carregamento de amplitude variável deformação-vida ( x n) 6- fadiga... · carregamento de...
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Carregamento de Amplitude Variável
Prof. Dr. José Benedito Marcomini
NEMAF – Núcleo de Ensaio de Materiais e Análise de Falhas
Deformação-Vida ( x N)
DEFINIÇÕES E CONCEITOS
Descrição do Ciclo de Carregamento
Tensão,
max
min
Tensão média, m
Amplitude de Tensão, a Intervalo de Tensão,
a = (max - min )/2 m = (max + min )/2
= (max - min ) R = min / max
A = a / mRAZÃO DE AMPLITUDE
Repetição ou Variação de Carga
Tempo
Cargas em
solo
Te
ns
ão
Média em terra
Vôo médio
Carregamento
em vôo
Estudo do Espectro de Tensão Aplicada S
tress
Nível de Tensão S1
Nível de Tensão S2
Nível de Tensão S3
Nível de tensão S4
Frequencia dos Níveis de tensão Aplicados
n1 Ciclos de níveis S1
n2 ciclos de
níveis S2
ni ciclos de
níveis Si
n3 ciclos de
níveis S3
Dados S - N para vários níveis de tensão
N1 Números de ciclos para falhar se o componente é submetido
a somente S1 e assim por diante, sendo Ni Números de ciclos para
falhar se o componente é submetido a somente Si N
ível d
e T
en
são
Núm. De ciclos para falhar, N
N1
S1
Ni
Si
O dano acumulado total devido a uma história de
tensão aplicada
Assim, a fração de dano causado por Si em 01 ciclo
D
i =
1
Ni
k
k
3
3
2
2
1
1
i
i
1
i
N
n+.......
N
n
N
n
N
n=
N
nDD
n
A falha irá acontecer se
1N
nD
i
i Regra de Palmgren – Miner
ou regra de Miner
Comentários sobre a regra de MINER
- Modelo linear de dano acumulado.
- Não leva em conta a seqüência de aplicação de cargas ou tensões
Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para sequências de
alta para baixa tensões e de baixa para alta tensões. Na práticas
estas histórias de carregamentos apresentam diferentes danos.
-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível de
tensão.
Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá em
poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda vida é
gasta para nucleação.
Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N
n1
N´1 N1
S1
Ciclos para falhar (escala log)
Am
pl. d
e T
ensão
(escala
log)
Curva S-N original
Curva S-N após a aplicação
das tensões S1 por n1 ciclos
N´1= (N1 -n1) é o novo valor de vida no nível S1 após ter sido
submetido a n1 ciclos.
N´2 N2
S2
Ciclos para falhar, (escala log)
Am
plit
ude d
e t
ensão
(esca
la lo
g)
Curva S-N original
Curva S-N após a aplicação
de S1 por n1 ciclos
Se o nível S2 é aplicado, o componente falhará em N´2
ciclos, ao invés de N2.
Implementação da regra de Miner
1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a
estrutura;
2. Espectro de tensão:
Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o número de
ocorrências em uma unidade de operação (tal como dia, hora, ano, vôos,
etc.)
3. Analise a geometria do componente para Kt , etc.;
4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao Kt e
níveis de tensão.
5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação usando a
regra de Miner.
Exemplo da Implementação da regra de Miner
Um componente aeronáutico, sem entalhe e previamente sem
tensões, fabricado de liga de Al é submetido a uma tensão
alternada de 207 MPa e uma tensão média variável como segue:
m = 0 para 10 ciclos/vôo
m = 69 MPa para 6 ciclos/vôo
m = 138 MPa para 3 ciclos/vôo
m = 207 MPa para 0,2 “
m = 276 MPa para 0,1 “
m = 345 MPa for 0,05 “
Os dados S-N para o material sem entalhe é dado no diagrama.
a) Estime a vida em fadiga em número de vôos.
b) Usando um fator de espalhamento de 3 (coef. de
segurança), estime a vida segura em vôos se a média de vôo é de
45 min.
