数理統計講義資料 確率論の基礎hchigira/st1611.pdf ·...
Post on 21-May-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
� はじめに�次元確率変数(�個の確率変数)�だけで経済データを扱えるか�
例�� 所得の調査宮城県民の所得の母集団分布� �����(�次元確率変数)
� 平均所得を調べるため、�人にアンケート
� ��� � �� � � � � �で�次元確率変数
例� 所得と消費の調査宮城県民の所得�と消費� の母集団分布(次元確率変数)
� �と� の関係を調べるため、�人にアンケート
� ���� ���� � �� � � � � �で�次元確率変数
� ���� �
� 離散な多次元確率変数
❏ 同時確率関数
つの離散確率変数�、� を考える
�
�
������
�
�
�
�� ��� ���
� �� �
同時確率関数(����� ����������� ��������� ���)�
�� �� � ��(�が�をとり、かつ� が�をとる確率)
� ���� �
Æ ���の性質� �� �� � �� � �� ��� �
�
�
��
�� �� � �� �
Æ �次元確率変数の���
��� ��� � � � � �� ���となり、� ��� ��� � � � � �� ��� � �� ���� � � � � ���
��� � ��
�� ��� ��� � � � ��� ��� �
� ���� �
❏ 周辺確率関数�つの確率変数�(または�)だけに着目したい
�
�
������
�
�
� �� ��
� ��� ��� ���
� �� � ��
�� �� ��� ���
周辺確率関数(�������� ����������� ��������� ���)������������
�� �� �
� �� �� � ��
(� に関わらず、�が�をとる確率)
�� �� �
� �� �� � ��(�に関わらず、� が�をとる確率)
� ��� �
Æ ���の性質� �� �� � �� ��、 �� �� � �� ��
�
�
�� �� �、
��
�� �� �
Æ �次元確率変数の��������
��の���� ��� ��� �
��� � ��
�� ��� ��� � � � � �� ���
�����の���� ��� ��� �
��� � ��
����
��� ��� � � � � �� ���
� ��� �
❏ 条件付き確率関数�が� に応じてどう変わる(または� が�に応じてどう変わる)�
� ���� �����! � �
���
���
�
�
�
�
���
���
�
�
�
� ��
����
���� ���� �"
����! �
��
����
����
�
� ��
���
�
� �
��
条件付き確率関数(��� ������� ����������� ��������� ���)����������������
�� ��� �� � ���������
� �����
(� が�をとった時に、�が�をとる確率)
�� ��� �� � ���������
� �����
(�が�をとった時に、� が�をとる確率)
� ���� �
Æ ���の性質� �� ��� �� � �� ��� �、 �� ��� �� � �� ��� �
�
�
�� ��� �� �� ��、
��
�� ��� �� �� ��
Æ �次元確率変数の����������
��の���� ��� ����� ��� � � � ��� ��� ��� ��� � � � ��� ���
��� ��� � � � ��� ���
�����の���� ��� ����� ��� � � � ����� �����
��� ��� � � � ��� ���
��� ��� � � ����� �����
� ���� �
❏ 独立性�と� が無関係なことを表す
�と� が独立� �� �� � �� �� �� �� ��
� �� ��� �� �� ��
� �� ��� �� �� ��
Æ �次元確率変数の独立性
��� � � � � ��は互いに独立 � ��� ��� � � � ��� ��� ��
��� ��� ���
� ����� �
❏ 同一分布性�と� の���が同じなら�と� は同一分布
Æ �次元確率変数の同一分布性
��� � � � � ��の���が同じなら��� � � � � ��は同一分布
❏ 独立かつ同一分布
��� � � � ��� は互いに独立で同一分布(�� !�!� !�� ��
� !�������� �#������! � ���)
��������� �� � ���� � �� � � � � �
� ����� �
❏ 実例
日本全国の$$�%�世帯の居住地と、現居住のタイプ�� �� 人口$万人以上の市、� �� それ以外の都市と町村
� �� 持ち家、� �� 持ち家ではない分割表�
�
�
������
�
�
� � 計� ��$& �� � ���%
� ����� �$& ��&�
計 ���&� �$��% $$�%�
総務省『全国消費実態調査』(����年)より作成
�
便宜上、この$$�%�世帯を母集団と考えて各種の母集団分布を計算してみる(本当の母集団は日本全国の全世帯で約
����万世帯)
� ����� �
���と����(先の表のセルにある値を$$�%�で割る)
�
�
����
��
�
�
� � �� ��
� ��$�� ���$ ��&&�
� ���%� ����& ���
�� �� ��&% ��& �
�����
都市部に住みかつ持ち家� �� �� � �� �$��
