carregamentos combinados - unb
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Carregamentos Combinados
Mecânica Dos Materiais II
Universidade de Brasília – UnB
Departamento de Engenharia Mecânica – ENM
Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA
ÍNDICE
•Revisão sobre vigas
•Revisão de Propriedades geométricas de uma área
•Esforços Normais
•Esforços Cisalhantes
•Esforços Fletores
•Esforços Torsores
•Carregamentos Combinados
Revisão: VigasSaber determinar de maneira correta os esforços cortante, fletor, normal e torsor atuantes
São de fundamental importância para determinação do estado de tensões no ponto
•Estabelecer um eixo de coordenadas
•Calcular as reações nos apoios (DCL)
•Secionar a viga perpendicular a seu eixo em uma distância X
•Desenhar o diagrama de corpo livre dos segmentos
•Certificar-se que V e M sejam mostrados no sentido positivo segundo a convenção:
•A força cortante é obtida somando as forças perpendiculares ao eixo da viga
•O momento é obtido somando-se os momentos em torno da extremidade secionada
•Esquematizar os diagramas V x X e M x X
•Caso haja esforços normais e torção realizar o mesmo procedimento anterior
Revisão: Vigas
Corte A
Corte B
PQ
Revisão:Propriedades geométricas de uma Área
Centróide: ponto que define o centro geométrico de uma área
=
A
A
dA
xdA
x
=
A
A
dA
ydA
y
=A
xdAAx
=A
ydAAy
Apêndice A HIBBELER
A
dAxx
=
~
A
dAyy
=
~
Áreas compostas: desde que a área e a localização do centróide de cada parte da figura sejam
conhecidas:
yex ~~
( ) ( )( ) ( )
55,8
83210
835,112105
=
+
+=
=
A
Ayy
( ) ( )( ) ( )
55,8
3102813
310528135,6
=
−
+=
=
A
Ayy
Revisão:Propriedades geométricas de uma ÁreaApêndice A HIBBELER
=A
x dAyI 2Momento de inércia: =A
y dAxI 2
Figura A5 pag 613
HibellerMomento de inércia polar: yx
A
IIdArJ +== 2
0
Teorema dos eixos paralelos: se o momento de inércia de uma área em torno de um eixo for
conhecido, pode-se determinar o momento desta área em torno de qualquer eixo PARALELO
2AdyII xx +=
2AdxII yy += 2
0 AdIJo +=
Áreas compostas: conhecendo-se I das diversas “partes”constituintes da figura: II =
( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
4
2323
2
646
5,145,4383812
1555,8102102
12
1
pol
AdII yx
=
−++
−+=
+=
Revisão:Propriedades geométricas de uma Área
Revisão:Propriedades geométricas de uma Área
Esforço Normais
Esforços Normais
A
Fmed =
Para tensões Uniformemente distribuídas sobre a seção
transversal
Para haver tensão ou compressão uniforme, a força axial
deve agir através do centróide da área da seção
transversal
A
ydAy
=A
xdAx
=
Caso uma força não esteja agindo no centróide, esta pode
sempre ser substituída por um Fc e um Mc.
Esforços NormaisDuto circular vazado de alumínio suporta uma carga de compressão de 54 kips. Os diâmetros interno e
externo do duto são 3,6 in e 5,0 in, respectivamente. Determine a tensão de compressão no poste,
desconsiderando o peso do mesmo.
( ) ( ) 2222
1
2
2 456,96,3544
inAddA =−==−=
A carga é centrada? - SIM
Qual a área que resiste à carga mencionada?
psiA
F5710
456,9
54000===
Cálculo da Tensão normal compressiva
Tensor das Tensões e Elemento infinitesimal
−=
=
57100
00
yyx
xyxT
P
Esforços NormaisHaste circular de aço de comprimento L=40m e diâmetro d=8mm é utilizada para erguer um cadinho de
minério de peso W=1,5KN em sua extremidade inferior. Determine a solicitação MÁXIMA de tração na
haste, considerando o peso da mesma.
