ch1. mathematical modeling, numerical methods, and problem solving · 2015-08-28 · 수치해석...

수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis

161009161009

Ch1. Mathematical Ch1. Mathematical Modeling,Modeling,Ch1. Mathematical Ch1. Mathematical Modeling,Modeling,Numerical Methods,Numerical Methods,and Problem Solvingand Problem Solving

단순한 수학적 모델

• 수학적수학적수학적수학적 모델모델모델모델: : : : 어떤어떤어떤어떤 물리적물리적물리적물리적 시스템이나시스템이나시스템이나시스템이나 과정의과정의과정의과정의 중요한중요한중요한중요한 특징특징특징특징을을을을 수학적수학적수학적수학적 용어로용어로용어로용어로 표현한표현한표현한표현한 공식공식공식공식 또는또는또는또는 방정식방정식방정식방정식

종속변수종속변수종속변수종속변수 = = = = f f f f ((((독립변수독립변수독립변수독립변수, , , , 매개변수매개변수매개변수매개변수, , , , 강제함수강제함수강제함수강제함수))))

• 종속변수종속변수종속변수종속변수(Dependant variable): (Dependant variable): (Dependant variable): (Dependant variable): 시스템의시스템의시스템의시스템의 거동이나거동이나거동이나거동이나 상태를상태를상태를상태를 반영하는반영하는반영하는반영하는

특성특성특성특성

Numerical AnalysisNumerical Analysis 22

특성특성특성특성

• 독립변수독립변수독립변수독립변수(Independent variable): (Independent variable): (Independent variable): (Independent variable): 시스템의시스템의시스템의시스템의 거동을거동을거동을거동을 결정짓는결정짓는결정짓는결정짓는 차원차원차원차원

(eg. (eg. (eg. (eg. 공간공간공간공간, , , , 시간시간시간시간 등등등등) ) ) )

• 매개변수매개변수매개변수매개변수(Parameter): (Parameter): (Parameter): (Parameter): 시스템의시스템의시스템의시스템의 성질이나성질이나성질이나성질이나 구성구성구성구성

• 강제함수강제함수강제함수강제함수(Forcing function): (Forcing function): (Forcing function): (Forcing function): 시스템에시스템에시스템에시스템에 작용하는작용하는작용하는작용하는 외부의외부의외부의외부의 영향영향영향영향

예제) 수학적 모델

• 번지점프하는번지점프하는번지점프하는번지점프하는 사람에사람에사람에사람에 대한대한대한대한 운동방정식운동방정식운동방정식운동방정식

(Newton(Newton(Newton(Newton의의의의 제제제제2222법칙법칙법칙법칙))))

2vm

cg

dt

dv d−=

Numerical AnalysisNumerical Analysis 33

여기서여기서여기서여기서 v = 속도속도속도속도 (m/s)

t = 시간시간시간시간 (s)

g = 중력중력중력중력 가속도가속도가속도가속도 (≅≅≅≅ 9.81m/s2)

cd = 항력계수항력계수항력계수항력계수 (kg/m)

m = 사람의사람의사람의사람의 질량질량질량질량 (kg)

예제) 수학적 모델

– NewtonNewtonNewtonNewton의의의의 제제제제2222법칙법칙법칙법칙

매개변수

강제함수종속변수

←

←=→m

Fa

m

vcmg

m

FF

m

F

dt

dva dUD

2−=

+===

Fu (-)

=

Numerical AnalysisNumerical Analysis 44

• 여기서여기서여기서여기서FFFFDDDD = = = = 하향하향하향하향 중력중력중력중력

FFFFUUUU = = = = 상향상향상향상향 공기공기공기공기 저항력저항력저항력저항력

∴∴∴∴ 2vm

cg

dt

dv d−=

FD (+)

=

ma

예제) 수학적 모델의 해 (엄밀해 exact solution)

– 만약만약만약만약 t t t t = 0 = 0 = 0 = 0 에서에서에서에서 v v v v = 0= 0= 0= 0이면이면이면이면, , , ,

• 독립변수독립변수독립변수독립변수 ←←←← tttt

• 종속변수종속변수종속변수종속변수 ←←←← vvvv((((tttt))))

= t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh)(

Numerical AnalysisNumerical Analysis 55

• 종속변수종속변수종속변수종속변수 ←←←← vvvv((((tttt))))

• 매개변수매개변수매개변수매개변수 ←←←← ccccdddd, , , , mmmm

• 강제함수강제함수강제함수강제함수 ←←←← gggg

예제) 수학적 모델의 해 (수치해 numerical sol.)

