capacitor e indutor
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8/4/2019 Capacitor e Indutor
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Princpios de Instrumentao Biomdica
Mdulo 4
Faraday Lenz Henry
Weber Maxwell Oersted
http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faradayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenzhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weberhttp://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rstedhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenzhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weberhttp://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rstedhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday -
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Contedo
4 - Capacitores e Indutores..........................................................................................................1
4.1 - Capacitores.....................................................................................................................1
4.2 - Capacitor linear e invariante com o tempo....................................................................2
4.2.1 - Modelo Thvenin e Norton....................................................................................4
4.3 - Energia acumulada no capacitor....................................................................................5
4.4 - Associao de capacitores..............................................................................................6
4.4.1 - Associao Srie.....................................................................................................7
4.4.2 - Associao Paralela................................................................................................7
4.5 - Indutores.........................................................................................................................8
4.6 - Indutor linear e invariante..............................................................................................9
4.6.1 - Modelo de Thvenin e Norton..............................................................................11
4.7 - Indutor no linear.........................................................................................................12
4.8 - Energia armazenada no indutor....................................................................................12
4.9 - Associao de indutores...............................................................................................13
4.9.1 - Associao Srie...................................................................................................14
4.9.2 - Associao Paralela..............................................................................................144.10 - Lei dos ns e das malhas para equacionar circuitos RLC..........................................15
4.11 - Exerccios...................................................................................................................18
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4 Capacitores e Indutores
Capacitores e indutores so elementos passivos, como os resistores, porm ao invs dedissipar energia estes elementos so capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque
a energia absorvida fica armazenada na forma de campo eltrico ou magntico. Capacitores e
indutores podem ser lineares ou no lineares, variantes ou invariantes e tambm podem ser
associados como as resistncias. A eles tambm se estendem todos os conceitos de anlise
considerados anteriormente.
4.1 Capacitores
Capacitores so elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo
eltrico. O smbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por
motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um smbolo
ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retngulo que
pode estar pintado.
Princpios de Instrumentao Biomdica COB 781 1
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Os capacitores so formados por duas superfcies condutoras separadas por um
isolante de tal forma que no h contato eltrico entre os dois terminais do capacitor. Estas
superfcies, entretanto ficam muito prximas uma da outra de forma que cargas eltricas que
se deslocam para uma das superfcies repelem cargas da outra superfcie permitindo a
circulao de corrente. Observe que a resistncia entre os dois terminais do capacitor infinita
porm h circulao de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim
h uma diferena lquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge
sobre seus terminais uma diferena de tenso que permanece no capacitor depois que ele
desconectado do circuito. Esta caracterstica definida pela razo entre cargas no capacitor e
tenso sobre seus terminais chama-se capacitncia:
C=q t
v t, onde C a capacitncia (Farad F)
4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo
Um capacitor linear e invariante no tempo definido como
q t=cv t
de tal forma que
dq t
dt=C
dv t
dt
e
i=Cdv
dt, (uma relao linear)
ou
v=1
C0
t
i t 'dt 'v 0 , (uma relao linear apenas se v 0=0 )
Princpios de Instrumentao Biomdica COB 781 2
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Observa-se que a equao de v s pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0 ,
ou seja, a condio inicial da integral e do capacitor. Por esta razo todas as equaes que
envolvam capacitor s podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem
conhecidos (mesmo que se utilize a equao com diferencial, como veremos mais a frente).
Alm disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares necessrio
que v 0 seja nulo ou seja as condies iniciais sejam nulas. Esta situao chamada de
estado zero. Se v 0 no for nulo podemos representar o capacitor no linear por um modelo
que emprega um capacitor descarregado em srie com uma fonte de tenso conforme indicado
na figura abaixo. Observe que esta associao (capacitor-fonte) um equivalente ao capacitor
carregado.
Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao
passo que a tenso depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode
variar instantaneamente. J a tenso sobre o capacitor s pode variar instantaneamente se i(t)
for infinita como uma funo impulso. Alguns autores utilizam o termo inrcia de tenso para
indicar que a tenso no capacitor no pode variar instantaneamente. Destas observaes
decorre que, em circuitos de corrente contnua (CC) e chaveados (com ondas de tenso ou
corrente pulsadas), o capacitor ir se comportar como um curto circuito para transies
rpidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contnua. Entre o
chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contnua constante h um perodo
transitrio onde o capacitor se carrega e no pode ser considerado como nenhuma das duas
situaes acima.
Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tenso
no capacitor para t=0+ e t= .
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t=0+ , (capacitor um curto circuito)
vC1=0
iC1=v1
R1=10A
t= , (capacitor um circuito aberto)
iC1=0
vC1=v1
R1R2R2=7,5V
4.2.1 Modelo Thvenin e Norton
Conforme apresentado na seco anterior um modelo para capacitor carregado obtido
pela associao srie de um capacitor descarregado com uma fonte de tenso formando um
equivalente Thvenin. Naturalmente este modelo Thvenin pode ser transformado em um
modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo
Para o equivalente Thvenin
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v=1
C idtvs
i=Cdvvsdt
=Cdvdt
Cdvsdt
Para o equivalente Norton
v=1
C iisdt=
1
C idt
1
C isdt
i=Cdv
dtis
Desta forma, para que as equaes de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que
vs t=1
C
0
t
ist 'dt e
ist=Cdvs
dt
4.3 Energia acumulada no capacitor
A energia pode ser obtida pela integral da potncia ao longo do tempo. Num capacitor
a energia no dissipada mas sim armazenada na forma de campo eltrico. Assim sendo a
energia armazenada em um capacitor igual a energia fornecida a ele por uma fonte.
w t0, t=t0
t
v t 'i t 'dt '
w t0, t=q t0
q t
v q1dq1 (rea entre o eixo q e a curva)
w t=0
q t
v q1dq1 .
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Para um capacitor linear invariante
w t=0
q tq1
Cdq1
w t=1
2
q2t
C
w t=1
2Cv2
Um capacitor passivo aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a
zero. Assim um capacitor linear invariante passivo se sua capacitncia no negativa e ativo
se sua capacitncia negativa.
4.4 Associao de capacitores
Capacitores ligados em srie ou paralelo podem ser substitudos por um capacitor
equivalente tal que a relao entre v e i nos terminais da associao seja igual a relao entre v
e i no equivalente.
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4.4.1 Associao Srie
Pela LTK e LCK
v=vC1vC2
v=1
C1
itdt1
C2
i tdt
v= 1C1
1
C2 i tdt
v=1
CEQ i tdt
onde1
CEQ= 1C1
1
C2 .
Genericamente1
CEQ= 1Cn
4.4.2 Associao Paralela
Utilizando a LTK e a LCK
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i=iC1iC2
i=C1dv
dt
C2dv
dt
i=C1C
2
dv
dt
i=CEQdv
dt
onde CEQ=C1C2
Genericamente CEQ=Cn
4.5 Indutores
Indutores so elementos armazenadores de energia na forma de campo magntico. O
smbolo do indutor apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o smbolo do indutor
apresenta alguma marcao como um circulo prximo a um de seus terminais ou vem
acompanhado de outro indutor. Estes smbolos pertencem a indutores acoplados que sero
estudados separadamente em outros captulos.
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O indutor formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magntico
produzido quando o condutor percorrido por corrente eltrica. O resultado que a corrente
que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magntico gerado. A caracterstica de
indutncia dada pela razo entre fluxo magntico e corrente
L=t
i t
onde fluxo magntico (weber W) e L indutncia (Henry H).
4.6 Indutor linear e invariante
O indutor linear e invariante apresenta a seguinte caracterstica
t=Li t .
Pela lei da induo de Faraday temos que
v t=d
dt.
Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tenso esto em acordo
com a lei de Lenz que estabelece que a fora eletromotriz induzida por uma variao de fluxo
tem polaridade tal que se ope causa desta variao. Supondo que a corrente aumente, a
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derivada do fluxo e a tenso sobre o indutor tambm aumentaro. Neste caso a polaridade da
tenso tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.
Utilizando as duas relaes acima possvel determinar uma forma mais til para
caracterizar o indutor em termos de tenso e corrente em seus terminais.
v t=Ldi t
dt(uma relao linear)
ou
i t= 1L
0
t
v t 'dt 'i 0 (uma relao linear apenas se i 0=0 )
Assim como ocorre com o capacitor o indutor tambm s pode ser perfeitamente
caracterizado se conhecermos sua indutncia L e a condio inicial i 0 , ou seja, a corrente
que circulava por ele antes da anlise comear. O indutor tambm s pode ser considerado
linear se a sua condio inicial for nula e caso no seja, pode ser modelado por um indutor
descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.
Observa-se que a corrente no indutor obtida por uma integral e que a tenso obtida
por uma derivada. Isto significa que a tenso no indutor pode mudar instantaneamente ao
passo que a corrente s pode mudar instantaneamente se a tenso sobre o indutor assumir
valores infinitos (funo impulso). Alguns autores denominam este efeito de inrcia de
corrente. Tambm resulta, desta observao, que em circuitos de corrente contnua ou
pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transies rpidas (degraus e
impulsos) e como um curto circuito para corrente contnua (quando no h mais variaes de
tenso ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contnua
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constante h um perodo transitrio onde o indutor se carrega e no pode ser considerado
como nenhuma das situaes acima.
Exemplo: Calcular as tenses e correntes no indutor para t=0+ e t= .
Parat=
0+
vL1=v1=10V
iL1=0A
Para t=
vL1=0V
iL1=v1
R1
=10A
4.6.1 Modelo de Thvenin e Norton
O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, semelhante ao
modelo de Norton o que significa que ele tambm poderia ser representado por um modelo
Thvenin equivalente. Os dois modelos esto apresentados na figura abaixo
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Para que ambos os modelos sejam equivalentes necessrio que
vs t=Ldist
dt
e
ist=1
L
0
t
vst 'dt '
4.7 Indutor no linear
Muitos indutores fsicos tm caracterstica no linear. Somente para uma faixa de
valores de corrente em torno da origem o indutor linear, para correntes de valor mais
elevado o fluxo satura (apresenta pouca variao para uma mesma variao de corrente).
Biologicamente este efeito tambm pode ocorrer com elementos que se comportam como
resistncia ou capacitncia. Um dos efeitos no lineares mais comuns se chama histerese e
apresentada no grfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma
curva 1 porm quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva 2 diferente da
primeira. Este comportamento ilustrado na figura abaixo.
4.8 Energia armazenada no indutor
A energia pode ser obtida pela integral da potncia ao longo do tempo. O indutor, da
mesma forma que o capacitor capaz de armazenar energia ao invs de dissip-la. Esta
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energia fica armazenada no campo magntico criado entorno do indutor. Assim sendo a
energia armazenada em um indutor igual a energia fornecida a ele por uma fonte.
w t0, t=t0
t
v t 'it 'dt '
w t0, t=t
0
t
i 1d1 (rea entre o eixo e a curva)
w t=0
t
i 1d1
A rea entre as duas curvas 1 e 2 no grfico da histerese representa perda de
energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas
no indutor.
Para um indutor linear e invariante
w t=0
t
1Ld1
w t=1
22t
L
w t=1
2Li
2t
Um indutor passivo aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero.
Assim um indutor linear invariante passivo se sua indutncia no negativa e ativo se sua
indutncia negativa.
4.9 Associao de indutores
Indutores ligados em srie ou em paralelo tambm podem ser substitudos por um
indutor equivalente do ponto de vista da tenso e da corrente nos terminais da associao.
