capítulo 6: torção - gdace.uem.br · pdf filebarra circular. o eixo deve...

CAPÍTULO 6:TORÇÃO

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

Revisão de Momento Torçor

� Convenção de Sinais:

� a) Momento de torção t uniformemente distribuído em viga em balanço:

LtTA ⋅=

� Reações de apoio:

S1t (kN.m/m)

� Seção S1: 0 ≤ x ≤ L (pela esquerda):

xtLtxtTT AS ⋅−⋅=⋅−=1

( )mkNT .

� Diagrama de Momento Torçor:

� b) Momento de torção T aplicado na extremidade livre de viga em balanço:

T (kN.m)

� Seção S1: 0 ≤ x ≤ L (pela esquerda):

TTT AS ==1

( )mkNT .

� c) Momento de torção t uniformemente distribuído:

t (kN.m/m)

LtTT BA

t TBTAS1

� Seção S1 (pela esquerda): 0 ≤ x ≤ L

xtTT AS ⋅+⋅−=⋅+−=21

( )mkNT .

Lt⋅� Diagrama de Momento Torçor:

� d) Momento de torção T aplicado ao longo da viga:

bTT BA

⋅=⋅=

T TBTA

T (kN.m)

� Seção S2: a ≤ x ≤ L (pela direita):L

bTTT AS

⋅==1

aTTT BS

⋅−=−=2

� Seção S1: 0 ≤ x ≤ a (pela esquerda):

( )mkNT .

6.1-Introdução

� No estudo de Torção, além das hipóteses da Resistência dos Materiais são consideradas as seguintes condições:� a) Momento Torçor constante;� b) Inexistência de vínculos que impeçam o

empenamento das seções transversais;� c) Seção transversal constante.

6.2-Torção em Barras Circulares

� Hipóteses:� Barra em torção pura;� Seções transversais permanecem planas e

circulares;� Todos os raios permanecem retos;� Ângulo de rotação pequeno: comprimento e raio

constante.

� - O ângulo de torção φ varia ao longo do eixo da barra φ(x);

� - φ(x) varia linearmente entre 0 e φ;

φ(x) φφ

� - Isolando-se duas seções transversais distantes dx tem-se:

� A deformação angular máxima (γmáx) ocorre na superfície da barra e pode ser equacionada da seguinte forma:

=⋅⋅=′⋅

∴⋅

′⋅=dxba

bbmáx

drmáx

φγ ⋅=

� Para um ponto da seção distante ρ do centro, adeformação angular (γ) pode ser definida como:

dφργ ⋅=

� Para uma barra sujeita à torção pura, a relação dφ/dx é constante e representa o ângulo de torção por unidade de comprimento designado por θ.

d φφθ == � Razão de torção

� Logo:

⇒⋅= θγ rmáx L

φγ ⋅=

� Deformação de cisalhamento no interior da barra:

φρθργ ⋅=⋅=

rmáxγθ =ou

rmáxγργ ⋅=

γγγγmáx

γγγγ

� γ é máxima para ρ = r � na superfície.

� γ = 0 para ρ = 0 � no centro.

� γ é medido em radianos.

� θ em radianos por unidade de comprimento.

6.3- Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares

� Tensão de Cisalhamento � Lei de Hooke

γτ ⋅= G G � Módulo de Elasticidade Transversal

γ � Deformação de Cisalhamento

( )ν+=

EG E � Módulo de Elasticidade Longitudinal

ν � Coeficiente de Poisson

Sendo:

� Analisando as tensões na superfície da barra:

� τmáx � tensão de cisalhamento na superfície da barra.

� τ � tensão de cisalhamento em um ponto interior.

θγ ⋅= rmáx

θτ ⋅⋅= rGmáx máxrG τρθρτ ⋅=⋅⋅=

� Para manter o equilíbrio das tensões de cisalhamento, as tensões agindo na seção transversal são acompanhadas por tensões de cisalhamento iguais agindo em planos longitudinais.

6.3.1-Tensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento Torçor

dAdF ⋅=τ � Força agindo no elemento dA;

ρ⋅= dFdM �Momento devido à força dFem relação ao centro.