Solução:
a
MPa
m
MPa
No. of Ocorr. por voô, n
No.de ciclos para falhar, N
[n/N] (106)
207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30)
0 69 (10) 138 (20) 207(30) 276(40) 345(50)
10 6 3
0,2 0,1
0,05
955.000 272.000 103.000 46.400 23.700 13.200
10,4712 22,0588 29,1262 4,31034 4,21941 3,78788
(n/N) 73,9738
A partir do espectro de tensões
Da curva S-N
-
Continuação:
Dano por vôo, Df = (n/N) = 73,9738 x 10-6
DanoTotal na vida, D =(Dano por vôo) x (Núm. de vôos)
Falha ocorre quando D =1
D =1 = 73,9738 x 10-6 x (Num. de vôos) =1
Num. de vôos estimados para falhar = 13.515
Num. de vôos seguros = 13.515/(fator de espalhamento)
Num. de vôos seguros = 4.505
Num de horas de vôos seguros = 4.505 (45/60)= 3.378 Hr.
Teoria do Dano Não Linear
Para superar os problemas na regra de Miner
-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do material e
de geometria que devem ser obtidas a partir de ensaios.
- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo pode
ser trabalhoso.
- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner em
alguns históricos de carregamentos simples, mas não é garantia de
que ela funciona melhor do que a aplicação real da historia de
carregamento real.
Descricão geral das teorias não lineares:
D
n
N
p
O exponente, p, é função do nível de tensão.
Geralmente, 0 < p < 1
para p =1, recorre-se a regra linear do dano de Miner
Alta - BaixaD
ano,
D
0
1
0 1Razão de ciclos, n/N
S1
S2
•
•
•
n1/N1
n2/N2
A
B
Baixa - Alta
DBDB
Dano,
D
0
1
0 1Razão de ciclos, n/N
S1
S2•
• •
n1/N1
n2/N2
A
B
Dano DB no final dos blocos de carregamentos são diferentes.
S2
••
n1 n2
0
A B
S1
t•
•
S2
• •
n2 n1
0 A B
S1
t
(c)
EXEMPLO
Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-
4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com uma
história de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições
necessárias para causar a falha do componente.
Constantes para a curva S-N para materiais estruturais -CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)
S = 'f (2Nf)b = A(Nf)
b a=C+D logNf Materiais Sy Su
'f A b C D
Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica)
227 322 683 1584 1103
415 557 758 1757 1172
976 1089 938 1937 1758
886 1006 897 1837 1643
-0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977
545 703 780 1529 1247
-69.6 -83.0 -68.9 -148 -137
Liga de Al 2024-T4
303
476
900
839
-0.102
624
-69.9
Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida)
1185
1233
2030
1889
-0.104
1393
-157
(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa. Os dados são para fadiga de alto ciclo 10
3 < N < 10
6
A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando ahistória retorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos: A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível.
A2-B2-A3
A3-B3-A4
O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.
C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos serem formados.
Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estesforam o maior ciclo que pode ser formado.
Ciclo j Nj min
MPa
max
MPa
a
MPa
Nfj Nj/Nfj
A-B
C-D
A-E
1
2
3
3
100
1
130
-140
-250
950
560
950
410
350
600
4,21X104
1,14X106
6,75X103
7,12X10-5
8,74X10-5
1,481X10-4
3,068x10-4
As constantes ’f e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT
b
f
a
f
b
ffa
N
N/1
max
maxmax
2
1
)0.(..........)2(
A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :
repetições 3259 3,068x
1
1N
nD
10B 4-f
i
i
B f
Tensão Equivalente e Fator de segurança
Um procedimento alternativo é o calculo de um nível de tensão equivalente,
de amplitude constante que cause a mesma vida que a história de
carregamento de amplitude variável, se aplicada para o mesmo número de
ciclos.
