capítulo vii - forças em vigas e cabos
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Mecnica Geral Copyright (c) 2010
by John Wiley & Sons, Inc
Universidade Federal Fluminense EEIMVR - VEM Mecnica Geral I. L. Ferreira, N. Medeiros
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Introduo Definio de Vigas: So barras longas, retas e prismticas, capazes de
suportar cargas longas aplicadas em vrios pontos ao longo de seu comprimento.
Definio de Cabos: Componentes flexveis que suportam apenas cargas
trativas, distribudas ou centradas.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas 7.1.1 Tipos de carregamentos e vnculos externos
As cargas aplicadas ao longo da viga, em geral, so perpendiculares ao seu eixo. Assim, causam cisalhamento e flexo. Por outro lado, quando no formam 90 com a viga, produzem tambm carregamentos axiais de trao ou compresso.
Projetos de Vigas: Dois passos distintos; i. Determinao das foras cortantes e dos momentos fletores produzidos pelas cargas (Mecnica Geral); ii.Escolha da seo reta mais adequada para resistir aos esforos cortantes e momentos fletores obtidos no item anterior (Resistncia dos Materiais)
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7.1 Vigas Tipos de carregamentos Cargas Concentradas: A viga esquematizada abaixo suporta as cargas Q1 e Q2, atuantes nos respectivos pontos B e C da mesma. Portanto, tratam-se de cargas concentradas.
D A
Q1 Q2
B C
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
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7.1 Vigas Cargas Distribudas: A viga mostrada abaixo est submetida a uma carga w ao longo de seu comprimento. Assim, tal solicitao denominada carga distribuda. Caso, w seja constante, dita uniformemente distribuda sobre uma dada regio da viga.
C A
w
B
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
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7.1 Vigas Classificao de Vigas: As vigas, de acordo com o modo de vinculao, se classificam em:
A B A B
L L
L
(a) (b)
(c)
i. Vigas estaticamente determinadas: So aquelas em que vnculos externos impem at trs incgnitas. Exemplos destes casos so abaixo ilustrados,
L - Distncia entre os apoios, denominado vo.
(a) Viga simplesmente apoiada, (b) simplesmente apoiada em balano e (c) em balano.
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
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7.1 Vigas
A B B
L/2 L
L
(a) (b)
(c)
ii. Vigas estaticamente indeterminadas: So aquelas em que a vinculao fornece mais de trs incgnitas. Nestes casos, ser preciso considerar as propriedades da viga em termos de sua resistncia flexo. As ilustraes a seguir mostram estas condies:
L - Distncia entre os apoios, denominado vo.
(a) Viga contnua, (b) simplesmente engastada e simplesmente apoiada no outro e (c) em biengastada.
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
L/2
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7.1 Vigas
A B
B
iii. Vigas Acopladas por Articulao: formam uma nica estrutura contnua e as reaes por envolverem quatro incgnitas sero determinadas considerando-se os diagramas de corpo-livre de cada viga em separado. Assim, incluindo-se as componentes de fora na articulao, um total de seis incgnitas ser observado acompanhado por seis equaes de equilbrio. Exemplos de vigas combinadas so mostradas abaixo:
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
A
H
H C
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas 7.1.2 Foras Cortantes e Momento Fletor Considere a viga AB submetida a cargas concentradas (Q1, Q2 e Q3) e distribudas (w1 e w2).
A
Q1
C B
w1 Q2 Q3
w2
i. Determinao das reaes em A e B: Utiliza-se a viga inteira como corpo-livre, desta forma,
A
Q1
C B
w1 Q2 Q3
w2
RA RB
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Ou seja,
A
Q1
C B
w1 Q2 Q3
w2
RA RB
0= AM RA 0= BM RB
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas ii. Determinao das Foras Internas: A viga seccionada
em C para a construo dos diagramas de corpo-livre das partes AC e CB, conforme mostrado abaixo
A
Q1
C B
w1 Q2 Q3
w2
RA RB C
M M
V V Em AC:
0= YF Fornece a fora cortante V em C; 0= CM Fornece o momento fletor M em C;
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A
Q1
C B
w1 Q2 Q3
w2
RA RB C
M M
V V
De forma anloga, em CB: 0= YF Fornece a fora cortante V em C; 0= CM Fornece o momento fletor M em C;
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Conveno de Sinais: A fora cortante V e o momento fletor M, atuantes sobre um dado ponto da viga sero positivos quando as foras internas e os momentos que agem em cada parte da viga forem orientados como se segue:
Foras internas na seo (fora cortante e momentos fletor positivos)
M M
V V
Efeito das foras externas (fora cortante positiva)
C
C Efeito das foras externas (momento fletor positivo)
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas 7.1.3 Diagramas de Foras Cortantes e Momento Fletor Diagramas de fora cortante: Representao da fora cortante em qualquer ponto de uma viga.