Lembrando que:

máxrG τρθρτ ⋅=⋅⋅=

θγ ⋅= rmáx

γτ ⋅= G

θργ ⋅=

θτ ⋅⋅= rGmáx

φθ =

dAdM ⋅⋅= ρτ

dM máxmáx ⋅⋅=⋅⋅⋅= 2ρτρτρ

Polar Inércia de Momento sendo 2

→=⋅

⋅⋅==

∫∫JdA

� O somatório dos momentos dM em relação ao centro da seção é igual ao momento torçor agindo na seção:

� Então:

T máx ⋅= τ322

e44 dr

J⋅=⋅= ππ

rTmáx

⋅=τ � Fórmula da Torção

� Logo:

� Substituindo:

⋅= πe

Tmáx ⋅

⋅=π

τ � Barras circulares sólidas

r máx

ρτρτ ⋅=⋅=

� Para um ponto distante ρ do centro:

� Ângulo de Torção:� Sabendo-se que:

⋅=θ onde G.J é a rigidez de torção

θτ ⋅⋅= rGmáxJ

rTmáx

⋅=τe

Podemos dizer que:

L⋅=θφComo:JG

⋅⋅=φ → Ângulo de Torção

(em radianos)→

� Ensaio de Torção para determinar G:

⋅⋅=

6.3.2-Tubos Circulares ( Seção Circular Vazada)

� A análise é quase idêntica à feita para uma barra sólida.

� As equações deduzidas para barras sólidas são aplicáveis para as de seção vazada, uma vez que as hipóteses são as mesmas. Sendo que:

21 rr ≤≤ ρ

( ) ( )41

42 322

ddrrJ −⋅=−⋅= ππ

ττττ

Exemplo 1

� Considere um eixo com variação de seção, engastado no ponto E conforme a figura. Determine a rotação da extremidade A, quando os dois momentos torçores em B e D são aplicados. Considere G = 80x109N/m2 .

mNT ⋅= 1501

mNT ⋅= 10002

Seção B

Seção A

ABCDET2 T1

Seção B

Seção A

30cm 20cm 25cm

Exemplo 1

� a) Diagrama de Momento Torçor:

DECDBCABA φφφφφ +++=

83,332

JJ BCAB =⋅== π

( ) 444 5,575,2532

cmJJ DECD =−⋅== π

� b) Cálculo da rotação em A:

E D C B A

1150N.m

150N.m+ +

Exemplo 1

0=⋅⋅=

ABAB JG

010,083,3101080

201500049

=×××

×=⋅⋅= −

BCBC JG

001,05,571080

30150005

=×××=

⋅⋅=

CDCD JG

013,05,571080

501150005

=×××=

⋅⋅=

DEDE JG

°= 33,1ou 0233,0 radAφ

Exemplo 2

� Calcular a tensão de cisalhamento máxima e a rotação na extremidade livre, sabendo-se que a rotação no ponto A é 0,02rad, G = 80MPa e d = 4cm.

� a) Diagrama de Momento Torçor:

Seção

30cm 50cm 30cm

2M+ + +

Exemplo 2

� b) Rotação no ponto A:� Trecho DA : T = 4M

( ) 4844

1013,2532

dJ −×=⋅=⋅= ππ

⋅=⇒⋅×⋅

×⋅=

⋅⋅==

− 335,0 1013,251080

Exemplo 2

� c) Tensão de Cisalhamento Máxima na barra:

rTmáxmáx

⋅=τ

mNMTmáx ⋅=×=⋅= 340,1335,044

mcmr 02,0 2 ==

kPamáx 67,1061013,25

02,034,18

×= −τ

Exemplo 2

� d) Rotação da Extremidade livre:

8686 1013,251080

3,0335,03

1013,251080

5,0335,0202,0 −− ⋅×⋅

××+⋅×⋅

××+=Cφ

BCABDAC φφφφ ++=

015,0017,002,0 ++=Cφ

°= 96,2ou 052,0 radCφ

Exemplo 3

� Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular. O eixo deve transmitir um torque de 1200N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40MPa nem uma razão de torção de 0,75°/m. Determine o diâmetro necessário d0 do eixo sabendo que G = 78GPa.