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4.9.1 Associao Srie
Usando a LTK e LCK
v=vL1vL2
vL=L1di
dtL2
di
dt
v=L1L2di
dt
v=LEQdi
dt
onde
LEQ=L1L2 .
Genericamente LEQ=Ln
4.9.2 Associao Paralela
Usando a LCK e a LTK
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i=iL1iL2
i=1
L1 v tdt
1
L2 v tdt
i= 1L11
L2 v tdt
i=1
LEQv tdt
onde
1
LEQ=
1
L1
1
L2
Genericamente1
LEQ= 1Ln
4.10 Lei dos ns e das malhas para equacionar circuitos RLC
As leis de Kirchhoff so vlidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores
que incluam fontes dependentes ou no. Por esta razo as sistematizaes apresentadas para a
LCK e LTK tambm so vlidas.
No circuito abaixo iremos equacionar as tenses ns.
para o n A (na fonte de corrente)
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C1dvA
dt
vA
R1
1
L1 vAvBdtI0=I1
para o n B (no resistor R2)
1
L1
vBvAdtI0vB
R2
=0
a condio inicial do problema
vA0=V0
Com estas equaes j temos o sistema de equaes diferenciais que resolvem o
problema. Se a soluo particular a tenso sobre o resistor R2 ento podemos obter esta
equao somando as duas equaes
C1dvA
dt
vA
R1
vB
R2=I1
e a tenso vA pode ser obtida derivando a segunda equao duas vezes
1
L1
vB1
L1
vA1
R2
dvB
dt=0
assim
vA=vBL1
R2
dvB
dt
dvA
dt=
dvB
dt
L1
R2
d2 vB
dt2
substituindo vA temos
L1C1d
2vB
dt2R2C1L1R1
dvB
dt1R1R2vB=R2I1
as condies iniciais so
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vA0=V0=R2I1
e
dvB 0
dt=
R2
L1[vA0vB0]=
R2
L1[V0R2I1]
O mtodo de anlise de malhas tambm pode ser utilizado. Neste caso a fonte de
corrente em paralela com um resistor pode ser substituda pelo seu equivalente Thevenin.
para a primeira malha
R1i1V0 1C1
0
t
i1i 2dt '=V1
para a segunda malha
L1
diL2
dtR2i 2V0
1
C1
0
t
i 2i1dt '=0
a condio inicial do problema
i20=I0
As equaes acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos
interessados em uma resposta particular como a tenso sobre R2 ento podemos manipular as
equaes para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equaes acima
R1i
1L
1
di2
dt
R2i
2=V1
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i1=L1R1
di2
dt
R2
R1i2
V1
R1
Derivando a segunda equao obtemos
L1d
2i2
dt2R2
di2
dt
i2
C1
i1
C1=0
e substituindo i1
L1C1d
2i 2
dt2
R2C1
L1
R1
di2
dt
1
R2
R1
i2=
V1
R1
i20=I0
di2 0
dt=
1
L1V0R2I0
L1C1d
2v2
dt2
R2C1
L1
R1
dv2
dt
1
R2
R1
v2=R2I1
v20=R2I0
dv20
dt=
R2
L1
V0
R2I
0
4.11 Exerccios
1) Os circuitos das figuras abaixo esto operando em regime permanente, quando em
t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tenses nos capacitores e indutores para os
instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L(0),
iL(0+), iC(0
), iC(0+), iL(), iC(), vC(0
), vC(0+), vC(), vL(0
), vL(0+), vL(), diL(0
)/dt, diL(0+)/dt,
dvC(0)/dt, dvC(0
+)/dt.
a) ConsidereIs1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.
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Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:
vC1 0-=0V , iC10
-=0A ,
dvC10+
dt=
iC10+
C1
vC1 0+=vC10
- , iC10
+=Is1
G1
G1
G1 ,
dvC10+
dt
=i C10
+
C1
vC1 =Is1R1 , iC1=0A
b)
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:
iL10-=0A , vL10
-=0V ,
diL10-
dt=
vL10-
L1
iL10+
=0A , vL10+
=I1R1 ,diL10
+
dt =vL1 0
+
L1
iL1=I1 , vL1=0V .
c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado.