A carga é centrada? - SIM
Tensor das tensões e Elemento infinitesimal
Qual a posição em que a haste é mais solicitada? PORQUÊ?
Qual a magnitude desta solicitação?
hastecadinho WWF +=max
ALVWhaste ==
LA
W
A
ALW
A
F
+=
+== max
max
MPa9,32max =
=
=
9,320
00
yyx
xyxT
P
Esforços Cortantes
Esforços CortantesTensões de cisalhamento – agem tangencialmente à superfície devido à um esforço cortante
Elementos curtos L10t
Elementos longos L10t
Esforços CortantesElementos curtos
Não existem momentos ou gradrientes de momento
A tensão de cisalhamento depende do esforço cortante V
A
Vmed =
Simples
Duplo
A tensão de cisalhamento depende do esforço cortante V
It
VQ=
Esforços Cortantes
V = intensidade do esforço cortante interno
I = Mom. de inércia da sec transv. (em relação ao eixo neutro)
t = largura de seção transv. medida onde é calculado
AyydAQA
== '
O cortante Q depende da posição analisada ao longo da vigaElementos longos
Esforços CortantesSeções transversais mais comuns
−=
−
+
−=
2
1
21
11422
2
2y
hty
h
yyh
tQ
===2
1
h
y
tdyyydAyAQ
12
3thI =
−=
2
1
2
42y
h
I
V
A
V
A
V
I
Vh5,1
2
3
8
2
max ===
64
4DI
=
3
2
3
4
2
32 rrrQ =
=
( )( )( ) A
V
A
V
rr
rV33,1
3
4
24
32
4
3
max ===
( ) ( )2
1
2
1
2
1
2 488
yht
hht
Q ++−=
( )1212
3
1
3 halmaesptthI
−−=
( )2
1
2
1
2
max8
ehbhbhIe
V+−=
Esforços CortantesPrensa com diâmetro d usada para fazer furos em placas. Dada uma força P necessária para
realizar o procedimento, determine a tensão de cisalhamento na placa.
2589,0 indtespperimA ===
psiin
lb
dt
P
A
Pmed 47500
689,0
280002====
Determine a tensão de cisalhamento no pino de travamento
O pino tende a cisalhar em um plano
O pino tende a cisalhar em dois planos
( )22 r
P
A
Pmed
==
( )2r
P
A
Pmed
==
P
Esforços CortantesA viga mostrada é de madeira e está submetida a uma força cortante interna de V=3kip. Pede-se
determinar a tensão de cisalhamento no ponto P e calcular a tensão máxima de cisalhamento.
Momento de Inércia da seção transversal
em torno do eixo neutro
333 7,41)5)(4(12
1
12
1polpolpolbhI ===
Delimita-se a área transversal A’
( )( )( ) 3124222
15,0 polpolpolpolpolQ =+=
( )( )( )( )
ksipolpol
polkip
It
VQ216,0
47,41
1234
3
===
Tensão de cisalhamento em P
Para a tensão de cisalhamento máxima
( )( )( ) 31245,25,22
1 polpolpolpolQ ==
( )( )( )( )
ksipolpol
polkip
It
VQ225,0
47,41
5,1234
3
===
Tensão de cisalhamento máxima
P
Esforços Fletores
Esforços FletoresElementos estruturais submetidos à esforços internos de flexão experimentam uma distribuição
de tensões NORMAIS
Intensidade varia linearmente de zero (sobre a linha neutra da seção transversal) até um valor
máximo geralmente na fronteira do componente
I
Mc=
M = momento fletor do ponto avaliado.
c = distância do ponto avaliado à linha neutra
I = momento de inércia em relação ao eixo neutro
Esforços FletoresA viga simplesmente apoiada tem a área da seção transversal mostrada. Determinar a tensão de
flexão máxima.
PQ
Esforços Torsores
Esforços Torsores
J
T =
Eixos e tubos submetidos à momento torçor interno experimentam uma distribuição de tensões
CISALHANTES
Intensidade varia linearmente de zero (sobre a linha neutra da seção transversal) até um valor
máximo geralmente na fronteira do componente
T = momento torsor do ponto avaliado.