Exemplo 3

a) Seção sólida:� Tensão admissível:

admmáx d

T τπ

τ ≤⋅⋅=

630 1040

12001616

⋅⋅⋅=

⋅⋅≥

πτπ adm

mmmd 5,530535,00 =≥

Exemplo 3

10175,1

)180/(/75,01078

−×≥⋅×××

T/75,0 °≤

⋅=θ

×≥→

πππ 9

94 10175,13232

10175,132

−− ××=⋅≥∴×≥⋅= J

� Razão de torção:

mmmd 8,580588,00 =≥Logo, o diâmetro da barra será o maior: d0 = 58,8mm ou 60mm

6.4 – Barras sob Torção Estaticamente Indeterminadas

� São estruturas em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se determinar as reações nos vínculos.

� Para analisar estas estruturas adiciona-se as equações de equilíbrio, equações de compatibilidade pertencentes aos deslocamentos rotacionais.

� Para exemplificar, considere uma barra AB composta de duas partes: uma barra sólida e um tubo, ambos unidos a uma placa rígida na extremidade B.

PlacaRígida

� a) Equações de Equilíbrio.

21 TTT =+(Estaticamente Indeterminada)

LT ⋅⋅⋅=∴

⋅⋅=

⋅⋅∴=φφ

� b) Equação de Compatibilidade.

=+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ 1

⋅+⋅⋅⋅=

222 JGJG

⋅+⋅⋅⋅=

111 JGJG

Exemplo 4

� Determinar as reações nos apoios do eixo AB de comprimento total de 600mm, engastado nas duas extremidades com momento torçor de 200N.mm aplicado no ponto C do eixo. O eixo é de aço, com diâmetro externo de 24mm, sendo de seção vazada no trecho AC, com diâmetro interno de 16mm.

AT=200N.mm

300mm 300mm

Seção AC

Seção CB

� a) Equações de Equilíbrio:

200 mmNTT BA ⋅=+(Estaticamente Indeterminada)

Exemplo 4

� b) Equação de Compatibilidade de Deslocamento:

021 =+φφ

( ) ( ) 16243232

444int

4 −⋅=−⋅= ππddJ extAC

4mm 05,138.26=ACJ

mm 03,572.3232

32=⋅=⋅= ππ d

T = 200N.mm TBTA

T = 200N.mmA

φφφφ1

φφφφ2

×−=

+⋅⋅−=

⋅⋅−

⋅⋅−=

03,572.32

05,138.26

Exemplo 4

ACAC 296,2

05,138.26

3002001 =

⋅⋅+

⋅⋅=φ

N.mmTG

G BB 98,1100

021,0296,2 =⇒=⋅−

N.mmTTT ABA 02,89200 =⇒=+

Exemplo 4

021 =+φφ

6.5 – Barras de Seção Transversal Não-Circular

� Em seção não-circular as tensões de cisalhamento apresentam uma distribuição complexa. Essas seções podem apresentar empenamentos quando o eixo for torcido.

� A análise torcional de eixos não-circulares écomplexa, envolvendo teoria de analogia de membrana para auxiliar na compreensão e solução do problema.

� A distribuição da tensão de cisalhamento em um eixo de seção quadrada pode ser visualizada assim:

ττττττττmáx

� Os vértices da seção transversal estão sujeitos a uma tensão de cisalhamento nula.

� As maiores tensões e deformações de cisalhamento ocorrem no ponto da superfície do eixo que esteja mais próximo da linha de centro do eixo.

� A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para barras de seção não-circulares, de eixo reto e seção retangular constante podem ser dados por:

21 baC

Tmáx ⋅⋅

=τGbaC

⋅⋅⋅⋅=

� onde: a � lado maiorb � lado menorC1 e C2 � coeficientes tabelados em

função da relação a/b.

Coeficientes C1 e C2:

a/b C1 C2

1 0,208 0,1406

1,2 0,219 0,1661

1,5 0,231 0,1958

2 0,246 0,229

2,5 0,258 0,249

3 0,267 0,263

4 0,282 0,281

5 0,291 0,291

10 0,312 0,312

∞ 0,333 0,333

Barras de paredes finas e espessura constante. Seção Aberta. Independente da forma.

Exemplo 5

� Calcular a tensão máxima na barra de seção retangular de 10x25cm, submetida ao momento de torção de 6500KN.cm; e o ângulo de torção, sabendo que a barra tem 1,5 m de comprimento e éconstituída de um aço com G = 9000KN/cm2.