• 수치해법수치해법수치해법수치해법

산술연산을산술연산을산술연산을산술연산을 통해통해통해통해 해를해를해를해를 구할구할구할구할 수수수수 있도록있도록있도록있도록 수학문제를수학문제를수학문제를수학문제를 재구성한다재구성한다재구성한다재구성한다....

- 미분을미분을미분을미분을 극한으로극한으로극한으로극한으로 표시하면표시하면표시하면표시하면

t

v

dt

dv

t ∆

∆=

→∆ 0lim

Numerical AnalysisNumerical Analysis 66

---- 도함수를도함수를도함수를도함수를 유한유한유한유한 차분으로차분으로차분으로차분으로 근사하면근사하면근사하면근사하면,,,,

)()()( 2

1

1i

d

ii

ii tvm

cg

tt

tvtv

t

v

dt

dv−=

−

−=

∆

∆≅

+

+

예제) 수학적 모델의 해 (수치해 numerical sol.)

----정리하면정리하면정리하면정리하면,,,,

---- 즉즉즉즉, , , ,

4342144 344 21 t

ii

dt

dv

id

ii tttvm

cgtvtv

i

∆

+

⇒

+ −

−+= )()()()( 1

2

1

Numerical AnalysisNumerical Analysis 77

---- 즉즉즉즉, , , ,

새로운새로운새로운새로운 값값값값 = = = = 이전이전이전이전 값값값값 + + + + 기울기기울기기울기기울기 ×××× 간격크기간격크기간격크기간격크기

((((→→→→ Explicit Euler Explicit Euler Explicit Euler Explicit Euler 방법방법방법방법))))

tdt

dvvv iii ∆+=+1

예제) 결과 비교(엄밀해 vs. 수치해)

Numerical AnalysisNumerical Analysis 88

※※※※ 어떻게어떻게어떻게어떻게 하면하면하면하면 엄밀해와엄밀해와엄밀해와엄밀해와 수치해수치해수치해수치해 사이의사이의사이의사이의 차이를차이를차이를차이를 최소화할최소화할최소화할최소화할 수수수수 있을까있을까있을까있을까?

간격크기를간격크기를간격크기를간격크기를 더더더더 작게작게작게작게, , , , 다른다른다른다른 수치해석수치해석수치해석수치해석 방법방법방법방법 ���� 본본본본 과목의과목의과목의과목의 궁극적궁극적궁극적궁극적 목적목적목적목적

공학과 과학에서의 보존법칙

• 과도과도과도과도((((또는또는또는또는 시변시변시변시변, transient) , transient) , transient) , transient) 해석해석해석해석

– 시간에시간에시간에시간에 따른따른따른따른 변화를변화를변화를변화를 추정함추정함추정함추정함

– 변화량변화량변화량변화량 = = = = 증가량증가량증가량증가량 –––– 감소량감소량감소량감소량

)()( 2 tv

m

cg

dt

tdv d−=

= t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh)(

Numerical AnalysisNumerical Analysis 99

• 정상상태정상상태정상상태정상상태 해석해석해석해석

– 변화량변화량변화량변화량 = 0 = = 0 = = 0 = = 0 = 증가량증가량증가량증가량 –––– 감소량감소량감소량감소량

)(0)( 2 tv

m

cg

dt

tdv d−==2vcmg d=

dc

gmv =

Terminal velocity

공학과 과학에서의 보존법칙

• 공학공학공학공학 분야에서분야에서분야에서분야에서 자주자주자주자주 사용되는사용되는사용되는사용되는 장치와장치와장치와장치와 평형평형평형평형((((보존보존보존보존))))

Numerical AnalysisNumerical Analysis 1010

공학과 과학에서의 보존법칙

Numerical AnalysisNumerical Analysis 1111

본 강의에서 다루는 수치해법

Numerical AnalysisNumerical Analysis 1212

본 강의에서 다루는 수치해법

Numerical AnalysisNumerical Analysis 1313