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, de vo L e submetida a uma nica carga Q aplicada em seu ponto mdio D.
A
D B
Q
Diagramas de momento fletor: Representao dos valores de fora cortante em funo de uma distncia x, tomada a partir de uma das extremidades da viga.
L/2 L/2
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A
D B
Q
i. Determinao das reaes promovidas por cada vnculo: Construo do diagrama de corpo-livre para a viga inteira, ou seja,
RA = Q/2 RB = Q/2
C E
ii. Determinao da fora cortante V e do momento fletor M: A viga seccionada em C, entre A e D, e os diagramas de corpo-livre de AC e CB so construdos, ou seja,
A RA = Q/2
C
M
V D
B
Q
RB = Q/2
E
C
M
V
x
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Considerando o corpo-livre AC:
2:0 QVFY ==RA tende a cisalhar e fletir a viga no ponto C.
2:0 xQMMC == Representao grfica de V e M entre A e D:
L/2 x
y
Q/2
V = constante = Q/2
L/2 x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0; M = 0 x = L/2; M = QL/4
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Seccionando-se a viga em E, entre D e B, os diagramas de corpo livre AE e EB so esquematizados como se segue,
M
B RB = Q/2
E M
V x
A
D
Q
RA = Q/2
C E
L-x
V
Considerando o diagrama de corpo-livre EB: 2:0 QVFY == RB tende a flexionar a viga em E,
mas promove o cisalhamento oposto ao corpo-livre AC. ( ) 2:0 xLQMMC ==
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Representao grfica de V e M entre A e D:
L/2 x
y
Q/2
V = constante = Q/2
L/2 x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0 ou x = L; M = 0 x = L/2; M = QL/4
L
-Q/2 L
-
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas 7.1.4 Relaes entre Carga e Fora Cortante Considere a viga AB, simplesmente vinculada, que suporta a carga w por unidade de comprimento. Ainda, observe os pontos C e C separados pela distncia x.
A D
B
w
x
C C
x
-
Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas cortante ForaV =
Em C: Fletor MomentoM =
Supostamente positivos
cortante ForaVV =+Em C:
Fletor MomentoMM =+
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Diagrama de corpo-livre,
C C
M+M M
V V+V
x
x/2 0= YF( ) 0xwVVV =+
ento, xwV =
D i v i d i n d o - s e p o r x e aplicando o limite quando x tende a zero,
wdxdV =
Esta relao indica uma inclinao negativa para o diagrama de fora cortante de uma barra carregada de forma proposta.
wDx
w
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas A carga total aplicada numa parte da viga, por exemplo, entre os pontos C e D, pode ser calculada por:
Assim,
==D
C
D
C
D
C
X
XCD
X
X
V
V
dxwVVdxwdV
( )[ ]CDCD xxwVV =O termo entre colchetes ou a integral de wdx fornecem a carga total aplicada entre C e D, ou seja, denota a rea sob a curva de carga entre tais pontos.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
no vlida para pontos de carga concentrada, j que o respectivo diagrama de fora cortante descontnuo.
A equao,
=D
C
X
XCD dxwVV
no vlida cargas concentradas entre C e D, pois no considera a variao sbita de fora cortante em razo desta carga.