T=6500kN.cm

25cm ττττmáx

Exemplo 5

a = 25cmb = 10cm

21 baC

Tmáx ⋅⋅

=τGbaC

⋅⋅⋅⋅=

→==249,0

258,0 5,2

kPamáx 8,10010,025,0258,0

1065002

=⋅⋅

×=−

rad 0174,010900010,025,0249,0

50,1106500 ≈

×=×⋅⋅⋅

⋅×=−

6.6 – Tubos de Paredes Finas

� Considere uma barra cilíndrica de seção delgada, de forma qualquer e com parede de espessura variável em todo o contorno.

� Analisando o elemento abcd, vemos que:

� As forças F1, F2, F3 e F4 nas faces do elemento, são as resultantes das tensões de cisalhamento que agem nas respectivas faces.

� Analisando o equilíbrio das forças horizontais:

210 FFFx =⇒=∑dxtF b ⋅⋅= 11 τdxtF c ⋅⋅= 22 τ

dxtdxt cb ⋅⋅=⋅⋅ 21 ττ⇒

ftt cb =⋅=⋅ 21 ττ

Fluxo de Cisalhamento

� O produto da tensão de cisalhamento pela espessura é constante em qualquer um dos pontos da seção transversal.

� Essa constante é denominada FLUXO DE CISALHAMENTO (f).

� Como o Fluxo de Cisalhamento é constante, a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura do tubo é menor, e vice-versa.

6.6.1 – Fórmula da Torção

� Momento da forca DF em relação a “O”.

dstdA ⋅=

dstdAdF ⋅⋅=⋅= ττ

dsfdF ⋅=Força de Cisalhamento agindo no elemento.

rdsfrdFdT ⋅⋅=⋅=

Linha mediana

� A integral é considerada de forma

simplificada como o dobro da área de um

triangulo de base “ds” e altura “r”.

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅= mLLrdsfrdsfT

Lm � Comprimento da linha mediana.

⋅∫0

� Torque total é:

� A área “Am” representa a área delimitada pelo contorno médio das paredes da seção transversal.

TT Adsrdsr

A ⋅=⋅∴⋅= 2 2

∫ ∫ ⋅=⋅=⋅mL

mT AAdsr0

� Logo:

mAfT ⋅⋅= 2

2t⋅= τ

⋅⋅=

2τ � Fórmula de Torção p/

tubos de paredes finas.

� O valor da tensão de cisalhamento varia nos “n”pontos da seção transversal de espessura diferente.

� O ângulo de torção por unidade de comprimento pode ser obtido aplicando o princípio de conservação da energia na estrutura, e vale:

∫⋅⋅⋅= mL

� Fazendo:

=⋅GT

m =⋅

24� Constante de Torção.

⋅⋅=φ �� Ângulo de Torção.

Exemplo 6

� Um tubo de alumínio de seção retangular 5x10cm ésubmetido a um momento torçor de 3kN.m. Determine a tensão de cisalhamento em cada parede do tubo e o ângulo de torção, sendo L = 150cm, G = 9000kN/cm2.

4mm 3mm

Exemplo 6

� τ nas paredes AB e BC � t = 3mm = 0,3cm.

⋅⋅=

2 87,4465,965,4 cmAm =×=

111,43MPa 10311143

3,1114387,443,02

=××××=

Exemplo 6

� τ nas paredes AC e CD � t = 4mm = 0,4cm.

57,83 48,835787,444,02

10103 223

MPaN/cm ==××××=τ

⋅⋅=φ

( )542,96

417,83

87,4444 2

=×=×=∫

∫∫∫∫∫ +++=65,4

0 :sendo

Exemplo 6

� Ângulo de Torção

417,834,0

=+++=∫mL

97,2 052,0542,96109000

15010103 ≈=××

×××= radφ

Exemplo 6

Aplicação 1

� O sistema da figura é constituído por um eixo cheio de aço AB com diâmetro d = 38mm e tensão de cisalhamento admissível de 82MPa, e por um tubo CD feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48MPa. Determine o maior torque T que pode ser aplicado em A.