= distância do ponto avaliado à linha neutra
J= momento polar de inércia
• Para o sistema apresentado na fig. 1, determinar o
comportamento da tensão de Tresca ao longo do arco
AB
• Considerando a fig. 2, determinar o direção em que a
tensão normal de flexão é máxima.
Esforços TorsoresO eixo mostrado é suportado por dois mancais e está sujeito à três torques. Determinar a tensão
de cisalhamento desenvolvidas nos pontos A e B da seção a-a.
P
Torque da seção a-a
Reações dos mancais nulas para peso desprezível.
0.30.5,420 =−−= TpolkippolkipTx
polkipT .5,12=
Momento de inércia polar da seção
pold
J 497,032
4
==
( )ksi
J
T AA 9,18
497,0
75,05,12=
==
( )ksi
J
T BB 77,3
497,0
15,05,12=
==
Tensão cisalhante no ponto
Esforços Combinados
Esforços Combinados
Esforços CombinadosPrincípio da superposição: Calculadas as componentes de tensão normais e cisalhantes
provocadas por cada caso de carregamento específico, estas devem ser somadas vetorialmente
como se atuassem de maneira independente.
Princípio da substituição: Uma força F atuante em um ponto A pode sempre ser substituída por
uma força F de mesma intensidade, atuante em B, e por um momento (conjugado) sem que seus
efeitos sobre o corpo sejam alterados.
FA
B
A
B
F
F
-Fd
B F
M=FdΞ Ξ
devido a
esforço normal devido a
momento fletor
+ =
devido ao carregamento
combinado
Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante nulo
Desprezar o peso do elemento e determinar o estado de tensões nos pontos B e C
150lb
=
150lb
+
M=150x5=750lb.pol
Reação dos apoios150lb
MaFx
Fy
M=750lb.pol
pollbM
M
a
a
=
=−
750
0750
0=xF
lbF
F
y
y
150
0150
=
=−
150lb
MaFy
M=750lb.pol
Equilíbrio do corte
lbFy 150=pollbMa = 750
P
Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante nulo
( ) ( )
( )( )psi
polpol
polpollb
I
Mc25,11
10412
1
5750
3max =
==
( )( )psi
polpol
lb
A
P75,3
410
150===
Esforços cortantes
Como o diagrama de momento é constante, o cortante é zero
P
psipsipsiB 5,775,325,11 =−=
psipsipsiC 1575,325,11 =+=
Estado de tensões resultante
Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante não nulo
Determine o estado de tensões que a carga produz no ponto C
P
Cálculo das reações nos apoios
0
0
0
=
=
=
M
F
F
y
x
kNF
kNF
kNF
C
yA
xA
59,97
93,21
45,16
=
=
=
Cálculo dos esforços internos (corte)
mkNM
kNV
kNN
.89,32
93,21
45,16
=
=
=
Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante não nulo
Determine o estado de tensões que a carga produz no ponto C
P
Cálculo das reações nos apoios
0
0
0
=
=
=
M
F
F
y
x
kNF
kNF
kNF
C
yA
xA
59,97
93,21
45,16
=
=
=
Cálculo dos esforços internos (corte)
mkNM
kNV
kNN
.89,32
93,21
45,16
=
=
=
Cargas Combinadas Normal e Fletor com Cortante não nulo
MPaMPaMPac 5,6415,6332,1 =+=
P
( ) ( )
( )( )MPa
mkNm
I
Mcc 15,63
250,0050,012
1
125,089,32
3
=
==
( )( )MPa
mm
kN
A
Pc 32,1
250,0050,0
45,16=== erfícienaponto
It
VQc sup0==
Estado de tensões resultante
K
A
V
A
V
I
Vh5,1
2
3
8
2
max ===
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Haste maciça tem raio de 0,75pol. Qual o estado de tensões no ponto A quando submetida aos
carregamentos mostrados.
P
D
D
Fy = 500 lb
Ty = 800x14 lbxin
Fz = 800 lb
Mz = 500x14 lbxin
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Haste maciça tem raio de 0,75pol. Qual o estado de tensões no ponto A quando submetida aos
carregamentos mostrados.
