5 + 0 0 1 0 Q*1
staţionară, dividende, activitatea 1
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Traiectorii neadmisibile
6) µ1(t) > 0, µ2(t) > 0 ⇒ K(t) = K1(t), K(t) = 0 ⇒ K1(t) = 0 exclus prin ipoteză.
7) µ1(t) = 0, µ2(t) = 0, µ3(t) = 0 din (19) ⇒ S’K = 0 ⇒ 0 = V’Q(q1 – q2) + w(l2 – l1) ⇒
2112
12 )( cqqllwVQ =
−−
=′ . Pe de altă parte (18) ⇒ λ(t) = µ3(t) + 1 ⇒
0)()( 3 == tt µλ && ; Cum µ1(t) = µ3(t) = 0 ⇒ din (20) ⇒ 0 = (i + a)(1+ µ3(t)) – S’K + µ1(t)
⇒ S’K = i + a ⇒ q2V’Q = S’K + wl2 ⇒ V’Q = (i + a + wl2)2
1q
= c2, ⇒
Contradicţie: venitul marginal din vânzări este simultan egal cu costul marginal al activităţii 21 şi al activităţii 2.
Ipoteză:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<<<≠≠
1221
2121
2211
ccccccccc
sau }{max)0()( jjQtQ cdQdV
>= , j = 1, 2, 21
8) µ1(t) > 0, µ2(t) , µ3(t) > 0 – se regăseşte aceeaşi contradicţie ca pentru traiectoria 6.
Analiza traiectoriilor
Traiectoria 1: µ1 = 0, µ2 > 0, µ3 > 0
(18) ⇒ λ(t) = 1 + µ3(t) ⇒ )()( 3 tt µλ && = ,
(20) ⇒ )(3 tµ& = (i + a) (1+ µ3(t)) – S’K
(21) ⇒ K(t) > K1(t)
(22) ⇒ K1(t) = 0; deci K(t) = K1(t) > 0
(23) ⇒ S(K(t), K1(t)) – I(t) = 0 ⇒ D(t) = 0; deci nu se plătesc dividende, tot ceea ce se câştigă se reinvesteşte.
S(K1(t),K2(t)) = I(t) ⇒ 0)( >tK& ⇒ 0)( >tX& (ecuaţia de balanţă fiind K(t) = X(t))
(19)⇒ 0)())(1(0)())(1(111
02
0323 <′⇒−=+′⇒=++′
>>KKK SttSttS µµµµ
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
(29)⇒ 0)()()(12211<−+−
⋅=′ llwqq
dQdVSK ⇒ 21
12
12 )()( cqqllw
dQdV
=−−
>⋅
*21)( QtQ <⇒
Pe traiectoria 1, 0)(3 >tµ . - la începutul traiectoriei: 0)(,0)( 33 >= tt µµ &
s - la sfârşitul traiectoriei: 0)(,0)( 33 <= tt µµ &
r La sfârşitul traiectoriei 1: 0)(,0)( 33 >= tt µµ &
s
Traiectoria 2: µ1(t) = 0, µ2(t) > 0, µ3(t) = 0
(18) ⇒ λ(t) = 1
(19) ⇒ 0)(0)( 22 11<−=′⇒=+′ tStS KK µµ
(19)+(29)⇒ 211221 0)()(1
cdQdVllwqq
dQdVSK >⇒>−−−=′ *
21* )( QtQ <⇒
(20) ⇒ 0 = (i + a) – S’K ⇒ S’K = (i + a)
(30)⇒ *222
2
)()(1 QtQcwlaiqdQ
dV=⇒=++= , traiectoria 2 este staţionară.
(23) ⇒ 0)()()( >⇒>⋅ tDtIS , se plătesc dividende.
(22) ⇒ K(t) = 0 ⇒ K(t) = K2(t)
(21) ⇒ K(t) > K1(t) > 0; rezultă Q*2 < Q*
21 ⇒ c21 < c2 < c1.