Considere:
NB = ciclos da história de carregamentos;
Nf = ciclos para falhar = Bf x NB;
Para cada ciclo uma ar equivalente pode ser considerada a partir do par
amplitude de tensão e tensão média;
Tratar cada ciclo individualmente, de maneira que Nj = 1 e substitua os valores de
Nfj na primeira equação, obtendo:
f
arjbff
N
b
fjar
j fj
j
f
NN
NN
BB
/1
1
2
1
1
2
b
k
jB
b
arjjaq
b
jB
b
arjaq
b
ffaq
b
jB
b
arj
b
ff
b
j f
arj
B
f
NNN
N
NNNN
N
NN
B
BB
1
/1
1
/1
1
/1
/1
1
2
1212.
Para determinação do fator de segurança, a mesma lógica apresentada
pode ser aplicada, sendo a agora aq e a curva S-N sendo dada por:
bffaq N2
XX
N
NX
b
NS
aqaq
f
N
)ˆ........(ˆ
2
)ˆ........(ˆ
1NNX f
aq
aq
S
Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo o
carregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhado
fabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetições
necessárias para falhar o CP.
j Nj min max a m Nfj Nj/Nfj
1
2
1
10
0
220
800
800
400
290
400
510
1,36 x 105
1,54 x 106
7,37 x 10-6
6,51 x 10-6
b
mf
a
f
ma
N
/1
minmaxminmax
2
1
2.................
2
’f= 1758 MPa e
b = -0,0977
repetiçõesxN
BNN
B fj fj
j
f
B
..000.72388,1/11 105
1
Considere a história de carregamento anterior e:
a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com
amplitude constante.
b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições,
qual o fator de segurança em vida e em tensão?
j Nj min max a m arj Nj x (arj)-1/b
1
2
1
10
0
220
800
800
400
290
400
510
517,8
408,5
6,036 x 1027
5,330 x 1027
MPax
bk
jB
b
arjjaq NN 8,435]11/137,1[ )0977,0(28
1
/1
10
000.7211
300.792
300.7921758
8,435
2
1
2
12
0977,0/1/1
f
f
f
b
f
aq
f
b
ffaq
NB
NN
Substituindo este valor em e calculando Nf:
O fator de segurança pode ser calculado como:
52,1
0,72100011
300.792
72
ˆ0977,0
2
XX
N
NX
b
NS
f
N x
Deformação - Vida Vs. Tensão Vida
100 103 106 N
Tensão
Metodologia
Def. - Vida Metodologia
Tensão - Vida
Fadiga de
baixo ciclo(FBC)Fadiga de alto ciclo
FAC
Tensão Nominal Vs Tensão Local
n
L
Carregamento
Descarregamento
Descarr. (Local)
Descarr. (Nominal)
Ainda que a tensão nominal esteja dentro do intervalo elástico, a tensão
local nos entalhes pode ser mais alta que o limite de escoamento.
A região do entalhe experimenta deformação permanente no
descarregamento (Zona plástica).
•
Tensão
Nominal n
Tensão
Local
L
Comportamento do Material
d0 l0
A0
Antes do Carreg.
A
l
d
Após Carreg.
Tensão Tensão de Eng. S = P/A0
Tensão Verd. = P/A
d0 l0
A0
Antes do Carreg.
A
l
d
Após Carreg.
Deformação
0
e Eng. de Def.l
ll
l-l
0
0
0
lnd
Verdadeira Def.
0l
l
l
ll
l
Comportamento do Material
Def. de Eng. & Def. Verdadeira
Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.
Te
nsã
o d
e E
ng
. , S
Te
nsã
o V
erd
. ,
Sy
Def. de Eng. , e
Def. Verd. ,
E=S/e
x
x
Falha
Emp. acontece
em Su
Eng. S-e
Verd. -
f
ln 1 e
SA0
AS 1 e
f
Relação Monotônica entre Tensão-Def.
Descarregamento.
elástico
E E
•P
pe
t
Def. total t
Def. Elast. e
Def. Plast. p
t= e+ p
e=/E
Deformação Plástica
1.0
H
n
Lo
g T
en
sã
o V
erd
, (l
og
)
Log Def. Plast, (logp)
H – Coeficiente de resistência
n - Expoente de encruamento
p
n
n
p
nH
Hor
H
logloglog
1
p
Deform. Elástica, Plástica & Total
pet
p
e
Total
HPlástica
EElástica
n1
n
1
H
E
t
Relação tensão – Def.