Aplicação 2

� Sabendo que cada um dos eixos AB, BC e CD consistem em barras circulares cheias, determine (a) o eixo no qual ocorre a tensão de cisalhamento máxima, (b) a intensidade daquela tensão.

Aplicação 3

� O eixo cheio mostrado na figura é feito de latão para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 55MPa. Desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine os menores diâmetros dAB e dBC para os quais a tensão de cisalhamento admissível não é excedida.

Aplicação 4

� Dois eixos cheios de aço são conectados por engrenagens conforme mostra a figura. É aplicado um torque de intensidade T = 900N.m no eixo AB. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 5MPa e considerando somente tensões devido àtorção, determine o diâmetro necessário para (a) o eixo AB, (b) o eixo CD.

Aplicação 5

� Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0m de comprimento (G=77,2GPa), se a barra deve ser girada em 30˚ sem exceder a tensão de cisalhamento de 82MPa.

Aplicação 6

� Os torques mostrados são aplicados nas polias A, B e C. Sabendo que ambos os eixos são cheios e feitos de latão (G = 39GPa), determine o ângulo de torção entre (a) A e B; e (b) A e C.

Aplicação 7

� Dois eixos cheios estão acoplados por engrenagens, conforme mostra a figura. Sabendo-se que G = 77,2GPa para cada eixo, determine o ângulo de rotação da extremidade A quando TA = 1200 N.m.

Aplicação 8

� Dois eixos cheios de aço (G=77,2GPa) são conectados a um disco de acoplamento B e engastados a suportes rígidos em A e C. Para o carregamento mostrado, determine (a) a reação em cada suporte, (b) a tensão de cisalhamento máxima no eixo AB, (c) a tensão de cisalhamento máxima no eixo BC.

Aplicação 9

� Sabendo que a intensidade do torque T é de 200N.m e que G=27GPa, determine para cada uma das barras de alumínio mostradas na figura a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção na extremidade B.

Aplicação 10

� Uma cantoneira de abas desiguais de aço de 1,25m de comprimento tem seção transversal L127x76x6,4. A espessura da seção é de 6,4mm e que sua área é de 1252mm2. Sabendo que τadm = 60MPa e que G=77,2GPa, e ignorando o efeito de concentração de tensões, determine (a) o maior torque T que pode ser aplicado, (b) o ângulo de torção correspondente.

Aplicação 11

� Um torque de 5,6kN.m é aplicado a um eixo vazado com a seção transversal mostrada na figura. Desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine a tensão de cisalhamento nos pontos a e b.

Aplicação 12

� Uma barra vazada tendo a seção transversal mostrada na figura éformada a partir de chapa metálica de 2mm de espessura. Sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 3MPa, determine o maior torque que pode ser aplicado à barra.

capítulo 6: torção - gdace.uem.br · pdf filebarra circular. o eixo deve...

Documents

congreso nacional del medio ambiente (conama 2012) · pdf...

mecânica dos sólidos i - gdace.uem.br · pdf filegere, j....

profissionais cadastrados no banco de · pdf filebarra...

capÍtulo 4: deflexÃo de vigas - gdace.uem.br · pdf...

manual de instrucciones importantepuede soportar el voltaje...

royale - startseite - tenne bad & · pdf filebarra royale...

thienkimreal.comthienkimreal.com/uploads/doc/34.pdf · -...

capÍtulo 3: flexÃo - gdace.uem.br · flexão pura : na...

capítulo 5 prof. romel dias vanderlei - gdace.uem.br...

torneado en general - · pdf filebarra de acero de 4xdc...

prefeitura de macaíba€¦ · em concreto fck = 40mpa e...

um breve resumo de aplicações - · pdf filebarra de...

general distribuidora s - · pdf filebarra equipotencial...

herramientas de torneado - · pdf filebarra de mandrinar...

a inimitável fábrica de jipes - gdace.uem.br · terceira...

redalyc.barra, barrios y poder en 'la komÚn' … filebarra,...

concreto armado - lem · •c35 fck = 35mpa alta...

capítulo 4 prof. romel dias vanderlei - gdace.uem.br...

maringá, novembro de 2018 - gdace.uem.br · após a...

para centros de fresado-torneado - · pdf filebarra de...