Traiectoria 3: µ1(t) = 0, µ2(t) = 0, µ3(t) > 0
(18) ⇒ λ(t) = µ3(t) + 1
(19) ⇒ 00))(1(11 3 =′⇒=+′ KK StS µ ⇒ *
21*
21 )( QtQcdQdV
=⇒=
(20) ⇒ KStait ′−++= ))(1)(()( 33 µµ&
(21) ⇒ K(t) = K1(t) ⇒ K2(t) = 0
(22) ⇒ K1(t) > 0; deci rezulta ca 0)(1 >tK& si 0)(2 <tK& (este activitate de relocare)
(23) ⇒ 0)(0)(0)()()( 1 >⇒>⇒=⇒=⋅ tKtKtDtIS &&
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
Pe traiectoria 3: µ3(t) > 0
- la începutul traiectoriei: 0)(3 =tµs , 0)(3 >tµ&
0)(3 >tµ& ⇒ (i + a)(1 + µ3(t)) – S’K > 0 ⇒ S’K < (i + a)(1 + µ3(t)) ⇒
(deoarece µ3(t) = 0) ⇒ S’K < (i + a) ⇒ 222
)(1 cwlaiqdQ
dV=++< ⇒ Q(t) >
Q*2 ⇒ Q*
21 > Q*2 ⇒ c1 < c2 < c21
Traiectoria 4: µ1(t) > 0, µ2(t) = 0, µ3(t) > 0
(18) ⇒ λ(t) = µ3(t) + 1
(19)⇒ 0)())(1(0)())(1( 1313 11>=+′⇒=−+′ ttSttS KK µµµµ
⇒ *21
*21
12
12 )()( QtQcqqllw
dQdV
>⇒=−−
<
(20) ⇒ )())(1)(()( 133 tStait K µµµ −′−++=&
(21) ⇒ K(t) = K1(t) ⇒ K2(t) = 0
Q(t) = (q1-q2)K1(t) + q2K(t) = (q1 – q2) K1(t) + q2K1(t) = q1K1(t) )(⋅S = V – (wl1 – wl2)K1(t) – wl2K(t) = V – (wl1 – wl2)K1(t) – wl2K1(t) = V
– wl1K1(t)
1111
1 wlqdQdVwl
KQ
dQdVwl
KQ
dQdV
KS
−=−∂∂
⋅=−∂∂⋅=
∂∂
Pe traiectoria 4: µ3(t) > 0
- la începutul traiectoriei: 0)(3 =tµs , 0)(3 >tµ&
0)(3 >tµ& ⇒ – S’K > µ1(t) - (i + a)(1 + µ3(t)) ⇒ S’K < - µ1(t) + (i + a)(1 + µ3(t)) ⇒ (deoarece µ3(t) > 0) ⇒ S’K < (i + a)(1 + µ3(t)) ⇒ S’K < (i + a) ⇒
111
11 )(1 cwlaiqdQ
dVaiwlqdQdV
=++<⇒+<− ⇒ Q(t) > Q*1
- la sfârşitul traiectoriei 4: 0)(3 =tµr , 0)(3 <tµ&
0)(3 <tµ& ⇒ S’K > i + a ⇒ 1cdQdV
> ⇒ Q(t) < Q1*
Q21* < Q(t) < Q1
* ⇒ c1 < c2 < c21
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Traiectoria 5: µ1(t) > 0, µ2(t) = 0, µ3(t) = 0
(18) ⇒ λ(t) = 1 ⇒ 0)( =tλ&
(19)⇒ 2111 0)(0)(11
cdQdVtStS KK <⇒>=′⇒=−′ µµ ⇒ Q(t) > Q21
*
(20) ⇒ )(0 1 tSai K µ−′−+= ⇒ - S’K = µ1(t) – (i + a) ⇒ S’K = i + a - µ1(t) ⇒ aiSS KK ++′−=′
1
(21) ⇒ K(t) = K1(t) ⇒ K2(t) = 0
(22) ⇒ K1(t) > 0
(23) ⇒ S(t) – I(t) > 0 ⇒ S(t) > I(t) ⇒ D(t) > 0
Observaţie:
1)()(
)()(
)()(
)()( 1
1KK SS
tKtK
tKS
tKS
tdKdS ′+′=
∂∂⋅
∂⋅∂
+∂
⋅∂=
⋅ , deoarece 1)()(1 =
∂∂
tKtK
aiwldQdVq
dKdSaiSS KK +=−=⇒+=′+′ 111
1111
1 wlqdQdVwl
KQ
dQdVwl
KQ
dQdV
KS
−=−∂∂
⋅=−∂∂⋅=
∂∂
111
)(1 cwlaiqdQ
dV=++=⇒ ⇒ Q(t) = Q1
*, traiectorie staţionară.