P
D
D
Fy = 500 lb
Ty = 800x14 lbxin
x
Fy = 500 lb
Ty = 800x14 lbxin
Mz = 500x14 lbxin
Fz = 800 lb
z
x
Mz = 500x14 lbxin
Fz = 800 lb
Mx = 800x10 lbxin
A
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Haste maciça tem raio de 0,75pol. Qual o estado de tensões no ponto A quando submetida aos
carregamentos mostrados.
P
Seis equações de equilíbrio
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Relação entre os Esforços Internos na Seção A
com as Tensões no Ponto A
F y M x
Normal () ou Cisalhante () ?
Plano de Atuação
Direção de Atuação
Relação entre Esforço
Interno e Intensidade da
Componente de Tensão
Valor da Componente de
Tensão no Ponto A
Representação do Tensor
das Tensões Associado
Esforço Interno
Co
mp
on
ente
de
Ten
são
Ass
oci
ada
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Força Normal
( )( )psi
pol
lb
A
PA 283
75,0
5002===
P
Força Cortante
It
VQA =
Q é determinado pela área semicircular sombreada
332
2813,03
2
3
4
2pol
rrryAQ ==
==
( )( )
( ) ( )psi
polpol
pollb
It
VQA 604
75,0275,04
1
2813,0800
4
3
=
==
( )( )( ) A
V
A
V
rr
rV33,1
3
4
24
32
4
3
max ===
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Momentos fletores de 8000lb.pol
( ) ( )
( )psi
polpollb
I
McA 126,21
75,04
1
75,0.7000
4
=
==
Momentos fletores de 7000lb.pol
O ponto A localiza-se no eixo neutro.
MPaI
McA 0==
No ponto A, c=0,75pol.
P
Cargas Combinadas Estado Geral de tensões
Momento de torção
No ponto A, =0,75pol.
( )
( )475,02
1
75,0.11200
pol
polpollb
J
T
==
P
Princípio da Superposição e resultado final
Estado Geral de tensões
P
Cargas Combinadas
Vasos de Pressão
Vasos de Pressão
Quando r/t=10 – erros de aproximadamente 4% na tensão máxima
Quando r/t aumenta – erros ainda menores
Distribuição de tensões tida como uniforme ao longo da espessuraVasos de parede fina (relação r/t>10)
Vasos cilíndricos Sentido circunferencial ou tangencial
Sentido longitudinal ou axial
Ambos os componentes exercem tração sobre o material
Vasos de Pressão
Ao se fabricar vasos de pressão cilíndricos de chapas laminadas, as juntas longitudinais devem ser
projetadas para suportar o dobro da tensão circunferencial
( ) ( ) 022
0
1 =−
=−
dyrptdy
FF pressãoresistivo
t
pr=1
( ) ( ) 02
0
2
2 =−
=−
rprt
FF pressãoresistivo
t
pr
22 =
Vasos cilíndricos
0= xF0= yF
Vasos de Pressão
Qualquer direção é uma direção principal
( ) ( ) 022
0
2
2 =−
=−
rprt
FF pressãoresistivo
122
==t
pr
Vasos esféricos
0== yx FF
Vasos de Pressão
P
t=2mm r1=1,8 Pi=800kPa
Determinar as tensões circunferencial e tangencial no vaso.
Determinar as tensões agindo na solda
9020
1800 ==t
r
É admissível a utilização de comportamento
de parede fina?
( )( )MPa
mm
mkPa
t
pr72
20
8,18001 ===
MPat
pr36
22
12 ===
2
1
2
1
022,036
8,0
1
==
iP
É admissível a utilização de z=0 (estado
plano de tensões?
P
• Prova : CESPE 2004
• Petrobrás
P
Prova : CESPE 2002
Petrobrás
P
• Prova : CESPE 2002
• Petrobrás
VASO DE PRESSÃO
C
C
E
C
E
BARRA CARREGADA
C
E
C
C
E
VASO DE PRESSÃO
E
E
C
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