carichi critici aste compresse - unife · matrice dei coefficienti 1. risulta conveniente...
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Il carico critico Euleriano si scrive come
Dove ℓ0 è la lunghezza libera di inflessione
Carichi critici aste compresse
02
2
l
EIPE
π====
χl
l ====0
21
====π
αχ l
Coefficiente adimensionale che riflette
l’influenza dei vincoli
αααα1 è la più piccola radice dell’equazione che si
ottiene ponendo = 0 il determinante della
matrice dei coefficienti1
Risulta conveniente considerare la tensione ottenuta dividendo per
l’area della sezione trasversale
Dove il raggio di inerzia è
Snellezza
02
22
02
2
ll
ρππσ E
A
EIAPE
E ============
I====ρAI====ρ
PoniamoIA
χρλ ll
======== 0Snellezza, adimensionale,
esprime la geometria della
sezione, lunghezza trave, e
condizioni di vincolo Si ha
2
2
λπσ E
E ====
2
Se si considera la deformabilità assiale il carico critico cambia
Per esempio nel caso della trave doppiamente incernierata
Influenza della deformabilità assiale sul carico
critico
⇒++++====++++==== EE
E PEA
EIEIEAPEI
P2
2
2
2
2
2
)1(lll
πππ
2 1π EI22
2
1
1
−−−−====
λπ
πl
EIPE
il carico critico cresce rispetto a quello calcolato
senza deformabilità assiale, ma in modo molto
lento al crescere della snellezza ed in modo
marginale per aste tozze
Per esempio se λλλλ=30 (valore attendibile per molte
travi) PE cresce solo dell’ 1% 4
In tal caso, utilizziamo la cinematica della trave deformabile a taglio
di Timoshenko
-la rotazione φφφφ non coincide con v’
-Le variabili cinematiche sono lo spostamento trasversale della linea
media v(x) e la rotazione φφφφ
le equazioni di equilibrio nel caso di soli carichi assiali si scrivono
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
le equazioni di equilibrio nel caso di soli carichi assiali si scrivono
come (A* è l’area ridotta a taglio)
Dove le equazioni costitutive sono
0))()(()(
0)())()((
*
*
====−−−−′′′′++++′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′−−−−′′′′′′′′
xxvGAxEI
xvPxxvGA
ϕϕϕ
)())()('()(),(')( * xvPxxvGAxTxEIxM ′′′′−−−−−−−−====−−−−==== ϕϕ5
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
dopo opportuni passaggi si perviene alla seguente equazione di
Con riferimento ai casi riportati in figura dove il taglio T(ℓ)=0,
dopo opportuni passaggi si perviene alla seguente equazione di
equilibrio
+condizioni al contorno (LC III pag 226)
OSS: l’equazione differenziale di equilibrio ha la stessa struttura
dell’equazione di equilibrio della trave non deformabile a taglio
dunque i valori di αααα per cui si perde l’unicità della soluzione sono gli
stessi ma cambia il valore del carico critico in quanto l’espressione
di αααα in funzione di P è cambiata
0)()( 2 ====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ xvxv α)1(
*
2
GAP
EI
P
−−−−====α
6
Risolvendo il problema agli autovalori associato all’equazione di
equilibrio differenziale si ha che la prima radice sarà αααα1 tale che
αααα1
2 =χ(π/ℓ)2
Risolvendo per PE si ha il carico critico
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
2
21
1EI
EIPE
α
α
++++====
Ponendo
Il carico critico si esprime come
*
211
GAEIE
α++++
20*
22
*
2
ll GA
EI
GA
EI πχπβ ========
22
2
2
,1
11 ll
EIPdoveP
EIP EFEFE χπ
ββχπ ====
++++====
++++====
7
Spesso si utilizza l’espressione
OSS: essa è valida per i casi vincolati con V(ℓ)=0
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
*
1GA
P
PP
EF
EFE
++++====
OSS: essa è valida per i casi vincolati con V(ℓ)=0
Tuttavia possiamo dire che si tratta di una condizione
verificata anche per l’asta incernierata
8
Si dimostra che essa è valida anche nel caso seguente
Dove il taglio potrebbe esserci ma si annulla in
corrispondenza della deformata critica
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
Mentre la formula precedente non vale nel caso incastro-
appoggio
9
In definitiva si utilizza la formula in tutti i casi
Tenendo conto che è approssimata, oppure si utilizza la
definizione della tensione corrispondente
Influenza della deformabilità tagliante sul
carico critico
EFE PPβ++++
====1
1
definizione della tensione corrispondente
Oss: Si osservi che PE <PEF
βλλλ
πσ ++++======== 12
2eq
eqE
E
10
Nel caso di vincoli cedevoli elasticamente occorre
cambiare le condizioni al contorno per tener conto della
presenza delle molle
Aste vincolate elasticamente
Per esempio per la trave in figura le condizioni al contorno
sono
0)()()(
0)(,0)0(,0)0(
2 ====−−−−′′′′++++′′′′′′′′′′′′
====′′′′′′′′====′′′′′′′′====
lll
l
vEIk
vv
vvv
α
11
Aste vincolate elasticamente
Il determinante della matrice associata al problema agli
autovalori relativo al calcolo dei carichi critici si annulla
per
La più piccola soluzione significativa è
EIk
dove3
2 0sin))((l
ll ========−−−− βαβα
),min(πβα ====La più piccola soluzione significativa è
Il carico critico corrispondente è
≥≥≥≥
≤≤≤≤====
22
2
22
πβπ
πββ
seEI
seEI
PE
l
lRotazione rigida