Rezultă Q1* > Q21
* ⇒ c1 < c2 < c21
Traiectorii finale
Trebuie să verifice condiţiile de transversalitate:
λ(T) = 1
λ(T) = µ3(T) + 1 ⇒ µ3(T) = 0 ⇒ numai traiectoriile 2 şi 5 pot fi traiectorii finale.
Traiectoria 2 este finală dacă K(T) = K2(T) si c21 < c2 < c1.
Traiectoria 5 este finală dacă K(T) = K1(T) si c1 < c2 < c21.
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
REZUMAT
Tr. Nr. µ1(t) µ2(t) µ3(t) Activitatea K&
Qt Politica firmei
1 0 + + 2 + <Q*21 creştere cu activitatea 2
2 0 + 0 2 0 Q*2 staţionară, dividende, activitatea 2
3 0 0 + 21 + Q*21
relocare de la activitatea 2 la activitatea 1
4 + 0 + 1 + >Q*21 creştere cu activitatea 1
5 + 0 0 1 0 Q*1 staţionară, dividende, activitatea 1
Traiectorii de magistrală care se finalizează cu Traiectoria 2
TR1→TR2
TR1: Q(t) < Q2*; TR2: Q2
*;→ K(t) poate fi continuă şi poate creşte.
TR3→TR2
TR2: Q(t) = Q2*; TR2: Q(t) = Q21
*; →K(t) este discontinuă, TR3 nu poate fi predecesoare.
TR4→TR2
TR2: c21 < c2 < c1; TR4: c1 < c2 < c21; contradicţie.
TR5→TR2
TR5: K(t) = K1*; TR2: K(t)=K2
*; →discontinuitatea lui K(t). Predecesoarele Traiectoriei 1
Traiectoria 2 NU K discontinuă Traiectoria 3 NU K discontinuă Traiectoria 4 NU K discontinuă Traiectoria 5 NU TR1: c21 < c2 < c1; TR5: c1 < c2 < c21
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Traiectorii de magistrală care se finalizează cu Traiectoria 5
Predecesoarele Traiectoriei 5
Traiectoria 1 NU K discontinuă Traiectoria 2 NU inadvertenţă de costuri Traiectoria 3 NU K discontinuă Traiectoria 4 DA
Predecesoarele Traiectoriei 4-5
Traiectoria 1 NU K discontinuă Traiectoria 2 NU inadvertenţă de costuri Traiectoria 3 DA Traiectoria 4 NU K discontinuă
Predecesoarele Traiectoriei 3-4-5
Traiectoria 1 DA Traiectoria 2 NU inadvertenţă de costuri Traiectoria 3 NU K discontinuă Traiectoria 4 NU K discontinuă
Predecesoarele Traiectoriei 1-3-4-5
Traiectoria 1 NU K discontinuă inadvertenţă de costuriTraiectoria 2 NU K discontinuă Traiectoria 3 NU K discontinuă Traiectoria 4 NU K discontinuă
Concluzii: a) Dacă c21 < c2 < c1 ⇒ magistrala TR1→TR2
Q2*
Q0
K0
L0
TR2TR1 t1,2 T
Q2*
K2*
L2*
D
t
Capitolul 5. Modelul dinamic al firmei van Hilten şi extensii ale acestuia
b) Dacă c1 < c2 < c21 ⇒ magistrala TR1→TR3→TR4→TR5
L0
Q0
K0
Q21*
Q1* Q1*
K1*
L1*
L
t1,3 t3,4 t4,5 T t
top related