直線と平面の方程式 - wakhokasami/linalge/pdf/11.pdfπ θ θ θ 直線の方程式...
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直線と平面の方程式直線と平面の方程式
第第1212回回方向余弦方向余弦
法線ベクトル法線ベクトル
任意のベクトルは任意のベクトルは
基底の線形結合で表せる基底の線形結合で表せる
基底の組 kjirrr
3R
軸方向の単位ベクトルは zyxkji ,,,,rrr
kajaiaaaaa
arrrrr
321
3
2
1
++=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= なら
空間の方向ベクトルは
その方向の単位ベクトルを用いるのが便利
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nml
urある方向の単位ベクトルが
うのことを方向余弦といnml ,,
なぜならなぜなら
とするとを軸の正方向とのなす角と αxur
1ir
α
ur
l
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nml
urαcos== iulrr
のことは正弦という
のことを余弦という
sincos
他の軸との余弦は他の軸との余弦は
とするとそれぞれ
を軸の正方向とのなす角方向余弦の方向と
γβα ,,,, zyx
γβα cos,cos,cos === nml
ll,,mm,n,nの間にはの間には
だから2222 1 nmlu ++==r
1222 =++ nml なる関係があるなる関係がある
方向比方向比
nmlnml
−−−⇒ ,,,,
、反対方向の方向余弦は
、ある方向の方向余弦が
うその方向の方向比とい
を
をみたす
NMLnmlNML
,,:::: =
22点から方向比と方向余弦をしる点から方向比と方向余弦をしる
( ) ( )321321 ,,B,,,A2bbbaaa点空間内の相異なる
( )( ) ( ) ( )
sab
sab
sab
ababab
abababs
ababab
332211
332211
233
222
211
332211
,,AB
ABAB
,AB
−−−
−−−
−+−+−==
−−−=
の方向余弦は、
::方向比は、
間の距離
方向余弦を求める=ベクトルの正規化方向余弦を求める=ベクトルの正規化
?何かこのときの方向余弦は
1)である方向比が3:4:(-
クトルを考える方向比を成分に持つベ
1)である方向比が3:4:(-
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−==⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
143
261
143
aaua r
rrr
正規化 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
143
261
143
261
どちらも方向余弦になることに注意
問題問題
?21,,
はどんな曲線を描くか
集合であるような半直線のの値がのうち、
余弦線で、その方向の方向原点を始点とする半直
nnml
2
222
22222
23
431
211
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==+→=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++→=++
=
mlmlnml
n
の平面21
=z
の円を中心とする半径23
21,0,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
O
O
原点をとおり z 軸と 60°の角度をもつ長さ1の半直線を z 軸の周りに回転して
得られる円錐
2方向のなす角2方向のなす角
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′′′
=′⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nml
unml
u rr ,
単位ベクトルを空間における2方向の
θθθ
coscos =′⋅=′+′+′=′ uunnmmlluu rrrrとするとなす角を
θu′r
ur
nnmmll ′+′+′=θcosなす角は
なら垂直0=′+′+′ nnmmll
例題例題
を求めよ
とするの二等分線を平面上の
の二等分線を平面上の
POQOQO
,OPO
∠
∠
∠
xzzxyxxy
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
101
21 OQ
011
21 OP 方向の方向余弦方向の方向余弦
( ) °==∴=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=∠
6032
1
101
01121cos
POQ
πθθ
θ
直線の方程式直線の方程式
gu を持つ直線をによって示される方向を通り、点r
0P
0P
P
urg
は任意の実数
上にあるための条件が直線動点
sus r=PP
gP
0
は任意の実数
を座標原点として
sus r+= 0OPOP
Oまたは
媒介変数表示の直線の方程式媒介変数表示の直線の方程式
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
zyx
nml
u OP,OP,
0
0
0
0
r
usrrrr
nszzmsyylsxxnml
szyx
zyx
us
rrrrr
r
+=⇒==
+=+=+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
000
000
0
0
0
0
OP,OP
,,
,OP OP は
媒介変数を含まない方程式媒介変数を含まない方程式
( )n
zzm
yylxxs
snszzmsyylsxx
000
000 ,,
−=
−=
−=
+=+=+=
を消去して、
を表すとする
かつ
例えば、
がある場合の中に※
0
0,0,00,,
000 =−
−=
−≠=≠
yyn
zzlxx
nmlnml
直線の方程式の標準形直線の方程式の標準形
Nzz
Myy
Lxx
NMLnml
000
::::−
=−
=−=
( )直線の方程式
のを通り、方向比がこれは点 NMLzyx ::,, 000