k <<
k suff. elevato
),min(1ll
α ====
12
Esistono in letteratura molte soluzioni per casi particolari
Si segnala in particolare la soluzione di Newmark per il
caso della trave con cerniere elastiche
Aste vincolate elasticamente
22
l
EIPE χπ====
Formula di Newmark
Per ogni valore di Ko e KL la formula di Newmark comporta
un’approssimazione < 4%
ll LL
L
L
KEI
KEI
con ========++++++++++++++++==== µµ
µµµµ
χ ,)2.0)(2.0(
)4.0)(4.0(
00
0
0
l
13
Consideriamo il telaio in figura
La trave può essere vista come una molla
flessionale di rigidezza 3EIt/ℓ
Esempio con aste vincolate elasticamente
ll LL
L
L
KEI
KEI
con ========++++++++++++++++==== µµ
µµµµ
χ ,)2.0)(2.0(
)4.0)(4.0(
00
0
0
pt
tp
pL
pL
t
tL I
I
K
EIEIK
l
l
ll 3,
3============ µ
0,0 ====∞∞∞∞==== LK µ
14
Per ℓt=0.6ℓp, It=4Ip, si ha µµµµL=0.15
Esempio con aste vincolate elasticamente
222 020.31143.3143.3
)15.02.0)(2.0()15.04.0)(4.0(
p
p
p
pE
EIEIP
ll========⇒====
++++++++==== πχ
pp
ll
l 564.00 ========χ p0 χ
ℓp=5m, sezione circolare cava, raggio medio R=45mm, spessore
b=5mm
Se la molla in sommità sparisce e rimane solo la cerniera il carico
critico è dunque il 54% inferiore allo schema attuale
MNPMPam EE 366.0,6.2587.88,82.20 ================ σλl
MNPE 238.0====
15
Aste di sezione variabile o soggette a carichi
distribuiti (pile da ponte)
Se esiste un carico assiale distribuito (forza peso) oppure
la sezione trasversale varia, allora la soluzione del
problema agli autovalori generalizzato associato alla
valutazione dei carichi critici si complica notevolmente,
poiché lo sforzo assiale N dipende da x 16
Aste di sezione variabile o soggette a carichi
distribuiti (pile da ponte)Consideriamo dapprima il caso della trave soggetta a
carico assiale uniforme n costante
Lo sforzo normale è )1()(0
ll
xnxN −−−−−−−−====
L’equazione di equilibrio
diventa
0)()( 000 ====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′ vNvNvEIvNvEI
0)1(
0)()( 000
====′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′
====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′
vnvx
nvEI
vNvNvEIvNvEI
ll
+ condizioni al contorno
0)(,0)(,0)0(,0)0( ====′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′====′′′′==== ll vvvv
Risolvendo il problema il carico critico è 3
837.7l
EInE ====
17
Aste di sezione variabile o soggette a carichi
distribuiti (pile da ponte)
Consideriamo il caso della pila da ponte di
sezione variabile con inerzia espressa dalla
legge
dove I0 è il momento di inerzia all’incastro e k
è una costante >=1
l
l
kxk
IxI−−−−==== 0)(
è una costante >=1
Per ogni k di interesse, si può determinare la più piccola
radice ββββ1 del polinomio caratteristico del tipo
Cui corrisponde il carico critico nella forma 412 −−−−==== pkβ
)41
(1
, 12
220 β++++========
kpdove
EIpP EEE
l
18
Aste di sezione variabile o soggette a carichi
distribuiti (pile da ponte)
I risultati relativi ad alcuni valore del rapporto Iℓ/I0
Sono indicati nella tabella sottostante
Per k�∞ si ritrova pE=ππππ2/4 relativo all’asta di sezione costante
19
Trave su suolo elastico
Consideriamo il problema agli autovalori generalizzato
associato al problema della stabilità dell’equilibrio nel
caso di strutture discrete o rese discrete mediante un
procedimento di discretizzazione (e.g. elementi finiti,
oppure altri metodi variazionali) , dopo avere definito il oppure altri metodi variazionali) , dopo avere definito il
vettore V di gradi di libertà
KE: matrice di rigidezza elastica ((semi-)definita positiva)
KG: matrice di rigidezza geometrica ((semi-)definita positiva)
p: moltiplicatore dei carichi
0====−−−− VpKVK GE
20
Trave su suolo elastico
Nel caso della trave su suolo elastico, ci si può
ricondurre al problema agli autovalori generalizzato
nella forma
approssimando il campo di spostamento mediante le
0====−−−− VpKVK GE
approssimando il campo di spostamento mediante le
autofunzioni
l
xnAv
N
nn
πsin
1
*∑====
====
21
Trave su suolo elastico
Con riferimento alla trave in figura, l’EPT al II ordine si
scrive
Sostituendo v* si ha
dxkvvPEIvv )(21
)( 22
0
2'' ++++′′′′−−−−==== ∫l
Π
N nn 241 l ππ
∑====
++++
−−−−
====N
nn k
nP
nEIAv
1
242
221
*)(ll
l ππΠ
22
Trave su suolo elastico
I valori di Pn
che verificano la condizione di
stazionarietà della EPT (e la corrispondente deformata
vn) per cui il corrispondente An
può essere ≠0 sono
xnAv
knEIP
ππsin
2
====++++
====
Poniamo
Si ha che
l
l
l
xnAv
n
knEIP nnn
ππ
πsin
2====
++++
====
EI
k
EI
Pp
4
4
2
2
,π
βπ
ll ========
22
nnpn
β++++====23
Trave su suolo elastico
EI
k
EI
Pp
4
4
2
2
,π
βπ
ll ========
Il tratto pieno
indica il carico
critico
22
nnpn
β++++====
ℓ2
critico
La spezzata a tratto pieno indica il minimo dei pn quindi indica il carico
critico; al crescere di b cresce il nr. di semionde della deformata critica
Oss: analogia trave su suolo elastico con lastra compressa nel piano…..24
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