De Ramberg-Osgood
Comportamento Cíclico dos Materiais
Laço de histerese:
Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos
a =/2 = amplitude de def.
a = /2 amplitude de tensão
e - parte elástica
p – parte plástica
2
e
2
p
2;
e
E
pe
E
Comportamento Transiente – Encruamento
+
-
Tempo
1
2
3
4
5
(a) Amplitude de deform. Const.
135
2
4
Tempo
1
2
3
4
5+
-
(b) Resposta da tensão
(aumentando o nível de tensão)
(c) Resposta Tensão-Def.
Comportamento Transiente – Amolecimento
+
-
Tempo
1
2
3
4
5
Tempo
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
(a) Ampl. De def. cíclica
(b) Resposta Tensão
(diminuindo o nível de tensão)
(c) Resposta cíclica tensão-def.
Encruamento Vs. Amolecimento
amolece teciclicamen material
0,1nou
12,1/ Se
endurece teciclicamen material 0,2nou
4,1/ Se
u
y
yu
Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.
Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e
de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto
se o material irá encruar ou amolecer.
n
1
H
E
tonde, n é dado por
Laço de Histerese do Cobre
Laço de Histerese estabiliz.
em =0.0084
Material exibe endureci-
mento na condição de
recozido.
Laço de histerese
estabilizado em =0.0078
Material exibe amolecimento
Cíclico na condição
parcialmente recozido
Laço de Histerese do Cobre
Laço de histerese estab.
em =0.0099
Material exibe amolecimento
cíclico na cond. de traba-
lhado a frio.
Laço de Histerese do Cobre
- Aplicar uma amplitude de def. de
/2.
- O transiente de tensão é seguido de
um laço de histerese estabilizado
- Estabeleça o laço de histerese
estabilizado para este nível de def.
- Repetir o procedimento com uma
diferente amplitude de def.
- Unir as pontas dos laços de histerese
estabilizados.
- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.
Determinação da Curva Tensão-Deformação Cíclica
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
n1
H'Plast, Def.
E, Elast. Def.
Total Def.
p
e
pet
np' H
H' – Coef. de Resist. cíclica
n' - Expoente de encruamento cíclico.
n
1
H'E que maneira De
t
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
1.0
H'
n'
Lo
g T
en
sã
o c
íclic
a, (l
og
)
Log Def. Ciclica, (logp)
p
n
p
ou
lognH'loglog
H'
H'
n1
p
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
Hipótese de Masing:
- Para materiais exibindo comportamento simétrico
em tração e compressão.
-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir
da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.
- Dobrar os valores de tensão e def. da curva
estabilizada da curva tensão- def. cíclica.
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica, obter o
ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao ponto A na
curva T X Def. cíclica
Curva tensão - def.
cíclica estabilizada
0.002
270A
(a)
540
0.0040
Curva de histerese
estabilizada
B
(b)
=0.004
= 540
0
Laço de histerese
estabilizadaB
(c)
EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE
Seguindo a hipótese de Masing:
n
1
H'E Relembre
t
2
2/2
/2
Eq. da
histeresen
1
n
1
2H' 2
E
2H'2E2 que maneira De
Curvas Deformação-Vida
Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira
(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados
linearmente na escala log-log,
2N2
b
ff
ciclo) 2
1 reverso um (falhar para reversos 2N f
ff fadiga, a a verdadeirresist.
fadiga a resist. de expoente b
fadiga a resist. de coef. f Propriedade de fadiga
do material
Curvas Tensão-Deformação
Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (p-N) podem
ser, também, linearizados na coord. log-log. (Coffin-Manson)
f
2N2
c
f
p
plástica def. de amplitude 2
p
fadiga em edutillidad de expoente c
fadiga. em dutilidade de coef. f Propriedade de
Fadiga do material
f
f
ciclo) 2
1 reverso um (falhar para reversos 2N f
Como podemos relacionar a vida a Ampl. De Def. Total /2?