とおくとt=
tNzzMtyytLxx +=+=+= 000 ,,
例題例題
8:12:9
?431
25
332
−→
→−
=−
=−
方向比は
は直線の方程式か yeszyx
( ) 8:12:934:2:
23
25
34
31
23
23
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
−−
=−−
=−
方向比は、
形は直線の方程式の標準
変形する
zyx
下の連立方程式の解は直線下の連立方程式の解は直線
⎩⎨⎧
=−−=−+620532
zyxzyx 独立な式の数が2
変数の数3任意定数3-2個必要
353511
27527115
+=⇒−=−
−=⇒=−
yzzyx
xzzxy
を消去して、
を消去して、
5111
1135
11275
53
527 zyx
zyx
=+
=−
∴
=+
=−
例題例題
( ) ( ) 求めよを通る直線の方程式を点 222111 ,,,,,2 zyxzyx
( ) ( ) ( )( )を通るから方程式は、
方向比
111
121212
,,:::
zyxzzyyxx −−−
12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
−−
=−−
=−−
原点と直線との距離原点と直線との距離
との距離(の最小値)原点と直線21
32
21
−−
=+
=− zyx
( ) ( ) ( )( )
1766
176
1761217
122312
12,23,1221
32
21
17662
1762
222222
のときよって最小値は
求める距離の2乗は
とおくと
=
+−=+−=
+−+−++=++
+−=−=+=
=−−
=+
=−
t
ttt
tttzyx
tztytx
tzyx
22直線の関係直線の関係
2
2
2
2
2
22
1
1
1
1
1
11
:
:2
Nzz
Myy
Lxxg
Nzz
Myy
Lxxg
−=
−=
−
−=
−=
−
直線
0::::::
21212121
22211121
=++=
NNMMLLggNMLNMLgg
が垂直と
が平行と
0::
21
21
方向ベクトルの内積がが垂直と
方向比が等しいが平行と
gggg
問題問題
( )
線の方程式を求めよのいずれにも垂直な直
軸および直線を通り、点
42
1312
3,2,1−
==−−
zyxy
解答解答
( )
( )クトルを求めるのいずれにも垂直なベ
0軸の方向ベクトル
標準形に直す
01
414
21 2
3
23
21
y
zyx −==
−
( )
( )01
414
21 2
3
23
21
0軸の方向ベクトル
標準形に直す
y
zyx −==
−
33
02
81
308
823
010
823
21
4123
−−
=+
=−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx直線の方程式は
であるので、外積は、
積を求めればよいこれらのベクトルの外
クトルを求めるのいずれにも垂直なベ
と解釈する。直線の方程式は
があるが、これは分母に
2,33
81
0
−=−−
=− yzx
平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル
平面に原点から垂線を下ろし、その垂線の足をHとする。
OHベクトル
O
P
H
垂線
π の方向余弦のことを平面の方向余弦または平面の法線ベクトルとよぶ。
OHOH=nr法線ベクトル
平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル
平面π上の動点Pを考えるPがHと一致する
場合も含めて
HPOH⊥
O
P
H
垂線
π
( )OHOHOH ≡== pnpn rr
OHOPHP −=
0HPOH =
( )10OP
===⇔=−
=
nnpnnprnnprnr
rrQ
rrrrrrr
rとおくと垂直関係は
平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル
O
P
H
垂線
π prn =rr
である平面の方程式原点からの距離が
トルが垂線の方向の単位ベク
pur
とすると⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
rnml
n rr ,
0, >=++= ppznymxlrn rr
一般に平面の方程式は一般に平面の方程式は
O
P
H
垂線
π
0=+++ DCzByAx
222
::
CBAD
CBA
++原点からの距離
垂線の方向比:
平面の方程式を求める例題平面の方程式を求める例題
( )( )方程式を求めよ
軸に平行な平面のを通り、点 z5,2,41,2,32 −−
とおく0=+++ DCzByAx
1:0:0::
=軸の方向比
=法線ベクトルの方向比
zCBA
00100 =∴=⋅+⋅+⋅ CCBA
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=⇔
⎩⎨⎧
=++−=+−+
DB
DA
DCBADCBA
14172
0524023
2点を通るから、
平面の方程式を求める例題平面の方程式を求める例題
14,0,1,414,
−====∴−=
DCBAD としてよいら比のみが意味を持つか
1474 =+x
22平面の関係平面の関係
⎩⎨⎧
=+++=+++
0:0:
222222
11111
DzCyBxADzCyBxA
ππ
平面
0::::::
212121
222111
=++=
CCBAAACBACAA
垂直である条件
平行である条件
( )( )求めよ垂直な平面の方程式を
にを通り、平面点問 1441,0,11,2,32 =+−− yx
平面と直線との関係平面と直線との関係
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
−=+++
Nzz
Myy
Lxxg
DCzByAx000:
0:
直線
平面π
NMLCBACNBMAL
:::::0:
==++
垂直である条件
平行である条件
問題問題
( )
に平行なものを求めよと垂直で、平面
を通る直線で、直線点問
求めよの交線に垂直な平面をついで、原点を通りこ
、の交線の方程式を求め平面問
4323
11
52
41,3,22
1,2322 1
−=−−
+=
+=
−−
=−−=−−
zyx
zyx
zyxzyx
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