住む場所に関わらず持ち家� �� �� �&%
家のタイプに関わらず都市部に住む� �� �� �&&�
といったことが解る
ここで、明らかに �� �� � �� �� �� �� ��
なので�と� は独立ではない。居住地と家のタイプには関係があるので���を計算してみる
� ����� �
����
�
�
������
�
�
� �
���� �"
����! �
�
�$��
�&&� � �%
��$
�&&� ���
�
��%�
�� �%��
���&
�� �� �
都市部の持ち家率 �� ��� �� は町村部の持ち家
率 �� ��� �� より低い
ちなみに、 �� ��� �� ��������
������� �����
����。つまり、
母集団を都市部に住む人に限定した際の持ち家率と考えられる
� ����� �
� 連続な多次元確率変数
❏ 同時確率密度関数
つの連続確率変数�、� を考える同時確率密度関数(����� ����������� !�#��� ��������� �� �)�
���� ��� ��(�が�をとり、かつ� が�をとる確率密度)
Æ �� �の性質
� ���� ��� �� � �� ��� �
���� ��� ������ �
Æ �次元確率変数の�� �
������� ������� � � � � ���
� ����� �
❏ 周辺確率密度関数�つの確率変数�(または�)だけに着目したい
周辺確率関数(�������� ����������� !�#��� ��������� �� �)�������
���� ��� ����(� に関わらず、�が�をとる確率密度)
�� ���
���� ��� ����(�に関わらず、� が�をとる確率密度)
Æ �次元確率変数の�� ������
��の�� �� �������
� � �
������� ������� � � � � ������ � � � ���
�����の�� �� �������
� � �
������� ������� � � � � �������� � � � ���
� ���� �
❏ 条件付き確率密度関数�が� に応じてどう変わる(または� が�に応じてどう変わる)�
条件付き確率密度関数(��� ������� ����������� !�#��� ������������
���� ����� ��� �����
� ���
(� が�をとった時に、�が�をとる確率密度)
�� ������� ��� �����
����
(�が�をとった時に、� が�をとる確率密度)
Æ �次元確率変数の�� ����������
��の�� �� ���������� ���������� � � � � ��� ������ ���������� ����
������ ���������� ����
�����の�� �� ���������� ������������ � � � � �����
������ ���������� ����
������ �����������������
� ���� �
❏ 独立性�と� が無関係なことを表す
�と� が独立 � ���� ��� �� ������� ���
� ���� ����� �����
� �� ������� �� ���
Æ �次元確率変数の独立性
��� � � � � ��は互いに独立 � ������� ������� � � � � ��� ��
��� �������
� ����� �
❏ 同一分布性�と� の�� �が同じなら�と� は同一分布
Æ �次元確率変数の同一分布性
��� � � � � ��の�� �が同じなら��� � � � ���は同一分布
❏ 独立かつ同一分布
��� � � � ��� は互いに独立で同一分布(�� !�!� !�� ��
� !�������� �#������! � ���)
��������� �� � ���� � �� � � � � �
� ����� �
� 独立で同一分布な多次元確率変数
アンケートデータ等に関して、
�� � ���� � �� � � � � �
という仮定を置くことが非常に多い(もしくは���となるようにアンケート等を取る)
❏ 数学的な計算の簡単化
�次元確率変数��� � �� � � � � �
�
��次元��� � ��� ��� � � � ��� ���
�次元�� � � ������� ������� � � � � ���
�が大きいと計算が大変
� ����� �
�� � ���� � �� � � � � �を仮定
���������������
��� ��� � � � ��� ���
独立
����� ��� ���
同一分布
�� ���
������� ������� � � � � ���
独立
����� �������
同一分布
������
��次元��� � ��� ��� � � � ��� ���
�次元�� � � ������� ������� � � � � ���
が��次元�� � �� ��
�次元� � � �����
になり、計算が大幅に簡単化
� ����� �
❏ 偏りの無いデータ���となるようアンケートを取ると、一般に偏りの無いデータ
が得られる
例� 講義の成績履修者���人の母集団分布�
�� �� ��� �� � ��� �� �� ���� �� �� �� �� $� ��
平均成績を調べるため、人にアンケートを取る
�
�人目を���人から無作為に選ぶ。�� � ���。�人目は
'さん(成績は�)になった
�
人目も、�人目が'さんだったこととは無関係に、���人から無作為に選ぶ。�� � ���。人目は(さん(成績は�)になった
� ����� �
top related