(2.39) 2E
2
22
2 Relembre,
e
pe
Relação
Def-vida
(2.41) 2N2NE
2
(2.40) 2NE2
2.39 & 2.37 De
c
ff
b
ff
b
ffe
elástica plástica
Curvas Tensão-Deformação
As equações apresentadas são lineares no plano log-log
bffe N2
E2
'
2Nf100
Ef ' b
2
e cff
pN2
2'
2Nf100
'f
c
2
p
Def. – Vida Elástica Def. – Vida plástica
Vida de Transição
Plástica
e/2
p/2
/2
2Nf
Dominante
Elástica
Dominante
plástica
TotalElástica
2Nt
22 :2N2N Em
petf
f'
E2N
t
b
f' 2N
t
c
2Nt
f' E
f'
1bc
Def.
Total
Def.
ElásticaDef.
Plástica
600100
106
100
2N
t
Aços
BHN
Duro 2Nt é pequena – mais de 2Nf é elástica
Mole 2Nt é grande – mais de 2Nf é plástica
2Nt
e/2
p/2
/2
Vida de Transição
Resistência e Dutilidade
Normalizado (material dútil)
Temperado (material duro)
Dútil tem melhor vida em alto
Duro tem melhor vida em baixo
2Nf , log
/
2, lo
g
100 108
100
10-4
Propriedades de Fadiga
1. Nem todos os materiais podem ser representados por equações
de quatro parâmetros (i. e., ligas de Al & Ti)
2. Parâmetros obtidos pelo ajuste da curva – portanto, a acuracidade
depende dos números de pontos usados ou disponíveis.
3. Parâmetros aplicáveis à um dado intervado de dados – fora do
intervalo pode dar um grande erro
4. Conveniência estritamente matemática – sem base física.
b, c, f´, f´: Constantes empíricas
Relação: H´ = f´/( f´)n’
n´ = b/cTensão-Def. Cíclica
Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem ser
obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades
monotônicas”
f´ f f Su + 50 ksi para aços com BHN < 500
Su+345 [MPa]
b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085
( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)
f´ fRA-1
1ln onde f
c varia entre – 0.5 to – 0.7
Para metais mutio dútil c - 0.6
Para metais muito resist. c - 0.5
Propriedades de Fadiga
Exemplo
A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-Def.
Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def. –
vida)
Dados monotônicos: Sy=158 ksi E = 28.4103 ksi
Su=168 ksi f = 228 ksi
%RA = 52 f = 0.734
50
68
122
256
350
488
1,364
1,386
3,540
3,590
9,100
35,200
140,000
162.5
162
155
143.5
143.5
136.5
130.5
126.5
121
119
114
106
84.5
0.0393
0.0393
0.02925
0.01975
0.0196
0.01375
0.00980
0.00980
0.00655
0.00630
0.00460
0.00360
0.00295
Reversos para
Falhar, 2Nf
Ampl. De tensão
/2 (ksi)
Ampl. de
Def. Total,
/2
Ampl. Def. Plástica,
p/2*
0.0336
0.0336
0.0238
0.0147
0.0145
0.00894
0.00521
0.00534
0.00229
0.00211
0.00059
0.00000
0.00000
p
2
2
e
2
2
2E
2
f' 2N
f
b
p
2
f' 2N
f
c
f' 222 ksi b - 0.076
f' 0.811 c - 0.732
c
log 2Nf
log
p
/2
b
log 2Nf
log
/2
Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)
n'
p
p
H'
2 plástica, def. ampl. a
e 2
entre, potência de curva uma ajuste (A)
H´ = 216 ksi n´=0,094
y = 0,0939x + 2,6081
2,32
2,34
2,36
2,38
2,4
2,42
2,44
2,46
2,48
2,5
2,52
2,54
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
Série1
Linear (Série1)
n
1
H'2
1
2E2
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
1 100 10000 1000000
Def. Elástica
Def. Plástica
Def. Total
Potência (Def.
Plástica)
Potência (Def.
Elástica)
Reversos para falhar, 2Nf
Am
pl. d
e D
ef. , /
2
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