A equao,
=D
C
X
XCD dxwVV
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas 7.1.5 Relaes entre Fora Cortante e Momento Fletor Considerando novamente o diagrama de corpo livre para a regio CC,
C C
M+M M
V V+V
x
x/2 0' = CM
02xxwxVMMM =++
ento,
( )221 xwxVM =
wDx
w
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Dividindo-se por x e aplicando o limite quando x tende a zero,
VdxdM =
A fora cortante V nula quando o momento fletor M mximo; A inclinao dM/dx da curva do momento fletor igual fora cortante em pontos onde no h carga concentrada!
Considerando-se os pontos C e D:
=D
C
D
C
X
X
M
M
dxVdM
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas Assim, se V no constante,
=D
C
X
XCD dxVMM
A integral
D
C
X
X
dxV
fornece o momento fletor total entre os pontos C e D, ou seja, define a rea sob a curva de fora cortante entre tais pontos. Esta curva ser positiva onde a fora cortante for positiva e negativa para foras negativas.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.1 Vigas A integral
D
C
X
X
dxV
vlida para cargas concentradas entre C e D se a curva de fora cortante for traada de forma correta.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos 7.2.1 Cabos com Cargas Concentradas Considere o cabo flexvel abaixo, preso nos pontos A e B, e sujeito s cargas verticais Q1, Q2 e Q3.
d y3 y2 y1
L
x1
x2
x3
Qualquer parte do cabo entre cargas sucessiva considerada um elemento submetido duas cargas!
As foras internas, em qualquer ponto do cabo, so reduzidas trao tangente a tal ponto.
C1 C2 C3
BA
Q1 Q2 Q3
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos O objetivo determinar a forma do cabo, ou seja, a projeo vertical da distncia de A at os pontos C1, C2 e C3 e tambm a trao T atuante em cada poro do mesmo.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos Portanto, preciso construir o diagrama de corpo-livre para todo o cabo, ou seja,
d y3 y2 y1
L
x1
x2
x3
C1 C2 C3
BBx
By A
Ay
Ax
Q1 Q2 Q3
Isto envolve 4 incgnitas e, j que se podem escrever apenas trs equaes de equilbrio, o sistema se torna indeterminado. A soluo considerar o equilbrio de uma determinar poro do cabo.
Como no se sabe as declividades das partes do cabo presas em A e B, as reaes em A e B so r e p r e s e n t a d a s p e l a s respectivas componentes Ax, Ay, Bx e Bz.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos Conhecendo as coordenadas x e y do ponto D, o diagrama de corpo-livre para a poro AD do cabo ser,
y
x1
x
C1
A
Ay
Ax
Q1
A projeo vertical de A at qualquer ponto do cabo pode ser determinada como se segue. Por exemplo, considerando-se o ponto C2 e constituindo-se o diagrama de corpo-livre da parte AC2, tem-se que,
Assim, a relao adicional para determinao das reaes em A e B, entre Ax e Ay fornecida por:
T
D
0= DM
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
y2
x1
x2
C1
A
Ay
Ax
Q1
Fornece y2
T
D
02= CM
C2 Q2
Trao T
0= xF
0= yFMas,
xAT = cos ou xAT =cosou seja, a componente horizontal de T a mesma em qualquer ponto do cabo.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos 7.2.2 Cabos com Cargas Distribudas Considere o cabo abaixo fixado nos pontos A e B e que suporta um carga distribuda.
O cabo forma uma cruva e a fora interna em um ponto D uma trao T d i r ig ida ao longo da tangente curva.
O objetivo determinar a trao em qualquer ponto no cabo e, para tanto, constri-se o diagrama de corpo-livre para o ponto mais baixo C e um dado ponto D.
A
C D
B
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos 7.2.2 Cabos com Cargas Distribudas ento,
Foras atuantes no corpo livre:
C D
B
T
TO
TO
W
W T
i. Trao TO em C, a qual horizontal; ii. Trao T em D, tangente ao cabo; iii. Resultante W da carga distribuda suportada pela
posio CD do cabo.
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Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos
7.2 Cabos A partir do tringulo de foras pode-se escrever,
TO
W T
cosTTO = ; = senTW ; 22
OWTT += e
OTWtg =
A componente horizontal de T, ou seja, TO, a mesma ao longo do cabo; A componente vertical de T igual ao mdulo W da carga.
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