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iL10+=
V1
R1, vL10
+=0V ,diL10
+
dt=
vL1 0+
L1
iL1=V1R
1
, vL1=0V .
vC1 0-=V1 , iC10
-=0A ,
dvC10+
dt=
iC10+
C1
vC1 0+=V1 , iC10
+=V1
R2
,dvC10
+
dt=
i C10+
C1
vC1 =0V , iC1=0A .
e) V1(t) uma fonte constante e independente
Fazendo um Thvenin sem incluirC1 nem o ramo deR2.
Em circuito aberto: vCA=v2=R3i1=R3V12v2
R1, logo vCA=
R3V1
R12R
3
Em curto circuito: iCC=I=i1=V1VB1
R11
=V1
R1
.
VTH=vCA , RTH=vCA
ICC
vC1 0-=VTH , iC10
-=0A ,dvC10
+
dt=
i C10+
C1
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vC1 0+=VTH , iC10
+ =VTH
R2
,dvC10
+
dt=
iC10+
C1
vC1 =VTH
RTHR2R
2 , iC1=0A .
f) V1t=ut
Como Vot=vC1t , iC1 ser determinado da direita para a esquerda.
vC1 0-=0V , iC10
-=0A , dvC10+
dt
=iC10
+
C1
vC1 0+=0V , iC10
+=iR2=V1
R2
,dvC10
+
dt=
iC10+
C1
vC1 =V1
R2
R1 , iC1=0A .
g) V1t=ut
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vC1 0-=0V , iC10
-=0A ,dvC10
+
dt=
iC10+
C1
vC1 0+=0V , iC10
+ =V1
R1
,dvC10+
dt=
i C10+
C1
vC1 =V1 , iC1=0A .
2) Determine iL1(), iL1(0+), vC1(), vC1(0
+)
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:
iL10+=0A , iL1=I1
vC2 0+=0V , vC2 =I1R2 .
3) Para o circuito abaixo determine vC(0), vC(0
+), iC(0), iC(0
+), vC(), iC().
Calculando o Thvenin do circuito sem o capacitor:
RTH=R1R2 //R3 onde // indica em paralelo com
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VTHt=I1I2
G1GSERIEGSERIER3
onde G SERIE= G2G3
G2G
3
vC0-=VTH0
- , iC0-=0A
vC0+ =VTH0
- , iC0+=
VTH0+VTH0
-
RTH
vC=VTH0+
, iC=0A .
4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitrio de tenso e
corrente respectivamente, determine a tenso sobre a fonte i1(t) e as expresses para vL2(t) e
iv(t).
vL2=L2t
v i1v1vL2vR2=0
v i1=u tL2t i1R2
iv i1iL1iC1=0
iv=i11
Lu tdtCt
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5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tenses e
correntes so constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posio. Calcule iL1(0), iL1(0
+),
iC1(0), iC1(0
+), iL1(), iC1(), vC1(0), vC1(0
+), vC1(), vL1(0), vL1(0
+), vL1(), diL1(0)/dt,
diL1(0+)/dt, dvC1(0
)/dt, dvC1(0+)/dt.
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:
iL10-=
V2
R1R
2
, vL10-=0V ,
diL10-
dt=
vL10-
L1
iL10+=
V2
R1R2, vL10
+=0V ,diL10
+
dt=
vL1 0+
L1
iL1=V1
R1R
2
, vL1=0V .
vC1 0-=
V2
R1R2R2 , iC10
-=0A ,
dvC10+
dt=
iC10+
C1
vC1 0+= V2
R1R
2
R2 , iC10+=V1vC1 0
+
R1
iL1 0+ , dvC10
+
dt
=i C10+
C1
vC1 =V1
R1R2R2 , iC1=0A .
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